Warteschlangen-Modelle in der Produktionsplanung – Möglichkeiten und Grenzen; Queueing models in production management;

DOI 10.1007/s11573-011-0470-yZ Betriebswirtsch (2011) 81:55–79

Zf B-SPECIAL ISSUE 4/2011

Warteschlangen-Modelle in derProduktionsplanung – Möglichkeitenund Grenzen

Klaus-Peter Kistner

Zusammenfassung: In der betriebswirtschaftlichen Literatur treten schubweise Versuche auf, dieWarteschlangentheorie für das Produktionsmanagement zu nutzen, verschwinden aber nach kurzerZeit wieder. Unter sehr einfachen Annahmen scheint die Warteschlangentheorie ein nahezu idea-les Instrument der operativen Planung zu sein; sobald man versucht, den Ansatz praxisgerecht zuverallgemeinern, stößt man auf erhebliche mathematische Schwierigkeiten. Im Folgenden werdenzunächst einige in der betriebswirtschaftlichen Literatur diskutierten Versuche vorgestellt, Warte-schlangenmodelle für das Produktionsmanagement zu adaptieren, und aufgezeigt, warum sie letzt-lich scheitern mussten. Im Anschluss daran wird versucht, einen Weg aufzuspüren, wie der einfacheFall der Reihenfertigung mit Hilfe warteschlangentheoretischer Ansätze abgebildet werden könnte:Zunächst wird die Reihenfertigung durch serielle Wartesysteme abgebildet und diese durch eineFolge weitgehend unabhängiger Stationen approximiert. Hierbei ergibt sich das Problem einer Ap-proximation von Wartesystemen mit generellen Zwischenankunfts- und Bearbeitungszeiten. DerLösungsweg, den die neuere Literatur geht, das Gesamtsystem als Markov-System zu betrachten,dürfte derzeit auf sehr kleine Systeme beschränkt sein.

Schlüsselwörter: Produktionsplanung · Reihenfertigung · Warteschlangentheorie ·Unternehmensforschung

JEL Classification: C02 · D24 · M11

© Gabler-Verlag 2011

Prof. em. Dr. K.-P. Kistner ( )Fakultät für Wirtschaftswissenschaften, Universität Bielefeld,Universitätsstraße 25, 33615 Bielefeld, DeutschlandE-Mail: [email protected]

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1 Einleitung: Rezeption der Warteschlangentheorie in Deutschland

Mit der Rezeption des Operations Research durch die deutsche Betriebswirtschaftsleh-re in den fünfziger und sechziger Jahren des vorigen Jahrhunderts – vgl. die deutschenÜbersetzung der Lehrbücher von Churchman et al. (1961) und Sasieni et al. (1962) −war unter anderem eine große Hoffnung auf die Möglichkeiten des Einsatzes im Produk-tionsmanagement verbunden. In einer Aufzählung von Wartesituationen in dem Aufsatzvon Schneeweiss (1960, S. 473 f.) findet man eine Reihe von Anwendungsmöglichkeitenin diesem Bereich. Albach (1969, S. 89 f.) schlägt ein einfaches Optimierungsmodell zurKonfiguration von Fertigungsanlagen auf der Grundlage einesWarteschlangenmodells vor.Auch die Habilitationsschrift von Ferschl (1964) weist bereits mit dem Titel „Zufallsab-hängige Wirtschaftsprozesse“ auf Anwendungsmöglichkeiten der Warteschlangentheoriein der Betriebswirtschaftslehre und insbesondere in der Fertigung hin.

In dieser Zeit schlug Professor Dr. Horst Albach mir als Diplomarbeit ein Thema ausder Warteschlangentheorie vor, einem Gebiet, das mich neben weiteren interessanten The-men zeit meines akademischen Lebens mit Erfolgen und Enttäuschungen begleitet hat.Ich möchte hier meine Dankbarkeit gegenüber meinem akademischen Lehrer ausdrückenund die Entwicklung einiger Anwendungen der Warteschlangentheorie im Produktions-management und damit einen wichtigen Aspekt meiner wissenschaftlichen Entwicklungbeispielhaft nachzeichnen.

Der anfängliche Optimismus hinsichtlich derAnwendbarkeit der Warteschlangentheo-rie wurde durch die Existenz von geschlossenen Lösungen für Wartesysteme mit Poisson-Input und exponentialverteilten Bearbeitungszeiten, d. h. von Wartesystemen vom TypM/M/1 (vgl. z. B. Morse 1958) ermutigt. Die große Flexibilität der für derartige Syste-me angemessenen Methode der Geburts- und Sterbegleichungen bzw. des Spezialfalls derSchlangengleichungen ermöglicht analytische oder zumindest numerische Lösungen fürdie mittlere Schlangenlänge und deren Varianz im stationären Zustand für Wartesystememit einer Bedienungsstelle mit unbegrenztem und begrenztem Warteraum, mit Prioritäten(Cobham 1954), mit Störungen des Bedienungskanals (Gaver 1962; Kistner 1974) odermit ungeduldigen Kunden (Barrer 1957) zu bestimmen; auch für Systeme mit mehrerenparallelen und hintereinandergeschalteten Kanälen (Hunt 1956) sowie Netzwerken vonBedienungskanälen (Jackson 1957) existieren derartige Lösungen. Geschlossene Systemewie z. B. das Maschinenwartungsproblem (Palm 1947) lassen sich ebenfalls mit Hilfe vonGeburts- und Sterbegleichungen lösen.

Auch für Wartesysteme mit beliebig-verteilten Bearbeitungszeiten und exponential-verteilten Zwischenankunftszeiten M/G/1 liegen geschlossene Lösungen für Systeme miteinem Bedienungskanal (Kendall 1951) und unterschiedlichen Schlangendisziplinen wiez. B. Prioritäten (Thiruvengadam 1963) und Betriebsstörungen (Gaver 1962; Kistner 1974)vor. Selbst Systeme mit beliebig verteilten, unabhängigen Zwischenankunftszeiten für ei-ne oder mehrere Bedienungskanäle liegen Lösungen für den Fall vor, dass die Bearbei-tungszeiten exponentialverteilt, die Zwischenankunftszeiten jedoch unabhängige, beliebigverteilte Zufallsgrößen sind (Kendall 1953).

Es scheint offensichtlich zu sein, dass Fertigungslinien durch serielle Wartesysteme,Werkstattfertigung durch Warteschlangen-Netzwerke abgebildet werden können. Der Op-

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timismus, diese Ergebnisse der Warteschlangentheorie im Produktionsmanagement an-wenden zu können, wurde jedoch bald getrübt, da sich deren Grenzen für die Anwendungin der Fertigung schnell zeigten.

Sieht man von Markov-Modellen ab, so sind für allgemeinere Strukturen nur in weni-gen Fällen geschlossene Lösungen bekannt. Ansätze zu numerischen Lösungen, die späterzu behandeln sind, erweisen sich zunächst als zu rechenaufwendig.

Besondere Schwierigkeiten ergeben sich daraus, dass die meisten Lösungsansätze diestochastische Unabhängigkeit des Inputs der Kanäle voraussetzt. Diese ist aber wederfür Fertigungslinien, noch für Montagesysteme, noch für divergierende Fertigung oderNetzwerke wie bei der Werkstattfertigung gegeben: Falls die Zwischenankunftszeiten unddie Bedienungszeiten exponentialverteilt sind, lassen sich solche Systeme leicht analy-sieren, indem man sie in Teilsysteme zerlegt, bei denen der Input nachgelagerter Stellengleich dem exponentialverteilten Output der vorgelagerten Stellen ist. Sind jedoch dieZwischenankunftszeiten in das System oder die Bearbeitungszeit einer Stelle nicht expo-nentialverteilt, dann ist der Abgang von den dazwischen arbeitenden Stellen meist nichtmehr stochastisch unabhängig. In diesem Fall helfen allenfalls Approximationen und diesehr komplexe Analyse des Gesamtsystems weiter.

Letztlich entsprechen viele Situationen in der Fertigung trotz oberflächlicher Über-einstimmung wegen der Planung des Produktionsprozesses nicht dem der Warteschlan-gentheorie zugrundeliegenden Paradigma: An die Stelle von grundsätzlich unanhängigerEreignisse tritt die Situation des „gestörten Fahrplans“: Die Ereignisse sollten eigentlichin fest vorgegebenen Abständen auftreten, sie verspäten sich vielmehr teilweise oder tretenmöglicherweise verfrüht auf.

Trotz der sich aus diesen Einwänden ergebenden Skepsis gegenüberAnwendungen derWarteschlangentheorie in der Fertigung befasst sich die angewandte Mathematik recht in-tensiv mit diesem Ansatz. Auch im Produktionsmanagement, wird immer wieder versucht,Wartesysteme und neuere theoretischer Entwicklungen auf diesem Gebiet zurAnalyse vonSituationen in der Fertigung einzusetzen. Im Folgenden sollen zunächst einige dieser An-sätze beispielhaft nachgezeichnet und kritisch beleuchtet werden.

