538 Annalen o h Physik. 5. Folge. Band 43. 1943

Zur Deutung der Kossel - Mollenstedt’schen Elektronen- Interferenzen weitgcof fneter Bundel an dunnen Pliittchen’).

Von E. Fues .

(Mit 8 Abbildungen)

Die von Kossel und Mollenetedt beachriebenen Elektronenrnterferenen weitgeijffneter Biindel beim Durchgang d&ch d i i t e Kristallfolien werden als Auswirkungen Ewald’scher Pendellosungen von Wellenfeldern im Kristall, also durch dynamieche Rauxngittarbeugung, qualitativ und schematisch quantitstiv gedeutet. Die Deutung des Zweistrahl-Falls folgt dem Vorgang von Mac Gillavry; demn Vberlepgen jedoch durch Benutzung der Ausbreitungsflikhe erheblich vereinfacht wtden. Die genauere Auswertung von Einzelfiillen sol1 von andrer Seita erfolgen.

Von W. Kossel und G. Mollenst,edt sind in einer Reihe von Arbeiten (1) - (4) Elektroneninterferenzen beschrieben worden, die beim Durchtritt konvergenter Strahlenbundel durch planparallele auI3erst dunne Kristallplattchen entstehen. Zunachst wurden die dabei auftretenden Systeme von Interferenzstreifen von Kossel als ,,Inter- ferenzen am schmalen (Netzebenen-) Spiegel” beschrieben, eine Erklii- rung, gegen die v. Laue den Einwmd erhob, daB sie gar nicht beruck- sichtige, wie sehr das Auftreten der neuen Erscheinung vom Vorhanden- sein konvergenter einfallender Strahlenbundel abhangt. Bei genauerer Ausmeeaung der Interferenzstreifensysteme fanden die Entdecker denn auch SAbweichungen von der Erwartung der Aequidistanz, die nur durch eine Richtungsabhangigkeit des Brechungsindex fur %Elektronenstrahlen zu erklaren waren - die Verfaaser sprachen in diesem Sinn von Disper- sion -. Bis G. H. Mac Gil lavry (5) schliealich die quantitative Erkla- rung eines einfachen Falls mit Hilfe der dynamischen Theorie derjRaum- gitterbeugung gab, und aus den Abweichungen des Streifenabstands vom Gleichwert auf die Strukturamplitude der reflektierenden Netz- ebene schloB.

Nach den uberzeugenden Rechnungen dieser Verfasserin unterliegt es keinem Zweifelmehr, daB maninden Kossel-Mollenstedtschen Inter- ferenzen eine sehr direkte Auswirkung derjenigen inneren Interferenzen von Wellenfeldern im KristaIl zu erblicken hat, die ale Ewaldsche Pendellosung in der dynamischen Raumgitterbeugungstheorie bekannt sind. Dies gilt such fur komplizierte Falle; um es auseinander zu setzen, soil jedoch zuerst suf die Erklarung Mac Gil lavrys im einfachen Zwei- strahlfall eingegsngen werden. Wir zeigen in $2 , wie bei dieser Erklarung daa Gesetz des Streifenebstands ohne jede Rechnung aus der Vorstellung

1) Herrn Qeheimrst A, Sommerfeld zum 75 Geburtwtag gewidmot.

E . Fues. Zur Deutung der Koseel - Molkmtedt'schen usw. 539

der Ausbreitungsflache konstruiert werden kann, die in einer fruheren Arbeit des Verfassers (f;) geschildert wurde. Da dort noch auf ziemlich umstiindliche alte Rechnungen Bezug genommen ist, sei in Q 1 vorher noch die Gleichung der Ausbreitungsflache kiln hergeleitet und zum Verstandnis des Nachfolgenden eine passende Formulierung der E w a I d- schen Pendellosung angegeben. In den Paragraphen 3 und 4 wird zur Erkliirung einer Aufnahnie von Kosse l u n d Mol l ens t ed t an Musko- vit die besondere Gestalt seiner Ausbreitungsflache und die daraus fol- gende Pendellosung erortert, sowie eine schematische Folgerung fur die beobachteten UnregelmitBigkeiten der Interferenzstreifensysteme ge- zogen. Die genauere Durchrechnung im Einzelnen sol1 einer anderen Mitteilung vorbehalten bleiben.

8 1. Rechnerische Herltitung der Ausbreitungsfliiche. Zusammenhang zwischen PendelliiRung im Kristall und Strahlendurehgang durch dm Pliittchen.

' 1 '' im Gitter der Kristall- 2n I -_

Fur die Elektronenwellen 'P = y (t) e platte gilt die Schrodingergleichung

2 x'm h2 Llly+---[E-

in welcher

die im Rauxngitter dreifach periodische Funktion der potentiellen Energie des Elektrons mit Gesamtenergie E darstellt. In der dreifachen Fonrierentwicklung (2) Rind die Ausbreitungsvektoren Q der Partial- wellen bekanntlich ganzzahlige Gittervektoren im 2 n-fach vergroBerten reziproken Gitter. Ails (1) und (2) folgt

otler, unter Vorwegnahme des korlstitnten Glieds S, der Fourierrcihc untl niit

Hierin bedeutet ,Y ' die Reitic ohiic. das C;lied (1 = 0 . q ( % 1) ist ein Entwicklungsparameter. der tirirch seine Gronenord-

nung lop4 zum Ausdruck bringt, daB fur Elektronen einer Energie von 60-80 Kilorolt die Struktur;tinplitudc q S,, von hochstens einigen Volt nur eine . , s ~ h ~ a c h e " Gitterstrulitiir bcdeutet.

35.

