Arch. Math., Vol. 50, 34-41 (1988) 0003-889X/88/500]-0034 $ 3.10/0 �9 1988 Birkh~user Verlag, Basel

Zur Frobeniusoperation auf der Homologie einiger arithmetischer Gruppen

Von

ULRICH STUHLER

Einleitung. Ist F eine Untergruppe yon endlichem Index der allgemeinen linearen Gruppe GLz(IFq[t]) bzgl. des Polynomringes in einer Unbestimmten fiber dem end- lichen K6rper Fq aus q Elementen, so induziert der Frobeniusendomorphismus (9 : = Fq [t] -+ (9 = lFq [t], x ~ x p, h/iufig, z. B. im Fall, dab F eine Kongruenzuntergruppe ist, einen Gruppenendomorphismus

Frob: F ---* F

, , ~ c p ,t U

Da es nun nicht schwer ist, die Dimension der ersten Homologiegruppe H1 (F; Q) = F "b | II~ zu berechnen (siehe [4] bzw. [6]), so stellt sich die naheliegende Frage, welches die vom Frobeniusendomorphismus induzierte Abbildung

(Frob),: H 1 (F, Q) ~ H t (F, ~ ) ist.

Wir zeigen im Fall der Kongruenzuntergruppen

F (a) = {7 ~ GL2 ((9) I 7 - 1 mod a},

a c ((9) ein Ideal:

A) Alle Eigenwerte yon (Frob), sind Einheitswurzeln oder Null. Weiter ist (Frob), halbeinfach, wenn in der Primfaktorzerlegung a = r][ ~,%,(") gilt: n~ (a) = I ffir atle auftre- tenden ~. Dann ist mit n (a) = kgV {deg~, (g)} (Frob)~ Q) = Id.

B) Wir berechnen die Spur

Spur ((Frob), } H , (F;Q)).

Noch einige Bemerkungen:

i) Es ist nicht schwer, die folgenden Oberlegungen auf den Fall der GL,~ ((9), d > 2, und ihrer Kongruenzuntergruppen zu fibertragen.

Vol. 50, 1 9 8 8 Frobeniusoperation nach arithmetischen Gruppen 35

ii) Es d/.irfte etwas komplizierter, aber durchffihrbar sein, den Fall eines Funktionen- k6rpers vom Geschlecht g = I zu behandeln, also

F c G L 2 ((9) mit (9 = IFq [x, y] / ( y2 = x 3 + a x + b)

(falls char 4: 2, 3).

iii) Der hier eingeschlagene Weg 1/iBt sich sicher nicht im Fall der FunktionenkSrper vom Geschlecht g > 2 anwenden. Man weiB leider nicht gut darfiber Bescheid, wie sich stabile Vektorbfindel bei Anwendung des Frobeniusendomorphismus verhalten, z.B. warm sie stabil bleiben bzw. instabil werden ([2], [3]). In [6] war zu der eingangs gestellten Frage eine Vermutung aufgestellt worden. Berficksichtigt man obiges Resultat, so scheint mir diese aber jetzt sehr unwahrscheinlich. Vielmehr kann man die Dinge vielleicht folgendermaBen sehen: Nach Drinfel'd [1] entsprechen den Eigenvektoren in H1 (F; ~) bzgl. der Operationen der Hecke-Algebra gewisse abelsche Variet/iten, die als Isogenie- faktoren der Jacobischen Mannigfaltigkeit der zu F geh6renden Drinfel'dschen Modul- kurve auftreten. Ist ein solcher Faktor A etwa fiber Fq (X) definiert, so wfire der entspre- chende Frobenius pull-back (Frob(q))*(A) isogen zu A, so dab sich die gleichen Zetafunktionen ergeben wiirden. Dann sollten auch die zugeh6rigen Mellintransformier- ten gleich sein. W/ire die Situation funktoriell vertrfiglich, so erg/ibe sich, daB eine geeig- nete Potenz (Frob). als Identit/it auf H 1 (F, iI~) operieren mfigte, was unserem Ergebnis fiir den Fall g = 0 entsprechen w/irde. Es bleibt zu untersuchen, ob man dies zu einem Beweis ausbauen kann.

1. Es bezeichne ~,1 die projektive Gerade fiber ~ , (9o~ den lokalen Ring im Punkt oo ~ 1P l, es sei (9 = ~ [t] = F (lPlkoe; (9p1). Die Gruppe G L 2 ((9) sowie ihre Untergruppen operieren dann, wie ausffihrlicher z. B. in [5] oder [4] erlfiutert ist, auf dem Baum To~ der Ahnlichkeitsklassen yon (9~-Gittern im Vektorraum F~ (@2

Jeder Gitterklasse x = (A), die einen Vertex in T~ bestimmt, ist ein Vektorbfindel E (x) zugeordnet durch die Bedingungen

a) FOPI\{oo};E(x)) = (9 2 und b) ffir die Halme in o0 bzw. im generischen Punkt q kommutiert das Diagramm

/~co -'1" gq

A ~ ~ ( t ) ~.

