Wie kann man Grundlagen MATHEMATIK … · Fragestellungen sind mit Hilfe der Grafik sind zu beantworten. GRUNDLEGENDES Die Tasten der TI-Rechner sind meist dreifach belegt. Die grauen

MMATHEMATIKATHEMATIK MITMIT U UNTERSTÜTZUNGNTERSTÜTZUNG VONVON GRAFIKFÄHIGENGRAFIKFÄHIGEN T TASCHENRECHNERNASCHENRECHNERN Der Einsatz moderner Technologie im Mathematikunterricht bietet eine Fülle von Möglichkeiten, durchden Einsatz von anschaulichen grafischen Darstellungen den Unterricht zu realistischer zu gestalten.Mit grafikfähigen Taschenrechnern (GTR), CAS-Rechnern, Excel und ähnlichen Hilfsmitteln kann manbesondere Eigenschaften von Funktionen, wie Nullstellen, relative Extremwerte und Wendepunkte,einfach berechnen und die Ergebnisse interpretieren. In der folgenden Einführung wird anhand konkreterBeispiele die Umsetzung des Funktionsbegriffes im Unterricht und der Umgang mit dem Rechner erklärt.

F Worauf Sie bei grafikfähigen Taschenrechnern achten sollten:

Richtige Fenstereinstellung Von der richtigen Einstellung der Bildschirmgrenzen ist die korrekte Lösung des Beispiels abhängig. Was man auf dem Bildschirm nicht sieht, kann man meist auch nicht berechnen!Der Schüler sollte alle wesentlichen Teile der Grafik auf seinem Bildschirm dargestellt haben.

Was erwarten Sie als Lehrer vom Schüler? Wie soll die Lösung einer gestellten Aufgabe aussehen?Es gibt keinen Rechengang mehr. Rechnungen werden vom GTR ausgeführt. Wie soll der Schüler den Lösungsweg im Heft angeben?

Einige Vorschläge:- Angabe der eingegebenen Funktionen (zB. bei Kosten-Preistheorie) und verbale Interpretation.- Angabe der Bildschirmgrenzen mit Skizze der zur Berechnung notwendigen Funktionen. In die Skizze sind alle berechneten Werte einzutragen.- Exakte Zeichnung der Funktionen. Alle zuvor berechneten Werte einer Kurvendiskussion sind

einzutragen.- Protokoll aller Rechenschritte (sehr zeitaufwendig!).- Eingabeprotokoll; In Eingabemasken (TVM-Solver) oder in Programme eingegebene Werte

werden notiert.

Ein sehr wichtiger Punkt, auf den man immer wieder zurückkommen sollte, ist das richtige „Lesen einerGrafik”. Der Schüler sollte lernen ein mathematisches Modell der Problemstellug zu erstellen und inden Rechner einzugeben. Die Grafik, die der GTR liefert, ist dann zu interpretieren und konkreteFragestellungen sind mit Hilfe der Grafik sind zu beantworten.

GGRUNDLEGENDESRUNDLEGENDES

Die Tasten der TI-Rechner sind meist dreifach belegt. Die grauen Tasten dienen der Zifferneingabe.Blaue Tasten definieren beim TI-83+ die mathematischen Grundfunktionen und die Einstellungen fürAnzeige und grafische Darstellung.

Die Sekundärfunktion bzw. dritte Funktion einer Taste (über der Taste in gelber oder grüner Schrift)

aktivieren Sie, indem Sie zuerst die gelbe -Taste bzw. die grüne -Taste (beim TI-83) / die2nd ALPHA

grüne Raute-Taste (beim TI-92/89) betätigen.…

Da sich auch mit dreifacher Belegung der Tasten nicht alle Möglichkeiten des Rechners direkt einer Tastezuordnen lassen, finden sich viele Rechenoperationen in Menüs, die sich auf Tastendruck (Tasten fürfortgeschrittene Funktionen) aufrufen lassen. Aus diesen Menüs lassen sich dann die gewünschten Rechenoperationen durch Eingabe derentsprechenden Nummer, die vor dem Befehl steht, auswählen.

Beim TI-92/89 sind viele fortgeschrittene Funktionen über die Funktionstasten , , usw. zuF1 F2

aktivieren. Die aktuelle Tastenbelegung finden Sie in der Menüleiste am oberen Bildschirmrand.

