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W a s b e d e u t e t die Separ ierbarke i t der H a m i l t o n s c h e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g fiir d ie Per iod iz i t~ t

e iner B e w e g u n g ?

Von E. Fues in Stuttgart.

3lit einer Abbildung. (Eingegangen am 3. 0ktober 1925.)

w 1. Die eindeutige Separierbarkeit der I tamil tonschen partiellen Differential- gleichung wird in der Literatur hRufig als Kennzeiehen des bedingt periodisehen Bewegungstyps bezeichnet. Sie ist zwar hinreiehend, aber nieht notwendig ftir mehrfache PeriodizitRt. Auch ist vielfach die Ansicht vertreten, das zur eindeu- tigen Separation notwendige Koordinatensystem sei durch die physikaliseh ausge- zeiehneten Grenzfl~ehenscharen der Bahabereiche gegeben. Das trifft zwar in allen bekannten p raktisehen F~llen infolge gewisser Symmetrieeigenschaften der ttamiltonsehen Funktion zu, ist aber nicht mathematisch notwendig. w 2. Als notwendiges und hinreiehendes Kennzeiehen bedingt periodischer Bewegung ergibt sieh, abgesehen yon Grenzf~llen, die ,Inte~ierbarkeit" derselben, d.h. die Existenz yon f unabh~ngigen, endlich vieldeutigen, ersten Integralen, welehe den Impuls-

vektor als Funktion der Lage aUein bestimmen.

w 1. Wenn man ein allgemeines Kennzeichen fi~r die mehrIache

Periodizitat einer Bewegung aus ihrer t t a m i l t o n s c h e n partiellen Diffe-

rentlalgleichung aufstellen will, und einer viel~ach ausgesprochenen Er-

~ahrtmgsregel folgend, zunachst die Separlerbarkeit der Gleichung dafiir

verantwortlich macht, stN]t man au[ folgende Schwierigkeit:

Es sei S(q l . . . qf cq. . . af) ein belieblges vollstandiges, oder auch

(ffir feste ~) part.lkul~res Integral der H a m i 1 t o n schen Differential-

gleichung

0 q r q l " ' " q ~ g (

Mau denke sich fiber dem Lagenraum der q~ in einer weiteren Dimension

die Funktion S aufgetragen. Die so erhaltene f-dimensionale Fl~che sei

ira folgenden kurz als ,,Wirkungstlache" bezeichnet, einmal in Erinnerung

an die Bedeutung yon S als Wirkungsfunktion f 2 T d$ in manchen F~llen,

zweitens tun damit gleichzeitig ihre Invarlanz gegeaiiber Koordinaten- transformationen zum Ausdruck zu bringen. ~[an kann nun leicht zeigen, da$ es i m m e r ein Koordinatensystem gibt, in welehem S in eine Summe

yon Funktionen zerf~llt, die einzeln nut yon ie einer Koordinate abh~ngen:

s = : ~ Sk(Qk~, . . . @, so daft der u-re [mpuls

OS OS~

P~ - - 0 Q~. ~ 0 Ok

E. Fues, Was bedeutet dic Scpar ie rbarke i t usw. 78.q

Funktion von Q~ allein wird, was gleiehbedeutend ist mit Separation der

Variablen in der Hami l tonschen Funktion. Dazu wahle man als eine Schar yon Koordinatenflachen Qi ~ const

die ( f - - 1)-dimensionaten Niveauflaehen S ~- constder Wirkungsfl~che. Man setze also

~1 = s (ql - . . qt ~1 . . . @ ~ t~. (1)

