Zentraler Grenzwert SatzAufgabenAufgabe 1Um ihr Studium zu finanzieren jobben Sie nebenbei als Interviewer und befragen bei einer ihrerMissionen zufällig Wahlberechtigte um das Wahlergebnis einer bestimmten Partei vorherzusa-gen. Bestimmen Sie approximativ, wie viele Wähler Sie befragen müssen, damit Sie sich beiIhrer Prognose mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.9 um höchstens 1% (absolut)irren? Benutzen Sie zur Approximation den zentralen Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace.

Aufgabe 2Die Anzahl der Wähler die sie laut der vorherigen Aufgabe befragen müssten ist Ihnen zu hoch.Wieviele Wähler müssen Sie befragen, damit Sie sich mit Ihrer Prognose mit einer Wahrschein-lichkeit von mindestens 0.9 um höchstens 2% (Prozentpunkte) irren? Benutzen Sie wieder denzentralen Grenzwertsatz zur Approximation.

Aufgabe 3Als Sie versuchen sich in Ihrer Heimatstadt von Studium und Job zu erholen, lesen sie in der lo-kalen Zeitung einen Bericht zur anstehenden Gemeinderatswahl. Der Bericht beinhaltet nebenden üblichen Wahlversprechen eine angebliche repräsentative Umfrage zur Wahl, im Kleinge-druckten findet sich der Hinweis das sich Prognose mit mindestens 99% um höchstens 1% irrt.Aufgrund der Ergebnisse der frühren Aufgaben trauen Sie dieser Umfrage nicht, insbesondereda es in Ihrer Heimatstadt knapp 15000 Wahlberechtigte gibt. Wieviele Wähler hätte man be-fragen müssen um eine Umfrage mit der oben beschrieben Genauigkeit durchführen zu können?

Aufgabe 4Jedes Jahr findet zu Beginn des Wintersemester eine Computereinführungsveranstaltung statt.Aus langjähriger Erfahrung weiß man, daß etwa 18 % der angemeldeten Kursteilnehmer nichtzum Kurs erscheinen. Und da jeder Teilnehmer einen eigenen Rechner während des Kursesbraucht können nicht mehr Teilnehmer als freie Computer am Kurs teilnehmen. Insgesamt gibtes zehn Kurstermine mit je 22 Plätzen und in jedem der zwei Fächer, die für diesen Kurs in Fragekommen, gibt es je 120 Erstsemster. Um die Rechnung zu vereinfachen wird von einem großenTermin ausgegangen, d.h. ein Termin mit 220 Plätzen. Berechnen Sie mittels Approximationdurch den zentralen Grenzwertsatz

1. die Wahrscheinlichkeit dafür, daß alle Kursteilnehmer die zum Kurs da sind einen Platzfinden, wenn sich für den Kurs alle Erstsemster angemeldet haben.

2. wie viele Anmeldungen dürfen höchstens angenommen werde, wenn mit einer Wahrschein-lichkeit von 0.99 alle erscheinenden Kursteilnehmer in einem Kurs mit 220 Plätzen einenPlatz finden sollen.

Aufgabe 5Um knapp zwei Kilogramm Brombeermarmelade zu kochen braucht man ungefähr 1000 Brom-beeren. Aus jahrelanger Erfahrung wissen Sie das in einer von hundert ein Wurm ist. Wiegroß ist Wahrscheinlichkeit das in den tausend Brombeeren in höchstens fünf ein Wurm ist?Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit jeweils,

1. exakt,

2. mit der Approximation durch die Poisson-Verteilung,

3. mit dem Zentralen Grenzwertsatz

Bestimmen Sie auch den jeweiligen relativen Approximationsfehler.

LösungenLösung zu Aufgabe 1Sei n die Zahl der befragten Wahlberechtigten. Sei Sn die Zahl der Wähler der Partei, dann istSn bn,p verteilt mit der Wahrscheinlichkeit p dafür, daß ein zufällig ausgewählter Wähler fürdie Partei stimmt.P (| Sn − np |≤ 0.01n) ≥ 0.9P (Sn ≤ np+ 0.01n)− P (Sn ≤ np− 0.01n)E[Sn] = np⇒∞(n→∞)V ar(Sn) = np(1− p) = npq →∞(n→∞)mit (1− p) = q

S∗n = (Sn−np)σn

= (Sn−E[Sn])√V ar(Sn)

P (−0.01 ≤ Sn

n− p ≤ 0.01) ≥ 0.9

P (−0.01n√npq≤ S∗n ≤ 0.01n√

npq) ≈ Φ( 0.01n√

npq)− Φ(−0.01n√

npq) = 2Φ( 0.01n√

npq)− 1 ≥ 0.9

⇒ Φ( 0.01n√npq

) ≥ 0.95 bzw. 0.01√np(1−p)

≥ 1.65

⇒ n ≥ 1.652·p(1−p)0.012 = 6806.25

Der Maximalwert von p(1− p) = 14 ⇒ n ≥ 6807

Lösung zu Aufgabe 2Sei n die Anzahl der Wähler, und Sn die Zahl der Wähler der Partei. Dann ist Sn binomialver-teilt mit einer Wahrscheinlichkeit p also Bn,p. Wobei p die Wahrscheinlichkeit dafür ist dass einzufällig ausgewählter Wähler diese bestimmte Partein wählt. Und 1 − p = q die Wahrschein-lichkeit dafür ist dass er eine der anderen Partein wählt. Der Erwartungswert ist ESn = n · pfür große n. Mit den Vorgaben aus der Aufgabe: mindestens 0.9 und max. 0.02 Abweichungergibt sich folgendes.ESn = n · p V arSn = np(1− p) = npq

S∗n = Sn−npσn

= Sn−E[Sn]√V ar(Sn)

P (|Sn − np| ≤ 0.02n) ≥ 0.9P (−0.02n ≤ Sn − E[Sn] ≤ 0.02n) ≥ 0.9P (−0.02 ≤ Sn

n− p ≤ 0.02n) ≥ 0.9

P (−0.02√npq≤

Snn−p

√npq≤ 0.02√

npq) ≥ 0.9

P (−0.02√npq≤ S∗n ≤ 0.02√

npq) ≈ φ( 0.02n√

npq)− φ(−0.02n√

npq)

= 2φ( 0.02n√npq

)− 1 ≥ 0.9= φ( 0.02n√

npq) ≥ 0.95

Nach Tabelle: 0.02n√npq≥ 1.65

n ≥ 1.652·pq0.022

mit max pq = 14

n ≥ 1701.5625Es müssen mindesten n = 1702 Wähler befragt werden.