Verlassen Sie ein Menü mit der -Taste.ESC

Der TI-83+ befindet sich grundsätzlich im Überschreibmodus.Der TI-92+/89 befindet sich grundsätzlich im Einfügemodus

Wie kann manWie kann man.................. Grundlagen

© Friedrich Tinhof /Trauner Verlag Seite I

BBEFEHLEEFEHLE ZURZUR F FEHLERKORREKTUREHLERKORREKTUR

� Mit Hilfe des Befehls [QUIT] gelangen Sie zurück in den Hauptbildschirm.2nd

� Der Befehl löscht auf dem Hauptbildschirm die aktuelle Zeile. CLEAR

TI-92/98: Eingabezeile wird gelöscht. TI-83+: Steht der Cursor in einer leeren Zeile des Hauptbildschirmes, wird der gesamte Bildschirmgelöscht.

� TI-83+: Der Befehl löscht das Zeichen an der aktuellen Cursorposition.DEL

TI-83+: Nach dem Befehl [INS] können neue Zeichen eingefügt werden. 2nd

Der TR wechselt vom Überschreibmodus in den Einfügemodus. Neue Zeichen werden vor dem Cursor eingefügt.

� TI-92/89: Mit der Taste löschen Sie das Zeichen VOR der aktuellen Cursorposition.b

� Das letzte Rechenergebnis wird vom Rechner automatisch unter „ANS” gespeichert. Das letzte Ergebnis kann eine Zahl, eine Liste oder eine Matrix sein.

Mit dem Befehl [ANS] erhalten Sie das Ergebnis der letzten Rechenoperation auf dem2nd

Bildschirm.

� Mit [ENTRY] wird die letzte Eingabe noch einmal aufgerufen und an der Cursorposition2nd

eingefügt. Sie können die Eingabe ändern und erneut ausführen.Wiederholte Anwendung des Befehles bringt weiter zurückliegende Eingaben auf den Bildschirm.

�Grundeinstellungen der Rechner

erhalten Sie mit der -MODE

Taste.

Wie kann man ...Wie kann man ...

... F... FUNKTIONENUNKTIONEN Z ZEICHNENEICHNEN

1 Zeichnen Sie die Funktionen f(x): y = 2x+3 und g(x): y = x² −3x +1

Beim TI-89/TI-92 können Sie die

Funktionsterme nach Drücken von und [Y=]…

eingeben.AktivierenoderdeaktivierenSieFunktionen

mit F 4

.Wenn Funktionen aktiviert sind, erscheint vordem Funktionsterm ein >ü<. Der Befehl löscht den Funktionsterm,CLEAR

in dem sich der Cursor befindet

Beim TI-83+ drücken Sie zunächst die Taste

um in den Formeleditor zu gelangen .Y=

Geben Sie die gewünschten Funktionen ein.Die Variable X erhalten Sie dabei entweder mitder Taste oderX, T, hh, n

mit [X].ALPHA

Funktionen werden nur gezeichnet, wenn dasGleichheitszeichen „Symbol =” markiert(dunkel unterlegt) ist.

Aktivieren Sie die Funktion mit bzw.ENTER

deaktivieren Sie eine bereits aktivierte Funktion,die nicht dargestellt werden soll, ebenfalls mit

. Bei Neueingabe einer Funktion wirdENTER

diese Funktion automatisch aktiviert.

Der Befehl löscht den Funktionsterm,CLEAR

in dem sich der Cursor befindet.


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B eispiel

Tabelleneinstellungen beim TI-92/89:

Tabelle: [TABLE]…

Tableset:

[TblSet]…

Die Tastenkombination

[TABLE] liefert die2nd

Wertetabelle derdargestellten Funktionen.In dieser Tabelle können

Sie nach Wunsch mit dem Cursor oder < =„blättern”.Die Schrittweite in derWertetabelle können Sie

mit [TBLSET]2nd

einstellen.Hier bedeutet TblStart = ... den Wert, bei demdie Wertetabelle beginnen soll.

gibt den Abstand der x- Werte in derDDTbl = ...Wertetabelle an.

Nach …

[GRAPH]

werden dieaktiviertenFunktionengezeichnet.

Nach Drücken der Taste

öffnet sich dasGRAPH

Grafikfenster und diegewählten Funktionenwerden gezeichnet.

Das Zeichenfenster lässt sich nach Drücken von

[WINDOW] einstellen.…Das Zeichenfenster lässt sich nach Drücken der

Taste WINDOW

einstellen.Dabei wird die x-Achsevon Xmin bis Xmaxdargestellt, wobei dieSkalierung (Teilstriche aufder Achse) durch den Befehl Xscl erfolgt. Die Zeichnung der y-Achse erfolgt analog vonYmin bis Ymax mit Yscl.