Wei~er wahle man v511ig willkiirlich irgendwelche Schnittflachenscharen

. . . . . . . . . . . . . , (13 Qf = ft (q~ ' ~r ~1 . - - @ ,

&ran ist im aeuen Koordinatensystem

O S 1 fiir k ~ - 1,

O Qk 0 ~iir 1; - - 2 . . , f,

also unabhangig yon allen Qk. Aueh noeh wenn man dureh beliebige

lineare Transforraat.ionen neue Koordinaten

einftihrt, gilt Os - - - - ~ e o n s t : 0 Q~

und sehliel~lieh kaam man jedes dieser Systeme noch beliebigen Maflstabs-

~n derungen ~ F ' Q~-' k (Qk) (3)

unterwerfen, ohne die Eigenschait

a s

o Q~.' = ~ ; (r

zu verletzen, Es existiert also fiir )ede beliebige Wirkungsflfiehe eine unendliche Fiille yon Separationskoordinatensystemen und sie alle haben ersichtlich nichts nail den Grenzen des Bahnbereiehs zu tun. Die Frage, ob feste Bahngrenzen vorhanden sind, und ob mehrfache Periodizi~a~ vor- liegt, wurde iiberhanpt noch nieht beriihrt.

Doch wiire es ver~riiht~ die elngangs erwahnte ]~ri~hrungsregel schon Yi]r unrichtig zu halten, denn sie meint stinsehweigend, meist olme dal] dies erwahnt wird, gar nicht Separation der Variablen schlechtweg, sondern e i n d e u t i g e S e p a r a t i o n mi t t t i l f e d e s s e l b e n K o o r d i n a t e n s y s t e m s in a l l en A b s c h n i t t e n tier Bewegung . Wieviel weitergehend diese Forder~mg ist, wird leieht dentlich an ~rgend eLner Bewegung mit ausge- sprochenen Librationen. z. B. der des raumlichen anisotropen Oszillators.

790 E. Fues,

0 S Ffir den Hin- und Rfickgang ieder Koordinate hat Pk ~-~ O q~' also

die ~qeigung der ~irkungsfiache gegen die qk-Achse, verschiedene Werte. Zur Unterseheidung bezelehnen wlr sie mlt 1% und ~ . Die drei Funk-

tionspaare 191 P-71, ~2~-~, Pa~s ermSglichen dann die Konstruktion yon 2 s ~ - 8 verschleden gestalteten Wirkungsfi~chen fiber demselben Bahn- beroich. Dieienige Wirkungsflaehe, welehe ftir beliebig lange Zeiten das Wirkungsintegral der Bewegung dlrekt abzulesen gestattet, setzt sich aus vielen Blgttern fibereinander zusammen. Zwei aufeinanderfolgende Blatter besitzen einen gemeinsamen Rand, dessen Proiektlon R auf den q-Raum, der Verzweigungsort der Wirkungsfanktion, zusaramenfallt mit einer der Librationsgrenzen. Die oszillierende Bewegung erfordert in perlodlsehem Wechsel die Aufelnanderfolge yon Pk mit ~-Blat tern, so dal] dieselbe Bla~tsor~e immer in Viel[achen elnes Grundabstands sich wlederholt. Belm raumlichen Oszillator sind drei solcher Grundabstande, die drei Periodizitgtsmoduln der Wirkungsfunktion, in die Wirkungs- flaehe eingebaut. Sie sind niehts anderes als die drei charakteristischen Konstanten Jk der Bewegung, also die ,, Wirkungsvuriablen ".

Wie K n e s e r 1) gezeigt hat, ist ein soleher raehrfach periodiseher Aufbau der Wirkungsflache notwendig und hlarelehend verbunden mit mehrfacher zeitlieher Periodizitgt der Bewegung. tJbrigens folgt der

perlodische Aufbau notwendig immer dann, wenn nut eine endliche Anzahl versehieden gestalteter Blgtter der Wirkungs~nktion vorhanden shad. Die festen R~nder ergeben sich aus der Forderung, dal] sieh zwei au[-

O8 einandeffolgende Blgtter wegen des stetigen Ubergangs der I% ~ -0q-~

in ihnen nich~ sehneiden, sondern beriihren mfissen. Das iiihrt aueh zwingend zu einer bestimmten Anfeinanderfo]ge der Blatter and damit zu periodischem Anfbau, wenlgstens wenn nicht einzelne der Rander zu- sammen-, oder ins Unendliehe fallen, was wir hier ausschliefien wollen. Die Uberlegungen lassea sleh leicht auf dlese Fglle ausdehnen. Unter Aul]eraeht]assung dieses Ausnahmefalls kSnnen wit also sagen: E in n o t w e n d l g e s und h l n r e i c h e n d e s K e n n z e i c h e n b e d i n g t pe r io - d i s c h e r B e w e g u n g i s t die E x i s t e n z n u r e n d l l e h vJe le r ve r - s e h i e d e n g e s t a l t e t e r B l a t t e r der W i r k u n g s f l a c h e .

