331 2. angew. Math. Mech. Bd. 96 Nr. ello dept.,Okt. 1Q58 Bador, Zur numorischon Bestimmung der Wiirmospannungon

-

Die praktische Auflosung dieser Gleichungen nach den gljb+l) geschieht wie unter B2 beschrieben. Man erhalt die g l f + I ) , sofern die Auflosung in eindeutiger Weise moglich ist, in der Form

(i = 0, 1, 2, .... n - 1) . . . . . . . . (82), n-1

uy4-l) = z g k f ? i k k=O

also n-1 .... . . . . . . . . % 2 h h k f y i k ( i = O Y l y 2 , n - 1 ) . (83) &!a++', = k = O

mi t

Es sei n-1 n-1 2 b k l 2 1 l2 Y 27 I h k l s A ' l . . . . . . . . . . . (85).

k=O k = O

Mit derartigen Konstanten A und A' gilt der Satz 4, wenn man darin uberall (i = 1, 2, ... n. - 1) durch (i = 0, 1, 2, . . . , sprechend wie in A'. O<k<n O$k<n

Eingegmgen am 11. Juli 1955.

- 1) und Max durch Max ersetzt. Der Beweis verlauft ent-

Zur numerischen Bestimmung der Warmespannungen Von W . Bader in Berlin

Es. werden prtikulare Losungen der P o i s s o n - Bleichng des Verschiebungspotentials bestimmt. Fiir &ae zur E r f W m g der Oberfladenbedingungen zu i iberlagede Verechiebungsfekd wird ein einfacher Lbsungsanaatz vorgeachlagen. Als Anwendungsbeispiel wird der ZyliacEer behandelt, deasen fleitenfliichen auf konetanter Temperaturdif ferenz gehnlten wezden and deeeen l%fa&lflache Warme abgibt.

Particular solutions for the P o i s s o n - equation of the dieplacement potential were determined. For the field of dieplacement, that i s to be euperposed in order to fulfil the surface conditiona, a simple me thd of solution i s proposed. As a n example of application the cylinder is examined, the ends of which are kept at conatant difference of temperature and the curved surface of which delivers heat.

Dee solutions prticuli2res de I'bquation de P o i s s o n du potentiel de dbphement furent ddterminkea. Pour le champ de dbplacement, qui doit &re superposd pour satisfaire aux conditions de surface, un arrange- ment simple de solution eat pTOp08b. L e cylindre dont les bases tenuea en diffdrence coltstante de tempbra- ture cet dont la surface lateral &met de la chaleur, sert d'exemple d'application.

OnpeAeJIeHx P ~ O F H H ~ pernenaa y p ~ ~ e ~ a a IIyacc6na AJUI ~ O T ~ H ~ E ~ J I ~ nepem4ena~. IIpeA- n a r a e T c a n p o c T o e sxpaxeme ~ n a I I O J I ~ n e p e ~ e q e a ~ f , K O T O ~ n a x n a A x B a e T c a A ~ S Y A O B ~ ~ T - B O ~ H E I I YCJIOBH~IM na, ~ O E W ~ X H O C T E . B K~PBCTBB n p ~ ~ e p a p a c c m T p m a e T c r r ~HIIEIHAP Q Tt3IIJIooTAa¶0fi ¶Opes 6OKOByiO IIOBepXHOCTb, H a KOHqaX KoTopol'O IIOAAepXCEBa0TCa IIOCTORHHBSI pta3HOCTb T0Mllt?$K3Typ.

I. Einleitung Die Losung der in der Technik oft gestellten Aufgabe, die Warmespannungen in einem

Korper endlicher LBnge zahlenmaflig zu ermitteln, wird erschwert durch die Gestalt der Ver- schiebungsgleichungen mit ihren gemischten Randbedingungen. Daher stehen in der Regel einer unmittelbaren Anwendung der Methoden der numerischen Integration, also insbesondere der Uberfuhrung der Gleichungen in ein bequem zu behandelndes System von Differenzengleichungen betrachtliche Schwierigkeiten gegeniiber. Nachstehend ist nach Aufstellung der Grundglei- chungen versucht worden, durch Angabe gewisser Beziehungen einen Beitrag zur numerischen Bestimmung der Warmespannungen zu liefern.

