Vol. XVI I l, 1967 273

Z u r a b s t r a k t e n T h e o r i e d e r a n a l y t i s d m n F u n k t i o n e n l I I

Vo[l

HEINZ Ki)Nt(:

Als Abschlull eines etwa zehn Jahre w~threnden Abstraktionsprozesses ha.ben HOFrMA~" [2], LUi~IER [6], [7], ItOYFMAN und Ross1 [3] und dcr Verfasser [4], [5] den priizisen Rahmen crmittelt, in dem die volle Theoric 4cr Fuuktionenr~ume Hp (din), wic sic yon der klassischen Theorie der holomorphen Funktionen im Einheitskrcise der komplexen Zahlencbene her bekannt ist, besteht. Es sei X ein kompakter Haus- dorffraum und A eine abgeschlossene Unteralgebra der komplexen Ban~chalgebra C (X) mit 1 s A. Ferner sei q~ ein multiplikatives lineares Funktional # 0 auf A. Ein reprgsentierendes Mall m zu q~ liefert genau dann die voile Hv (dm)-Theorie, wenn m, hyperextremal ist, wenn also alle m-stetigen repr~sentiercnden Mal~c m i t m fiber- einstimmcn. Ein Eckpfeilcr dieser Theorie ist der Satz yon Szeg5 [4, Satz 4.11], der yon den Normen des Funktionals q) in den R/tureen Lp (d)~) zu den m-stctigen end- lichen positiven BaircmaBen 2 anf X handclt.

Es besteht nun aber ein erhebliches Interesse an einem umfassenderen Rahmen. ])as flieI~t vor a.llem aus dem Bestreben, in der klassisehen Theorie den Fall der mehr- i:ach zusammenhiingenden Gebiete, in dem keine hyperextremalen repriisentierenden Maile existieren, mit zu erfassen. Im l~ahmen der abstrakten Theoric haben W ~ - yl]~r [9] und O'NEILL [8] solche Situationen betrachtct, insbesonderc abet AHERN nnd SA~ASON [1]. In deren Arbeit wird, unter immer noch starkcn Postulaten aa das reprhsentierende Mall m, eine einheitliche und umfassende Theorie entwickelt, welche die Hauptsgtze der I lp (dm)-Theorie in einer sehr prSzisen Form yon TeiIresultaten liefert.

In dieser Situation ist es sinnvoll zu nntersuchcn, welcher Tell der ~bstrakten Hp (dm)-Theorie ohne alle einschr~nkenden Postulate an das reprs MaB m bestehen bleibt. Das ist, wie man sehen wird, erstannlich vial. In 1. beweise ieh eine Version des Satzes yon Szeg6, die yon einem komplexcn Vaktorraum yon cvcntucll unbesehr~nkten mel.~baren Funktionan nnd yon einem linearen Fnnktional 4= 0 hier- anf handelt (dabei warden nicht mehr Bairam~lle anf kompakten Hausdorffr~umen, sondern abstrakte MaBe betrachtet). Dieser Satz ist hinreichend stark, so dal~ man auf ihn eine Partie universeller HP(dm)-Theorie stfitzen kann. Die Resultate yon 2. handeln yon dcr Existenz und Eindeutigkeir der tiuSeren Funktionan so~de yon dcren Approximierbarkeit und Invertie,'barkcit. Sic liefern im Spezialfalle eines hyper- extremalen reprs MaiZes m sofort die zentralen Siitze ~us [4, Abschnitt 5]. Diese frfihere Theorie wie auch die Theorie yon AH~RN und SAnAso~r enthaltan

274 lI. K@m A~cn. ~tA~'~.

andererse i t s natf i r l ich wesent l ichs Resu l t a t e , (tie ich hier n ich t ohne wei ts res imi t i s ren kann. I n method.ischer H ins i ch t bes t eh t s in wssent l icher Un t s r seh i ed zur Theorie yon AHEuz~ n n d SARnSO~, welche sich en t sche iden4 au f den Satz yon F. RIEsz fiber die beschr / inkten ] inearen F u n k t i o n a l e der R/~ume C(X) und a u f dsn Fal l der Unit/~t im Satz yon HAIIN-]~ANAC][ Stl~tzt.

1. Der Hauptsatz.

1.1. Deflnit ionen. 1)er Hauptsa tz . Es sei X eins n icht l sere Menge und s)j~ ein Sigma- r ing yon Ts i lmengen yon X m i t X ~ ~ . Es bss tehe C(X, ~.~) aus allen mel~baren komplexwer t igen F u n k t i o n e n a u f X u n d B ( X , ~J~) aus al len beschr / inkten F u n k - t ionen in C (X, ~ ) . Die au f t r e t snden MaSe seien endl iehe posi t ive Maf~s auf ~JL Ein MaB 2 mi t ~(X) = 1 hs i6 t ein Wahrsche in l i ehke i t sma$ .