540 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943

Unter den Losungen der Wellengleichung (5 ) existieren als Aus- druck der den Kristall durchsetzenden Elektronenstrahlen ebene Wellen

eines Ausbreitungsvektors f mit periodisch in1 Rhythnius des Gitters modulierter Amplitude. Wie die Schreibweise

mit

zeigt, handelt es sich genau genommen um ,,Wellenfelder“ aus unendlich vielen verkoppelten Wellen. Unter ihnen uberwiegt aber bei weitem eine einzige starke Welle f, (mit b, = 0), wenn nicht durch B r a g gsche Refle- xion im Gitter weitere starke Wellen. ljz, lj,, . . . mit ihr physikalisch verkoppelt sind. Fur ausgewahlte Rimarrichtungen €, stehen gleich- zeitig mehrere, etwa (n-I) Netzebenenscharen in Reflexionsstellung; es entstehen in solchen Fallen Wellenfelder aus, n starken (und unendlich viel schwachen) ebenen Partialwellen. Die schwachen Wellen konnen bei der Rechnung in nullter Naherung auI3er Betracht bleiben. Welche Btar- ken Wellen demgegeniiber zu berucksichtigen sind, kann entweder direkt dem Versuch entnommen werden*), oder wird durch die nach- folgende Potenzentwicklung nach q entschieden. Das allgemeine Ergebnis solcher Rechnungen U13t sich anschaulich mit der Vorstellung der Aus- breitungsfliiche verknupfen, wie dies an anderer Stelle vom Verfasser geschildert worden ist (6) und weiter unten beniitzt werden wird. Wah- rend dort unter Hinweis auf altere, noch ziemlich umstandliche Rech- nungen eine mehr konstruktive Darstellung gewahlt wurde, mag hier nochmals eine kurze rechnerische Begriindung Platz finden:

Geht man namlich mit dem Ansatz (7) in (5) ein:

so folgt, weil diese Gleichung im ganzen Gitter, also identisch in r erfullt sein muB, das Verschwinden der einzelnen geschweiften Klammern. Oder, nach Umbenennung des Summatiomindex, wobei 4 = 6 in L” ausfallt,

}q = [k2 - fg2] yo + qz”S,- ylq = 0 fur jedes h. (la) Theoretisch gesehen gibt es unendlich viel solcher Gleichungen, die

durch unendlich viel Summenglieder alle mit einander verkoppelt sind. Praktisch gesprochen geniigt es aber - (das wird durch die unten folgende Entwicklung auch begrundet) - sich sowohl in 5, d. h. in der Zahlder betrachteten Gleichungen,. als in g, also in der Zahl der in Betracht gezogenen Amplituden, aufdie n ,,starken“, durch Braggsche Reflexionen

*) 2. B. liiI3t die Aufnahme Abb. 11 S. 58 in (4) erkennen, da13 ade r dem zentral gelegenen iiu13erst starken Primiirstrehl nooh weitere sechs in pseudohexa. gonaler Symmetrie um ihn gelegene starke Selrundiirstrahlen in das Wellenfeld eingehen. Alle ubrigen sind diesen gegenuber betrhchtlich schwiicher und in nullter Niiherung zu vornachliisuigen.

E. F u a . Zur Deutung der Koesel - Mollenstedt'schen w w . 541

mit einander verkoppelten Wellen zu beschranken. Man hat dann in (9) ein lineares homogenes Gleichungssystem fur die Verhaltnisse der n Amplituden lye vor sich, welches unter der Bedingung losbar ist, daB die Koeffizientendeterminante verschwindet. Da jedes t6 sich nach (8) linear in f, ausdrucken IaBt , kann diese Bedingung als Bestimmungs- gleichung fur den geometrischen Ort von f,, d. h. als Gleichung der , ,Ausbreitungsflache" aufgefaBt werden, Dieselbe wird mit Rucksicht auf (8) am besten im Rauni des 2 n-fach vergroBerten reziproken Gitters konstruiert, wie das in (6) geschehen ist.

Es ist jedoch zneckmaBig und entspricht dem Naherungsgrad, welcher durch AuBerachtlassung der unendlich vielen schwachen Wellen ohnehin eingefuhrt wurde, wenn vor Aufstellung der Lijsbarkeitsbedin- gung von (10) noch die GroBen Yfi und to nach Potenzen von q entwickelt

Y'h = Yh ("' + q y(hl) + q 2 yf' + . . . . th = R~ ~C q i h + q w + .. . . t! b = 8 2 h f q2 AT,. I, + q 2 (2 8 , . m + P) + . . .

(11)

und niir die (:lieder niit q o rind qi beibehnlten werden. Man erhiilt

1 q" { [k? - fif] y y { [k' - 8;) ylb" - [:! R 1 -t q ('I yA") -+ T's yr"" } (12) h b h n . h . n 9 i- q'

+ q2{ + . . . . = 0 .

(Die inkonsequente Hereinnahme des Zusatzes Q l2 in die Klammer mit q 1 wird fur gewisse Falle nachher begrundet). Verlangt man die Giiltigkeit, von (12) uber das vorliegende physikalische Problem hinaus fur beliebige kleine q-Werte, so folgt einzeln das Verschwinden der Koeffizienten { }is) von qs. Also der Reihe nach

[ k 2 - 8 [ ] vy) = 0 (13) + Z'Sh vp' = 0 , usf. (14) [kp - 8'1 y(:) + [- 2 8 I - Q 1'1 b h b

tl

In der Arbeit (6) ist nun gezeigt worden, daB im Fall ?z starker Strahlen die Pfeilspitze f, sich gleichzehig in der Nahe der n Kugeln

(15) mit Halbmewer k um die Gitterpunkte des (vergroUerten) reziproken Gitters befindet, YodaR die Annahmen (16) groBenordnungsmLBig nicht im Widerspruch zur Entwicklung ( I 1) stehen. Aus (13) folgen dann alle y r) zu null, ausgenommen die soeben genannten starken Strahlen j = 1,2, , . , R, fur welche die eckigen Klammern [k2 - gi ] verschwin- den; daniit sind die anderen Strahkn als schwach nachgewiesen. Fur die starken reduziert sich das homogene Gleichungssystem (14) weiter auf

gj2 - k2 = 0

- [2 8 , . I, $- q I;] y;;' + T'Sh-* y$"' = 0 (16) 9

- 1, sli1-h, S;,-b, . . . Sli,-h,L

s l i 2 - b , - 1 1 2 Shl-b, . . . Sbl--Bn '.""" ...................... *

Shn-h, JSh,,-h, sl)*!-li2 . . - [ In

Ahb. 1.

