Volldynamisches Bausparen

Hans Laux (Ludwigsburg)

Die W6rter ,,dynamisch" und ,,Dynamik" sind mit dem Bausparen in mehrfacher Weise verkniipft. Dynamischen Beharrungszustand nennt man jenen Zustand relativer Be- harrung, der sich herausstellt, wenn bei einem Bausparbestand der Neuzugang dauernd geometrisch zunimmt und die sonstigen Bestimmungsgr6Ben konstant bleiben [1]. In Anlehnung an die Zuwachsversicherung in der Lebensversicherung ist vor etwa 15 Jahren der dynamische Bausparvertrag geschaffen worden, dem allerdings kein groBer Erfolg beschieden war; dynamisiert waren dabei sowohl die Regelsparbeitr/ige als auch die Bausparsummen [2]. SchlieBlich gibt es Bauspartarife mit dynamischen Tilgungsbeitr/igen, die planm/iBig von Jahr zu Jahr geometrisch zunehmen [3]. Da liegt es nahe, ein Bausparsystem zu entwickeln und zu untersuchen, bei dem alle mal3geblichen Parameter dynamisch gestaltet sind. Das w/ire zum ersten in der schon bekannten Weise der Neuzugang an Bausparsummen, zum zweiten die Steigerungsrate der Bausparsumme eines jeden Bausparvertrags, zum dritten die Zuwachsrate des Regel- sparbeitrages und zum vierten die Progression des Tilgungsbeitrages, d.h. der Monatsrate fiir die Verzinsung und Tilgung des Bauspardarlehens. Dabei ist es zweckm/iBig, aUe Progressionsraten jeweils unabh/ingig voneinander zu bestimmen, d.h. mit Werten p 1 bis P4, wenn natiirlich auch nicht zu verkennen ist, dab zwischen den Zuwachsraten zweifel- los Interdependenzen bestehen. So w/ire eine Bausparsumme, die wesentlich st/irker stiege als der Regelsparbeitrag, nicht zur Zuteilung zu bringen, weil die Sparleistungen dazu nicht ausreichen, das sich immer mehr erh6hende Mindestguthaben zu ergeben. Andererseits beschleunigen steigende Tilgungsbeitr/ige den Tilgungsvorgang und erlau- ben dadurch die Aufnahme eines h6heren Prozentdarlehens. Anders ausgedriickt, es ist zu vermuten, dab unter volldynamischen Bedingungen das Mindestguthaben nicht mit 40% bis 50% der Bausparsumme wie bei den g/ingigen Bauspartarifen, sondern niedriger bemessen werden kann. Die im folgenden ausgebreiteten Untersuchungen sind im Zuge von Uberlegungen ent- standen, ob es nicht m6glich ist, das Bausparen nach deutschem Vorbild auch in L/indern mit hohen Geldentwertungsraten einf/ihren und dabei die Inflation gleichsam unterlau- fen zu k6nnen. Das Ergebnis sei schon vorweggenommen: In dynamischen Beharrungs- zust/inden, so fragw/irdig deren Entstehen auf der Basis gleichbleibender Inflationsraten ohnehin ist, k6nnte ein volldynamisches Bausparen nur bei vergleichsweise niedrigen Progressionsraten funktionieren. Bei hohen Zuwachsraten der genannten Parameter wiirde trotz des sinkenden Ansparerfordernisses die Sparzeitl/inge ,,davonlaufen".

I. Pr/ imissen

Es ist sinnvoll, bei der Konstruktion des volldynamischen Bausparsystems sich an die bausparmathematischen Modelle anzuschlieBen, die bereits bekannt sind. Das erleichtert einerseits die Darstellung und erlaubt es andererseits, die schon vorliegenden Resultate als Spezial- oder Grenzf/ille des erweiterten Systems zu erkennen, z. B. den dynamischen Beharrungszustand fiir statische Bausparvertrfige (mit p l > l ; p2=P3=p4=l) . Alle Parameter werden allgemein angesetzt und erst in den Rechenbeispielen spezifiziert. Dadurch k6nnen die Sensitivit/iten in fast beliebiger Tiefe und Breite untersucht werden. Die Skizze soil die H6henlage der maBgeblichen Gr6Ben verdeutlichen.

