Clemens SimmerMeteorologisches Institut

Was sind die meteorologischen Grundgleichungen?

2

1. Einleitung2. die meteorologischen Basisvariablen3. die meteorologischen Grundgleichungen4. Skalenanalyse der meteorologischen

Grundgleichungen

Gliederung

3

Zur Bestimmung der sieben grundlegenden meteorolog. Variablen: Wind (3) Luftdruck Lufttemperatur Luftdichte Luftfeuchtigkeit ...

...benötigen wirdie sieben meteorologische Grundgleichungen: Bewegungsgleichung (3) Kontinuitätsgleichungen 1. Hauptsatz der Wärmelehre Wasserdampfbilanzgleichung Zustandsgleichung der Luft.

Sechs der meteorologischen Grundgleichungen sindDifferentialgleichungen u.a. der Zeit

-> (Wetter)Vorhersagen sind möglich!

1 Einleitung

4

2 Die meteorologischen Basisvariablem (und ihre Messung)1. Windgeschwindigkeit2. Luftdruck und Dichte3. Temperatur4. Feuchte5. …

5

• Geschwindigkeit, mit der sich die Luft bewegt und ihre Richtung

• Bezug ist dabei ein endliches Luftvolumen – nicht einzelne Moleküle (Kontinuumsmechanik, Hydrodynamik).

z

i

x (Ost)

y (Nord)j

k

hv

vw

v

u

222

cos

sinsin

cossin

wvuv

kwjviuv

vw

vv

vu

Dabei ist λ die Winkelabweichung von der Ostrichtung, und φ die Winkelabweichung von der Vertikalen.

2.1 Windgeschwindigkeit

6

Horizontale Windgeschwindigkeit

hv

36

27 9

18

W O

S

N

Für große Skalen (lange Zeitmittelung (mehrere Minuten) oder Mittelung über viele Kilometer gilt u~v>>w.

22 vuv

jviuv

uv

h

h

7

2.2 Luftdruck und Luftdichte

• Was ist Luftdruck?• Luftdruckgradient und Bewegungsantrieb

(Kraft)• Luftdruckmessung

8

Was ist Luftdruck?

• (Luft-)Druck ist Kraft/Fläche• Luftdruck hat keine ausgezeichnete Richtung.• Luftdruck wird erzeugt durch die Impulsumkehr von

Luftmolekülen an einer Wand (Molekularkinetik).• Luftdruck ist daher

– proportional zur Dichte der Luft (mehr Moleküle→mehr Impulse), und

– proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit der Luftmoleküle, denn

• Impuls =mv, (m Masse, v Geschwindigkeit) und • Häufigkeit des Auftreffens auf die Wand ~ v.

• Luftdruck bezeichnet die Flussdichte der Impulse der Luftmoleküle, dennDruck = Kraft / Fläche = kg x m/s2 / m2

= (kg x m/s) / (m2 s) = Impuls / (Fläche x Zeit)

9

Warum erzeugen Luftdruckgegensätze Bewegung (1)?

t=to

t=to+Δt

Betrachte alle Moleküle, die an beiden Enden des Luftvolumens in der Zeit Δt mit Umgebung ausgetauscht werden.

Ist die Impulsdichte (=Druck) an beiden Enden gleich, so ändert sich der Gesamtimpuls des Volumens nicht. Also keine Beschleunigung!

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Warum erzeugen Luftdruckgegensätze Bewegung (2)?

t=to

t=to+Δt

Betrachte alle Moleküle, die an beiden Enden des Luftvolumens in der Zeit Δt mit Umgebung ausgetauscht werden. Rechts herrsche ein höherer Druck (Impulsdichte) als links durch höhere Temperatur (T~v²).

Das Volumen hat eine Gesamtimpulsänderung nach links erfahren. Es wird also nach links beschleunigt!

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Warum erzeugen Luftdruckgegensätze Bewegung (3)?

t=to

t=to+Δt

Betrachte alle Moleküle, die an beiden Enden des Luftvolumens in der Zeit Δt mit Umgebung ausgetauscht werden. Rechts herrsche ein höherer Druck (Impulsdichte) durch mehr Moleküle.

Das Volumen hat eine Gesamtimpulsänderung nach links erfahren. Es wird also nach links beschleunigt.

12

2.3 Temperatur

• Was ist Temperatur?• Temperatur und Wärmeenergie• Temperaturmessung

13

Was ist Temperatur?

