Verschiedene Potentialansätze in der Numerischen Feldberechnung

Lehrstuhl für Elektrische Antriebe und Mechatronik

Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. S. Kulig Juli 2005

Methoden und Anwendungender numerischen Feldberechnung

Verschiedene Potentialansätze in der Numerischen Feldberechnung

Benjamin Menküc




Inhalt

• Das magnetische Skalarpotential• Das reduzierte Skalarpotential• A, V - P Formulierung• T, Omega Formulierung• Randbedingungen Allgemein




0/ tDJ

Das magnetische Skalarpotential

-Nur verwendbar für stromfreie Bereiche-Die Maxwellgleichungen für Magnetfelder können wie die Gleichungen für Elektrischen Felder behandelt werden

Es gilt: (keine Stromdichten)

0 H

Das Magnetfeld ist also wirbelfrei, d.h. wir können es als Gradient einesPotentials ausdrücken

PH

Daraus folgt:




Mit der 4. Maxwellgleichung und der Annahme, dass der ZusammenhangVon B und H linear ist folgt dann die allgemeine Laplacegleichungfür das magnetische Skalarpotential:

Mit dieser Gleichung lassen sich leicht stromlose dreidimensionale Probleme lösen.

Bei Randwertproblemen geht man analog zum elektrischen Skalarpotentialvor:

0)( P

•Dirichlet Randbedingung:

•Neumann Randbedingung: en vorgegeb en vorgegeb nHnP

n vorgegebeen vorgegeb nHP




Das reduzierte Skalarpotential

Dieser Ansatz ist für stromführende Bereiche verwendbar. Dabei wird dasMagnetfeld in eine wirbelfreie Komponente und eine quellenfreie Komponentezerlegt. Es ist zu beachten, dass die eingeprägte Stromdichte bekannt sein mussund dass das Gebiet nicht leitfähig ist.

Die quellenfreie Komponente des Magnetfeldes muss nur das 1. MaxwellscheGesetz erfüllen, ansonsten ist sie beliebig:

tDJHC

/

Dieses Feld zu finden ist einfach, da es keine Randbedingungen erfüllen mussund ein beliebigen Quellenanteil enthalten darf.




Da das H Feld des ursprünglichen Problems, auch Quellenanteile haben kann,muss man sich auch um diese kümmern.

0)( C

HH

Das reduzierte Skalarpotential kann man also wie folgt definieren:

C

HH

Um an eine Bestimmungsgleichung für das reduzierte Skalarpotential zu kommen,multipliziert man beide Seiten der obigen Gleichung mit der magnetischenPermeabilität und nimmt dann die Divergenz

)()(

)())((

C

C

H

HH

Um das gesamte Problem zu lösen, bestimmt man also zuerst das reine Wirbelfeld,dann das reduzierte Skalarpotential und schließlich aus Kombination dieserbeiden das gesuchte H Feld.




Wirbelströme

Das zu betrachtende Gebiet wird zweiverschiedene Bereiche unterteilt. Zum einen gibt es ein Wirbelstrombereich, der leitfähig ist und keine Stromquellen enthält.

Der andere Bereich enthält eine Stromdichte, ist sonst aber nicht leitend, wiez.B. die Nuten einer elektrischen Maschine.Obige Zeichnung korrespondiert mit der Formulierung. ,VA




Die dielektrische Verschiebungsdichte kann vernachlässigt werden, da das Gebiet leitfähig ist.

0

J

JH

Es wird jetzt das magnetische Vektorpotential eingeführt:

VtAE

AB

/

Wobei V eine Potentialfunktion für das elektrische Feld ist.

Es wird nun das Wirbelstromgebiet betrachtet.

Es gibt eine Leitfähigkeit und eine magnetische Permeabilität




Die Ausgangsgleichung zur Bestimmung des magnetischen Vektorpotentialswird über die zweite Maxwell Gleichung hergeleitet:

)/( VtAA

EA

JH

Bei diesen Umformungen wurden auch die Materialgleichung für die magnetischeFlussdichte verwendet. Weitere Vereinfachungen sind möglich, wenn derZusammenhang zwischen B und H linear ist.

Um A eindeutig festzulegen, wird die Coulomb-Eichung angewendet:

0 A

(1)




In diesem Fall kann Gleichung (1) wie folgt ergänzt werden:

011

)/(11

VtA

AA

VtAAA

Mit dieser Gleichung ist aber nicht mehr automatisch die Quellenfreiheitder Stromdichte gewährleistet, die aber bei Vernachlässigung der dielektrischenVerschiebung notwendig ist. Also muss diese Bedingung separat formuliertwerden:

0)( Vt

A

(2)

In Gleichung (2) kann man jetzt den vektoriellen Laplace Operator zumEinsatz bringen.