457

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Zeitperioden sind, wie in der Bausparmathematik iiblich, Quartale. Angesichts der son- stigen Vereinfachungen find die Ungenauigkeiten infolge der viertelj/ihrlichen Zinskapi- talisierungen (gegeniiber der 360-Tage-Methode im Sparstadium und gegeniiber der jetzt im Bausparwesen auch anzutreffenden 30- und 90-Tage-Methode der Darlehensverzin- sung) hinzunehmen. Wesentlich ist, dab die Gutschrift der Spar- und der Tilgungsbei- tr/ige postnumerando pro Quartal und die sofortige Auszahlung des Bausparguthabens wie des Bauspardarlehens im Zuteilungszeitpunkt unterstellt ist. Das Guthaben Gs am Ende der Sparzeit von s Quartalen geht also nicht mehr in die Saldensumme der Bauspar- guthaben ein, wohl abet das Bruttoanfangs-Bauspardarlehen D o, d.h. das um die Darlehensgebiihr erh6hte Nettoanfangs-Bauspardarlehen (Differenz zwischen Bauspar- summe und Bausparguthaben einschlieBlich der Zinsen bei Zuteilung), in die Salden- summe der Bauspardarlehen. Der Modellcharakter der Untersuchungen wird schlieBlich fiir h6here Progressionsraten daran deutlich, dab Zuw/ichse im Quartalsrhythmus natiir- lich immer mehr yon denen im Jahresabstand, wie fie m6glicherweise tats/ichlich prakti- ziert wiirden, abweichen. In der vorliegenden Untersuchung bleiben die wartezeitbestimmenden Faktoren dritter Art vemachl/issigt [4]. Natiirlich w/ire es m6glich gewesen, auch das bausparmathema- tische Gesamtmodell [5] in volldynamischer Gestalt zu entwickeln. Dadurch aber h/itte rich das ohnehin umfangreiche Formelwerk weiter aufgebl/iht. Zudem ist keineswegs gesiehert, ob auch bei volldynamischen, insbesondere inflation/iren Verh/iltnissen bei- spielsweise ebensoviele Darlehensverzichte und Vertragsfortsetzungen zu erwarten sind wie bei weitgehend statischen Verh/iltnissen. Ausschlaggebend fiir die Vernachl/issigung der wartezeitbestimmenden Faktoren dritter Art war letztlich, dab eventuelle Darlehens- verzichte leicht durch eine Kiirzung der Darlehenssaldensumme und Fortsetzer- wie Tr/igheitsreserven durch einen - gegriffenen - Anlagegrad der Bauspareinlagen in -dar- leben unter 100% beriicksichtigt werden k6nnen. Selbst den Kiindigungen, die allerdings nicht so groBe Auswirkungen haben, k6nnte in der Weise Rechnung getragen werden, wie es im bausparmathematischen GesamtmodeU geschehen ist. Zun/ichst ist jedoch unterstellt worden, dab die Kassengleichung des Bausparens im strengen Sinne erfiillt ist, daB also die Saldensummen der Bauspareinlagen und der Bauspardarlehen iibereinstimmen. Da sich bei hohen Progressionsraten schon fiir den so definierten Kollektivausgleich unzutr/iglich lange Wartezeiten herausstellen, g/ilte das erst recht fiir Anlagegrade von deutlich weniger als 100%. Ferner beschr/inkt sich das Modell auf Ratensparbest/inde. Einmalsparvorg/inge unter der Voraussetzung dynamisierter Bausparsummen der Einzelvertr/ige sind problema- tisch, weil das sich laufend erh6hende Mindestguthaben fortw/ihrende Nachfinanzie- rungen des Bausparguthabens erfordern wiirde. Aus diesem Grunde sind auch keine inhomogenen Best/inde, die sich etwa aus Raten- und Schnellsparem [6] zusammen- setzen, betrachtet worden. Wie schon bei dem bisherigen dynamischen Beharrungszustand des Bausparens geniigt es, die H6henlage des in der relativen Beharrung erreichten Niveaus so zu bemessen, daB der im Berechnungszeitpunkt gerade zugeteilte Bausparvertrag das Niveau pt aufweist. Dadurch wird dem zur gleichen Zeit infolge vollst/indiger Tilgung nach einer Darlehens- laufzeit von t Quartalen aus dem Vertragsbestand ausscheidenden Bausparvertrag die H6henlage pO = 1 zugeordnet und dem gerade neuabgeschlossenen Bausparvertrag, der noch die Sparzeit von s Quartalen vor sich hat, die H6henlage pt§ Die numerischen Auswertungen und die graphischen Darstellungen beschr/inken rich vorerst auf den Standardtarif des deutschen Bausparens, der durch folgende Merkmale gekennzeichnet ist: AbschluBgebiihr von 1% der Bausparsumme, die nicht in die bausparmathematischen

459

Formeln eingeht, 3% Guthaben- und 5% Darlehenszinsen j~ihrlich, Regelsparbeitrag von 4,2%0 und Tilgungsbeitrag yon 6%0 der Bausparsumme monatlich, Darlehensgebiihr von 2% des Nettoanfangs-Bauspardarlehens. Das Mindestguthaben des Standardtarifs von 40% der Bausparsumme wird ebenfalls nicht Inhalt der Formeln; es wird bei der mittleren Wartezeit des statischen Beharrungszustandes erheblich iiberschritten und bei hoher Dynamik betriichtlich unterschritten.

II. R e s u l t a t e

Von der Fiille der vorliegenden Berechnungsergebnisse sollen tabellarisch nur die wich- tigsten bauspartechnischen Kennzahlen des Beharrungszustandes wiedergegeben wer- den, die sich fiir den Anlagegrad 100% des volldynamischen Beharrungszustandes bei iibereinstimmenden Progressionsraten von Neugeschiift, Regelsparbeitrag, Bauspar- summe und Tilgungsbeitrag ergeben. In den Abbildungen weicht hingegen die Progres- sion des Neugeschiifts zum Teil von derjenigen der drei iibrigen Parameter ab. Aus der Tabelle und den Graphiken lassen sich fiir den Fall einer gleichsinnigen Dynami- sierung aller vier Bestimmungsgr613en folgende Riickschliisse ziehen. Die finanzierbaren Bausparsummen nehmen mit der unterstellten Progression kriiftig zu (vgl. Spalte 2 der Tabelle und Figur 1). Aber auch die mittleren Wartezeiten steigen an (Spalte 3 und Figur 2). W/ihrend fiir den Standardtarifim statischen Beharrungszustand ein Kollektiv- ausgleich bei einer Sparzeit von rund 9 Jahren mfglich ist, erfordert das volldynamische Bausparen bei einer 8%igen Quartalsprogression schon eine Sparzeit von rd. 13 V2 Jahren und bei einer solchen von 18% eine Sparzeit von 16 Jahren. Da derart hohe Zuwachs- raten nur vor dem Hintergrund einer inflationiiren Wirtschaft denkbar sind, die gerade das Spargeld der Entwertung aussetzt, inhibiert die Notwendigkeit verliingerter Spar- zeiten die Verwirklichung des volldynamischen Bausparens bei hohen Progressionsraten.

