Archiv fiir E l ek t ro t echn ik 62 (t980) t 17--123 ARCHIV FOR ELEKTROTECHNIK @ by Springer-Verlag 1980

WiderstandserhShung eines zylindrischen Leiters infolge einer exzentrischen Querschnittseinengung endlicher Liinge

L. Hannakam und M. Albach, Berlin

{ 3 b e r s i c h t : In der vor l iegenden A b h a n d l u n g wird ein ana- ly t i sches V m f a h r e n zur ~Best immung der S t r o m v e r t e i l u n g in zy l indr i schen Le i t e rn entwickel t , die eine sp rungha f t e , exzen- t r i sch gelegene Q n e r s c h n i t t s v e r e n g u n g erfahren. V e r a n t a s s u n g dazu gab das A u f t r e t e n y o n H a a r r i s s e n bei Dauerbrt~chen. \Vegen der v o r h a n d e n e n E xzen t r i z i t ~ t l iegt ein r~uml iches R a n d w e r t p r o b l e m des s t a t ion~ren S t r6mungs fe ldes vor, das die L 6 s u n g l inearer G l e i c h u n g s s y s t e m e fiir die Koeff iz ien ten des P o t e n t i a l a n s a t z e s ve r lang t . Mit d iesen wird die Po t en - t i a l e rh6hung b e s t i m m t , die die exzen t r i sche Que r schn i t t s - v e r e n g u n g gegeni iber e inem Zyl inder k o n s t a n t e n Que r schn i t t s ve ru r sach t , w o m i t auch die gesuch te \ V i d e r s t a n d s e r h 6 h u n g b e k a n n t ist.

I n c r e a s e o f R e s i s t a n c e of a C y l i n d r i c a l C o n d u c t o r d u e to a n E c c e n t r i c C r o s s - S e c t i o n a l C o n s t r i c t i o n o f F i n i t e L e n g t h

C o n t e n t s : In th i s paper , an ana ly t i ca l m e t h o d of d e t e r m i n i n g the cu r r en t d i s t r ibu t ion in cyl indr ical conduc to r s wi th sudden and eccent r ic cross-sect ional cons t r ic t ion is developed. The m o t i v a t i o n lies in t he hai r l ine cracks due to f a t ique r u p t u r e s observed in pract ice . The p rob l em is t h ree -d imens iona l as a r esu l t of t he eccen t r ic i ty in t he conf igura t ion and leads to a s y s t e m of l inear equa t ions for tile coefficients in t he po ten- t ial express ions . The vo l tage rise due to t he eccentr ic con- s t r ic t ion is ca lcu la ted us ing equa t ions m e n t i o n e d above, where- by a u n i f o r m cyl indr ical conduc to r is t aken as reference. T h e increase of res i s tance is t h e n de t e rmined f rom t he vo l tage rise.

1 Problemstellung

Ein langer zylindrischer Leiter des Durchmessers 2b und der Leitf~thigkeit x erf~thrt gem~tl3 Bild t eine sprunghafte Querschnitts~nderung auf den schraf- fierten exzentrischen Zylinder des Durchmessers 2a, der eine L~tnge 2h und eine Exzentr izi tgt c aufweist. Die Anordnung wird vom sinusf6rmigen Wechsel- s t rom des Effektivwertes I und einer derart niedri- gen Frequenz durchflossen, dab der Skineffekt ver- nachl~ssigt werden kann. Es ist ein Rechenverfahren aufzustellen, mit dem man die Stromvertei lung im

- - V////J/////////////A

' A

B i l d 1 a u n d b. Der b e t r a c h t e t e zy l indr ische Lei ter m i t exzen- t r i scher Q u e r s c h n i t t s v e r e n g u n g

Leiter und die durch die Querschnit tsverminderung verursachte Widerstandserh~Shung best immen kann.