= o . (17)

E-i sioll kurz erklart wcr.den. warum nianchmnl cntgegen dnr strengen Potenz- entaicklung, die Beitrage zwciter Naherung + q I h 2 in den Gleirhungen (16) zu- gefiigt werden muasen. La0t man sie weg, so bedeutet das geometrjsch, da0 man die erwahnten Kugeln in der Umgebung ihrer gegenseitigen Durchdringung jeweils tlurrh ihre Tangentialebenen ersetzt. GI. (17) wird in diesem Fall vorn n-ten Grad in den Kornponenten \on I, d. h. die n Tangentialebenen werden in der Nach- bamchaft ihres Schnitts durch eine n-schalige Flache Ir-ter Ordnung ersetzt. welche (wie in (ti) beschrieben) jede Durchdringung der Ebenen durrh entsprechendo Abrundung ihrer Schnittkanten verrneidet. Das ist in rielen Fallen eine hinreichen- de Schilderung. und in solrhen wird man die Glieder q I . 811s (10) und (17) weg- .;t reichen.

E s gibt aber Falle, wie der in Abb. 1 gezeichnete, in welchen die 11 Kugeln nicht tlurdi einen Punkt gehen, oder dieser nirlit irn lnteressengebiet der Rechnung liegt. weil dieqex sirti iibcr rnehre1.e getrennte Durchdringungen erstreckt. Offenbar koinrnt es dort auf die Krunimung inindestem eirier der Kugeln wesentlich an, wenn nicht oincrseits tler Topdogic dcr Figur. andrerseits den Ausbreitungsrichtun- geii der I L Stralilen Zwang angetan werden soll. I n solchen Fallen kann man durch Zufiigung des Glicds q Ih* in ( I t i ) und (17) die Kriinimung der Kugel (15) niiherungs- weiae beriicltsicht ipen (sie ist. niiinlich durch ein Paraboloid enetzt) . Meist wird inan indessen auf dicse Zufiigurig verzichten konnen, vgl. die SchluOweise in (i 3.

(;l. (17) stellt eine n-schalige Flache E' ( f , ) bzw. F (I) dar, deren

8 .

E . Fues. Zur Deutung der Kossel - Mollenstedt'schen ww. 543

einzelne Schalen F(a)*) im Kopplungsgebiet jeder gegenseitigen Durch- dringung ausweichen und auBerhalb desselben asymptotisch in die n Kugeln (15) iibergehen. Wiihlt man auf der a-ten Schale einen durch ti(@) bestimmten Punkt, so bestimmt er nicht nur gemaB (8) die Aus- breitungsvektoren der n starken Wellen, sondern aus (16) bzw. (10) auch die Verhaltnisse ihrer Amplituden y,i(a)*). Normiert man einen gemeinsamen Faktor derselben in willkiirlicher Weise,

so ist damit das zugehorige Wellekfeld

eindeutig bestimmt. Wir wenden uns jetzt der Losung des Randproblems zu, d. h. der

Frage, wie sich eine von auBen auf die ebene Kristalloberflache einfal- (21) lende Welle Y o = eif0.r

ins Innere hinein fort.setzt, und beschranken uns im Hinblick auf die Versuchevon Kossel untl Mollenstedt nuf den T,iiuefall, bei welchem nach cler Eintrittsseit,e hin i~iich tlurch Beugung keiiie Strahlen mit nennenswerter Int,ensitiit reflektiert werdcn, sondern sowohl Primait- aln starke Sekiindiirstrithleii die Kristallplatte durchsetzm. Zuniichst hxt inan nech Wellen zu suchen, welche die Tangentialkoniponente tot des einfallenden Ausbreitungsvektors ubernehmen. Man hat also diese auf die Ausbreitungsfliiahe herunterzuloten, vgl. z. B. Abb. 9 in ( G ) . Gerat man dabei in eine Primkrrichtung, diedurch Braggsche Reflexion (n- 1) sekundare Wellen im Kristall erzeugt, d. h. gerat man in ein n-schaliges Kopplungsgcbiet cler Fliiche, so stehen zur Fortsetzung der Aul3enwelle n Wellenfelder ails je n st.arken Strahlen zur Verfiigung, deren jedes schon an der Eintritt.sflache des Kristalls fertige Sekundarwellen in verschiedenen Aniplitudenverhaltnissen mitbringt. Da nber beiin physi- kalischen Vorgang an der Eintrittsflache noch keine Sekundarwellen vorhimden win konncn, - sie entstehen jil erst dnrch Beugung beirn Fortschreiten tlcr Strahliing im Kristall, - so sind dic n Wellenfeldw SO zii i i b d i , 6 nern

(23)

544 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943

Die Interferenz aller n2 verschiedenen Wellen yi(a) rnit ihren fur gleiches j aber verschiedenes a sehr wenig verschiedenen ti(&) kann als n-fach periodische Schwebung von n Strahlen mit gewissen mittleren

beschrieben werden, wobei die eingestrahlte Intensitat zwischen Pri- marstrahl fi und den verschiedenen Sekundarstrahlen teilweise hin- und herpendelt (E w a 1 dsche Pendellosung).

