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Zur Differentialgeometrie algebraischer Fllichen. Von Roland Weitzenbiick,
Die vorliegende Arbeit besehStftigt sieh mit der Untersuchung der Umgebung yon regul/~ren Punkten auf algebraisehen Ft$ichen n re" Ordnung (n > 2). Hiebei wird die Flache dureh eine irreduzible Gleiehung F(xl , x~, xa, x~) -~- 0 in reehtwinkligen homogenen Punkt- koordinaten als gegeben vorausgesetzt, deren Koeffizienten und Veriinderliche gew(ihnliehe komplexe GrSgen sin& Das Polynom F(xl , x2, xz, x~) legen wir den Untersuehungen in der iibliehen sym- bolisehen Darstellung F ~ (ax)" zu Grunde.
Es ist ftir die Behandlung yon allgemeinen algebraischen Flaehen n t~ Ordnung ein naturgemal3er Standpunkt~ eine einzige Gleiehung F ~ 0 zur Festlegung der Flache zu verwenden. Eine Darstellung der Koordinaten x, y, z eines Fliichenpunktes durch algebraisehe Funktionen zweier Parameter u und v wtirde hier im allgemeinen eine augerordentliche Kompliziertheit verursaehen, wenn man sieh die jedenfalls bereehtigte Forderung stellt, die Flaehe in ihrer ganzen Ausdehnung zu beherrsehen.
Bei der bier gewahlten Darstellung der Flaehengleichung in homogenen Koordinaten ist es dann selbstverstandlich~ da~ die Reehnungen nach den Methoden der Theorie der quaternaren Formen durehgeftihrt werden. Es macht sieh dann, bei der Untersuehung der Umgebung eines Flaehenpunktes, in erster Linie das Bedtirfnis geltend, einen Zusammenhang zwisehen quaternaren und denjenigen binitren Differentialformen herzustellen: durch welche die verschie- denen Fortsehreitungsrichtungen im Tangentenbtischel gegeben werden. Dies teistet ein im w 8 angegebenes tJbertragungsprinzip in einfaehster Weise. ~::
Auf die Sehaffung neuer Resultate und Erreiehung yon Voll- standigkeit maeht die vortiegende Arbeit keinen Ansprueh. Sie soil vielmehr die Riehtlinien ftir eine DarstelIungsweise klarlegen, deren spezielle Methoden gerade far die Behandlung alg.ebraiseher Flachen bei differentialgeometrisehen Untersuehungen lm Eukli- dischen Raume der Natur der Sache am meisten angepagt erseheinen. Wir finden in der ausgedehnten Literatur der Flaehentheorie nur an wenigen Stellen Bertihrungspunkte mit unserer Darstellungs- weise; tier Grund hiefttr ist in de r ttauptsache wohl der, dai] die Methoden der abgektlrzten Bezeiehnung und der i n der Formen- theorie tibliehen Symbolik fast aussehlieglieh bei projektivgeometri- sehen Untersuchungen Anwendung gefunden haben.
16"
'244 Roland Weitzenb~ck.
I n h a l t : w 1. Vorbemerkung. w 2. Der eigentliche, regul~re Fl~chenpunkt. w 3. Die ttaupttangenten-(Asymptoten-)Richtungen. w 4. Die Minlmalrichtungen. w 5. Dio Hauptkriimmungsrichtungen. w 6. Das sph~irischo Bild. w 7. Bin~re und quatern~re Differentialformen. w 8. Ein ~bertragungsprinzip. w 9. Die vier quadratischen Differentlalformen Fii. w 10. Anwendung der Formeln. w 11. Dio Kriimmungsradien der Normalschnitte. w 12. 0bet die D-Linien der Normalschnitte.
w 1. Vorbemerkung. Wir erklgren hier kurz die im folgenden verwendeten abkiir-
zenden Bezeizhnungen. I. Sind ai~ bi~ c~ d~ (i = 1, 2~ 3~ 4) irgend welche Gr(iSen~ so
setzen wit ftir die homogene Summe
das Zeichen (ab) [Faktor erster Art]. Es ist dann (a b ) = (b a) and 2_ 4_ 2 (a a) :'-- a 1 ~ ~ as2 _~ as a~.
Fiir dio vierreihige Determinante
a 1 a 2 a 3 a~
b 1 b, z b 3 b~
cl c2 c3 ~4
dl r d~d4
sehreiben wir kurz (abed) [Faktor zweiter Art oder Klammer- faktor]. Es ist dann (a bcd) ~ - - (b a cd) ~ @ (c a b d) =___... und (aabc)~.O. Ferner bestehen die drei folgenden ldentit~ten:
(a b c d) (e x) ~- (e b c d) (a x ) - - (e a c d) (b x) -[- } (a) -3 t- (eabd) (cx)--(eabc) (dx)
( a b c d ) ( x y z t ) ~ ( x b c d ) ( a y z t ) - - ( x a c d ) ( b y z t ) J f - } (b) -~- (xabd) (cyzt) - - (xabc) (dyzt)
(ax) (bx) (cx) (dx) (a y) (b y) (c y) (d y)
(abcd) (xyz t ) =___ (c) (az) (bz) (cz) (dz) (at) (b t) (e t) (dr)
Zur Differentlalgeometrie algebraischer Fli~chen. 245
II. Ftir die sechs, aus den ai und bi gebildeten zweireihigen Determinanten
a~b~--akb~ ( i :#k) , (i, k~- -1 ,2 , 3 ,4)
schrelben wit (a b)ik. Es ist dann (a b)ik ~- - - (a b)k~ ~ - - (b a),k ----- ==-(ba)kr Sind (cd)~k analoge Ausdrticke, so setzen wir ftir dio Summe
(a b )ik (c d)ik ~- (a b)l ~ (c d)x g~ -J- (ct b)l a (c d)l 3 -J- (a b)lr (c d)i t ik
den Klammerausdraek ( (ab ) (cd ) ) . Es ist dann: ( ( a b ) ( c d ) ) ~
= _ ( ( , 4 ) ( . b ) ) - = - ( ( b . ) ( c a ) ) - ; ((. b) (. b)) = (. ~)~ + (. b)~3 + �9 -. -{- (a b)2~ 3. Welters wird :
l (a c)(h c ) [ ~ (a c)(b 4 ) - (a 4)(b c). (d) ((. b) (ca)) =__ (.4) (ha)
Ein Spezialfall hievon ist: ((a b) (a b)) ~ (a a) (b b) - - (a b)L Schliel~lieh haben wir :
~;,(ab)ik (cd)m~ --= (ab)~2 (cd)a~-~ . . . -~-(ab)~3 (cd)~ ------ ( abcd )
Diese Identitiit erh~tlt man durch Entwicklung der vierreihigen Determinante (abcd) nach zweireihigen Minoren.
I IL Ftir die vier dreireihigen Determinanten, die sieh aus der Matrix
b~ b~ b~ b,
C 1 C 2 C 3 C 4
d~ d~ d~ d~
bilden lassen, setzen wir:
% = _ l ~ @ c~ c 3 c 4/~ c~ c 3 %~-~- c 1 c~ c~
oder ktirzer :
] b I b~ bs[
% = - c~ c~ c a
d 1 d~ d 8
~ = q- (b ~ d)~, % = - - (b c d)~, % ---- .+ (b c d)~, ~, ---- - - (b c dh. (e)
Es ist dann: ( a ~ ) ~ ( a a ) _ _ ~ (a(bcd)) -~ (abcd) ~----- ((.abe)d). Sind ferner u i ~ (yzt)~ analoge vier GrSl~en~ so setzen wlr
4
"~ (b ~ a)~ (~,~ t)~ - - ((b c;d) ru zt)).
246 Roland Weitzenb~iek.
Es ist dann:
= u) - - - ( ( y z t ) = ( (bed) y z t ) =
--- ( b c d ( y z t ) ) ~ - - ( C c y z t ) ~ _ - - ( b c d u ) .