Dabei werden nur Warteschlangen im stochastischen Gleichgewicht untersucht: Eswird also vorausgesetzt, dass die mittlere Zahl der Ankünfte/Zeiteinheit immer kleiner istals die mittlere Zahl der Bearbeitungen, die das System je Zeiteinheit durchführen kann.Weiter wird angenommen, dass das System schon so lange arbeitet, dass die Anfangsbe-dingungen keinen Einfluss mehr auf die Systemcharakteristiken haben.

2 Anwendungen der Warteschlangentheorie in der Fertigungswirtschaft

2.1 Einige praktische Anwendungen der Warteschlangentheorie

Wegen der oben geäußerten Bedenken gegenAnwendungen des Produktionsmanagementsfinden sich lange Zeit in der angelsächsischen und deutschen Literatur nur wenige An-wendungen der Warteschlangentheorie auf diesem Gebiet. Allerdings ist auf eine Rei-he von Veröffentlichungen zu betriebswirtschaftlichen Anwendungsmöglichkeiten in derehemaligen DDR hinzuweisen. Hierbei sind insbesondere Arbeiten an der Hochschule für

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Verkehrswesen Friedrich List in Dresden wie Potthoff (1965), Hertel (1986), Fischer undHertel (1990) zu erwähnen, die sich mit Anwendungen im Verkehrswesen befassten. MitAnwendungen im Bereich der Produktion befassen sich u. a. die Dissertation von Kluge(1977) und die Monographien von Krampe et al. (1974) und Kluge und Runge (1984).

Weitere frühe Anwendung von Wartesystemen findet man bei der Analyse der Auswir-kungen von Prioritäten einzelner Kunden bei Großrechenanlagen.

2.2 Das Modell von Karmarkar

Das Modell von Karmarkar (1987) verbindet einen einfachen warteschlangentheoretischenAnsatz mit dem klassischen Losgrößenmodell (vgl. auch Kistner und Steven 1990).

Es geht von folgenden Definitionen aus:

d Gesamtnachfrage: Mittlere Zahl der Einheiten, die während einer Zeiteinheit ankom-men

p Produktionsrate: Mittlere Zahl der Einheiten, die je Zeiteinheit bearbeitet werdenλ Mittlere Ankunftsrate der Loseτ Mittlere Rüstzeit je Losx Mittlere Bearbeitungszeit eines Losesμ Bearbeitungsrate eines Losesρ Kapazitätsauslastungq Losgröße: Zahl der Einheiten in einem Los

Zwischen diesen Größen bestehen folgende Tautologien (Karmarkar 1987, S, 412):

λ = d

q

x = τ + q

p

μ = 1

x= p

p · τ + q

ρ = λ

μ= λ · x = d

p+ d · τ

q

Unter den Annahmen, dass die Zwischenankunftszeiten und die Bearbeitungsdauern derLose exponentialverteilt sind und die Kapazitätsauslastung ρ < 1 ist, gilt für die mittlereSchlangenlänge

n = ρ

1 − ρ=

dp

+ d·τq

1 − dp

+ d·τq


Aufgrund der Formel von Little gilt für die mittlere Zeit, die sich ein Los im Systembefindet:

T = n

λ= τ + q

p

1 − dp

+ d·τq

Es lässt sich zeigen (Karmarkar 1987; Kistner 1998, S. 175), dass T in Abhängigkeitvon der Losgröße ein eindeutiges Minimum besitzt. Differenziert man T nach q, setztdie Ableitung gleich Null und löst nach q auf, dann erhält man für die Durchlaufzeitminimierende Losgröße (Rother 1998, S. 154)

q∗ =τ

[x · p + √

x · p3]

p − x

Durch Einführung einer geeigneten Kostenstruktur kann man in Analogie zum klassischenLosgrößenmodell eine kostenminimierende Losgröße bestimmen.

Karmarkar (1987, S. 416) bewertet hierzu das Endproduktlager mit bestandspropor-tionalen Lagerhaltungskosten cL und die Schlange vor der Maschine (Work in Process)mit k-fachen Lagerkostensatz.

k-fachen Lagerkostensatz (k < 1). Auf eine Bewertung wird verzichtet.Dann ist die optimale Losgröße gleich der Lösung der Optimierungsaufgabe: Zu be-

stimmen ist ein nicht-negatives Minimum von

C = k · cL · d · T + cL · q

2⇒ Min

Dabei ist die Beziehung zwischen Aufenthaltsdauer T und Schlangenlänge q zu berück-sichtigen:

T = τ + qp

1 − dp

+ d·τq

Dieses Optimierungsproblem ist numerisch leicht zu lösen. Für den Spezialfall k = 1/2 gibtKarmarkar (1987, S. 416) die exakte Lösung

qo = 2 · d · τ

1 − cL · d · τ

Das Modell von Karmarkar lässt sich mit Hilfe der Formel von Pollaczek/Khintchine leichtauf den Fall eines Systems mit Poisson-Input und beliebig verteilten Bearbeitungszeitenverallgemeinern. Es erscheint auf den ersten Blick ein fruchtbarer Ansatz zu sein, Los-größenmodelle mit warteschlangentheoretischen Aspekten zu verbinden. Es ist jedoch mitzwei problematischen Annahmen behaftet (Kistner 1998, S. 177):

1. Die Freigabe der Lose erfolgt in einem Poisson-Strom mit der Rate λ = d/q.2. Die Durchlaufzeiten der Lose, d. h. die Rüst- und Bearbeitungszeiten der Lose sind

exponentialverteilt mit Parameter

μ = 1

x= p

p · τ + q

60 K.-P. Kistner

Bei Karmarkar findet sich kein Hinweis darauf, wie die Bearbeitungszeiten der einzelnenEinheiten und die Rüstzeiten verteilt sind.

Die gesamte Durchlaufzeit D eines Loses ist nun aber gleich der Summe aus Bearbei-tungszeiten Bi der einzelnen Einheiten und der Rüstzeit R

D =q∑

i=1

Bi + R

Nimmt man an, dass die Einzelbearbeitungszeiten exponentialverteilt sind, dann ist dieLosbearbeitungszeit q-Erlang-verteilt; setzt man voraus, dass auch die Rüstzeiten expo-nentialverteilt sind, dann ergibt sich eine verallgemeinerte Erlang-Verteilung und kei-nesfalls eine exponentialverteilte Durchlaufzeit. Aber selbst wenn man beliebig verteilteGesamtbearbeitungszeiten betrachten und ein Modell vom Typ M/G/1 unterstellen würde,dann verlöre das Modell von Karmarkar seinen Reiz als stochastisches Modell: RelevanteLosgrößen sind meist so groß, dass aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes die Durch-laufzeiten nahezu normalverteilt mit verschwindend kleiner Standard-Abweichung seinwerden.

Karmarkar gibt ebenfalls keinen Hinweis, wie die Lose so zusammengestellt werden,dass sich unanhängig von deren Größe ein Poisson-Strom der freigegebenen Lose ergibt.Die einfachste Erklärung wäre, dass die einzelnen Aufträge mit exponentialverteilten Ab-ständen eingehen und gesammelt werden, bis die Losgröße q erreicht ist. Dabei ergibtsich aber dasselbe Problem wie bei den Bearbeitungszeiten: Der Abstand der freizuge-benden Lose ergibt sich als Summe von exponentialverteilten Zufallsvariablen, ist damitnicht exponentialverteilt, sondern q-Erlang-verteilt und konvergiert nach dem zentralenGrenzwertsatz mit steigender Losgröße gegen einen deterministischen Wert.

Eine andere Interpretation wäre, dass die einzelnen Aufträge in einer Warteschlangegesammelt werden, die laufend abgearbeitet wird, bis die Losgröße q erreicht ist. Dannwird der Bearbeitungsprozess für einen Rüstvorgang unterbrochen. Auch dieser Prozesskann nicht durch ein Wartesystem vom Typ M/M/1, sondern muss durch ein Wartesystemmit „Server-Vacation“ bzw. mit Betriebsstörungen (vgl. Kistner 1974) beschrieben werden.

Das Modell von Karmarkar, das Losgrößen- und Warteschlangentheorie kombinierenwill, ist also inkonsistent in seinen Annahmen.