Um dies rechnerisch zu verfolgen, zerlegen wir jeden Ausbreitungs- vektor fi(a) in seine Tangential- und die (ins Kristallinnere hineinwei- sende) Normalkomponente: = f::) + f:.). Dann la& sich das gesamte Wellensystem (22) im Kristall schreiben

= 2 (,ycc(n)yl(a) eif:E' . r) ,+ . r . (24) 1 a

Vermoge der Konstruktion des Herunterlotens von tot auf die verschie- denen Schalen der Ausbreitungsflache ist namlich

f$) = = f l t unabhangig von a . (25 )

Liegt nun eine Kristallplatte der Dicke D vor, so ergibt sich an der Austrittsseite der Platte der Zustand

Er setzt sich ins Vakuum hinein durch Elektronenwellen fort, welche die Amplituden (26) iibernehmen. Sie sind es, die auf einem Schirm Photogramme wie die von Kosse l u n d Mol l ens t ed t mitgeteilten erzeugen. Dabei ist die Intznsitat des j-ten Interferenzstrahls propcr- tional

.Jim I I 2 = 12 c(*)yi('y) 2 I f j , l ( X I I D 1 2

a (b D =1zC(a )~ i (a ) l 2+ 2 \ C ( ~ ) ~ j c a ) c ( P ) * @)*[e i [ f ! t ) - f jn I I. -11 Y i a :%<B 1 + konjug. komplex Glieder.

Man findet also

Das Klammerglied dieses Ausdrucks beschreibt gerade die Schwebungen der Pendellosung.

Sein Wert hangt jedoch in mehrfacher Weise von der Richtung f, ab: Erstens niimlich hangen die Ausbreitungsdifferenzen 1 kj.:) - f$) 1 im Exponenten stark von der Stelle ab, an welcher auf die verschie- denen Schalen der Ausbreitungsflache heruntergelotet ist, und zweitens sind sowohl die Amplituden yi(a) .wie die Faktoren c(a) von Punkt zu Punkt der Ausbreitungsflache verschieden. Gerade diese Abhangigkeit von f, ist es, die in den Aufnahmen mit weitgeoffnetem Biindel zum Ausdruck kommt. Zuniichst so11 das am Fall zweier starker Strahlen (Primarstrahl und ein Interferenzstrahl) gezeigt werden.

E. Fues. Zur Deutung der Kossel - Mollenstedt’schen usw. 545

$ 2. Konstruktive Herleitung des Ergebnisses von Mac Gillavry an der Ausbreitungs fliiche. Bei Entstehung nur eines abgebeugten Interferenzstrahls im Kristall

kann die Pendellosung recht anschaulich durch die nebenstehende Figur von E w a 1 d erlautert werden. Durch B r a g gsche Reflexion geht in einer ersten Schicht bei genauem Einfall unter dem B r a g gschen Winkel die einfallende Intensitat vollig, bei etwas abweichendem Einfall teilweise in den Sekundarstrahl uber, Sie wird in einer zweiten Schicht (an der- selben Netzebenenschar) in den Primarstrahl zuriickreflektiert und pen- delt in der Folge solange zwischen beiden Strahlen hin und her, bis an der Austrittshache der dort gerade vorhandene Schwebungszustand ins

Vakuum iibergeht. Die Figur deutet an, wie bei diinnen Plattchen (innerhalb der Glanzwinkelbreite !) sowohl Amplitude als Periodenlange der Schwebung von der Richtung des einfallenden Strahls abhangen. Ohne Rechnung erkennt man, daB die Richtungen verschwindender Intensitat des austretenden Sekundarstrahls (und voller, maximaler 1ntensit.Lt des austretenden Primarstrahls) nur abhangen vom Verhaltnis der Schwebungsperiode zur Plattchendicke. 1st diese ein ganzzahliges Vielfaches der ersteren, so erlischt der Sekundarstrahl, denn an der Eintrittsflache beginnt er unter allen Umstanden mit Intensitat null.

Die Schwebungsperiode ist aber vollig bestimmt durch die Differenz A t = ti.:) - t::’, d. h . vom Abstand der beiden Schalen der Aus- breitungsflache in Richtung der Plattchen-Normalen. Nun ist die Aus- breitungsflache beitn Zwei&hlproblem nach ( 7 ) naherungsweiso der hyperbolische Zylinder - 2 R, L S

(28) .S* -251,.1 mit den Tangentialebenen der beiden Kugeln (15) als ?4symptotenebenen. Er ist in Abb. 3 im senkrechten Schnitt (parallel zur Einfallseberie) gezeichnet. Man erkennt, daB ohne dynamische Abrundung der Durch- dringungskante In € 1 auf ihr glcich null ware und nach beiden Seiten

linear anwiichse, sodaB z. B. an den Stellen 1 , 2 , 3 , . . . In € 1 = c, 2n 27L

2. - , 3. , , . . . und die Phase der Exponentialfunktion in (27) D

‘ 7 1

D

646 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943

2 n, 2 . 2 n, 3 . 2 z, . . . . betriige. Diese Stellen bezeichrien also EinfaIls- richtungen mit erloschender Sekundarstrahlung nach wellenkinemati- scher Auffassung.

In der dynamischen Theorie weicht indessen die Auslreitungsflache von den Asymptotenebenen ctb, und zwar ixt der Abstand der beiden Hyperbelscheitel nach (28) gegeben durch IS1 : k cos 0 (0 der Glanz- wirikel). Die Figur zeigt, wie durch eine einfache Verschiebung parallel zur imaginaren Hyperbelachse die Stellen 1'. 2', 3', . . . gefunden werden, in denen nach dynumischer Auffaasung & I die obengenannten Werte besit.zt, also der Sekundjrstrahl erlischt. Die von M o l l e n s t e d t in (4 )

Orientierung der Khsta//ober/7acbe -- , , ,,I, ,, ,

! I . I I '

Alih. 3.

Abb. 4 und 5 gefundene Abweichung des mir Achsc cles I i ~ ~ ~ ~ ~ ~ l ~ c ~ l i s t ~ t i ( ~ i i

Zylinders parallelen Inberferenzstreifensystems von drr r.r\r.iirt.rtc~n . ~ q i i i - distanz ist so auf anschauliche Weise erklart. Natiirlicti enthiilt iinsrw

Konstruktion nichtv qndercs. nls was in dcn Rechnungen \-on JIii c G i 1 - l a v r y ausgedruckt ist. Es sei dnher auch darauf verzichtct, dart ( k s r t z tler Intensitatsverteilung der Streifen formelrnd3ig neu herziileitcn.