Es sei S ein komplexe r U n t e r v e k t o r r a u m yon C(X, !~) und ~ ein l ineares Funk- t ional ~e0 a u f S. W i r b i ldsn zu S und a den T ranspo r t eu r : Es bes tehe T aus allen F u n k t i o n e n u ~ B ( X , ~2t~) mi t i) ffir a l ls h z S i s t u h ~ S und ii) fiir Rlle h E S mi t ci(h) = 0 is t (~(uh) = 0. Dann def inier t die Re la t ion

c~(uh)--~ v(u)~(h) ffir u z T und h z S

ein komplexes F u n k t i o n a l T auf T. Man verif izier t sofort , dab T sine komplexe Un te ra lgeb ra yon B ( X , ~J~) m i t i r T nnd ~ sin mnl t ip l ika t ives l ineares F u n k t i o n a l r 0 au f T i st. In sbesonclers i s t i e S und a (1) = 1 ~quiva len t m i t T c S u n d T ~ a] T.

Fe rne r is t S e i n e komplexe Un te ra ]gsb ra yon B ( X , ~1~) mi t 1 ~ S und das F u n k - t ional a an f S m u l t i p l i k a t i v d a n n und n u t dann, wenn T ~-- S und v = a ist.

E in repr~sent ie rendes MaS is t ein Maf~ ~ mi t T(u) : f u d X ffir alle u E T. Dann muS )~ ein Wahrscheinl ichkei tsmaf~ ssin.

Es sei 2 ein M a l l Ffir 1 ~ p < ~ definieren wi t

Dp(d~) = Inf{ .[ ihlvd),: h c S mi t a ( h ) = l } .

Es is t also 0 =<_-Dr(d2 ) < o z . I m Fa l l s S c B ( X , ~ ) i s t 0 - < D p ( d 2 ) < ~ , und m a n vcrif izicrt sofort , dab die F u n k t i o n p - ~ D v ( d 2 ) in 1 ~< p < ~ reehtssei t ig s tc t ig ist.

Es sei endl ich ~ ein Mal3 und F E L I (dX) n ich tnega t iv . W s n n ),-stetige repr/issn- t i s rende Mal~e r mi t f l og+Fd~ < oz exis t ieren, d a n n 4efinieren wir

a(F, d2) = I n f { f l o g Fd~.: alle diese ~}.

Andernfa l l s sei a(F, d~) -~ oz. W e n n 2-stet ige repr&sent ierende MaSe /3 m i t

f log- F d/3 < oz exis t ieren, dann definieren wir

~(F, ~X) = S ~ p 0 " l o g ~ : alle ~sse ~).

An4ernfal ls sei b (1,', d2) =- - - ~ . Wi r k6nnen nun 4en H a u p t s a t z formulieren.

Hauptsa tz . Es sei X ein Ma[3 und F r L ~ (d2) nichtnefativ. Ferner sei I < p < o~. Wit schlie[3en den Fall Dv(d~ ) = Dv(Fd) , ) = 0 aus. Dann ist

Vol. XVII1, i967 Abstrakte Theorie der analytisdmn Funktionen III 275

D~, (F d).) im Falle S c Lp (d).), exp a (F, d;t) ~ D~(d,t)

Dv(Fd)O < e x p b ( F , d2) im FaIle S c L ~ ( F d ~ ) ~)~(d~) ~

Korollar. Es sei ~ ein Marl und F ~ L 1 (d~) nichtnegativ Ferner sei 1 ~ p ~ r Wir schlie/3en den Fall D~(d~) --= Dv(Fd,~) ---- 0 aus und setzen S c LP(d~) (~ LP(Fd~) voraus. Dann existieren X-stetige reprii~entierende Marie v, /.iir welehe .flog Fdv im weiteren Sinne existiert. Fiir alle diese v habe y log Fdv denselben Wert -- oo <~ e <~ oo. Dann ist

Dp(F d) 0 ~ e c. D v (d~)

Der Beweis des Hauptsa tzes zerfi~llt in mehrere Teile. ~; i r beweisen zun/ichst in Abschni t t 3 die erste Relat ion im Spezialfall S c B (X, 0) 0. Nach dem Vorstehenden k6nnen wit hierin 1 < p < c~ annehmen. Diesem Beweisschrit t dienen die Pr~i- l iminarien in Abschni t t 1.2, ~Vir erhal tea d a n a in Abschni t t 1.4 die volle erste P~e- lation und leiten endiich hieraus in Abschni t t 1.5 die zweite Relat ion her.

1.2. Priiliminarien. Wir beweisen zuerst den naehstehenden bemerkeaswer ten Hilfs- satz, den wit indessen nur im Spezialfall r ~ 1 anwenden werden.

Hilfssatz. Es sei T ein komplexer Untervektorraum von B ( X , ~ ) und v e i n lineares Funktional au/ T. Es sei 1 ~ T und T(1) = 1. Ferner sei )~ ein Wahrseheinlichkeits- marl. Fi~r eine nati~rliehe Zahl r und ein 1 ~ p < c~ ~'ei

] } <= (.fF "r . . . . .

Dann ist

�9 (Ul)"" T(Ur) ~ . fU l " " urd~ ]ii,r alle ul . . . . , Ure T .

B e w e i s . 1. Wi t fixieren ein u ~ T m i t T(u) ~ 0 und beweisen .I urd~ ~ O. Hierzu seien ~ komplex und ~1 . . . . . ~]r die r-ten Einheitswurzeln. Wir imben dann

1 ~ ; [ ( 1 - - ~ l z c u ) ' - . ( 1 - - ~ r 0 ~ u ) [ p d ) , : ; l { - - ~ r u r ] p d ~ .

