Zur Einbettung uniform bewerteter Ternärkörper in Hahn-Ternärkörper

J. Geom. 78 (2003) 125 – 1550047–2468/03/020125 – 31© Birkhauser Verlag, Basel, 2003DOI 10.1007/s00022-003-1597-y

Zur Einbettung uniform bewerteter Ternarkorper inHahn-Ternarkorper

Erwin Schorner

Abstract. In this paper, we generalize the results of [12] and derive criteria for the regular embeddability of auniformly valued ternary field into an appropriate Hahn ternary field of formal power series with coefficients inthe residue ternary field and exponents in the value loop. Furthermore, we discuss these criteria also for richeralgebraic structures and we give an example for the skew field case.

Mathematics Subject Classification (2000): 51A25, 13F25, 12K99.Key words: Uniformly valued ternary field, Hahn ternary field, ternary field of formal power series, regularembedding, valued skew field.

In seiner klassischen Arbeit [4] konstruierte Hahn die Korper formaler Potenzreihen mitKoeffizienten in einem Korper und Exponenten in einer angeordneten abelschen Gruppe.Krull zeigte in [7], daß jeder bewertete Korper eine maximale unmittelbare Erweiterungbesitzt, wahrend Kaplansky in [6] nachwies, daß ein bewerteter Korper genau dann maximalist, wenn der zugrundeliegende ultrametrische Raum spharisch vollstandig ist, und daß ersich in diesem Fall unter der “Hypothese A” als Hahn-Korper mit Faktorsystem darstellenlaßt.

In [12] haben wir die Hahn-Ternarkorper auf Z in der Klasse aller diskret bewertetenTernarkorper charakterisiert und dabei untersucht, unter welchen Voraussetzungen sich einspharisch vollstandiger diskret bewerteter Ternarkorper als Ternarkorper formaler Potenz-reihen mit Koeffizienten in seinem Restklassenternarkorper und Exponenten in der Werte-gruppe Z auffassen laßt. In der vorliegenden Arbeit sollen nun diese Betrachtungen aufdie allgemeine Situation einer beliebigen Werteloop (�, ·, ε, ≤) ausgedehnt werden. Nacheiner Prazisierung des Begriffes der regularen Einbettung formulieren wir dabei analogdem dortigen Vorgehen zuerst notwendige Bedingungen fur die regulare Einbettbarkeiteines uniform bewerteten Ternarkorpers und weisen sodann nach, daß diese schon hinrei-chend sind, wobei wir zunachst einen geeigneten Hahn-Ternarkorper und eine wiederumsehr naturliche Isometrie konstruieren sowie anschließend deren Vertraglichkeit mit derTernarkorperstruktur nachweisen.

Fur die Definition und wichtige Eigenschaften uniformer Bewertungen von Ternarkorpernverweisen wir auf [5]. Die Konstruktion der Hahn-Ternarkorper als Ternarkorper

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formaler Potenzreihen findet sich in [10], die Diskussion spezieller Faktorsysteme beiHahn-Ternarkorpern in [11]. In der Theorie der ultrametrischen Raume stutzen wir unsauf die grundlegenden Arbeiten [8] und [9] von Priess-Crampe und Ribenboim. Zu denalgebraischen Eigenschaften von Loops vergleiche man [2].

Gemaß [12] bewirkt die Regularitat der Einbettung θ eines diskret bewerteten Ternarkorpers(N, v, Z−∞) in den Hahn-Ternarkorper H = H(Z, Nv, C), daß das Bild θ(N) von N

unter θ in H die Elemente [x] t0 und [1] tz fur alle [x] ∈ Nv und z ∈ Z und damitdie Menge E aller formalen Potenzreihen mit endlichem Trager umfaßt, weswegen zuallen x ∈ N und z ∈ Z ein x′ ∈ N mit Tr(θ(x′)) ⊆ Z>z und v(x − x′) ≤ z existiert.Dementsprechend soll ein isometrischer Ternarkorperhomomorphismus θ : (N, v, �0) →(H, vH, �0) eines uniform bewerteten Ternarkorpers (N, v, �0) in den auf der Werteloop� uber dem Restklassenternarkorper Nv mit einem verallgemeinerten Faktorsystem C

gebildeten Hahn-Ternarkorper H = H(�, Nv, C) eine regulare Einbettung von (N, v, �0)

in (H, vH, �0) heißen, falls zum einen die Elemente [x] tε und [1] tγ fur alle [x] ∈ Nv

und γ ∈ � im Bild θ(N) von N unter θ in H enthalten sind und zum anderen fur allex ∈ N und σ ∈ ≡(N) ein x′ ∈ N mit Tr(θ(x′)) ⊆ �C

σ und v(x − x′) ∈ �σ ∪ {0}existiert, wobei �σ = {dv(y, y′) | y σ y′, y = y′} bzw. �C

σ = C�σ den zu der mitdv vertraglichen Aquivalenzrelation σ gehorenden Rumpf bzw. Kopf von � bezeichnet;in dieser Situation heißt (N, v, �0) regular einbettbar. Im diskreten Fall stimmen beideBegriffsbildungen uberein. Mit den entsprechenden Uberlegungen wie in [12] erkenntman, daß es sich bei (θ(N), dH, �0) ≺ (H, dH, �0) um eine unmittelbare Erweiterung ultra-metrischer Raume handelt, und im Falle der spharischen Vollstandigkeit von (N, dv, �0)

ist jeder isometrische Ternarkorperhomomorphismus θ : (N, v, �0) → (H, vH, �0), furden (θ(N), dH, �0) ≺ (H, dH, �0) eine unmittelbare Erweiterung ultrametrischer Raumedarstellt, schon regular. Offensichtlich ist die Verknupfung �◦θ einer regularen Einbettungθ mit einem kanonischen Isomorphismus � wieder eine regulare Einbettung von (N, v, �0).

Um notwendige Bedingungen fur die regulare Einbettbarkeit eines uniform bewertetenTernarkorpers (N, v, �0) ableiten zu konnen, betrachten wir den Hahn-Ternarkorper H =H(�, Nv, C) auf der Werteloop � uber dem Restklassenternarkorper Nv mit einem geeig-neten verallgemeinerten Faktorsystem C sowie den isometrischen Ternarkorperhomo-morphismus θ : (N, v, �0) → (H, vH, �0).

Mit denselben Argumenten wie im diskreten Fall ist K = θ−1(Nvtε) ein Reprasentan-

tenternarkorper von (N, v, �0); ferner konnen wir H durch Identifizierung von Nv mit K

als H(�, K, C) mit θ(k) = k tε fur alle k ∈ K schreiben und ohne Beschrankung derAllgemeinheit µε,γ (m, 1) = m fur alle γ ∈ � und m ∈ K annehmen. Fur alle γ ∈ �

erhalten wir fur das Urbild uγ ∈ N von 1 tγ unter θ zum einen v(uγ ) = γ mit uε = 1und zum anderen θ(k uγ ) = k tγ fur alle k ∈ K; daruber hinaus ist C = (Cα,β)α,β∈� eine

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Familie von ternaren Verknupfungen Cα,β : K ×K ×K → K auf K , die insbesondere dieBedingungen (F1), (F2) und (F3) sowie die Gleichung

S(m uα, x uβ, c uαβ) = Cα,β(m, x, c) uαβ

fur alle α, β ∈ � und m, x, c ∈ K erfullt.

Wahrend wir bislang die Eigenschaften (Z1) und (Z2) im wesentlichen ubernommen haben,muß (Z3) an die nun vorliegende wesentlich kompliziertere Situation angepaßt werden; beibeliebigen Werteloops kann es nicht mehr genugen, Forderungen an Kuγ fur γ ∈ � zustellen und mit Hilfe von vollstandiger Induktion algebraische Vertraglichkeitsbedingungenfur die nur im diskreten Fall dichte Teilmenge E = 〈⋃γ∈� Kuγ 〉 von N zu beweisen.Vielmehr greifen wir das Vorgehen Banaschewskis in [1, S. 431ff] beim Beweis einesauch von Hahn in [4, S. 641f] und Conrad in [3, S. 11] betrachteten Einbettungssatzes furModuln auf und betrachten zu einer mit dv vertraglichen Aquivalenzrelation σ ∈ ≡(N), derin naturlicher Weise der Rumpf �σ = {dv(x, y) | x σ y, x = y} und der Kopf �C

σ = C�σ

von � zugeordnet sind, die Urbilder

Vσ = θ−1({f ∈ H | Tr(f) ⊆ �σ })und

ζ(Vσ ) = θ−1({f ∈ H | Tr(f) ⊆ �Cσ })

unter θ der Mengen aller formalen Potenzreihen f ∈ H, deren Trager Tr(f) in �σ bzw.�C

σ enthalten ist; bei Vσ handelt es sich offensichtlich um {x ∈ N | v(x) ∈ �σ ∪ {0}} =⋃γ∈�σ

Nγ (0), die als aufsteigende Vereinigung normaler Unterloops von (N, +) selbstwieder eine normale Unterloop von (N, +) darstellt. Da fur alle f = ∑

γ fγ tγ , g =∑γ gγ tγ ∈ H und γ ∈ �

(f + g)(γ ) = fγ +γ gγ

erfullt ist, bildet die Menge {f ∈ H | Tr(f) ⊆ �Cσ } offenbar eine Unterloop von (H, +),

die zudem normal ist: fur alle f = ∑γ fγ tγ , g = ∑

γ gγ tγ , z = ∑γ zγ tγ ∈ H mit

Tr(z) ⊆ �Cσ gibt es namlich h = ∑

γ hγ tγ und k = ∑γ kγ tγ ∈ H mit

f + z = h + f bzw. (f + g) + z = f + (g + k),

und wir erhalten fur alle γ ∈ � mit γ ∈ �σ aus fγ = hγ +fγ bzw. fγ +gγ = fγ +(gγ +kγ )

und gγ = gγ + kγ in hγ = 0 bzw. kγ = 0, daß Tr(h) ⊆ �Cσ und Tr(k) ⊆ �C

σ gilt;die restlichen Inklusionen sieht man entsprechend. Damit ist aber ζ(Vσ ) eine normaleUnterloop von (N, +).

