Zur Differentialgoometrie zwoior komplexer u

Oberfl chen im vierdimensionalen Kaume.

Von HELLMUTH KNESER in Greifswald.

Die Wel~epaare zweier komplexer Veranderlicher x und y bilden einen vierdimensionalen Raum. Wichtig fiir die Funktionentheorie ist in erster Linie die Gruppe aller analytischen Transformationen

(1) x ~ X(x, y), y---> Y (x, y),

worin X und Y zwei unabhi~ngige analytische Funktionen yon x und y mit gemeinsamem Regulariti~tsbereich sind. Aber auch die in ihr ent- haltene affine Gruppe

(2) x - ~ a x + b y + f , y - ~ c x + d y + g (ad--bc:[-O)

verdient Aufmerksamkeit, und ebenso die engere affine Gruppe, bei der die (komplexen) Koeffizienten der Beschriinkung

(2') ad- -bc- - - - - 1 unterworfen sind.

Hier soll die Differentialgeometrie der dreidimensionalen Mannig- faltigkeiten, der Uberflitchen, beziiglich der engeren affinen Gruppe ent- wickelt werden. Die Ergebnisse sind kurz die folgenden. Einen Aus- nahmefall bilden diejenigen Uberfli~chen, die man erhMt, wenn man x und y yon einer reellen und einer komplexen Veriinderlichen, und zwar yon der letzteren analytisch, abhitngen l~Bt. B. ALMER 1) nannte sie ,,hyper- planoides" und stellte fest, daft sie siimtlich unter der allgemeinen analytischen Gruppe gleichwertig sind, wenn nur x und y auch yon der reellen Veriinderlichen analytisch abhitngen; sie werden hier yon der Untersuchung ausgeschlossen. Auf den tibrigen, allgemeinen, Uberflachen ist nun invariant ausgezeichnet eine Kurvenschar mit Richtung und Lange ihrer Kurven sowie eine Volumenmessung, d. h. ein dreifaches Integral. Auf Grund hiervon erhitlt man gegenfibel: der engeren affinen Gruppe leicht zwei invariant mit der Ubeffliiche verbundene Vektoren, aus denen sich (mit komplexen Koeffizienten) jeder Vektor linear kombinieren litflt.

~) Arkiv fiir mat., fys. och astr. 17 (1922/3), Nr. 7, S. 1--70.

t~berfliichen im vierdimensionalen Raume. 343

Die hbleitungsformeln und Integrabilititsbedingungen werden hergestelR, zuerst ftir Differentiationen, die sich zu einer beschri~nkten Gruppe von Parametertransformationen kovariant verhalten, daun fiir vollkommen invariante Differentiationen. Als Beispiel dienen diejenigen (~berfliichen, die als Ritnder der ,,Reinhardtschen Kreisbereiche" auftreten.

w 1. Analytische Fl chenelemente; Volumenmessung; Spurkurven.

Sind x und y komplexe, hinreichend differenzierbare Funktionen der reellen Ver~nderlichen u ~ u ~, v ~ u s und w ~ u s, und sind die Funktionaldeterminanten yon x, ~, y und ~2) nach u, v und w nicht alle gleich Null, so ist eiue Uberflache im vierdimensionalen x-y-Raume gegeben. In ihrer Tangentialfiberebene liegt a]lemal genau eine ana- lytische Ebene, d. h. eine solche, die durch eine lineare Gleichung zwischen x und y bestimmt wird. Zwei analytische Ebenen in derselben Uberebeue wfirden nimlich eine Gerade gemeinsam haben und daher zusammenfallen. Die analytische Ebene wird sofort formelm~fiig dar- gestellt werden; doch zuvor einige Bemerkungen fiber die hier an- gebrachte einfache Vektorrechung!

Ein Paar komplexer Zahlen ist ein Vektor. Ist ~ ~ (xl, yi), ~ ~ (xs, y~.), so sind das Produkt eines Vektors mit einer (komplexen) Zahl a und die Determinante zweier Vektoren in iiblicher Weise definiert als

a~l ~ - (axi , a y l ) , ~1~ ---- - - ~ 1 -~ x l y ~ - - x ~ y i .

Diese Bildungen sind ko- bzw. invariant bei der engeren affinen Gruppe, wenn die Vektorkomponenten wie Koordinatendifferenzen transformiert werden. Das Verschwinden der Determinante besagt nicht, dalt die beiden Vektoren dieselbe Richtung haben, sondern nur, daft sie derselben analytischen Ebene angehtlren.