Schlieglieh besteht die Identitlit :
(by) (bz) (bt) ((b c d) (y z t)) ~ (c y) (c z) (c t) ( f )
(dr) (dz) (dr)
IV. Euthidt ein Ausdruek F die Grtil]en
xi , YiT . . . 7 ui~ vi . . . . ( i - - 1 ~ 2 7 3 7 4 ) : F----=----=-lT~'(xi, YiT . . . 7 ui7 v i ~ . . . )
und versehwindet F fiir alle Wertesysteme x~, so bringen wir dies mit E. S t u d y dureh
F - ~ _ 0 { x } (gelesen: F identisch Null ftir alle x)
zum Ausdruck.
w 2. Der eigentliche, regulitre Fliichenpunkt. :
Wir legen den folgenden Betrachtungen homogene Koordi- naten x 1 : x~ : x a : x~ zu Grund% die wit folgendermM]en definieren. Sind x~ Y7 z gewShnliche rechtwinkligo Koordinaten: so setzen wir:
_ _ X l x 2 x 3 x - - - - y = - - , z = - - (1) x 4 ~ x~ x~
and legen die Werte der komplexen Verhii[tnisgrSl~en xi dureh die Gleiehung
( l x ) ~ - - O . x l - ~ - O . x ~ + O . x s - } - l . x ~ - - - - O , d.h . x ~ = l (2)
lest. Wenn wir von einem Ptlnkte x spreehen: so meinen wir den Punkt mit den homogenen Koordinaten xi . Ist ftir den Pankt y y~4=07 so ist y ein eigentliche~" Punkt ; ist hingegen y~ = 0 7 so ist y ein uneigentlieher (unendlichferner) Punkt. Die uneigentliehe (unendliehferne) Ebene l wird gegeben dutch die Gleichung: 1)
(l x) ~_ x, = 0 (3)
Den absoluten Kegelschnitt J (Kugelkreis) unseres Euklidi- sehen Operationsraumes definieren w i r als Sehnittkurve der un-
1) Man vgl. hieriiber: E; S t u d y , Geometrie der Dynamen~ Leipzig 1903, w 16~ p. 126 uad 137.
Zur Differentialgeometrie algebraischer Fl~chen. 247
eigentlichen Ebene ( l x ) - - ' O mit de r irreduziblen Flache zweiter Ordnung
~ + ~ + ~ = o . f (4)
Die Gleiehung yon J in Ebenenkoordinaten 1) ist
- ~ (~ l u) = o. (5) r = (~ u) (z u)~ ~ u~ + u~ + u~ =--
Hiebei sell unter ( a l b ) (gelesen: a in b) die homogene Summa a 1 31 -3 t- a 2 3 2 --{- a s 5~ verstanden werden, eine Abktirzung, die wir manehmal anwenden3) Zwei Ebenen v und w mit den homogenen Koordinaten vl und w~ stehen dann aufeinander senkreeht~ wenn (v I w) ~- 0 ist. Die Ebene w ist dann und nur dann'Minimalebene, wenn (w / w) = 0 ist; far die uneigentliehe Minimalebene l i s t diese Bedingung wegen ( l l l ) ~ 0 yon selbst erftillt.
In Pltiekersehen Linienkoordinaten =;~ hat der absolute Kegel- sehnitt J die Gleiehung:
= 0. (6) ~14 ~24
Eine Gerade pik steht dann auf einer anderen Geraden qik senkrecht, wennpl~" ql~ "~- P~4" q2~" ~-Psa" qa~ ~ 0 ist. Die Geradep;k ist daher Minimalgerade, d. h. sie sehneidet J~ wenn 2 ~ "-~'P~,'-~--P~4 - - 0. ist.
Es sei jetzt eine algebraische Flgehe n ~'~ Ordnung ( n > 2) duroh ihre symbolische Gleichung gegeben:
"F--~ (a x ) ' ~ - (al x l "-~- a2 x~-~- " ( c x) "~ ~.~_ . . . --~2~- a~ x~)'* ~ - (b } (7):
Von dam Polynom F setzen wit voraus~ dag as irreduzibel ist. Die Koeffizienten aikz.., und die Veriinderlichen x~. seien gewShnliehe komplexe Gr(ifien.
Es sei y ein Punkt auf F und z ein yon y verschiedener Punkt des Raumes. Soil der Punkt y ~ ~z auf F liegen~ so mug }, der Gleichung gentigen:
�9 . . + ~,~ (a ~)~ = o.
Hier is~ ( a y ) ~ = 0 , d a y auf F liegt, gs w i r d also fiir die n Sehnittpunkte der Geraden y z mit F : ) ,~--0. S011 eine zweite
1) Sind a, b und c drei Punkte, die n icht derselben Geraden angehiiren~ so sind die homogenen Koordinaten a i d e r durch sie bestimmten Ebene a dutch die Gleichungen (e) des w 1 gegeben.
2) Man vgl. hieriiber: E. S tudy , Geometrle der Dynamen, Leipzig 190a~ w 16, p. 126 und 137.
248 Roland Weitzenb~ick.
Wurzel ~. - - )~ ~--- 0 sein~ so mul~ (az) ( a y ) ~ - ~ 0 sein~ also z auf der Ebene
(v x) -~ (a x)(a y)~-I ~ 0 (9)
liegen, vorausgesetzt, daft (vx)=_l-O {x} [d. hi da~ (vx) nicht identiseh ftir jedes x gleieh l~ull ist]~ was wir in folgendem stets annehmen. Die Ebene v existiert dann und heist T a n g e n t i a l - e b e n e in y an F. Den Punkt y nennen wir dann r e g u l i i r .
Wi t untersuehen in folgendem die Fliiche in der Umgebung eines regul~tren Punktes~ and zwar besehriinken wir uns weiterhia auf e i g e n t I i e h e Punkte, d. h. soleh% ffir dis (l y) ~ 0 ist.
w 3. Die Haupttangenten-(Asymptoten-)Richtungen.
Es sei jetzt y ein eigentlicher~ regul~trer Punkt auf F~ d. h. wir haben -
{x},
Wegen (vx) ~ (ax) (ay)~-l=_i -- 0 {x} ist auch (ax)2(ay)~-~l~O {x}; es existiert also die Fli~ehe zweiter Ordnung:
P ~ (ax) ~ (ay)~-2~.O. [(n - - 2) ~ Polarfiache yon y]. (10)
Wir kntipfen jetzt wieder an (8) an und nehmen ftir z einen Punkt in der Tangentialebene v. Dann ist k 1 ~ k2 ~ 0 und wenn noeh ein weiteres k ~ k ~ - - 0 sein soll~ so mu~ (az)~(ay)n-2--~O sein, d. h. z mu~ der Flache P angeh(iren. P geht durch y und hat in y die Ebene v zar Tangentialebene. v schneidet also P nach zwei (getrennten oder zusammenfallenden) Erzeugenden, voraus- gesetzt~ dab P nicht in ein Ebenenpaar zerf~tllt, dal~ also
P ' ~ (uabc) 2 (ay) n-~ (by) '~-~ (cy) n-2 -]=_ 0 {u} ( l i )
ist. Diese Voraussetzung behalten wir Vorliiufig bei, sie wird weiter unten (w 5) dureh eine speziellere ersetzt werden. Wltre lo' ~ 0 { u } ~ so wtirde P in v und eine zweite Ebene zerfallen~ und jede Gerade dutch y in v tri~fe F in (mindestens) drei~ in y zusammenfallenden Punkten.
Wir haben jetzt unter den eben getroffenen Voraussetzungen dureh y in v zwei Tangenten yon F~ die F in y dreipunktig be- rtihren: die H a u p t t a n g e n t e n - o d e r A s y m p t o t e n - R i e h - t u n g e n im Fliiehenpunkte y. Sie fallen zusammen, wenn die Diskriminante H yon in versehwindet, also fiir:
1 (abcd) 2 (ay)~_2 (by)~_ ~ (cy)n_2 (dy)~_2 ~ O. (12) H ~ -
Zur Differentialgeometrie algobraischer Fl~ichen. 249
Es seien nun y; -~- d y, die Koordinaten eines zu y benach- barten Punktes der Fli~ehe. Ftir die Differentiale 8) dyi haben wir dann die Gleichungen:
(a d y) ( a y) ~- ~ _~_ (v d y) -~ 0 (13)
( ldy) = 0. (14)
Die erste dieser Gleichungen ergibt sich durch Differentiation yon ( a y ) ' = O, die zweite Gleichung folgt aus (2).