Es ist also

t ([1 + to:urlp -- l )d~ ~ 0 fiir alle komp]exen ~r ua(t t > 0 .

W e n n nun z komplex und 0 < t ~ 1 ist, dann ist der Quotient (1/t)(ll + tz l~ - l) dem Betrage nach ~ p ] z l ( l + I z])V-1 und strebt --> p Re z fiir t -~ 0. Hiernach erhal ten wit ] Re ~urd~ ~ 0 fiir alle komplexen ~ und mithin ~ urd~ ~ 0. 2. Es sei u e T. Nach 1. haben wir . I ( u - T(u,))~'d~ = 0 (k ~ 1 . . . . . r) und dMmr

k ~ O

Es seien nun ul . . . . . ur ~ T. ] )ann haben wit

j ' ( :clul + "'" + ~rur)rd~ = (~IT(Ul) + "'" + grV(Ur)) r fiir kompicxe gl . . . . . ~r.

Hiere~us erhal ten wir sofort f u l " " urd), = T(Ul)"'" Z(Ur).

276 II. K(JNIG ARCIt. MATII.

Es sei nun S ein komplexer Un te rvek to r r aum yon B ( X , ~ ) und ~ ein ]ineares Funkt ional ~=0 anf S. Es sei 2 ein Mall. Es bestehe I((d~) aus allen / c Ll(d2) mit

f ] h d , ~ - - O f i i ra l le h c S mit a ( h ) ~ - 0 .

K(d2) ist ein komplexer Un te rvek to r raum yon Lt(d,~). Die Relat ion

. [[hd, t=~(h,)I( / ,d ,~) ffir /el f (d,~) lind h a s

definiert ein lineares Funkt ional I ( . , d2) anf K(d2). Fiir u a T und / e K(d2) haben wit offentmr u/ e K (d)~) und I (u[, d2) = T(u) I ([, d2).

Ftir den Rest dieses Absehnit tes sei nun 2 ehl Mag und F a L 1(d2) niehtnegativ. Ferner sei 1 < p, q < oo mit l /p ~- 1/q = 1. Wir setzen Dl~(Fd2 ) > 0 voraus.

Lamina 1, Es exisliert eine eindeutig bestimmte Funklio~ Q a Lq(d2) mit

i) f I Q ] q d 2 = 1;

ii) QF'/p a K (d).);

iii) I ( QF l/p, d2) = (Dp(F d2))vP.

Ferner ist ~, : dv := ) Q lqd2 reprs Marl.

B e w e i s . Wi t haben

(Dp(Fd),))l/p]a(h)[ g [IhF1/P[[L,,(,u) ff i ral le h a S .

.I)aher existiert ein QaLe(d2) ,,,it f IQIqd2 < 1 und mit

( D p ( F d 2 ) ) l / p a ( h ) - - f h Q F l / 7 ' d 2 fiirMle h e S .

Hieraus kann ,nan ii) nnd iii) ablesen. FOr u ~ T und h a S mit a ( h ) ~ 1 haben wir welter

(D, (F ~.).))~'~ I "(~) I < f [ ~ Q I I h I ~'"" da ~ (j'l ~l" F d~.),,. (.f I~ Q I q dA)'/q.

Es ist also ]lQIqd2 = 1 und

[~<u)I < ( f l u [ q l Q l q d 2 ) ~ / q f i i ral le u a T .

Nach dem obenstehenc[en IIi lfssatz ist daher v: dv = ]Q ]qd)~ repr/isentierendes MaB. I)ie Eindcutigkei t der Funk t ion Q a Lq(d2) ist klar. Denn nach dem Vorstehenden ist die Gesamthei t d_er Q a Lq (d~) mit i)--iii) eine konvexe Teilmenge tier Einheits- sph'~re des Lq(d2) und kann daher hachstens ein Element enthalten.

Lemma 2. Es existiert eine eindeutig bestimmte Funktion P a LP(d2) rail

J) f l PI "d,~ = D,,(F a,~).

ii) .[ [ P d2 : I (/ F1/~, d2) ]iir alle [ a Lq(d2) rail IF 1/~ 6 K (d2) .

Ferner ist [ PI~ ) = Dv(Fd2)]QIq und PQ = (D~(Fd)O)lO ' [QIq.

B e w c i s . 1. Wit bet rachten das lineare Funkt ional

O: 6) ( / ) -~ I ( /F1 /P , d2) fiir /aLq(d2) mit / F l / p a K ( d 2 ) .

Vol. XVIlI, 1967 Abstrakte Theorie der analytisd~en Funktionen II I 277

Fi i r h ~ S mi t a(h) = 1 haben ~ r

o(1) = fh/F.pd;~, IO(t) 1 ~ ( I l l~ l~F,~,~)w(. f l l l "d4) "~.

Es is t also

J o (1) 1 < (D~ (F d~))l,p II 1 P] L0(,~),

mitlf in O ein beschr / tnktes l ineares F u n k t i o n a l mi t [I O[[ ~ (Dp(Fd),))I/v. Aus Lem- ma 1 schl iegcn wi t wel te r

!1011 = (D~(Ed2)) 1/~"

Daher ex is t ie r t eine F u n k t i o n 1 ) ~LP(d2) mi t i) und ii), un4 m a n beweis t deren E indeu t igke i t wie im Fa l l e de r F u n k t i o n Q ~ Lq(d2) am E n d e des Beweises yon L e m m a 1. 2. ~u haben

f PQ d,t = I (QF1/p, d2) = (Dp (F d~))l/'l ~ = I! 1) li L~(d~) I! Q IJ Lo(d~).