Setzt man xu y,~ 0 0

iA1 ~- x,XU yu x~ y--~ y. Y.

xly 0 0 y. x-,, y.

2) Querstriche bezeichnen immer die konjugiert komplexen GrSfien.

344 H. Kneser.

iAa

x,, yw 0

Xu yu xu

0

y~

so sind A~, A~ und As Gleichung

reell, wie der zweite Ausdruck zeigt. Die

(3) lAd---- i ~ Alr k : k

i dx dy 0

Xu Yu Xu

x , yv xv

Xw yw Xw

0

yu ~ 0

Y,

Y,~

ist eine lineare Gleichung zwischen d x und dy . IhreKoeffizienten sind nicht beide Null; sonst waren es auch ihre Konjugierten und damit alle Funktionaldeterminanten yon x, y, x und y nach u, v, w. Also ist (3) die Gleichung der in der Tangentialiiberebene enthattenen analytischen Ebene und daher invariant bei d e r allgemeinen analytischen Gruppe.

Fiihrt man andere Veranderliche u*, v*, w* ein mit der Funktional- determinante a ~ ~ (u*, v*, w)/O (u, v, w), so wird

(4) = a

Von der bilinearen Kovariante der Differentialform Ad gilt dann

Ak ~ As -Bdd ~ ~ A d - - d A e ~ Z Bkl d u k (~u t, Bkl - -

A g ) - - d ( A A e ) B g e ~ A~(~A--A~rdA. (5) B g e ~ ~(a * * = a * *

Setzt man nun

A B = AI B.23 ~ A~B.~, @ A3B~,~, o~aOe = I du", ~u '~, ~u~J,,=~.2,8,

so wird mit Rticksicht auf (5)

AgBoe-~ A~ Beg ~ AeBa~ ~- A B . ~'~gOe - - A~" A ' B * �9 obl~e , (6)

A B = A 3 . A - B * .

Also ist

V ~ A B d , dv dw ~- 1/~-r * du* dr* dw*

invariant bei Einfiihrung anderer Veri~nderlicher und bei der engeren affinen Gruppe.

Cberfliichen im vierdimensionalen Raume. 345

Ist A B ~-- 0, so ist die Pfaffsche Gleichung Aa = 0 vollstttndig integrierbar; die Uberfii~che wird yon einer Schar analytischer Flt~chen bedeckt; x und y lassen sich darstellen als Funktionen einer reellen und einer komplexen Veritnderlichen, die yon der letzteren analytisch abhiingen. Diese Uberflachen wurden von B. ALMER 1) als ,,hyperplanoides" bezeichnet; yon ihnen werde im folgenden abgesehen.

Bei einer allgemeinen Uberfli~che (mit A B ~= 0) sind unter allen Variablensystemen (u, v, w) diejenigen invariant ausgezeichnet, in denen A B ~--- 1 wird. Sie hitngen nach (6) untereinander zusammen durch beliebige Substitutionen mit der Funktionaldeterminante I. Nach (5) trans- formieren sich dabei die drei Grti~en

b 1 ~ B~s, b 2 ~ Bs1, b s ~ BI~

wie du, dv und dw. Daher ist die durch

(7) duk/d t --~ b k

bestimmte Kurvenschar nebst der ebenfalls durch (7) festgelegten Durch- laufungsgeschwindigkeit invariant ausgezeichnet. In beliebigen Veritnder- lichen ist, wie man leicht ausreehnet, (7) zu ersetzen durch

1( duk/dt = (AB) 8 B z m - - - ~ A1 Ou ~ Ou z

(k, z, m) - - (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, ~).

Die Kurven der Schar (7) sollen Spurkurven heifien.

w 2. N o r m i e r t e V e r i i n d e r l i c h e ; e r s t e F o r m d e r A b l e i t u n g s g l e i c h u n g e n .

Unter den im vorigen Paragraphen soll noch eine msglichst enge, invariant bestimmte Wahl getroffen werden, ni~mlich so, dab b ~ ~--- b ~ - - O, b s ~ 1 wird. Man wahlt eine beliebige Fli~che

u k = u k (s, t),

die nur nirgends die Richtung der Spurkurven enthi~lt, d. h. bei der iiberall

-Pst ~ ] ~ uk 0 u ~ bk Os ' Ot ' (k=l.~s):~ 0

ist. Dann bestimmt man zwei unabhi~ngige Funktionen u* und v* yon s und t so, dab

(u*, v ~) ~ /)~t (s, t)

346 H. Kneser.

ist. Durch Vermittlung yon s und t sind dann u , v , w Funktionen von u* und v*, und es ist (8) Pu*,* ~-- 1 .