Lösung zu Aufgabe 3ESn = n · p V arSn = np(1− p) = npq

S∗n = Sn−npσn

= Sn−E[Sn]√V ar(Sn)

P (|Sn − np| ≤ 0.01n) ≥ 0.99P (−0.01n ≤ Sn − E[Sn] ≤ 0.01n) ≥ 0.99P (−0.01 ≤ Sn

n− p ≤ 0.01n) ≥ 0.99

P (−0.01√npq≤

Snn−p

√npq≤ 0.01√

npq) ≥ 0.99

P (−0.01√npq≤ S∗n ≤ 0.01√

npq) ≈ φ( 0.01n√

npq)− φ(−0.01n√

npq)

= 2φ( 0.01n√npq

)− 1 ≥ 0.99= φ( 0.01n√

npq) ≥ 0.995

Nach Tabelle: 0.02n√npq≥ 2.58

n ≥ 2.582·pq0.012

mit max pq = 14

n ≥ 16641Es müssen mindesten n = 16641 Wähler befragt werden. Was hier nicht möglich ist da es nur15 000 gibt.

Lösung zu Aufgabe 4Die Zahl der Anmeldungen n ist hier 240 (2 · 120), die Anzahl der verfügbaren Computerist m mit m = 220. Und p ist die Wahrscheinlichkeit das eine angemeldete Person kommtmit p = 0.82, q ist die Wahrscheinlichkeit das eine angemeldete Person nicht kommt, d.h.q = 1− p = 0.18.Da es sich um eine Binomialverteilung handelt folgt für Sn, die gesuchte bzw. kritische Anzahlder Anmeldungen.ESn = n · pV arSn = npqa)P (0 ≤ Sn ≤ m) = P (−np ≤ Sn − np ≤ m− np)

= P ( −np√npq≤ Sn−np√

npq≤ m−np√

npq)

ZGS≈ Φ(m−np√npq

)− Φ( −np√npq

)= Φ( 220−240·0.82√

240·0.82·0.18)− Φ( −240·0.82√240·0.82·0.18) = Φ(3.898)− Φ(−33.066)

= Φ(3.898)− 1 + Φ(33.066)≈ 0.9999

b)P (Sn ≤ 220) = P (S−np√

npq≤ 220−np√

npq) ≈ Φ(220−np√

npq) ≥ 0.99

Φ( 220−0.82n√0.82·0.18·

√n) ≥ 0.99

⇔ ( 220−0.82n√0.82·0.18·

√n) ≥ Φ−1(0.99) ≥ 2.33

⇔ ( 220−0.82n√0.82·0.18·

√n) ≥ 2.33

⇔ n ≤ 250.99D.h. es dürfen höchstens 250 Anmeldungen angenommen werden.

Lösung zu Aufgabe 5Die Wahrscheinlichkeit, eine Beere mit einem Wurm gepflückt zu haben, ist p = 0.01. DieAnzahl der Beeren mit Wurm, bei den 1000 Brombeeren ist binomialverteilt mit den Parameternn = 1000, p = 0.01.

1. Daher ist folgendes zu berechnen

B1000,p(0, . . . 5) =5∑

k=0

(1000k

)pk(1− p)1000−k

Man erhält mit Hilfe eines Computerprogramms als auf vier Nachkommastellen gerunde-tes Ergebnis 0.0661.

2. die Binomialverteilung lässt sich durch die Poissonverteilung approximierenB1000,p(0, . . . 5) ≈ Pλ(0, . . . 5).Der Erwartungswert ist λ = 1000 · p = 10. Daher ist folgendes zu berechnen

P1000,p(0, . . . 5) =5∑

k=0e−λ

λk

k!

Als Ergebnis erhält man 0.0671.Der relative Fehler der Approximation ist 0.0671−0.0661

0.0661 ≈ 0.0150 = 1.5%.

3. Sei Sn die Anzahl der Brombeeren mit Wurm.E(Sn) = n · p = 1000 · 0.01 = 10

V ar(Sn) = npq = 1000 · 0.01 · 0.99 = 9.9σn :=

√V ar(Sn) ≈ 3.1464

und S∗n := Sn−E(Sn)√V ar(Sn)

.

P (0 ≤ Sn ≤ 5) = P (0−E(Sn)σn

≤ S∗n ≤5−E(Sn)

σnZGS≈ φ

(5−103.1464

)− φ

(0−103.1464

)= φ

(−5

3.1464

)− φ

(−10

3.1464

)= φ(−1.59)− φ(−3.18) = φ(3.18)− φ(1.59)= 0.9993− 0.9441 = 0.0552

Als Ergebnis erhält man 0.0552.Der relative Fehler der Approximation ist 0.0552−0.0661

0.0661 ≈ −0.1649 = −16.49%.

Quelle: Stochastikaufgaben mit Lösungen

Mit freundlicher Unterstützung von: jumbotassen xxlund Nagelstudio Freiburg im Breisgau