... F... FENSTERGRENZENENSTERGRENZEN SCHNELLSCHNELL UNDUND RICHTIGRICHTIG EINSTELLENEINSTELLEN

Leider gibt es keine allgemein gültige Regel für die korrekte Fenstereinstellung. Es ist allerdings möglich, einige Richtlinien zur Bestimmung der richtigen Zeichenintervalle zu geben:

f(x): y = - x² +4F Meist reicht es von der Definitionsmenge einer Funktion zur Bestimmung der Zeichengrenzen

für die x-Achse auszugehen.F Standardfenster

Für den Großteil der Funktionen, die im Schulgebrauch üblich sind, genügt eine Grundeinstellung des

Grafikfensters, die Sie beim TI-83+ mit ; ZOOM

6:ZStandard, beim TI-92/89 mit und „6” erhalten. F2

Nach Eingabe des Befehls erhalten Sie einen groben Überblick über den Verlauf der darzustellenden Funktion. Die Funktion wird in einem Bereich von −10 bis +10 gezeichnet. Die Feineinstellung der Bildschirmgrenzen kann dann

direkt (mit ) erfolgen.WINDOW


© Friedrich Tinhof /Trauner Verlag Seite III

B eispiel

F ZoomFit Bevor Sie die ZoomFit- Funktion anwenden, müssen Sie geeignete Grenzen für die x-Achse eingeben. Ausgehend von den gegebenen Fenstereinstellungen der x-Achse wird die Einstellung der y-Achse so vorgenommen, dass die gesamte Funktion sichtbar ist. Die gewünschte Anpassung erfolgt dann händisch.

TI-83+: Nach Eingabe des Befehls ; 0:ZoomFit („0” eingeben) wird die Funktion in einemZOOM

neuen Fenster dargestellt.

TI-92/89: Mit und „A” erhalten Sie die „eingepasste” Grafik.F2

F TabelleDer sicherste Weg, ein geeignetes Zeichenfenster zu finden, ist die Berechnung einer Wertetabelle mit einer geeigneten Schrittweite ∆∆Tbl= . Hier können Sie große und kleine Funktionswerte, Vorzeichenwechsel, Verhalten der Funktion usw. ablesen. Mit diesen Informationen kommen Sie schnell zu richtigen Bildschirmeinstellungen.

... N... NULLSTELLENULLSTELLEN VONVON F FUNKTIONENUNKTIONEN BERECHNENBERECHNEN

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f(x): .y = 215 $ x3 − 1, 6 $ x

Gehen Sie in den Funktionseditor ( oder und [Y=]) und geben Sie den Funktionsterm hierY= …

ein. Stellen Sie daraufhin die Fenstergrenzen in geeigneter Form ein ( oderr WINDOW …

[WINDOW]) und zeichnen Sie die Funktion ( oder [GRAPH].GRAPH …

Zur Berechnung derNullstelle links drücken

Sie und wählen SieF 5

den Menüpunkt 2:Zero.Der Rechner fordert Sieauf einen Wert für einen„Lower Bound” (linkeGrenze eines Intervalls,in dem die Nullstelleliegt) einzugeben.Diese linke Grenzekönnen Sie mit Hilfe desCursors wählen (mit

bestätigen). SieENTER

können aber auch einegeeignete Zahl eingeben

und drücken .ENTER

Zur Berechnung derNullstelle links drücken

Sie [CALC] und2nd

wählen Sie denMenüpunkt 2:zero. DerRechner fordert Sie aufeinen Wert für einen„Left Bound” (linkeGrenze eines Intervalls,in dem die Nullstelleliegt) einzugeben.Diese linke Grenzekönnen Sie mit Hilfe desCursors wählen (mit

bestätigen). SieENTER

können aber auch eine geeignete Zahl eingeben

und drücken .ENTER

und [Y=]…

…

[WINDOW]

[GRAPH]…

Y=

WINDOW

GRAPH


© Friedrich Tinhof /Trauner Verlag Seite IV

B eispiel

Auf die Eingabeauf-forderung „UpperBound” gehen Sie analogvor.

Sie erhalten eineNullstelle im Intervall[Lower Bound; UpperBound].Der Vorgang muss für jede der Nullstellenwiederholt werden. Die berechneten x-Werte werden in derVariablen xc gespeichert.