2 Einleitung

Der zylindrische Leiter des Querschnittes F b = rob ~ wird in die Zylinderkoordinaten (0, ~0, z) des Bildes t mit der z-Achse als Rotat ionsachse verlegt, w~ihrend

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der Querschnittsverengung F , = =a 2 die Zylinder- koordinaten (r, % z) zugeordnet werden. Das sieh einstellende stationAre Str6mungsfeld wird im Zylin- der des Querschnittes F~ durch das Potential V~ = = V~(o~,9, z) und in der V e r e n g u n g F durch das Potential V~ = V~(r, 9, z) beschrieben. Beide Poten- tiale mtissen als Feldgleichung die Laplace-Gleichung AV = 0 erfiillen und ihre negativen Gradienten geben die Komponenten der Stromdichten an, die in Rich- tung waehsender Koordinatenwerte, also der einge- zeichneten Einheitsvektoren (%, %, %) und (%, %, %) zeigen :

0 v~ G~ = - -~

0 V b g~o = - ~ ~-~

0 V a 0 V a

G~,~=--~7o v G ~ z = - - ~ - , (ta) OVo O V b

Die Betrachtung kann wegen der Symmetr ie V(Q, % z) -- --V(o, % --z) auf den Bereich z ~ 0 besehr/inkt werden, wobei der Ebene z = 0 ein verschwindendes Potential

Va(r, % 0) = 0 (2)

zugeordnet wird. Da weiterhin aus den leitenden ]3ewandungen r = a der Verengung und ~o = b des Zylinders kein Strom heraustreten darf, mtissen die Potentiale die Bedingungen

(OV~/~r)~,~,~=O fiir 0-<_z<--h (3a)

(~.Vb/O~)~,,~., = 0 ftir h _< z _<_ oo (3 b)

erffillen. An der in der Ebene z = h gelegenen Stol3- flS.che F~ muB die Stetigkeit des Potentials in der Form

V~(~, % h) = Va(r, % h) auf F (4)

garantiert sein. Weiterhin mug auf der in der Ebene z = h gelegenen Fl~che F b die z-Komponente Gb, (~o, 9, h) der Stromdiehte im Zylinder im Bereich Fa der Verengung stetig sein, d .h . den Wert der z- Komponente G~,(r, 9, h) ergeben, und im restlichen Bereich F = F b -- F~ verschwinden"

G~,~(r, % h) auf F Gb,~(~, ~v, h) = 0 auf F (5)

In grol3en Entfernungen z -+ oo v o n d e r Verengung besteht deren EinfluB imAuftreten einer Komponente --Vo, die sich dem durch die homogene Stromvertei- lung hervorgerufenen linearen Verlauf tiberlagert :

I z lim Vb(o, % z) = - - =~b b 17~ (6)

~ - - + o o

)l i t den angegebenen I3eziehungen dieses Absehnit- tes ist das vorliegende Randwertproblem des statio- niiren Str6mungsfeldes eindeutig festgelegt.

3 Aufstellung der Potentialans~itze

Die &Abh~ingigkeit des Potentials V~(o, 9, z) als L6sung der Laplace-Gleichung AV b = 0 wird durch Bessel-Funktionen J,~(q,ae) erster Art und n-ter Ord- nung besehrieben, wobei die Eigenwerte q,a durch die L6sungen i = 1, 2 . . . . der Gleiehungen J'~(q,~ib) = 0 gegeben sind; unter J~, sind dabei die Ableitungen der Bessel-Funktionen nach deren Argument zu ver- stehen. Die z-Abh~ngigkeit wird im betrachteten Gebiet z ~ h durch Exponentialfunktionen der Argu- mente q ~ i ( h - z) erfaBt, w~hrend die ~-Abhgngig- keit aus Symmetriegrfinden aus Kosinusfunktionen der Argumente (n~0) besteht. Definiert man somit die Spaltenmatrizen H,,(o, 9) der mit cos (ng) multi- plizierten Bessel-Funktionen J,(q,io), die Diagonal- matrizen Qn der Eigenwerte q,a sowie die Spalten- matr izen B , zun~iehst unbekannter Konstanten

H.(O, 9) = cos (nq~) [ J . ( q , a Q ) -

J . ( q . 2 o . ) ,

[q0] [i] Q. = ;*q,,2 B, = ~2 ,

und kennzeichnet man allgemein durch einen tiber- gesetzen Stern (*) die t ransponier te Form einer Matrix, so kann man aufgrund der gemachten Aus- ftihrungen den Potent ia lansatz

Vb( q, qD, z) =

I b Z H,(~, 9) e-O"(z-h) B V 0 ~bn @ a n=O

(7)

aufstellen, der bereits die beiden Forderungen (3 b) und (6) erffillt.