11. Grundgleichungen Zunlchst sei ein rechtwinkliges kartesisches Achsenkreuz angenommen. Der betrachtete

elastische Karper, in dem ein stationares Temperaturfeld !l'(zly %, zp) vorliege, sei homogen und isotrop. Der Ausgangspunkt l) aller thermo-elastischen Rechnungen bezieht sich auf die Deh-

nungen, also auf die GroQen - (k = .i) des Verschiebungsvektors vi (i = 1, 2, 3). Von diesen

wird angenommen, da13 sie sich additiv zusammensetzen aus den Wiirmedehnungen a T (a: linearer

-

avi axk

1) Vgl. z.B. A. Foppl, Techn. Mechanik, Bd. 6,4. Aufl. $39, Leipzig 1922.

2. angew. Math. Mech. 332 Bd. 38 Nr. Q/lo 6ept,/0kt. 1Q56

Warmeausdehnungsbeiwert) und aus den elastischen Dehnungen, die durch die Spannungen be- dingt sind. Zur Einfiihrung des Hoo keschen Gesetzes werde2) der Spannungstensor c f i k durch Abspaltung der mittleren Normalspannung3) q i / 3 in einen skalaren Anteil (Kugeltensor) und in einen Tensor (Deviator4)) Aik = uik -uii/3 zerlegt; da dieser die Spannungen einer 'volumen- treuen Verzerrung darstellt, darf in dem zugeordneten Yerzerrungsdeviator die Warmeausde- nung OL T nicht explizite auftreten. DemgemaB kann das Elastizit~tsgesetz in der Form

Beder, Zur numerischen Bestimmung der Wiirmespannungen

geschrieben werden; hierbei bedeuten k den Kompressionsmodul, G den Schubmodul und Di den Verzerrungstensor

Zum Verzerrungsdeviator ist noch zu bemerken, daB ohne zusatzliche Voraussetzung bereits

wegen der Annahme iiber die Dehnungen der Tensor Dik um den Betrag a T und die Divergenz - um die Grofle 3ocT verkleinert werden muB, so daB der angegebene Ausdruck folgt.

Fur den Spannungstensor ergibt sich unter Verwendung der P o i s s o n zahl

8% a xk

3 k - 2 G y = __-

3 k + 2 G die Beziehung

l S v a T . av, uik - Dik + ___ _ _ __- 2 6 - 1 - 2 v a x k 1 - 2 v

Bei fehlenden auBeren Massenkraften nimmt fur den ruhenden Korper die Bedingung des Krafte-

gleichgewichtes (2 = 0) die Form an

mit

Zufolge des Entwicklungssatzes s, der Tensoralgebra gilt

wobei der &-Tensor6) bei mindestens 2 gleichen Indizes verschwindet, wahrend er bei Indizes in gerader Permutation den Wert 1 , bei ungerader Permutation den Wert -1 hat. Wird nun- mehr vui = $) + @) gesetzt, wobei vi1) der wirbelfreie Anteil

sei, so kann wil) als

dargestellt werden.

Gradient eines skalaren Potentials

Da nach dem unten angegebenen Verfahren nicht der gesamte wirbelfreie Teil des Ver- schiebungsvektors erfaat werden kann, wird die Verschiebungsgleichung des Kraftegleich-

2) Vgl. z.B. J. Spielrein, Lehrbuch d. Vektorrechnung, 2. Aufl., 8. 381, Stuttgert 1926. 7 Fur doppelt auftretende Indizes gilt die Summationsvorschrift. 4 ) Nmh J. A. Schouten, Grundlegen der Vektor- u. Affinorenalysis, Leipzig 1914. 6 ) Vgl. z.B. A. Duschek u. A. Hochreiner, Grundzuge der Tensorrechnung, Bd. 1, 2. Aufl., S. 74,

6 ) FuBnote 5 1. c. S. 66. Wien 1948.