Daher exis t ie r t ein c > 0 mi t I P ] ~ - ~ c]QIq. Naeh I n t e g r a t i o n e rha l t en wir c = D p ( F d 2 ) . We l t e r mul.~ P Q = I PQI sein. Damit. i s t al |es bewicscn.

L e m m a 3. Die Funkl ion P c LP(d2) ist in der Lp(d2)-Hiille von

{hFl/P: h e n mit a ( h ) = 1 } c L P ( d 2 ) .

B e w e i s . Zun/ ichst is t P ~ Lv(d2) in tier I I i i l le yon {h F1/~: h ~ S} c LP(d~). Dram andernthl l s ex is t ie r te ein / e Lq(d~) mi t .[[hF1/Pd2 = 0 ffir Mle h e S, also mi t [lhu/p ~ K ( d 2 ) nncl I ( /F1 /p , d)~)= 0, n n d mi t f / P d 2 # O . Da.s x~4(lerspricht aber Lemm~ 2. Es seien nun he ~ S (k = 1, 2 . . . . ) mi t h k F lip --> P in Lp(d~). W i t h a b e n

h~ QF1/p d2 = a (hk) .[ QF 1/v d,~ = a (hk) .[ QP d2,

und e rha l t en somi t a(hk)--> 1 u n d also (h~/a(hk))F lip --> P. D a m i t is t alies be- wiesen.

W i t werden im n/ ichsten Abschn i t t die F u n k t i o n F ff L 1 (d~) zu var i ieren haben. W i r sehreiben demen t sp reehend Q = Q[F] ~ncl P--= P[F]. W i r setzen ferner JQIq = R = R[F].

1.3. Ein Spezialfall der ersten Relat ion. I m Verlauib des Beweises werden wit die nachs tehende einihehe Ta t sache aus der Dif ferent ia l rechnung benu tzen : Es sei N eine reel lwert ige F u n k t i o n auf e inem i n t e r v a l l [~,/3] der Zah lengeraden und - - c~

c ~ r mi t

l i m s u p :u (t) -- N (s). < c in ~ . ~ s ~ < f l . t ~ s l - - 8 - - - - - -

] ) ann is t - - r < c und N ( t ) - - N ( s ) ~ c ( t - - s ) in ~ s < t ~ f l . Es sei nun S ein komplexe r U n t e r v e k t o r r a u m yon B (X, OJ~) und a ein l ineares

Funk t ionM . 0 au f S. Es sei 2 ein M~B und F e L t (d),) n ieh tnega t iv . End l ieh sei 1 < T, q < oo mi t l i p + l/q - - 1. Die b e h a n p t e t e Reh~tion i s t im Fal le Dp(d~,) ---- 0 tr iviM, weil d a n n D~ (Fd2) > 0 sein soll. Wi r k6nnen also Dv (d)~) > 0 voraussetzen.

278 H. KSsm ancrt. MATtl.

W i r be t r aeh t en zuers t eine F u n k t i o n F a L 1 (d2) mi t F ~ e ffir ein e > 0. D a n n is t Dv(F td2 ) > 0 in 0 ~ t ~ 1. W i r k6nnen also die reel lwcrt ige F u n k t i o n

N: N ( l ) - - - - l o g D p ( F t d 2 ) in 0 ~ / ~ I

bilden. Es sei nun 0 ~ s < t ~ 1. Naeh L e m m a 1 h a b e n wir

. \1,'] Q[Fs]d2 fiir h E S .

Nach Lenuna 3 exis t ieren F u n k t i o n c n hx c S mi t a(hk) = 1 (k = 1, 2 . . . . ) a n d mi t hk F tip -+ P[FtJ in L~(d2). W i r erha]ten also

W i t wenden nun zweimal die H61dersche Ungle iehung an und kombin ioren dabe i den mi t t l e r en F a k t o r im ] n t e g r a n d e n e inmal m i t P [ F t] und einmal mi t Q [Fs]. D~s l iefert

D v (lCs d2) Dp(Ftd2)

Dp (F ~ d2) D v (1' 't d}.)

Fi i r die obcn definierte F u n k t i o n

f(,) 5~ 1; I~ [/r d2 ,

N e rha l ten wir

N(t) -- N(.~) < log R I F t ] d 2 t - - 8 == . f f

N(t)-~v(.s.) < l o g [ f ( ~ , ) q ( , s ) / p R [ F s ] d ~ l p l ( t - ~ ) q t - 8 ~

Wir wenden nun [4 L c m m a 1.1] an und c rha l ten in 0 _< 8 _< 1 die Grenzwer t re l a t ion

l i m s u p N ( t ) - N(.~') < .[log 1 t ~ . t - - ,~ = F R [ F s] d 2 < - - a ( F , d2) ,

le tz tcres nach tier Defini t ion yon a (F, d2). Nach dem Vors tchcnden is t also a (F, d2) < oo und N(1) - - N(0) ~ - - a(F, dTt). Das bedeu te t aber

D v (F d2) e x p a ( F , d2) ~ Dr(d;.)