Ist nun dlese Formulierang identisch mit der eindeutigen Separier- barkeit tier t t ami l tonsehen Differentialgleiehung und geben die Seharen

1) Math. Ann. 84, 277, 1921.

Was bedeu~eg die Separierbarkeit usw. 791

fester Bahngrenzen R wirklich das Separa~ionskoordinatensystem? Es ist oftmals ausgefiihrt worden, und bier itberfliissig zu bemerken, dai~ die eindeutige Separation yon 1t, abgesehen yon Bewegungen, die ins Unend- liche verlaufen, auf den bedingt periodischen Typus fiihrt. Dal3 abet umgekehrt, wenigstens mathematisch, die eindeutige Separierbarkeit yon H n i c h t n o t w e n d i g aus der Existenz endlich vieler verschiedener Blatter der Wirkungsflache folgt, sieht man so ein:

Am Anfang dieses Paragraphen wurde gezeigt, wie iedes einzelne Blatt einer Wirkungsfl~tche unendlich viele Separationskoordinaten- systeme aufzufinden erlaubt, die freilich zunachst nur far diesen Zweig der Wirkungsfunktion gelten. Es waren aber bei der Konstruktion des ersten Separationssystems in Formel (1') noeh ( f - - 1) Flgchenscharen Q~ . . . Of willkiirlich gewahlt. Wahlt man sie, ahnlich wie Q1, in Ubereinstimmung mit den Niveaufliichen welterer ( f - - 1 ) Zweige tier Wirkungsfunktion, die wir dutch obere Iadizes unterscheiden wollen, also

Ok = S(k) ~qt . . . q f )

so ist ein a l l en d iesen Zwe igen g e m e i n s a m e s S e p a r a t i o n s s y s t e m gefunden. Auch hierauf kSnnen noeh die Trans[ormationen (2) und (3) angewendet werden, ohne dal] diese Eigensehaft verloren geht. Man mull es aber als einen ganz besonderen, freilich hgufigen, Spezialfalt betrachten, wenn eines dieser Systeme noch mit einem Separations- system eines weiteren Zweiges ,:on S zu- sarmnenfallt, wenn vollends, wie beim raumliehen Oszillator, alle aeht Zwelge durch dasselbe Koordinatensystem separiert werden. Da$ dies geschleht, liegt an der besonderen Symmetrie der Hami l tonschen Funktion, bzw. der Werte iJk mid 1-~k"

. \ \ \ \

" 7 - / - - . - X \ , ! - ; , - ~ , _ c _ - / X " \

~=GOnS~ Fig. i.

Und welche Rolle splelen die Rg.nder /~ unter dea Separations- systemen ?

Beschriinken wir nns einen Augenblick auf den Fall zweier Freiheits- grade und betrachten wit zwei Bl~itter der Wirkungsflache in der Nghe ihres gemeinsamen Randes. Die Figur stellt die Yrojektion derselben auf die ql q,-Ebene dar, die beiden iibereinanderproiizierten Blittter sind kenntlieh an den beiden Niveaulinienscharen Q1 ----- const und Q2 ~ const, die, wie oben gezeigt wurde, ]eden~alls ein gemeinsames Separationssystem der beiden Blgtter bilden. Da aber aueh ein durch bellebige lineare

792 E. l%es,

Transformation daraus hervorgehendes System, z .B. das System der

Netzdiagonalen brauchbar ist, so geh~rt der Rand R, auf dem sich die Niveaulinlen beider BlOtter berfihren, notwendig diesem speziellen gemein- samen Separationssystem an. Aueh bier mul3 man es als einen Spezialfall

ansehen, wenn gerade das Diagonalensystem identisch ist mit dem allen Zwelgen yon S gemeinsamen Separatlonssystem. Und eine weitere Be- sonderheit i st es, wenn aufler dem festen Rand ~ aueh alle iibrigen (R')

selner Schar diesem System angehSren.