Soll der Naehbarpunkt y - j - d y auf einer durch y gehenden ]:Iaupttangente liegen, so wird, wenn wir in (10) x i = y i - - ~ d y ~ setzen wegen (13):
(ady) 2 ( a y ) " - ~ - ~ O. (15)
Die drei Gleiehungen (13), (14) und (15) oder
(~ d V) ~ (a y)~-~ = 0
(v d y) ----- 0 (16)
(~dv) = o
definieren so die dareh y gehenden Fortsehreitungsriehtungen der Haupttangenten: sie sind also nichts anderes als die Differential- gleiehungen der Haupttangentenkurven. ~)
w 4. Die Minimalrichtungen.
Das Quadrat d ~ der Entfernung d zweier eigentlieher Punkte y and z ist gegeben durch die Formel: 5)
d~ (y~)_~ (z~) o (yz) (17) = (Iv) ~ - q z ) ~ - - " ( l y ) ( i z ) '
Ersetzen wir hier z dareh den zu y benachbarten Punkt y-3 t- d y und schreiben d s statt d, so erhalten wir wegen ( l d y ) - ~ 0 ftir das quadrierte B og e n e 1 e rn e n t ds ~ den Ausdruek :
ds ~ - ( d y d v ) (lS) - - ( l V)~
Wenn y-~-~y ein weiterer Nachbarpunkt yon y ist~ so wird d e r Winkel % den die beiden yon y ausgehenden Fortschreitungs- riehtungen (y, y.-~-dy) und (y, y - - - ~ y ) bilden~ gegeben durch
cos2 ~ ~ (d y ~ y) (19)
3) Vgl. die Bemerkung in w 7. a~ Vgl. w 7. ~) Vgl. E, Study, 1. e. p. 141.
250 Roland Weltzenbiick,
Hiebei ist vorausgesetzt~ daft keine dieser beiden Riehtungen Minimal- richtung ist.
Ist y ein eigentlieher, reguli~rer Punkt yon F~ so sehneidet die Tangentialebene v das absolute Gebilde J in den beiden ab- soluten Punkten (Kreispunkten) yon v. Die Verbindungslinien von y mit diesen Punkten sind diejenigen Tangenten dureh y an die Fliiehe F~ welehe Minimalgerade sind. Ftir diese Geraden ver- sehwindet ds ~ and kS werden daher die durch y gehenden Minimal- riehtungen auf der Flltehe F definiert dureh die drei GleiehuDgen:
(v a v) �9 (20)
(lay)
Diese Gleizhungen sind daher aueh die Differentialgleizhungen der auf F befindliehen MinimMkurven.
Die beiden Minimalriehtnngen dureh y in der Tangential- ebene v fallen zusammen~ wenn v eine Minimalebene ist~ also ftir (v I v) = O.
w 5. Die Hauptkrfimmungsrichtungen.
Es sei y wieder ein eigentlieher~ regul~rer Punkt auf F~ v seine Tangentialebene. Die (Euklidisehe) Fl~ehennormale p in y ist die Verbindungslinie yon y mit dem Pol ~ yon v beztiglich des absoluten Kegelsehnittes J. Die Gleichung yon ~ ist nach (5):
(u~) ~ (u lv ) ~ (uv) - - (~l) (vl) = o; (21)
daher sind die Pltiekersehen Linienkoordinaten der •ormalen gegeben dureh :
p~k = (y v ) ~ - - (y l);~ (vZ). (22)
Jetzt sei y -~- d y ein aaxf F gelegener ~aehbarpunkt yon y, w seine Tangentialebene (die wegen der Stetigkeit der GrSfien vi ~ ai (a y)~-i sicher existier0, und qi~ seien die Koordinaten der Fl~tehennormalen q im Punkte y-qt-dy. Dann haben wit, wean wit in Gleiehung (9) y--~ d y statt y einsetzen:
( w x ) - ~ ( a x ) ( a y ) n - l - ~ - ( n T ! ) (ax) (ady) (ay)n--e--~ - .... (23)
. . . -q- (ax) (ad y) '~-1 = O.
Ebenso erhalten wir ftir die Normale ~/~ wenn wir in (22 )y + d y start y und w statt v sehreiben:
q,k = (y w),~ 2f_ (dy w),k - - (y l)~k �9 (1 w) - - (d y l ) ,k . (l w). (24)
Zur Differentialgeometrie algebraiseher Flachen. 251~
Die beiden •ormalen p und q schneiden sich ftir ~P12 qs~ = 0; dies gibt wegen (22) und (24) die Gleiehung:
( y v d y w ) - - ( y v d y Z ) ( lw) - - (~ l d , y w ) (Zv) = o.
Forint man hier das letzte Glied um [vgl. w 1: Gleichung (a)], so fallen die beiden anderen Glieder weg und es bleibt
(~g y v w) . (l y) = o .
Da nun y ein eigentlieher Punkt und also ( l y ) # O ist: so bleibt schliefilich
( l d y v w) -~- O.
Hier setzen wir die aus (22) folgenden Koordinaten der Ebene w .ein und erhalten so:
(n T 1 ) ( l d , v a ) ( a d , ) ( a , ) " - : - t- (n T 1 ) ( l d y v a ) ( a d , ) ~ (a,)n-8 - H
(25) " " 4 - ( t d y v a ) (adtO ~-1 = O.
Wir maehen nun weiterhin die Annahm% da~ hier das erste Glied
( ldyva) (ady) (ay) ~-2
nieht ftir jede Fortsehreitungsriehtung im Tangentenbtischel durch y an .F versehwindet. Diese Annahme wird~ wie wir weiter unten (w 8)zeigen werden, durch die folgende Bedingung festgehalten:
P " - ~ ((avl) (uvl)) (auvl) (ay) "-2 ~l = _ 0 {u}. (26)
Unter dieser Voraussetzung ~) k~nnen wir yon (25) nur das erste Glied nehmen und erhalten so ftir die yon y ausgehenden Itauptkrtimmungsrichtungen :
( l d y v a ) (ady) (ay) ~-2 ----- ( l d y v d v ) ~--- 0
(v dr) = 0 (27)
(ldy) ~---0.
Die Hauptkrfimmungsrichtungen erhielten wir so aus der Bedingung, dais sieh zwei benaehbarte Fli~chennormalen schneiden. Die Glei- chungen (27) sind die Differentialgleiehungen der Krttmmungslinien yon F. 7) In der ersten dieser Gleiehungen haben wir yon der Abktirzung
d v, = ~ (a d y) (~ y)'~-~ (28)
Gebraueh gemacht~ eine Bezeiehnung: die wir auch woiterhin bei- behalten wollen.
e) Vgl. den 8ehluI~ des w 7. v) Beziiglich inhomogener Darstellung vgl. man: J. Knoblauch} Ein-
ioitung in die allgemeine Theorie der krummen Fliichen i Leipzig 1888, w 41.
~52 Roland Weitzenb~ek.
w 6. Das sph~rische Bild. Es ist
2 2 ~ (x x) o (l x) 2 ~ x~ --~ x 2 -J- x 3 - - x~ ~--- 0 (29)
die Gleichung der ,Einheitskugel" mit dem Koordinatenursprung (l u) ~ u~ ----- 0 als Mittelpunkt. Wir verbinden den Koordinaten- ursprung ( l u ) ~ 0 mit dam uneigentlichen Punkte ~ der Flitchen- normalen p im Punkte y, d. h. wir ziehen dureh (lu)~---O eine Parallele zu p. Diese Parallele nennen wir p. Dann suchen wir einen der Schnittpunkte ~-~ ) , - l yon p mit der Einheitskugel ~. Ftir ), erhalten wir aus (29) die Gleichung:
(~ ~) -[- 2 ~ (l ~) § ~ (l l) - - 2 [(l ~) § ~ (l l)] ~ = 0.
Hieraus wird wegen ( l l ) ~ l und ( l ~ ) ~ 0 : ( ~ ) ~ k ~ 0 . Nun ist wegen (21): (~) -~- (v I v)~ woftir wir ein neues Zeiehen setzen:
w ~ -~ (v f v) - - (a I b) (a v)"-~ (b y)"-~ --= I : = (a b) (a y)~-I (b y)q~- 1 __ [(/~ a) ((~ y)n -112. / (30)
Wir haben dann W ~ - k 2 ~ 0 , d .h . k ~ • W.