Doch mull kurz auf das allmiihliche Abkliygcn tlcr Strcifc.iiintc.nsitiit rnit wachsender Entfernrrng von rlcr Mittc-llinic der Figiir t*ingeg,r;tng:cn werden. Dazu erinnern wir iins, dalJ in den elementiiren Wt~llc~rifrldcrn (20) pine .Amplitutle I yj"l a ~ ~ e itatlrrcn lq,,!" I iiiiisomvtw iitm-triflt. je inehr die Schale $"\I cler ..\usbrritunRHflaiclll. sich dcr .~s?. i i i1)totcnc, \ )c .nc. El bzir.. .-Kiigel K I riiihwt. Z. H . uirkcn in tlcr Stclliinp :I t l w cinf;illvn- tleri Stralils in AAl)l>. 3 z w i Wellrnfcldcr z ~ i s ; i i i i i i i c ~ n . tliwn % i i x t ; i i i d s -

punkte I . I1 den zwei Scliiilen F"), W ) dw .~usbrc . i tr~n~st l : ic~ l ic iinge- IiCjr~n. f + " I ' niihc*rt sich jerloicti bcai T schoii sc+r st;trk tlrr 1Si)~r ic . I d l . \ ~ ~ r i i t i h fiir t ~ e n Punkt. I a i i f I,,,:') : I .- l r i l l > I gc.scti~oss.;cn \ \ c w l c i i

kann. Bci TI gilt rirngekehrt yv2) : &') = p init. IpI ~ 1 ,1 I 4 1 , S o r -

miert nuin jedes tler Wellenfeldrr n w h ( I ! ) ) . YO i w l i n i r i i t l i c . ~ n i ~ ~ l i t ~ i c l ~ ~ n die \Verte i i i i

1

E . Fw?. Zur Deutung der Kossel - Xollenstedt'schen ww. 547

Nach (23) ergibt sich weiter

(29)

. -.

Die Schwebungsamplitude wird nach (27) also selbst r\, l/a, d. h. uinso kleiner, je weiter die Zustandspunkte vor der Mittellinie entfernt sind.

$ 3. Ubertragung auf das Mehrstrahlproblem. Die Auabreitungsfliiche im. Fall der Mollenstedtschen 7-strahligen Muakovit-Aufnehme. Schon beim 3-Strahl-Problem ist aus mehreren Griinden eiri viel

verwickelterer Schwebungsvorgang in der Kristallplatte und dement- sprechend ein komplizierteres Interferenzbild zu erwarten. Nach Formel (27) erfahrt jeder der drei Strahlen im Kristall eine dreifach-periodische Schwebung. Da die Periodenlangen im allgemeinen nicht komniensrirabel sein werden, so folgt schon bei fester Einfallsrichtung die Verteilung der Stellen verschwindender Intensitat langs eines Strahls eineni konipli- zierten Gesetz. Beriicksichtigt man noch, daB .hierbei die Amplituden der drei Fourierglieder wesentlich sind - (von der Amplitude war die Verteilung der Schwebungsknoten im Fall zweier Strahlen ganz unab- hangig!) - und daB diese sich von Einfallsrichtung zu Einfallsrichtung stetig andern, bedenkt man ferner, daB die Ausbreitungsflache im Fall dreier Strahlen keine zylindrische, sondern eine doppelt gekriimmte Flache ist (bei der die Schnitte gleichen In fl-Werts selbst gekriimmt sind), so iibersieht man, daB im allgemeinen keinerlei einfache Voraussage iiber die Inerferenzenfigur mehr gemacht werden kann. I n noch holiereni MaB gilt dies naturgemaB bei Beteiligung von mehr a1s drei Strahlen.

Demgegeniiber aeisen die sechs symmetrisch um den Primarstrahl gelegenen Sekundarflecke in der in Abb. 4 wiederholten Aufnahme von Mollenst ,edt (vgl. (4) , Abb. 11) eine solche Einfachheit ihrer Streifen- systeme auf, daB sich die uberzeugung aufdrangt: im groaten Teil jedes Flecks liegt gar nicht ein T'ielstrahlproblem, sondern der wohlbekannte Fall der Wechselwirkung zweier Strahlen vor. Nur tin den Stellen, \yo der geradlinige Verlauf der Pitrallelstreifen unterbrochen wird und auf eineni genissen Zickzackweg deren verschobene Lage sich herstellt (d. h. langs der in Mollenstedts Abb. 12 gestrichelt angegebenen Schnittlinie und ihrer Umgebung), muB ein komplizierteres Wechselspiel obwalten. Noch ein zweiter Grundzug fallt bei Betrachtung der Aufnahme in die Xugen: Die Primarintensitat ist unvergleichlich viel starker, als diejenige samt Li- cher Beugungsbilder; man kann rechnerisch, die Amplituden pz bis p; in (26) als klein ansehen gegeniiber cpl. Andere a h die sechs symmetrisch, um den Primarfleck gelegenen Interferenzen brauchen iiberhaupt nicht be- riicksichtigt zu werden, sie treten hochstens langs jener S r t von Debye- Scherrer-Ringen hervor, die, aus K i k u c hilinienstiicken zusamnienpe-

548 Annulen der Physik. 5. Folge. Bud 43. 1943

setzt, eine in die Angen fallende zweite Beugungserscheinung darstellen, um die wir uns im Augenblick nicht kunimern wollen.