Bauspartechnische Kennzahlen des Beharrungszustandes mit Anlagegrad 100% bei iibereinstimmender Dynamisierung yon Neugesch~ift, Regelsparbeitrag, Bausparsumme

und Tilgungsbeitrag (Standardtarif auf 3%/5%-Jahreszinsbasis mit monatlich 4,2%o-Sparbeitrag und 6%o-Tilgungsbeitrag sowie 2% Dadehensgebiihr)

Progression Bausparsumme Mittlere Anspargrad Zielbe- Ti lgungs- Indivi- pro bei Zu- Warte- bei Zu- wertungs- zeit duelles Quartal teilung zeit teilung zahl SKLV (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) % % Quartale % Quartale %

0 100 36,33 52,40 883 33,10 100,00 2 218 40,38 40,33 660 30,30 59,31 4 593 46,38 31,07 483 26,19 40,12 6 1.813 50,72 23,51 321 23,04 25,86 8 6.030 54,26 18,34 212 20,40 17,42

10 21.026 57,12 14,88 145 18,23 12,40 12 75.067 59,42 12,52 103 16,47 9,33 14 270.518 6L31 10,84 77 15,02 7,35 16 975.699 62,89 9,58 60 13,81 6,02 | 8 3.503.822 64,22 8,62 48 12,78 5,07 20 12.485.925 65,36 7,85 39 11,90 4,37

460

Bausparamme in DH

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des gesch~Ifts 2 / ~"~~:~

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0 2 4 6 8 10 0berelnstimmende Quartalsprogression des Regelsparbeitrags, des Tilgungsbeitrags und der Bausparsumme In Prozent

Figur I. Bausparsumme bci Zuteilung im Bcharrungszustand des volldynamischcn Bausparcns (Standardtarif, Anlagegrad 100%; keine wartezcitverMirzcnden Faktorcn dritter Art).

Dieses Ergebnis wiegt umso schwerer, als die Spalte 4 der Tabelle und die Figur 3 zeigen, dab mit zunehmender Dynamik die bis zur Zuteilung notwendige Ansparung sinkt. Es war bereits bekannt, dab im statischen Beharrungszustand des Standardtarifs zum Kollektivausgleich ein Anspargrad von mehr als 50% erforderlich ist, wenn es keine wartezeitverkiirzenden Faktoren dritter Art gibt. Im Beharrungszustand des volldynami- schen Bausparens geniigt bereits bei 2%iger Quartalsprogression das 40%ige Mindest- sparguthaben. Der erforderliche Anspargrad kann sogar unter 10% sinken, das Anfangsdarlehen also 90% iibersteigen, wenn die Quartalsprogression der erw/ihnten vier Parameter 15% iJberschreitet. Wegen der ,,davonlaufenden" Bausparsumme laut Spalte 2 der Tabelle wird die an sich abnehmende prozentuale Ansparvoraussetzung laut Spalte 3 jedoch immer sp~iter erreicht. Der vom Bausparer aufzubringende Sparverdienst sinkt ebenfalls mit der sich erh6hen- den Dynamik. Das zeigt die in der Spalte 5 der Tabelle aufgefiihrte und in der Figur 4 aufgezeichnete Zielbewertungszahl an. Wie schon friiher versteht sich die normierte Bewertungszahl als die Summe der Prozentguthaben an den durchlaufenen Quartals- enden. Dabei ist zu beachten, daB, wie es auch in der Praxis bei Erh6hungen geschieht [7], die Bewertungszahl durch die an jedem Quartalsende eintretenden Zuw/ichse der Bausparsumme zuriickgeworfen wird.

461

Warte- ze i t in Quartalen

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in Prozent

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0 2 4. 6 8 10 Obereinstimmende Ouarta lsprogress ion des Regelsparbeitrags, des TilgnJngsbeltrags und der Bausparsumme in Prozent

Figur 2. Mitttere Wartezeit im Beharrungszustand des volldynamischen Bauparens (Standardtarif, Anlagegrad 100%; keine wartezeitverkiirzenden Faktoren dritter Art).