Wi r be t r ach ten nun eine beliebige n i eh tnega t ive F u n k t i o n F ~ L 1(d2) und wenden alas Vors tehen4e au f die F u n k t i o n e n FE = Max (F, e) mi t s > 0 an. Es is t offenbar a (F, d2) ~ a (Fe, d),) < c~. We i t e r is t

I)p (I,'~ d~) e x p a ( F , d2) ~ e x p a ( F E , dA) =< D p ( d 2 ) - fiir e > 0 .

M~n verif izier t nun sofort , dal3 Dp (F~ d2) -+ D~ ( F d2) s t r eb t ffir e - + 0. D a m i t is t die ers te l~elat ion im b e t r a e h t e t e n SpeziMfall bewiesen.

4. Die erste l te la t ion. Es sei S ein komplexe r U n t e r v e k t o r r a u m von C ( X , s)jt) und a t i n l ineares Funk t i ona l * 0 a u f S. Es sei 2 ein MaB und F e L 1 (d2) n ieh tnega t iv .

Vol. XVllI , 1967 Abstrakte Theorie der analytis&en Funktionen III 279

Fe rne r sei 1 _--< p < oo. W i r se tzen S c Lp (d2) voraus , so dab also D r (d2) < oo ist. Die b e h a u p t e t e Re la t ion i s t im Fal le Dv(d.,l ) - - 0 t r iv ia l , well dann Dv(Fd), ) > 0 sein sell. W i t kSnnen also 0 < D~(d2)<oo vorausse tzen . Wel t e r k6nnen wit D v (F d2) < oo vorausse tzen .

W i r f ixieren nun eine F u n k t i o n V e S mi t a (V) = 1 n n d ,n i t .fl V l v F d 2 < oo. Nach dem Vors tehenden i s t auch f l V Ivd2 < oo.

Es bestehe S* aus allen F u n k t i o n e n h ~ B(X , ~ ) mi t h V e S. F i i r h e S* definieren wi t a*(h) = a (h V). Dann i s t S* ein komplexe r U n t e r v e k t o r r a u m yon B(X, OJt) und a* ein l ineares F u n k t i o n a l a u f S*. W e i t e r i s t 1 e S* und a * ( 1 ) = a ( V ) = 1. W i r werden die in A b s e h n i t t 1 def inier ten Gr6gen, wenn wit sie h ins icht l ich S* a n d a* bi lden, mi t e inem * versehen. Ff i r u e T a n d h e S* h a t m a n sofort u h e S* und a* (uh) = T(u) (r* (h). Dahe r i s t T c T* un4 v = r * l I ' . Mi th in is t ein repr/ isent ie- rendes Mall zu S* und a* auch repr i i sent ierendes Mag zu S a n d ~. Hie raus l~6nnen wir a (F, d2) =< a* (F, d2) sehliegen.

Ff i r das MaB ~: d~ = [ V IPd]~ h a b e n wir nun

D~(&,)-= I n f { / I h v i v a 2 : h e , S * mi t a*(h) = l} =

= I n f { f i h V l v d Z : h e B ( X , 9)~ ) m i t h V e S n n d a ( h V ) = l } ~

> I n f { f l H i v d 2 : H ~ S mi t a ( H ) = l } =

= D r (d~) > O.

Wei te r i s t F e L 1 (dr) n ich tnega t iv und

D,,*(Fdv) =- I n f { f [h VivFd) , : hES* mi t a*(h) -~ 1} < .fl V i P F d 2 .

Naeh dem in Absehn i t t 3 Bewiesenen ist also D~,(Fdv) .[[ V[PFd.~

e x p a ( F , d2) ~ e x p a * ( F , d2) < e x p a * ( F , dr) < D*(dv) < ~ Dj~(d2)-

I t i e r in i s t V e S mi t a(V) = 1 mad f l VIvFd2 < cr wil lki ir l ich w~hlbar. D a m i t is t die ers te Re la t ion des H a np t sa t ze s bewiesen.

5. Die zweite Relat ion. W i r be t r ach t en die S i tua t ion des H a u p t s a t z c s und sctzen S c LP (Fd2) voraus , so dab also D r (Fd2 0 < oo ist . W i r k6nncn wel ter 0 < Dv (Fd2) < < c~ nnd D ~ ( d 2 ) < or annehmen .

W i r b i lden das NaB 2~ d2 ~ ----Fd2. Es sei wei ter x - > F ( x ) eine 2~" e L l (d2) re- pr / i sent ierende n ich tnega t ive meBbare F u n k t i o n au f X a n d

Fo(x) = 2ix) ffir x ~ X mi t F ( x ) 4= 0 .

0 fiir x s X m i t F ( x ) = 0

D a n n is t F ~ e L 1 (d~. ~ n ich tnega t iv . W i t haben nun 0 < D r (d2 o) < c~ und ScLX(d2~ N~eh der e rs ten Re la t ion is t also

1), (F ~ d;~ o) D v (d~) exp a(F~176 <= 1),(d,~O) ~ 1)v(Fd~ ) < oo.

Es exis t ieren mi th in lo-s te t ige reprgsen t ie rende Mage v ,n i t f log+FOdv < c~ oder

2 8 0 H. K a ~ m aacH. ~aTn.

