Mitteilungen

Zur Gleichgewichtsmethode in der Theorie der elastischen Stabilit~it

Von

H. Bufler~ Mfinchen

Mit 3 Textabbildungen

(Eingegangen am 4. M(trz 1965)

Zusammenfassung. Die Verwendung der Transformationsbeziehung ffir den Vorspannungstensor gestattet die Begrfindung einer frfiher dureh NEUBER gegebenen Formulierung des Problems des indifferenten Gleichgewiehts elastiseher KSrper in beliebigen krummlinigen Koordinaten. Ein Beispiel wird angegeben,

Summary. The use of the transformation relations for the tensor of pre-stress leads to an exact foundation for the formulation in eurvilinear coordinates of the problem of indifferent equilibrium of elastic bodies given earlier by NEUSE~. An example is presented.

I. Einleitung

Es gibt im wesentliehen zwei Verfahren zur Bestimmung des indifferenten Gleieh- gewichts elastiseher Systeme: die Energiemethode und die Gleiehgewiehtsmethode. Bei der auf BIEZF~NO und HENCKY (1928, [1]) zuriiekgehenden Gleiehgewichtsmethode werden die Gleichgewiehtsbedingungen fiir den Grundzustand (ohne ,,seitlicher Auslenkung") und den devon nur infinitesimal verschiedenen Nachbarzustand (mit ,,seitlicher Auslenkung", jedoch gleicher Belastung) in kartesischen Koordinaten formuliert. Zu einer fibersiehtlieheren und zugleich allgemeineren Darstellung gelangt man dureh Entwicklung der Grundgleichungen in beliebigen krummlinigen Ko- ordinaten mit Hilfe des absoluten Differentialkalkfils (NE~BEX 1943, [2]). Zur Her- stellung des Zusammenhangs zwisehen dem ursprfingliehen Vorspannungstensor T~v im Grundzustand und jenem im Naehbarzustand Tar empfahl N~TSBER die Ein- sehaltung physikalisch plausibler Annahmen. Die Vermutung, de2 dieselben innerhMb gewisser Grenzen keinen wesentlichen Einflul3 auf die kritisehe Belastung haben, konnte er am druekbeanspruehten prismatischen Stab bestatigen [3, 4]. Sehlie21ich gab NEU~Ex auf Grtmd einer formal-mathematischen Betraehtung [4] eine Formu- lierung des Problems des indifferenten Gleiehgewichts, die rechneriseh insofern grol3e Vorteile bietet, als der Vorspannungstensor T~v nur noch in den l~and- bedingungen, also nicht in den Differentialgleieh~mgen, erseheint. 0bwohl die Brauchbarkeit dieser neuen Darstellung fox die Stabkniekung und Plattenbeulung nachgewiesen wurde [4], besteht in seiner Anwendung auf andere Probleme insofern eine gewisse Unsieherheit, als eine meehanische Begrfindung fehlte. Diese zu geben ist haupts~iehlieh die Absicht der vorliegenden Notiz.

B ~ n E a : Zur Gleichgewichtsmethode :in der Theorie der elastischen Stabflit~it 387

II . G r u n d b e z i e h u n g e n ~

Wir betrachten neben dem:vorgespannten, nicht ausgelenkten KSrper K (Grund- zustand) den seitlich um einen kleinen Betrag ausgelenkten KSrper K* (Nachbar- zustand). Die die Punkte P yon K bzw. P* yon K* definierenden raumfesten und

im allgemeinen krummlinigen Koordinaten seien x ~ bzw. x ; die daneben eingefiihrten kSrperfesten l~oordinaten sollen im Grundzustand mit den x~ zusammenfallen. Ein in K an der Stelle P gelegener materieller Punkt befindet sich in K* an der Stelle _P*. Bezeichnet man die kontravarian~en Komponenten des Verschiebungs-

vektors P ~ * in bezug auf die Basisvektoren des KSrpers K an der Stelle P m i t e v~, so gilt :