Man darf in dem tfberwiegen der Primarintensitat keinesaegs eine Folge der geringen Plattchendicke sehen und verniuten, daR der Schwe-

Ahl). 4 - . A l ) l ~ I 1 \ C H I h l o l l ? n > t c ~ c l t au\ . k i n (1 PIij.. V 40, S. 58 (1941).

bungsvorgang tler Abh. 2 i iur iiii Anfaiigsstndiwn ausgebildet sei. Die Existeriz vieler Int~.rferenzstreifeti bis zii zietrilich hohen Streifennum- niern in jedeni Fleck bewveist rielmehr (ebenro wie irn Zweistrahlfall),

2 0

3 7 0 0

7 0

Y 6 0 0

5 0

AlPI), r,

da8 viele Sc~~\\.eb~ingsperiodeii in tler Pltitfchendicke Platz haben, der Schwebringsvorgang also voll ausgebildet ist. Dagegeri liegen die durch das primare Bundel abgegrerizten Richtungen sarntlich in erheblichexn Winkclabstnncl vori den Z)irrchdririgungskanteli der beteiligten Aus-

E . Fuee. Zur Deutung der Kossel - Mo&natedt’8chen w. 549

breitungskugeln und demgemiiB sind nach (30) die Streifen schon ziem- lich schwach und nahezu iiquidiut.ant.

Nach diesen vorbereitenden Uberlegungen konstruieren wir die Ausbreitungsflache in dem fur die Aufnahme Abb. 4 in Betracht kom- menden Bereich, um an ihr die spiitere Rschnungsfiihrung zu orientieren. Sie entsteht durch dynamische Abwandlung der Durchdringung von sieben Kugeln (15), deren Mittelpunkte in einer Ebene, wie in Abb 5 gezeichnet liegen, und deren Radien nach (4) fiir 62 kV-Elektronen 131,5 k1 betragen gegeniiber dem niachsten Mittelpunktsabstand von 4,21 i-l (niimlich der 2 n-fachen Llinge des Gittervektors (331) oder (060) des reziproken Gitters).

Den Durchdringungskorper der sieben Kugeln in der ,Nechbamchaft ihrer gemeinsamen Tangentialebene zerlegen wir nun in sieben Bltitter, die sich in den fruheren Schnittkreisen kantig beriihren, aber nicht schneiden. Dabei ergeben sich bei der Projektion auf die genannte Ebene der Reihe nach die Figuren der Abb. 6, WeM wir die Bliitter einzeln

/ \

Blatt F( 1)

Blatt F ( 2 ) Blatt F ( 3 ) Blatt P(4) I

I

Blatt F(4) Blatt F(6) Blatt F(7) Abb. G .

550 Annalen der Phgsik. 5. Folge. Band 43. 194.3

in der lteihenfolge projizierbn. in welcher sic entgegen der Strahlrichtung gesehen werden. (Die Kugelmittelpunkte sind also hinter der Zeichen- ebene zu denken.) Die einzelnen Kugelfliichenstucke der Schalen sind hegrenzt von Rinneii - - - und Gritten . . . . . . . . , sie sind nummeriert nnch ihrer Hwkunft aus den verschiedenen Kugeln, wahrend die ganzen Bliitter nitch ihrer vorhin erwahnten rauinlichen Reihenfolge durch- gezahlt sind.

Durch die dynamische Abwa.ndlung werden, wie in (ti) ndier aus- gefiihrt,, lediglich die Schnittknnten derjenigen Kugeln abgerundet - (sodaB stcttt Beriihrung der Blat,ter Ausweichung stattfindet) - dereri zugehorige Strahlen in Reflexionskopplung stehen. Zeichnet man noch einma.1 den vom priinaren Strahlenbiindel get,roffeneri Bereich vergroBert herau3 (Abb. 7) und schneidet man ihn senkrecht zur Zeichenebene

Abb. 7.

in Richtung A-A, so ergibt sich die folgende Schnittfigur, in welche auch die dynamischen Abrnndungen qualitativ eingetragen sind:

Abb. 8. Schiiitt A - A . Kruininting alurk uhcrtriehen!

In c h i Schnitt ist zu erkennen. dctB der st,et,ige Verlauf der Kugel 2, soweit, er sich im Rereich des primaren Bundels befindet, langs der Schnit,tkreive mit den Kugeln 3 und 7 (und nur dort!), unterbrochen ist. An diesen Stellen tritt namlich die Kopplung 2 x 3 bzw. 2 x 7 in Wirksa In keit .

E . Fues. Zur Deutung der Kossel - Mollenstedt’schen WIG. 551

Eine Abschatzung der miiglichen Wellenfelder zeigt nun, daB auBer- halb dieser Kopplungsbereiche die Entstehung des Interferenzflecks 2 naherungsweise als Zweistrahlproblem (1, 2 ) , innerhalb derselben als Dreistrahlproblem (1, 2, 3) bzw. (1,2,7) aufgefaBt aerden dmf, ganz wia es das einfache Aussehen des Flecks 2 und seine Aufteilung in verschiedene Bereiche vermuten lie& Die Abschatzung laBt sich noch ohne Rechnrlrlg etwa wie’folgt andeuten: Wie Gbb. 7 zeigt. liegt der Primiirfleck peniigend weit weg von samtlichen Schnittkreisen der Kugel 1 rnit irgendwelchen andern Kugeln, daB die Interferenzstrithlen 2 bis 7 im Sinn von (30) nur noch schwache Intensitat (relativ zum Primarfleck) erhalten. Die Kopplung der Sekundarstrahlen unter einander wird daher uberall dort quadratisch klein, also vernachlassigbar, wo man sich nicht mit der Primarrichtung in unmittelbarer %he der betreffenden Kopplungskantc befindet. Solche Stellen sind aber fur den Strahl 2 lediglich die erwahnten Schnittkreise der Kugeln 2,3 bzw. 2.7. Andere airksame Schnittkanten der Kugel2 existieren nicht, weil die Strukturamplituden zu den Strahlen 4, 5, 6 null oder jedenfalls vernachlassigbar klein sind.