Daruber hinaus sind Vσ und ζ(Vσ ) komplementar. Wahrend Vσ ∩ ζ(Vσ ) = {0} offen-sichtlich ist, existiert fur jedes x ∈ N aufgrund der Regularitat der Einbettung θ ein x

ζσ ∈ N

mit v(x − xζσ ) ∈ �σ ∪ {0}, so daß sich in x = xσ + x

ζσ mit xσ = x − x

ζσ ∈ Vσ auch


N = Vσ + ζ(Vσ ) ergibt. Im folgenden sei zu x ∈ N mit xσ bzw. xζσ stets das eindeutig

bestimmte Element aus Vσ bzw. ζ(Vσ ) mit x = xσ +xζσ bezeichnet. Mit dieser Verabredung

erhalten wir fur alle m, x, c ∈ N zunachst wegen [10, Lemma 1]

θ(S(m, x, c)) = θ(S(mζσ + mσ , x, c)) = T (θ(mζ

σ ) + θ(mσ ), θ(x), θ(c))

= T (θ(mζσ ), θ(x), T (θ(mσ ), θ(x), θ(c))) = θ(S(mζ

σ , x, S(mσ , x, c)))

und damitS(m, x, c) = S(mζ

σ , x, S(mσ , x, c))

sowie analogS(m, x, c) = S(m, xσ , S(m, xζ

σ , c));ferner existiert ein d ∈ N mit S(m, x, c) = S(m, x, cσ ) + d, also

T (θ(m), θ(x), θ(c)) = T (θ(m), θ(x), θ(cσ )) + θ(d),

wobei fur alle γ ∈ �σ wegen θ(c)(γ ) = θ(cσ )(γ ) auch T (θ(m), θ(x), θ(c))(γ ) =T (θ(m), θ(x), θ(cσ ))(γ ) und somit θ(d)(γ ) = 0 gilt, woraus Tr(θ(d)) ⊆ �C

σ und d ∈ζ(Vσ ) sowie schließlich

S(m, x, c) ∈ S(m, x, cσ ) + ζ(Vσ )

folgt. Fur alle k ∈ K und γ ∈ �Cσ ist Tr(θ(k uγ )) = Tr(k tγ ) ⊆ �C

σ , weswegen

Kuγ ⊆ ζ(Vσ )

erfullt ist.

Zuletzt halten wir noch zwei Eigenschaften fest, die das Verhaltnis der Mengen ζ(Vσ ) furσ ∈ ≡(N) untereinander charakterisieren. Dabei beobachtet man fur σ , τ ∈ ≡(N) mitσ ⊆ τ sofort �C

τ ⊆ �Cσ und damit ζ(Vτ ) ⊆ ζ(Vσ ). Seien nun σ , τ ∈ ≡(N) beliebig,

m ∈ ζ(Vσ ), x ∈ ζ(Vτ ) und c ∈ N sowie d ∈ N mit S(m, x, c) = m x + d und damit

T (θ(m), θ(x), θ(c)) = θ(m) θ(x) + θ(d);fur alle γ ∈ � mit γ /∈ �C

σ �Cτ gilt insbesondere γ /∈ Tr(θ(m)) Tr(θ(x)), woraus T (θ(m),

θ(x), θ(c))(γ ) = θ(c)(γ ) sowie (θ(m) θ(x))(γ ) = 0 und demnach Tr(θ(m) θ(x)) ⊆�C

σ �Cτ sowie Tr(θ(c) − θ(d)) ⊆ �C

σ �Cτ folgt. Dabei stellt �C

σ �Cτ wieder einen Kopf von

� dar: ist namlich γ ∈ � mit γ ≥ γσ γτ fur gewisse γσ ∈ �Cσ und γτ ∈ �C

τ , so ist wegenγ /γτ ≥ γσ auch γ /γτ ∈ �C

σ und damit γ = (γ /γτ ) γτ ∈ �Cσ �C

τ . Bezeichnen wir mitσ · τ oder einfach σ τ diejenige mit dv vertragliche Aquivalenzrelation in ≡(N) mit �C

στ =�C

σ �Cτ , so konnen wir Tr(θ(m x)) ⊆ �C

στ bzw. m x ∈ ζ(Vστ ) sowie Tr(θ(c − d)) ⊆ �Cστ

bzw. c − d ∈ ζ(Vστ ) und damit

S(m, x, c) = m x + d ∈ ζ(Vστ ) + d = ζ(Vστ ) + c


schreiben, woraus sichS(ζ(Vσ ), ζ(Vτ ), c) ⊆ ζ(Vστ ) + c

ergibt. Durch die obige Festsetzung haben wir also eine gemaß σ � ⊆ τ � und � σ ⊆ � τ

fur alle �, σ , τ ∈ ≡(N) mit σ ⊆ τ mit der Anordnung ⊆ vertragliche Multiplikation auf≡(N) mit neutralem Element ≡−

ε sowie ≡−α · ≡−

β = ≡−αβ und ≡−

α · ≡β = ≡αβ = ≡α · ≡−β

fur alle α, β ∈ � definiert; vermoge (�, ≤) � γ �→ ≡−γ ∈ (≡(N), ⊆) ist demnach eine

ordnungstreue und multiplikative Einbettung von (�, ≤) in (≡(N), ⊆) gegeben.

Damit ist bislang die Notwendigkeit der folgenden Bedingungen fur die regulare Einbet-tbarkeit eines uniform bewerteten Ternarkorpers (N, v, �0) gezeigt:

(E1) N enthalt einen Reprasentantenternarkorper K .(E2) Es existiert eine Familie (uγ )γ∈� von Elementen uγ ∈ N mit v(uγ ) = γ fur γ ∈ �

und uε = 1, so daß es fur alle α, β ∈ � zu m, x, c ∈ K ein Cα,β(m, x, c) ∈ K mit

S(m uα, x uβ, c uαβ) = Cα,β(m, x, c) uαβ

gibt und die Abbildung Cα,β : K × K × K → K den Bedingungen (F1), (F2) und(F3) genugt.

(E3) Fur alle σ ∈ ≡(N) existiert eine normale Unterloop ζ(Vσ ) von (N, +) mit N =Vσ ⊕ ζ(Vσ ), wobei Kuγ ⊆ ζ(Vσ ) fur alle γ ∈ �C

σ sowie

(a) S(m, x, c) = S(mζσ , x, S(mσ , x, c)),

(b) S(m, x, c) = S(m, xσ , S(m, xζσ , c)),

(c) S(m, x, c) ∈ S(m, x, cσ ) + ζ(Vσ ),

fur alle m, x, c ∈ N erfullt ist; ferner gilt fur alle σ , τ ∈ ≡(N) und c ∈ N

(i) ζ(Vτ ) ⊆ ζ(Vσ ) fur σ ⊆ τ ,(ii) S(ζ(Vσ ), ζ(Vτ ), c) ⊆ ζ(Vστ ) + c.

Die sich nun anschließenden Uberlegungen sollen dem Nachweis dienen, daß fur einenuniform bewerteten Ternarkorper (N, S, v, �0) die Eigenschaften (E1), (E2) und (E3) schonhinreichend fur seine regulare Einbettbarkeit in den auf der Werteloop (�, ·, ε, ≤) uber demTernarkorper (K, S, 0, 1) von (E1) mit der analog zum diskreten Fall als verallgemeinertesFaktorsystem erkannten Familie C = (Cα,β)α,β∈� von (E2) gebildeten Hahn-TernarkorperH = H(�, K, C) sind.

Zunachst halten wir fest, daß fur jedes γ ∈ � die Menge Kuγ wegen

k uγ + l uγ = S(1 uε, k uγ , l uγ ) = Cε,γ (1, k, l) uγ

fur alle k, l ∈ K eine Unterloop von (N, +) darstellt, fur die V≡γ = V≡−γ

⊕ Kuγ gilt: zujedem x ∈ V≡γ existiert namlich wegen v(x/uγ ) ≤ ε ein k ∈ K mit v(x/uγ − k) < ε,


woraus wegen v(x − k uγ ) < γ in x = (x − k uγ ) + k uγ schon V≡γ = V≡−γ

+ Kuγ

folgt; zudem besitzt jedes x ∈ V≡−γ

∩ Kuγ die Gestalt x = k uγ fur ein k ∈ K , womitsich in γ > v(x) = v(k) γ und v(k) < ε schon k = 0 und x = 0 ergibt. Damit erhaltenwir Kuγ = V≡γ ∩ ζ(V≡−

γ), da sich jedes x ∈ V≡γ ∩ ζ(V≡−

γ) als Element von V≡γ in der

Form x = x′ + k uγ mit x′ ∈ V≡−γ

und k ∈ K schreiben laßt, woraus x′ = x − k uγ ∈V≡−

γ∩ ζ(V≡−

γ), also x′ = 0 und x = k uγ folgt; demnach ist Kuγ sogar eine normale

Unterloop von (N, +). Zusammenfassend erhalten wir

N = V≡γ ⊕ ζ(V≡γ ) = V≡−γ

⊕ Kuγ ⊕ ζ(V≡γ ),

woraus wegen N = V≡−γ

⊕ ζ(V≡−γ) aus Kuγ + ζ(V≡γ ) ⊆ ζ(V≡−

γ) offenbar schon Kuγ +

ζ(V≡γ ) = ζ(V≡−γ) folgt.

Mit den oben eingefuhrten Bezeichnungen konnen wir also jedes x ∈ N eindeutig in derGestalt

x = x≡−γ

+ xγ uγ + xζ≡γ

mit x≡−γ

∈ V≡−γ

, xγ ∈ K und xζ≡γ ∈ ζ(V≡γ ) schreiben. Diese Zerlegung von x in drei

Summanden steht vollig im Einklang mit dem Vorgehen im diskreten Fall: auch dort wirdzunachst induktiv “der γ ubersteigende Anteil” x

ζ≡γ abgespaltet und danach x≡γ gemaß[12, Lemma 1] als x≡−

γ+ xγ uγ aufgefaßt. Wir definieren wieder durch

θ(x) : � � γ �→ xγ ∈ K

eine Abbildung θ(x), deren Trager dual wohlgeordnet ist. Ansonsten existierte eineunendliche streng monoton steigende Folge γ1 < · · · < γn < . . . in Tr(θ(x)), wobeiσ = ⋃

n∈N ≡γn wieder eine mit dv vertragliche Aquivalenzrelation darstellte, und wir

erhielten x = xσ + xζσ = x

ζσ + xσ sowie x − xσ = x

ζσ ∈ ζ(Vσ ) ⊆ ζ(V≡γn

) wegen (E3i)und damit x≡γn

= (xσ )≡γnfur alle n ∈ N. Wegen xσ ∈ Vσ gabe es aber ein n0 ∈ N mit

xσ ∈ V≡γn0, woraus xσ ∈ V≡−

γn0+1sowie x≡γn0+1

= (xσ )≡γn0+1= xσ ∈ V≡−

γn0+1und damit

in θ(x)(γn0+1) = 0 und γn0+1 /∈ Tr(θ(x)) ein Widerspruch folgte. Demzufolge stellt θ(x)

eine formale Potenzreihe dar, und

θ : N � x �→ θ(x) ∈ H

ist als Abbildung wohldefiniert. Zum Nachweis der Isometrieeigenschaft fur θ betrachtenwir x, y ∈ N mit x = y und γ ∗ = dv(x, y). Fur alle γ > γ ∗ gilt x − y ∈ V≡−

γund damit

θ(x)(γ ) = θ(y)(γ ), woraus dH(θ(x), θ(y)) ≤ γ ∗ folgt. Zudem gilt fur die Zerlegungenx = x≡−

γ ∗ + xγ ∗ uγ ∗ +xζ≡γ ∗ und y = y≡−

γ ∗ + yγ ∗ uγ ∗ +yζ≡γ ∗ wegen x −y ∈ V≡γ ∗ zunachst

xζ≡γ ∗ = y

ζ≡γ ∗ , und aus xγ ∗ = yγ ∗ ergabe sich dann in x − y ∈ V≡−γ

ein Widerspruch zudv(x, y) = γ ∗. Damit gilt dH(θ(x), θ(y)) = γ ∗, und θ : N → H ist als Isometrie erkannt.


