Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften · modelliert, die auf das betrachtete System zu bestimmten Zeitpunkten einwirken. I Einfachheitshalber de nieren wir die stochastischen

Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften

Abschnitt 3: ARMA-Prozesse

Prof. Dr. Hans-Jorg Starkloff

TU Bergakademie FreibergInstitut fur Stochastik

Sommersemester 2019

Prof. Dr. Hans-Jorg Starkloff Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften 2019 Kap. 3 13.4.2019 1

3 ARMA-Prozesse

I Nun soll eine wichtige Klasse von schwach stationarenstochastischen Prozessen, die in der Zeitreihenanalyse eine sehrgroße Rolle spielt, vorgestellt werden. Dies ist die Klasse derARMA(p, q)-Prozesse, zu der auch die Moving-Average-Prozesseund die autoregressiven Prozesse gehoren. Diese Prozesse werdendurch eine (kleine) endliche Anzahl von Parametern beschrieben.

I Bei der Definition dieser Prozesse wird ein Weißes Rauschenwesentlich mit genutzt. In Anwendungen werden durch das WeißeRauschen haufig zufallige Beeinflussungen (engl.

”shocks“)

modelliert, die auf das betrachtete System zu bestimmtenZeitpunkten einwirken.

I Einfachheitshalber definieren wir die stochastischen Prozesse furt ∈ Z (es gibt keinen naturlichen Startzeitpunkt fur okonomischeSysteme). Im Allgemeinen kann man die Definitionen undEigenschaften leicht auf andere diskrete Zeitmengen ubertragen.


3.1 MA(q)-Prozesse

Def. 3.1.1Der stochastische Prozess (Xt ; t ∈ Z) heißt Moving-Average-Prozesserster Ordnung oder MA(1)-Prozess (auch Prozess der gleitenden Mittelerster Ordnung, . . . ), falls mit reellen Zahlen θ0 6= 0, θ1 6= 0 und einemWeißen Rauschen (Zt ; t ∈ Z) , d.h. (Zt) ∼WN(0, σ2) mit σ2 > 0 ,fur beliebige t ∈ Z gilt

Xt = θ0Zt + θ1Zt−1 . (MA1)

Bem.

(i) Ohne Beschrankung der Allgemeinheit kann man in der Definitionθ0 = 1 annehmen, da auch (Zt := θ0Zt ; t ∈ Z) ein WeißesRauschen ist, d.h. (Zt) ∼WN(0, θ20σ

2) .

(ii) θ0, θ1 und σ2 nennt man die Parameter des MA(1)-Prozesses.


Eigenschaften von MA(1)-Prozessen

Satz 3.1.2Sei (Xt ; t ∈ Z) ein MA(1)-Prozess mit den Parametern θ0, θ1, σ

2 .

(i) Dann gilt fur die Erwartungswertfunktion E[Xt ] = 0 , t ∈ Z .

(ii) Es gilt fur die Kovarianz- bzw. Korrelationsfunktion mit h ∈ Z

Cov[Xt+h,Xt ] = γX

(h) =

(θ20 + θ21)σ2 , h = 0 ,θ0θ1σ

2 , h = ±1 ,0 , |h| > 1 ;

Corr[Xt+h,Xt ] = ρX

(h) =

1 , h = 0 ,θ0θ1θ20+θ

21, h = ±1 ,

0 , |h| > 1 .

Insbesondere sind Xs und Xt unkorreliert, falls |s − t| ≥ 2 gilt.

(iii) (Xt ; t ∈ Z) ist ein schwach stationarer stochastischer Prozess.


Weitere Eigenschaften von MA(1)-Prozessen

Satz 3.1.3Sei (Xt ; t ∈ Z) ein MA(1)-Prozess mit den Parametern θ0, θ1, σ

2 .

(i) Es gilt |ρX

(1)| =

∣∣∣∣ θ0θ1θ20 + θ21

∣∣∣∣ ≤ 1

2.

(ii) Ist (Yt ; t ∈ Z) ein MA(1)-Prozess mit den Parametern θ1, θ0, σ2 ,

dann besitzen die MA(1)-Prozesse (Xt ; t ∈ Z) und (Yt ; t ∈ Z)ubereinstimmende Kovarianz- und Korrelationsfunktionen.

(iii) Ist (Yt ; t ∈ Z) ein MA(1)-Prozess mit Parametern θ0,θ20θ1, σ2 ,

dann besitzen die MA(1)-Prozesse (Xt ; t ∈ Z) und (Yt ; t ∈ Z)ubereinstimmende Korrelationsfunktionen.

Bem.Die Parameter eines MA(1)-Prozesses werden also nicht eindeutig durchdessen Korrelationsfunktion bestimmt (selbst im Fall θ0 = 1).