Wir orientieren nun die Fli~ehennormale, indem wit W ~ ]/(v Iv) mit einem bestimmten Zeiehen versehen~ z. B. W .-~ -~ ~(vlv ) setzen. Dies geht nattirlich nur, wenn wir voraussetzen: dal~ es auf F eigentliehe, reguli~re runk te gibt, ftir die W # 0 ist, was wir weiter- hin annehmen wollen. Ware W ftir jeden Punkt y der Fliiche 17' gleich Null~ so ware F die Tangentenflaehe einer Maximalkurve. s) Solehe Fliiehen sollen yon unserer Untersuchung ausgesehlossen bleiben.
Wir haben jetzt als Gleichung des sphiirisehen Bildes t~ yon y:
(u ~) ~ (u ~) + W(u z) = o. (31)
tIieraus erhalten wit : d O i : d ~ i - ~ l i d W . Somit kommt ftir das quadrierte Bogenelement d a ~ auf der Bildkugel ~ naeh Gleichung (18):
da 2 (dt~do) 1
1 ~--Wu [(d~d ~) 2 V (d W)~],
wobei die aus (31) folgende Gleiehung (lo) ~-- W berticksiehtigt ist. Ftir (d~d~)erhalten wir aus (21) mit Riicksicht auf (28):
(el~d~) = ( n - - 1)~ (dv ldv) .
s) Vg]. aueh w 10.
Zur Differentialgeometrie algebraischer Flachen. 253
Analog wird ftir d W:
(dW)~ (n--1)~ (v l dv)~,
so daft wir also haben:
( n - - 1 ) ~ d z ~ - W ~ [ W ~ (d v l d v) - (v l d v)~] . (32)
Den in der eckigen Klammer stehenden Ausdruck k(innen wir nun etwas anders schreiben; es ist n a m l i c h :
W ~ (d v I d v) - - (v [ d v) ~ =--- (v [ v)(d v i d v) - - (v t d v)~ = ((v d v l) (v d v 1)).
Somit kiinnen wir statt d a2 = 0 auch schreiben : ((v d v l) (v d v 1)) = 0.
Die drei Gleichungen
((vdvZ)(vevZ)) = o
(v d y) = 0 ( W=t= 0) (33)
(zd~) = o
definieren dann diejenigen Fortschreitungsrichtungen auf F, deren sphi~rische Bilder Minimalrichtungen (Erzeugende der Kugel ~) sin& Die Differentiale d vi sind hiebei nach (28) als lineare homogene Ausdrficke in den dy~ definiert.
w 7. Biniire und quaterni ire Di f f erent ia l formen.
Wir werfen jetzt einen kurzen •lick auf den Zusammenhang der bier entwickelten Darstellungsweise der Fortschreitungsrichtungen auf ~' yon einem Punkte y aus mit der sonst in der Fli~chentheorie gebrauchliehen Formelsprache. Gehen wir beispielsweise yon den Gleichungen (16) aus:
( a d y ) e ( a y ) ~ - 2 = O , ( v d y ) = O , ( l d y ) = O . (16)
Wenn wir hier nach (1) zu unhomogenen rechtwinkligen Koordi- naten tibergehen~ indem wir setzen:
Yt = x~ Y2 = Y~ y~ = z, y~ -~- 1
d y 1 -= dx , dy~ ~-- dy~ d y 3 ~- dz~ dy~ = 0 F-~- (a y)n --= (b (x, y, z)
so fi~llt die letzte yon d e n Gleiehungen (16) weg und start der beiden anderen kommt:
~ Roland WeitzenbSek.
- ~ v d x -~- ~7,z d y -~- --~-~z~ d Z~ --t- 2 0----~z a y d z "-~
O~rb d z d x + 2 ~ + 2 ~ ~ d x d y = 0 (16a)
-- dx +- du + dz=O.
Sind scMieglich x~ y and z als Funktionen yon zwei unabhangigen Parametern u und v gegeben, so erhalten wir~ indem wir mit Hilfe der zweiten Gleichung~ z. B, dz eliminieren, sehlieglich nut die eine Gleiehung :
L . du 227 2M. d u d v + N. dv ~---0, (16b)
wo L, M und N die sogenannten Fundamentalgr(il3en zweiter Ordnung sind. 9)
In allen drei Fallen treten die betreffenden Differentiale ho- mogen auf: bei (16) haben wir vier Differentiale dy~ und drei Gleichungen, bei (16a) drei Differentiale dx, dy und dz und zwei Gleiehungen und bei (16b) sehliefilich nur zwei Differentiale du und dv und nur eine Gleiehung. Es kommt ja bei allen diesen Darstellungen nur darauf hinaus, dag eine b in a r e (quadratische) Differentialform definiert wird. Bei der yon uns gewahlten Dar- stellung ist (ady)9"(ay) "-~ ftir sich betrachtet eine q u a t e r n a r e quadratische Differentialtorm; erst durch die beiden hinzatretenden Gleichungen (16)7 die in den Differentialen dyr lineal' und homogen sind~ erfolgt die Beschrankung auf das binare Gebiet im Tangenten- bfischel dureh y. Die quadratisehe Form (ady)2(ay) ~-~ tritt so an Stelle der Fundamentalgr~Ben L, M und N.
Ffir die Gleiehungen (20), (27) und (33) ge]ten dieselben Uberlegungen~ ebenso ffir lineare und Differentialformen, die in den dy~ von h~iherem Grade, sind.
B e m e r k u n g. Wer sieh mit der Sehreibart mittels ,Differen- tialen" dyi nicht befreunden will: der kann statt dyi immer die
dy~ Ableitung ~ setzen; hiebei ist t ein Parameter und die vier
Gleiehungen yi ~ y~ (t) (i ~-- 1~ 2, 3, 4) geben die Parameterdarstellung einer durch den Fl~tchenpunkt t = t o gehenden und auf F liegenden Kurve.
Wir wollen jetzt noch die V o r a u s s e t z u n g e n zusammen- stellen, die wir fiber den Flaehenpunkt y machten~ in dessen Um- gebung die Flache untersucht werden soil.
Vor allem soll y sin eigentlieher Punkt, also
(l y) 4= 0
sein, Dann fordern wir, dal~ y ein ,regul~trer" Punkt yon F sei~
9) Vgl. etwa Enzyklopitdie III D, 1, 2: Nr. 34.
Zur Differentlalgeometrie algebraischer Fliichen. 7~55
d. h.~ es sell in ihm eino Tangentialebene an die Flitehe existieren r wobei die Koordinaten derselben dutch v i = ai (ay) gegeben sind. Dieser Forderung wird gentigt dutch:
(vx)-l _o {x}. Ferner verlangten wir mittels der Bedingung (11):
P ' ~ (uabc) ~ (ay)n-2(bZ/)n-~(cy) n-2 zi~ 0 {u},
dal3 nicht .~ede Tangente durch y Haupttangente sei. Sehliel~lich. schlossen wlr durch die Bedingung (267 aueh solehe Punkte y aus, ftir welche jede Fortschreitungsrichtung Krtimmungsrichtung ist.
Wir werden jetzt zeigen, da~ dutch die Bedingung (26) aueh gleichzeitig der Forderung (11) gentigt wird. Geometriseh ist dies sofort einzusehen. Ist namlich der dureh (267 gegebene Ausdruck P " identisch ftir alle ui gleich :Null, so ist y ein :Nabel- odor Kreis- punkt; and wird fitr einen solchen :Nabelpunkt der zugehiirige Krtimmungsradius unendlieh grol~ so haben wir eben einen solchen Punkt der Flitch% ftir den der durch (11)gegebene Ausdruck P ' identiseh in allen ui versehwindet. Es sind also yon vornherein dureh die Bedingung P " z l z 0 die Nabelpunkte ausgesehlossen~ daher aueh die 1)unkte, ftir die P ' ~ 0 {u} ist.
Der analytische Beweis ftir diese Behauptung gestaltet sick folgendermM3en. Aus P ' ~ 0 {u } folgt zunaehst :
(abel) ~ (aV) n-2 (by)n-2(cv) ~-2 = 0 und
(abcl) (abcu) (ay )~-~ fby )n -~(cy ) " -2 ~ 0 {u}.