Die Abh/~ngigkeit der Veri~nderlichen u , v , w yon w* wird geregelt durch Differentialgleichungen und Anfangsbedingungen:

d u k (9) d w * - - bk' u k (u*, v*, O) ---- u k (u*, v * ) .

Die Bedingung der Inhaltstreue

(u, v, w) a (u*, v*, w*)

ist ftir w * ~ 0 durch (8) und (9) besti~tigt; ftir beliebige Werte folgt sie dureh Differenzieren mit Rticksicht auf (9) und die aus der Definition yon b k sieh ergebende Beziehung

b k ~ - - 0.

Die Differentialgleichungen der Spurkurven lauten jetzt, wenn die Sterne bei u, v und w wieder weggelassen werden,

Ferner ist

du dv

d t d t

b I z b s

d w - - O, d t - - 1 ,

= O, b s ~ 1 .

A1 ~ As A B ----- As --~ 1, ~ w Ou b2 - ~ O,

As __ O As ~_ bl ~ O, ~ A1 O As __ b s ~ 1. ~ w ~ v ~ v ~ u

Solche Veri~nderliche sollen normiert heilien. Andere normierte Ver- i~nderliche u*. v*, w* hi~ngen mit ihnen durch eine inhaltstreue Sub- stitution zusammen, die die Gleichungen (10) in sich fiberfiihrt; es ist also (11) w* - - w + ~, (g., v),

wi~hrend u* und v* mit u und v durch eine fli~chentreue Substitution zusammenhangen. Die Transformation yon A1 und As folgt sofort aus A~ ~ AS. Eine weitergehende Normierung der Veranderlichen scheint im allgemeinen nicht m(~glich zu sein.

t~berfliichen im vierdimensionalen Raume. 347

w Qusrdifferentiation; erste Fore der Ableitungsglsichungen.

Schon an dieser Stelle lassen sich bis zu einem gewissen Grade invariante Ableitungen einffihren. Die eine ist nattirlich die l~ngs der Spur- kurven oder, bei den jetzt zugrunde gele~en normierten Ver~nderliehen, die naeh w; sie ist invariant. Die beiden anderen sind invariant nur bei Einffihrung einer neuen VerRnderlichen w* nach (11); bei Einfiihrung yon u* und v* ffir u und v transformieren sie sich wie die Ableitungen einer Funktion yon u und v allein nach u und v. Zu ihnen gelangt man folgendermal~en. Erhalten u und v unendlich kleine Zuw~chse du und dv, so erteile man w einen solchen, dag die Verschiebungsstrecke in der analytischen Ebene Ad = 0 liegt. Man setzt also

d w = - - Al d u - - A~dv

und erhi~lt, wenn ~ eine beliebige Funktion ist,

dy) ~--- ~ u d u - ~ - ~ v d v - - y ) w ( A t d u @ A ~ d v )

und mit den Bezeiehnungen

(12) dl~ ---~ ~ - - A t ~ w , 5 ~ ---- ~ v - - A ~ w , 58~ = ~ ,

ganz allgemein

Man bestatigt leieht die Vertauschungsregeln

(l 3) 51 5~ - - {~2 51 = 58, 51 58 1 58 51 , d2 58 = 58 52 .

Die beiden Verschiebungsvektoren 51 ~ und 53 ~ liegen nach ihrer Definition in derselben analytischen Ebene, sind also komplexe Vielfache eines beliebigen yon Null verschiedenen Vektors t) dieser Ebene. Da ~s~ nicht dieser Ebene angehtirt, ist (9, d s ~ ) ~ 0 , und ~)kann durch die Forderung (~, ~ s ~ ) ~ 1 normiert werden. Dann ist

(ate, a ~ ) = O, ~,,~ : - D,,t~, D,, ---- a , ,+iv , , ---- (a,,~, 5 ~ ) (14) (,, = 1, 2).

Setzt man dies ein in die Ausdrticke von A1, As und As, so ergibt sich aUemal dasselbe, z. B.