Grafik der Funktionx

1 + x2


Korrelationsfunktion eines MA(1)-Prozesses

Satz 3.1.4Sei ρ ∈ [−1; 1] . Dann gibt es einen MA(1)-Prozess (Xt ; t ∈ Z) mitder (Auto-)Korrelationsfunktion (”ACF”)

ρX

(h) =

1 , h = 0 ,ρ , h = ±1 ,0 , |h| > 1, h ∈ Z ,

genau dann, wenn 0 < |ρ| ≤ 0.5 gilt. Sind 1, θ, σ2 die Parameter desMA(1)-Prozesses, dann gilt

θ =

1 , ρ = 0.5 ,−1 , ρ = −0.5 ,12ρ ±

√1

4ρ2− 1 , 0 < |ρ| < 0.5 ,

wobei1

2ρ+

√1

4ρ2− 1 =

(1

2ρ−

√1

4ρ2− 1

)−1fur 0 < |ρ| < 0.5 .


Bsp. 3.1.5 MA(1)-Prozess, θ = 1, ACF

Xt = Zt + Zt−1 , t ∈ Z .


Realisierung Gauss-MA(1)-Prozess, θ = 1 , σ2 = 12

(Skalierung, damit die Varianz des Prozesses 1 wird)

Xt = Zt + Zt−1 , (Zt) ∼ IIN

(0,

1

2

), t ∈ Z .


Streudiagr. Lag 1 Gauss-MA(1)-Proz., θ = 1, σ2 = 12


Streudiagr. Lag 2 Gauss-MA(1)-Proz., θ = 1, σ2 = 12


Bsp. 3.1.6 MA(1)-Prozess, θ = −1, ACF

Xt = Zt − Zt−1 , t ∈ Z .


Realisierung Gauss-MA(1)-Prozess, θ = −1, σ2 = 12


Xt = Zt − Zt−1 , (Zt) ∼ IIN

(0,

1

2

), t ∈ Z .


Streudiagr. Lag 1 Gauss-MA(1)-Proz., θ = −1, σ2 = 12


Streudiagr. Lag 2 Gauss-MA(1)-Proz., θ = −1, σ2 = 12


Bsp. 3.1.7 MA(1)-Prozess mit θ = 2, ACF

Xt = Zt + 2Zt−1 , t ∈ Z .


Bsp. 3.1.8 MA(1)-Prozess mit θ = −2, ACF

Xt = Zt − 2Zt−1 , t ∈ Z .


Bsp 3.1.9 MA(1)-Prozess mit θ = −0.5, ACF

Xt = Zt − 0.5Zt−1 , t ∈ Z .


Bsp. 3.1.10 MA(1)-Prozess mit θ = −0.1, ACF

Xt = Zt − 0.1Zt−1 , t ∈ Z .


Realisierung Gauss-MA(1)-Prozess, θ = −0.1, σ2 = 11.01


Xt = Zt − 0.1Zt−1 , (Zt) ∼WN

(0,

1

1.01

), t ∈ Z .


Streudiagr. Lag 1 Gauss-MA(1)-Pr., θ = −0.1, σ2 = 11.01


Streudiagr. Lag 2 Gauss-MA(1)-Pr., θ = −0.1, σ2 = 11.01


Definition MA(q)-Prozesse

Definition 3.1.11Es sei q ∈ N0 . Der stochastische Prozess (Xt ; t ∈ Z) heißt Moving-Average-Prozess q-ter Ordnung oder MA(q)-Prozess (oder auch Prozessder gleitenden Mittel q-ter Ordnung,. . . ), falls mit reellen Zahlenθ0 6= 0, θ1, . . . , θq−1, θq 6= 0 und einem Weißen Rauschen (Zt ; t ∈ Z) ,d.h. (Zt) ∼WN(0, σ2) mit σ2 > 0 , fur beliebige t ∈ Z gilt

Xt = θ0Zt + θ1Zt−1 + . . .+ θqZt−q . (MAq)

Bem.

(i) Ohne Beschrankung der Allgemeinheit kann man in der Definitionθ0 = 1 annehmen, da auch (Zt := θ0Zt ; t ∈ Z) ein WeißesRauschen ist, (Zt) ∼WN(0, θ20σ

2) .

(ii) θi , i = 0, . . . , q , und σ2 nennt man die Parameter desMA(q)-Prozesses.

(iii) Im Fall q = 0 erhalt man ein Weißes Rauschen.


Bsp. 3.1.12 Realisierung Gausssches Weißes Rauschenmit σ2 = 1


Bsp. 3.1.13 Realisierung Gauss-MA(1)-Prozess mitθ0 = θ1 = 1 , σ2 = 1

2



Bsp. 3.1.14 Realisierung Gauss-MA(5)-Prozess mitθ0 = . . . = θ5 = 1, σ2 = 1

6



Eigenschaften von MA(q)-Prozessen

Satz 3.1.15Sei q ∈ N0 und (Xt ; t ∈ Z) ein MA(q)-Prozess mit den Parameternθi , i = 0, . . . , q, und σ2 .