Auf die Eingabeaufforderung „Right Bound”gehen Sie analog vor.Die Anzeige „Guess”bestätigen Sie mit

. ENTER

Sie erhalten eineNullstelle im Intervall[Left Bound; Right Bound].Der Vorgang muss für jede der Nullstellenwiederholt werden. Die berechneten x-Wertewerden in der Variablen X gespeichert.

... E... EXTREMWERTEXTREMWERTE VONVON F FUNKTIONENUNKTIONEN BERECHNENBERECHNEN

2 Berechnen Sie die Extremwerte der Funktion f(x): .y = 215 $ x3 − 1, 6 $ x

Zeichnen Sie zunächst den Grafen der Funktion in einem geeigneten Fenster.

Zur Berechnung desMaximums drücken Sie

und wählen Sie denF 5

Menüpunkt4:Maximum. Geben Sieeinen „Lower Bound” und einen .„UpperBound” des Intervalls anin dem der Extremwertliegt. Bestätigen Sie jede

Eingabe mit .ENTER

.Sie erhalten einenHochpunkt im Intervall[Lower Bound; UpperBound].Der Vorgang muss fürjeden der Extremwertewiederholt werden. Der berechnete x-Wertwird in der Variablen xcgespeichert.Der berechnete y-Wert wird in der Variablen ycgespeichert.

Zur Berechnung desMinimums rechts

drücken Sie 2nd

[CALC] und wählen Sieden Menüpunkt3:minimum. Geben Sieeinen „Left Bound” undeinen .„Right Bound”des Intervalls an in demder Extremwert liegt.Bestätigen Sie jede

Eingabe mit .ENTER

Die Anzeige „Guess”bestätigen Sie ebenfalls

mit . ENTER

Sie erhalten einenHochpunkt im Intervall[Left Bound; RightBound].Der Vorgang muss fürjeden Extremwertwiederholt werden. Der berechnete x-Wert wirdin der Variablen X gespeichert. Der berechnetey-Wert wird in der Variablen Y gespeichert.

... S... SCHNITTPUNKTECHNITTPUNKTE VONVON F FUNKTIONENUNKTIONEN BERECHNENBERECHNEN

3 Berechnen Sie die Schnittstellen der Funktion f(x): mit g(x): y = 215 $ x3 − 1, 6 $ x x2 − 1

Zeichnen Sie zunächst die Grafen der Funktionen.

Zur Berechnung der Schnittpunkte drücken Sief

und wählen Sie den MenüpunktF 5

5:Intersection.

Zur Berechnung der Schnittpunkte drücken Sie

[CALC] und wählen Sie den Menüpunkt2nd

5:intersect.


© Friedrich Tinhof /Trauner Verlag Seite V

B eispiel

B eispiel

Wählen Sie mit Hilfe der

Cursortasten oder < =eine „First Curve” undeine .„Second Curve”deren Schnittpunkt Sieberechnen wollen.

Geben Sie einen „LowerBound” und einen.„Upper Bound” desIntervalls an in dem derSchnittpunkt liegt.Bestätigen Sie jede

Eingabe mit .ENTER

Der Vorgang muss fürjeden der Schnittpunktewiederholt werden. Der berechnete x-Wertwird in der Variablen xcgespeichert.Der berechnete y-Wertwird in der Variablen ycgespeichert.

Wählen Sie mit Hilfe der

Cursortasten oder < =eine „First curve” undeine .„Second curve”deren Schnittpunkt Sieberechnen wollen.Bestätigen Sie jede

Eingabe mit .ENTER

Die Anzeige „Guess”bestätigen Sie ebenfalls

mit . ENTER

Sie erhalten denSchnittpunkt, der IhremStartpunkt am Nächstenliegt.Der Vorgang muss fürjeden Schnittpunktwiederholt werden. Der berechnete x-Wertwird in der Variablen Xgespeichert. Der berechnete y-Wert wird in der Variablen Ygespeichert.

... ... FFUNKTIONENUNKTIONEN VERKNÜPFENVERKNÜPFEN

Das Aufrufen von bereits eingegebenen Funktionstermen ist bei Verwendung eines GTR ein sehr häufiganzuwendender Vorgang. Leider ist gerade dieses Aufrufen von Funktionen beim TI-83+ etwas kompliziert:

- Um bereits gegebene Funktionen aufzurufen drücken Sie zuerst

die Taste . VARS

- Gehen Sie mit dem Cursor auf Y-VARS und bestätigen Sie 1:Function

mit . ENTER

Es erscheint ein neuer Bildschirm mit einer Liste von Funktionen. - Wählen Sie die gewünschte Funktion (hier 1:Y1 ) und bestätigen Sie wieder

mit . ENTER

- In der Anzeige steht daraufhin Y1 an der gewünschten Stelle.