+ (5, ~ + As 5s ~, 5s ~)(51 ~ + At 08 ~, 58 ~.),

- 1 (15) D, D1 - - D1 D2 : - i, ffl v2 - - a~ T1 : ~- .

348 H. Kneser.

Der Vektor $a ~ werde jetzt mit 8 bezeiehnet. Die beiden Vek- toren ~) und 8 sind invariant mit der Uberfii~che verbunden, und aus ihnen li~tit sich (mit komplexen Koeffizienten) jeder Vektor zusammen- setzen; sie sollen als begleitendes Zweibein dienen. In der Tangential- tiberebene liegen t), it) und 3, aber nicht i3. Dieser mag daher der Normalenvektor heifien.

Die Ableitungsformeln drticken ~ ) und $~8 durch ~ und 3 aus. Da ~ (t~, 8) = ( ~ t~, 8) + (t), ~,~ 8) = 0 ist, kann man sie gleieh in der folgenden Form ansetzen:

~,,~) -= a , , t ) + b ~ , (~,'8 = c , , ~ - - a , , ~ ( v = 1 , 2 , 3 ) .

Wendet man hier die Vertauschungsregeln (13) an, so folgt

dsd,,~ = d3(D,,t)) = (aaD,, +4- d3Dv)t) q- b8 D~3 = ~,'8 = c,,t) - - a~8,

c~ ----- as D~ + d3 D~ , a,, : - - b3 D~ (v ---- 1, 2);

= (~ D~ - - 6~ D, - - bs (D1 Dr - - D2 D,)) t) + (b, D~ - - b~ D,)

~ I D 2 - - ~ D 1 : 0 ,

(16) bl D~ - - b~ DI : 1.

Mit Riicksieht auf die letzte Gleichung und auf (15) kann man

b,, = hD, , - - iZh, (v : 1, 2)

setzen. L i~ t man nun noch bei a, b und c den Index 3 weg, so erhi~lt man die Ableitungsgleichungen in der Gestalt

(17)

~,~t) = - - b D , , t ~ + ( h D , , - - i D , ~ ) 8 , }

~,,~ = ( a D , , + ~ s D , , ) t ) + b D , , 8 , (v = 1,2)

Zu ihnen treten die Gleichungen (15) und (16), die besagen, dal~ t) und 8 in der angegebenen Weise mit den Ableitungen des 0rtsvektors zusammenhiingen, und die daher als Integrierbarkeitsbedingungen erster Stufe bezeichnet werden ktlnnen. -. Wendet man dagegen die Vertauschungsregeln (13) auf t) und 8 an, so ergeben sich aus (17) die folgenden Integrierbarkeitsbedingungen zweiter Stufe

Uberfl~tehen im vierdimensionalen Raume. 349

(18a) (lSb)

(18e)

(18d)

D~ r h - - 1)1 6~ h -= 3 b,

6 v a + Du68b ~- 2bOsD~-{- ab D v - - h c D ~ + icDr ~ 0, ~

eJ~ b - - D~ r h - - h 68 D~ + i eJs D~ + 2 h a D~ - - 2 i a D ~ + 2 b ~ D ~ : O , (v--~-l,2)

(~ c ~ 3 a ~ Dr - - D~ ~n a - - ~ ~ D~ ~ 2 b c D , , - - 2 a ~ D , , ~ O.

Nimmt man A~, A~, D~, D~ und h als gegeben an, so kann man b aus (18a), a aus (1Be) und c aus (18b) errechnen. Einsetzen der gewonnenen Ausdrticke in die nicht benutzten Gleichungen wtirde dann Bedingungen ftir A,~, D,, und h allein ergeben. Da aber hieraus keine Schlfisse gezogen werden, soll nicht welter darauf eingegangen werden.

Sind die Gr6Ben A, D, a, b, c und h als Funktionen von ~, v und w gegeben und erftillen sie die ihnen auferlegten Bedingungen, so ist dadurch eine Uberflitche bis auf Transformationen der engeren affinen Gruppe bestimmt, und u, v und w sind normierte Veritnderliche.

w 4. Invariante Querdifferentiation; zweite Form der Ableitungsgleichungen.