Tkvm

B2

3

22

Die Temperatur hängt mit der mittleren kinetischen Energie (Bewegungsenergie) der einzelnen Moleküle zusammen:

Konstante-BoltzmannJ/K 101.3806

Moleküls eines orgkeitsvektGeschwindi

Moleküls eines Masse

mit

23-Bk

v

m

Temperatur hängt also nicht von der Anzahl der Moleküle (also z.B. von der Dichte) ab! (siehe Ausdehnung ins Vakuum)

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Temperatur und Wärmeenergie

Tcm

EeTmcTCE VvV ;

Der Wärmeenergie eines Luftvolumens (genauer: Definition der inneren Energie E) ist proportional zu Temperatur T und zur Wärmekapazität bei kontantem Volumen CV ([CV]=J/K)

Die (massen-)spezifische (pro kg!) Wärmekapazität cv eines idealen Gases hängt nur von der Anzahl der Bewegungsfewegungsfreiheitsgrade f der Moleküle (3 Translationsrichtungen + n Rotationsrichtungen) ab.

Für „trockene“ Luft gilt mit f=5 cV = 717 J/(kg K)

da 2-atomige Moleküle (N2, O2) vorherrschen.

15

2.4 Feuchte

• Feuchtemaße

16

Feuchtemaße

w -

absolute Feuchte [kg m-3]

f -

relative Feuchte [%]

mit es Sättigungsdampfdruck

e -

Partialdruck des Wasserdampfs [hPa]Td -

Taupunkt [K]

Abkühlung auf Taupunkt führt zur Kondensation

q -

spezifische Feuchte [kg/kg]

Masse des Wasserdampfes zur Gesamtmasse der feuchten Luft

m -

Mischungsverhältnis [kg/kg]

Masse des Wasserdampfes zur Gesamtmasse der trockenen Luft

m > q

Tf -

Feuchttemperatur [K]

Messgröße beim Psychrometer

se

ef 100

17

3 die meteorologischen Grundgleichungen- Primitive Equations -

3.1 Bewegungsgleichung-> Wind

3.2 Kontinuitätsgleichung-> Luftdichte

3.3 Erster Hauptsatz der Wärmelehre-> Lufttemperatur

3.4 Haushaltsgleichung des Wasserdampfes-> Luftfeuchte, Wolken

3.5 Zustandsgleichung der Luft-> Luftdruck

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3.1 Bewegungsgleichung

= Impulserhaltung

21-

2-1-

23

m/s ,g , s ,

m/s g,chleunigunSchwerebes g s Erde, der ektorRotationsv

)s kg/(m Pa Luftdruck, kg/m ,Luftdichte

s Zeit, m/s r, Windvekto

mit

Reibung

gchleunigunSchwerebes

ngschleuniguCoriolisbe

unigungentbeschleDruckgradi

elsLuftpartik eines gungBeschleuni

81910292786164

22

21

5

srTagsiderische

p

tv

Fgvpdt

vdFr

19

Kräfte

g

),( trv

v

2

FrF p

1

20

3.2 Kontinuitätsgleichung

= Massenerhaltung

Volumenim Luftstroms des Divergenz

elLuftpartik bewegenden sich einem in rungDichteände

vdt

d

21

3.3 Erster Hauptsatz der Wärmelehre

= Energieerhaltung

s) J/(kg Reibung

und gängePhasenüber Strahlung, durch Erwärmung

K) J/(kg 1004 Druck, konstantem bei Wärmeespezifisch c

K atur,Lufttemper mit

zufuhrStrahlungs externe

und ungDruckänder

elsLuftpartik bewegenden sich eines änderungTemperatur

p

H

T

Hcdt

dp

cdt

dT

pp

1

22

3.4 Haushaltsgleichung für Wasserdampf

= Massenerhaltung von Wasserdampf

)skg/(m ndlungen,Phasenumwa durch rdampf Wasse

von ngsrate Vernichtuoder -sProduktion

kg/m pfes, Wasserdamdes Dichte

mit

ng Verdunstuund onKondensati

Volumenim ngLuftströmu der Divergenz

elLuftpartik bewegenden sich im erungfdichteändWasserdamp

3

3

W

Wvdt

d

w

ww

23

3.5 Zustandsgleichung für Luft

= ideale Gasgleichung

pfes Wasserdamdes teGaskonstan K) J/(kg ,

)kg/(ms Pa pfes, Wasserdamdes ckPartialdru

pf Wasserdamfür ngGasgleichu ideale

pf Wasserdamohne Luft der teGaskonstan K) J/(kg ,

mit

,

2

w

52461

05287

378011

w

w

L

LL

R

e

TRe

R

TRTp

eRp

24

Zusammenfassung

TRp L

Wvdt

dw

w

Hcdt

dp

cdt

dT

pp

1

vdt

d

FrFgvpdt

vd 21

6 prognostische Gleichungen

1 diagnostische Gleichung

für sieben meteorologische Basisvariablen

Alle Gleichungen sind mehrfach mit einander gekoppelt.Sie lassen sich durch die Zeitabhängigkeit für die Zukunft lösenWetter und Klimavorhersage ist möglich!