Da T~ zusammenziehbarer simplizialer Komplex ist, ist der Kettenkomplex

o --, c~ ( r~; Q) ---, C o ( % ; Q) --, 0

eine Aufl6sung von •.

3*

36 U. STUttLER

Die Frobeniusabbildung induziert eine Abbildung der 0-Simplizes.

T~ (O) y~o~ T~ (0)

A = g(Ao)~ , g~(Ao)

A o = (9~(1, O)+ (9~0 (0, 1), g = (a wobei \ e

d ~ GL2 ((9) und a (p) = ist. c p d ~

ARCH. MATH.

Frob: C~(Too; ~ ) ---> Cj(To~; ~ )

ausdehnen. Weiter sind die Frobeniusendomorphismen oben vertrfiglich mit den Randoperatoren

8, so dab wir induzierte Endomorphismen auf der Homologie erhalten. Bezeichnet auBerdem

Frob: F - - > F

den Frobeniusendomorphismus fiir die Gruppe F selber, so kommutieren die Di- gramme

r • Cj(T~; r ", Cj(T~; •)

(Frob x Frob) Frob

Es gilt

c • c~(r~; Q ) - - ~ CAWoo; Q)

Lemma 1. i) Es ist ~p

H~(C. (r\T~o; ~)) ~ Hi(r; a)).

ii) Das Diagramm r

~ ( r ; Q)-% H~(c. ( r \ Lo, Q))

Frob[ [Frob

ep Hi(r; ff~) -% Hj(C . (r \ T~, ff~))

kommutiert.

Man sieht sofort, dab die Frobeniusoperation nicht simplizial auf T~ o ist, sie 15.gt sich abet trotzdem in offensichtlicher Weise zu einem Homomorphismus

Vol. 50, 1 9 8 8 Frobeniusoperation nach arithmetischen Gruppen 37

Dies ergibt

B e w e i s. Man hat die Aufl6sung

O~ C~ (T~; f1~)~ Co(T| I~)~ ~-- . 0

Frob J j Frob

0--, C~ (T~o; tI~) ~ Co (Too; II~)-~ t~--* 0.

das kommutative Diagramm

Hj(c;~) ~ Hj(C.(T.;Q)|162

1 Hi(r;Q ) ~ H i(C. (T~;t~) |

Aber es ist

c . (Too; r | r C. (r\ r~; r

Damit folgt das Lemma. Es ergibt sich das kommutative Diagramm

0 -~/~1 (r) ~ c l ( r \ T| 2 Co ( r \ r~) -~/-/o (r) -* 0

o ~ H~ (r) --, c~ ( r \ T~) ~ Co ( r \ %) --, Ho (r) - , o

Q

B em e r k u n g. Wfire (F\To~) kompakt, so folgte sofort ffir ~ e N w {0}

1 Z ( - 1) ~ (Spur (Frob~), [ HI(F)) i=0

1 = ~ ( - 1) I (Spur (Frob~), I Ci(F\T~)).

i=0 Wegen der Spitzen von (F\To~) ist dies nicht der Fall, weshalb wir noch die folgende Modifikation vornehmen.

2. Bekanntlich stehen die Spitzen der Quotienten (F\T~) in Bijektion zu den Klassen i-dimensionaler Teilr~ume W c Fq (02 modulo der Operation yon F.

38 U. STUHLER ARCit. MATH.

Man sieht sofort

Lemma 2. i) Ffir die Kongruenzuntergruppe F = F, ergibt sich eine Bijektion der Spi~zen mit der Menge der Nebenklassen

~c~ ((9)t< B ((9) = s"Z~ (ela)/8 ((9Ia), dabei

SL2 ((9/a) = {9 ~ GL 2 ((9/a) L det g ~ lz~ a ((9/a) ~ },

B die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen in GL2(]Fq[t]), B((9/a) ihr Bild.

ii) Der Frobenius operiert in der offensichtlichen Weise auf der Menge der Nebenktassen, d.h.

g F~ B ~--~ g(P) F~ B.

Ist x e T~o (0) ein Vertex, E (x) ein zugeh6riges Vektorbfindel, so ist bekanntlich

E(x) = (9(nJ | ( ~ ( n j , n l > n2.

D e f. 1. Wit setzen ffir den Stabilit/itsgrad

~(x) -- (n~ - n j .