~ = x~ + s v~. (1)

Dabei soll ~ ~ 1 sein, so dal~ im Rahmen der Untersuchung des indifferenten Gleichgewichts die hSheren Potenzen gegen e stets vernachl~ssigt werden diirfen. Die an der Stelle P* fiir die Umrechnung vom raumfesten zum kSrperfesten Koordinatensystem yon K* benStigten Tri~nsformationskoeffizienten werden

(c$~ K~O~EOKE~- Symbol)

% ~ - - - ~ + ~ v ~ l ~ (2) ~ x ~

bzw.

~x ~ ,% ---- a~i, - ~ , - - 6 v%. (29

Der metrische Fundamentaltensor in K* mit g ~ bzw. g~s als jenem in K lautet nach Unterdriickung der quadratischen Terme

bzw.

g ~ = g ~ + s (g~, v.[~ + g , , v,[~) (3)

(3')

Schliel~lich ergibt sich fiir das CH~ISTOFF~.L-Symbol zweiter Art in K* [2]

r ; ~ - , , + ~v%~. (4)

wobei sich F z ~ wieder auf K bezieht.

Der Spannungstensor im Grundzustand sei zun~chst in bezug auf die Basis.

vektoren des KSrpers K gegeben und an der Stelle P mit 5~ ~ bezeichnet ~ (urspriing- licher Vorspannungstensor). Er betr~gt in K an der Nachbarstelle P*

a) beziiglich des Basissystems yon K

o_ . = + s Tx~I~v~ (5)

z In Anlehnung an [2], jedoch mit geringfiigigen ~ d e r u n g e n in den Bezeich- nungen. Ein langer senkrechter Strich bedeutet kovariante, ein Komma partielle Differentiation. Ferner gelte die Summationskonvention.

2 Es wird vorausgesetzt, dab die s die Vorspannungen erzeugenden Krs richtungstreu sind, d .h . beim Ubergang yore Grund- zum Nachbarzustand ihre Richtung nicht s

Acta ~Iech. I /4 27

388 H. BUFLER:

und b) bezfiglieh des k6rperfesten Basissystems yon K* (Abb. 1)

T a . = ~ ~ T ~ ' v~[~ T~"

Die Kr/ i f te-GleiehgewiehSsbedingungen a m E lemen t l au ten heir yon Massenkr//f ten ffir den Grundzus tand

(6)

bei Abwesen-

Abb. 1. K6rpere lement im Grund- und Naehbarzus tand . - - l~aum- feste Koord ina ten l in ien ; . . . . . k6rper-

fesSe Koord ina ten l in ien

(7) und ffir den Naehbarzus tand mi t dem auf die k6rperfes ten Koordinagen yon K* be- zogenen Spannungstensor K z g

(8) wobei der Stern auf den U m s t a n d hinweist , dab die kovar ian te Ab le imng im k6rperfes ten Koord ina tensys t em yon K* zu bi lden is*. Die Momengen-Gleiehgewichtsbedingungen liefern die Symmegrie des Spannungstensors . Wegen (4) geht (8) fiber in [2]

Ka~la -4- evvlx. KX~ -4- ~v~'lx~K~" = 0. (83

IIL Herleitung der Grundgleichungen der Theorie 2. Ordnung nach Neuber o

Der Spannungstensor K ~ wird hier addi~iv aus dem Vorsparmungstensor Ta~, 1

dem mi t dem , ,Zusa tzverzer rungs tensor" d ~ = ~ - ( g ~ - g). ~) fiber das HOOKEsehe

Gesetz kausal verknf ipf ten , ,Zusatzspannungstensor" s t ~ und e inem sogenannten , ,Res tspannungs tensor" s re'P, welcher der Ver/~nderung des Vorspannungstensors Rechnung t ragen soll, gebi lde t :

E inse tzen in die Gleiehgewichtsbedingung (8') l iefert bei Beach tung yon (7)