(i) Dann gilt fur die Erwartungswertfunktion E[Xt ] = 0 , t ∈ Z .

(ii) Es gilt fur die Kovarianz- bzw. Korrelationsfunktion mit h ∈ Z

Cov[Xt+h,Xt ] = γX

(h) =

σ2∑q−|h|

i=0 θiθi+|h| , |h| ≤ q ,

0 , |h| > q ;


(h) =

1∑q

i=0 θ2i

∑q−|h|i=0 θiθi+|h| , |h| ≤ q ,

0 , |h| > q .

Insbesondere sind Xs und Xt unkorreliert, falls |s − t| ≥ q + 1 .

(iii) (Xt ; t ∈ Z) ist ein schwach stationarer stochastischer Prozess.


Aussagen zur Korrelationsfunktion von MA(q)-Prozessen

Satz 3.1.16

(i) Fur reelle Zahlen ρ1, . . . , ρq ∈ [−1; 1] gilt genau dann

ρX

(h) = ρh , h = 1, . . . , q ,

mit einem MA(q)-Prozess (Xt ; t ∈ Z) , wenn gilt

fX (λ) =1

2π+

1

π

q∑h=1

ρh cos(hλ) ≥ 0 , λ ∈ R .

(ii) Die Parameter θ1, . . . , θq des MA(q)-Prozesses (Xt ; t ∈ Z)konnen dann mit Hilfe des nichtlinearen Gleichungssystems

ρh =1∑q

i=0 θ2i

q−|h|∑i=0

θiθi+|h| , h = 1, . . . , q ,

(mit θ0 := 1) bestimmt werden.


Bsp. 3.1.17 MA(2)-Prozess, θ1 = 0.6, θ2 = 0.2, ACF

Xt = Zt + 0.6Zt−1 + 0.2Zt−2 , t ∈ Z .


Bsp. 3.1.18 MA(2)-Prozess, θ1 = 0.6, θ2 = −0.2, ACF

Xt = Zt + 0.6Zt−1 − 0.2Zt−2 , t ∈ Z .


Bsp. 3.1.19 MA(2)-Prozess, θ1 = −0.6, θ2 = 0.2, ACF

Xt = Zt − 0.6Zt−1 + 0.2Zt−2 , t ∈ Z .


Bsp. 3.1.20 MA(2)-Prozess, θ1 = −0.6, θ2 = −0.2, ACF

Xt = Zt − 0.6Zt−1 − 0.2Zt−2 , t ∈ Z .


Bsp. 3.1.21 MA(2)-Prozess, θ1 = 0.2, θ2 = 0.6, ACF

Xt = Zt + 0.2Zt−1 + 0.6Zt−2 , t ∈ Z .


Definition mit Verschiebungsoperator

Bem. 3.1.22Es ist nutzlich, fur die Definition von MA(q)-Prozessen und beiOperationen mit ihnen den Verschiebungsoperator L zu nutzen.Definiert man

Θ(L) := θ0 + θ1L + . . .+ θqLq ,

dann kann die Definitionsbeziehung eines MA(q)-Prozesses als

Xt = Θ(L)Zt

geschrieben werden.


3.2 AR(p)-Prozesse

Definition 3.2.1Der stochastische Prozess (Xt ; t ∈ Z) heißt autoregressiver Prozesserster Ordnung oder AR(1)-Prozess, falls

I er schwach stationar ist und

I mit einer reellen Zahl φ 6= 0 und einem Weißen Rauschen(Zt ; t ∈ Z) , d.h. (Zt) ∼WN(0, σ2) mit σ2 > 0 , fur beliebiget ∈ Z gilt

Xt = φXt−1 + Zt . (AR1)

Der stochastische Prozess (Xt ; t ∈ Z) heißt AR(1)-Prozess mitMittelwert µ ∈ R , falls (Xt − µ ; t ∈ Z) ein AR(1)-Prozess ist.

Bem.Die Definitionsgleichung ist eine zufallige Differenzengleichung (einzeitdiskretes Analog zu einer zufalligen Differentialgleichung). Derzufallige Einfluss kommt durch das Weiße Rauschen zustande.