Gem~ifl Spalte 6 der Tabelle und Figur 5 sind die Tilgungszeiten der Bauspardarlehen umso kiirzer, je hSher die Dynamik ist. Der anFangliche Tilgungsbeitrag betr/igt 6%0 der bei Zuteilung erreichten Bausparsumme; er kommt jedoch infolge der unterstellten Pro- gression des Tilgungsbeitrags gar nicht zum Zuge. Vielmehr ist angenommen, dab be- zogen aufdie dynamisierte Bausparsumme am Ende des 1. Tilgungsquartales bereits der Tilgungsbeitrag B �9 p3 ~ geleistet wird. Festzuhalten ist vor allem, daft die Progression des Tilgungsbeitrags offenbar st/irker wirkt als die Zunahme des anF~inglichen Prozentdar- lehens, die fiir den Fall steigender Dynamik bereits erw/ihnt worden ist. Infolgedessen f'~illt das individuelle Sparer-Kassen-Leistungsverhiiltnis (SKLV) gem/iS Spalte 7 der Tabelle noch etwas st/irker als die Zielbewertungszahl, wenn die Dynamik zunimmt (vgl. Figur 6). Das SKLV ist definiert als der Quotient aus den vom einzelnen Bausparvertrag an den Quartalsenden erzielten Guthabensaldensummen zu den Dar- lehenssaldensummen an den Quartalsbeginnen. UnerSrtert bleiben kann, welches individuelle SKLV ein potentieller Gesetzgeber, der sich an den mit Wirkung vom 1.1.1991 novellierten bausparteclmischen Bestimmungen des deutschen Bausparkassengesetzes orientieren wiirde [8], unter volldynamischen Be-

462

/~nspar- grad in

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I I I i I I I I I i i ~--

0 2 r 6 8 10 0bereins t imende Quartalsprogression des Regelsparbeitrags, d e s Tilgungsbeitraga und der Bausparsumme in Prozent

Figur 3. Anspargrad bei Zuteilung im Beharrungszustand des volldynamischen Bausparens (Stan- dardtarif, Anlagegrad 100%; kcine wartczeitvcrkiirzenden Faktorcn dritter Art).

dingungen als angemessen ansehen wiirde. Die Tatsache, dab in einem dynamischen Beharrungszustand yon statischen Bausparvertr~igen die individuellen SKLV auch ohne wartezeitverkiirzende Faktoren dritter Art 100% unterschreiten, ist bereits friiher nachgewiesen worden [9]. Dies best/itigt sich nunmehr auch unter volldynamischen Voraussetzungen (vgl. Spalte 7 der Tabelle und Figur 6). So erfreulich es auch ist, daft in einem volldynamischen Beharrungszustand mit zuneh- mender Progressionsrate aller dynamisierten Parameter zugunsten des Bausparers

- das Mindestsparguthaben, - der erforderliche Sparverdienst, d.h. die Zielbewertungszahl und - das individuelle SKLV

abgesenkt werden k6nnten, so sehr steht das Erfordernis verl/ingerter Sparzeiten im Verein mit sich abkfirzenden Tilgungszeiten einer Realisierung des Modells bei sehr hohen Dynamikprozents/itzen entgegen. Angesichts dessen eriibrigen sich auch Untersu- chungen dariiber, wie das Modell auf schwankende, insbesondere auf 1/ingere Zeit zuneh- mende oder abnehmende Progressionsraten reagieren wiirde.

463

Ztelbe- wertunSs- zahl

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14 16 18 20 Quartalsprogresslon - " - " " = ' r 1 6 2 des Ne~eseh~f t s In $

I I I I I i I I i I I

0 2 r 6 8 10 Obere tns t imende Qua r t a l sp ros re s s ion des R e g e l s p a r b e i t r ~ s , d e s T t l K u n g s b e i t r ~ s ~ d der ~ u s p a r s u m m e In Prozent

Figur 4. Zielbewertungszahlen im Beharrungszustand des volldynamischen Bausparens (Standard- tarif, Anlagegrad 100%; keine wartezeitverkiirzenden Faktoren dritter Art).

Bezeichnungen:

BS

BSk

A

Gk

r s

Do q Dk

III. F o r m e l n

individuelle Bausparsumme auf Zugangsniveau 1 zu Beginn (in den Berechnungen wird BS = 100% angenommen), individuelle Bausparsumme am Ende des k-ten Quartals in Prozent der Bauspar- summe BS, quartalsweiser nachschiissiger Sparbeitrag zu Beginn in Prozent tier Bauspar- summe BS, individuelles Guthaben am Ende des k-ten Quartals in Prozent der Bausparsumme BS, Zinsfaktor (quartalsbezogen) ffir das Guthaben, Sparzeit (Wartezeit) in Quartalen, Anfangsdarlehen (einschl. Daflehensgebiihr) in Prozent der Bausparsumme BS, Zinsfaktor (quartalsbezogen) fiir das Darlehen, individuelles Restdarlehen am Ende des k-ten Quartals in Prozent der Bauspar- summe BS,

464

Tl lgungs - z e i t in Ouar ta len

60-

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I I I l I I I I I I J

0 2 4 6 8 10 O b e r e i n s t i l a e n d e Q u a r t a l s p r o g r e s s t o n des R e g e l s p a r b e i t r a g s , d e s T i l g u n g s b e i t r a g s und der Bauaparsmme in Prozent

Figur 5. Tilgungszeit im Beharrungszustand des volldynamischen Bausparens (Standardtarif, An- lagegrad 100%; keine wartezeitverkiirzenden Faktoren dritter Art).

