FAKULT ¨ AT F ¨ UR MATHEMATIK Vorlesung im Wintersemester 2020/21 Vertiefungsmodul: Analysis und Numerik von Interpolationsr¨ aumen Prof. Dr. Gerhard Starke TV 4 Mo 12:30 – 14:00 Uhr WSC-S-U-4.01 (Beginn am 02.11.2020) Mi 10:15 – 11:45 Uhr WSC-S-U-4.01 TU 2 Mo 14:15 – 15:45 Uhr WSC-S-U-4.01 (Beginn am 09.11.2020) Falls die Veranstaltung nicht in Pr¨ asenzform im WSC m¨ oglich ist, findet sie in virtueller Form (BigBlueButton) zu den angegebenen Zeiten statt. In der Vorlesung werden Interpolationsr¨ aume eingef¨ uhrt und fundamentale S¨ atze dar¨ uber bewie- sen. Damit werden dann Aussagen ¨ uber die Regularit¨ at und Approximierbarkeit der L¨ osungen von Differentialgleichungen gemacht. Schließlich wird auf numerische Aspekte im Zusammen- hang mit interpolatorischen Sobolev-R¨ aumen eingegangen. Eine konkrete Fragestellung, die sich mit Interpolationsr¨ aumen beantworten l¨ asst, h¨ angt mit Randwertproblemen elliptischer (partieller) Differentialgleichungen zusammen. Diese sind unter geeigneten Voraussetzungen in dem Sobolev-Raum H 1 (Ω) enthalten (Satz von Lax-Milgram). Wie sieht nun der Raum der dabei auftretenden Randwerte auf ∂ Ω, { u| ∂Ω : u ∈ H 1 (Ω)} aus? Antwort: Es handelt es sich um einen wohldefinierten Interpolationsraum von Funktionen, die auf ∂ Ω “ein halbes Mal differenzierbar” sind: H 1/2 (∂ Ω). Vorkenntnisse aus der Funktionalanalysis sind hilfreich, aber nicht notwendig, da auf ben¨ otigte Resultate (ohne Beweis) ausf¨ uhrlich eingegangen wird. Aufbauend auf dieser Lehrveranstaltung ergeben sich spannende Themen f¨ ur Master-Arbeiten mit Bezug zur aktuellen Forschung an der Schnittstelle zwischen Analysis und Numerik. Literatur: S. C. Brenner, L. R. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods. 3rd Edition. Springer-Verlag, 2008. G. Leoni: A First Course in Sobolev Spaces. 2nd Edition. American Mathematical Society, 2017. (weitere Literaturangaben in der Lehrveranstaltung) Zuordnung zu den Schwerpunkten: Analysis, Numerische Mathematik Weitere (auch aktuelle) Informationen unter https://www.uni-due.de/mathematik/agstarke/teaching starke.php

Vorlesung im Wintersemester 2020/21 …...G. Leoni: A First Course in Sobolev Spaces. 2nd Edition. American Mathematical Society, 2017. Zuordnung zu den Schwerpunkten: Analysis, Numerische

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FAKULTAT FUR MATHEMATIK

Vorlesung im Wintersemester 2020/21

Vertiefungsmodul: Analysis und Numerik von Interpolationsraumen

Prof. Dr. Gerhard Starke

TV 4 Mo 12:30 – 14:00 Uhr WSC-S-U-4.01 (Beginn am 02.11.2020)Mi 10:15 – 11:45 Uhr WSC-S-U-4.01

TU 2 Mo 14:15 – 15:45 Uhr WSC-S-U-4.01 (Beginn am 09.11.2020)

Falls die Veranstaltung nicht in Prasenzform im WSC moglich ist, findet sie in virtueller Form(BigBlueButton) zu den angegebenen Zeiten statt.

In der Vorlesung werden Interpolationsraume eingefuhrt und fundamentale Satze daruber bewie-sen. Damit werden dann Aussagen uber die Regularitat und Approximierbarkeit der Losungenvon Differentialgleichungen gemacht. Schließlich wird auf numerische Aspekte im Zusammen-hang mit interpolatorischen Sobolev-Raumen eingegangen.

Eine konkrete Fragestellung, die sich mit Interpolationsraumen beantworten lasst, hangt mitRandwertproblemen elliptischer (partieller) Differentialgleichungen zusammen. Diese sind untergeeigneten Voraussetzungen in dem Sobolev-Raum H1(Ω) enthalten (Satz von Lax-Milgram).Wie sieht nun der Raum der dabei auftretenden Randwerte auf ∂Ω, u|∂Ω : u ∈ H1(Ω) aus?Antwort: Es handelt es sich um einen wohldefinierten Interpolationsraum von Funktionen, dieauf ∂Ω “ein halbes Mal differenzierbar” sind: H1/2(∂Ω).

Vorkenntnisse aus der Funktionalanalysis sind hilfreich, aber nicht notwendig, da auf benotigteResultate (ohne Beweis) ausfuhrlich eingegangen wird. Aufbauend auf dieser Lehrveranstaltungergeben sich spannende Themen fur Master-Arbeiten mit Bezug zur aktuellen Forschung an derSchnittstelle zwischen Analysis und Numerik.

Literatur:

S. C. Brenner, L. R. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods.3rd Edition. Springer-Verlag, 2008.

G. Leoni: A First Course in Sobolev Spaces.2nd Edition. American Mathematical Society, 2017.

(weitere Literaturangaben in der Lehrveranstaltung)

Zuordnung zu den Schwerpunkten: Analysis, Numerische Mathematik

Weitere (auch aktuelle) Informationen unterhttps://www.uni-due.de/mathematik/agstarke/teaching starke.php