Existenz eines AR(1)-Prozesses

Satz 3.2.2Eine schwach stationare Losung (Xt ; t ∈ Z) der zufalligenDifferenzengleichung (AR1) mit φ 6= 0 und (Zt) ∼WN(0, σ2) existiertgenau dann, wenn |φ| 6= 1 gilt. Die Losung ist P fast sicher eindeutig,

Xt =

{ ∑∞j=0 φ

jZt−j , |φ| < 1 ,

−∑∞

j=1 φ−jZt+j , |φ| > 1 ;

und es gilt fur t, h ∈ ZE[Xt ] = 0 ;

Cov[Xt+h,Xt ] = γX

(h) =

φ|h|

1−φ2σ2 , |φ| < 1 ,

φ−|h|

1−φ−2σ2 , |φ| > 1 ;


(h) =

{φ|h| , |φ| < 1 ,

φ−|h| , |φ| > 1 .


Zur Konvergenz im Quadratmittel

Satz 3.2.3Gegeben sei eine Folge (Yn; n ∈ N) von Zufallsgroßen mit E

[Y 2n

]<∞

(n ∈ N) . Existiert fur beliebige ε > 0 ein N = N(ε) ∈ N , so dass

E[(Yn − Ym)2

]< ε fur beliebige n,m ≥ N(ε) gilt, dann existiert eine

Zufallsgroße Y mit

limn→∞

E[(Yn − Y )2

]= 0

und umgekehrt. In dieser Situation sind fur eine Zufallsgroße Y die

Beziehungen limn→∞

E[(

Yn − Y)2]

= 0 und P(Y = Y

)= 1

aquivalent. Weiterhin gelten dann

limn→∞

E[Yn] = E[Y ] sowie

limn→∞

E[Y 2n

]= E

[Y 2]

und limn→∞

Var[Yn] = Var[Y ] .


Bsp. 3.2.4 AR(1)-Prozess, φ = 0.6, ACF

Xt = 0.6Xt−1 + Zt , t ∈ Z .


Bsp. 3.2.5 AR(1)-Prozess, φ = −0.6, ACF

Xt = −0.6Xt−1 + Zt , t ∈ Z .



Xt = 0.9Xt−1 + Zt , t ∈ Z .



Xt = −0.9Xt−1 + Zt , t ∈ Z .



Xt = 0.1Xt−1 + Zt , t ∈ Z .



Xt = −0.1Xt−1 + Zt , t ∈ Z .


Definition von AR(p)-Prozessen

Def. 3.2.10Der stochastische Prozess (Xt ; t ∈ Z) heißt autoregressiver Prozessp-ter Ordnung oder AR(p)-Prozess (p ∈ N) , falls


I mit reellen Zahlen φp 6= 0, φp−1, . . . , φ1 und einem WeißenRauschen (Zt ; t ∈ Z) , d.h. (Zt) ∼WN(0, σ2) mit σ2 > 0 , furbeliebige t ∈ Z gilt

Xt = φ1Xt−1 + . . .+ φpXt−p + Zt . (ARp)

Im Fall p = 0 gelte Xt = Zt , t ∈ Z .

Der stochastische Prozess (Xt ; t ∈ Z) heißt AR(p)-Prozess mitMittelwert µ ∈ R , falls (Xt − µ ; t ∈ Z) ein AR(p)-Prozess ist.


Definition mit Verschiebungsoperator

Bem. 3.2.11Auch bei der Definition von AR(p)-Prozessen und bei Operationen mitihnen ist es angebracht den Verschiebungsoperator L zu nutzen. Mit

Φ(L) := 1− φ1L− . . .− φpLp

kann die Definitionsbeziehung eines AR(p)-Prozesses als

Φ(L)Xt = Zt

geschrieben werden. Verwendet man die alternative Definitionsgleichung

Xt + φ1Xt−1 + . . .+ φpXt−p = Zt , t ∈ Z ,

ist mit Φ(L) := 1 + φ1L + . . .+ φpLp zu rechnen (dies ist ggf. bei der

Nutzung von Rechnerprogrammen zu berucksichtigen).

Die Existenz von schwach stationaren Losungen dieser Gleichung mussextra untersucht werden. Moglichkeiten der Berechnung der Kovarianz-bzw. Autokorrelationsfunktion (”ACF”) werden spater behandelt.


Bsp. 3.2.12 AR(2)-Prozess, φ1 = 0.6, φ2 = 0.2, ACF

Xt = 0.6Xt−1 + 0.2Xt−2 + Zt , t ∈ Z .


Bsp. 3.2.13 AR(2)-Prozess, φ1 = 0.6, φ2 = −0.2, ACF

Xt = 0.6Xt−1 − 0.2Xt−2 + Zt , t ∈ Z .


Bsp. 3.2.14 AR(2)-Prozess, φ1 = −0.6, φ2 = 0.2, ACF

Xt = −0.6Xt−1 + 0.2Xt−2 + Zt , t ∈ Z .


Bsp. 3.2.15 AR(2)-Prozess, φ1 = −0.6, φ2 = −0.2, ACF

Xt = −0.6Xt−1 − 0.2Xt−2 + Zt , t ∈ Z .


