Z. angew. Math. Mech. Bd..30 Nr. S j 9 Aug./Sept. 1950 D. Praktiscbe Analysis

I

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bestirnnit (Hermi tesche Interpolation). Dies fuhrt auf die Forincln

4 1 s 8

Hieraus kiirinen y1 und y,tlurcli Iteration bestininit \verden, wenn Der

Rest r ( 2 ) besilzt im Interval1 <.ro. x2> eine stetige Ableitung und in jedem der Punkte xo, q, x2 eine doppelte Nullstelle.

Eine weiterc Erhohung tler Genauigkeit ist durch die Verfahren hoherer Stufe moglich. Die hier fur die expljzite Differentialgleichung erster Ordnung angestellten uberlegungen lassen sich sowohl auf Systeme \'on Differentialgleichungen erster Ordnung als auch auf Differential- gleichungen hoherer Ordnung ausdehnen.

h L + - h2L' < 1 ist .

Bemerkung zur Theorie der Formeln von Runge und Kutta \'on E . T1'ei)reZ in Jena

Der Zugang zu einer allgemeinen Theorie der Formeln von Hunge und K u t t a ist bei der iiblichen Art der Herleitung bekanntlich sehr erscliwert durch die unifangreichen Rechnungen, die sich beim Angleich drr Nahcrung an die Taylorentwicklung der genauen Losung ergeben.

In Vorlesungcn beschrankt man sich dalicr gewbhnlich auf die j'erifikation der besonders bequemcn Formeln von I< u t t a 1) und der entsprechcnden Formclsatze von N y s t r o m z, und Z u r m ii h 1 3, iiir Differenlialglcichungen hoherer Ordnung.

Indcssen lafit sich - und das ist der Gegenstand dieser hIitteilung - die Theorie der gcsamten liunge-Kuttaschen Formelmannigfaltigkeit unter einem einheitlichen Gesichtspunkt verhaltnismal3ig einfach enlwickeln, wenn man s ta t t dcr Taylorsclien Formel einen Interpola- tionsausdruck zugrunde legt und die dem Runge-Kuttaschen Verfahren eigentiimliche rekursive Reclienvorschrift (,, Schrittrechnung") als eine geeignet korrigierte Euler-Cauchysche Naherung deutet. Aus diesem Prinzip ergib t sich zugleich eine Darstellung des Integrationsfehlcrs und der Felilerfortpflanzung im Zuge der Rechnung.

Zur Fehlerabschatzung bei der numerischen Integration (Differenzen- verfahren) gewohnlicher Differentialgleichungen

Yon J. HeissingPr in Hamburg Ein ausfuhrlicher Bericht wird in einem spateren Hef t dieser Zeitschrift erscheinen.

Zur Herleitung von Konvergenzkriterien fur Iterationsverfahren bei linearen Gleichungssystemen

Yon L,, Chllutz in Hannover In den letzten Jahrzehnten sind verschiedene Itcrationsverfahren fur lineare Gleichungs-

systemc aufgestellt worden, von denen die bekanntesten wohl die Verfahren in Gesamtschritten und in Einzelschritten sind4j. Fur die Yerfahren wurden eine Reihe gewohnlich hinreichender Kriterien aufgestellt und zwar wurde in der Regel der Beweis jcdesmal eigens fur das betreffende Kriterium neu erbracht. Man kann aber durch Zugrundelegucg der genauen, d . h. der zugleich notwendigen untl hinreichenden Kriterien und unter Verwendung der Satze der Matrizenlehre die speziellen hinreichenden Kriterien auf einheitlichc und kurze Weise (als Abschwachungen der genaucu Kritericn) herleiten und dabei einige Kriterien zugleich e txas enveitern und auf eine fur die Anwendungen bequeme Form bringen. --

I ) h1.W. K u t t 5 : Z. Math. u. Physik 46 (1901), S. 436. ?) E. J. N 9 s t r 6 m: Acta Sor. Sci. fcnn. 50 (1925). 3 , R. Z 11 r m u h 1: Z. angew. Math. Afech. 28 (194K), S. 173. ') 8. v. Mises und H. P o l l ~ c z e k - Gei r inger : Praktische Verfahren der Gleichungsaufltjsung.