Verffigt m a n nun fiber r a . so, dal3

t~./~{~ = 0 (11)

wird, setz~ also

rZ~ = - - v.],, ~a~ __ vZlv ~ . g _}_ ~-aplv vv, (12)

so folgt ffir den Spannungstensor im Naehba rzus t and gemfig (9) mi~ (i2)

o o o

Die Zusa tzspannungen genfigen dann nach (11) formal den Gleiehgewich~sbedingungen des unausgelenkten t~6rpers. D a sie auBerdem nach Vorausse tzung m i t d e m Verzerrungstensor dg ~ fiber das I-Ioo~:Esche Gesetz zusammenhgmgen, ergeben sich

Zur Gle iehgewiehtsmethode in der Theorie der elastisehen Stabil i t / i t 389

also ffir die Zusatzgr6flen die Different iMgleiehungen der Elast iz i t / i ts theorie erster Ordnung. Dieses Ergebnis be ruh t auf der zur Vereinfachung der Berechnung ein- gef i ihr ten Annahme (12) sowie der speziellen Def in i t ion des Tensors t ~ .

IV. Herleitung der Grundgleichungen mit Verwendung der Transformationsbeziehung (6)

Mit dem je t z t an Stelle yon (9) benu tz ten Ansatz

K ~ ---- T ~ -~ e q ~ (14)

l au te t die Gleiehgewichtsbedingung (8') m i t Berf icksicht igung yon (7)

s~ l~ = 0, (15)

wobei ats Abkfi rzung der Tensor

s~. = q ~ + v~]. T ~ + v~]~ T ~ - ~'~.1. v. (16)

eingeffihrt wurde. E l imin ie r t m a n nun qI~ aus (14) und (16), so folgt

Die ersten vier Te rme der reeh ten Gleiehungsseite stellen aber den in (6) definierten,

durch Trans fo rmat ion aus dem urspri ingl ichen Vorspannungs tensor T~ ~ gewormenen Tensor T ~ dar. Mithin gilt

s s ~ = K~'~ - - T ~ , (18)

d . h . s s~ ~ ergibt sich als Differenz des Spannungstensors K ~ im Naehba rzus t and i n bezug auf die k6rperfes ten Koord ina t en des ausgelenkten KSrpers a n d des Vor- sparmungstensors T ~ , der im Gr tmdzus tand an derselben raum]esten Stelle trod in bezug au] dieselben Koordinaten herrschte. Daher ist es naheliegend, bei l inear- e las t ischem Werks tof fverhMten und kleiner Vordeformat ion den Spannungs tensor

1 s s~ ~ mi t dem Verzer rungs tensor d~ ~ = ~- (g~ ~ - - g~ ~) fiber das HooKEsche Gesetz

zu verknfipfen. Tr i f f t m a n diese Annahme, so kann 8 ~ m i t dem in Ziff. I I I e ingefi ihr ten t~n ident i f iz ier t werden [vgl. (11) mi t (15), (13) mi t (17)].

V. Mechanische Veranschaulichung

Die in Ziff. I I I und IV gewonnenen Grundgle iehungen lassen sieh besonders ansehaul ieh herlei ten, wenn m a n folgende Annahmen zugrundelegt :

a) Die Vordeformat ionen sind zu vernachl~issigen 8, b) der Vorspannungs tensor ist raumfes t , e) der Zusa tzspannungs tensor ist m i t d e m Zusa tzverzer rungs tensor fiber das:

tIOOKEsche Gesetz verknfipft . Man kann dann folgendermal~en vorgehen �9 Zun/iehst denkt m a n sieh die - - wegen

der A n n a h m e a) endgfil t ige - - Nachbar lage erzeugt allein dutch den Zusatzsparmungs- tensor s s ~ = et%~. Sodann f iberlagert m a n die Vorspannung T ~ nach (6) [An- nahme b)]. Die Gleichgewiehtsbedingungen ffir den gesamten Sparmungs tensor im N a c h b a r z u s t a n d

K ~ = T ~ + ~ t ~ (19)

a Sie liei~en sich n~herungsweise dadm'eh bert ieksichtigen, dal] m a n an Stel le der Abrnessungen des unbelas te ten KSrpers jene des vorgesparmten K6rpers n i m m t .