B e m e r k u ng . Wie z.B. in [4] oder [5] zu finden ist, kann man eine entsprechende Funkt ion natiirlich im Fall beliebiger Funkt ionenk6rper angeben.

Lemma 3. Ist I# (x)] > des (a) so operiert die Stabilisatorgruppe Stab (x) yon F, im Vertex x transitiv auf allen Nachbarvertizes x' yon x mit #(x') = #(x) + 1. Sie fixiert das eindeutig bestimmte Nachbarvertex x" yon x mit # (x") = # (x) - 1.

B e w e i s. Einfach, siehe auch [5].

Wir modifizieren nun den Bereich (FkT~) so, daB wit doch direkt die Spuren verglei- chen k6nnen. Zun/ichst jedoch noch einige Bemerkungen zum Fundamentalbereich (F.\To~), die man zum gr6Bten Teil [4] entnehmen kann.

(1) Ist a = (9, also F~ = GL 2 (IFa [t]), so ergibt sich als Realisierung des Quotienten F.\ T . eine Halbgerade, simplizial unterteilt durch die Vertizes ( A . ) = x., A. = (9~(1, 0) + t" (9~ (0, 1). Die Vertizes ( A . ) und (Am) sind benachbart genau, wenn in - m T = I i s t . Die x. = ( A , ) entsprechen (bis auf Tensorieren mit (9~,~ (co)) gerade den Vektorraumbiin- deln

(9~ @ 0p1 ( - n), n > 0

(2) Man sieht weiter sofort:

i) fiir ein Vertex x ~ (F\T~) ist (Frob)~ (x) = x ffir ein e > 0 genau wenn x = Xo is t Das zugeh6rige Biindel ist dann

E (Xo) = Cop, | (gp~

ii) ffir ein ]-Simplex ~r -- <xn, x . + l ) ist a c (Frob)~(o) ffir ein a > 0 genau, wenn o = (x o, x l ) ist. Der Beitrag zur Spur w/ire dann ( + 1).

Vol. 50, 1 9 8 8 Frobeniusoperation nach arithmetischen Gruppen 39

(3) Beide Aussagen aus (2)/ibertragen sich sinngem/ig auf allgemeinere Quotienten des Typs (F,\To~). D.h.

i) lediglich diejenigen Vertices x ~ (F~\TJ (0), die unter der vollen Gruppe GL 2 (~ [t]) zu Xo/iquivalent werden, haben/iberhaupt eine Chance, gegen (Frob)" invariant zu sein, falls cc > 0 ist.

ii) Lediglich diejenigen 1-Simplizes (x, y) aus (F,\ T J , die unter GL 2 (lFq [t])/iquivalent zu (x o, x l ) oben sind, haben eine Chance, gegen (Frob)" invariant zu sein, falls e > 0 ist.

(4) i) Die Menge der in Frage kommenden 0-Simplizes oben in (F~\T~o) ergibt sich als die Menge der Doppelklassen

X'o = Fa\ GL2 (F a [t])/G L2 (~:q) ~ SL2 (IF a [t]/a)/GLz (Fq)

Zum Beweis beachte man nur, dab der Stabilisator

ist. StabaL2(~dtl) (Xo) = GL2 (~)

ii) Die Menge der in Frage kommenden l-Simplizes oben in (F, \TJ ergibt sich als die Menge der Doppelklassen

X'~ = F,\GL2 (Fq [t])/B (Fq) ~ S~2 (Fq [t]/a)/B (Fq),

dabei B (~) die voile Boreluntergruppe in GL2 (~). Zum Beweis ber/icksichtige man wieder nur, dab B 0Fa) gerade der Stabilisator des

1-Simplex (x o, x l ) ist.

(5) Wir betrachten jetzt den kteinsten Teilkomplex Y c (F,\T~), der alle Vertices x ~ X~ enthfilt.

Proposition 1. Y ist homotopiedquivalent zum diskreten topologischen Raum S der Spitzen yon (F~\ T~o). Die Operation yore (Frob) ~ auf Y bzw. S ist vertrdglich mit der Homotopiedqui- valenz.

P r o o f. Jedes Vertex x ~ Y bestJmmt, wie in Lemma 3 angegeben, ein eindeutig bestimmtes Nachbarvertex x' = To (x). T o ist eine simpliziale Abbildung. Eine hinreiehend hohe Potenz von To,

ToM=:T

ist dann die gesuchte Homotopiefiquivalenz auf die Menge der Spitzen. T kommutiert ebenso wie To mit (Frob). q.e.d.

Sei jetzt X die folgende simpliziale Menge: Es sei die Menge der Vertizes

Xo:= X~ u S

sowie die Menge der 1-Simplizes

X~ := X~.