25

4 Skalenkonzept

4.1 Grundthesen

4.2 Skalendiagramm

4.3 Skalenanalyse der Bewegungsgleichung

26

4.1 Grundüberlegungen• Als Skalen bezeichnet man Längen- (L) und Zeitintervalle (T).• Wir unterscheiden Skalen, mit denen wir messen (Maßstäbe) und

Skalen die typisch für meteorologische Phänomene sind (Größenordnung).

• Die meisten meteorologischen Phänomene haben für sie ganz typische Längen- und Zeitskalen (z.B. Wolken, Hurrikane, Zyklonen).

• Je größer die Längenskala L eines Phänomens, desto größer i.a. die dazugehörige Zeitskala T; also mit L nimmt T zu.

• Beobachtung: In der Atmosphäre haben bestimmte meteorologische Phänomene (z.B. Tornados, Wolken, Tiefdruckgebiete) immer nur einen beschränkten Bereich von Ausdehnungen und Lebensdauern, also Skalenbereiche

27

Skalendiagramm

28

4.4 Skalenanalyse der Bewegungsgleichung

• Auftrennung in die drei Komponenten• Synoptische Skalenanalyse der z-Komponente

(Vertikalwind)-> statische Grundgleichung

• Synoptische Skalenanalyse der x/y- Komponente (Horizonalwind)-> der geostrophische Wind

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Bewegungsgleichung in Komponenten- Navier-Stokes-Gleichung -

FrFvgpdt

vd 2

1

xFrFwvx

p

dt

du,)cossin(

21

yFrFuy

p

dt

dv,sin

21

zFrFugz

p

dt

dw,cos

21

30

Skalenanalyse – Tiefdruckgebiet- charakteristische Größen -

• Horizontalgeschw. U ~ 10 m/s• Vertikalgeschw. W ~ 10-2 m/s• Länge L ~ 106 m (1000 km)• Höhe H ~ 104 m (10 km)• Luftdruckschwank. P ~ 103 Pa (10 hPa)• Zeit L/U = T ~ 105 s (ca. 1 Tag)• Coriolisparam. f = 2sin ~ 10-4 s-1

• Luftdichte ~ 1 kg/m3

• Luftdruck am Boden po ~ 105 Pa (1000 hPa)

31

Skalenanalyse Tiefdruckgebiet- statische Grundgleichung -

zFrFugz

p

dt

dw,cos

21

W/T 1/ po/H g fU -

10-7 10 10 10-3 - m/s2

gz

p ...Schwerebeschleunigung und

Druckgradientbeschleunigungheben sich gegenseitig auf!

32

Skalenanalyse Tiefdruckgebiet- geostrophischer Wind -

xFrFwvx

p

dt

du,)cossin(

21

yFrFuy

p

dt

dv, sin

21

U/T 1/ p/L fU fW -

10-4 10-3 10-3 10-6 - m/s2

...Coriolisbeschleunigung undDruckgradientbeschleunigungheben sich gegenseitig auf!

y

pfu

x

pfv

1

1

33

Geostrophischer Wind

x

p

fv

y

p

fu

g

g

1

1

:

:pk

fv Hg

1

:

p

pp

pp

pp

2

3

gv

pF HHp

1

,

gHC vkfF

,

34

Geostrophischer Wind- Beispiel -

m/s 100 T

990

980

1000

1000 km

m

Pa

kg/m

3 5

3

14 101

101

1011

1

s

y

p

fug

1

:

35

Geostrophischer Wind... „weht“ parallel zu Isobaren mit niedrigem Druck links (auf SH rechts),... ist proportional zur Stärke des Druckgradienten,... ist eine gute Approximation des wahren Windes in der freien

Atmosphäre,... nimmt zu niedrigen Breiten bei gleichem Druckgradienten zu,... verliert seine Gültigkeit mit Annäherung an den Äquator, da

Coriolisbeschleunigung dann abnimmt.