27*

390 H. BUFLEI~ :

O "X:

l au ten naeh (8) KXala = 0. N u n ist aber wegen T~aia = 0 aueh TZvl~ = 0. Mithin

bleibt t a via = 0 und naeh Unterdr t ickung der yon h the r e r Ordnung kleinen Glieder [s. (4)]

: " l ~ = 0

in ~ b e r e i n s t i m m u n g mi t (11) bzw. (15). lk~immt m a n ferner die A n n a h m e e) hinzu, so folgt l f fbereinst immung mi t den in Ziff. I I I und IV erhal tenen Formul ie rungen.

VI. Physikalische Spannungs- und Verschiebungskomponenten

Die bisher be~raehteten Spannungen und Versehiebungen stel len die ma thema t i - schen Tensorkomponen ten dar. Die wirkl ichen (physikalischen) Komponen ten , die im al lgemeinen keine Tensoren sind, errechnen sich wie folgt t [2]

V p h

l / g s . 0

.% o t ~ Es beziehen sich Vph ~md Tph auf die Bas isvektoren yon K an der Stelle /), und

Kp~h" auf die Bas isvektoren des kSrperfes ten Koord ian tensys tems yon K* an der

Stelle P * ; tph kann auf das erste oder zweite Bas i s sys tem bezogen werden, da Glieder yon 2. Kle inhe i t so rdnung bei der B e t r a c h t u n g des indif ferenten Gleich- gewichts keine l%olle spielen.

Die Spannungen. .K~h sind sehiefwinklige I~omponenten (Abb. 2). Es werden jedoch z. B. in den Ubergangsbed ingungen bei e inem geschichte ten K t r p e r die der TrennflSche jeweils zugeordneten N o r m a l und Schubspannungen benStigt . F i i r sie gi l t (Abb. 2) :

z z / / / /

/ /

/ l/ I / l'

Abb. 2. Physikal isehe Spannungskomponen ten

Kph----- ~,~ ; (22)

*

V g ~ g ~ v

I s t das Ausgangssys tem in K orthogonal , so ergeben sieh wegen g~ ~ = g~ ~ = 0 I

(fiir ~ 4= re) und g;~ = m i t (3), (3")

4 I n dieser Ziffer soil nu t fiber deft I n d e x v summie r t werden.

Zur Gle ichgewichtsmethode in der Theorie der elast ischen Stabil i t / i t 391

Kph ~ g ~ [1 -~ 2 sv~l~ ] K ~ ; (22')

ph = [g - -~ f f { g ~ K ~ ~- s [gzn (v~l~ - - vglg ) Ka~ -4- (g~(~) v(~)]~ + g, zv~l~ ) K ~ ] }

( ~ , ~) (233

und analoge Ausdrfieke fiir tx~. Wi~hrend die Spannungskomponen ten K ~ noeh

symmet r i seh sind, grit dies n ieht mehr fiir die Sparmungskomponenten Kph.

VII. Beispieh liinickung einer rechteckig begTenzten Schieht unter zweiachsiger Beanspruehung

Das Ausgangskoord ina tensys tem ist hier kar tes isch: x 1 = x, x 2 = y, x ~ ~ z. ] )er urspri ingliche Vorspannungs tensor ha t nur zwei yon Nul l verschiedene Kompo-

o o o o

nen ten : T 11 ~ Tz ; T 2 ~ - T v. F i ~ die physikMischen Sparmungskomponenten im ~11 ~22 ~12 ~21

Nachbarzus t~nd Kph = /~x, Kph = /~v, Kph = ./~xv, Kph : /~vx gilt dann m i t den 1 2