Da~er ist auch:
O~_ [(abcl) (u~r - - (abcu) (/y)]" (ay) " -2 (by) ~-~ (c$/) n-~ ~ 0 {u}:
:Nun erhi~lt man durch eine leichte Umformung mittels zweimaliger Anwendung der Identitiit (a) des w 1~ wobei die Ver tausehbarkei t der Symbole a, b u n d c zu berticksiehtigen ist:
O_.~.___.~l (abul ) (acu l ) (ay) ~-2 (by) '~-x (cy) ~-1 --=
_ 1 - - 6
Hieraus folgt~ dal~ attch
( vwz) o {u, w }
ist. Wenn wir aber jetzt wt = (u v l)i setzen~ so haben wir P " ~ 0 {u ] d . h . ist P ~ 0 , so ist aueh P " ~ 0 . Also ist fiir P " = I - 0 aueh _pr-i= 0, was zu beweisen war. Wir bemerken noch~ dal3 umge, kehrt P'~--- 0 nieht aus P " ~ 0 gefolgert werden kann.
256 R~ WeitzenbSck.
Schliefilich verlangtea wir in w 6, dab dig Tahgentialebene keine Minimalebene sei. Wir wollen aUe diese Voraussetzungen noehmals zusammenstellen:
(ly) ~ 0 [eigentlieher Punkt] , (34 a)
(vx) ~- (ax) (ay) ~-~ ~i = 0 {x} [regularer Punkt], (34b)
P' ~- (uabc) ~ (ay) ~-2 (by) ~-~ (cy/~-2 z[_-- 0 {u} [nieht jede (34c) Tangente ist Haupttangente]
P"~_ ((avl) (uvl)) (auvl) (ay)~-2=i=_ 0 {u} [y ist kein Nabel- (34d) punkt],
w 2 ~ (v I v) ~- v~ _~. v22 ~_ v] ~ 0 [Tangentialebene ist nicht (34e)
Minimalebene].
Wit haben dana ftir die (reellen und niehtreellen) eigentliehen~ reguliiren Flliehenpunkte y dureh diese Bedingungen Merkmale ge- goben, welehe ftir das Verhalten der Haupttangenten-, Minimal- und Krilmmungskurven im Punkte y yon wesentlieher Bedeutung sind.
w 8. Ein 0bertragungsprinzip.
Es sei y ein eigentlieher, regul~rer Fl~chenpunkt, y- -~dy ein auf F gelegener Naehbarpunkt yon y. Die Gerad% welche y mit y ~ dy verbindet, liegt in der Tangentialebene v und schneider deren uneigentliche Gerade ~( in einem Punkte ~. Wir denken uns-~ dureh die beiden, aieht zusammenfallenden Punkte ~1 and ~ gegeben.
Da ~ ein Punkt der Verbindungslinie yon y mit y--~ dye ist, so wird die Gleichung yon ~:
(u + [(u § (u d y)] = 0.
Wegen (l 7) ~ 0 folgt dann k ---- - - 1 and wir haben also als Gleiehung des Punktes ~:
(u d U) =- 0. (35) Es sei jetzt
�9 (mdy) (k-----l, 2, 3 , . . . ) (36)
eine quatern~tre Differentialform veto Grade k in den dy. Die ml (i ~ 1~ 27 3, 4) seien gew~hnliehe Symbole, deren Produkte zu je k einen Koeffizienten m~.kz.., der Form M darstellen; diese Koef- fizienten sollen gewShnliche komplexe Zahlen skin.
Dutch M ~ - 0 werden veto Punkte y aus /r Fortsehreitungs- r ichtungen definiert; wir fragen naeh der Gleichung derjenigen uneigentliehen Punkte~ in welchen diese/c Fortsehreitungsriehtungen die uneigentliehe Gerade ~( der Tangentialebeno v treffen . . . .
Zur Differentlalgeometrie algebraiseher Fli~chen. 257
Aus den drei Gleichungen
(udy)~-O, (vdy)----O, (ldy)-~-O
erhalten wir : d ~i -~- (u v l)id v. Setzen wir dies in M ~--- 0 ein und betrachten die Ebenenkoordinaten u,. als Ver~nderliche, so haben wit als Gleiehung der gesuchten Punktgruppe aaf 7:
M' ~--- (m u v l) k ~ 0. (37)
Dureh diese Gleiehung ist das unmittelbar vor Gleichung (26) behauptete naehgewiesen.
Die uneigentliche Gerade 7 der Tangentialebene v ist einer- seits als Schnittlinie der Ebenen v und l, anderseits als Ver- bindungslinie der beiden Punkte ~i und ~2 gegeben. Fiir die Koordinaten yon 7 haben wir also:
(vl)l~ ~ (~ ~)~ usw.
Ftihren wir dementspreehend die Gr~il]en (~1 ~2)ik in (37) ein, so wird [vgl. w 1, Gleichung (d)]:
M' ~--- ((m u) (~1 ~))k ~ [(u ~i) (m ~) - - (u ~) (m ~)]k ~= [ (3S) ]
ttiebei haben wir als bin~re lo) Veritnderliehe t 1 und t~ die Gr~l~en (u ~1) und (u ~) und als bin~re Symbole ~ und ~ die symbolisehen Ausdrtteke (m~l) und (m~) eingeftthrt. Dureh (38) ist dann der quaterngren Differentialtbrm M ~ (md y)k zugeordnet die bin~re Form M ' ~ ( t ~ ) ~. Ist N ~ ( n d y ) ~ eine zweite quatern~tre Differential- form und N ' ~ (t v) ~ die zugehOrige biniire Form~ so haben wir:
(~v)~ (m~,) (n~) -- (m~2) (n~l)~ ((ran) (~ ~2)) ~ (mnvl).
Diese Identiti~t gibt uns im Vereine mit dem eben Erwi~hnten folgenden Satz :
Es s e i e n M ~ ( m d y ) ~, N ~ ( n d y ) ~ , . . . q u a t e r n i ~ r e D i f f e r e n t i a l f o r m e n , M'~( t~)~ , .N '~_( tv )~ , . . . d i e zuge - g e h t i r i g e n b in~t ren F o r m e n xm T a n g e n t e n b f i s c h e l d u t c h y. I s t d a n n r e i n e I n v a r i a n t e o d e r K o v a r i a n t e d e r b i n a r e n F o r m e n M , , N ' , . . . , so e r h a l t m a n d i e zu- g e h S r i g e n q u a t e r n ~ t r e n F o r m e n , w e n n m a n in r d i e s y m b o l i s e h e n F a k t o r e n ( ~ ) a n d (t~) d u r c h (mnvl) a n d (mdy) e r s e t z t .
Dieser Satz ermSglicht es~ das biniire Gebiet des Tangenten- bfischels durch y unmittelbar mittels quatern~re r Formen zu be- herrschen, was augenseheinlich ein grol~er Vorteil ist, da man nieht
~o) Wir stellen bin~re Formen im folgenden aussehllel~lich durch Klammer- faktoren ( t a ) ~ t x a~ - - t~ at dar und nicht dutch Faktoren erster Art wie ta at -~-t~ a~. Ygl. E, Study~ Methoden der Theorie der [ernltren Formen~ Leipzig 1889 i p.X.
Mona~sh. ftir Mathemsfik u. Physik. X ~ I V . Jahrg. 17
258. Roland Weitzenb~ck.
erst eine bini~re Koordinatenbestimmung im Tangeatenbtischel festzu- legen braucht. Es sei beispielsweise die Bedingung zu suchen, dag die beiden Haupttangentenrichtungen aufeinander senkrecht stehen. Dann mtissen sie die Minimalrichtungen durch y harmonisch trennen. Setzen wir
M ~ (ad y) ~ (ay) ~-2, i ' ~_~ (t ~)2
N ~ ( d y d y), N ' ~ (t~) 2,
so wird die Bedingung, dagi sich die Nultpunkte tier beiden binaren quadratischen Formen M' und N' harmonisch trennen, bekanntlich dutch (a~)~ ~ 0 gegeben.
Nach dem obigen tJbertragungsprinzip gibt diese Bedingung:
( m n v l ) 2 0 = ( a n v l ) ~ (ay) '*-2 ~_ ((avl) (avl)) (ay) *-2 ~ U ~ - 0 .
Liegt also y auch atff der Flache U ~ 0 , so stehen die beiden Haupttangenten durch y aufoinander senkrecht.
w 9. Die vier quadratischen Differentialformen Fii.
Wir haben in den w167 3 his 6 vier quadratisch% quaternare Differentialformen Fi~ kennen gelernt. Die zugeordneten biniiren quadratisehen Formen bezeichnen wir mit Fi:.. Dann haben wir folgende Zusammenstellung :
Fi t ~_ (a d y) (a y),~-2 . . . F/~ ~ (t ~)~ [Haupttangentenrichtungen]
F~2 _~_ (d y d y) . . . F2'~ ~ (t ~) 2 [Minimah'ichtungen]
Fs3 ~ (d y d v v l) . . . F/~ ~ (t 7) ~ [Hauptkrtimmungsrichtgn.]