B quartalsweiser nachschiissiger Tilgungsbeitrag in Prozent der Bausparsumme bei Zuteilung, Tilgungszeit in Quartalen, Progressionsfaktor fiir das Neugesch/ift pro Quartal, Progressionsfaktor fiir den Sparbeitrag pro Quartal, Progressionsfaktor fiir den Tilgungsbeitrag pro Quartal, Progressionsfaktor fiir die Bausparsumme pro Quartal.

1. Formeliibersicht (Herleitung unter Ziffer 2)

t Pl P2 P3 P4

1.1. Kassengleichung fiir die Bestandsgr6Ben

1.1.1. Individuelles Guthaben Gk, gewichtet mit dem Zugangsniveau

rk- -P k ptl+ s_ k G k = A ' - - " fiir r~=p2 ,

r - P2 (1)

G k = A ' k ' p ~ - l " P t l + * - k ffir r = p 2 . (2)

465

SKLV

60.

50 .

40 .

30.

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des Neugesch~fts in Prozent 20

0 / I I I I I I I I l I 0 2 4 6 8 10

Obere lns t t . . . ende q l l a r t a l sp rog re s s ton des R e g e l s p a r b e i t r a g s , des Tl lgungsbe t t r ags und der Bausparsulme in Prozent

Figur 6. Individuelles Sparer-Kassen-Leistungsverh/iltnis (SKLV) im Beharrungszustand des voll- dynamischen Bausparens (Standardtarif, Anlagegrad 100%; keine wartezeitverkiirzenden Faktoren

dritter Art).

1.1.2. Individuelle Bausparsumme BS k , gewichtet mit dem Zugangsniveau

B S k = BS" p~- I . p~+,-k, (3)

1.1.3. lndividuelles Darlehen D k (k > 0), gewichtet mit dem Zugangsniveau

I ( --B~p3~ qk-t fiir Pa4=q D k = Do q - P 3 / q - - P 3 / "

Dk _--_ [D O . qk _ B �9 k" qk]. ptl-k fiir p a = q .

1.1.4. Individuelle Tilgungszeit t

(4)

(5)

B "P3 t = In : (In q - In P3) fiir P3 =1= q , (6 )

B" P3-- D o ( q - P 3 )

D O t = - - fiir P3 = q . (7)

B

466

1.1.5. Individuelle Guthabensaldensumme (]~ind, gewichtet mit dem Zugangsniveau der gerade zugeteihen Generation

~S,.d A [-/r'-I P~--/1-1 �9 p~ ~ r r4:P3, r4=1, P34=1 , r -p2 L --i p 2 - 1 J

(~ind A . [ S p ~ - l ] = i--p2 P2 - 1 "p~ f~r r = l und p2=kl,

F -s] ~ina- - r_ 1 L r -1 ] . p t t fiir P2=1 und r ~ l ,

A Is p~_, p ~ - i ] (5i. d . . . . . . . p~ fiir r--p2 und P24=1 P2 - - 1 P2 - 1

(8)

(9)

(10)

(11)

( s - l ) - s t S i , d = A ' - - p] fiir r = p 2 = l . (12)

2

1.1.6. Individuelle Darlehensaldensumme ~ind, gewichtet mit dem Zugangsniveau der gerade zugeteihen Generation

P3-q q - 1 P3-q p--~-i-J p~

[(o ,).,,-, , . , t] ~ind = 0 + B" 1 q q-----l- - 1 -----q" " p]

~ind = It " B " - ~ ] ' P]

ffir q r und P3~q,

(13)

fiir q4:1 und p3--1,

(14)

f/Jr q = l und P34 =1,

(15)

f/Jr q = p 3 = l . (16)

1.1.7. Guthabensaldensumme (~Koll im Kollektiv

~o, , - A" P ] + ~ "F r'-p~ P~-P~'I ffir r -P2 L r -P1 P2-Pl /

~K~ = A" Ptl+ 1 IS P ~ - l P l --P2 " " P2P~--P~ I - -Pl

~ K o l l -~" - - r-pt Lr-Pl

A'P~*X" Is ' P~ -1 P~-P~l P2 - P l P2 - - - ~ A

(~Koll "~"

r+p2, r+Pl , P2#Pl , (17)

fiir r=p Iund r=l=p2. (18)

ffir p2=pl und r4:pl , (19)

fiir r=p2 und pz=l=pl , (20)

467

(s - - l ) . s fiir r = p 2 = P l . 15Zo . = A" p]+,-i . 2 (21)

1.1.8. Darlehensaldensumme ~Zon On Kollektiv

fiir p l=q , P 3 ~ P l , ptl+ 1

~ 1 r fiir p3=Pl , pl4~q, q - P l

F qt -p~ 1 Pl ~3Zotl- . [ B . q Do.p~ [ fiir p3=q, Px4=q,

q - P i k q - P i J

t + l = t ' p ~ ' B . 2 f/ir P3 q = P l "

P3#Pl , Pa~=q, (22)

(23)

(24)

(25)

(26)

1.1.9. Kassengleichung

A " P~+_~x_i, F Pi--P] l IB.p3 Do" P~] = ~zo. (SKo" _ r - p ] ' * Pl P~ -Ptl r - p 2 k r - P l P 2 - P l A q - P l P a - P l

ffir r4=p2, r4:pl , p2=kpl, p14~q, Pa4~P1, Pa4:q- (27)

Fiir die Sonderfi i l le fo lgen die entsprechenden Kasseng le ichungen aus den zugeh6r igen Formeln.