Geht man yon einem System normierter Ver~nderlicher u, v, w zu einem anderen fiber - - das bedeutet eine fli~chentreue Substitution ffir u und v und die Vermehrung yon w um eine Funktion yon u und v - - , so behi~lt die Differentiation ~3 dieselbe Bedeutung und auch die allein mit ihrer Hilfe definierten Vektoren t~ und ~ bleiben erhalten. Demnach sind die Koeffizienten a, b u n d c in den Formeln (17) invariant. Die Gr6fen A1 und As substituieren sieh so, dab A1 du +A~ d r + dw invariant bleibt. Die Ableitungen ~1 und ~ und daher auch D1 und D~,/)1 und D~ substituieren sich wie die Ableitungen einer Funktion von u und v al]ein nach u und v, d. h. kontragredient zu du und dv. Daraus folgt schlief. lich, daft auch h eine Invariante ist.

Statt der in dem soeben beschriebenen Sinne zu du u n d d v ko- varianten Ableitungen 6~ und ~ sollen jetzt zwei unabhi~ngige Linear- kombinationen 6~ und 6i der beiden eingeftihrt werden, die yon jedem Wechsel der Veritnderlichen unabh~tngig sind. Dies wird aufs einfachste erreicht durch die invarianten Forderungen

6 ~ ~--- t~, ~i~ z it)

und die daraus und aus (15) folgende Definition

6u ~ avOr+~u6i (r ~ 1 , 2).

350 H. Kneser.

Ftihrt man die folgenden Abktii, zungen ftir zweireihige Determinanten ein:

(0, 0~o) = p~, (0, 0~e) = (v, O,d) = q, , (~, 0 ~ ) = r ,

(die mittelste Gleiehsetzung folgt aus (0, v ) = �89 0.(0, v ) = 0), so er- halten die Vertauschungsregeln (13) jetzt die Gestalt

(19) 0~ 6 i - - 0i 0~ = 2 Os, Or 08 - - 08 0~ = - - 2 q8 0~ - - 2 rs ~,,

0i Os - - 08 0i = 2 Ps 0~ + 2 qs 0i.

Die Beziehung (16) sehreibt sieh jetzt nach Trennung von Reellem und Imaginarem (20) Pr-~- qi = qr 2f_ ri = O.

Dureh Differentiation der Determinanten p, q und r und Anwendung yon (19) ergeben sich weitere Beziehungen, yon denen aber nur die im folgenden benutzten abgeleitet werden sollen. Die Identitiiten

(0, 0 . . ) (~, 0~ e) + (~, .) (0~ e, 0 . . ) + (0, 0~ ~) (0. ~, .) = 0,

worin fiir z und Q naeheinander o und o, a und v, v und v zu setzen ist, ergeben

(0 ,0 , 0flo) = 2(p~qfl - - p f l q , ) , (0 ,o , 0 ~ ) = 2 ( p a r f l - - q , qfl),

(0. ~, 0~ ~) = 2 (q. r~ - - q~ r~).

Hieraus und aus (19) und (20) folgen die Gleiehungen

0~ pa - - 03 p,. = 4 pa r i + 2 pr qa - - 2 pi ra ,

Or qs - - Oa qr = 4 Pr r s - - 2 Ps r,. -~- 2 q8 r i ,

~i q8 - - 03 qi = - - 4 P8 r i - - 2 pr qs ~- 2 Pi rs ,

0i ra - - Oa ri = - - 4 Pa Ys -~- 2 Pa rr - - 2 qs rt,

und aus diesen wieder

(21) Orps+Oiqa = O, Orqs+Oira = O,

mit Rticksicht auf die nach ~8 differenzierten Gleiehungen (20). Als Ableitungsformeln erh~lt man start (17) nunmehr

(22) Oit) = - - i b O + 6 h - - 1 ) ~ ,

080 = at)-~-b~,

0 ~ - - ~ ( a - - 2 q s - - 2 i r 3 ) t ~ + b ~ ,

0~ ~ = ( ia + 2pn + 2 iqs) ~ -~ ibm,

08 ~ = c t ~ - - a ~ .