Diese Voriiberlegung lenkt die folgende (naturlich auch in sich selbst begrundek) Rechnung.

4 4. Schematische Durckrechnung der -4 ufnakmr: von Xollemtedt. Die Gleichiingen (10) lauten fiii das 7-Strahlproblem der Abb. 4

bei voller trigonaler ( h t t pseudotrigonaler) Symmetrie des Kristalls*) wie folgt (der GroBenordnungsfaktor q ist jetzt. gleich eins gesetzt,, also fur q S einfach S gesc-hrieben): [k”f12]y1 + s * y , + s y 3 + s* y4 + sy, -j- S*y, + s y , = o

+ s* y7 = 0 - s Yl + [k2--f2z1 Yz + s* w3

s* w1 s Yz + [k2- f3’1 Y3 f S w 4

SY1 s* Y1 +sly,+ Ck2-fs21yj+Sy6 S y1 S* w 1 + Ya +Sy,+[k2-fft21w7=~

-0 = 0 (31) = o 0

+ s* lp3 + [k2 - f 4 Z I yyJ + s* ys

+ s* yj f [k2- €,‘I y J S i- s* p,

Wir setzen S = 181 e‘V, teilen jetle Zeile durch den in ihr enthaltenen Klammerfaktor [ 1, und fuhren fur -- IS1 folgeridc Bezeichnungen ein. Ea

[ Ii seien genannt

ai. wenii [ ]i < S . sodaB alle a; > 1 ,!Ii, wenn [ ]i 2 . sodaB alle ,!Ii < 1 (32) h%-I = { y i , wenn ([ ]I 1:l. sodan alle y , - 1

Samtliche ni, pi, yi sind > 0.

*) Annzerku?q bei &r Korrekfur: Die Rechilung macht noch keitien Or- braurh ron der tatuiichlich vorhandenen hexagonalen Sytnnmtrie, aondern setzt nur trigonale Symmetrie voraus. Dadurcli wird deut lirli, daB das Ergebtlis (48) bzw. (49) von der Phase p der Strukturamplitude S abhiingt. diese also erkrnnpn 18sst. Tetsiichlich zwingt. die hexagonale Struktur der Flecken 2 bis 7 nach- triiglich zur Annahme Q? = 0 (oder ~i.3). d. h. reeller Strukturamplitude, die - von vornherein .eingefiihrt - die Rerlinungcn rler Ahschnittr 4 un:l 5 rtwas vereinfacht hattc.

552 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943

Wir betrachten insbesondre dau Gebiet G der Flecken (vgl. Abb. 7) und orientieren uns an dem Schnitt A-A iiber die GroBenordnung der Klammern I[ ]il relativ zu (8). Dieses Verhaltnia ist in den verschiedenen Blitttern F(*) bis F(7) verschieden zu beurteilen, wie die Abbildung (8) zeigt. Man erhdt aus (31) folgende Gleichungssysteme:

In Blatt F('): y l ( l ) - a1(1) [e-@ ~ $ 1 ) + eipy,(l) + e-ip y4(1) +

+ ei'? ~ $ 1 1 + e+q ~ $ 1 ) -!- e"P ~ $ 1 ) = 0 - eip yb1) + yz(l) -,!?,(I) e--ip yr,(l) -,!?&1) c i p v,(U = 0

-p3(1)e-'py1(l)-,!?a(l)eipty,(l) + yS(l)-,!?Jl) eipv,(l) = o (33) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - p,(1) e-ip yJ1) - p,(l) eip q&1)

Aus der zweiten diesor Gleichungen folgt z. B., daB y&l) von der Gro- Oenordnung p-ma1 mindestens einer der anderen Amplituden yi(l) ist. Nach den folgenden Gleichungen kommt jedoch hierfiir nur yJ1) in Betracht. Man find& &her, wenn man jewels die niichst kleinere Groljenordnung (die. hohere Potenz der G r o h pi1)) vernachliissigt, niihenmgsweise Gleichungen, in denen die klein Redruckten Glider weggefallen sind. Aus ihnen folgt

- ,!?Jl) eip *&l) + ~ ~ ( 1 ) = 0

;dhnlich entsteht in den Bliittern F(2) bzw. F(3) das Gleichungssystem

(die 1 ::En 1 Vorzeichen beziehen sich auf

In den gefundenen Ainplitudenverhalt.niss~?i eiticrwits. den Koeffi- zienten (42) andrerseits (bzw. in den jeweils dahin fiihrenden Bestim- mungsgleichungen) lie@ der strenge Beweis dafiir enthalten, daf3 Rich das anfanglich gnnz allgernein angesct,xte 7-Strahlproblem (31) wirklich

-~ i i i~a ler i clor I'lr).sik. 3. Folpc. 1:;. GL;

664 Annakn der Physik. 5. Folge. Band 43. 1943

auf ein 2- bzw. 3-Strahlproblem reduziert, wie in Q 3 vermutet worden war. Die Rachnung ist zwar zunachst nur fur das Gebiet 0 der Abb. 7 angeaetzt und liefert demgemliB die Verkopplung der drei Strehlen 1, 2, 3. Man braucht indessen auf dem Schnitt A-A in Abb. 8 nur in Gedanken nach links aus dem Gebiet G herauszutreten, um einzusehen, daB dabei die GroBen y,(3), yJ2) in die GroBenordnung ads), %(2) ein- riicken, die GroBen ys(2), y3(3) in entsprechende Pp'Z), Pj'3) ubergehen. ( h i m Durchtritt nach rechts findet daa Umgekehrte statt!). Dadurch gehen die Gleichungen (36) - (37) und (42) von selbst in die entspre- chenden des Zweistrahlproblems 1,2 uber, soda0 mit unserer schemati- schen Rachnung tawchlich beide Behauptungen bewiesen sind.

8 6. Erbi.termng der Streifenverschiekng.