4 Eingabe von Funktionstermen. Differenzenquotient und Einführung des Differenzialquotienten ; Symmetrieeigenschaften; Elastizität

Y1= X^2Y2= 2*Y1

Y3= Y2 + 1 (2*Y1 + 1)Y4= 1/Y3 (1/(2*Y1 + 1)) fett gezeichnet


© Friedrich Tinhof /Trauner Verlag Seite VI

!

B eispiel

Differenzenquotient mit h = 0,0001Y1= X^2Y2= (Y1(X+0.0001)−Y1(X)) /0.0001

Zur Einführung der Ableitungsfunktion.

Differenzenquotient mit h = 1Y1= X^2Y2= (Y1(X+1)−−Y1(X)) /1

Y1= X^2Y2= Y1(1) (Funktionswert an der Stelle 1)Y3= Y1(X−−2) (X-2)^2Y4= (X-2)^2 Kontrollfunktion fett gezeichnet

Beim TI-92/89 geht das Aufrufen von Funktionen sehr viel einfacher. Geben Sie einfach die gewünschte Funktion mit Hilfe der Tastatur ein:

y1= x^2y2= y1(1) (Funktionswert an der Stelle 1)y3= y1(x−−2) (x-2)^2y4= (x−2−2)^2 Kontrollfunktion fett gezeichnet

... ... DDATENLISTENATENLISTEN EINGEBENEINGEBEN, , GRAFISCHGRAFISCH DARSTELLENDARSTELLEN UNDUND AUSWERTENAUSWERTEN

5 Geben Sie die gegebenen Datenpunkte in Ihren Rechner ein und stellen Sie die Punkte grafischdar.

10.69.27.86.4y8 0006 0004 0002 000x

Drücken Sie APPS

wählen Sie6:Data/Matrix Editor1:New .

Type: DataFolder: MainVariable: list1ENTER

Drücken Sie die Taste

und wählen Sie STAT

1: Edit. Geben Sie diegegebenen x-Werte in ListeL1 und die Y-Werte in ListeL2 ein.Mit den gegebenenListen können auchRechnungen ausgeführtwerden.


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B eispiel

Regression:

Drücken Sie APPS

wählen Sie6:Data/Matrix Editor1:Current . Sie gelangen in denEditor für Listeneingabemit den eingegebenenListen in c1 und c2.

Drücken Sie undF 5

stellen Sie dengewünschtenRegressionstyp ein.Calculation Type: 5:LinRegx: c1y: c2StoreRegEQ to: y1(x)Die Regressinslinie wirdin y1(x) gespeichert.

Regression:

Drücken Sie undSTAT

wählen Sie CALC4:LinReg(ax+b) Auf demHauptbildschirmerscheint LinReg(ax+b).Geben Sie dahinter dieNamen der Listen mitden Daten und denNamen der Funktion ein,in der die Funktiongespeichert werden soll.

[L1] [L2] 2nd , 2nd

;Y-VARS;, VARS

1:Function ;ENTER

1:Y1 ENTER

Die Regressionsfunktionwird berechnet und dieKoeffizienten werdenangezeigt.Die lineare Gleichungwird in Y1 gespeichert.

Um die eingegebenenDaten grafisch darzu-

stellen, drücken Sie F2

und dann .F1

Plot Type: Scatter

Mark: Crossx: c1y: c2

ENTER

Funktionen y1(x), y2(x),usw. sollten vorher mit

deaktiviert werden.F 4

Mit F2

9:ZoomData erhaltenSie automatisch einegrobe Fenstereinstellung.

Um die eingegebenenDaten grafisch darzu-stellen, drücken Siezunächst

[STAT PLOT] und2nd

wählen Sie 1:PLOT1.Wählen Sie diegewünschteDarstellungsform derGrafik (scatterplot).Geben Sie die Listen an,in denen Sie die Datengespeichert haben undwählen Sie dieDarstellungsform derDatenpunkte (+).Geben Sie geeigneteFenstereinstellungen einund drücken Sie

.GRAPH

Funktionen y1, y2, usw. sollten vorherdeaktiviert werden.

Mit : 9:ZoomStat erhalten SieZOOM

automatisch eine grobe Fenstereinstellung.


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Wie kann man Grundlagen MATHEMATIK … · Fragestellungen sind mit Hilfe der Grafik sind zu beantworten. GRUNDLEGENDES Die Tasten der TI-Rechner sind meist dreifach belegt. Die grauen