Ferner folgt fur alle x, y ∈ N und γ ∈ � aus x = x≡−γ

+ xγ uγ + xζ≡γ und y = y≡−

γ+

yγ uγ + yζ≡γ mit x≡−

γ, y≡−

γ∈ V≡−

γ, xγ , yγ ∈ K , x

ζ≡γ , yζ≡γ ∈ ζ(V≡γ ) in

x + y = (x≡−γ

+ y≡−γ) + (xγ uγ + yγ uγ ) + (xζ≡γ

+ yζ≡γ)

wegen x≡−γ

+y≡−γ

∈ V≡−γ

, xγ uγ + yγ uγ = S(1 uε, xγ uγ , yγ uγ ) = Cε,γ (1, xγ , yγ ) uγ ∈Kuγ und x

ζ≡γ + yζ≡γ ∈ ζ(V≡γ ) zunachst

θ(x + y)(γ ) = Cε,γ (1, xγ , yγ ) = T (1, θ(x), θ(y))(γ ) = (θ(x) + θ(y))(γ ),

wodurch sich schließlichθ(x + y) = θ(x) + θ(y)

ergibt. Analog erhalt man

x − y = (x≡−γ

− y≡−γ) + (xγ − yγ ) uγ + (xζ≡γ

− yζ≡γ),

worausθ(x)(γ ) = θ(y)(γ ) ⇐⇒ x − y ∈ V≡−

γ⊕ ζ(V≡γ )

folgt. Insbesondere gilt fur alle m, x, c ∈ N und γ ∈ � wegen (E3)

S(m, x, c) ∈ S(m, x, c≡γ ) + ζ(V≡γ )

sowie wegen v(S(m, x, c≡γ ) − S(m, x, cγ uγ )) = v(c≡γ − cγ uγ ) = v(c≡−γ) < γ

S(m, x, c≡γ ) ∈ S(m, x, cγ uγ ) + V≡−γ,

woraus sich insgesamt

S(m, x, c) − S(m, x, cγ uγ ) ∈ V≡−γ

⊕ ζ(V≡γ )

und damit die nutzliche Eigenschaft

θ(S(m, x, c))(γ ) = θ(S(m, x, cγ uγ ))(γ ) (♦)

ergibt.

Fur alle k ∈ K und γ ∗ ∈ � gilt offensichtlich θ(k uγ ∗)(γ ∗) = k, wobei wir fur alle

γ ∈ � mit γ = γ ∗ wegen Kuγ ∗ ⊆ V≡−γ

fur γ ∗ < γ sowie Kuγ ∗ ⊆ ζ(V≡γ ) fur γ ∗ > γ

definitionsgemaß θ(k uγ ∗)(γ ) = 0 erhalten, woraus insgesamt

θ(k uγ ∗) = k tγ

∗


folgt; fur alle α, β ∈ � und m, x, c ∈ K gilt dann

θ(S(m uα, x uβ, c uαβ)) = θ(Cα,β(m, x, c) uαβ) = Cα,β(m, x, c)tαβ

= T (m tα, x tβ, c tαβ) = T (θ(m uα), θ(x uβ), θ(c uαβ)),

womit wir das Homomorphieverhalten von θ fur Argumente der Form k uγ mit k ∈ K undγ ∈ � nachgewiesen haben.

Bevor wir diese Eigenschaft fur beliebige Argumente verifizieren, leiten wir einige Rechen-regeln fur den Trager Tg(x) der Elemente x ∈ N her, worunter wir gemaß

Tg(x) = Tr(θ(x))

den Trager des Bildes von x unter θ , also der formalen Potenzreihe θ(x) ∈ H verstehenwollen. Nach der Definition von θ konnen wir

Tg(x) = {γ ∈ � | v(x≡γ ) = γ }

schreiben, und es ergibt sich fur alle σ ∈ ≡(N)

ζ(Vσ ) = {x ∈ N | Tg(x) ⊆ �Cσ };

ist namlich x ∈ ζ(Vσ ), so folgt fur alle γ ∈ �σ wegen x ∈ ζ(V≡γ ) in θ(x)(γ ) = 0, daß

γ /∈ Tg(x) gilt, und fur x ∈ N mit Tg(x) ⊆ �Cσ ist xσ = 0 und damit x = x

ζσ ∈ ζ(Vσ ),

da ansonsten mit γ = v(xσ ) ∈ �σ wegen xσ ∈ V≡γ und xζσ ∈ ζ(V≡γ ) in γ ∈ Tg(x)

ein Widerspruch folgte. Es sei gleich an dieser Stelle bemerkt, daß sich fur alle x ∈ N

und σ ∈ ≡(N) aus x = xσ + xζσ und θ(x) = θ(xσ ) + θ(x

ζσ ) wegen Tg(xσ ) ⊆ �σ und

Tg(xζσ ) ⊆ �C

σ schon

θ(xσ ) = θ(x)�σ und θ(xζσ ) = θ(x)�

Cσ

ergibt, wodurch man fur τ ∈ ≡(N) mit σ ⊆ τ zum einen

(xτ )σ = xσ und (xζσ )ζτ = xζ

τ

und zum anderen

θ((xζσ )τ ) = θ(xζ

σ )�τ = (θ(x)C�σ )�τ = θ(x)C�σ ∩�τ

sowieθ((xτ )

ζσ ) = θ(xτ )

C�σ = (θ(x)�τ )C�σ = θ(x)�τ ∩C�σ

erhalt.


LEMMA 1. Fur alle α, β ∈ � sowie m, x, c, y, z ∈ N und k, l ∈ K gilt:

1. Tg(x − y) = Tg(y − x) und Tg(x − y) ⊆ Tg(x − z) ∪ Tg(z − y).2. Tg(S(m, x, c) − S(m, x, d)) = Tg(c − d).3. Tg(S(k uα, x, c) − c) ⊆ α Tg(x) und Tg(S(m, l uβ, c) − c) ⊆ Tg(m) β.

Beweis. Fur 1. beobachtet man

Tr(θ(x − y)) = Tr(θ(x) − θ(y)) = {γ ∈ � | θ(x)(γ ) = θ(y)(γ )}= Tr(θ(y) − θ(x)) = Tr(θ(y − x))

und

Tr(θ(x − y)) = Tr(θ(x) − θ(y)) = {γ ∈ � | θ(x)(γ ) = θ(y)(γ )}⊆ {γ ∈ � | θ(x)(γ ) = θ(z)(γ )} ∪ {γ ∈ � | θ(z)(γ ) = θ(y)(γ )}= Tr(θ(x) − θ(z)) ∪ Tr(θ(z) − θ(y)) = Tr(θ(x − z)) ∪ Tr(θ(z − y)).

In 2. folgt mit (♦) fur γ ∈ � zum einen aus γ /∈ Tg(c − d) wegen cγ = dγ in

θ(S(m, x, c))(γ ) = θ(S(m, x, cγ uγ ))(γ )

= θ(S(m, x, dγ uγ ))(γ ) = θ(S(m, x, d))(γ )

auch γ /∈ Tg(S(m, x, c)−S(m, x, d)) und zum anderen aus γ ∈ Tg(c−d) wegen cγ = dγ

in

v(S(m, x, cγ uγ ) − S(m, x, dγ uγ )) = v(cγ uγ − dγ uγ ) = v(cγ − dγ ) γ = γ

und

θ(S(m, x, c))(γ ) = θ(S(m, x, cγ uγ ))(γ )

= θ(S(m, x, dγ uγ ))(γ ) = θ(S(m, x, d))(γ )

auch γ ∈ Tg(S(m, x, c) − S(m, x, d)).

In 3. erhalten wir aus γ ∈ Tg(S(k uα, x, c) − c) wegen

Tg(S(k uα, x, c) − c)

⊆ Tg(S(k uα, x, c) − S(k uα, x≡β′ , c)) ∪ Tg(S(k uα, x≡β′ , c) − c)

schon γ ∈ Tg(S(k uα, x≡β′ , c) − c) fur β ′ ∈ � mit α β ′ = γ , da gemaß (E3)

S(k uα, xζ≡β′ , c) − c ∈ S(ζ(V≡−α), ζ(V≡β′ ), c) − c ⊆ (ζ(V≡αβ′ ) + c) − c = ζ(V≡γ )


und damit

Tg(S(k uα, x, c) − S(k uα, x≡β′ , c))

= Tg(S(k uα, x≡β′ , S(k uα, xζ≡β′ , c)) − S(k uα, x≡β′ , c))

= Tg(S(k uα, xζ≡β′ , c) − c) ⊆ �>γ

erfullt ist. Aufgrund von

v(S(k uα, x≡β′ , c) − c) = v(k uα) v(x≡β′ ) ≤ α β ′ = γ

konnen wir daraus zunachst auf v(x≡β′ ) = β ′ und damit auch auf β ′ ∈ Tg(x) und γ =α β ′ ∈ α Tg(x) schließen. Insgesamt gilt also

Tg(S(k uα, x, c) − c) ⊆ α Tg(x),

und die BeziehungTg(S(m, l uβ, c) − c) ⊆ Tg(m) β

erhalten wir durch eine entsprechende Argumentation. �

Im folgenden Lemma ist die entscheidende Tragereigenschaft fur den Nachweis der Homo-morphie von θ enthalten.

LEMMA 2. Fur alle m, x, c ∈ N gilt Tg(S(m, x, c) − c) ⊆ Tg(m) Tg(x).

Beweis. Diese Aussage zeigen wir indirekt und betrachten dazu m, x, c ∈ N mit

Tg(S(m, x, c) − c) ⊆ Tg(m) Tg(x).

Seien α∗, β∗ ∈ �0 mit m ∈ ζ(V≡α∗ ) und x ∈ ζ(V≡β∗ ), wobei ≡0 die Gleichheitsrelation

bezeichne und damit V≡0 = {0} sowie ζ(V≡0) = N gilt; die Mengen A = Tg(m).∪ {α∗}

und B = Tg(x).∪ {β∗} sind wieder dual wohlgeordnete Teilmengen von �0, und man

beobachtetm≡α∗ = 0, m≡v(m)

= m; x≡β∗ = 0, x≡v(x)= x;

mζ≡α∗ = m, mζ≡v(m)= 0; xζ≡β∗ = x, xζ≡v(x)

= 0.

Damit giltTg(S(mζ≡α∗ , x

ζ≡β∗ , c) − c) ⊆ Tg(m) Tg(x),

weswegen

Ar = {α ∈ A | ∃β∈B Tg(S(mζ≡α, xζ≡β

, c) − c) ⊆ Tg(m) Tg(x)}


eine nichtleere Teilmenge von A darstellt und wir in

α0 = Max Ar

den “großten Verbrecher” finden; wegen mζ≡v(m)

= 0 und v(m) = MaxA ist die Menge

Ak = {α ∈ A | α > α0}nichtleer, die ferner ohne kleinstes Element ist. Ansonsten gabe es ein α1 = Min Ak ∈Tg(m) ⊆ �, und wegen

mζ≡α0= (mζ≡α0

)ζ≡α1+ (mζ≡α0

)≡α1= mζ≡α1

+ k uα1

mit k = m≡α ∈ K erhielte man nach (E3) und Lemma 1 fur alle β ∈ B

Tg(S(mζ≡α0, xζ≡β

, c) − c) = Tg(S(mζ≡α1, xζ≡β

, S(k uα1 , xζ≡β, c)) − c)

⊆ Tg(S(mζ≡α1, xζ≡β

, S(k uα1 , xζ≡β, c)) − S(mζ≡α1

, xζ≡β, c))

∪ Tg(S(mζ≡α1, xζ≡β

, c) − c) ⊆ Tg(S(k uα1 , xζ≡β, c) − c)

∪ Tg(S(mζ≡α1, xζ≡β

, c) − c)

mitTg(S(k uα1 , xζ≡β

, c) − c) ⊆ α1 Tg(xζ≡β) ⊆ Tg(m) Tg(x)

sowieTg(S(mζ≡α1

, xζ≡β, c) − c) ⊆ Tg(m) Tg(x)

und damit in α0 /∈ Ar einen Widerspruch.