F4~ ~ ((v d v l) (v d v l ) ) . . . F~',--~ (t 6) 2 [Richtungen, deren sphit-
rische Bilder Minimalrichtungen sind].
Das obige 0bertragungsprinzip gestattet dann, die si~mtlichen ganzen rationalen Invarianten und Kovarianten der bin~ren qua- dratischen Formen F,.~. 11) (lurch die zugehSrigen quaternaren Bil- dungen auszudrticken. Wir bezeichnen:
Mit D~i die Invariante (Diskriminante) der Form F;I.; mit D~k' - 'D '~ die simultane Invariante yon ~.~ und F,'k; mit Fi'k ~ ~ F~'i die simultane Kovariante (Jakobische Deter-
minante, erste Uberschiebung) yon F;~. und Fk'kl mit R~.k -~. R'ki -~- D:.~D'kk - - D'i~ die Resultate yon Fi~. und F/k; mit R~kz die lineare simultane Invariante der drei Formen
FIe, F~'~ und F~; schlie~lich mit denselben Buchstaben, aber ohne Strich, die zugeh(irigen quaternaren Bildungen.
11) Vgl. G o r d a n - K e r s e h e n s t e i n e r , Vorlesungen fiber Invarianton- theorie, Bd. II, Leipzig 1887, p. 147 ft.
(39)
Zur Differentialgeometrie algebraischer Flltchen. 2 5 9
Dann haben wir folgende Formeln:
{ DI~-~- -2L~H
Ds~--= 2 W ~"
D ~ = - - �89 (4L '~ WS/- /+ V s) D ~ = 2 L ~ W ~ H s
D~----- 0 i ) s , = U~+2L~W~H (40) D ~ . ~ - ' L ~ UH D ~ 0
R~s----- (4 L ~ W~H.+ U '~) R3~._~__L~W~H ~ ( 4 L 2 W,H--{- U ~)
RI3=-- L ~ H (4 L ~ WS H--~ - U s) R~-~--- U ~ ( 4 L ~ W~ H.-~ - U ~)
Ra(----LCH2(4LeWSH-+ - U s) Rs3=-- Ws(4L s WSH.-{- U s)
(41)
F, , = - - LS H F33 Fs,~-�89 ( U2+ 2 LSW~H) F~--]--�89 L s UH Fs,
[ R~3 ~ - - �89 U ( 4 L ~ WSH.-~- U ~)
R34,1 ~ - - �89 L ~ H ( 4 L ~ W ~ H + U ~)
R~I s ~ 0
~r = �89 ( 4 L ~ W S H + U s)
(43)
Dann haben wit welter zwisehen den-Formen Fi~ noeh die beiden Identit~ten :.
UPS1 --~ L ~ H F ~ - - F , , ~ 0 {y auf F} (44)
W 2 F?I - - L ~ HF:2 -~ F:s - - U F , F:2 ~ O. (45)
In diesen Gleichnngen bedenten L, W s, H und U die folgenden Formen :
L ~ (t y)
H - - i~ (ab cd)s (~,u).-~(@).-~(cv),,-~ (dy).-~. u=_ ((ave)(~ vO) (~u) "-s .
H ist die t t e s s e s e h e K o v a r i a n t e and geh(irt zur allgemeinea proiektivon Gruppe; L, W ~ and U sind ganze rationale Bewegungs- und Umlegungsinvarianten. Ftir einen Fliiehenpunkt y, fiir den die Bedingungen (344) bis (34d) erflillt sind, hedeutet H ~ 0 das Zusammenfallen~ U ~ 0 das Senkreehtstehen der Haupttangenten- riehtungen.
17 ~
(46).
260 Roland WeitzenbSck.
Bei der Ableitung obiger Formeln wurden die Gleichungen (v y) ~ 0 und (v d y) = 0 berticksiehtigt. Ferner ftihren wir bier n0ch zwei Gleiehungen an, die sich im Verlaufe dieser Ableitungen ergeben :
( a b v l ) ~ (ay ) n -~ (by) ~ -~ = - - 2 L~ H (47)
( (av l ) (b vl)) ~ (ay ) '~-~ (by) n -~ ~-. U ~ --[- 2 L ~ W ~ H . (48)
Man, erhiflt dieselben durch wiederholte Anwendung der im w 1 angeftihrten Identit~tten.
Wenn die drei quadratischen Differentialformen /Pil, F2~ und F88 linear voneinander unabhangig sind, so kann jede andere quadratische Differentialform Foo , welche ein Paar yon Fort- sehreitungsrichtungen durch y definiert, in der Gestalt 2"00 = k l F l l - ~ -~- k~ F~ -t- k s Faa dargestellt werden, wobei die k~ im allgemeinen Funktionen der y~. sind.
Eine anschauliche Darstellung der Tangentenpaare durch einen Flichenpunkt y erhalten wir mit E. S tudy~ wenn wir die binaren quadratischen Formen F..(i durch Punkte P~. (Bildpunkte) einer Ebene darstellen (Hessesches Ubertragungsprinzip). Die Formen mit ver- schwindender Diskriminante werden dann abgebildet durch die Pankte eines irreduziblen Kegelschnittes K. Die Nullpunkte zweier bin~trer quadratischer Formen Fi'i und Fk'k trennen sich harmonisch, wenn die Bildpankte P~ und Pk~ beztiglich K konjugiert sind.
Nehmen wir K, Pll und P~ als gegeben an, so ist Paa sehon als ]?ol der Geraden Pil Pss bestimmt, da nach (40) Dis und D2a verschwinden. Aus (44) kiinnen wir ferner entnehmen, dag auch P~ schon bestimmt ist. Dieser Bildpunkt liegt niimlich nicht nur auf der Geraden Pil Psi, sondern er ist auch das ,harmonische Spiegel- bild ~ yon P~ an P~l, das soll heigen, dal~ die Nullpunkte yon F4'4 harmoniseh konjugiert sind zu den Nullpunkten von F2'2 beztiglich der beiden Nullpunkte yon F~'I.
Die Polare gll yon Pll beztiglich K ist der Ort derjenigen Punkt% die Bilder yon 1)aaren ,,konjugierter" Fortschreitungs- richtungen auf der Flttehe sind, wobei das ,,Konjugiertsein ~ die auch sonst in der Fliichentheorie so bezeichnete Beziehung darstellt, l~)
Die Polare g22 yon P~ ist der Ort der Bildpunkte yon Paaren yon Fortsehreitungsrichtungen, die zueinander senkrecht stehen. Man zeigt ferner leicht, daft die Polare gas yon Paa der Oft yon Punkten ist, die Bilder yon Paaren yon Fortschreitungsrichtungen sind, ftir welche die Krtimmungsradien der Normalschnitte, die naeh den zwei Richtungen eines solchen Paares gcftihrt werden: einander gleich sind (vgl. w 11).
12) Vgl. Enzyklopidio III D 1, 2, ~Tr. 37.
Zur Differentialgeometrlo algebraischer Fl~chen. 261
w I0. Anwendung der Formeln. Wir wenden uns jetzt der kurzen Er~irterung einiger geo-
metriseher Tatsachen zu, die sich aus den Formeln des vorigen Paragraphen ergeben.
Zunachst sagt D23 ~ 0 aus, daf} die Minimalrichtungen und die Hauptkriimmungsrichtungen einander harmonisch trennen: d.h. die Hauptkrfimmungsriehtungen stehen aufeinander senkrecht.
Ist W - - 0 7 ohne t~r alle Fl~tchenpunkte y zu verschwinden, so ist, wie schon wiederholt erwiihnt, die Tangentialebene v eine (eigentliehe) Minimalebene, es ist naeh (40) D2~ ~- 0 nnd die beiden Minimalrichtungen fallen zusammen. Die letzte der Gleiehungen (41) zeigt dana, dal~ aueh R23 verschwindet und daher eine Itaupt- krfimmungsrichtung mit der einzigen Minimalrichtung zusammen- fallt, d. h. die Bertihrungskurve der der Fliiehe amschriebenen Minimalebenen ist eine Krtimmunglinie. 18) Es gibt also auf ~ min- destens eine a 1 g e b r a i s e h e Krtimmungsiinie.