2.3 CAN-Q

Ein interessanter Ansatz zur Abbildung der Werkstattfertigung und flexibler Fertigungs-systeme durch geschlossene Netzwerke von Wartesystemen ist das Modell CAN-Q vonSolberg (1977) (vgl. auch Buzacott und Shantikumar 1992), das in Deutschland insbe-sondere von Tempelmeier (1991) aufgegriffen wurde (vgl. auch Kistner und Steven 1990;Tetzlaff 1995). Das Modell hat folgende Struktur: In einem geschlossenenWarteschlangen-Netzwerk kreisen Paletten, die von einer Beladungsstation i = 1 mit zu bearbeitenden Auf-trägen bestückt und in Umlauf gebracht werden. In den Stellen i = 2, . . ., N werden dieAufträge bearbeitet; die Bearbeitungszeiten auf der Beladungsstation und den übrigenStellen sind exponentialverteilt mit Erwartungswert 1/μi . Nach Abschluss der Beladungwird die Palette mit Wahrscheinlichkeit pijm zu den Stationen j = 1, . . ., N zur Weiter-verarbeitung weitergereicht. Erreicht eine Palette die Beladungsstation wieder, dann wird


sie entladen, mit einem neuen Auftrag (aus einem unbegrenzten Bestand) bestückt undauf einen Weg durch das Netzwerk geschickt. Das CAN-Q-Modell wurde insbesonde-re zur Evaluation Flexibler Fertigungssysteme eingesetzt. Weiter wurde der Einfluss vonStörungen der Server auf das System untersucht (Vinod und Solberg (1984)).

Kistner und Steven (1990) setzten es im Rahmen der Hierarchischen Produktionspla-nung zur Abschätzung der Auswirkungen von Vorgaben der zentralen Planung für ausfüh-rende Fertigungsbereiche ein.

Für solche geschlossene Jackson-Netzwerke kann leicht ein endliches, lineares Systemvon Geburts- und Sterbegleichungen aufgestellte werden, das im stationären Fall einernumerischen Auswertung zugänglich ist. Insbesondere ein von Gordon und Newell (1967)vorgeschlagener rekursiverAlgorithmus ermöglicht leicht die numerische Bestimmung derstationären Systemcharakteristiken auch für größere Netzwerke.

Die Annahme, dass immer Aufträge in einem unbegrenzten Bestand verfügbar sind,ist vielfach wenig realistisch. Sie lässt sich jedoch auf den Fall eines Poisson-Stromsmit exponentialverteilten Zwischenankunftszeiten und einer konstanten Rate λ lockern.Hierzu schlage ich vor, einen Dummy-Kanal n = 0 mit exponentialverteilter Bearbeitungs-zeit und Erwartungswert 1/μo > λ einzuführen. Ankommende Aufträge müssen mit derWahrscheinlichkeit q diesen Verzögerungskanal durchlaufen und werden dann an dieBeladungsstation weitergegeben; mit der Wahrscheinlichkeit (1 − q) werden sie sofortfreigegeben. Durch die Beladungsstation werden sie dann wie im Grundmodell auf dienächste freie Palette geladen und in Umlauf gebracht. Wegen der Markov-Eigenschaftdes Ankunftsprozesses sind die Abstände der unmittelbaren Ankünfte vor der Beladungs-stationen exponentialverteilt mit Erwartungswert (1 − q)/λ, die Ankünfte vor dem Verzö-gerungskanal sind exponentialverteilt mit Mittelwert q/λ. Der Verzögerungskanal ist einMarkov-Wartesystem M/M/1, die Zeiten zwischen zwei Abfertigungen des Verzögerungs-kanals und damit die Zwischenankunftszeiten der Beladungsstation auf dieser Quelle sindebenfalls exponentialverteilt mit Erwartungswert q/λ. Wegen der Markov-Eigenschaftenbeider Ankunftsprozesse sind die Zwischenankunftsraten vor der Beladungsstation insge-samt exponentialverteilt mit der Rate λ.

Es verbleibt die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit einer Leerzeit des Verzögerungs-kanals q. Diese ist im stationären Fall gleich der Wahrscheinlichkeit, dass ein Wartesystemvom Typ M/M/1 leer ist:

q = Po = 1 − λ

μo

Der Verzögerungskanal ist ein einfaches M/M/1 Wartesystem; die mittlere Zahl der aufFreigabe wartenden Aufträge (einschließlich des gerade auf Paletten geladenen Auftrags)ist im stationären Fall bekanntlich

E [N ] = λ

μo − λ

Die mittlere Zeit bis zur Freigabe eines Auftrags (einschließlich der Beladungszeit) ist imstationären Fall

E[T ] = 1

μo − λ

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Das verbleibende System ist ein offenes Warteschlangen-Netzwerk mit einer endlichenZahl von Knoten. Die Geburts- und Sterbegleichungen können im stationären Fall daherals lineares Gleichungssystem leicht numerisch gelöst werden. Einen Ansatzpunkt für dieBehandlung des transienten Verhaltens könnte die Methode der Fortgesetzten Brüche sein(Parthasarathy und Lenin 2004, S. 57 ff.).

Das geschlossene Modell kann prinzipiell auch auf nicht-exponentialverteilte, unab-hängige Bearbeitungszeiten verallgemeinert werden. Ansatzpunkt hierfür könnte einmaldie Tatsache sein, dass man in diesen Fällen dieVerteilung der Zustandswahrscheinlichkei-ten in Produktform darstellen kann (vgl. Disney und Kiesler 1987), zum anderen bietet diePhasen-Typ Methode, auf die später einzugehen ist, eine Möglichkeit zur Lösung kleinerergeschlossener Warteschlangen-Netzwerke.

Einen Überblick über die Literatur zur Evaluation von Produktionsnetzwerken gebenSuri und Sanders (1993).

2.4 CONWIP

Eine neuere Anwendung eines Spezialfalls geschlossener Wartesysteme mit exponenti-alverteilten Bearbeitungszeiten bildet die Evaluation der CONWIP-Steuerung von Lini-ensystemen. Im einfachsten Fall liegt eine Reihenfertigung vor: Die Arbeitsvorbereitunggibt einen Auftrag frei, indem sie eine Karte mit den Merkmalen des zu bearbeitendenAuftrags in das System einspeist. Diese Karte begleitet den Auftrag von Maschine zu Ma-schine und wird nach dessen Abwicklung an die Auftragsfreigabe zurückgegeben. Diesegibt erst dann einen neuen Auftrag frei, wenn bei ihr eine Karte eingeht. Auf diese Weisesoll ein konstanter Bestand an Aufträgen im System (Work in Process) erreicht werden(Spearman et al. 1990; Hopp und Spearman 1996). Ein solches System kann mit Hilfeeiner Linie von Bearbeitungsstellen abgebildet werden; die Karten entsprechen Palettenim CAN-Q-System, die Auftragsfreigabe der Beladungsstation. Das System kann erwei-tert werden, indem das Überspringen von Stationen oder parallele Bearbeitungsstationenzugelassen werden. Es ist offensichtlich, dass dadurch die Struktur eines geschlossenenMarkov-Warteschlangen-Netzwerks nicht zerstört wird und damit eine Berechnung mitHilfe des Verfahrens von Gordon und Newell (1967) möglich ist. Zur Evaluation vgl. z.B. Frumiman et al. (2003); Enns (2008).

Allerdings ist auch hier die Annahme exponentialverteilter Bearbeitungszeiten erfor-derlich. Andernfalls wird man wohl auf die Simulation zurückgreifen müssen (vgl. hierzuMarek et al. 2002).

Warteschlangenmodelle können hier zum einen zur Kalibrierung der Parameter vonCONWIP wie der Zahl der kreisenden Karten, zum anderen zum Vergleich mit derKANBAN-Steuerung verwendet werden.

3 Zur Approximation von Warteschlangen

3.1 Abbildungen von Reihen- und Montagesystemen durch Markov-Modelle

In der Fertigung stellen Systeme mit einer Fertigungsstelle eher die Ausnahme dar. Esliegt nahe, Effekte in der Montagefertigung und in der Reihenfertigung mit Hilfe der


Warteschlangentheorie abzubilden. Sind die Zwischenankunfts- und Bearbeitungszeitenunabhängige, exponentialverteilte Zufallsgrößen, dann lassen sich die Reihenfertigungund die Montagefertigung leicht durch Mehrkanalmodelle der Warteschlangentheorie ab-bilden und lösen: In diesem Fall sind die Zwischenabgangszeiten einer Bearbeitungsstellewiederum unabhängige exponentialverteilte Zufallsgrößen mit dem Erwartungswert derInputabstände. Man kann daher die Reihenfertigung in eine Folge von unabhängigen Ein-zelkanälen vom Typ M/M/1 dekomponieren.Weiter gilt, dass dieAufspaltung von Poisson-Prozessen mit gegebenen Wahrscheinlichkeiten in zwei oder mehrere Teilprozesse wie-derum zu Poisson-Prozessen führt. Auch die Zusammenführung von Poisson-Prozessenführt zu einem Poisson-Prozess. Somit lassen sich auch Netzwerke von Wartesystemenund insbesondere Montageprozesse dekomponieren, wenn die Zwischenankunftszeitenunabgängige, exponentialverteilte Zufallsgrößen sind. Diese Eigenschaft ist z. B. Grund-lage für das oben beschriebene CAN-Q-Modell; sie ermöglicht jedoch auch die Abbildungvon Systemen der Montagefertigung durch ein Modell der Warteschlangentheorie.