Wegen α0 ∈ Ar und (mζ≡α0

)≡v(m)= m

ζ≡α0mit v(m) ∈ Ak stellt

Br = {β ∈ B | ∃α∈AkTg(S((mζ≡α0

)≡α , xζ≡β, c) − c) ⊆ Tg(m) Tg(x)}

eine nichtleere Teilmenge von B dar, so daß wir in

β0 = Max Br

den “großten Komplizen” von α0 erhalten; die Menge

Bk = {β ∈ B | β > β0}ist wegen x

ζ≡v(x)= 0 ebenfalls nichtleer.

Fur alle α ∈ Ak und β ∈ Bk gilt

mζ≡α0= (mζ≡α0

)ζ≡α+ (mζ≡α0

)≡α = mζ≡α+ (mζ≡α0

)≡α


sowiexζ≡β0

= (xζ≡β0)≡β + (xζ≡β0

)ζ≡β= (xζ≡β0

)≡β + xζ≡β

und damit gemaß (E3) und Lemma 1

Tg(S(mζ≡α0, xζ≡β0

, c) − c) = Tg(S(mζ≡α, xζ≡β0

, S((mζ≡α0)≡α , xζ≡β0

, c)) − c)

⊆ Tg(S(mζ≡α, xζ≡β0

, S((mζ≡α0)≡α , xζ≡β0

, c)) − S(mζ≡α, xζ≡β0

, c))

∪ Tg(S(mζ≡α, xζ≡β0

, c) − c) = Tg(S((mζ≡α0)≡α , xζ≡β0

, c) − c)

∪ Tg(S(mζ≡α, xζ≡β0

, c) − c)

mitTg(S(mζ≡α

, xζ≡β0, c) − c) ⊆ Tg(m) Tg(x)

wegen α /∈ Ar sowie

Tg(S((mζ≡α0)≡α , xζ≡β0

, c) − c)

= Tg(S((mζ≡α0)≡α , (xζ≡β0

)≡β , S((mζ≡α0)≡α , xζ≡β

, c)) − c)

⊆ Tg(S((mζ≡α0)≡α , (xζ≡β0

)≡β , S((mζ≡α0)≡α , xζ≡β

, c))

− S((mζ≡α0)≡α , (xζ≡β0

)≡β , c)) ∪ Tg(S((mζ≡α0)≡α , (xζ≡β0

)≡β , c) − c)

= Tg(S((mζ≡α0)≡α , xζ≡β

, c) − c) ∪ Tg(S((mζ≡α0)≡α , (xζ≡β0

)≡β , c) − c)

mitTg(S((mζ≡α0

)≡α , xζ≡β, c) − c) ⊆ Tg(m) Tg(x)

wegen β /∈ Br , woraus sich insgesamt


, c) − c) ⊆ Tg(m) Tg(x) ∪ Tg(S((mζ≡α0)≡α , (xζ≡β0

)≡β , c) − c)

ergibt.

Im folgenden bezeichnet σ bzw. τ diejenige Aquivalenzrelation in ≡(N), die zu dem vonAk bzw. Bk erzeugten Kopf von � gehort, es gilt also

�Cσ =

⋃γ∈Ak

�≥γ bzw. �Cτ =

⋃δ∈Bk

�≥δ.

WegenTg((mζ≡α0

)≡α ) ⊆ Tg(mζ≡α0) = Ak ⊆ �C

σ

sowieTg((xζ≡β0

)≡β ) ⊆ Tg(xζ≡β0) = Bk ⊆ �C

τ


gilt (mζ≡α0

)≡α ∈ ζ(Vσ ) sowie (xζ≡β0

)≡β ∈ ζ(Vτ ) und damit nach (E3)

S((mζ≡α0)≡α , (xζ≡β0

)≡β , c) − c ∈ S(ζ(Vσ ), ζ(Vτ ), c) − c ⊆ ζ(Vστ ),

woraus wir zunachst

Tg(S((mζ≡α0)≡α , (xζ≡β0

)≡β , c) − c) ⊆ �Cστ = �C

σ �Cτ

und aufgrund von

v(S((mζ≡α0)≡α , (xζ≡β0

)≡β , c) − c) = v((mζ≡α0)≡α ) v((xζ≡β0

)≡β ) ≤ α β

schließlichTg(S((mζ≡α0

)≡α , (xζ≡β0)≡β , c) − c) ⊆ (�C

σ �Cτ )

≤α β

erhalten. Da α ∈ Ak und β ∈ Bk beliebig waren, gilt nun


, c) − c) ⊆ Tg(m) Tg(x) ∪⋂

α∈Ak

⋂β∈Bk

(�Cσ �C

τ )≤α β

und wegen ⋂α∈Ak

⋂β∈Bk

(�Cσ �C

τ )≤α β = ∅

damitTg(S(mζ≡α0

, xζ≡β0, c) − c) ⊆ Tg(m) Tg(x).

Zu jedem γ ∈ ⋂α∈Ak

⋂β∈Bk

(�Cσ �C

τ )≤α β gabe es namlich wegen γ ∈ �C

σ �Cτ Elemente

δσ ∈ �Cσ und δτ ∈ �C

τ mit γ = δσ δτ sowie dazu α ∈ Ak und β ∈ Bk mit α ≤ δσ undβ ≤ δτ ; da aber Ak kein kleinstes Element besitzt, konnte α ∈ Ak sogar mit α < δσ gewahltwerden, woraus in γ = δσ δτ > α β und γ /∈ (�C

σ �Cτ )

≤α β ein Widerspruch folgte.

Fur alle α ∈ Ak erhalten wir schließlich gemaß (E3) und Lemma 1

Tg(S((mζ≡α0)≡α , xζ≡β0

, c) − c)

= Tg(S(mζ≡α, xζ≡β0

, S((mζ≡α0)≡α , xζ≡β0

, c)) − S(mζ≡α, xζ≡β0

, c))

= Tg(S(mζ≡α0, xζ≡β0

, c) − S(mζ≡α, xζ≡β0

, c))

⊆ Tg(S(mζ≡α0, xζ≡β0

, c) − c) ∪ Tg(S(mζ≡α, xζ≡β0

, c) − c),

wobei gemaß den obigen Uberlegungen


, c) − c) ⊆ Tg(m) Tg(x)

sowie wegen α /∈ Ar

Tg(S(mζ≡α, xζ≡β0

, c) − c) ⊆ Tg(m) Tg(x)

gilt; somit folgt in β0 /∈ Br ein Widerspruch. �


Nunmehr sind wir in der Lage, die angekundigte Homomorphieaussage fur θ bei beliebigenArgumenten m, x, c ∈ N zu beweisen. Dazu sei γ ∈ � und

Sγ = Sγ (θ(m), θ(x)) = {(α, β) ∈ Tg(m) × Tg(x) | αβ = γ },

wobei Sγ = {(αi, βi) | 1 ≤ i ≤ n} mit α1 > · · · > αi > · · · > αn fur ein n ∈ N0 ist, undwir erhalten mit yn+1 = cγ und

yn = Cαn,βn(mαn, xβn, yn+1)...

...

yi = Cαi,βi(mαi

, xβi, yi+1)

......

y1 = Cα1,β1(mα1 , xβ1 , y2)

dann T (θ(m), θ(x), θ(c))(γ ) = y1.

Mit Hilfe vollstandiger Induktion zeigen wir fur alle n + 1 ≥ i ≥ 1 die Gleichung

θ(S(m, x, c))(γ ) = θ(S(m, x≡−βi

, yi uγ ))(γ ),

wobei x≡−βn+1

= x vereinbart sei; der Induktionsanfang i = n + 1 ist mit (♦) wegen

yn+1 = cγ trivial. Im Induktionsschritt i + 1 → i gilt

x≡−βi+1

= (x≡−βi+1

)≡βi+ (x≡−

βi+1)ζ≡βi

= x≡βi+ (x≡−

βi+1)ζ≡βi

und gemaß (E3) demnach

S(m, x≡−βi+1

, yi+1 uγ ) = S(m, x≡βi, S(m, (x≡−

βi+1)ζ≡βi

, yi+1 uγ ))

mitθ(S(m, (x≡−

βi+1)ζ≡βi

, yi+1 uγ ))(γ ) = yi+1,

da ansonsten nach Lemma 2

γ ∈ Tg(S(m, (x≡−βi+1

)ζ≡βi, yi+1 uγ ) − yi+1 uγ )

⊆ Tg(m) Tg((x≡−βi+1

)ζ≡βi) ⊆ Tg(m) Tg(x)

erfullt ware und es ein 1 ≤ j ≤ n mit βj ∈ Tg((x≡−βi+1

)ζ≡βi

) gabe. Des weiteren gilt

x≡βi= x≡−

βi

+ xβiuβi ,


woraus sich mit (E3) und (♦) zunachst

θ(S(m, x≡−βi+1

, yi+1 uγ ))(γ ) = θ(S(m, x≡βi, S(m, (x≡−

βi+1)ζ≡βi

, yi+1 uγ )))(γ )

= θ(S(m, x≡βi, θ(S(m, (x≡−

βi+1)ζ≡βi

, yi+1 uγ ))(γ ) uγ ))(γ )

= θ(S(m, x≡βi, yi+1 uγ ))(γ ) = θ(S(m, x≡−

βi

, S(m, xβiuβi , yi+1 uγ )))(γ )

= θ(S(m, x≡−βi

, θ(S(m, xβiuβi , yi+1 uγ ))(γ ) uγ ))(γ )

ergibt. Ferner giltm = mζ≡αi

+ mαiuαi + m≡−

αi

und damit nach (E3)

S(m, xβiuβi , yi+1 uγ )

= S(mζ≡αi, xβi

uβi , S(mαiuαi , xβi

uβi , S(m≡−αi

, xβiuβi , yi+1 uγ )))

sowie fur alle k ∈ K nach Lemma 1 wegen

Tg(S(mζ≡αi, xβi

uβi , k uγ ) − k uγ ) ⊆ Tg(mζ≡αi) βi ⊆ �>γ

undTg(S(m≡−

αi, xβi

uβi , k uγ ) − k uγ ) ⊆ Tg(m≡−αi

) βi ⊆ �<γ

auchθ(S(mζ≡αi

, xβiuβi , k uγ ))(γ ) = k

undθ(S(m≡−

αi, xβi

uβi , k uγ ))(γ ) = k,

wodurch wir unter Verwendung von (♦)

θ(S(m, xβiuβi , yi+1 uγ ))(γ )