In analoger Weise kann man das Potential Va(r, 9, z) ansetzen. Wegen der Randbedingung (3 a) werden jetzt Bessel-Funktionen J,,~(P,,,i~) auftreten, deren Eigenwerte Pm~ durch die L6sungen i = t, 2 . . . . der Gleiehungen J'~(p,,#) - - 0 gegeben sind. Infolge des erforderlichen Versehwindens (2) des Potentials in der Ebene z = 0 wird dessen z-Abh~tngigkeit durch sinh (Pmiz) besehrieben, w~ihrend die Abh~tngigkeit v o n d e r Koordinate ~0 aus Symmetriegri inden durch Kosinusfunktionen der Argumente (m~o) erfaBt wird. Mit den Spaltenmatrizen F,,(r, 9) der mit cos (m~v) multi- plizierten Bessel-Funktionen J,,(p~ir), den Diagonalmatrizen P,~ der Eigenwertep~i sowie den Spaltenmatrizen A,~ zun~ichst unbekannter Kon-

L. Hannakam und M. Albach: Widerstandserh6hung von Leitern bei exzentrischer Querschnittseinengung 119

stanten

.,) = j ,

kann man dann ffir das Potential V~(r, % z) des ver- engten Querschnittes den Ansatz

V~(r, % z) = -- - - + Y, F,(r , ~0) sinh (P,,,z) A,.

(8) machen, durch den bereits die Randbedingungen (2) und (3 a) erftillt werden. Der in z lineare Anteil ent- spricht dabei dem Potential bei homogener Verteilung des Stromes fiber den Ouerschnitt der Verengung.

4 Erfiillung der Randbedingungen in der Ebene sprunghafter Querschnittsfinderung

Die Forderung (4) nach der Stetigkeit des Potentials auf der in der Ebene z = h gelegenen Restfl~che F n immt mit den aufgestellten Potentialansgtzen die Form

ha co . Vo

n = 0

- - co *

h q- Y~ F,~(r, vo) s inh(P, .h )A , , , auf F~ in z = h a

an. Diese wird linksseitig mit der Spal tenmatr ix F~(r, ~) multipliziert und fiber die Flfiche F des Fl~chenelementes d F = r dr d~ von r = 0 bis r = a und ~ = 0 bis ~s = 2~ integriert. Da das fiber die Fl~tche F gebildete Integral der Spal tenmatr ix F~(r, ~) verschwindet, verbleibt die Gleichung

co .

X f f F(r,~v) n ( o , 99) d F B n = n = 0 Fa

oo *

= Z f / F~(r, ~0) F,.(r, Va) dY. sinh (Pj~) A.,. m = 0 Fa

Bei dem rechtsseitigen Integral stellt man nacb Aus- ffihrung der Integrat ion tiber ~0 Iest, dab nur die Glieder mit s = m einen Beitrag liefern und somit die Diagonalmatr ix der Norm M,~ bilden, deren Elemente im Anhang als (AI) angegeben sind. Das Integral auf der linken Seite liefert mit s = m eine quadratische K o p p e l m a t r i x ~ .... mit den im Anhang unter (AS) angegebenen Elementen, so dab man den folgenden ersten Zusammenhang zwischen den unbekannten

Konstanten A,. und B~ erh~lt : oo

M,,~ sinh (P,,fl)A.~ = • ~ . . B . (9) n = 0

I m n/ichsten Rechengang werden in der Randbedin- g u n g (5) die z-Komponenten der Stromdichten durch die aufgestellten Potentialans~ttze (7) und (8) aus- gedr~ckt, wodurch man zu der Gleichung

a 2 oo ~.