Die Unabhängigkeit der Zwischenabgangszeiten geht jedoch verloren, sobald die Zwi-schenankunftszeiten nicht mehr exponentialverteilt sind. Cox und Smith (1967, S. 141)empfehlen in diesem Fall, gegebenenfalls die stochastische Abhängigkeit des Abgangs-prozesses zu vernachlässigen.

3.2 Der Output von Wartesystemen vom Typ M/G/1 und GI/M/1

Es stellt sich daher die Frage, ob und inwieweit insbesondere sequentielle Wartesystemedurch Folgen unabgängiger Stellen approximiert werden können.

Hierzu wären zwei Komponenten erforderlich:

1. Analyse des Abgangsprozesses: Da bekannt ist, dass zwei aufeinander folgende Zwi-schenabgangszeiten nicht unabhängig voneinander sind, müsste zumindest sicherge-stellt sein, dass die Korrelation so gering ist, dass sie vernachlässigt werden kann.Weitermuss die Verteilung der Zwischenabgangszeiten oder zumindest deren Mittelwert undVariationskoeffizient bekannt sein.

2. Analyse der Verteilung der Wartezeit bzw. der Schlangenlänge: Es sollten zumindestexakte Werte bekannt sein oder Schätzwerte ermittelt werden können.

Zunächst wird der Abgangsprozess von Wartesystemen des Typs M/G/1 und GI/M/1 imAnschluss an Conolly (1975, S. 107 ff.; vgl. auch Tadaki 1991, S. 56) betrachtet undinsbesondere die Formeln für Varianz und die Covarianz aufeinander folgender Abgängein Wartesystemen dieser Typen bestimmt:

Im Fall M/G/1 ist die Covarianz zwischen zwei aufeinander folgenden Zwischenab-gangszeiten D1, D2 gleich

Cov[D1, D2] =[

1

λ− E[S]

] [�∗

S′(λ)

�∗S(λ)

− 1

λ

]

Dabei ist

λ die AnkunftsrateE[S] der Erwartungswert der Bearbeitungszeiten

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�∗S(S) die Laplace-Transformierte der Verteilung der Bearbeitungszeiten

�∗S′(λ) deren Ableitung an der Stelle λ

Die Varianz zwischen zwei aufeinander folgenden Zwischenabgangszeiten ist bei Statio-narität der Warteschlange gegeben durch

Var[D1] = Var[D2] = Var[D] = Var[S] − E[S]2 + 1

λ2

Dabei ist Var[X] die Varianz der Zufallsgröße X.Der Korrelationskoeffizient zwischen zwei aufeinander folgenden Zwischenabgangs-

zeiten ist daher

r = Cov[D1, D2]√Var[D1] · Var[D2] = Cov[D1, D2]

Var[D]Für einige Verteilungen sind die Laplace-Transformierten und deren Ableitung bekannt,für andere können sie durch numerische Integration der definierenden Funktion numerischbestimmt werden

�∗X(s) =

∞∫

o

e−stϕX(t)dt.

In Tab. 1 sind die Extremwerte der Korrelation aufeinanderfolgender Zwischenabgangs-zeiten für einige Verteilungsfunktionen der Bearbeitungszeiten angegeben (vgl. Kalpakamund Kistner 2003 S. 170 ff.; Kistner und Kalpakam 2004, S. 133)

Diese Tabelle zeigt, dass die Korrelation in den meisten Fällen gering ist, lediglichbei der Hyperexponentialverteilung, die durch einen Variationskoeffizient größer als 1charakterisiert ist, im deterministischen Fall sowie der Gamma-Verteilung, die gegen dendeterministischen Fall konvergiert, ist der Korrelationskoeffizient relativ hoch.

Das legt die Vermutung nahe, dass der Variationskoeffizient der Servicezeiten einengroßen Einfluss auf die Korrelation zwischen zwei aufeinander folgende Zwischenab-gangszeiten hat.

Tab. 1: Extremwerte derKorrelation der Zwischenab-gangszeiten

Verteilung Bedingung Korrelation

Gleichverteilung 0,0088Dreiecksverteilung 0,0722Weibull-Verteilung Minimalwert − 0,0162

Maximalwert 0,0462Lognormalverteilung 0,0119Betaverteilung Minimalwert − 0,0119

Maximalwert 0,0801Hyperexponentialverteilung − 0,1250Gammaverteilung μ < 1 0,0256

μ > 1 0,1839Deterministisch 0,1839


Tab. 2: Variationskoeffizientund maximale Korrelationbei Erlang-Verteilung derBearbeitungszeiten

k CV 2 r

1 1,0000 0,00002 0,5000 0,02683 0,3333 0,04504 0,2500 0,05825 0,2000 0,06826 0,1667 0,07527 0,1429 0,08288 0,1250 0,09079 0,1111 0,093010 0,1000 0,097115 0,0667 0,111520 0,0500 0,120630 0,0333 0,135540 0,0250 0,138550 0,0222 0,1421∞ 0,0000 0,1839

Um das zu verdeutlichen, sind in Tab. 2 die Varianzen der Bearbeitungszeiten und dieKorrelation zwischen zwei aufeinander folgenden Zwischenabgangszeiten bei einigen In-stanzen der Erlangverteilung zusammengestellt.

Es zeigt sich, dass die Korrelation langsam mit dem quadrierten Variationskoeffizien-ten ansteigt und gegen 0,1839 für k→∞, den Fall deterministischer Bearbeitungszeiten,konvergiert.

Dies legt die Vermutung nahe, dass die Korrelation generell mit fallendem Varia-tionskoeffizienten ansteigt. Um diese Hypothese zu bestätigen, wurde eine große Zahlvon Phasen-Typ-Verteilungen untersucht, alsoVerteilungen, deren Laplace-Transformiertedurch eine Linearkombination von Potenzen der Laplace-Transformierten der Exponenti-alverteilung approximiert werden können.

�∗X(s) =

n∑i=1

qi

m∏j=1

(μi

μi + s

)i

mit 0 ≤ qi ≤ 1 undn∑

i=1

qi = 1

Durch diese Klasse von Verteilungen lässt sich ein breites Spektrum von allgemeinenVerteilungen beliebig genau approximieren.

Wegen des Rechenaufwandes konnten allerdings nur Phasentyp-Verteilungen mit we-nigen Parametern untersucht werden.

Insbesondere für die Doppelt-Exponentialverteilung mit Laplace-Transformierter

�∗S(s) =

(β

β + s

) (μ

μ + s

)

zeigte sich, dass der Korrelationskoeffizient nicht nur von dem Variationskoeffizientensondern auch von den übrigen beiden Parametern abhängt. Allerdings ist festzustellen,dass der Korrelationskoeffizient insgesamt recht klein ist und dass er bei Konstanz ei-nes Parameters unimodal mit Maximum im Inneren des Variationsbereichs der Parameterverläuft.

66 K.-P. Kistner

Für die untersuchten Verteilungen gilt insgesamt, dass für nicht zu kleinere Variations-koeffizienten die Korrelation zwischen zwei aufeinander folgenden Zwischenabgangszei-ten so gering ist, dass sie vernachlässigt werden kann.

Conolly (1975, S. 112) gibt ebenfalls Formeln für die Korrelation zwischen zwei auf-einander folgende Zwischenabgangszeiten für Wartesysteme mit beliebig verteilten, unab-hängigen Zwischenabstandszeiten und exponentialverteilten Bearbeitungszeiten an. Nu-merische Analysen von Kalpakam und Kistner (2003) und Kistner und Kalpakam (2004)haben gezeigt, dass ähnliche Ergebnisse wie für die den Fall Poisson-verteilten Inputs undbeliebig verteilten Bearbeitungszeiten zu erwarten sind. Allerdings liegt der Korrelations-koeffizient bei GI/M/1 meist etwas höher als bei M/G/1.

Diese Ergebnisse ermutigen dazu, Fertigungslinien durch Dekomposition von seri-ellen Wartesystemen zu approximieren. Insbesondere können Tandem-Wartesysteme mitzwei hintereinander geschalteten Servern vom Typ M/G/1/→/M/1 mit einem ersten Servermit exponentialverteilten Zwischenankunftszeiten und einem zweiten Server mit expo-nentialverteilten Bearbeitungszeiten approximiert werden. Als Beispiel führt Kistner undkalpakam (2009) einen Server mit anschließender Qualitätskontrolle an.

Allerdings ist fraglich, ob die Ergebnisse dieses Abschnitts auf Wartesysteme mitgenerellem Input und beliebig verteilten Bearbeitungszeiten übertragen werden könnenund damit eine näherungsweise Dekomposition von Fertigungslinien möglich ist.