Z. angcw-. Math. hfech. 9 (1929), S. 58-77 und 152-164. - Weitere Literatur z. B.: H. W i t t m e y e r : ijber die Usung wnlinearen Gleichungssystenien durch Iteration. 2. nngem. Math. Mech. 16 (1936), S. 301-310. - L. C e s ar i : Sulla risoluzioni dei sistetui di equazioni lineari per approssimaxioni successive. Eendic. Beale Accadeniia Nazionale dei Lincei, Glasse Sienze fis. math. natur. POL XXV, 8s. 6a. Roma 1937. - E. Bodewig: Bcricht iiber die verwhiedenen Methoden zur Uisung eines Systenls lineaver Gleichungen rnit reellen Koeffizienten I-V. Koninklijke, nederlandsche Akadeinie van Weknschappen (1947), 8. 441-4452, 1104-1116, 1286-11205, (1948), S. 63-64, 211-219.

D. Praktisrhe Analysis 279 2. angew. Meth. Mech. Bd. 80 Nr. 819 Aug./Sept. 1950

%all a12 . . . n

... - 0 hzw. von a21 xu22

an1 an2 Xann

.........................

Vorgelegt sei das lineare Gleichungssystem % z = r ,

wobei 91 = (qk) die gegebene (quadratische, n-reihige) Koeffizientenmatrix, z die Spaltenmatrix der Unbekannten xl, . . ., 2, und r die gegebene S p a l h m a t r i x der rechten Seite rlr . . ., rn sei. Es sei det 9l =/= 0. Nun wird % in der Form 9l = % + Q geschrieben und von einem willkurlichen Vektor $O) ausgehend iterativ die Folge von Vektoren ~ ( l ) , ~ ( ~ 1 , . . . nach

ermittelt, wobei det % + 0 vorausgesetzt wird. Das Iterationsverfahren ist bei beliebigem Aus- gangsvektor z ( O ) dann und nur dann konvergent, wenn alle Wurzeln x der Gleichung

det ( x % + 6) = 0 Betrage kleiner als 1 haben.

also

% g(v+ l ) + Qg(1') = r ( v = 0 , 1 , 2 , ...)

Nimmt man die Hauptdiagonalelemente von 9€ in die Matrix '23 = ( b j k ) , die anderen in Q,

a 1 n XU11 n1, . . . XU21 xff22 . . .

%all %an2 . . . = o a2 7Z

......................... x f fnn

(rrjk fur j = k 1 0 fur j + k

b j k 0 fur j= k

oIk fur j + k C j k =

so hat man das Verfahren in ,,Gesamtschritten", fur

erfullt, so sieht man ebenfalls leicht, daB dann alle Wurzeln x beider obigen Gleichungen Betrage kleiner als 1 haben, da13 dann also Gesamtschritt- und Einzelschrittverfahren konvergieren . Auch andere Kriterien, wie z .B . das E. Schmidtsche Kriterium

lassen sich bequem erfassen. 1st bei einer Matrix 8

fur j& 1, . . ., n fur mindestens ein j k = l E . l a i k i (: 1;;:

k = k i so sagen wir, es sei das ,,schwache Zeilensummenkriterium" erfullt, entsprechend das ,,schwache Spaltensummenkriterium" im Falle

fur k = 1, . . ., n fur mindestens ein k .