Man kommt also zu dem Schlul~, dab die e i n d e u t i g e S e p a r i e r - b a r k e i t der H a m i l t o n s e h e n D i f f e r e n t i a l g l e i e h u n g z w a r hin- r e i e h e n d , abe r nieh~ m a t h e m a t i s e h n o t w e n d i g i s t fi ir die b e d i n g t e P e r i o d i z i t K t e ine r B e w e g u n g . E x i s t i e r t f e r n e r ein

e i n d e u t J g e s S e p a r a ~ i o n s s y s t e m , so g e h S r e n i b m die f e s t e n

L i b r a t i o n s g r e n z e n tier Bahn und e r s t r e c h t die g a n z e n S c h a r e n

y o n L i b r a t i o n s g r e n z e n n i c h t n o t w e n d l g an.

w W a s i s t nun abe r e i n K r i t e r i u m fiir b e d i n g t pe r i~ - d i sehe B e w e g u n g , das den t i e~e ren G r u n d fiir die a n S e r o r d e n t -

l i c h e G e s e t z m a l ] i g k e l t d e r s e l b e n e r k e n n e n u n d g l e i c h z e i t i g v e r s t e h e n l~l]t, w a r u m man da r i i be r h i n a u s n i e m a l s a n d e r e Be- w e g n n g s t y p e n h a t v o l l s t a n d i g u n t e r s n e h e n k S n n e n ? (Wir zlehen wleder nur im Endllchen verlaufende Bewegungen in Betraeht und

betrachten die ins Unendliche reichenden als Grenzfall yon diesen.) Das in w 1 aufgestellte Kennzeiehen endlich vieler verschiedener Blatter der Wirkungsflache ist fiir ein tieferes Verstandnis unbefriedigend.

Folg~ man einer allgemeinen Integrationsmethode der H a m i 1 t o n -

schen Differentialgleichung, die yon g a c o b i stammt, und ~ibersetzt sie ins ansehaulich Geometrisehe, so he]it sich der Zusammenhang auf.

J a c o b i gibt folgendes Verfahren an : Man bereehne aul]er dem Energieintegral H (p q) ~ gz das wit der Symmetrie wegen im folgenden

schreiben~ weitere Integrale der Bewegung. Zun~chsf ein Integral

~2 ~ ~2 aUS (F, F~) ~ o.

F 1 F~) bedeutet dabei den P ois s o n sehen Klammerausdruck

t ~ 0 qk d qk O~ok')'

Was bedeutet die Separierbarkeit usw. 795

so dal] sich $~ nur aus einer l i n e a r e n par~iellen Differen~ialgleichm~g

bestimmt, wof~ir es allgemelne Methoden gibt. Dann em Integral F , := %

aus den simultanen Differentialgleiehungen

and so fort bis F r ---~ af, so dart finmer (_~/~'k) ~ 0 erfiillt ist. I)ie f Integrale /~- ~ er 10se man nach den Pk auf

8S l)k ~ Pk (ql " " qf a l -" �9 ~';') ~ c) qk

and bestilmne schlie~lieh S aus der to t a l e n Differentialglelchun~"

d S ~ ~ k pk d ql:

als vollst~ndiges Integral. Die Herleitung der Pk bfirgt da/iir, dal] die

Integrabilit~tsbedingungen erfiillt sind, wie sieh allgemeln beweisen l~l]t ~). Denkt mini sich im Phasenranm die Schar der ( 2 f - -1 ) -d imen~

sioaalea Energiefl~chen F 1 ~ ~1 und, sie erfiillend, alle m~glichen Phasen-

bahnen, deren Elemente durch die kanonisehen Gleichungen bestimmt .~in~ :

02] d 2 k - - ~) qk dr, d q k ~--- ~ d t ,

.~o bedeutet d~e P o l s s o n s e h e Gleiehung (2' 1/"k) ~ - 0 niehts weiter~ als

dal] der ,,Gradient" der (2 f - - 1)-dimensionalen Integralflaehe ~ . ~ el.i: senkreeh~ stehen mull au~ dem Phasenbahnelement, mit anderen Worten,

da] iede In~egrMfl~che durch ein Phasenbahl~biischel hindurehgele~% werden mull.