.[ l og -Fdu < co. W i t h~ben

a ( F ~ d). o) = I n f { f l o g FO dv : ~, alle 20-stet r epr Mal~e m i t ~ log+ FO dv < co} =

= I n f { - - . f l o g Fdv: v alle 20-stet r epr Ma6c mi t ~ l o g - F d v < r

> I n f { - - f l o g F d v : v alle 3,-stet r epr MaBe m i t ~ l o g - l , ' d v < ~o} =-

= - - b ( F , da ) .

Es ist, Mso Dv (d2) D v (Fd2)

e x p [ - - b ( F , d ) . ) ] ~ Dv(l,,d).) < c~, Dv(d,~ ) < e x p b ( F , d2).

D a m i t is t tier Beweis des H a u p t s a t z e s vol len4ct .

2. Universelle HP-Theorie.

2.1. Deflnit ionen. Es sol A eine komplexe Unte ra lgebra von B ( X , ~12) m i t 1 ~ A u n d q) ein mul t ip l ika t ives l ineares F u n k t i o n a l . 0 a u f A . W i r b i lden die in A b s c h n i t t 1 def inicr ten Gr6gen im Fa l le S = A u n d ~ = ~, so dab anch T = A und z = ~ ist. Es sei ~ ein M a l l W i t h a b e n dann 0 G D v(dX) G k ( X ) ffir 1 G p < r sowJe a (F, d2) und b (F, d2) fiir die n i ch tnega t ivcn F c L 1 (d,t).

W i r haben fcrncr dcn komp]cxcn U n t c r v e k t o r r a u m K(d2) ~on Ll(d2) . Es ist I ( / , d~) = f /d2 f i i r / ~ K(d2). Aus den Defini t ionen e rha l ten wir sofor t

},[1 d21 < D~ (I I] d~) far ~u~ 1 ~ K (d~).

Wir habcn andererseit .s den nachstehen( len Hilfss~tz.

Ilil~ssatz. Es sei F e L 1 (d~) nict, tnegativ. Dann existieren Funktionen I e K (d),) ~nit I l l < F ~,,nd m# yld;~ = D,( I l l d2) = D ] ( F d Z ) .

B e w e i s . W i t haben

D~(Fd;~) l~(~) l < f J ~ l F d a fC,~ano u ~ A .

D~her cxis t ic r t t i n M ~ Lc~(d~) mi t IMI ~ I und mi t

D l ( 2 " d X ) ~ f ( u ) = ~ u M F d 2 f a r a l l e u e A .

l l i c r n a c h ist I = M F e K (d2) und I [ [ =< F . Fe rne r isl,

I)~(Fd~) = f / d ~ < D~(I/I dX) =< D~(Fd2) ,

woraus die b e h a u p t e t e Gleichhci t folgt.. W i r definieren nun H v (d~) im Fal le 1 ~ p < oo als die Hii l le yon A in Lv (d~).

Fc rnc r sei H~(d).) dSe schwach *- l t i i l le yon A in L~176 als D u a l r a u m yon Ll(d2.). Hicrnach ist Hl(d]t) ~ . . .v Hp(d2) ~ H~(d2) ~ ".. ~ H"~ fiir alle 1 ~ p < s ~ oo. U n d wenn 1 ~ p, q ~< oo mi t l i p -I- 1/q = 1 und h ~ Lv(d)~) ist , dann is t h ~ Hp(d,~) '5quivalent mi t

] ] h d 2 = O f i i r a l l e l e g ( d ) , ) ~ L q ( d ~ ) mi t . [ / d ~ = 0 .

L e m m a 1. Es sei ,~ ein Wahrscheinlichlceitsmafl. Dann sind die [olffenden A ussagen iiquivalent, i) it ist repriisentierendes Jla[3; ii) es ist 1 e K (d2); hi) es ist H ~ (d,~) c K (d2).

Vol. XVIII, 1967 Abstrakte Theorie der analytisd~en Funktionen I I I 281

L e m m a 2. Es sei ~ ein Wahrscheinlichkeitsmafl und 1 ~= p < oo. Dann sind die /olgenden Aussagen iiquivalent, i) ~ ist repriisentiere~les Marl; ii) es ist Dv (d~) = 1.

Die beiden vors tehenden L e m m a t a kann m a n aus den Definit ionen und aus dem It i l fssatz in 1.2 sofort ~blesen.

Es sei nun ). ein repr~isentierendes Mal~. Fiir alle n ich tnegat iven F e L 1 (d~) ist dann

a(F, d~) ~= ] l o g E d ~ g b(F, d~).

Wir nennen eine n ichtnegat ive Funk t ion F ~ L ~ (d~) invar iant , wenn

a(E, d~) = f log F d~ = b (F, d~) .

Das bedeu te t also, dab fiir alle ~-stetigen repr~sent ierenden MaBe v, fiir welche alas In tegra l f l ogFdv im weiteren Sinne exist iert , die Gleiehheit ] l o g F d v = f log_Fd). besteht . I m Falle eines hyperex t rem~len repr/~sentierenden Ma[tes ~ sind hiernach alle n ich tnega t iven Funk t ionen F e L ~ (d~t) invari~nt .