Bsp. 3.2.16 AR(2)-Prozess, φ1 = 0.2, φ2 = 0.6, ACF

Xt = 0.2Xt−1 + 0.6Xt−2 + Zt , t ∈ Z .


Bsp. 3.2.17 AR(2)-Prozess, φ1 = 0.2, φ2 = −0.6, ACF

Xt = 0.2Xt−1 − 0.6Xt−2 + Zt , t ∈ Z .


Bsp. 3.2.18 AR(2)-Prozess, φ1 = −0.2, φ2 = 0.6, ACF

Xt = −0.2Xt−1 + 0.6Xt−2 + Zt , t ∈ Z .


Bsp. 3.2.19 AR(2)-Prozess, φ1 = −0.2, φ2 = −0.6, ACF

Xt = −0.2Xt−1 − 0.6Xt−2 + Zt , t ∈ Z .


3.3 ARMA(p, q)-Prozesse

Def. 3.3.1Der stochastische Prozess (Xt ; t ∈ Z) heißt autoregressiver Moving-Average-Prozess der Ordnung (p, q) oder ARMA(p, q)-Prozess(p, q ∈ N0) , falls


I mit reellen Zahlen φp 6= 0, φp−1, . . . , φ1 , θ0 6= 0, . . . , θq 6= 0 undeinem Weißen Rauschen (Zt ; t ∈ Z) , d.h. (Zt) ∼WN(0, σ2) mitσ2 > 0 , fur beliebige t ∈ Z gilt

Xt = φ1Xt−1 + . . .+ φpXt−p + θ0Zt + θ1Zt−1 + . . .+ θqZt−q .(ARMA)

Der stochastische Prozess (Xt ; t ∈ Z) heißt ARMA(p, q)-Prozess mitMittelwert µ ∈ R , falls (Xt − µ ; t ∈ Z) ein ARMA(p, q)-Prozess ist.


Bemerkungen

Bem. 3.3.2

(i) Ohne Beschrankung der Allgemeinheit kann man wieder θ0 = 1annehmen, was im Folgenden oft auch gemacht wird.

(ii) Mit Hilfe des Verschiebungsoperators L und

Φ(L) := 1− φ1L− . . .− φpLp ,Θ(L) := θ0 + θ1L + . . .+ θqL

q ,

kann die Definitionsbeziehung eines ARMA(p, q)-Prozesses als

Φ(L)Xt = Θ(L)Zt

geschrieben werden.(Ggf. ist wieder die Variante Φ(L) := 1 + φ1L + . . .+ φpL

p zunutzen.)

(iii) Fur weitere Betrachtungen ist die Klasse der MA(∞)-Prozessenutzlich.


MA(∞)-Prozesse

Def. 3.3.3Ein stochastischer Prozess (Xt ; t ∈ Z) heißt Moving-Average-Prozessunendlicher Ordnung oder MA(∞)-Prozess, falls mit einem WeißenRauschen (Zt ; t ∈ Z) , d.h. (Zt) ∼WN(0;σ2) , und einer Folge

(ψj ; j ∈ N0) mit∞∑j=0|ψj | <∞ gilt

Xt =∞∑j=0

ψjZt−j , t ∈ Z .

Mit Ψ(L) :=∞∑j=0

ψjLj wird dies auch als Xt = Ψ(L)Zt geschrieben.

Man sagt auch, (Xt ; t ∈ Z) sei ein MA(∞)-Prozess bezuglich desWeißen Rauschens (Zt) ∼WN(0, σ2) .


Eigenschaften von MA(∞)-Prozessen

Satz 3.3.4Ist der stochastische Prozess (Xt ; t ∈ Z) ein MA(∞)-Prozess bezuglichdes Weißen Rauschens (Zt) ∼WN(0, σ2) , dann ist (Xt ; t ∈ Z) einschwach stationarer Prozess mit Erwartungswertfunktion

µt = E[Xt ] = 0 , t ∈ Z ,

(Auto-)Kovarianzfunktion

Cov[Xt+h,Xt ] = γX

(h) = σ2∞∑j=0

ψjψj+|h| , h ∈ Z ,

und (Auto-)Korrelationsfunktion


(h) =

∞∑j=0

ψjψj+|h|

∞∑j=0

ψ2j

, h ∈ Z .


Kausale ARMA(p, q)-Prozesse

Fur das praktische Arbeiten mit ARMA(p, q)-Prozessen nimmt man an,dass diese zusatzlich kausal und invertierbar sind. Dies stellt in der Regelkeine wesentliche Einschrankung dar und erleichtert die Untersuchungen.