Oberfl~ichen im vierdimensionalen Raume. 351

Der Vollstandigkeit halber seien auch die Integ~%rbarkeitsbedin- gungen angegeben:

( r i ~ , ) . . . i J r h - - $ i h - - 6 b ----- O,

(r3t}~) . . . tJr a + ~s b + ab - - (h - - i) c - - 4 (qs+ irs) b ~ O,

(rat~$) . . . J r b - - J s h + 2 a (h - - i ) + 2b~+ 2(qs+ i r s ) h - - 2 i(qs--irs) ~-- O,

(r 3 ~ ) �9 �9 �9 t~rc--~s a + 2~. ( q s + i r s ) - 2 b c - 2 aJ+ 6a (qs+ irs) + 4 ( p a r s - - q ~ ) - - ~ O,

J i a + i ~ s b + i a b - - (ih - - 1) c + 4 ( p s + i q s ) b --~ O,

(i3 t) ~). . . ~ b - - i ~sh+ 2 a ( i h - - 1 ) + 2 ib~-- 2 (ps+iqs )h+ 2i(ps--iqs) -~ O,

( i3~t)) . . . Ji c - - i ~ s a - - 2+is (pa+ iq s ) - - 2 i b e - - 2 ia ~ - 6 a ( p s + iqs) -4- 4 i (P8 rs-- q~) = O.

Die vorangestellten Klammern geben die Entstehung an; z.B. bedeutet (ril~it): Man bilde (#rtli-- ~ r ) 10, das eine Mal naeh (19) und (22), alas andere Mal durch Differentiation von (22) und setze die ]-Komponenten tier erhaltenen Ausdrticke einander gleich. Die fehlenden Formeln sind Folgerungen aus den angegebenen und aus (21): (rit~O)ist eine Linear- kombination yon (r310]) und (i3t~]), ( r i ~ ) eine yon (r3t~t~) und (i3t~t~), (ri]]) stimmt mit (riOO) fiberein, ( r3~) mit (r3t)t~) und (i3]~) mit ( i 3~ ) .

Das Formelbild der Integrierbarkeitsbedingungen ist gewilt kein erfreuliches; immerhin m~igen sie dastehen, um vielleicht in dieser oder einer fibersichtlicheren Gestalt einmal benutzt zu werden. Sollte dies nicht m0glieh sein, so wiirde das zeigen, daft unter Umstanden die Vor- teile tier Methode der invarianten Ableitungen durch rechnerische Ver- wieklung einigermafien aufgehoben werden.

w 5. Die funktionentheoretische Bedeutung der Normalenrichtung.

Durch die Richtung des Normalenvektors i~ ist eine Seite der Uber- fl~che invariant ausgezeichnet. Um diese Auszeichnung funktionen- theoretisch zu deuten, werde zuni~ehst eine analytische Fli~che her- gestellt, die die Uberfli~che in einem gegebenen Punkte ~o bertihrt in der Umgebung yon ~o und ganz auf der ausgezeiehneten Seite verlimft. Es ist dies einfach die ,,Parabel"

1 (23) P ~-~ ;o+St )o-4- -~hs ~o (s-~-ot , ]Pt = 1, t>=O).

Projiziert man sie parallel dem Vektor i So auf die Uberfliiche, so erhi~lt man bei festem Q und veriinderlichem t eine Kurve ~ (t), deren Verlauf durch

352 tI. Kneser.

geregelt wird, worin u eine komplexe, v eine reelle, aus der Projektions- bedingung zu bestimmende Funktion yon t ist. Dann gilt aueh

Die erste Ableitung yon ~ (t) soll ffir t -~- 0 mit der yon p fiberein- stimmen, die zweite sich yon p"(0) nur um ein reelles'Vielfaches yon i~ unterscheiden. Dies wird erreicht, wenn man

u ( o ) = r u ' ( 0 ) = b e ~, v ( 0 ) = 0 , v ' ( 0 ) = 0

setzt. In der Tat wird dann und, wie der Ansatz mit unbestimmten Werten zeigt, nur dann

~' (0) = ~ t~o = p' (0),

~' (0). = ~Q (-- boo + (h - - i) ~o) -4- ~ r ( - - ib Oo + (ih - - 1) ~o)

~" (o) = u' (o) ~o + u (o) ~' (o) + v' (o) 8o + , (o) ~' (o)

~-- (h qJ - - i) 80,

"(o) - - ~" (o) = i 80.

Da unter den iiblichen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen die Tay!orsche Formel mit dem Restglied dritter 0rdnung gleichmafig fiir alle Werte Q gilt, so folgt, daft die Parabel (23) in der NiChe yon ~.o ganz auf der- jenigen Seite der ~berfli~che liegt, nach der der Norma!envektor i8o zeigt.