Versehiebungskomponenten e V p h ~ u , ~ V p h = v S o w l e d e n Zusatzspannungen 5

stph ~ o" x, etph ~ 6 v, Stph ~ stph ~ T gem/~13 (22'), (23') m i t (19) und (6)

(24) J ' ~ v ~ u o o ~V o o

- - ~ x

Entsp reehend Abb. 3 gel ten folgende R~ndbed ingungen :

Kz~ = u = 0 for x = • 0 ~ y ~ h,

8v o o { o 1 < x ~ l ~x T~; t~ v = T v fiir y = h; 2 = = 2 "

Durch den Ansatz

�9 (x ,y ) = - - ~(y) cos Z x ; o-z(x,y) = ~ ( y ) s i n ~ x

o-v(x, y) ~v(y)

m i t Z = z n / t (n = 1,2, . . . )

(25)

(26)

(27)

Sie gehen m i t (27) fiber in

),h o

~ * T z + ~ = 0; ~ v 0 - - = E

E _ wobei ~* = - f - v bedeu te t (E Elast izi tKtsmodul) .

fiir y = { ; , (26")

12 21 5 Der Un~erschied zwischen e tph und 8 ~ph ist yon der GrSi3enordnung ~s und

mi th in zu vernachl/~ssigen.

8v o ~o I < x l 8x Tx -4- ~ ~ O; o-v -~ 0 fiir y ~- [ h; 2 ~ ~ ~-. (26')

werden die Bedingungen (25) au tomat i sch erffillt. Mit Ber i icksicht igung von (24) lau ten die Gln. (26)

392 It. BUFLER:

Wie in [5] gezeigr wh.d, sind die vier Bedingungen (26") dann erfiillt, wenn folgende zweireihige Degerminante versehwindet:

[

+ [ (1 - - 2 v) | Zh + Ah~0f)~h] XI Ah| s

• (1 + v) E ~-

I .......... 2 ( e i ; i ; + Zi ;i ........... i ......................................................................... = 0 (28)

- - [ ( 1 - - 2 v ) | h h r T z 1 2

{ x (1 + v ) N

(v Querdehnzahl).

ttierbei ist vorausgesetzt, dal~ w/ihrend des seitliehen Ausweiehens ein ebener Verzerrungszustand herrscht und das Material homogen, isotrop und linear-elastiseh ist.

Die Ausreehnung der Determinante (28) liefert o

o

Tz + T ( 1 + v ) 2 [ ( 1 - - 2 v ) ~ i n ~Ah + (Zh) 2] + | 2 ) . h - ( x h ) ~ = 0.

Die linke Gleichungsseite li~13t sich folgendermagen in Faktoren zerlegen: o

-t- ( l + v ) [ ( 1 - - 2 v ) ~ i n ~ h + Zh] X

o

• + (l + v) [ (1 - - 2 v) | A h - - X h] = 0 . (29)

Aus dem Nullsetzen der ersten Klammer ergibt sieh ffir n = 1 der Kleinstwert

h h Z | 1 6 3

(29') o

T~ -- 1 + v h h ( 1 - - 2 v ) ~ht ~-/- + ~ -

als diejenige Vorspannung, bei der das zur Mittelebene y = h/2 antisymmegrisehe Ausknieken einse~zt, w/ihrend das Nullsetzen der zweiten Klammer die (viel grSl3ere) Vorspannung liefert, die zur symmetrischen Kniekform geh6rt. Die Formel (299

erhielt N~v~ .~ [4] ffir eine nur einachsig beanspruehte Schieht. Sie geht fiir ~ ~ ~ 1 in den EVLERsehen Ausdruek

o

T x -- 12 (1 __~2) fiber.