3.3 Numerische Analysen allgemeiner Wartesysteme

Selbst wenn eine Übertragung dieser Ergebnisse auf mehrere Kanäle in Serie möglichwäre und diese in einzelne Bedienungskanäle dekomponiert werden könnten, so stellt sichals nächstes das Problem, Lösungen für Wartesysteme mit generellen Zwischenankunfts-und Bearbeitungszeiten zu finden, die zumindest einer numerischen Lösung zugänglichsind.

Hierfür kommt ein Ansatz von Cohen (1982, S. 323 f.); (vgl. hierzu auch Gnedenkound König 1984, S. 155 ff.) in Frage, der eine numerische Lösung für die mittlere Wartezeiteiner ankommenden Einheit ermöglicht, falls die Verteilungen der Zwischenankunfts- undBedienungszeiten zur Klasse K gehören, d. h. die eine Laplace-Transformierte in Formeiner gebrochenen rationalen Funktion bzw. des Bruches von zwei Polynomen

�∗A(s) = A1(s)

A2(s)�∗

S(s) = B1(s)

B2(s)

besitzen.Es sei

σ = {σ1, . . ., σn}die Menge der Wurzeln mit negativem Realteil von

A2(−s)

B1(s)= A1(−s)

B2(s)

Diese erhält man aus den Lösungen der Gleichung

A2(−s)B2(1) − A1(−s)B2(1) = 0


Aus den m Wurzeln σi mit Re(σi) < 0 erhält man für die mittlere Wartezeit der ankommen-den Einheiten (Cohen 1982, S. 324; vgl. Gnedenko und König 1984, S. 155)

E(W) = −B ′2(0)

B2(0)−

m∑i=1

1

σi

Aus dem Erwartungswert der aktuellen Wartezeit erhält man für die mittlere Schlangen-länge in Verallgemeinerung der Formel von Little für Wartesysteme des Typs G/G/m (vgl.Gnedenko und König 1984, S. 173), also insbesondere auch für K/K/1

n = E(N) = α [E(W) + E(S)]

Der Erwartungswert der Zwischenabgangszeiten ist gemäß der Kirchhoff’schen Regel imstationären Fall gleich dem Erwartungswert der Zwischenankunftszeiten:

E(D) = E(A)

Bei bekanntem Erwartungswert der Wartezeit kann man den quadrierten Variationskoeffi-zienten der Zwischenabgangszeiten CV 2(D) bestimmen (vgl. Buzacott und Shantikumar1992, S. 71):

CV 2(D) = CV 2(A) + 2

(E(S)

E(A)

)2

CV 2(S) + 2E(S)

E(A)

(1 − E(S)

E(A)

)

− 2

E(A)E(W)

(1 − E(S)

E(A)

)

Wobei E(S) der Erwartungswert und CV 2(S) der quadrierte Variationskoeffizient derBearbeitungsdauer sind.

Während die Bestimmung aller komplexer Wurzeln von Polynomen höherer Ordnunglange Zeit numerisch sehr aufwändig war, kann man jetzt auf geeignete Verfahren dernumerischen Mathematik zurückgreifen, wie sie z. B. von dem Programmpaket MATHE-MATICA (vgl. Wolfram 2003, S. 104 bzw. die elektronischen Handbücher zu neuerenVersionen) zur Verfügung gestellt werden. Allerdings ist bei den im vorliegenden Fallauftretenden Polynomen höherer Ordnung auf numerische Probleme zu achten, die zuunbrauchbaren Ergebnissen führen können. Bei den untersuchten Instanzen erwiesen sichdie Ergebnisse bei parametrischer Variationen als sehr stabil; in wenigen Ausnahmefällenkonnte Stabilität durch Veränderung des Parameters „Precision“ erreicht werden.

Ein weiterer Grund für eine mangelndeAkzeptanz dieses Lösungsansatzes dürfte darinbegründet sein, dass zu seinem vollenVerständnis tiefliegender Kenntnisse der Funktionen-theorie erforderlich sind.

3.4 Einfache Näherungsverfahren

Da exakte Verfahren zur Bestimmung des Erwartungswerts der Schlangenlänge für denallgemeinen Fall von Einkanalsystemen lange Zeit nicht verfügbar, numerisch nicht lös-bar oder zu aufwändig waren oder von potentiellen Anwendern nicht verstanden wurden,versuchte man sich mit einfachen Näherungsverfahren zu behelfen. Da die Formel von

68 K.-P. Kistner

Pollaczek/Khinchine (vgl. z. B. Cox 1967, S. 54; Ferschl 1964, S. 144, Gnedenko und Kö-nig 1984, S. 117) bei der Bestimmung dieser Größen für M/G/1 mit dem Erwartungswertund der Varianz der Bearbeitungszeiten auskommen, sucht man nach Approximationen,die neben diesen Größen nur noch den Erwartungswert und die Varianz der Zwischenan-kunftszeiten benötigen. Dies um so mehr, als in der Praxis des Produktionsmanagementsdie exaktenVerteilungen der Zwischenankunfts- und Bedienungszeiten nicht bekannt sind.

Bei Buzacott und Shantikumar (1992, S. 74) findet man drei Näherungsformeln für diemittlere Wartezeit E(W ) in Wartesysteme vom Typ GI/G/1, die auf unteren bzw. oberenGrenzen für die Wartezeit beruhen, und diese mit Hilfe der Ergebnisse für Wartesystemevom Typ M/G/m kalibrieren.Aus dem Erwartungswert der Wartezeit (einer ankommendenEinheit) lässt sich nach der Formel von Little die mittlere Zahl der wartenden Kunden unddie mittlere Schlangenlänge berechnen (vgl. Gnedenko und König 1984, S. 173); daherreicht es aus, die Formeln für die mittlere Schlangenlänge zu untersuchen:

n ≈[ρ2(1 + CV 2(S)

1 + ρ2CV 2(S)

] [CV 2(A) + ρ2CV 2(S)

2(1 − ρ)

]+ ρ (B-S-1)

n ≈[

ρ(1 + CV 2(S)

)

2 − ρ + ρCV 2(S)

] [ρ (2 − ρ) CV 2(A) + ρ2CV 2(S)

2(1 − ρ)

]+ ρ (B-S-2)

n ≈ ρCV 2(A)[1 − (1 − ρ) CV 2(A) + ρ2CV 2(s)

]

2(1 − ρ)+ ρ (B-S-3)

Darin sind

ρ = E(S)/E(A) die Verkehrsdichte undCV 2(A) CV 2(S) der quadrierte Variationskoeffizient der Zwischenankunfts-bzw. der

Bearbeitungsdauern

Eine weitere Näherungsformel, die auf der Dissertation B von Kluge (1977) beruht, findetsich bei Kluge und Runge (1984, S. 62):

n = ρ2

2(1 − ρ)

{[ρ1−CV 2(A)(1 + CV 2(A)) − CV 2(A)CV 2(S) + CV 2(A)

]}+ ρ

(K-R)

Eine letzte Approximationsformel, die auf Kremer und Langenbach-Beltz (1984) zurück-geht, gibt Tijms (1986, S. 302) an:

n ≈ g

(CV 2(A) + CV 2(S)

2

) (ρ2

1 − ρ

)+ ρ (K-LB)

mit

g =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

exp

[−2(1 − ρ)

3ρ·

(1 − CV 2(A)

)2

CV 2(A) + CV 2(S)

]falls CV 2(A) < 1

exp

[−(1 − ρ) · CV 2(A) − 1

CV 2(A) + 4CV 2(S)

]falls CV 2(A) > 1


Um zu prüfen, ob und inwieweit diese Approximationen hinreichende Ergebnisse liefern,wurden in sehr umfangreichen Untersuchungen die Ergebnisse dieser Schätzungen mitLösungen für Wartesysteme des Typs K/K/1, für die exakte Lösungen verfügbar sind, ver-glichen. Hierbei wurden jeweils der maximale und der durchschnittliche Fehler bestimmt.

Eine wichtige Unterklasse von K umfasst die Phasen-Typ-Verteilungen (PH). Ausrechentechnischen Gründen habe ich mich auf Verteilungen mit maximal vier Parameternund Potenzen der auftretenden Polynome auf maximal zehn beschränken müssen. Da sichherausstellte, dass insbesondere der Einfluss des Ankunftsprozesses von Bedeutung ist,lag der Schwerpunkt bei der Untersuchung bei Wartesystemen vom Typ PH/DE/1, wobeiDE für die Doppelt-Exponentialverteilung

ϕS(t) = βμ

(e−μt

β − μ− e−βt

β − μ

)

mit der Laplace-Transformierten

�∗S(s) = βμ

(β + s)(μ + s)

steht, ein rechnerisch einfach zu behandelnder Fall der Phasentyp-Verteilungen.In umfangreichen numerischen Berechnungen wurde die Güte der Näherungsformeln

für Wartesysteme vom Typ K/K/1 anhand exakter Ergebnisse geprüft. Die Resultate lassensich wie folgt zusammenfassen (vgl. Kistner 2007, S. 386)

1. Die Güte der Approximationsverfahren hängt nicht nur von den Erwartungswerten undden Variationskoeffizienten der Zwischenankunftszeiten und der Bearbeitungszeitenab, sondern wird sehr stark von dem Verteilungstyp und der jeweiligen Parameterkom-bination beeinflusst. Generelle Aussagen über den Fehler von Schätzungen sind daheräußerst problematisch.