b2 ~ H ( 0 , 9)) (Q.a) B = I ~ = 0

: t + ~ F.;(r, ~o) (P,,~a) cosh(P.fi) A,~ auf F i n = 0

0 auf (F b - F ) in z ---- h

gelangt. Diese wird linksseitig mit der Spal tenmatr ix H~Qo 9)) multipliziert und tiber die F1/iche F b des Fl~tchenelementes dF~, von o = 0 bis o = b und von 9) = 0 bis 9) = 2= integriert. Ffir die linke Gleichungs- seite wird die Integrat ion in angegebener Form aus- geffihrt, w~hrend sie auf der rechten Gleichungsseite wegen des Verschwindens des In tegranden auf der Fl~tche F in eine Integrat ion fiber die Fl~tche F fiber- geht. Da weiterhin das fiber die Fl~iche F b gebildete Integral der Spal tenmatr ix H~(o. 9)) verschwindet, n immt die besprochene Integrat ion die Form

oo x.

- - 2 ; f H,(O, 9)) H,,(o, 9)) dFb(Qna ) B n = n=O Fb

= j'f H(O, 9)) dF~ + Z f f Hs(o, g~) F,,~(r, y,) �9 Fa m = 0 Fa

�9 d F (P,,,a) cosh (P,.h)A,,~

an. Bei dem linksseitigen Integral stellt man naeh Ausffihrung der Integrat ion das Verschwinden aller Glieder mit s @ n test, so dab das Integral selbst die Diagonalmatr ix der Norm N~ mit den im Anhang unter (A2) angegebenen Elementen liefert. Das erste Integral auf der rechten Seite liefert mit s = n e i n e Spal tenmatr ix S., die die StSrgrSge des Systems dar- stellt und deren Elemente man im Anhang unter (A6) findet. Da weiterhin das zweite Integral auf der rech- ten Seite mit s = n die t ransponierte Form der quadrat iseben Koppelmatr ix ~ . ~ ergibt, erh~lt man den folgenden zweiten Zusammenhang zwischen den unbekannten Konstanten A,. und B.:

oo .g.

--N.(Q,,a) B = S q- X O,,,.(P.,a) cosh (P,.h) A,. (10) m ~ O

5 Bestimmung der Stromverteilung

h n n/ichsten Rechengang mug in den gefundenen Zusammenh~ingen (9) und (10) eine der beiden un- bekannten Konstanten A,~ oder B eliminiert werden.

1 2 0 A r c h i v f f l r E l e k t r o t e c h n i k 6 2 ( 1 9 8 ( I )

Zu diesem Zwecke driickt man mit Hilfe der Bezie- hung (9), in der man die Summation tiber n durch eine Summation tiber v ersetzt, die Konstanten A,. in der Form

co

A~ = [M,,, sinh (P.+h)] -~ Y~ �9 ~+~B~ (It) v = 0

aus, wobei die auftretenden Inversionen yon Diago- nalmatrizen problemlos sind. Nach Einsetzen der Konstanten (t t) in die Beziehung (t0) bildet man die nur von den Zfihlungen n und v abh~tngige neue qua- dratische Koppelmatrix

oo

W~ = Y. ~,~., M~ l(Pma) coth ( P h ) ~ m 0

die aus den Abmessungen der Anordnung berechnet werden kann und mithin aus bekannten Elementen besteht. Mit ihr erh/ilt man als Bestimmungsgleichung ffir die unbekannten Konstanten B. das lineare Glei- chungssystem

N~(Q.a) B + ~ W . ~ B , , = - - S mit n = 0 , t , 2 . . . . v = 0

(a2) Nach dessen Auswertung sind die Konstanten B+ und mit diesen naeh (t t) auch die Konstanten A~ be- kannt, womit die Potentiale (7) und (8) bis auf die Konstante V 0 bestimmt wurden. Da diese bei der Bestimmung der Stromdichten mittels der Diffe- rentiale (t) keine Rolle spielt, k6nnen die gesuchten Stromdichten bereits angegeben werden. So findet man fiir die z-Komponenten der Stromdichten mit den nunmehr bekannten Konstanten A~ und B . die Ausdrticke ,[ a~(r, ~, z) = T~a~ t