2. Herleitung der Formeln

zu (1):

G1 = (A

G2= (A

G 3 = (A

. r 0 . pO). p ~ + , - 1 ,

. p . pO + A . r ~ p21) �9 p~+~-2,

. r 2 . p O + A . P . P I + A " r ~ p2 ) . p ~ + , - 3 ,

GR = A" P i ' r k - ' - ' "Pl + ' -k= A ' - - E P~'r- ' -pl +'-k i = 0 r i = o

rk - - -- 1_

r

468

zu (2): r k_ p~

folgt aus lim - - - k . p~- 1. r~p2 r--P2

zu (3):

siehe Skizze der H6henlage der Bausparsumme im volldynamischen Beharrungszustand.

ZU (4):

Annahme: B ist bzgl. der aktuellen Bausparsumme bei Zuteilung (= BSs) vorgegeben. Der erste Tilgungsbeitrag kommt erst am Ende des Quartals; deshalb gilt fiir diesen Tilgungsbeitrag BI: B 1 = B . p31; entsprechend B2=B. p~ usw.

D O = Anfangsdarlehen im Zeitpunkt s, H6henlage ptl; Wert also D O �9 p t ,

D1 = (D o . q _ B 1 ). p t - l = ( D o , q - B . p ~ - q ~

O2= (D o . q 2 _ a . p ~ . q - B. p2.qO).ptl-2 '

D3= (D o . q3_ a . p ~ . q2_ B-p2 . q l _ B ' p a - q O ) . p [ - a ,

El) ~-1 p~+l ] . p~-k Dk= o 'qk - -B" ~ .q~- i - i i-=O

qk - - - 1 "P~- = D o - q k - B . p 3 . q I ) 3 _ 1

q " . q_k_ pk-]. p~_k

= D ~ q - P 3 1

] = . qk + t" P' l - k I ( D o B : P3"~ B 'p~ §

q - -Pa / q - -P3 d "

zu (5):

folgt aus

und

zu (6):

I q k _ pk l " Ptl-k D k = D o . qk __ B �9 P3" q - P 3 d [siehe Beweis zu (4)]

qk _ p~ l i m - - = k ' q k - 1 ( k > 0 ) . P~q q - P 3

Da D t ---0 folgt aus (4): qt __ p~

B " Pa" - - - D o " q t . ( 2 8 ) q - P 3

469

Hieraus ergibt sich:

Do" q " ( q - P 3 ) - B . P3 " q' = - P ~ " B" P3,

qt. [B" P 3 - Do" (q - P3)] = p~" B" P3,

t ' l n q + l n [ B ' p 3 - D o ' ( q - P a ) ] = t . l n p 3 + l n ( B . P3),

ln(B. P3) - In[B- P 3 - Do" (q-P3)] t -

In q - In P3

B "P3 t = In : (In q - In Pa)-

B . P 3 - D o ( q - P3)

zu (7):

qt _ p~ qt- 1 Aus (28) und lim - - - t . folgt:

P3-*q q - P3 B �9 q " t " q t - 1 = D o . q t .

Do Hicraus ergibt sich: t -

B

(29)

zu (8):

Aus (I) ohne Gewichtung nach der ZugangshShe folgt:

s - , r k _ p ~ A ,-1 A ( i f - ! p ~ - l ) (~i.o= Z A" ~ (rk--pk2) k,r--1 1 "

k=O r - -p2 r--p2 k=O r -- P2 P2--

Nach Gewichtung von (~i.d mit p~ ergibt sich dic Behauptung.

zu (9): r s - 1

folgt aus l i m - r~l r--1

----S.

zu (10):

folgt aus lim p ~ - 1 p2~1 p 2 - 1

= S .

zu (11): s-1 k-l~ ) k=Eo (A. i= 0 p~" pk- i - 1 nach[SiehederSUmmendarstellungzugangsh6he] von G k ohnc Gewichtung (~ind

s - 1 s - 1

= X A ' k ' P ~ - ~ = A " X k ' P ~ -1 k=O k=O

470

[ S-lp~_l , - lp~_1 ,-1 ] = A . Y', + E + . - . + E p~-i

k = l k=2 k = s - 1

= A . P~+ ~-~ + . . . + E P~2 k- ')+(s- ' = k=O k=O

= A . [ P ~ - ' - _ I + p 2 . P ~ - 2 - 1 p~-2.P2 - 1 ] [_ p2 -1 p2 -1 + " ' + p2_ 1

A p~-I p p2--1 i

P2 -- 1 p~- 1 P2 --

Nach Gewichtung von ~ind mit p~ ergibt sich die Behauptung.

zu (12): s - 1 k - 1 )

~i"d----k~O( A" zi=ol [siehe Summendarstellung von Gk ohne Gewichtung nach Zugangshfhe]

,-1 ( s - l ) " s = 5Z A ' k = A ' - -

k=O 2

Nach Gewichtung von ~ind mit p~ ergibt sich die Behauptung.

zu (13):

Aus (4) folgt:

Damit ergibt sich:

�9

Dk = o" qk __ B �9 P3 q - - P3 _1 "

= . qk B " P3 ~ind 0 - - - -

~=o q--P3

q t 1 B �9 P3 q t 1 DO" - - - -

q - 1 q - P 3 q - 1

= ( D o + B ' P a ~ . q ' - I P 3 - q / q - 1

�9 qk. B'p3 P~l q--P3 /

B 'p3 p ~ - i - - - [ - - -

q - P 3 P3 - 1

B" P3 P ~ - I P 3 - q P3 - 1

Nach Gewichtung v o n ~ ind mit pt ergibt sich die Behauptung.