2. Der Einfluss der Verteilung der Bearbeitungszeiten auf den relativen Fehler der Ap-proximationen ist deutlich geringer als der der Verteilung der Zwischenankunftszeiten.Die Approximationsformeln (B-S-1), (B-S-2) und (K-LB) liefern im Allgemeinen bes-sere Ergebnisse; keines der Verfahren dominiert jedoch das andere. Deshalb lag derSchwerpunkt der Untersuchungen beim Einfluss der Zwischenankunftszeiten auf denApproximationsfehler.

3. Dabei zeigt sich folgendes:• Der quadrierte Variationskoeffizient der Zwischenankunftszeiten liegt über eins:

Dann liefert (K-R) unakzeptable Resultate; für viele Parameterwerte divergiertder relative Fehler. (B-S-3) liefert ähnlich schlechte Ergebnisse. Im Vergleich mit(B-S-1) und (B-S-2) schneidet dann auch (K-LB) schlecht ab: Lediglich bei Varia-tionskoeffizienten nahe bei eins, schneidet diese Formel besser ab. Grundsätzlichist festzustellen, dass dieApproximationsformeln nur bei Variationskoeffizienten inder Nähe von eins brauchbare Ergebnisse liefern. Wo die Grenzen dieses Intervallsliegen, hängt jedoch sowohl von der Verteilung als auch von deren Parametern ab.Grundsätzlich lassen sich kaum generelle Aussagen machen, man kann allenfallswie Buzacott und Shantikumar (1992, S. 75) feststellen, „dass der Versuch, die Wir-kungsweise eines Wartesystems mit einem sehr variablem Ankunftsprozess . . . nur

70 K.-P. Kistner

mit den beiden ersten Momenten zu bestimmen, vergeblich ist“. Ihre Feststellung,dass die Approximationen sehr gut arbeiten, wenn CV 2(A) < 2 ist (Buzacott undShantikumar 1992, S. 74), kann jedoch durch Gegenbeispiele widerlegt werden.Das bei Kistner (2007) für die Hyperexponentialverteilung vorliegende Ergebniswurde auch für andere Verteilungen vom Typ PH/PH/1 bestätigt.

• Liegt der quadrierte Variationskoeffizient unter eins, dann liefern fast alle Vertei-lungen brauchbare Approximationen. Es gibt allerdings Instanzen, bei denen dierelativen Fehler im Grenzbereich liegen. Insgesamt schneiden B-S-1 und KL-Bbesser ab. K-R liefert jedoch für manche Instanzen bessere Ergebnisse.

• Liegt der quadrierte Variationskoeffizient der Zwischenankunftszeiten nahe beieins − grob gesprochen im Intervall (0.5, 1.0) − dann ist (B-S-1) vorzuziehen;falls hingegen CV 2(A) < 0.5, dann liefert (K-LB) besserer Ergebnisse. Es ist aller-dings festzustellen, dass es Verteilungen gibt, bei denen beide Näherungsverfahrenfür sehr kleinen Variationskoeffizienten der Zwischenankunftszeiten schlechtereErgebnisse liefern.

Ist derVariationkoeffizient der Zwischenankunftszeiten kleiner gleich eins, dann liefern dieauf Mittelwert und Variationskoeffizienten der Zwischenankunftszeiten beruhenden Ap-proximationen in der Regel brauchbare Ergebnisse. Es dürfte jedoch sinnvoll sein, stattdes-sen aus vorliegenden Daten die entsprechenden Verteilungsfunktionen durch Phasentyp-Verteilungen zu approximieren und daraus die mittlere Wartezeit nach der oben angespro-chenen Formel von Cohen (1982, 324) zu bestimmen.

3.5 Möglichkeiten der Approximation von Systemen der Reihenfertigung

Dieser Überblick über Möglichkeiten zur numerischen Analyse serieller Wartesystemezeigt die Grenzen einer Bestimmung des Verhaltens von Systemen der Reihenfertigungmit Hilfe der Warteschlangentheorie auf. Zwar kann die prinzipielle Abhängigkeit desOutputprozesses eines Kanals sowohl in den Fällen M/G/1 und GI/M/1 vernachlässigtwerden, so dass ein Wartesystem im Tandem vom Typ M/G/1/→/M/M durch Zerlegungin zwei Kanäle vom Typ M/G/1 und GI/M/1 approximiert werden kann. Ob die Ergeb-nisse von Conolly (1975, S. 107 ff.) auf Systeme vom Typ GI/GI/1 übertragen werdenkönnen, ist jedoch fraglich. Selbst wenn dieses möglich ist, bedarf es numerischer Ver-fahren zur Lösung von Systemen vom Typ GI/G/1. Zwar bietet das Verfahren von Coheneinen numerischen Lösungsansatz für Wartesysteme vom Typ K/K/1, d. h. für Verteilun-gen, deren Zwischenankunftszeiten eine Laplace-Transformierte besitzen, die durch einegebrochene rationale Funktion darstellbar sind. Einerseits ist die numerische Bestimmungder mittleren Wartezeit sehr aufwändig und sehr anfällig gegenüber Rundungsfehlern, an-dererseits setzt sie die Kenntnis der Dichtefunktion voraus. In der Realität sind meist nurBeobachtungsdaten verfügbar, aus denen zwar leicht Mittelwert und Variationskoeffizi-ent berechnet werden können, die Schätzung der Dichtefunktion ist jedoch ebenfalls sehraufwändig.

Die Anwendung von Approximationsformeln, die nur von Mittelwert und Varianzabhängen ist, nicht immer möglich.

Die Zwischenabgangszeiten einer Stelle sind identisch mit den Zwischenankunfts-zeiten des Folgekanals. Um dessen Schlangenlänge zu approximieren, benötigt man zu-


mindest den Mittelwert und den Variationskoeffizienten der Zwischenabgangszeiten derliefernden Stelle. Der Mittelwert der Zwischenabgangszeiten einer Stelle ist im stocha-stischen Gleichgewicht gleich dem Mittelwert der Zwischenabgangszeiten. Für den Va-riationskoeffizienten der Zwischenabgangszeiten sind aber im Allgemeinen weder exakteErgebnisse noch der Variationskoeffizient bekannt.

Damit scheinen die Möglichkeiten einer Dekomposition von Systemen der Reihenfer-tigung mit einfachen Verfahren der Warteschlangentheorie sehr begrenzt zu sein. EinenLösungsansatz könnte vielleicht ein auf der Traffic-Analyse beruhendes Dekompositions-verfahren von Heindl (2001) und Heindl und Telek (2002) sein, der auf der Analyse derTätigkeitszeit der einzelnen Kanäle beruht und die Korrelationsstruktur des Abgangspro-zesses der Stationen explizit berücksichtigt. Wie der Vergleich mit den Ergebnissen vonSimulationsläufen zeigt, scheint die Methode gute Approximationen zu liefern. Sie be-ruht jedoch auf höheren Verfahren der Theorie der stochastischen Prozesse und scheint sokomplex, dass ihre betriebswirtschaftliche Anwendung in naher Zukunft zweifelhaft seindürfte.

3.6 Die Phasen-Typ-Verteilung in der Warteschlangentheorie

Ein Ansatz, der es ermöglicht, das Verhalten von Warteschlangen-Netzwerken und insbe-sondere seriellen Wartesystemen simultan zu analysieren, nutzt die Eigenschaften derPhasentyp-Verteilungen (PH). Diese sind dadurch charakterisiert, dass ihre Laplace-Transformierten durch Konvexkombinationen von Potenzen der Laplace-Transformiertender Exponentialverteilung dargestellt werden können:

�∗X(s) =

n∑i=1

qi

m∏j=1

(μi

μi + s

)i

mit 0 ≤ qi ≤ 1 undn∑

i=1

qi = 1

Ihre Dichtefunktion ergibt sich als Konvexkombination von Dichten der Exponentialver-teilung mit unterschiedlichen Exponenten μi Ungewichtungsfaktoren qi .

Die einzelnen Elemente lassen sich physikalisch wie folgt interpretieren (Erlang 1917):Potenzen von μi /(μi + s) entsprechen hintereinander geschalteten Phasen eines Bedie-nungskanals bzw. eines Ankunfts-Regelungskanals mit exponentialverteilten Phasendau-ern; Konvexkombinationen qμi /(μi + s) und (1 − q)μk/(μk + s) entsprechen parallelenPhasen, die mit Wahrscheinlichkeit q bzw. (1 − q) gewählt werden. Der Ankunfts- undder Bedienungsprozess und damit das gesamte Wartesystem entsprechen daher einemNetzwerk von Ankunfts- und Bedienungsphasen jeweils mit exponentialverteilter Ver-weildauer.