= θ(S(mζ≡αi, xβi

uβi , S(mαiuαi , xβi

uβi , S(m≡−αi

, xβiuβi , yi+1 uγ ))))(γ )

= θ(S(mζ≡αi, xβi

uβi , θ(S(mαiuαi , xβi

uβi , S(m≡−αi

, xβiuβi , yi+1 uγ )))(γ ) uγ ))(γ )

= θ(S(mαiuαi , xβi

uβi , S(m≡−αi

, xβiuβi , yi+1 uγ )))(γ )


uβi , θ(S(m≡−αi

, xβiuβi , yi+1 uγ ))(γ )))(γ )


uβi , yi+1 uγ ))(γ ) = θ(Cαi,βi(mαi

, xβi, yi+1) uγ )(γ ) = yi

und schließlich mit der Induktionsvoraussetzung in

θ(S(m, x, c))(γ ) = θ(S(m, x≡−βi+1

, yi+1 uγ ))(γ )


, θ(S(m, xβiuβi , yi+1 uγ ))(γ ) uγ ))(γ )


, yi uγ ))(γ )


das Gewunschte erhalten. In der Beziehung

θ(S(m, x, c))(γ ) = θ(S(m, x≡−β1

, y1 uγ ))(γ )

folgt mit Lemma 2 aus

Tg(S(m, x≡−β1

, y1 uγ ) − y1 uγ ) ⊆ Tg(m) Tg(x≡−β1

)

wegen γ /∈ Tg(m) Tg(x≡−β1

) sofort

θ(S(m, x≡−β1

, y1 uγ ))(γ ) = y1,

womitθ(S(m, x, c))(γ ) = y1 = T (θ(m), θ(x), θ(c))(γ )

gilt. Demnach haben wir in

θ(S(m, x, c)) = T (θ(m), θ(x), θ(c))

die Homomorphieeigenschaft von θ nachgewiesen.

Daruber hinaus gilt θ(k uγ ) = k tγ fur alle k ∈ K und γ ∈ �, und fur alle x ∈ N undσ ∈ ≡(N) erhalt man Tr(θ(x

ζσ )) ⊆ �C

σ und v(x − xζσ ) = v(xσ ) ∈ �σ ∪ {0}. Damit

stellt θ : (N, v, �0) → (H, vH, �0) eine regulare Einbettung von (N, v, �0) in (H, vH, �0)

dar; insbesondere ist also (θ(N), dv, �0) ≺ (H, dH, �0) eine unmittelbare Erweiterungultrametrischer Raume. Damit erhalten wir fur den Fall, daß (N, v, �0) maximal bewertetist, also keine echte unmittelbare Erweiterung uniform bewerteter Ternarkorper besitzt, mitθ(N) = H, daß (N, v, �0) zu (H, vH, �0) isometrisch isomorph ist. Demnach ist dasfolgende Ergebnis vollstandig bewiesen.

SATZ 3. Ein uniform bewerteter Ternarkorper (N, v, �0) ist genau dann regular einbett-bar, wenn er den Bedingungen (E1), (E2) und (E3) genugt. In diesem Falle sind aquivalent:

1. (N, v, �0) ist maximal bewertet.2. (N, dv, �0) ist spharisch vollstandig.3. (N, v, �0) ist zu einem Hahn-Ternarkorper (H, vH, �0) auf � uber Nv mit einem

geeigneten verallgemeinerten Faktorsystem C isometrisch isomorph.

Um das entsprechende Ergebnis [12, Satz 3] fur diskret bewertete Ternarkorper aus diesemSatz folgern zu konnen, ist unter der Voraussetzung der jeweils miteinander ubereinstim-menden Bedingungen (E1) bzw. (Z1) und (E2) bzw. (Z2) die Eigenschaft (E3) aus (Z3)herzuleiten. Fur alle z0 ∈ Z definiert man dazu

ζ(V≡−z0

) =⟨ ⋃

z≥z0

Ku(z)

⟩,


wodurch ζ(V≡−z0

) eine normale und zu V≡−z0

komplementare Unterloop von (N, +) mit

Ku(z) ⊆ ζ(V≡−z0

) fur alle z ≥ z0 darstellt. Wahrend (i) trivial ist, konnen (a), (b), (c) und

(ii) mit ahnlichen Argumenten gezeigt werden, die in [12] zum Nachweis der Homomor-phieeigenschaft der Isometrie θ fuhren.

Die nun folgenden Uberlegungen sollen dazu dienen, das in Satz 3 enthaltene Ergebnis furdie schon in [12, Satze 4 bis 7] behandelten spezielleren Klassen von uniform bewertetenTernarkorpern zu formulieren. Es sei daran erinnert, daß die Regularitat der Einbettung θ :(N, v, �0) → (H, vH, �0) eines uniform bewerteten Ternarkorpers (N, v, �0) in den Hahn-Ternarkorper H = (H, K, C) bewirkt, daß (N, S, 0, 1) und (H, T , 0, 1) Reprasentantenderselben Klassen im Diagramm von [11] darstellen.

Mit einer analogen Betrachtungsweise wie bei [12, Satz 4] erkennt man, daß fur eine uniformbewertete Cartesische Gruppe (N, v, �0) mit abelscher Addition (E1), (E2) und (E3) zu denfolgenden Eigenschaften aquivalent sind:

(G1) N enthalt eine Reprasentanten–Cartesische–Gruppe K .(G2) Es existiert eine Familie (uγ )γ∈� von Elementen uγ ∈ N mit v(uγ ) = γ fur γ ∈ �

und uε = 1, so daß es fur alle α, β ∈ � zu m, x ∈ K ein µα,β(m, x) ∈ K mit

(m uα) (x uβ) = µα,β(m, x) uαβ

gibt und die Abbildung µα,β : K × K → K den Bedingungen

1. Fur allem, n, c ∈ K mitm = n existiert genau einx ∈ K mitµα,β(m, x)+αβc =µα,β(n, x).

2. Fur alle x, u, c ∈ K mit x = u existiert ein m ∈ K mit µα,β(m, x) +αβ c =µα,β(m, u).

genugt, wobei fur γ ∈ � die Addition +γ durch (k +γ l) uγ = k uγ + l uγ fur allek, l ∈ K erklart ist.

(G3) Fur alle σ ∈ ≡(N) existiert eine zu Vσ komplementare Untergruppe ζ(Vσ ) von(N, +), wobei Kuγ ⊆ ζ(Vσ ) fur alle γ ∈ �C

σ sowie

(a) m x = mζσ x + mσ x,

(b) m x = m xσ + m xζσ ,

fur alle m, x ∈ N erfullt ist; ferner gilt fur alle σ , τ ∈ ≡(N)

(i) ζ(Vτ ) ⊆ ζ(Vσ ) fur σ ⊆ τ ,(ii) ζ(Vσ ) ζ(Vτ ) ⊆ ζ(Vστ ).

Demnach ergibt sich als Folgerung aus Satz 3.

SATZ 4. Eine uniform bewertete Cartesische Gruppe (N, v, �0) mit abelscher Addition istgenau dann regular einbettbar, wenn sie den Bedingungen (G1), (G2) und (G3) genugt. Indiesem Falle sind aquivalent:


1. (N, v, �0) ist maximal bewertet.2. (N, dv, �0) ist spharisch vollstandig.3. (N, v, �0) ist zu einer Cartesischen Gruppe (H, vH, �0) formaler Potenzreihen auf

� uber Nv mit einem geeigneten verallgemeinerten Faktorsystem C isometrischisomorph.

Fur eine bewertete Divisionsalgebra (N, v, �0) laßt sich wiederum eine deutliche Verein-fachung in der Formulierung von (G2) und (G3) erzielen, wobei wir konkret die folgendenEigenschaften betrachten:

(Q1) N enthalt eine Reprasentantendivisionsalgebra K .(Q2) Es existiert eine Familie (uγ )γ∈� von Elementen uγ ∈ N mit v(uγ ) = γ fur

γ ∈ � und uε = 1, so daß fur alle α, β ∈ � und m, x ∈ K∗ die Beziehungen(m uα) (K uβ) = Kuαβ und (K uα) (x uβ) = Kuαβ erfullt sind.

(Q3) Fur alle σ ∈ ≡(N) existiert eine zu Vσ komplementare Untergruppe ζ(Vσ ) von(N, +) mit Kuγ ⊆ ζ(Vσ ) fur alle γ ∈ �C

σ ; ferner gilt fur alle σ , τ ∈ ≡(N)


Wahrend die Bedingungen (a) und (b) von (G3) aufgrund der Distributivitat stets erfulltsind, zeigt man die Aquivalenz von (G2) und (Q2) durch eine wortliche Ubertragung desBeweises von [12, Satz 5]. Damit erhalten wir

SATZ 5. Eine bewertete Divisionsalgebra (N, v, �0) ist genau dann regular einbettbar,wenn sie den Bedingungen (Q1), (Q2) und (Q3) genugt. In diesem Falle sind aquivalent:

1. (N, v, �0) ist maximal bewertet.2. (N, dv, �0) ist spharisch vollstandig.3. (N, v, �0) ist zu einer Hahn-Divisionsalgebra (H, vH, �0) auf � uber Nv mit einem

geeigneten verallgemeinerten Faktorsystem C isometrisch isomorph.

Liegt nun ein bewerteter Schiefkorper (N, v, �0) vor, so laßt sich im Falle einer nichtzykli-schen Wertegruppe � die Familie (uγ )γ∈� nicht als Potenzen eines einzigen Elementsu ∈ N konstruieren, so daß es nicht genugen kann, nur die Existenz eines geeignetenElements u ∈ N mit u K = K u zu verlangen. Vielmehr betrachten wir die folgendenEigenschaften:

(S1) N enthalt einen Reprasentantenschiefkorper K .(S2) Es existiert eine Familie (uγ )γ∈� von Elementen uγ ∈ N mit v(uγ ) = γ sowie

uγ K = Kuγ fur γ ∈ � und uε = 1, so daß uαuβ ∈ Kuαβ fur alle α, β ∈ � erfulltist.


(S3) Fur alle σ ∈ ≡(N) existiert eine zu Vσ komplementare Untergruppe ζ(Vσ ) von(N, +) mit Kuγ ⊆ ζ(Vσ ) fur alle γ ∈ �C

σ ; ferner gilt fur alle σ , τ ∈ ≡(N)


Aus der Beziehung (m uα) (Kuβ) = K uαβ von (Q2) erhalt man zum einen fur β = ε undm = 1

uαK = Kuα

und zum anderen fur m = 1 wegen 1 ∈ K

uα uβ ∈ Kuαβ,

womit sich (S2) ergibt. Umgekehrt folgt aus (S2) wegen

(Kuα) (K uβ) = K(uα K) uβ = (KK) (uα uβ) ⊆ K(Kuαβ) = Kuαβ

fur alle α, β ∈ � schon (Q2). Dies liefert den Beweis fur

SATZ 6. Ein bewerteter Schiefkorper (N, v, �0) ist genau dann regular einbettbar, wenner den Bedingungen (S1), (S2) und (S3) genugt. In diesem Falle sind aquivalent:

1. (N, v, �0) ist maximal bewertet.2. (N, dv, �0) ist spharisch vollstandig.3. (N, v, �0) ist zu einem Hahn-Schiefkorper (H, vH, �0) auf � uber Nv mit einem

geeigneten Faktorsystem C isometrisch isomorph.