Def. 3.3.5Ein ARMA(p, q)-Prozess (Xt ; t ∈ Z) mit Φ(L)Xt = Θ(L)Zt heißtkausal bezuglich des Weißen Rauschens (Zt) ∼WN(0, σ2) , falls eine

Folge (ψj ; j ∈ N0) existiert mit∞∑j=0

|ψj | <∞ , so dass gilt

Xt = ψ0Zt + ψ1Zt−1 + ψ2Zt−2 + . . . =∞∑j=0

ψjZt−j , t ∈ Z .

Bem.Man beachte, dass sich diese Definition auf eine Eigenschaft von(Xt ; t ∈ Z) relativ zu (Zt) ∼WN(0, σ2) bezieht. Auch hier kann inder Regel ψ0 = 1 angenommen werden.


Invertierbare ARMA(p, q)-Prozesse

Def. 3.3.6Ein ARMA(p, q)-Prozess (Xt ; t ∈ Z) mit Φ(L)Xt = Θ(L)Zt heißtinvertierbar bezuglich des Weißen Rauschens (Zt) ∼WN(0, σ2) , falls

eine Folge (πj ; j ∈ N0) existiert mit∞∑j=0

|πj | <∞ , so dass gilt

Zt = π0Xt + π1Xt−1 + π2Xt−2 + . . . =∞∑j=0

πjXt−j , t ∈ Z .

Bem.Man beachte, dass sich auch diese Definition auf eine Eigenschaft von(Xt ; t ∈ Z) relativ zu (Zt) ∼WN(0, σ2) bezieht. Ist sie erfullt, kannman prinzipiell die zufalligen Beeinflussungen (Schocks) zt , t ∈ Z ,(naherungsweise) aus den vergangenen Beobachtungen xt , xt−1, . . .berechnen.


Bemerkungen

I Bedingungen fur die Existenz von ARMA(p, q)-Prozessen(Xt ; t ∈ Z) mit Φ(L)Xt = Θ(L)Zt und deren Eigenschaftenkonnen mit Hilfe der Polynome Φ(z) und Θ(z) , die dadurchentstehen, dass in den entsprechenden Ausdrucken L durch diekomplexwertige Variable z und die Potenzen Lj durchz j , j = 0, 1, . . . ersetzt wird, angegeben werden. So erhalt man

Φ(z) = 1− φ1z − . . .− φpzp und Θ(z) = 1 + θ1z + . . .+ θqzq .

I Heuristisch konnte man die Definitionsgleichung Φ(L)Xt = Θ(L)Zt

umschreiben zuXt = Φ(L)−1Θ(L)Zt ,

dies lasst sich aber nicht so leicht definieren und nutzen. Einmathematisch einfacheres Objekt ist die gebrochen rationaleFunktion Θ(z)

Φ(z)=

1 + θ1z + . . .+ θqzq

1− φ1z − . . .− φpzp.


Satz uber die Nullstellen von Polynomen

Fur das Weitere benotigen wir die folgenden Resultate.

Satz 3.3.7Ein Polynom n−ten Grades (n ∈ N)

f (z) = a0 + a1z + . . .+ anzn , z ∈ C ,

mit an 6= 0 besitzt genau n Nullstellen (oder Wurzeln) z1, . . . , zn imBereich der komplexen Zahlen, d.h f (zk) = 0 , k = 1, . . . , n , und es gilt

f (z) = an(z − z1) · (z − z2) · . . . · (z − zn) , z ∈ C .

Sind die Koeffizienten des Polynoms a0, a1, . . . an reelle Zahlen und istzk eine nichtreelle Nullstelle, dann ist auch die zu zk konjugiertkomplexe Zahl zk eine der Nullstellen.


Satz uber gebrochen rationale Funktionen

Satz 3.3.8Gegeben seien zwei Polynome f (z) = a0 + a1z + . . .+ anz

n undg(z) = b0 + b1z + . . .+ bmz

m mit m, n ∈ N , an · bm 6= 0 , z ∈ C und

betrachtet werde die gebrochen rationale Funktion r(z) =f (z)

g(z). Besitzt

das Nennerpolynom g keine Nullstelle, deren Betrag kleiner oder gleich1 ist, (d.h. nur

”Nullstellen außerhalb des Einheitskreises“), dann ist die

Funktion r auf jeden Fall fur alle komplexen Zahlen z mit |z | ≤ 1definiert und sie kann dort als konvergente Potenzreihe

r(z) =∞∑j=0

cjzj

dargestellt werden. Die Koeffizienten (cj ; j ∈ N0) konnen ausg(z)r(z) = f (z) durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, d.h.

(b0 + b1z + . . .+ bmzm)

∞∑j=0

cjzj

= a0 + a1z + . . .+ anzn .