Nun sind aber zwei grundsatzlleh verschledene F~.]le mSglieh: Ent- weder verl~uft die Phasel~b~hn auf 8er Energ~efl~che ,quasiergodisci~ "~ erfiill~ also das ganze (2 f - -1 ) -d imens iona le Gebiet derselben mi~ der Zeit fiberall dieht, dan~ werdeu aueh die [ntesralfl~ehen dureh sie ihren unendlich vlelen, sleh nicht schliel]enden Windungen derart folgen m[issen,

dal] sie mi~ der Zeit einen 2 f-dimensionalen Bereich dieht erfiillen. Ver-

schiedene Integral~l~chen elner Sehar werden sieh durehdringen, die Werte a~ werden in .~edem Phasenbahnelement nur unendlich vieldeutig bestlmmt seln. Es exi~tiert ~ul]er der E~ergiegleichung kein eindeutige~ Integral.

0der: Die Phasenbahn erfiillt nur ein (2 f - -n) -d imensiona]es Gebiet der Energleflache dieht. Dann sind aul~er der Energieflache noeh ( n - 1) unabh~nglge einbI~t~rlge Integralflachen mSglich. Die Werte a~

~) Vgl. z. B. A. R. Forsyth, Differentialgleichungen, w 2()8 ff., Braunschwei.~, Friedr. Vieweg & Sohn, 1912.

794 E. Fues, Was bedeutet die Separierbarkeit usw.

sind fiir jedes Phasenbahnelement in ihnen bestimmt, es existieren aufier F1 = al noch ( n - 1) unabhangige eindeutige Integrale der Bewegung.

Wenn vollends n = f, so sind insgesamt f eindeutige (oder endlich vieldeutige) Integrale mSglieh. Das Sehnittgebilde G der entsprechenden f Integralflaehen ist selbst f-dimensional und gibt, auf den q-Raum pro~iziert, den Bahnbereich. ~ber iedem Punkt desselben liegb eln oder llegen endlieh viele Punkte yon G, an deren ,HShe" die Werte der zugehiirigen Pk P-~.P=~''' direkt abzugreifen slnd. Den Beweis hieffiir, allerdings nur bei zwei Frelheitsgraden, hat Knese r in w 8 seiner sehon zitierten Arbeit gegeben. Endlieh viele Pk in iedem Bahnpunkte bedeutet aber endlich vieldeutige Bestimmtheit des Impulsvektors in ieder Lage und hat mathe- matiseh zur Folge die Endlichvielgestaltlgkeit der Bliitter der Wirkungs- fliiche. Das fiihrt, wie wir gesehen haben, aut bedingt periodischen Bewegungstypus. ~[an kann also (unter Miteinbeziehung der Grenz- f~lle yon ins Unendliehe gehender Bewegung) e i n f a c h u n t e r s e h e i d e n zwisehen , , integrierbaren" Bewegungen, genauer solchen, bei denen f endlieh v ie ldeu t ige I n t e g r a l e der Bewegung exis t ie ren und der Impulsvek to r fiir alle Zeiten ein and dieselbe Funk- t ion der Lage bleibt , das sind~ wenn sie ganz im Endl iehen verlauIen, die bedingt periodisehen. Und , n i e h t i n t e g r i e r - baren", bei welehen auch schon die erste StnIe der In tegra - t ion, die Funk t ionsbez i ehung zwisehen Impuls and Lage nieht vo l l s t and ig und endlich v ie ldeut lg he rzus te l l en ist.