Offensichtlich lassen sich die Bedingungen (S1), (S2) und (S3) fur einen bewerteten Korper(N, v, �0) als

(K1) N enthalt einen Reprasentantenkorper K .(K2) Es existiert eine Familie (uγ )γ∈� von Elementen uγ ∈ N mit v(uγ ) = γ fur γ ∈ �

und uε = 1, so daß uαuβ ∈ Kuαβ fur alle α, β ∈ � gilt.(K3) Fur alle σ ∈ ≡(N) existiert eine zu Vσ komplementare Untergruppe ζ(Vσ ) von

(N, +) mit Kuγ ⊆ ζ(Vσ ) fur alle γ ∈ �Cσ ; ferner gilt fur alle σ , τ ∈ ≡(N)


Formulieren, und wir erhalten als unmittelbare Konsequenz aus dem vorangehendenErgebnis


SATZ 7. Ein bewerteter Korper (N, v, �0) ist genau dann regular einbettbar, wenn er denBedingungen (K1), (K2) und (K3) genugt. In diesem Falle sind aquivalent:

1. (N, v, �0) ist maximal bewertet.2. (N, dv, �0) ist spharisch vollstandig.3. (N, v, �0) ist zu einem Hahn-Korper (H, vH, �0) auf � uber Nv mit einem geeigneten

Faktorsystem C isometrisch isomorph.

Die Auswirkungen der eben erzielten Ergebnisse wollen wir uns an Beispielen klarma-chen, wobei wir uns im folgenden, um allzu gravierende algebraische Schwierigkeiten zuvermeiden, auf den Fall bewerteter Schiefkorper konzentrieren.

Betrachten wir zunachst einen bewerteten Schiefkorper (N, v, �0) mit der Gruppe R>0 derpositiven reellen Zahlen als Wertegruppe �, so ist jeder Rumpf � ⊆ � mit ∅ = � = � vonder Gestalt �≤γ oder �<γ fur ein γ ∈ �, weswegen ≡(N) neben der Gleichheitsrelation =und der trivialen Aquivalenzrelation tr mit x tr y fur alle x, y ∈ N nur Elemente der Form≡γ und ≡−

γ fur γ ∈ � enthalt. Setzen wir die regulare Einbettbarkeit und damit gemaßSatz 6 die Eigenschaften (S1), (S2) und (S3) voraus, so ergibt sich fur Z = ζ(V≡ε ) zumeinen wegen ≡ε · ≡−

ε = ≡−ε · ≡ε = ≡ε · ≡ε = ≡ε und 1 ∈ K

Z ⊆ ZK ⊆ ζ(V≡ε ) ζ(V≡−ε) ⊆ ζ(V≡ε ) = Z

und analog KZ = Z sowie

ZZ = ζ(V≡ε ) ζ(V≡ε ) ⊆ ζ(V≡ε ) = Z

und zum anderen fur alle γ ∈ � wegen ≡ε · ≡−γ = ≡γ = ≡−

γ · ≡ε

Zuγ ⊆ ζ(V≡ε ) ζ(V≡−γ) ⊆ ζ(V≡γ ),

wobei wegen

N = Nuγ = (V≡ε ⊕ Z)uγ = V≡εuγ ⊕ Zuγ = V≡γ ⊕ Zuγ

schon ζ(V≡γ ) = Zuγ sowie analog ζ(V≡γ ) = uγ Z folgt. Demnach besitzt (N, v, �0) dieEigenschaft

(S3′) Es existiert ein zu V≡ε komplementarer K-Untervektorraum Z von N mit Z Z ⊆ Z

und uγ Z = Zuγ fur alle γ ∈ � sowie uγ ∈ Z fur γ > ε.

In unserem Beispiel mit � = R>0 gelingt es auch, (S3) unter der Voraussetzung von (S1)und (S2) aus (S3′) herzuleiten. Fur γ ∈ � definiert man dazu

ζ(V≡γ ) = Zuγ und ζ(V≡−γ) = Zuγ + Kuγ ,


so daß ζ(V≡γ ) bzw. ζ(V≡−γ) offenbar eine zu V≡γ bzw. V≡−

γkomplementare Untergruppe

von (N, +) darstellt. Ferner gibt es fur alle δ > γ wegen uδ γ −1uγ ∈ Kuδ ein k ∈ K∗ mit

uδ γ −1uγ = k uδ , woraus man wegen δ γ −1 > ε

Kuδ = K(k uδ) = Kuδ γ −1uγ ⊆ Zuγ

sowieZuδ = ZKuδ ⊆ ZZuγ ⊆ Zuγ

erhalt. Damit sind nur noch (i) und (ii) zu zeigen; dazu seien σ , τ ∈ ≡(N), wobei wir ohneBeschrankung der Allgemeinheit auf die Betrachtung der Extremfalle = und tr verzichtenund damit von σ ∈ {≡γ , ≡−

γ } und τ ∈ {≡δ, ≡−δ } fur γ , δ ∈ � ausgehen konnen. In (i) folgt

aus σ�τ entweder γ = δ mit σ = ≡−γ und τ = ≡γ und damit

ζ(Vτ ) = Zuγ ⊆ Zuγ + Kuγ = ζ(Vσ )

oder aber γ < δ mitζ(Vτ ) ⊆ Zuδ + Kuδ ⊆ Zuγ ⊆ ζ(Vσ ),

wahrend sich in (ii) fur σ = ≡γ auf jeden Fall σ τ = ≡γ δ mit

ζ(Vσ ) ζ(Vτ ) ⊆ Zuγ (Zuδ + Kuδ) = ZZuγ uδ + ZKuγ uδ ⊆ ZK uγδ = ζ(Vστ )

ergibt und man fur σ = ≡−γ im Falle τ = ≡δ in entsprechender Weise σ τ = ≡γ δ mit

ζ(Vσ ) ζ(Vτ ) = Zuγδ = ζ(Vστ ) sowie im Falle τ = ≡−δ mit σ τ = ≡−

γ δ

ζ(Vσ ) ζ(Vτ ) = (Zuγ + Kuγ ) (Zuδ + Kuδ)

= Zuγ (Zuδ + Kuδ) + Kuγ Zuδ + Kuγ Kuδ

⊆ Zuγδ + Zuγδ + Kuγδ = Zuγδ + Kuγδ = ζ(Vστ )

erhalt. Aus Satz 6 schließen wir demnach auf

FOLGERUNG 8. Ein bewerteter Schiefkorper (N, v, �0) mit � = R>0 ist genau dannregular einbettbar, wenn er den Bedingungen (S1), (S2) und (S3 ′) genugt. In diesem Fallesind aquivalent:



Der Beweis basiert in starkem Maße auf der Tatsache, daß die betrachtete Wertegruppe� = R>0 bezuglich ihrer Anordnung vollstandig ist, jede nach oben beschrankte Teilmenge


also ein Supremum besitzt und somit alle nichttrivialen mit dv vertraglichen Aquivalenz-relationen σ ∈ ≡(N) von der Gestalt ≡γ oder ≡−

γ fur ein γ ∈ � sind; dies eroffnet uns dieMoglichkeit, die Familie (ζ(Vσ ))σ∈≡(N) von (S3) mit Hilfe des ReprasentantenschiefkorpersK von (S1), der Familie (uγ )γ∈� von (S2) und dem zu V≡ε komplementaren K-VektorraumZ von (S3′) zu konstruieren. Eine ahnliche, sogar noch weitergehende Vereinfachunggelingt, wenn ein bewerteter Schiefkorper (N, v, �0) mit der nichtarchimedischen (unddamit sicherlich nicht vollstandigen) Wertegruppe � = Z ⊗lex Z vorliegt; wir wollen dabeivereinbaren, daß fur die Anordnung von Z ⊗lex Z die zweite Komponente den Ausschlaggibt, fur alle z1, z′

1, z2, z′2 ∈ Z also

(z1, z2) < (z′1, z

′2) ⇐⇒ (z2 < z′

2) oder (z2 = z′2 und z1 < z′

1)

erfullt ist. Offensichtlich gilt fur jeden Rumpf � ⊆ � mit ∅ = � = � entweder

� = {(z1, z2) ∈ Z ⊗lex Z | z2 ≤ z∗2}

oder� = {(z1, z2) ∈ Z ⊗lex Z | (z1, z2) ≤ (z∗

1, z∗2)}

fur z∗1, z∗

2 ∈ Z; die entsprechenden mit dv vertraglichen Aquivalenzrelationen werden wirmit ≡z∗

2bzw. ≡(z∗

1,z∗2) bezeichnen.

Wir betrachten unter der Voraussetzung von (S1) die Eigenschaft (S2), die die Existenz vonElementen u1 = u(1,0) und u2 = u(0,1) mit v(u1) = (1, 0) und v(u2) = (0, 1) zur Folgehat, fur die wegen u1 u2 ∈ Ku(1,1) und u2 u1 ∈ Ku(1,1) ferner Ku1 u2 = Ku2 u1 gilt.Gemaß (S3) erhalten wir fur Z = ζ(V≡−1) wegen ≡−1 + ≡(−1,0) = ≡(−1,0) + ≡−1 =≡−1 + ≡−1 = ≡−1 und 1 ∈ K

Z ⊆ ZK ⊆ ζ(V≡−1) ζ(V≡(−1,0)) ⊆ ζ(V≡−1) = Z

und analog KZ = Z sowie

ZZ = ζ(V≡−1) ζ(V≡−1) ⊆ ζ(V≡−1) = Z.

Ferner gilt fur alle (z1, z2) ∈ Z ⊗lex Z wegen≡−1+≡(z1−1,z2) = ≡z2−1 = ≡(z1−1,z2)+≡−1

zunachstZu(z1,z2) ⊆ ζ(V≡−1) ζ(V≡(z1−1,z2)

) ⊆ ζ(V≡z2−1)

und dann wegen N = V≡z2−1 ⊕ Zu(z1,z2) schon ζ(V≡z2−1) = Zu(z1,z2) sowie entsprechend

ζ(V≡z2−1) = u(z1,z2)Z; fur alle x ∈ N gibt es namlich x′ ∈ V≡−1 und y ∈ Z mit x/u(z1,z2) =x′ + y, woraus x = x′ u(z1,z2) + y u(z1,z2) mit v(x′ u(z1,z2)) = v(x′) + (z1, z2) ∈ �≡z2−1

folgt, und fur x ∈ V≡z2−1 ∩ Zu(z1,z2) gibt es ein y ∈ Z mit x = y u(z1,z2), wobei sichaufgrund von �≡z2−1 � v(x) = v(y) + (z1, z2) dann v(y) ∈ �≡−1 und y = 0 ergibt. Das


letzte Ergebnis verwenden wir speziell fur (z1, z2) ∈ {(1, 0), (0, 1)} und erhalten somitinsgesamt die folgenden Eigenschaften:

(S2∗) Es existieren Elemente u1, u2 ∈ N mit v(u1) = (1, 0) und v(u2) = (0, 1) sowieu1K = Ku1, u2K = Ku2 und Ku1 u2 = Ku2 u1.