ZU (14): p~--I

folgt aus lira - - p3-.1 p3 -1

= t .

471

zu (15): qt _ 1

folgt aus lim q~l q - 1

= t .

zu (16):

Aus (5) ohne Gewichtung nach der Zugangsh6he und (7) folgt:

,-1 ( t - l ) �9 t ~i .d = Y~ D o - B ' k = t ' D o - B ' - -

k=O 2 t . B . t - B . - -

( t - l ) �9 t

Nach Gewichtung yon ~nd mit p] ergibt sich die Behauptung.

- B . t . - - ( t+ 1)

2

zu (17):

s-1 s-I

~ K o l l = Z Gk = Z - - k = 0

A

r - p 2

A �9 ( r k_p~) . p]+~-k k=O r - -p2

s - 1 r k _ p~ �9 P]+" E

k=0 p~

= _ _ . p~+S. r - p 2 r _ l

Pl

A - r ~ - p~ = - - . p~+~. r - p 2 r - p x

P x /

P_L_ 1 Pl

p~ - p~ -]

zu (18):

folgt aus lim r ' - p~ - s . p ] - 1. r'-* p l r - p l

zu (19):

folgt aus lim P 2 - Pl s p2"-' pl P2- -Pl

zu (20):

~ K o l l ~-"

s - 1 s - I

A ' k P ~ - I ' p ~ + s - k = A ' p ~ +1" Z k ' P ~ - I " P ~ - 1 - k k = O k = O

s - 1 s - 1 s - 1

= A . p t + l . [ k ~ l P ~ - , . p ~ - , - k + ~. p ~ - l . p ~ - X - k + . . . + 2 = k = 2 k = s - 1

p~-X. p ] - l - k ]

472

,,-3 p~+, ~ p~k- 1)+0,- 1) ] = A . p,+l. p~. p ] -2-k+ y: . p ] - a - k + . . . + .p~-k /k=O k=0 k=O

= A p]+X [ p ~ - l _ p ] - i p~-2_p~-2 1 �9 . + . . . + p~-2 P2-Px L P 2 ~ +P2 P2--Pl P2- -P l

~S s--I 1 A'p~+l p i l l ~ i s - i - . . . . P2 "Pl P2--Pl i=0

P2--Pl P2--Pl

zu (21):

S--1 ~5~oll = Z k=O

A" k" p]+S-1 = A" p~+S-1 . _ _ ( s - l ) �9 s

zu (22):

~ K o . = Z D k = ~ D o - - . qk+ . . . . k=0 k=0 q--P3] q--P3

t-1 = Z Do" qk. pl-k B" Pl" P3

k=0 q--P3 I t-f0 t-1 1 qk.p] -k-X_ y. p~. p~-k-1 k k=O

qt_p~ B .px .p3 I ~ _ p ~ p ~ _ p ] ] = P a " Do . . . .

q--P1 q--P3 -- Pa P3 --~P-~I d"

Wegen (28) ergibt sich:

~)Koll D O �9 p] B" Pl" P3

Px+ q - P 1 q -P1

D o �9 p] B ' Pl 'P3 - PI+

q - P 1 q -P1

D O 'p] B ' p l " p a P ~ - P ] = - - " P l +

q - P 1 q - P 1 P 3 - P l

= P - - - - ~ " " P 3 " - - Do. pt .

q - P 1 P 3 - P l

[ q t _ p ~ qt--P~ + (Ph--P]) ' (q--P0 ]

q----P~- q--P3 (Pa-- Pl) " (q -- pa)J

[ (P]-- P~)(P3--Pl) + (P~- P]) (q--P0 1 (q--P3) (P3--Pl)

473

zu (23):

, [io ~Koll = ~'~ 0 k=0

= " t ' p ~ + Do P l - P3/'

= t" Pi+ Do P I - P3,/

=Px LPi -P3 \ P 3 - P l

B~_Pa.~.p~+ B'pk 'p3"P~ -k]

P l - P 3 / Pt--P3

B.pa.px t-lZ p~.p~-k-1 Pt--P3 k=0

B 'p3"pi p~- ptl

P l -P3 Pa-Px

t" pt l- 1].

zu (24):

folgt aus lim p~ - p~tl - t. p~- 1 P3 ~ Pl Pa - Pl

zu (25):

Mit (11) ergibt sich:

t - 1 t - 1

~ )Kon= 2 D k = 2 k=0 k=0

(D O . q k B - q k . k)" p~-k

P l

q - P i

t - 1 �9 Do' ( q t - p t ) - Z B. qk .k .p~-k .

k=O

Analog zum Beweis zu (6) erh/ilt man:

~Koll Pl D o . (q t __ ptl) q - P l

Hieraus ergibt sich mit (29):

~Koll ~--- P l q - P l

B'q'Piq-Pl " I t ' q t - I

_ _ . ID ~ . qt _ Do. p~_ Do. q t at - B �9 q �9 - -

- q - P l p ~ I B'q'qt-p~q-pl D~

zu (26):