Ein naheliegender Lösungsansatz beruht darauf, den Fluss durch ein solches Warte-system als ein System von Geburts- und Sterbegleichungen darzustellen und daraus dieerzeugenden Funktionen bzw. die z-Transformation aus einem System von linearen Diffe-renzengleichungen zu bestimmen. Bei beschränktem Warteraum kann man dieses Problemauf die Lösung eines Systems linearer Gleichungen zurückführen und daraus durch Dif-ferentiation die Zustandswahrscheinlichkeiten, den Erwartungswert und höhere Momentebestimmen. Bei unbeschränktem Warteraum gelingt die Lösung des Systems von Diffe-renzengleichungen nicht immer. In diesem Fall kann man die Lösung durch ein System mit

72 K.-P. Kistner

endlichem Warteraum approximieren, gegebenenfalls ist der Schwanz der Verteilung derZustandswahrscheinlichkeiten durch eine geometrische Reihe zu approximieren (Neutsund Takahashi 1981).

Dieses Vorgehen lässt sich im Prinzip auch auf Wartesysteme mit hintereinanderge-schalteten und parallelen Bearbeitungsstellen übertragen, indem man die einzelnen Be-dienungskanäle wiederum in ein übergeordnetes Netzwerk integriert (vgl. z. B. Sharma1973).

Diesem Lösungsansatz sind jedoch recht enge Grenzen gesetzt: Zum einen wird mitzunehmender Phasenzahl die Konstruktion des Netzwerkes bzw. die Enumeration allerZustände und der Beziehungen zwischen diesen sehr aufwändig, zum anderen werdendie Zustandswahrscheinlichkeiten bei großer Phasenzahl sehr klein, so dass numerischeProbleme bei der Lösung der Geburts- und Sterbegleichungen auftreten.

Ein elegantererAnsatz beruht auf der Methode der eingebetteten Markov-Kette, die aufKendall (1953) zurückgeht. Wegen der Markov-Eigenschaft aller auftretenden Prozessereicht es zur Bestimmung der Systemcharakteristiken aus, die Zeitpunkte der Übergängevon einem Zustand in den anderen zu betrachten. Das Verhalten des Systems kann daherdurch eine Markov-Kette beschrieben werden (vgl. Neuts 1994; Stewart 2009).

Die Analyse eines solchen Systems erfolgt in vier Schritten (vgl. Valakevicius 2000):

1. Definition der möglichen Zustände des Systems: Aufstellung des Warteschlangen-Netzwerks

2. Bestimmung der Menge der möglichen Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten:Übergangswahrscheinlichkeiten der Markov-Kette

3. Bestimmung der Gleichgewichts-Wahrscheinlichkeiten der Markov-Kette:In dem homogenen Gleichungssystem

(E − P)p = 0

ist eine Zeile durch die Normierungsbedingung∑i∈E

pi = 1

zu ersetzen. Dabei sind P die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten, E die ent-sprechend Einheitsmatrix und p der Vektor der Wahrscheinlichkeiten der Zustände.

4. Berechnung der Systemcharakteristiken, insbesondere der mittleren Schlangenlängebzw. der mittleren Wartezeit: Da es sich bei einem PH/PH/1-Wartesystem um einMarkov-Wartesystem „ohne Gedächtnis“ handelt, ist der Erwartungswert der Schlan-genlänge in allen Zeitpunkten, in denen ein Ereignis eintritt, gleich der mittleren Schlan-genlänge. Diese ergibt sich als

n =∑i∈E

pin(E)

wobei E die Menge der möglichen Ereignisse und n(E) die Zahl der Einheiten sind,die sich im Zeitpunkt des Ereignisses im System befinden.


Die beiden ersten Schritte sind problemabhängig. Darin liegen die Stärke und die Schwächedes Verfahrens. Einerseits ist es möglich, dieses an sehr viele Situationen anzupassen,andererseits kann das selbst bei einfachen Situationen rechenaufwändig werden.

DasVerfahren lässt sich prinzipiell auch auf ein der Reihenfertigung entsprechendes se-rielles Wartesystem und ein die Werkstattfertigung abbildendes Warteschlangen-Netzwerkübertragen. Allerdings wächst die Komplexität des Problems, d. h. die Zahl der möglichenEreignisse und der Beziehungen zwischen diesen mit der Zahl der Stellen, schnell an, sodass nur kleine Systeme mit Hilfe der Phasentyp-Methode untersucht werden können.

ZurApproximation beliebiger nicht degenerierter Verteilungsfunktionen, die über demIntervall [0, ∞) definiert sind, schlägt Valakevicius (2000) folgendes Verfahren vor, dasauf den ersten drei Momenten m1, m2, m3 der Verteilung beruht.

Es sei

X ={

X1 mit Wahrscheinlichkeit p2

X1 + X2 mit Wahrscheinlichkeit p1

eine Zufallsvariable sowie X1 und X2 exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameterμ1 bzw. μ2. Dann ist die Dichtefunktion von X

ϕX(t) = μ1e−μ1t + p1μ1

p1μ2 − μ1

[μ1e

−μ1t − p2μ2e−p2μ2t

]

Die Laplace-Transformierte ist gegeben durch

�∗X(s) = 1

μ1 + s− p2

1μ21

(μ1 − p1μ2)(μ1 + s)+ p1p2μ1μ2

(μ1 − p1μ2)(s + p2μ2)

Wie man sieht, ist �∗X(s) die Laplace-Transformierte einer PH-Verteilung.

Die Parameter der Verteilung μ1, μ2, p1, p2 erhält man bei Momentanpassung alsLösung eines komplexen nicht-linearen Gleichungssystems (vgl. Valakevicius 2000):

μ2 = g2 − g21

g31 − 2g1g2 + g3

μ1 =1 + μ2g1 ±

√(1 − μ2g1)

2 + 4μ22(g2 − g2

1)

2g1 − 2μ2(g2 − g21)

p1 = μ2(μ1g1 − 1)

μ2(μ1g1 − 1) + μ1

p2 = μ1

μ2(μ1g1 − 1) + μ1

wobei

gk = mk

k! k = 1, 2, 3

Haskose et al. (2002) verwenden einen ähnlichen Ansatz zur Evaluation von Systemen derReihen- und der Werkstattfertigung.

74 K.-P. Kistner

4 Ergebnisse

Im ersten Hauptteil des Beitrags wurden drei Anwendungen der Warteschlangentheorieaus dem Produktionsbereich vorgestellt, die in der Betriebswirtschaftslehre diskutiert wur-den: Das CAN-Q-Modell von Solberg, die Anwendung von Warteschlangen in Serie zurEvaluation und Kalibrierung des Steuerungssystems CONWIP und die Bestimmung deroptimalen Losgröße mit Hilfe eines einfachen Warteschlangenmodells im Anschluss anKarmarkar. CAN-Q geht von einem geschlossenen Warteschlangen-Netzwerk mit expo-nentialverteilten Service-Zeiten aus, lässt sich aber auch so modifizieren, dass ein offenesMarkov-Netzwerk zugrunde gelegt werden kann. Die Abbildung von CONWIP erfolgtmittels eines geschlossenen Systems, ermöglicht aber auch Variantenfertigung und Über-springen von Stellen. Das Modell von Karmarkar geht von der mittleren Schlangenlängein einem Wartesystem vom Typ M/M/1 aus. Allerdings wird nicht erklärt, wie die Ratedes Inputstroms variiert werden kann. Nimmt man an, dass das durch Akzeptieren neuerKundenkreise erfolgt, dann konvergiert der Ankunftsprozess nicht gegen einen Poisson-Prozess, sondern sehr schnell gegen einen deterministischen Prozess. Setzt man hingegenvoraus, dass aus einem Poisson-Strom Einheiten nur mit einer bestimmten Wahrschein-lichkeit w zur Verarbeitung zugelassen werden, dann ergibt sich für jedes w aus demIntervall[0,1] wieder ein Poisson-Strom der zugelassenen Einheiten, so dass tatsächlichdie Inputrate in einem bestimmten Intervall variiert werden kann.

Für alle drei Modelle ist wesentlich, dass alle auftretenden Prozesse durch exponen-tialverteilte Zeiten zwischen den Ereignissen charakterisiert sind. Diese Annahme dürfteaber für die Produktion auch nicht annähernd erfüllt sein, vielmehr ist dort mit anderenVerteilungen der Zwischenankunfts- und Bearbeitungszeiten zu rechnen. Bei mehrstu-figer Produktion kommt erschwerend hinzu, dass die Zwischenabgangszeiten, die dieZwischenankunftszeiten der nachfolgenden Stellen definieren, nicht unabhängig sind.