(S3∗) (S3∗) Es existiert ein zu V≡−1 komplementarer K-Untervektorraum Z von N mitZZ ⊆ Z, wobei uz

1, u2 ∈ Z fur alle z ∈ Z sowie u1Z = Zu1 und u2Z = Zu2 gilt.

Im folgenden wollen wir nachweisen, daß (S1), (S2∗) und (S3∗) auch hinreichend fur (S2)und (S3) sind. Zunachst definieren wir fur alle (z1, z2) ∈ Z ⊗lex Z

u(z1,z2) = uz11 u

z22 ,

wodurch man v(u(z1,z2)) = z1 v(u1) + z2 v(u2) = (z1, z2) und

u(z1,z2)K = uz11 u

z22 K = u

z11 Ku

z22 = Ku

z11 u

z22 = Ku(z1,z2)

mit u(0,0) = u01 u0

2 = 1 erhalt; ferner gilt fur alle (z1, z2), (z′1, z

′2) ∈ Z ⊗lex Z

u(z1,z2) u(z′1,z

′2) = u

z11 u

z22 u

z′1

1 uz′

22 ∈ u

z11 Ku

z22 u

z′1

1 uz′

22 ⊆ Ku

z11 u

z′1

1 uz22 u

z′2

2

= Kuz1+z′

11 u

z2+z′2

2 = Ku(z1+z′1,z2+z′

2) = Ku(z1,z2)+(z′1,z

′2).

Fur alle z∗1, z∗

2 ∈ Z setzen wir nun

ζ(V≡z∗2) = Zu

z∗2+1

2

sowieζ(V≡(z∗1 ,z∗2 )

) = Zuz∗

2+12 +

∑z>z∗

1

Kuz1u

z∗2

2 ,

wobei∑

z>z∗1Kuz

1uz∗

22 die von

⋃z>z∗

1Kuz

1uz∗

22 erzeugte Untergruppe von (N, +) bezeichne,

und sehen, daß ζ(V≡z∗2) und ζ(V≡(z∗1 ,z∗2 )

) Untergruppen von (N, +) sind. Fur alle x ∈ N

existieren x′ ∈ V≡−1 und y ∈ Z mit x/uz∗

2+12 = x′ + y und damit

x = x′ uz∗2+1

2 + y uz∗

2+12 ,

wobei man mit v(x′) = (z1, z2) und z2 ≤ −1 aufgrund von v(x′ uz∗2+1

2 ) = v(x′) +(0, z∗

2 + 1) ∈ �≡z∗2stets

x ∈ V≡z∗2+ ζ(V≡z∗2

)

und im Falle (z1, z2) ≤ (z∗1, −1) wegen v(x′ uz∗

2+12 ) ≤ (z∗

1, z∗2) auch

x ∈ V≡(z∗1 ,z∗2 )+ ζ(V≡z∗2

) ⊆ V≡(z∗1 ,z∗2 )+ ζ(V≡(z∗1 ,z∗2 )

)


erhalt; im Falle (z1, z2) > (z∗1, −1) gilt z2 = −1 und z1 > z∗

1, und man findet fur alle

z1 ≥ z > z∗1 induktiv kz ∈ K mit v(x′′) ≤ (z∗

1, −1) und damit v(x′′ uz∗2+1

2 ) ≤ (z∗1, z

∗2) fur

x′′ = x′ − ∑z1z=z∗

1+1 kz uz1 u−1

2 , wodurch sich

x =x′′ +

z1∑z=z∗

1+1

kz uz1 u−1

2

uz∗

2+12 + y u

z∗2+1

2

= x′′ uz∗2+1

2 +y u

z∗2+1

2 +z1∑

z=z∗1+1

kz uz1 u

z∗2

2

∈ V≡(z∗1 ,z∗2 )+ ζ(V≡(z∗1 ,z∗2 )

)

ergibt. Fur x ∈ V≡z∗2∩ ζ(V≡z∗2

) gibt es ein y ∈ Z mit x = y uz∗

2+12 , so daß man wegen

�≡z∗2� v(x) = v(y) + (0, z∗

2 + 1) dann v(y) ∈ �≡−1 und damit y = 0 sowie x = 0

erhalt; fur x ∈ V≡(z∗1 ,z∗2 )∩ ζ(V≡(z∗1 ,z∗2 )

) existieren y ∈ Z und kz∗1+1, . . . , kz1 ∈ K mit

x = y uz∗

2+12 + ∑z1

z=z∗1+1 kz uz

1 uz∗

22 , wobei wegen

y uz∗

2+12 = x −

z1∑z=z∗

1+1

kz uz1 u

z∗2

2 ∈ V≡z∗2∩ ζ(V≡z∗2

) = {0}

sofort x = ∑z1z=z∗

1+1 kz uz1 u

z∗2

2 und damit x = 0 folgt. Damit stellt ζ(V≡z∗2) bzw. ζ(V≡(z∗1 ,z∗2 )

)

eine zu V≡z∗2bzw. V≡(z∗1 ,z∗2 )

komplementare Untergruppe von (N, +) dar, wobei fur alle

(z1, z2) ∈ Z ⊗lex Z zum einen fur z2 > z∗2

u(z1,z2) = uz11 u

z22 = u

z11 u

z2−z∗2−1

2 uz∗2+1 ∈ Zu

z∗2+1

2

und zum anderen fur z2 = z∗2 und z1 > z∗

1

u(z1,z2) = uz11 u

z22 ∈

∑z>z∗

1

Kuz uz∗

22

gilt. Zum Nachweis von (i) und (ii) seien σ , τ ∈ ≡(N), wobei wir ohne Beschrankung derAllgemeinheit σ ∈ {≡z2 , ≡(z1,z2)} und τ ∈ {≡z′

2, ≡(z′

1,z′2)

} annehmen konnen. In (i) folgtaus σ�τ entweder z2 < z′

2 mit

ζ(Vτ ) ⊆ Zuz′

2+12 +

∑z>z′

1

Kuz1 u

z′2

2 = Zuz′

2−z2

2 uz2+12

+∑z>z′

1

Kuz1 u

z′2−z2−1

2 uz2+12 ⊆ Zu

z2+12 ⊆ ζ(Vσ )


oder z2 = z′2, wobei dann σ = ≡(z1,z2) und τ = ≡(z′

1,z′2)

mit z1 < z′1 gilt, mit

ζ(Vτ ) = Zuz′

2+12 +

∑z>z′

1

Kuz1 u

z′2

2 ⊆ Zuz2+12 +

∑z>z1

Kuz1 u

z22 = ζ(Vσ );

in (ii) ergibt sich fur σ = ≡z2 und τ = ≡z′2

mit σ + τ = ≡z2+z′2+1 in

ζ(Vσ ) ζ(Vτ ) = Zuz2+12 Zu

z′2+1

2 = Zuz2+z′

2+22 = ζ(Vσ+τ ),

fur σ = ≡z2 und τ = ≡(z′1,z

′2)

mit σ + τ = ≡z2+z′2

in

ζ(Vσ ) ζ(Vτ ) = Zuz2+12

Zuz′

2+12 +

∑z>z′

1

Kuz1 u

z′2

2

= Zu

z2+12 Zu

z′2+1

2 +∑z>z′

1

Zuz2+12 Kuz

1 uz′

22

⊆ Zu2 uz2+z′

2+12 + Zu

z2+z′2+1

2 ⊆ Zuz2+z′

2+12 = ζ(Vσ+τ )

und analog fur σ = ≡(z1,z2) und τ = ≡z′2

mit σ + τ = ≡z2+z′2

in

ζ(Vσ ) ζ(Vτ ) = Zuz2+z′

2+12 = ζ(Vσ+τ )

sowie fur σ = ≡(z1,z2) und τ = ≡(z′1,z

′2)

mit σ + τ = ≡(z1+z′1+1,z2+z′

2)in

ζ(Vσ ) ζ(Vτ ) =(

Zuz2+12 +

∑z>z1

Kuz1 u

z22

) Zuz′

2+12 +

∑z′>z′

1

Kuz′1 u

z′2

2

= Zu

z2+12

Zuz′

2+12 +

∑z′>z′

1

Kuz′1 u

z′2

2

+

(∑z>z1

Kuz1 u

z22

)Zu

z′2+1

2 +(∑

z>z1

Kuz1 u

z22

) ∑z′>z′

1

Kuz′1 u

z′2

2

⊆ Zu

z2+z′2+1

2 + Zuz2+z′

2+12 +

∑z>z1

∑z′>z′

1

Kuz1 u

z22 uz′

1 uz′

22

= Zuz2+z′

2+12 +

∑z>z1+z′

1+1

Kuz1 u

z2+z′2

2 = ζ(Vσ+τ )

jeweils das Gewunschte. Wir gewinnen somit aus Satz 6


FOLGERUNG 9. Ein bewerteter Schiefkorper (N, v, �0) mit �0 = Z ⊗lex Z ist genaudann regular einbettbar, wenn er den Bedingungen (S1), (S2∗) und (S3∗) genugt. In diesemFalle sind aquivalent:



Im folgenden wollen wir noch [12, Satz 6] und Folgerung 9 durch ein konkretes Beispielbeleuchten, wofur wir uns im wesentlichen auf ein von Schroder in [13] vorgestelltes Ver-fahren zur Konstruktion von angeordneten Schiefkorpern stutzen werden. Dazu betrachtenwir den Hahn-Korper L = Q((t1)) auf Z uber dem Korper Q der rationalen Zahlen mit demtrivialen Faktorsystem und seine naturliche Bewertung vL. Fur alle f = ∑

z∈Z fz tz1 ∈ L istdurch

D(f) : Z � z �→ (z + 1)fz+1 ∈ Q

wegen Tr(D(f)) ⊆ Tr(f) − 1 ein Element D(f) ∈ L erklart, so daß durch

D : L � f �→ D(f) ∈ L

eine Abbildung wohldefiniert wird, die fur alle f = ∑z∈Z fzt

z1 , g = ∑

z∈Z gztz1 ∈ L und

z ∈ Z sowohl

D(f + g)(z) = (z + 1) (f + g)(z + 1)

= (z + 1) fz+1 + (z + 1) gz+1 = (D(f) + D(g))(z)

als auch

(D(f) g + f D(g))(z) = (D(f) g)(z) + (f D(g))(z)

=∑

a+b=z

(a + 1) fa+1 gb +∑

a+b=z

fa (b + 1) gb+1

=∑

a+b=z+1

a fa gb +∑

a+b=z+1

b fa gb

= (z + 1)∑

a+b=z+1

fa gb = D(f g)(z)

genugt und somit eine Derivation auf L darstellt. Die Beweisfuhrung fur [13, Satz 3.11]zeigt, daß (ϕz

n)(z,n)∈Z×N0 mit

ϕzn = (−1)n

(−z

n

)Dn


fur alle z ∈ Z und n ∈ N0 eine (nichttriviale) Funktionenschar im Sinne von [13, Definition3.5] bildet. Auf der Menge H∗ aller Abbildungen f∗ : Z → L mit wohlgeordnetem TragerTr(f∗) = {z ∈ Z | f∗(z) = 0} wird nun durch