Allgemein gilt folgende Identität:

AAAA

wobei der vektorielle Laplace Operator ist, den man so verstehen muss,dass der skalare Laplace Operator auf jede Komponente von A angewandt wird.

A

Falls konstant ist, d.h. keine Funktion des Ortes, vereinfacht sich obige Gleichung weiter:

AAA

(3)

Gleichung (2) lässt sich damit umschreiben zu:

01

Vt

AA

Es wird jetzt aber mit Gleichung (2) weitergearbeitet, um die Allgemeinheitzu wahren.




Im nicht leitenden Gebiet lässt sich die Methode mit dem reduziertenSkalarpotential anwenden, oder wenn keine Stromdichte vorhanden ist,das totale magnetische Skalarpotential P.

Im weiteren wird jetzt nur P verwendet, da das reduzierte Skalarpotential an dieser Stelle zu aufwändig wäre. Dies ist die Formulierung.

In diesem Gebiet ist folgende Gleichung zu erfüllen:

0 P

PVA ,




Randbedingungen

1für ungen Randbeding

12für ungen Randbeding

(Neumann) 00n :

)(Dirichlet auf 00nH :

nB

constn

B

HH

)komponenteTangentialder t (Stetigkei 0

onente)Normalkompder t (Stetigkei 0

2211

2211

nHnH

nBnB

10 auf PP

Oder, im Falle der ngFormulieru - , PVA




, und werden durch folgende Knotenelemente erzeugt: A V P

jjj

jjj

jzjzjyjyjxjxj

PP

VV

AAAA

)2(

)1(

)1()1()1( )111(




Schwache Formulierung des Wirbelstromproblems

011

Vt

AAA

0)( Vt

A

Gewichtungsfunktion W

0)(1

1

aRdVtA

WAWAW

0))(( 1

bRdV

t

AW

Durch Einsetzen der Knotenelemente und Auswertung des Integrals an denVerschiedenen Knoten ergeben sich die zu lösenden Gleichungen.




In den Wirbelstromgebieten kann man ähnlich vorgehen, wie weiter oben für nicht leitende stromführende Gebiete beschrieben wurde.Die Stromdichte ist jetzt aber nicht bekannt, der Wirbelanteil des Magnetfeldeskann also nicht mehr mit Biot-Savart berechnet werden.

TH

TJ

Diese Methode versagt jedoch, wenn das Gebiet mehrfach leitend verbunden ist,weil das Ampèresche Gesetz dann nicht mehr erfüllt ist.

ngFormulieru - ,T




:t werdenhergeleite und Tfür

galgleichunDifferenti diejetzt kann Gesetzen Faradaysch demMit

t

BE

:nunfolgt Einsetzen Durch

0

tt

TT

[2]) siehenen Informatio re(Für weite




Fakten zu Randbedingungen:

Normalkomponente von D springt um Oberflächenladungsdichte

Normalkomponente von B ist stetig

Tangentialkomponente von H springt um Oberflächenstrombelag

Tangentialkomponente von E ist stetig

0 B

tDJH /

D

E-Feld und D-Feld an Oberflächen B-Feld und H-Feld an Oberflächen

2

1

2

1

tan

tan

2

1

2

1

tan

tan

0 E

Dielektrizitätskonstantemagnetische Permeabilität:

:

(Grenzfläche zwischen Leitern)




Schlussbemerkung

Es hat sich im laufe meiner Arbeit mit dem Thema gezeigt, dass besonders die Erfassung des realen Problems durch korrekte Randbedingungen nicht immereinfach ist und viel Aufmerksamkeit erfordert.

Durch geschickte Formulierungen der Maxwellgleichungen lässt sich vielRechenaufwand sparen und es entstehen genauere Ergebnisse.




Referenzen

[1] O. Biro, K. Preis, „On the Use of the Magnetic Vector Potential in the Finite Element Analysis of Three-Dimensional Eddy Currents“,IEEE Trans. On Magnetics, Vol. 25, No. 4, July 1989

[2] O. Biro, K. Preis, „Finite Element Analysis of 3-D Eddy Currents“,IEEE Trans. On Magnetics, Vol. 26, No. 2, March 1990

[3] A. Kost, „Numerische Methoden in der Berechnung elektromagnetiscerFelder“, Springer Verlag, 1994

[4] P. P. Silvester, R. L. Ferrari, „Finite elements for electrical engineers“,Cambridge Univ. Press, 1996

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