I

o o . ] -t- E F (r,~v) (P,,,a) cosh(P,.z)A,. ,

m = O

(t3 ~) I co ~+

Z H.(e, 9 ~) (Q+,a) e -Q~(z-a} B~. 7za2 n = O

(t3b)

Kennzeichnet man weiterhin mit F'.. und H~, die Ab- leitungen der Funktionen F,. und H nach den Argu- menten der in ihnen enthaltenen Bessel-Funktionen, so erh/ilt man ftir die Radialkomponenten der Strom- dichte die ]3eziehungen

[ ~ -+§ G+.(r, 7', z) = - - E F'.,(r,~o) (P,,,a) sinh (P,,+z)A++, (t4a)

rcag +/*=0

I Co .-x-

Gbe(e, ~, z) = ~ ~0I-I;+(o, ~0) (O.a) e -Q~(+-h) B+ (lab)

Versteht man weiterhin unter R,,+(r, ~) und T+(~o, ~) Spa]tenmatrizen, die aus F,,+(r, ~) und H+(~o, ~) durch Ersetzen der Kosinusfunktionen durch Sinus/unk- tionen entstehen, so erh~ilt man far die Tangential- komponenten der Stromdichte die /olgenden Dar-

stellungen : I co

G~,:,(r, ~p, z) = - - - - ~ mR,.(r,~o) sinh (Pmz)A .... (t5 a) ~ a v ~ = 0

f oc

e- + B . (t5 Gb,~(~, p, z) = -- ~; nT.(o, ~) Q'd~ b) ~ a 0 n = 0

In gleicher Weise, wie aus den beiden Ausgangsglei- chungen (9) und (10) das lineare Gleichungssystem (42) ffir die Konstanten B,+ aufgestellt wurde, kann auch ein lineares Gleichungssystem fiir die Konstan- ten A,,+ angegeben werden. Zu diesem Zwecke werden die Konstanten B~ mit Hilfe der Beziehung (10), in der die Z~thlung m durch # ersetzt wird, in der Form

B. = - - [N~(Q a)]-i I s . +#=0 ~ ~ , , . (P .a )cosh (P.h) A:,]

(t6)

geschrieben und in dieser in die Gleichung (9) einge- setzt. In Analogie zu der vorher eingettihrten neuen Koppelmatrix W,+~ wird jetzt eine neue quadratisehe Koppelmatrix L,.. eingefiihrt, die nur von den Z~h- lungen m u n d # abh/ingt, und weiterhin eine Spalten- matrix K+. als neue St6rmatrix definiert, die nur yon der Z~ihlung m abh/ingt :

oo .g.

I.,.. = E q~ .... [N.(Q.a)] -~ ~, .... n = O

oo

K m = Z ~ , , [N,,(Q+,a)] - t S~. n - - 0

Die beiden neu eingeftihrten Matrizen L~. und K m h~tngen ebenfalls nut yon den Abmessungen der An- ordnung ab und liegen somit als bekannte Kenn- gr6Ben vor. Mit ihnen nimmt das lineare Gleichungs- system ftir die Konstanten A.~ die Form

M,~ sinh (P..h) A , + ~ L+,,.(P:,a) cosh (P ,h) A,,, = --K+,, p = 0

ffir m = 0 , 1 , 2 . . . . (17)

an. Aus den gefundenen Konstanten A m werden dann die Konstanten B. mittels der Beziehung (t6) be- stimmt.