Existenz kausaler ARMA(p, q)-Prozesse

Satz 3.3.9Gegeben sei die Definitionsgleichung Φ(L)Xt = Θ(L)Zt fur einenARMA(p, q)-Prozess, wobei die beiden Polynome Φ(z) und Θ(z) keinegemeinsamen Nullstellen besitzen. Dann existiert ein ARMA(p, q)-Prozess(Xt ; t ∈ Z) , der kausal bezuglich (Zt) ∼WN(0, σ2) ist genau dann,wenn Φ(z) 6= 0 fur komplexe Zahlen |z | ≤ 1 ist (d.h. die Nullstellenoder Wurzeln außerhalb des Einheitskreises liegen).

Die Koeffizienten ψj , j ∈ N0 , der MA(∞)-Darstellung Xt =∞∑j=0

ψjZt−j

sind durch

Ψ(z) =∞∑j=0

ψjzj =

Θ(z)

Φ(z), |z | ≤ 1 ,

eindeutig bestimmt.


Bemerkung und Beispiel

Bem. 3.3.10Die Koeffizienten ψj , j ∈ N0, konnen mit Hilfe des Koeffizientenvergleichsbestimmt werden. Dies kann numerisch oder gegebenenfalls auchanalytisch mit Hilfe der Losungsformel fur lineare homogeneDifferenzengleichungen geschehen.

Diese Koeffizienten besitzen in der Makrookonomie eine großeBedeutung, da ψj (j ∈ N) den Effekt von Zt−j auf Xt bzw. von Zt

auf Xt+j angibt.

Bsp. 3.3.11Φ(L) = 1− 0.05L− 0.6L2 ,Θ(L) = 1 mit Nullstellen von Φ :z1 = −4/3 , z2 = 5/4 .


Andere Falle

Bem. 3.3.12

(i) Besitzen Φ(z) und Θ(z) gemeinsame Nullstellen, dann kann manzeigen:

I ist fur keine der gemeinsamen Nullstellen der Betrag gleich 1, dannkann man Zahler und Nennerpolynom durch die entsprechendenLinearfaktoren teilen und Satz 3.3.9 anwenden;

I ist mindestens eine der gemeinsamen Nullstellen vom Betrag gleich1, dann kann es mehr als eine stationare Losung derDefinitionsgleichung geben.

(ii) Besitzen Φ(z) und Θ(z) keine gemeinsamen Nullstellen und giltΦ(z) = 0 fur ein z mit |z | = 1 , dann existiert keine stationareLosung. Man spricht in diesem Fall von einer Einheitswurzel (”unitroot”).

(iii) Besitzen Φ(z) und Θ(z) keine gemeinsamen Nullstellen und giltΦ(z) 6= 0 fur alle z mit |z | = 1 , dann existiert eine eindeutigestationare Losung.


Existenz invertierbarer ARMA(p, q)-Prozesse

Satz 3.3.13Sei (Xt ; t ∈ Z) ein ARMA(p, q)-Prozess mit DefinitionsgleichungΦ(L)Xt = Θ(L)Zt , wobei die beiden Polynome Φ(z) und Θ(z) keinegemeinsamen Nullstellen besitzen. (Xt ; t ∈ Z) ist genau danninvertierbar bezuglich (Zt) ∼WN(0, σ2) , wenn Θ(z) 6= 0 fur komplexeZahlen |z | ≤ 1 ist (d.h. die Nullstellen oder Wurzeln außerhalb desEinheitskreises liegen).Die Koeffizienten πj , j ∈ N0 , der MA(∞)-Darstellung von (Zt ; t ∈ Z)bezuglich (Xt ; t ∈ Z) :

Zt =∞∑j=0

πjXt−j , t ∈ Z ,

sind eindeutig bestimmt durch

Π(z) =∞∑j=0

πjzj =

Φ(z)

Θ(z), |z | ≤ 1 .


Beispiele

Bsp. 3.3.14

(i) Ein MA(q)-Prozess (Xt ; t ∈ Z) mit DefinitionsgleichungXt = Θ(L)Zt ist kausal bezuglich (Zt) ∼WN(0, σ2) .

(ii) Ein ARMA(1,q)-Prozess (Xt ; t ∈ Z) mit DefinitionsgleichungXt = φ1Xt−1 + Θ(L)Zt (und insbesondere ein AR(1)-Prozess) istkausal bezuglich (Zt) ∼WN(0, σ2) genau dann, wenn |φ1| < 1gilt.

(iii) Ein AR(p)-Prozess (Xt ; t ∈ Z) mit DefinitionsgleichungΦ(L)Xt = Zt ist invertierbar bezuglich (Zt) ∼WN(0, σ2) .