Z. angew. Math. Mech. 280 D.. I'raktische Analysis Bd. Rn Nr. 819 Aue./Sept. 1950

Diese abgeschwachten Kriterien reichen noch nicht fur Konvergend des Gesamtschritt-

1 1 oder Einzelschrittverfahrens aus, \vie das Reispiel der Matrix

1 -

[[ ; r) zeigt; dazu braucht man noch, daI3 2i niclit ,,zerf$.llt". Wenn man bei einer Matrix '2I die Indizes 1, .... n so mit el, .... p,, crl, .... crR1 (mit 1 2 r 5 n - 1) numerieren kann, daB

a P v , = 0 ist fur 11 = 1, .... r ; p = 1, . . . n - r ,

- so heifit ,,zerfallend". Dann gilt: 1st die BIatrix % nicht zerfallend und auBerdem das schwache Zeilen- odcr das schwachc Spaltensummcnkriterium erfulll, so konvergieren Gesamtschritt- und Einzelschrittverfahren . Dieser Satz lafit sich bei Anwendungsbeispielen oft benutzen ; z. B. bei genaherter Liisung von linearen Randwertaufgaben bei gewohnlichen und partiellcn Differential- gleichungen mit dem Differenzenverfahren kommt man haufig auf Gleichungssysteme, die sich dem eben genannien Typ unterordnen. Die Konvergenz des L ie binannschen Mittelungs- verfahrens bei der ersten Randwertaufgabe der Potentialtheorie ergibt sich so als Spezialfall unseres allgemeineren Satzes.

Eine ausfuhrlichere Darstellung mit Beweisen sol1 in der Mathematischen Zeitschrift er- scheinen.

Zur Iteration bei linearen Gleichungen Yon H . Scrssei?feld in Darmstadl

Fur das Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . Q+ a = ($j +e)x+ a = 0

%~@-1) + (5-$v) + a = 0

* (1)

- (2) mit der Iterationsvorschrift

strebl die Folge $) fur jeden Anfangsvektor z ( O ) gegen den Losungsvektor F, wenn die charakte- rislischen Zahlen A von 8 = 23-l Q im Einheitskreis liegen. Schreiben wir mit einer H i 1 f s - m a t r i x p, deren charakteristischen Zahlen+ -1 seien, die Identitat

so erhalten wir entsprechend (1) und (2) die Iterationsvorschrift

Das neue Iterationsverfahren (4) konvergiert imnier, Venn die charakteristischen Zahlen von 8* = ($# + @)-I (8 - p) im Einheitskreis liegen. Durch passende Wahl der Hilfsmatrix !# laI3t sich also dcr Wirkungsbereich eines Iterationsverfahrens von der Form (2) erweitern, wozu gegebenenfalls p = $(v) als vom Itcrationsschritt abhangig genommen werden kann.

Fur p wird man zycckmafiigerweise einc einfache Matrix, etwa eine Diagonalmatrix xahlen. So lautet far die Skalarmatris !$ = a@ die vcrallgemcincrte Iterationsvorschrift

. . . . . . . . . . . . .

a ~ + a = [ B ( $ # + Q ) + ( Q - - p ) ] x + a = O . . . . . . . * (31,

* (4). . . . . . . . . @($ + @)~!'+1) + (Q- Bp)$) + a = 0

. . . . . . . . . (a+ 1) @ ~ : + 1 ) + ((5 --.B)xp) + a = 0 (5 ) . Vergleicht man fur xf) = z(O) die ;laheiungsvektoren &') und ~ ( v ) , so ergibt sich der Zusammen- hang

d. h. die ~ 1 r y ) sind die E u 1 e r s c h e T r a n s f o r m a t i o n der z@') mit dem Limitierungs- 1 index a'). Aus %* = (Q -+ @)-I (8 - $#) = -- (8 - M @) folgt unmittelbar fur die charakte-

ristischen Zahlen x von 8* und 1 von 8 . + I

I - a a - r 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . (7)* x = - -

und cs gilt: Zu jeder Iterationsmatrix 3, fur welche das kleinste konvexe Gebiet, das alle ihre charakteristischen Zahlen A enthalt, den Punkt 1 = - 1 der 2-Ebene nicht einschlieflt, gibt es Werte a, fur welclie die charakteristischen Zahlen x von 8* in den Einheitskreis fallen. Fur

l) Vgl. K. K n o p p , Theorie und Anwendung cler unendlichen Reihen. 4. Aufl. Berlin und Heidel- berg (Springer-Verlag) 1947, 5 63. InLder Fkihenlehre 1st der Index p ublich, der rnit a in der Beziehung 2 p - 1 = a steht.