Die Entscheidung darfiber, ob das einfachere Gleichungssystem (12) oder das kompliziertere Glei- chungssystem (17) der praktischen Auswertung zu- grunde gelegt wird, hSngt yon der L/inge h d e r Ver- engung ab. Man wird nattirlich immer mit dem ein- facheren System (12) fiir die Bestimmung der Kon- stanten B. auszukommen versuchen, doch bei sehr kleinen L/ingen h ist die Verwendung des kompli- zierteren Systems (t 7) ffir die Konstanten A,. unum- g~tnglich. Dies best/itigt der Sonderfall h ~ 0 eines Haarrisses, der bei Dauerbrtichen auftritt . Eine ver- einfaehte Betrachtung zeigt, dab dann die Verwen-

L. Hannakam und M. Albach: ~,Viderstandserh6hung yon Leitern bei exzen~rischer Querschnittseinengung 121

dung des Gleichungssystems (t 7) in der Form

E t,,,v.(P,,a)A,, = -- K,,~ ftir m = 0, 1, 2 ... (t8) # = 0

erforderlich ist. 51it den so gefundenen Konstanten A,, sind die Konstanten B,, mittels der Beziehung

z > 0 befindlichen Leiter gegeben, dessen Ober- flliche F dureh

A. die Kreisfl~iche 0 < *" < a in der Ebene z -- 0,

B. die Zylinderfl~iche r = a i m Gebiet 0 < z < h,

C. die ebene Bewandung (F b - - F ) in der Ebene z ~ ] L

B = -- N,~(O,~a)] -* S . + Z ~,,,,,(P,,~a)A,. (t9)

bekannt und in die Ausdrticke (7) ffir das Potential sowie (t3b), (t4b) und (15b) ffir die Komponenten der Stromdichte mit h = 0 einzusetzen.

6 B e s t i m m u n g der Widers tandserhShung

Unter der Widerstandserh6hung R wird die Zunahme des Ohmschen Widerstandes des Leiters mit Veren- gung gegenfiber dem Leiter mit gleichbleibendem Querschnitt F b = nb ~ verstanden. Die Widerstands- erhOhung definiert man dutch die Verlustzunahme RI"-, die der Leiter mit den Stromdichten G,(r, % z) in den Bereichen 0 ~ !z i ~ h und G0(o, % z) in den Bereiehen h ~ izl ~< oo gegenfiber dem mit homo- gener Stromdichte I/r:b 2 durchflossenen Leiter kon- s tanten Querschnittes F b im Bereich 0 ~ [z I =<-, oo er- ffihrt :

a 2.~ h

R_r~ 2__ f fGX(r,w,z) rdrdwdz + 0 0 0

;07 + l i r a ~ Gb(0,%z) od~)dq~dz-- - .3 -~-OO

~7b ~ 12 .

Das dabei auftretende Volumenintegral kann nach dem ersten Greenschen Satz in ein Hfillenintegral fiber die das Volumen v umsehlieBende Fl~iche F um- gewandelt werden. Ffir eine skalare Ortsfunktion V, die von allen drei r/iumlichen Koordinaten abh/ingt und die Laplace-Gleichung AV = 0 erfiillt, trifft der genannte erste Greensche Satz in der Form

D. die Zylinderfl/iche ~ = b im Gebiet h < z < oo und

E. die im Unendlichen z - - oc liegende Kreistl~iche o < 0 . < b

gebildet wird. Da aut der Kreisfl/iche A das Poten- tial V und auf den Bewandungen B, C und D dessen Normalablei tung OV/Sn versehwinden, liefert nur die Fl~che E einen Beitrag zum Hfillenintegrat. Da wei- terhin tfir die Fl~iche E die Potentialbeziehung (6) mit der Normalablei tung 8 V / ~ n = 8 V / ~ z = - - I / r :~b 2 gilt, kann man die Verlustzunahme zu R12 = 2 V o / I bestimmen. Zwecks Best immung der noch unbekann- ten Potent ia lkomponente V o wird die bereits ange- gebene Forderung naeh der Stetigkeit des Potentials auI der Restfl/iche F der Ebene z ~ h in der Form

hI(b 2 -- a 2) [

�9 F,,(r, ~v) sinh (P,,],) A -- X H,,(o, ~v) B m = 0 n = 0

geschrieben und fiber die Fl~tche F~, integriert. Da, wie bereits erw/ihnt, das fiber die F1/iche F gebildete Integral der Spal tenmatr ix F,~(r, ~o) verschwindet, erh~ilt man ftir die gesuehte Potent ia lkomponente den Ausdruck