Im zweiten Hauptteil wurde untersucht, ob und inwieweit serielle Wartesysteme, dieSysteme der Reihenfertigung abbilden, analysiert werden können. Hierzu wurde zunächstgeprüft, ob solche Wartesysteme näherungsweise durch eine Folge von unabhängigeneinzelnen Stellen approximiert werden können, die nur dadurch miteinander verbundensind, dass der Output einer Stelle Input der darauf folgenden Stelle ist. Dazu wurden zweiFragestellungen behandelt:

1. Kann der Abgangsprozess, bei dem die Zwischenabgangszeiten im Allgemeinen nichtvoneinander unabhängig sind, näherungsweise durch eine Folge voneinander unabhän-giger Zwischenabgangszeiten beschrieben werden?

2. Sind die in der Betriebswirtschaftslehre üblichen Näherungsverfahren für die mittlereSchlangenlänge und deren Variationskoeffizient hinreichend genau, um daraus denVariationskoeffizienten der Zwischenabgangszeiten zu approximieren?

Mit Hilfe eines Verfahrens von Conolly (1975, S. 107 ff.) konnte gezeigt werden, dassdie Korrelation zwischen zwei aufeinander folgenden Zwischenabgangszeiten in Warte-systemen vom Typ M/G/1 und GI/M/1 sehr gering ist, wenn der Variationskoeffizientder Bearbeitungszeiten bzw. der Zwischenankunftszeiten nicht zu niedrig ist. Damit kön-nen Tandem-Wartesysteme vom Typ M/G/1/→M/1 durch Dekomposition in zwei einzel-ne Wartesysteme gut analysiert werden; auch die mittlere Schlangenlänge von Tandem-


Wartesystemen vom Typ M/G/1/→/G/1 lässt sich ebenso approximieren, wenn eine ge-eignete Näherungsformel für die mittlere Schlangenlänge bzw. der mittleren Wartezeit zurVerfügung steht (vgl. Kistner 2009).

Es bleibt allerdings offen, ob sich die geringe Korrelation der Zwischenabgangszeitenauch auf allgemeine serielle Wartesysteme übertragen lässt. Selbst wenn die Korrelationder Zwischenabgangszeiten auch im allgemeinen Fall gering ist und die Approximati-onsverfahren für die Schlangenlänge im Wartesystem GI/G/1 anwendbar sind, setzt dieDekomposition serieller Wartesysteme weiter voraus, dass Näherungsverfahren für denVariationskoeffizienten der Zwischenabgangszeiten benötigt werden. Eine solche Schät-zung ist nicht bekannt.

Damit scheint eine Dekomposition von seriellen Wartesystemen, die die Reihenfer-tigung abbilden, mit herkömmlichen Verfahren der Warteschlangentheorie nicht möglichzu sein. Ein komplexes Dekompositionsverfahren für Warteschlangen-Netzwerke wurdeallerdings von Heindl (2001) und Heindl und Telek (2002) vorgeschlagen.

Schließlich können Warteschlangen-Netzwerke und Phasentyp-Verteilung der Zwi-schenankunftszeiten mit begrenzten Warteräumen durch Konvexkombination von Pha-sen mit exponentialverteilter Dauer auf Markov-Wartesysteme zurückgeführt und ge-löst werden. Die Lösung kann dann als Approximation für Warteschlangen-Netzwerkemit unbegrenztem Warteraum verwendet werden. Phasentyp-Verteilungen können fast al-le Verteilungen mit hinreichender Genauigkeit abbilden. Dieser Weg wurde neuerdingsz. B. von Haskose et al. (2002) beschritten. Allerdings steigt der Formulierungs- und Lö-sungsaufwand mit der Problemgröße sehr schnell an, so dass dieses Verfahren für größereSysteme der Reihenfertigung ausscheidet.

Es ist daher fraglich, ob serielle Wartesysteme zur Abbildung der Reihenfertigung underst recht Warteschlangen-Netzwerke zur Analyse der Werkstattfertigung geeignet sind.Hierfür könnten allenfalls Lösungsansätze wie der von Heindl (2001) in Frage kommen.

Im Bereich des Produktionsmanagements scheinen Warteschlangenmodelle nur füraggregierte Systeme, die alle Produktionsstationen umfassen, und lediglich den Input, denThroughput und den Output des Gesamtsystems betrachten – Missbauer (1998) nenntdiese „Production Units“ – von Bedeutung sein.

Für größere Systeme der Reihenfertigung und erst recht der Montage- und der Werk-stattfertigung wird man wohl auf die Simulation zurückgreifen müssen. Hierfür steheninsbesondere das sich an der Struktur von Wartesystemen orientierende System SIMAN(vgl. hierzu: Tempelmeier 1991) und die recht komfortable Benutzeroberfläche Arena(1998) zur Verfügung.

Selbst der Vorschlag, Markov-Modelle wie CAN-Q zur Kalibrierung von Simulati-onsmodellen zu verwenden, erscheint mir wegen der großen Unterschiede, die sich schonzwischen den Systemcharakteristiken von M/M/1 und M/G/1 zeigen, wenig erfolgver-sprechend zu sein. Hierfür auf Näherungsformeln zurückzugreifen, ist zumindest proble-matisch, wenn man keine Vorstellungen von dem Verteilungstyp der Bearbeitungszeitenhat.

Eine gewisse Bedeutung von Warteschlangenmodellen für die Produktion liegt al-lerdings in strukturellen Aussagen: So orientieren sich viele Simulationsverfahren – wiez. B. SIMAN und ARENA − stark an den durch Warteschlangenmodelle vorgegebenenStrukturen.

76 K.-P. Kistner

Eine wichtige strukturelle Aussage der Warteschlangentheorie ist darin zu sehen, dasseine Kapazitätsauslastung von 100 % nicht mit einer gleichgewichtigen Produktion mög-lich ist, sobald auch nur bei einem der zugrundeliegenden Prozesse zufällige Schwankun-gen nicht vermieden werden können. Diese Erkenntnis, in der Sowjetunion im Anschlussan Pollaczek verbreitet, wurde für die Planung in den sozialistischen Länden von Bedeu-tung.

Mit Hilfe struktureller Aussagen der Warteschlangentheorie ließen sich auch der Ver-lauf der Betriebskennlinien von Wiendahl (1987, S. 246) ohne umfassende Simulations-experimente begründen: Die Verkehrsdichte ist ein Maß für die Kapazitätsauslastung. Beieiner Verkehrsdichte von Null ist die mittlere Schlangenlänge gleich Null. wenn sie gleicheins oder größer ist, divergiert das System. Zwischen beiden Werten steigt sie monoton an,bei vielen Wartesystemen sogar konvex. Erhöht man die Rate der freigegebenen Aufträge,dann steigt die Kapazitätsauslastung zwar monoton an; da sie sich jedoch asymptotischdem Wert eins nähert, muss dies mit abnehmenden Zuwächsen der Kapazitätsauslastungverbunden sein. Lässt man die Freigaberate bei gegebener Bearbeitungsrate konstant, dannsteigt die Leistung theoretisch linear und erreicht eine Obergrenze bei einerVerkehrsdichtevon eins. Wegen der mit den überproportional ansteigenden Warteschlangen, d. h. Zwi-schenlagern, verbundenen Friktionensverlusten wird der lineare Anstieg der Ausbringunggebremst, so dass der von Wiendahl (1987) beobachtete abnehmende Anstieg der effekti-ven Bearbeitungsrate zu erklären ist. Die Warteschlangentheorie kann allerdings nur dengenerellen Verlauf der Betriebskennlinie erklären; da aus den oben geschilderten Grün-den eineAbbildung eines komplexen Produktionsablaufs durch ein Warteschlangenmodellwenig erfolgversprechend zu sein scheint, wären also Simulationsexperimente weiterhinerforderlich, um betriebsindividuelle Betriebskennlinien zu ermitteln und die Stellgrößender belastungsorientierten Auftragsfreigabe zu kalibrieren.

Mit diesen Ergebnissen der Warteschlangentheorie wird letztlich auch das von Guten-berg (1979, S. 216) festgestellte Dilemma der Ablaufplanung erneut theoretisch bestätigt.

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Queueing models in production management

Abstract: Production Management often tried to apply queueing models to describe the flow ofproducts and parts. These approaches usually apply very simple queueing models. Due to mathema-tical problems implied by general waiting line models, an adaptation to real life problems fails often.In this paper, some simple models discussed in production management are presented and it is shownwhy they failed to be generalized. Afterwards, we try to find a way how to model the simple case offlow shop production using generalized queueing models: First decomposition of serial waiting linesand approximation of the system by a sequence of independent stations. Afterwards the approachof recent literature to consider again the entire system simultaneously is sketched, and it is arguedthat these approaches are restricted as well to small problems.

Keywords: Production management · Flow shop · Queueing theory · Queues in series

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Warteschlangen-Modelle in der Produktionsplanung – Möglichkeiten und Grenzen; Queueing models in production management;