Aus (5) folgt:

t - 1 t - 1

~Koll= Y~ Dk = ~ k=O k=O

qt - p~ -]

d q - P i

qt __ p~ ]

Do. pt _ B. k ' p t - ~ ' p : = t" D O .p~- B.pt~-l .pl . - -

=t .p t l . IDo_B " t - l ] . 2

(t-- 1)" t

474

Mit (29) ergibt sich dann:

~Koll = t �9 ptl �9 [B �9 t - B �9 ~ - 2 1 ] = t " ptl" B " - - t + l

2

3. Bauspartechnische Kennzahlen

3.1. Anspargrad bei Zuteilung (Ansp)

Ansp = G$ BSs

x 100.

3.2. Zielbewertungsziffer ( BZ)

~ind BZ = • 100. BSs

3.3. lndividuelles SKLV

~ind SKLV = x 100. ~ind

L I T E R A T U R V E R Z E I C H N I S

[1] Vgl. Laux, Hans: Der dynamische Beharrungszustand des kollektiven Bausparens. Bl/itter der DGVM, April 1972, Band X, S. 419.

[2] Siehe dazu Laux Hans: Bausparen trotz Baukostenerhrhungen. Ansparmodelle zur Oberwin- dung steigender Bau- und Bodenpreise. Bl~itter der DGVM, Oktober 1976, Band XII, S. 331. Chancen und Grenzen eines dynamischen Bausparvertrages. B1/itter der DGVM, April 1978, Band XIII, S. 231. Ferner: Der dynamische Bausparvertrag. Betriebs-Berater, Beilage 6 zu Heft 14, 1979.

[3] Vgl. auch Laux, Hans: Dynamische Darlehenstilgung. Der langfristige Kredit, 1979, S. 234, sowie Laux, Hans/Wohlrabe, Hans-Jiirgen: Dynamische Darlehenstilgung durch geometrisch steigende Annuit/iten. Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathema- tiker, Heft 3, 1980.

[4] Vgl. Laux, Hans: Die Wirkung der wartezeitverkiirzenden Faktoren dritter Art im kollektiven Bausparen. B1/itter der DGVM, April 1973, Band XI, S. 31.

[5] Dargestellt u.a. in: Laux, Hans: Grundziige der Bausparmathematik, Heft 8 der Schriftenreihe Angewandte Versicherungsmathematik der DGVM, 1978, Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe.

[6] Siehe hierzu Laux, Hans: Raten- und Schnellsparer im Bausparkollektiv. Bl~itter der DGVM, Oktober 1979, Band XIV, S. 275.

[7] Der Verfasser verweist zu den Besonderheiten und Begriffen des deutschen Bausparens auf die vor kurzem erschienene 6. Auflage seines Buches: Die Bausparfinanzierung. Die finanziellen Aspekte des Bausparvertrages als Spar- und Kreditinstrument, 1992, Verlag Recht und Wirtschaft, Heidelberg.

[8] Vgl. Schiifer, Otto/Cirpka, Ekkehard: Bausparkassengesetz und Bausparkassenverordnung. Textausgabe mit Kurzanmerkungen zu den Neuerungen und den Amtlichen Begriindungen,

475

1991, Domus Verlag, Bonn. Ferner: Laux, Hans: Der neue Fonds zur bauspartechnischen Absicherung. B1/itter der DGVM, Oktober 1991, Band XX, S. 183.

[9] Siehe Laux, Hans: Das Sparer-/Kassenleistungsverh/iltnis im Bausparen. B1/itter der DGVM, Oktober 1984, Band XVI, S. 447.

Zusammenfassung

Volldynamisches Bausparen

In dem Beitrag wird erg~inzend zu friiheren Arbeiten, in denen die Auswirkungen einer Dauerpro- gression von Neugesch~ift im Bausparen, Regelsparbeitrag, Bausparsumme und Tilgungsbeitrag untersucht worden sind, ein Bausparsystem entwickelt, in dem planm~iflig alle genannten vier Parameter periodisch und geometrisch zunehmen. Die tabellarischen und graphischen Darstellun- gender Berechnungsergebnisse zeigen, dab zwar mit zunehmender Progression die finanzierbaren Bausparsummen ansteigen, die erforderlichen Anspargrade und die f~ir eine Zuteilung ausreichen- den Zielbewertungszahlen wie auch die individuellen Sparer-Kassen-Leistungsverhfiltnisse gesenkt werden krnnten, dab aber die mittleren Wartezeiten ansteigen und die Tilgungszeiten der Bauspar- darlehen abnehmen miiBten. Vor allem die sich verl~ingernden Wartezeiten diirften eine Verwirk- lichung des volldynamischen Bausparsystems verhindern.

Summary

Absolutely dynamic German Bauspar-system

Based on earlier investigations, this paper considers such contracts of a building society which follow proven German models under the assumption that constant annual escalation of the face values, of the standard saving rates and of the minimum amortization rates in front of a systemat- ically increasing volume of new business is allowed for. This test shows that increasing escalation (i.e. inflation) rates will substantially

- lengthen the required savings periods and - shorten the amortization periods

of the contract which is counterproductive in the light of the market experience in periods of high inflation.

476