I co .~

hi ( t - ;~) zTv~aan_~0 f f H,,(0, ~ ) d F B , N o - - T~Ngl2 - - "

Fa

Das darin auftretende Integral wurde aber bereits als St6rmatr ix S~ definiert, so dab man ffir die gesuchte Widerstandserh6hung die folgende Beziehung erh/ilt

R = - - 1 - - Z S B , , . (20) N ~ a 2 ~ ~r n = 0

7 Mathemat i scher Anhang

fff ff (grad V) 2 dv = V 07 d F V F

zu, wobei unter OV/On die Abieitung der skalaren Ortsfunktion in Riehtung der nach Aul3en weisenden Fl~chennormalen zu verstehen ist. Im vorliegenden Fall ist das Volumen V durch den im Halbraum

Die Elemente M R der Diagonahnatrizen M nehmen nach Ausffihrung der Integrat ion tiber ~f die Form

- - a -~'o" J~,(p,~r) r dr = 0

_ _ ~ 4 2 2 Iz l

1 2 2 A r c h i v f i i r E l e k t r o t e c h n i k 62 (1980)

an. Unter d~ ' ist dabei die normierte Dirac-Funktion zu verstehen, die ffir m = 0 den Wert I aufweist und f fir m @ 0 verschwindet. Analog wird ffir die Ele- mente N,r der Diagonalmatrizen N~ nach Ausffih- rung der Integration fiber ~ Iolgender Ausdruek ge- funden :

b

i V i 2 ~ ~ "2 '~ -- 2 - d~ ~ J,,(qn<)o o do = 0

- -~-;-o j ~ ( q , . b ) . (A2)

Die Elemente ~i~ der quadratischen Koppelmatrix cI~ ..... der Zeilenz/ihlung i = t, 2, ... und der Spalten- z/ihlung k -- 1, 2 .... sind durch die Integrale

~, = f f J,,~(p,~ir) J,,(q,,~o) cos (n~) cos (m~o) r dr d w 0 0

(a3)

gegeben, zu deren Auswertung das Additionstheorem der Bessel-Funktionen in der Form

+oo

] ~ ( c ) ei"~ = X J,~:,(A) J , ( ~ ) ei'.~ .~ = - c.o

herangezogen wird; unter A, B, C sind dabei die Sei- ten eines Dreiecks und unter ~,/3 und y die ihnen gegenfiberliegenden Winkel zu verstehen (Bild 2). Entsprechend dem Dreieck OPC des Bildes t wird A - - q , ~ c , B = q ~ r , C = q , ~ o , / 3 = ~ u n d y = = - - ~ o gesetzt, wodurch man die Beziehung

of, y~(q,~,o) cos ( ~ ) X ( -~ )~ 2 - a0*

a- -0 2

�9 [J,~+~,(qnkc) + ( - l ) z J . - z ( q . ~ c ) ] Ja(q.~r)cos (2w) ( A 4 )

erh/ilt. Setzt man diese in das Integral (A3) ein, so bleiben nach Ausffihrung der Integration fiber ~ aus der Summe fiber 2 nur die Glieder mit 2 = m fibrig:

nm r C r = ( - ~ ) " ' = ~ J , + ~ ( q , , , ) + ( - ~ ) ~ J ...... (q,,~c)l. a

�9 f Jm(q,,~r) J,,,(p,,ir) r d r . 0

, 4

Bild 2. Dreieck zur Anwendung des Additionstheorems der Bessel-Funktion

Das darin auftretende Integral ist in geschlossener Form auswertbar und lieIert den Wert