Nach Formel (26) und (42) besitztz der Sekundiirstrhl 2 an der Austritteebene der Kriatallplatte die Amplitude

Um daa Streifensyetem des Flecks 2 der Aufnahme Abb. 4 zu verstehen, hat man die Abhangigkeit der GroBe Iv2[a von der Einfdlsrichtung zu untersuchen. Die Streifen im Fleck 2 liegen im wesentlichen parallel zur Durchdringungskante der Kugeln 1 und 2 (bzw. ihrer Tangedtirtlebenen) mit Awnahme dea Gebiets der Schnittlinien 2 x 3 bzw. 2 x 7, in deren Umgebung sie eine Verschiebung um fast eine ganze Periode durch- mchen. Man h n n also von der Intensitiit im Fleck 2 sagen, d a B sie periodieche Schwankungen senkrecht zur Durchdringungskante 1 x 2 beeitzt, demn Phase 6 im allgemeinen auf Parallelen zu ihr konstrtnt +t nur in der Umgebung der genannten Schnitthien eine eingreifende Anderung eflahrt. Diese hderung mu0 am Ausdruck (43) abzuleeen min, wem man z. B. deeeen Variation bein Fortschreiten litngs des Sohnitta A-A der Abb. 8 im Gebiet Q betrachtet.

Wir fiihren unter Hinweie auf die Verhitltnisee dieeer Abbildung folgende Nkherungn ein:

E . F w . Zur Deutung der K0,wel- Mollemtedt'echen m u . 556

1. setzen wir in Gebiet B Bs(') : Pa(') = 1 , (44)

2. setzen wir den Cosinus des Winkeh der Kugelnormalen von Kl bis K3 gegen die P1kttchennormale gleich eins. (Er unterscheidet sich in jedem Fall bei der Aufnahme Abb. 4 nur um Betriige der Ordnung lo-' davon!). D. h. wir messen die Normalabstknde a+a) der Ausbrei- tungspunkte auf den Schalen F(Q) von den Kugeln K j einfach lknge der Vertikalen unserer Figur.

3. Derselben Niiherung entspricht es, wenn wir auf einer und der- selben Vertikalen (also zum selbem tot) setzen

%(3) = a,(2) = a und %(2) = 4 ( 3 ) = b . (45) Der Figur entnehmen wir ferner, daI3 a links von der Mittellinie der Hyperbe12 x 3 klein, rechts groB ist; und daB fur b das Umgekehrbgilt.

4. Laseen wir die Zeiger 2,, an den Normalkomponenten der Aucl- breitungsvektoren weg und zerlegen I = = k(=2) + = ,$=a) + b ;

(46) I t q = k(3) = p z ) - 4 3 ) = p a ) - a . unter k ( K 8 ) den Vektor bis zur Kugel K , verstanden.

Mit den Niiherungen (44) bis (46) schreibt sich

t t (1)D i k ( K 1 ) D 1 f e - i sp i b D e + ~ z = P ~ l ) ~ ~ ( e - e [ 1 + b/a

Bildet man die Intensitiit, und sktzt [I = ][]I . eib, so kommt

Man erkennt, daB lediglich das cos-Glied die gewiinschte Periode senk- recht zur Kante 1 x 2 hat, welche dem Streifensystem zukommt. Fur dim Glied spielt aber die Klammer [I die Rolle einer komplexen Ampli- tude, deren Phase 6 gleichzeitig die Phasenlage der Streifen angibt. Diem Phase, d. h. der Argumentwinkel der komplexen GroBe

Js = P2(')'(1 + ][]]z + - 2 ][]I COB { (kc') - k c R z ) ) D - d } ) . (48)

(49) 1 + ) ' b / c c e - ' 3 9 tbD . 1 - l / 7 & e - i 3 V - i a D

e + 1 + a/b

@ = 1 + b/a

ist also zu untersuchen. Er mu8 h i m Durchlaufen des Gebiets B die beobachtete Streifenverschiebung liefern.

Die Ausfuhrung dieser Rechnung bleibt einer besonderen Mitteilung vorbehalten. Nur auf einen Punkt sol1 hier noch hingewiesen werden. Der Argumentwinkel der GroBe @ ist 90 beschitffen, daB er bei groBer Entfernung von der Schnittlinie 2 x 3 rechts und links Werten zustrebt, die sich nur um Vielfache von 2 x unterscheiden. Hiernach muDb man schlieBen, daB die Streifenverschiebung nur ein ganzes Vielfaches der Shreifenperiode betragen konne, im Gegenmtz zu den Feststdungen

3G'

556 Annulen der Physik. 5. Fobe. Band 43. I943

von Mol lens ted t , der angibt, daB sie nur 0,8 bis 0,85 dieses m r t s besitze. Es ist sehr wahrscheinlich, daB man darin das Zusammenwirken der beiden Durchdringungen 2 x 3 und 2x7 in ziemlich naher Nach- barschaft zu erblicken hat, nelches die Ausbildung des asymptotischen Verhaltens einfach verhindert. Sollte sich diese Vermutung quantitativ bestatigen, so ware damit eine nicht unwichtige allgemeine Eigenschaft der Ausbreitungsfliche festgestellt, die sich (nach der Aufbsung des Verfassers) auch schon in den K i k u c h i - Enveloppen angedeutet hat.

Literaturverzeichnis:

1) W. Kossel und G. Mollenstedt, Neturwiws. 16, 660, (1938). 2) W. Kosse l und G. Mdlens tedt , Ann. d. Phys. V, 36, 113, (1939). 3) W. Kossel, Ann. d. Phys.. V, 40, 17, (1941). 4) G. Mollenstedt, Ann. d. Phys. V. 40, 39, (lQ41). 6) C. H. Mac Gillavry, Physice VII, 9. 329 (1940). 6) E. Fues, Ann. d. Phys. V, 36, 209, (1939).

September 1943, jetzt Institut fur theoret. Physik der Universitat Wien IX./66, Boltzmanngasse 5.

(Eingegangen 20. September 1943.)