(iv) Ein ARMA(p,1)-Prozess (Xt ; t ∈ Z) mit DefinitionsgleichungΦ(L)Xt = Zt + θ1Zt−1 (und insbesondere ein MA(1)-Prozess) istinvertierbar bezuglich (Zt) ∼WN(0, σ2) genau dann, wenn|θ1| < 1 gilt.


Kovarianzfunktionen von kausalen ARMA(p, q)-Prozessen

Bem. 3.3.15Zur Berechnung der Kovarianzfunktion bzw. der Korrelationsfunktioneines kausalen ARMA(p, q)-Prozesses (Xt ; t ∈ Z) konnen verschiedeneBerechnungsverfahren genutzt werden. Ausgangspunkte sind dieDefinitionsgleichung

Φ(L)Xt = Θ(L)Zt

oder die MA(∞)-Darstellung

Xt =∞∑j=0

ψjZt−j , t ∈ Z ,

aus der Definition eines kausalen ARMA(p, q)-Prozesses mit

Ψ(z) =∞∑j=0

ψjzj =

Θ(z)

Φ(z), |z | ≤ 1 .


Erstes Verfahren

Bem. 3.3.16Kennt man die Koeffizienten ψj , j ∈ N0 , kann man mit Hilfe der Formel

γX

(h) = σ2∞∑j=0

ψjψj+|h| , h ∈ Z ,

die Kovarianzfunktion von (Xt ; t ∈ Z) berechnen. Die Koeffizientenψj , j ∈ N0 , ergeben sich wiederum durch Koeffizientenvergleich aus demlinearen Gleichungssystem

ψj −∑

0<k≤jφkψj−k = θj , 0 ≤ j < max{p, q + 1} ;

ψj −∑

0<k≤pφkψj−k = 0 , j ≥ max{p, q + 1} .

Das Gleichungssystem kann rekursiv gelost werden, der zweite Teil kannauch als homogene lineare Differenzengleichung aufgefasst und gelostwerden.


Zweites Verfahren

Bem. 3.3.17Multipliziert man die Definitionsgleichung sukzessiv mit Xt−h ,h = 0, 1, . . . , und bildet man anschließend den Erwartungswert, erhaltman ein lineares Gleichungssystem fur γ

X(h) , h ≥ 0 :

γX

(h)− φ1γX(h − 1)− . . .− φpγX

(h − p) = σ2∑

h≤j≤qθjψj−h ,

h < max{p, q + 1} ;

γX

(h)− φ1γX(h − 1)− . . .− φpγX

(h − p) = 0 , h ≥ max{p, q + 1} .

Der zweite Teil des Gleichungssystems stellt wieder eine homogenelineare Differenzengleichung p-ter Ordnung mit konstanten Koeffizientendar, wobei die Anfangsbedingungen aus dem ersten Teil desGleichungssystems bestimmt werden, nach dem ψ1, . . . , ψp berechnetworden ist. Der zweite Teil kann auch rekursiv numerisch berechnetwerden, nachdem γ

X(0), . . . , γ

X(p) bestimmt wurden.


Bsp. 3.3.18 ARMA(1,1)-Prozess, φ = 0.3, θ = 0.7, ACF

Xt = 0.3Xt−1 + Zt + 0.7Zt−1 , t ∈ Z .


Bsp. 3.2.19 ARMA(1,1)-Prozess, φ = 0.3, θ = −0.7, ACF

Xt = 0.3Xt−1 + Zt − 0.7Zt−1 , t ∈ Z .


Bsp. 3.2.20 ARMA(1,1)-Prozess, φ = −0.3, θ = 0.7, ACF

Xt = −0.3Xt−1 + Zt + 0.7Zt−1 , t ∈ Z .


Bsp. 3.2.21 ARMA(1,1)-Proz., φ = −0.3, θ = −0.7, ACF

Xt = −0.3Xt−1 + Zt − 0.7Zt−1 , t ∈ Z .



Xt = 0.7Xt−1 + Zt + 0.3Zt−1 , t ∈ Z .



Xt = 0.7Xt−1 + Zt − 0.3Zt−1 , t ∈ Z .


Bsp. 3.2.24 ARMA(1,1)-Prozess, φ = −0.7, θ = 0.3, ACF

Xt = −0.7Xt−1 + Zt + 0.3Zt−1 , t ∈ Z .


Bsp. 3.2.25 ARMA(1,1)-Proz., φ = −0.7, θ = −0.3, ACF

Xt = −0.7Xt−1 + Zt − 0.3Zt−1 , t ∈ Z .



Xt = 0.7Xt−1 + Zt + 0.7Zt−1 , t ∈ Z .



Xt = 0.7Xt−1 + Zt − 0.7Zt−1 , t ∈ Z .


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Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften · modelliert, die auf das betrachtete System zu bestimmten Zeitpunkten einwirken. I Einfachheitshalber de nieren wir die stochastischen