(qnka) Jm(Pmia) J m - l ( q n k a ) - (p.~ict) J m - l ( p , m a ) Jm(qn~(*)

p g . ~ - qnk

der sich wegen

(q,~l~a) J , , , - l ( q , J ) - - mJ,,(q,,1~a)

- - ~ (q,,ka) [J,~_1(q,,ka) - - J,,,+1(q,.ea)!

vereinfachen l~iBt und somit it~r die Elemente (A3) die folgende Beziehung liefert:

..... - - 2 (q,~a) [ J . i . , (q , ,z) 4- ( - t ) J . . . . . (q.,kc)j "

Jm~.l(q,~a) J,~ z(qnl~a) �9 j,,,(p,,,~) q ~ _ p;~, (a 5)

Die Elemente S~ der Spaltenmatrizen S~ sind durch die Integrale

S~ = f f J~(q,,k0) cos (~z~) r dr d~o 0 0

gegeben, zu deren Auswertung die Beziehung (A4) verwendet wird. Nach Ausffihrung der Integration fiber g, stellt man lest, dab aus der Summe fiber 2 nur die Glieder f fir ). = 0 fibrig bleiben, so dab die Ele- mente S~ wie folgt durch Integrale von Bessel-Funk- tionen gegeben sind

s,'i = 2"~J . (q . . s ) f Jo(q.~;') ~ d , 0

deren L6sung bekannt ist:

2 ~ a

8 Zusammenfassung

Die L6sung des vorliegenden Randwertproblems des station/iren Str6mungsfeldes beginnt mit der Aufstel- lung von Ans/itzen ffir das feldbeschreibende Poten- tial, das die Randbedingungen an den zylindrischen Begrenzungsfi~tchen ertiillt und in groBen Entfer- nungen vonder Verengung eine zun~tchst unbekannte Potentialerh6hung gegenfiber dem linearen Poten- tialverlauf beim Leiter konstanten Querschnittes auf- weist. Wird die Betraehtung unter Vorgabe des im Leiter flieBenden Gesamtstromes vorgenommen, so beeinfluBt die genannte Potentialerh6hung die Strom- verteilung im betrachteten Leiter mit der exzentri- schen Querschnittsverengung nicht und die sich im Leiter einstellende Stromdichte kann bestimmt wer-

L. H a n n a k a m und )I. Albach: Widers tandserh6hung von Leitern bei exzentrischer Querschni t tse inengung 123

den. Die Erfiillung der Randbedingungen in den Ebe- nen sprunghafter Querschnitts~inderungen ftihrt dabei auf lineare Gleichungssysteme fiir die Koeffizienten des Potentialansatzes. Da wegen der vorhandenen Exzentrizit~tt ein r~iumliches Problem vorliegt, ist far jede Harmonisehe der Peripheriekoordinaten ein Gleichungssystem zu lbsen. Hinzu kommt noch, daI3 die Koordinaten des urspriinglichen zylindrischen Leiters nicht mit den Koordinaten der Verengung tibereinstimmen, was die Anwendung des Additions- theorems der Bessel-Funktionen erforderlich macht, die als LSsungsharmonische der Feldgleichung die radiale Abh/ingigkeit des Potentials beschreiben.

Nit den gefundenen Koeffizienten der ortsabh/in- gigen Potentialkomponenten wird dann durch Inte- gration der Randbedingung, die nach der Stetigkeit des Potentials auf der leitenden F1/iche in der Ebene

sprunghafter Querschnitts/inderung verlangt, die bis- her unbekannte Potentialerh6hung bestimmt. Mit dieser ist dann auch die gesuchte Widerstandserh6- hung bekannt. Auf den Grenzfall eines Haarrisses, der bei Dauerbriiehen auftritt und die Veranlassung ftir die durchgeftihrte Untersuchung gab, wird beson- ders eingegangen.

Eingega**gen am 16. August 1979

Prof. Dr.-Ing. habil. L. Hannakan l

Dipl.-Ing. M. Albach

Technische Universit~it Berlin In s t i t u t fiir Theoretische Elektrotechnik J2insteinu fer 25 D-1000 Berlin 10