Fiir das vorliegende, in Abb. 3 skizzierte Problem erhielt K E ~ [6] auf Grund der energetischen Methode an Stelle yon (29')

h h o o E | ~ ~ - - - = T (30)

T z -t- T v = 2 (l__v~) | h

f l

I)ieser Ausdruck geht zwar fiir ~ h ~ 1 und T v = 0 in die E~LnI~sche Formel iiber, unterscheidet sich jedoch yon (29') dadurch, daI3 er einen wesen~liehen EinfluI3 der

Zur Gleiehgewichtsmethode in der Theorie der elastischen Stabil i t~t 393

o

Querbelastung T v auf die Stabiliti~t voraussagt. Nach (29') ist dagegen insofern o o o

nur ein geringffigiger Einflug yon T v vorhanden, als T~ neben T~ die Abraessu_ngen 1

/ " 2e/ize /?e/~/,~57

' Z ! Z I

. . l . . . - - - -

Abb. 3.

o

Rechteckig begrenzte Sehieht unter zweiachsiger Beanspruchung a) I ra Grundzustand; b) ira Nachbarzustand

und h der Sehicht irn Grundzustand beeinflu2t. Liegt dor t ein ebener Spannungs- zustand vor, so gilt

[ l o o ] l = 1 + E - ( T ~ - - ~ , T ~ , ) L,

h = 1 + ~ - ( T ~ - - ~ T ~ H

mit L und H als den Abmessungen der unbelasteten Sehieht. IS~rLINS~:I 6 korarat in seiner Untersuehung ira Gegensatz zu dieser Arbei t und

o o

aueh jener -con K E t ~ [6] zu dem Sehlul?, dal3 fiir T x = T~ keine Instabilit/~t mSglieh o

ist. Der Sonderfall T~ ~ 0 ist in den Abhandlungen yon Lm3~IN [7] und JOINT [8] o

enthal ten und st imrat mit (30) (ffir T~ = 0) iiberein. Dagegen weieht eine yon

LING und HAND~L~XA~ [9], ebenfalls fiir T.~, = 0 gegebene nuraerisehe L6sung

(auger fiir ~ - ~ 1 ) y o n (30)ab. Der Untersehied zwisehen den einzelnenLSsungen

w/~ehst mit steigendem Verh/iltnis h/1; er kann dutch die jeweils versehiedenen in die /~eehnung eingefiihrten vereinfaehenden Annahmen erkl~rt werden.

VIII. Schlullbemerkung

Die Beziehung (17), die den Zusararaenhang zwisehen dera Spannungstensor Kay

im Naehbarzustand und dem Vorspannungstensor ira Grundzustand T~v herstellt, gilt unabhgngig vora Elastizit~tsgesetz, ebenso die formal den Gleiehgewichts- bedingungen ira Grundzustand entspreehende Divergenzbeziehung (15) fiir den Zusatzspannungstensor s ~ . Die Verknfipfung zwisehen sat' und dera Zusatzverzer- rungstensor erfolgt bei linearera Werkstoffverhalten und kleiner Vordeforraation fiber das HooK~sehe Gesetz. Bei nichtlinearer Vordeforraation und einaehsigera Druck ]<aim man sehnell zu einer NgherungslSsung gelangen, indera man naeh ENGESS~.X an Stelle des Elastizi t~tsmoduls rai t dera yon der Vorbelastung abh~ngigen Tangentenraodul rechnet [5]. Eine genauere Grundlage, die auf einera bestiraraten niehtlinearen Spannungs-Dehnungs-Gesetz aufbaut, wurde kiirzlich dutch NEUBE~ [10] gegeben und auf den druekbeanspruchten Stab rait Rechteekquerschnit t sowie die einachsig auf Druek beanspruehte, an den seitliehen R~ndern freie l~echteckplatte ange- w a n d t .

6 Siehe [6].

394 H. Bm*LER: Zur Gleichgewiehtsmethode in der Theorie der elastisehen Stabil i t~t

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Privatdozent Dr.-Ing. H. Bullet, Technische Hochschule Mi~nchen,

ArcisstraBe 21, 8 Mi~nchen 2, B R D