Naeh dem Huupt s~ tz tmben wir Dv (Fd~) = exp (f log Fd~) fiir nile invar ian ten n ichtnegat iven F ~ L~{d~) und alle 1 ~ p < oo. Wir werden e x p ( ~ l o g F d ~ ) = J ( F , d~) schreiben, worin )~ ein W~hrscheinl ichkei tsmal] und F e L ~ (d).) n ich tnegat iv ist.

2.2. _~uSere Funkt ionen zu inw~rianten Funkt ionen. Es sei A eine komplexe Unter- algebr~ yon B ( X , ~ ) mit 1 e A und ~ ein mul t ip l ika t ives l ineares Funk t iona l ~: 0 auf A. ~e rne r sei m ein festes reprs MaB. Unser H a u p t r e s u l t a t ist der nachs tehende Satz.

Satz. Es sei F e L l (dm) eine invariante nichtnegative Funk t ion mit J (F, din) > O. Dann existiert genau eine ]Funktion / ~ I ( (dm ) mit I [ I ~ E und mit ~ ] dm = Dl ( F dm) = J (F, din). i) Es ist I ]1 =- F. ii) Es sei h ~ L ~ (din) mit I t /~ L ~ (din). Dann ist tt E K (din) iiquivalent mit h / ~ K (din). I n diesem Falle ist /erner

~Tir nennen die Funkt ion / e K (din) die zu F ~ L 1 (dm) gehSrende/iul~ore Funktion. Wir werden den Satz in Absehni t t 2.3 beweisen. Vorher besehreiben wir etliehe be- deu t same Konsequenzen.

Korol lar 1. i) Es sei H ~ L l (dm) nichtnegativ und 1 ~ p < c~ mit E ~ L v ( H d m ) . Dann ist / ~ H P ( H d m ) . ii) I m Falle E ~ L~176 ist / ~ H~(dm) .

B e w e i s . ii) ist evident . Z u m Beweise yon i) sei 1 <: q ~ oo mi t l i p -~ 1/q = 1. W i t nehmen ein h ~ K ( H d m ) n L q ( H d m ) mit f h H d m = O. Dann ist h H ~ K(dm)

I 111 , nd | ben ;hHldm = S/din = O. Es ist also ] ~ H v ( H d m ) .

Korol lar 2. i) Es sei H c L 1 (din) nichtnegativ und 1 ~ p < ~ mit I ~ E L ~ ( H d m ) . Dann ist die Konstante I in der LP(Hdm)-Hi i l le yon {u/: u E A } c H v ( H d m ) . ii) Es sei F ~ L~(dm) . Dann ist die Konstante 1 in der schwach *-Hi~lle yon {u/: u e A } c c H~~

Archly der Mathemntik XVIII 19

282 H. KSsm ARC~. ~w~.

B e w e i s . i) Es sei 1 < q ~ oo m i t 1/p + 1/q----- 1. W i t nehmen ein

v E K ( F p H d m ) c~Lq(Y~Hdm) mit f v F P H d m - ~ O . v

Aus 1/] ~ LP (FP H dm) erha l ten wir vii ~ LI(FP H dm). Wir setzen h ---- / Fp H ELI(dm) .

Dann ist also h[ e K(dm) mi t fh /dm = 0. Nach d e m Satz e rha l t en wir fhdm

v F v H d m = O. Es is t also Das a b e t beweisen. lff e HP(FPHdm). = ] w a r z u

ii) kann man aus dem Satz sofort ablesen.

}torol lar 3. Es sei 1 ~ p ~ oo und h e Lv (din) mit h/~ Lv (dm). Dann ist h e HP (din) iiquivalent mit h [ e Hv (dm).

B e w e i s . Es sei I ~ q ~ oo mi t 1/p + 1/q = 1. W i r nehmen die F u n k t i o n e n v e K ( d m ) ~ L q ( d m ) m i t f v d m = O . D a n n is t h v e L l ( d m ) u n d hv /eL l (dm) . W e n n nun h ~ Hv(dm) ist, d a n n is t h v e K(dm) mi t fhvdm = 0, naeh dem Satz also f h v / d m - ~ O, so da$ wir hi ~Hv(dm) erhal ten . U n d wenn h / r ist, dann ist h v / e K(dm) mit fhv /dm = 0, nach d e m Satz also fhvdm -~ O, so dab wir h ~ Hv (din) erhal ten .

3. Beweis des Satzes. W i r be t r aeh ten die S i tua t ion des Satzes. W i r haben zweimal den H a u p t s a t z aus Abschn i t t 1 anzuwenden.

Es sei ers tens S* -~ K (Fdm). Es sell also pr~zise S* aus den F u n k t i o n e n h ~ C (X,~J0 bestehen, deren ~qu iva l cnzk la s sen modulo Fdm in K(Fdm) sind. F t i r h e S* sei ~* (h) = fhFdm. Dann is t S* ein komplexe r U n t e r v e k t o r r a u m yon C(X, ~J~) und ~* ein l ineares F u n k t i o n a l a u f S*. Naeh dem t I i l f ssa tz in Abschn i t t 2.1 exis t ieren F u n k t i o n e n [ e K(dm) mi t I /I ~ F u n d mi t f /dm ~- Dl(Fdm) -~ J(F, dm). Hierf i i r haben wir h = ]/F e S* und a* (h) --~ f /dm > 0. Es is t also ~* 4: 0. Wi r werden die in 1.1 def inier ten Gr5Ben, wenn wi t sie hinsicht l ieh S* und a* bi lden, mi t e inem * versehen. Zun~ehst h a t m a n sofort A c T* und ~ = T*[A. We l t e r is t S* c L 1 (Fdm) und

D~(Fdm)----Inf{f]h I f d m : h e g ( F g m ) mi t f h F d m ~ - l } = l .