Die Randabbildungen

50, 51:X1 ~ Xo sind so gegeben:

40 U . STUHLER ARCH. MATH.

Ist o = (x, x ' ) mit x fiquivalent zu Xo unter GL2(IFq[t]), so sei

~o (~) = x .

x' bestimmt andererseits mittels T eindeutig eine Spitze S. Wit setzen daher

~1 (~) = S.

Alles dies ist mit (Frob) ~ vertr~iglich. Ferner ist X, wie sofort mit Hilfe yon Proposition ! folgt, homotopie-fiquivalent zu (Fo\TJ, wobei die angegebene Homotopie/iquivalenz noeh zus/itzlich vertrfiglieh mit den Frobeniusoperationen ist.

Daher folgt jetzt:

Es ist 1 1

Z ( - 1) ~ Spur ((Frob), ] H~ (F,)) = 2 ( - 1) ~ Spur ((Frob); I Hi (X)). i = 0 i = 0

Damit folgt sofort

Satz 1. Es ist

r a Spur ((F oh), I H1 (F,))

= # (g ~ S~L 2 (Fq [tl/a)/B (Fq)[ ~-1 g ~p-) e 13 (IFq)}

- ~- (g e SL z (Fq [t]/a)/GL2 (Fq) [ ,q - i g {'~) ~ GL2 (F0)}

+ # (~L 2 (lFq [t]/a)/B (Fq [tl/a)) (vr~ + 1.

3. Man kann leicht noch etwas expliziter sein. Sei dazu a = I ] ~%"") die Primidealzer- legung yon a.

i) Sind zun/ichst al len v (a) = 1, so induziert (Frob) ~ einen Automorphismus der Men- gen Xo, X1 und ist daher yon endlicher Ordnung. Speziell sind alle Eigenwerte yon (Frob) ~ selber Einheitswurzeln.

ii) Ist andererseits wenigstens eines der n (a) > 1, also rad (a) ~ a, so existiert zu dem kanonischen Homomorphismus rc

8

GL 2 (Fq [tl/a) @ § GL2 (Fq [t]/rad (a))

ein Schnitt S mit 0z o s) = id, der zus/itzlich mit der Operation des Frobenius auf beiden Seiten vertr~glich ist. S ist Gruppenhomomorphismus. Dies induziert offenbar entspre- chende simpliziale Abbildungen der zu a bzw. rad (a) geh6renden simplizialen Komplexe

X (a) ~ X (rad (a)) (n)

und damit eine direkte Zerlegung

H 1 ( F a) ~ H I (l~rad(a)) (~ E 0 ,

r die mit ( F o b ) , vertr/iglich ist.

VoL 50, 1 9 8 8 Frobeniusoperation nach arithmetischen Gruppen 41

Bezeichnet noch

n (a) : = kgV {deg% (p) [ p teilt a}

das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der Absolutgrade der Teller p von a fiber ~ , so folgt jetzt sofort

Satz 2. Man hat eine direkte kanonische Zerlegung

H1 (r.) =/4~ (r~aa~~ �9 eo,

die mit der Frobenius-Operation vertrdglich ist. (Frob), is nilpotent auf Eo, es ist

((Frob), [H1 (F~,d(,)))"~") = id.

Speziell sind die Eigenwerte yon (Frob), auf H 1 (F,) entweder Einheitswurzeln oder Null.

B e w e i s. Man beachte nur noch, dab (Frob), mit ~, und s, kommutiert und eine genfigend hohe Potenz (Frob) s (F,) = s (Fr,a(,)) erf'tillt.

Literaturverzeichnis

[1] V. G. DRINFEL'D, Elliptic modules. Englische Ubersetzung: Math. USSR-Sbornik 23, 4, 561- 592 (1976).

[2] H. LANGE und U. SrdHLE~, Vektorb/.indel auf Kurven und Darstellungen tier algebraischen Fundamentalgruppe. Math. Z. 156, 73-83 (1977).

[3] I~I. LANGE und U. STUNL~R, Divisoren von rationalen Schnitten in torsionsfreien Garben und ein Satz von Tango. Arch. Math. 30, 146-152 (1978).

[4] J.-P. SERRE, Arbres, amalgames, SL z. Ast6risque 46, 1977. [5] U. S~JHLE~, Zur Frage der endlichen Pr/isentierbarkeit gewisser arithmetischer Gruppen im

Funktionenk6rperfall. Math. Ann. 224, 217-232 (1986). [6] U. STUNLER, Uber die Faktorkommutatorgruppe der Gruppen SL 2 (O) im Funktionenk6rper-

fall. Arch. Math. 42, 314-324 (1984).

Anschrift des Autors:

Ulrich Stuhler Fachbereich Mathematik Gesamthochschule-Universit/it Gauss Str. 20 D-5600 Wuppertal 1

Eingegangen am3.11.1986