Ist H - - 0, ohne ftir jeden Punkt y der Fl~tche zu versehwinden, so ist Dll - - 0 und y~ wie schon oben bemerkt, ein p a r a b o l i s c h e r P u n k t. Die zweite der Gleichungen (41) zeigt, da~ dann auch immer eine Hauptkriimmungsriehtung mit der einzigen Haupt- tang.entenriehtung zusammenf~tllt. Versehwindet H ftir jeden Punkt y, so 1st, wenn F nicht identisch Null ist~ die Fl~tche bekanntlich a b w i e k e 1 b a r. Ist U ftir jeden Flachenpunkt y gleich ~ull, so ist F eine M i n i m a l f l i ~ e h e (vgl. auch w 11).
Verschwindet W ffir jeden Fl~fehenpunkt y, so ist jede Tangentialebene Minimalebene. Wir wollen j etzt zeigen~ dal~ dann immer auch H~__ 0 { y } und U~-~- 0 { y } ist. /7' ist dana Tangenten- fliiehe einer Minimalkurve.
Ist niimlich
wobei wir mit y einen Punkt auf F bezeiehnen, so folgt aus dieser Identitat dureh Differentiation:
(v [ a) (a y)~-~ (a d y) - - 0 { y }.
Ist dann z ein beliebiger Punkt auf der tmeigentlichen Geraden 7 yon v~ so kSnnen wir diese Gleiehung aueh so sehreiben:
(v I a) (a y)~ 2 (az) = 0 {y, z auf 7}- (49)
Es bestehen dana die drei Gleichungen:
/ (v I a) (a y)n-2 (a z) =--. 0 {y~ z aufT}
(v lb)(by)"-2(bt ) = 0 {y~ t a u f 7 und verschieden yon z}.
[8) Vgl. etwa F. Klein, Einleltung in die h(ihere Geometrle I~ p. 478~ wo G. Darboux als erster genannt wird~ der diese Tatsache erw~ihnt.
262 Roland Weitzenb~ick.
Da v eine eigentliehe Minimalebene, also nieht gleiehzeitig v 1 --v~---v~--~-0 ist, so folgt aus diesen drei Gleichungen:
(a b v l) (a y)n 2 (b y)n-2 (a z) (b t) = 0.
Vertauschen wir bier a mit b und ffihren die Koordinaten der un- eigentliehen Geraden "i:
( z t)l.o - - (v 1)8~ u s w . ein~ so entsteht:
(abvl) ~ (ay) '~-~ (by) ~-2 = 0 {y},
woraus naeh (47) H - - _ 0 { y } folgt~ well L4=0 ist. Um zu beweisen~ da~ aueh U versehwindet~ w~thlen wir eine
Ebene w s% da~ (w v) = 0 ist. Dies ist wegen der Existenz yon v immer m~glich. Dann bilden wit das Prodakt U(wlv ) and er- halten dureh eine einfache Umformung:
da die Glieder mit (v iv), (v [1) und ((a v l) ] v) wegfallen. Setzen wir dann (vgl. w 1): u ~ - - ( w v l ) i , so kommt:
U (w ] v) - - (u a v l) (a ] v) (a y)n-~
und setzen wir hier sehliel~lieh s i - (vul)i~ wo also s einen un- eigenttichen Punkt der Ebene v bedeutet~ so wird:
U (w I v) - - (~ s) (v I ~) (a y)~-~.
Dies verschwindet aber naeh Gleichung (49). ttieraus folgt~ da nach Voraussetzung (w[v )~ 0 ist, dal~ U - - 0 sein mul~.
w 11. Die Krilmmungsradien der Normalschnitte.
Es sei jetzt wieder y ein eigentlicher, regul~trer Punkt yon/~', y - ~ - d y ein, ebenfalls auf F gelegener ~qaehbarpunkt, der nieht auf einer Minimalrichtung (lurch y gelegen ist~ so dal3 also F2~ 4= 0 ist. Dann erhalten wir als Gleichung der Ebene w, welche dureh die Fl~tehennormale p in y geht [vgl. Gleiehung (22)] und senk- reeht steht auf der Tangente (y, y ~ - d y ) :
(w x) ~- (x d y) L - - (l x) (y d y) ----- 0. (50)
W i r setzen weiterhin voraus~ da~ die Tangentialebene v keine Minimaleben% also W4= 0 ist. Wir errichten nun im Punkte y - ~ dy die Fli~chennormale ff und suchen die Gleichung des Sehnittpunktes yon q mit der Ebene w. Die Grenzlage dieses Schnittpunktes z ist unseren Voraussetzungen fiber den Punkt y gemi~ der Mittel- punkt des Kriimmungskreises~ weleher zu dem in der Richtung
Zur Differentialgeometrie algebraischer Flachen. ~6~
yon y naeh y -~ d y gemaehten Normalsehnitte geh(irt. Die Koordi- naten yon ff sind durch (24) gegeben; im Vereine mit (50) erhals wit dann :
(~ z) _= [~ (u d y)~ (a y):~ L + Z (u d y)~ (a d y)~ L - -
- - Z (u d y)~'k (1Y),k (a l) L - - Z (u d Y)~k (1 d Y),k (a l) .L - -
- - Z (u O,k (a y),k (Y d y) - - Z (u l),k (a d y),~ (y dy) -~- (51)
-~- Z (ul),k (ly)~k(al) (ydy)+ ~. (ul)~k (ldy)~k (a l) (ydy)]. [(ay) '~-~ +
--~-(n--1) (ady) (ay) n-2 -~ . . . --~ (ady)'~-l].
Ftihren wir dies aus und ordnen naeh dem Grade in dy, so fallen die Glieder erster Ordnung weg und als Glieder zweiter Ordnung bleiben :
( ~ ) L F ~ - - (uZ) (~l)LF~2-- (n 1) (uy) LF~I
L [(u Iv) F~2 - - (n - - 1) (uy) F~ 1].
Der Ausdruck in der eckigen Klammer kann nicht identisch ver- sehwinden ; denn setzen wir u~ --~ vi, so reduziert er sieh auf (vlv) F2~ ~ was nach Voraussetzung yon Null versehieden ist. Demgemii$ k(innen wir (51) mit den Gliedern zweiter Ordnung abbreehen un4 erhalten statt z einen Punkt t auf der Normalen T als Grenzlage yon z in w:
( u t ) ~ [ ( u v ) - - ( u l ) ( v l ) ] F ~ 2 - - ( n - - l ) ( u y ) F l , = O . (52)
Aus dieser Gleiehung erhalten wir naeh (17) ftir die Ent- fernung r yon y naeh t:
(n - - 1 ) ~ L ~ F~I
oder~ wenn wir r der Orientierung der Normalen :p entsprechend positiv oder negativ zithlen:
W F~,~ r = (n - - 1) LF lx (53)
Das Vorzeichen yon r ist dana dureh die Quadratwurzel W be- sfimmt. Diese Formel gibt den Kriimmungsradius fiir den in dex Riehtung yon y n'~ch y--~-dy geftihrten Normalsehnitt.
Ist r als solcher Krtimmungsradius gegeben~ s o sind die betreffenden Sehnittriehtungen definiert dureh die quadratisehe Differentialform :
F55 ~ (n - - 1) r L Fll - - WF~2 = O. (54)
264 Roland WeitzenbSck.
Das Ubertraguagsprinzip des w 8 gibt dana sogleieh die Be- dingung daftir~ daft diese beiden~ dureh F 5 5 = 0 dargestellten Fortsehreitungsriehtungen zusammenfallen :
( n - - 1 ) ~ r 2 L ~ H - ~ - ( n - - 1 ) r L W U ~ W 4 = O . (55)
Die Wurzeln r 1 und r~ dieser quadratisehen Gleiehung sind dann nichts anderes als die Hauptkrtimmungsradien ftir den Fli~ehen- punkt y. Man kann dies am einfaehsten so zeigen: Wenn wir in (55) s r den durch (53) gegebenen Ausdruck einsetzen und (45) berttcksiehtigen, so erhalten wir F83 = 0~ wodurch eben die Haupt- krtimmungsrichtungen definiert sind.