Andererse i t s haben wir eben e rkann t , daft F u n k t i o n e n h e S* mi t ~*(h) . 0 exi- s t ieren, welche h e L 1 (din) erffillen. Dahe r is t D~ (dm) < oo.

W i r wenden nun den H a u p t s a t z auf das Mal3 X: d2 = Fdm und au f die nicht- nega t ive F u n k t i o n 1/F e L 1 (d~) an. W i r e rha l ten

exp a* ( l / F , d,~) ~ D* (din).

Daher is t zuns a*(1/F, d~) ~ oo. W e n n nun v e i n 2-stet iges repr~sent ie rendes MaB zu r* a u f if'* m i t f log+ 1IF dv < oo ist, d a n n is t v e r s t r ech t ein m-ste t iges reprgsen t ie rendes MaB zu 9 a u f A mi t f log-Fdv < 0% so dab also

f l o g 1/3" dv = - - f l o g F d v = - - f l o g F d m

sein muB. t t i e rnaeh ist a*(lJF, d 2 ) = flog-Fdm. Wir haben also 1/J(_F, dm)G G D* (dm). Das bedeu te t

i J(F, dm) I f hFdml ~ f Ih] dm f i i r a l l e h e K ( F d m ) mi t heLl(din) .

Vol. XVIII, 1967 Abstrakte Theorie der analytisdmn Funktionen III 283

D a h e r ex is t ie r t ein M e L ~176 (din) mi t 12111 <: 1 und m i t

1 - f h F d m = - ~ h M d m f i i r a l l e heLl(rim) mi t h F e K ( d m ) . J (F, din)

Das Wei te re i s t nun einfach. 1) Es sei ]eK(dm) m i t I/I =</v und mi t f /dm =

= D l ( F d m ) = J(F, dm). W i r nehmen h = ] / F u n d e rha l t en 1 - ~ / / ~ i d m . Das ~ t

Jiefert I//F[ = i und I MI = i sowie i~ M = 1 ode,: [ = F/M. EsJ~'existiert also

genau eine F u n k t i o n / e K(dm) der b e t r a c h t e t e n Ar t , unct hiorf~r is t I / I - - F . 2. Wi r haben nun

ffir alle h~Ll(dm) mi t hF~K(dm) . W e n n wit die F u n k t i o n e n h~Ll(dm) und H e L 1 (din) e inander ve rmi t t e l s h F = HI zuordnen, d a n n e rha l t en wir also f H / d m = -= fHdm [.]dm f/Jr alle H e L~(dm) mi t H[ e K(dm). I n d iesem Fa l le is t wel te r .f uH/dm ~ 0 und mi th in f uHdm --= 0 f/Jr alle u c A mi t ~ (u) -~ 0, so dab H e K(dm) sein muB.

W i r nehmen nun zweitens S* ~ K (din) in demselben Sinnc wie oben. Ff i r h e S* sei (~* (h) ~ f hdm. Dann is t S* ein komplexe r U n t e r v e k t o r r a u m yon C(X, ~ ) u n d a* ein l ineares F u n k t i o n a l 4:0 au f S*. We l t e r i s t A c T* und ~v - - r * I A. Endl ich is t S* c L i (din) und

D~(dm)-----Inf{flh ]dm: beg(d in) mi t f h g m = l } = l .

W i t wenden nun den H a u p t s a t z au f das MaB m u n d au f die n i ch tncga t ive Funkbion F e L l (dm) an. W i r e rha l ten exp a*(F, din) <= D*(Fdm). N u n is t t r iv ia lerweise a*(F, din) ~ a(F, din) ---= ~ l o g F d m , so dab wh' e rha l t en J(F, dm) ~ D*l(Fdm ). Das bedeate~

J(F, dm) l ] hdm]<=f lh IFdm f / i r a l l e h e g ( d m ) mit h f e L l ( d m ) .

Daher ex is t ie r t ein 211 e L ~176 (din) mi t ] M [ =< 1 und mi t

d(F, dm) fhdm ~- f h M ~ d m far alle hEK(dm) mi t h F e L l ( d m ) .

~renn wir insbesondere h ~ A nehmen, d a n n e rkennen wi t AI/~ e K (din) mi t ] M F I <= F u n d ] M F d m = J(F, dm), so dab nach dem schon Bewiesenen also M F = ] sein muB. W i r haben mi th in ]h/dm-= ~hdm ][dm ffir alle h e K(dm) m i t h[ e Ll(dm). I n d iesem Fal le i s t wel ter f uh /dm = 0 f~r alle u e A m i t 9 , ( u ) = 0, so d a b wir hi e K (din) erhal ten . D a m i t is t der Beweis des Satzes vol lendet .

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Anschrift des Autors:

Heinz KSnig Mathematisches Insti tut Universit~t des Saar]andcs 66 Saarbriicken 15

Eingegangen a m l . 5.1966