(f∗ + g∗)(z) = f∗(z) + g∗(z)

und(f∗ · g∗)(z) =

∑a+b+n=z, n≥0

f∗(a) ϕan(g∗(b))

fur alle f∗, g∗ ∈ H∗ und z ∈ Z Addition und Multiplikation definiert, so daß (H∗, +, ·) einenSchiefkorper bildet: mit den Argumenten fur den Beweis von [13, Theorem 3.7] erkenntman namlich, daß (H∗, +, ·) ein Ring ist und daruber hinaus fur alle f∗, g∗ ∈ H∗ zum einen

v∗(f∗ g∗) = v∗(f∗) + v∗(g∗)

und zum anderen(f∗ g∗)(v∗(f∗ g∗)) = f∗(v∗(f∗)) g∗(v∗(g∗))

gilt, wobei

v∗ : H∗ � f∗ �→{

MinTr(f∗) fur f∗ = 0

∞ fur f∗ = 0

}∈ Z ∪ {∞}

mit z < ∞ und z + ∞ = ∞ + z = ∞ + ∞ = ∞ fur alle z ∈ Z sei; damit stellt (H∗, +, ·)gemaß [13, Satz 2.4] schon einen Schiefkorper dar. Wir ubertragen diesebeiden Verknupfungen auf den zu der Familie (L)z∈Z und dem Element (0)z∈Z gebilde-ten Hahnraum (H, dH, Z−∞) aller Abbildungen f : L → Z mit dual wohlgeordnetemTrager vermoge der Bijektion

σ : H � f �→ (Z � z �→ f(−z) ∈ L) ∈ H∗

und erhalten so fur alle f, g ∈ H und z ∈ Z fur die Summe

(f + g)(z) = σ−1(σ (f) + σ(g))(z) = (σ (f) + σ(g))(−z)

= σ(f)(−z) + σ(g)(−z) = f(z) + g(z)

sowie fur das Produkt

(f · g)(z) = σ−1(σ (f) σ (g))(z) = (σ (f) σ (g))(−z)

=∑

a+b+n=−z, n≥0

σ(f)(a) ϕan(σ (g)(b))

=∑

a+b+n=−z, n≥0

f(−a) ϕan(g(−b))

=∑

−a−b+n=−z, n≥0

f(a) ϕ−an (g(b))

=∑

a+b−n=z, n≥0

f(a) (−1)n(

a

n

)Dn(g(b));


zudem stellt die Abbildung

vH : H � f �→ dH(f, 0) ∈ Z−∞

eine Bewertung des Schiefkorpers (H, +, ·) dar, wobei H bezuglich der induzierten Ultra-metrik dH spharisch vollstandig ist. Wegen

(k t02 ) + (l t0

2 ) = (k + l) t02

und(k t0

2 ) (l t02 ) = (k l) t0

2

fur alle k, l ∈ L besitzt (H, vH, Z−∞) einen zu L isomorphen Restklassenschiefkorperund umfaßt in L t0

2 einen Reprasentantenschiefkorper, ist aber trotzdem zu keinemHahn-Schiefkorper auf Z uber L mit einem geeigneten Faktorsystem C isometrisch iso-morph. Ansonsten enthielte H gemaß [12, Satz 6] einen Reprasentantenschiefkorper K

und ein Element u mit vH(u) = 1 und uK = Ku. Damit existierte ein w ∈ K mitdH(w, (1 t1

1 ) t02 ) < 0, so daß man fur k ∈ K mit uw = k u wegen

(uw)(1) =∑

a+b−n=1, n≥0

u(a) (−1)n(

a

n

)Dn(w(b)) = u(1) w(0)

und

(w u)(1) =∑

a+b−n=1, n≥0

w(a) (−1)n(

a

n

)Dn(u(b)) = w(0) u(1)

zunachst dH(w, k) = dH(w u, k u) − 1 = dH(w u, uw) − 1 < 0 und damit w = k unduw = w u erhielte, woraus wegen

(uw)(0) =∑

a+b−n=0, n≥0

u(a) (−1)n(

a

n

)Dn(w(b))

= u(1) w(−1) + u(0) w(0) − u(1) D(w(0))

und

(w u)(0) =∑

a+b−n=0, n≥0

w(a) (−1)n(

a

n

)Dn(u(b)) = w(0) u(0) + w(−1) u(1)

in 0 = u(1) D(w(0)) = u(1) (1 t01 ) = 0 ein Widerspruch folgte.

Nun betrachten wir die Abbildung

v : H � f �→{(vL(f(vH(f))), vH(f)) fur f = 0

−∞ fur f = 0

}∈ Z ⊗lex Z ∪ {−∞}


mit (z1, z2) > −∞ und (z1, z2) + −∞ = −∞ + (z1, z2) = −∞ + −∞ = −∞ fur alle(z1, z2) ∈ Z ⊗lex Z, wobei offensichtlich v(f) = −∞ genau im Falle f = 0 gilt. Fur allef, g ∈ H\{0} gilt

v(f g) = (vL(f g(vH(f g))), vH(f g)) = (vL(f(vH(f)) g(vH(g))), vH(f g))

= (vL(f(vH(f))) + vL(g(vH(g))), vH(f) + vH(g))

= (vL(f(vH(f))), vH(f)) + (vL(g(vH(g))), vH(g)) = v(f) + v(g)

sowiev(f − g) ≤ Max{v(f), v(g)},

da aus v(f − g) > Max{v(f), v(g)} wegen vH(f − g) ≤ Max{vH(f), vH(g)} sofort

vH(f − g) = Max{vH(f), vH(g)}und

vL((f − g)(vH(f − g))) > Max{vL(f(vH(f))), vL(g(vH(g)))}folgte, wobei wir von vH(f) ≤ vH(g) ausgehen durften und somit fur vH(f) = vH(g) =vH(f − g) in

vL((f − g)(vH(f − g))) ≤ Max{vL(f(vH(f − g))), vL(g(vH(f − g)))}= Max{vL(f(vH(f))), vL(g(vH(g)))}

sowie fur vH(f) < vH(g) = vH(f − g) wegen vL(f(vH(f − g))) = vL(0) = −∞ in

vL((f − g)(vH(f − g))) ≤ Max{vL(f(vH(f − g))), vL(g(vH(f − g)))}= vL(g(vH(g))) ≤ Max{vL(f(vH(f))), vL(g(vH(g)))}

einen Widerspruch erhielten. Damit stellt (H, v, �0) einen bewerteten Schiefkorper mitWertegruppe � = Z ⊗lex Z dar, wobei H wegen

(p t01 ) t0

2 + (q t01 ) t0

2 = (p t01 + q t0

1 ) t02 = ((p + q) t0

1 ) t02

und((p t0

1 ) t02 ) ((q t0

1 ) t02 ) = ((p t0

1 ) (q t01 )) t0

2 = ((p q) t01 ) t0

2

fur alle p, q ∈ Q einen zu Q isomorphen Restklassenschiefkorper besitzt, wobei K =(Q t0

1 ) t02 den einzigen Reprasentantenschiefkorper von (H, v, �0) darstellt. Der induzierte

ultrametrische Raum (H, dv, �0) ist offensichtlich zu dem zu der Familie (Q)(z1,z2)∈Z⊕lexZ

und dem Element (0)(z1,z2)∈Z⊕lexZ gebildeten Hahnraum (H, dH, �0) vermoge

ı : H � f �→ (Z ⊗lex Z � (z1, z2) �→ f(z2)(z1) ∈ Q) ∈ H


isometrisch isomorph und damit spharisch vollstandig. Wiederum laßt sich die Annahme,(H, v, �0) sei zu einem Hahn-Schiefkorper auf Z ⊕lex Z uber Q mit einem geeignetenFaktorsystem isometrisch isomorph, zum Widerspruch fuhren. Gemaß Folgerung 9 ziehtdiese namlich die Existenz von Elementen u1, u2 ∈ H mit v(u1) = (1, 0) und v(u2) = (0, 1)

sowie u1 u2 ∈ Ku2 u1 nach sich; fur q ∈ Q mit u1 u2 = ((q t01 ) t0

2 ) u2 u1 erhalt man wegen

(u1 u2)(1) =∑

a+b−n=1, n≥0

u1(a) (−1)n(

a

n

)Dn(u2(b)) = u1(0) u2(1)

sowie

(u2 u1)(1) =∑

a+b−n=1, n≥0

u2(a) (−1)n(

a

n

)Dn(u1(b)) = u2(1) u1(0)

und

(((q t01 ) t0

2 ) u2 u1)(1) =∑

a+b−n=1, n≥0

((q t01 ) t0

2 )(a) (−1)n(

a

n

)Dn((u2 u1)(b))

= ((q t01 ) t0

2 )(0) (u2 u1)(1) = (q t01 ) u2(1) u1(0)

sofort q = 1 und damit u1 u2 = u2 u1, woraus mit

(u1 u2)(0) =∑

a+b−n=0, n≥0

u1(a) (−1)n(

a

n

)Dn(u2(b)) = u1(0) u2(0) + u1(−1) u2(1)

und

(u2 u1)(0) =∑

a+b−n=0, n≥0

u2(a) (−1)n(

a

n

)Dn(u1(b))

= u2(1) u1(−1) + u2(0) u1(0) − u2(1) D(u1(0))

in u2(1) D(u1(0)) = 0 ein Widerspruch zu vH(u2) = 1 und vL(u1(0)) = 1 folgt. Zusam-menfassend erhalten wir

SATZ 10. Es existiert ein spharisch vollstandiger bewerteter Schiefkorper mit abelscherWertegruppe, der zwar einen Unterkorper der Charakteristik 0 als Reprasentanten-schiefkorper enthalt, selbst aber (bis auf isometrische Isomorphie) keinen Hahn-Schiefkorperauf seiner Wertegruppe uber seinem Restklassenschiefkorper darstellt; dabei kann sogarentweder Z als Wertegruppe oder Q als Restklassenschiefkorper gewahlt werden.

Es sei der Vollstandigkeit halber erwahnt, daß naturlich kein Beispiel eines spharischvollstandigen bewerteten Schiefkorpers gefunden werden kann, der sowohl die Werte-gruppe Z als auch den Restklassenschiefkorper Q besitzt und nicht zu H(Z, Q, C) mit einem


geeigneten Faktorsystem C isometrisch isomorph ist. Jeder diskret bewertete Schiefkorper(N, v, Z−∞) mit Restklassenschiefkorper Q ist offensichtlich von der Charakteristik 0 undenthalt somit einen (eindeutig bestimmten) Reprasentantenschiefkorper K in seinem Zent-rum, so daß fur alle u ∈ N die Bedingung uK = Ku erfullt ist; gemaß [12, Satz 6] ist(N, v, Z−∞) in (H, vH, Z−∞) mit H = H(Z, Q, C) fur ein geeignetes Faktorsystem C

regular einbettbar und im Falle seiner spharischen Vollstandigkeit sogar zu (H, vH, Z−∞)

isometrisch isomorph.

References

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Inst. der Univ. Munster, 2. Serie, Heft 39, 1986.

Erwin SchornerMathematisches Institut der Universitat MunchenTheresienstraße 39D–80333 Munchene-mail: [email protected]

Received 6 September 2001.

Documents

Zur Einbettung uniform bewerteter Ternärkörper in Hahn-Ternärkörper