Ist nun eine analytische Funktion f ( x , y) ~- f ( ; ) auf dieser Seite der Uberflitche in einer Umgebung yon ~o regular, so ist

f(O (s) + p ~o + q ~o)

eine reguliire Funktion yon s, p und q, wenn

.

oder 2.

o < t ~ l < r , p = q = O

o<=1~1<__~, v = ~ q = o , O<3q__<

ist, und daher auch, nach 1., wenn

2' ]PI<EI' Iql<ei' und, nach 2, wenn

r t 2 t 4. 0 <~ Ist < y , Ip[<e , , ~ q < t t , 3 - < ~ q < 3

t?berfli~chen im vierdimensionalen Raume. 353

ist. Hierin ist r eine gentigend kleine, ~ eine durch r, und ~ eine durch r unde nach oben beschrankte positive Zahl. Im Wertbereich 4. fiir p und q gilt alsodie Cauchysche Integralformel

i f f(~o+p~o+q~o) = 2~ri f(P(a)--[-pt)o+q~o) da

Isl=~

und bier ist nach 3. die rechte Seite regular ftir beliebige Werte p und q mit genfigend kleinem Betrage. Endlich sin(1 x uud y unabhi~ngige lineare Ausdriicke in p und q; also ist f ( x , y) regular in einer vollen Umgebtmg yon ~o. Es gilt danach der Satz:

Eine Uberitaehe kann nach der Seite der Normalen bin niemals nattirliehe Grenze des Regulaxit~tsbereiehs einer analytisehen Funktion yon x und y sein.

Damit ist der Zusammenhang mit den funktionentheoretischen Untersuchungen yon E. E. LEVI und anderen hergestellt.

h n h a n g : Dor R a n d e ines Roinha rd t schen Kreiski i rpers .

Als Beispiel sollen die Rechnungen an einer einfachen, aber nicht mehr ganz trivialen Klasse yon U b e ~ c h e n ~ ein Stiick weit vorgeffihrt werden, n~mlich bei den R~ndern der ,,Reinhardtschen Kreisk0rper". Eine solche Uberfli~che li~ltt sieh darstellen dureh

x = f ( w ) e iu,

Mit den Abkttrzungen

F = 2 f ' g g ' = f~(g~)' , G : 2 f f ' g ~ = (f~)'g~

ergibt sieh A1 = - - F , As = G, As = 0,

B~8 = G', Bsl = F', B I ~ = 0, A B = FP G - - FG ' . "

y ----- g (w)e ~.

Aus A B ~ - - 0 wfirde folgen

a F + b G = O, f '2a g2b = const;

der Ausnahmefall A B ~ 0 tritt also nur bei den Kreisktirpern mit ,polytropen" Profilkurven ein. Sonst k0nnen die in w 1 ausgezeichneten Variablensysteme (u*, v*, w*) dureh

o(u*, v*, w*) = FG' 0 (u, v, w)

354 H. Kneser.

gekennzeichnet werden. Setzt man z.B.

u* = u, v* = v, w* = f ~ / F ' G - - F G ' dw,

so erh~tlt man Formeln yon genau derselben Gestalt wie bisher, aber es wird F ' G - FG'---- 1. Ein System normierter Veritnderlicher nach w 2, die wieder u, v, w heil~en m6gen, ergibt sich, wenn man setzt

s

u * - - F(v) +wG' (v ) , v* = w F (v))

Dann wird ( u )

x ~-- fe* - ~ + w a , y ~ g e i w F '

W* --~ Y.

worin bei den Funktionen f , g, F' und G' als Argument v einzusetzen ist. Mit Riicksicht auf

F" G - - FG" = 0 errechnet man

F F F " A 1 - F ' ' As : - - u i~,~ )

F

Aa = 1; B28 ~-- B81 --~ 0 , B l z ---- 1.

iwF' - - iFge ],

--FT):I ,, F F " ' {.q' + i (wF + u ~ 7 - ) g } e'Wr ],

[ u , iF,ge,WF, ] t i - - ~ + w O : - 8s~ = i G f e ( F )

D1 = (~., ~,o) = f g e '(-~+w(F'+G',),

D~ = (~,, ~w) = - - u ~ r - + w ( F " O ' - - F ' O " ) 'k ,~f~ •

x ei(-~'+w(F'+G')) )

~,~ __ ~2~ __ ( - - 2 i f g g ' e , - - 2 i f . q f ' e ' ( - v - w G ) ) . - - D I D z

G r e i f s w a l d , den 1. Januar 1930.