Als Diskriminante der cluadratisehen Gleichung (55) erhalten w i r �9
D55 = ( n - 1) ~ L ~ W ~ (4L '~ W ~ H - ~ - US). (56)
Ferner wird das Gaugsche Krtimmungsmafi gegeben dureh:
L ~ H K - - 1 _ ( n - - l ) 3 r I r 2
(57)
Das Casoratische Krtimmungsma~ wird:
-- -2-1(1 1) (n-- i)~ L ~ 2 K = 7 ( ~ - - ~ ' - - ~ . ( 2 L ~ W " H - ~ - U 2) (W=t=0) (58)
Schlie~lich haben wir ftir die mittlere Krtimmung:
, 1 { 1 + 1~ ~-~1 ] n - - I L U (w~:o) . (59)
Aus dieser letzten Gleichung folgt die schon oben angeftihrte Tatsache, dal~ ftir Minimalfliichen U ~ 0 {y} ist. li)
w 12. Uber die D-Linien der Normalschnitte. Wir wollen in diesem Paragraphen ein Beispiel ftir qaatern~re
Differentialformen geben, die nicht wie die bisher betrachteten quadratisch sind.
Es gibt (im komple~xen Gebiete) ftir einen Flachenpunkt y, fttr den die Bedingungen (34a) bis (34e) erfiillt sind, stets drei bTormalschnitte der Fli~ch% welehe yon den zugehSrigen Krttmmungs-
a4) Beziiglich ~ihnlieher Formeln ftir Hauptkriimmungsradien, Kriimmungs- maI~ und mittlere Kriimmung vgl. man: R. Baltzer, Ableitung der Gaul~schen Formeln fiir die Fl~ichenkriimmung, Leipzlger Berichte 18 (1866), p. 1 bis 6; Salmon-Fiedler, Analytische Geometrie des Raumes, II, 3. Aufl., Leipzig 1880, p. 41 ft.; J. Knoblauch, l.c., w 18; Pascal-Leitzmann, Die Deter- mlnanten, Leipzig 1900, p. 249.
Zur Differentialgeometrie algebraischer Fl~tehen. 265
kreisen vierpunktig beriihrt werden. Die betreffenden drei Fort- schreitungsrichtungen sind Tangenten an sogenannte D-Linien 15) der Fl~che, deren Schmiegungsebenen durch die Fl~tchennormale des betreffenden Punktes gehen. Wir stellen uns die Aufgab% die Differentialgleichung dieser ,D-Linien der Normalschmtte aufzu- stellen. 16)
Es sei y der betrachtete F1Kchenpunkt, v die Tangentialebene, p die zugehsrige Fl~tchennormale und y J r -dy ein Nachbarpunkt yon y~ der auf einer der gesuchten Fortschreitungsrichtungen liegt.
Nach (53) haben wit ftir die Krfimmung des in der Richtung (y~ y -~- d y) geftihrten Normalschnittes :
1 (n - - - 1) iFli r W ~
oder auch~ wenn wit mittels (18) das Bogenelement einfiihren:
1 (n-- 1) Fi , . (60) r W L d s ~
Setzen wir hier:
so wird :
d ~/i __ d-~- - - t~ It, = 0 ] , ( 6 1 )
(n 1) 1_ (n 1) (at) ~ (a~ff)~_2 (a It) ~ (ay) ~-2 . (62) r - - W L W - E
Schreiten wir jetzt yon y zum Punkte y - ~ - d y weiter, so
haben wir die Krtlmmungs~tnderung d l r ; d l - - 0 r ist dann die
Bedingung der vierpunktigen Berfihrung yon Normalschnitt und
zugeh(irigem Krummungskreis. Die Gleichung d 1 - 0 gibt aber r
nach (62) :
2 W ~ (at) (a d t) (a y) ~-2 2;_ (n - - 2) W ~ (at) ~ (a d y) (a y) ~-a
(at) ~(ay)n-3(v d r ) - - 0 ( n > 3 ) ;
oder auch, wegen (61):
2 W2(dv ]d o ds-~-(n - - 2) W~(ady) a (ay) ~ - 3 - (v[ dv) Fll = 0 (63) (n > 3).
Is) Vg]. Enzyklop~die I I I D 3, Nr. 39. 16) Beziiglich der nachstehenden Ableitung vgl. man J. K n o b l a u c h ~
1. c., w 33.
266 Roland WeitzenbSck,
Sind x 7 y und z die rechtwinkligen Koordinaten des Punktes y, so haben wit naeh (1):
x = Y._!~ y = Y~ z ~ Y~ y~' y~ ' y~
und die Riehtungskosinus der Fl~tchennormalen sind gegeben dureh:
- ~ ( i = 3). In Falle ist die Flaehennormale mit 1, 27 unserem p
tier Hauptnormalen des gesuehten Normalsehnittes identiseh, die Frenetsehen Formeln ergeben dann:
dx v 1 ds d ~ y ~ v2 ds d d s ~ - W r " wo - - ~ W r
Nun wird : d Yl
d x y~ I [ dy, dy~l 1 dyl tl ds - - ds = y~ [ Y ~ - ~ - - Yl ds J - - y~ ds ~ y-~
und hieraus folgt:
d
oder;
- - - - 7 d d Z - - v 3 ds ds W z
1 d t l - vl d8 dXds__ y~l [y~dtl__t ldy4]__ ~ Y~ W r
L ds dtl = ~ v --'r
Allgemein erhalten wir auf genau dieselbe Art:
L ds d t , . = w v i T (i-----1, 2, 3).
Somit ist :
( d v ] d t ) = L a_S (v]dv). W r
Setzen wir dies in (63) ein und eliminieren wir noeh r mittels (53), so kommt : r 2 ) W~(ady)~(ay) n - 8 = O ( n > 3 ) . (64)
Dies ist die Differentialgleichung der gesuchten D-Linien der' hTormalschnitte.
Wit haben jetzt noeh den Fall n = 2 naehzutragen. Wie man sofort sieht, bleibt die Ableitang genau dieselbe, nur fiillt yon vornherein das Glied mit dem symbolischen Faktor (ay) '~-a weg, so da~ wir statt (64) einfach erhalten:
(vldv)" Ell - ~ 0 .
Zur Differentlalgeometrie algebraischer Flachen. ~ 7
Es fallen daher zwei yon den gesuchten Fortschreitungsrichtungen in die Haupttangentenriehtungen~ d. h. in die dureh die Erzeu- genden der Fliiehe zweiter Ordnung gegebenen Riehtungen; die dritte der gesuehten Fortschreitungsrichtungen ist gegeben dureh die lineare quaterniire Differentialform:
~V--(vldv)=O.
Die hiedureh definierte Fortsehreitungsrichmng hat die fol- gende geometrisehe Bedeutung~ wobei wir uns auf den allgemeinen Fall beschr~nken~ dab die betrachtete Fli~che zweiter Ordnung F ~ ( a x ) ~ O eine Mittelpunktftiiehe ist. Ist dies nicht der Fall~ so sind die betreffenden Abiinderungen des Folgenden leieht anzu- bringen.
=__ (v ] d v) _~ (v I a)(ad y) ~ 0 sagt aus, dab die Tangential- ebene v senkrecht steht auf der Ebene w mit den Koordinaten w ~ a~ (a d y). Diese Ebene w ist aber die Polare des uneigentlichen Punktes ~, der die Koordinaten dy~ hat [vgl. w 8, Gleichung (35)]. Die Ebene w geht also durch den Mittelpunkt z yon F u n d steht attf v senkreeht. Da nun wegen (w y) ~ (a d y) (a y) --~ (v y) ~ 0 die Ebene w aueh durch den Punkt y geht, so ist w eindeutig bestimmt. Es ergibt sich dann die folgende Konstruktion d e r gesuehten Richtung T ~ 0: Wir fallen yore Mittelpunkte z der Flache zweiter Ordnung das Lot auf die Tangentialebene v und verbinden den Ful~punkt dieses Lotes mit y. W ~ 0 gibt dann die zu dieser Richtung konjugierte Richtung an.
Man fiberzeugt sich leieht~ dag im allgemeinen Falle~ wo F ~ 0 eine Fliiehe n -~e~ Ordnung (n >_ 3) ist~ die dureh (vld v) ~ 0 gegebene Riehtung genau so konstruiert wird~ wenn wir als Flliehe zweiter Ordnung die ( n - - 2 ) -t~ Polare yon y: (ax)~(ay)"-z~---O tier Konstruktion zn Grunde legen.