333 2. Bd. angew. 38 Nr. Math. g,lo 8ept.,0kt. Mech. lg58 Beder, Zur numerischen Bestimmung dcr Warmespennungen -

gewichtes in die folgenden Teile zerlegt ’) . . . . . . . . . . . . . . . dy - x (T - To) = 0 (A),

mit a (1 + v) x = --.

I - v

Die Losung der A ~ f g a b e ~ ) ~ ) kann derart vorgenommen werden, da5 zunachst ein bestimmtes Feld 1 aufgestellt wird, das dem Verschiebungsvektor vt” zugeordnet ist. Hierzu wird ein partikulares Integral der P o i s s o n-Gleichung (A) aufgestellt. Das Feld 1 gibt somit die infolge des vorgegebenen Warmestromes auftretenden Verschiebungen, wobei der Korper unter gean- derten Oberflachenbedingungen steht. Anschlie5end wird ein Feld 2, dessen Verschiebungsvektor der Gleichung (B) genugt, derart bestimmt, da5 das resultierende Verschiebungsfeld wi die vor- geschriebenen OberflPchenbedingungen erfiillt.

Nach der obigen Bemerkung kann 2118’ = wi*’* + $’** gesetzt werden, wobei vf“’* als Gradient eines skalaren Potentials, $’** als Rotation eines Vektorpotentials darstellbar ist :

Somit kann B) auch in der Form

geschrieben werden ; die derart zusammengefaflten Komponenten des Verschiebungsvektors ge- nugen somit je einer L a p l a ce- Gleichung. Falls der wirbelbehaftete Anteil durch einfache analy- tische Ausdrucke vollig erfa5t werden kann, eignet sich B 1) besonders fur die weitere Behandlung, wf)* stellt den bei der Losung von (A) nicht berucksichtigten wirbelfreien Teil dar; sein Einflu5 in (B 1) durfte um so geringer werden, je besser die Wahl der partikularen Integrale von (A) ist. Die Gestalt (B 1) ist fur Hohlkorper geeignet, bei denen vj*) ** als einfache Singularitat angesetzt werden kann.

Bei etwas abgeanderter Zusammenfassung der Glieder in (B) folgt unmittelbar die Ver- schiebungsgleichung in der iiblicherweise angegebenen Form

Die Randbedingungen sind- gegeben durch die Differenz der vorgeschriebenen resultierenden Spannungen und den aus Feld 1 folgenden Oberflachenspannungen.

111. Zur LBsung von (A) Ein partikulares Integral von A) kann auf Grund des Umstandes angegeben werden, daf3 T

der Gleichung der stationaren Warmeleitung genugt. Wird das Potential in der Form K1y = !P * h(s)

angesetzt, wobei die Variable s fur die verschiedenen Achsenkreuze die unten angegebene Be- deutung hat, so fuhrt die Berucksichtigung der Gleichung d T = 0 auf folgende Beziehung fur die gesuchte Funktion h(s)

- l = O , d lg (snTa) as

r f + h’ _____

wobei die Bezugstemperatur zu Null angenommen ist ; es gilt w = 0, s = z fur kartesische Achsenkreuze w = 0, s = z fur Zylinderkoordinaten TZ = 1, s = r fur Zylinderkoordinaten w = 2, s = r fur Kugelkoordinaten.

7 ) S. Timoshenko and J. N. Goodier, Theory of elasticity, 7. Aufl. S. 433,.New York 1951.

@) Eine ausfiihrliche Darstel~ung geben E. MeIan und H. Perkus , Wllrmeapannungen, Wien 1953.

W. Schmeidler, Zuriiokfiihrung der WiLrmespamungen in einem elastischen Karper auf ein Knick- Biegeproblem, Z. angew. Math. Meoh. 28 (1948), S. 92,

2;. angew. Math. Yech. Bd. sB Nr. e,lo 8ept.,0kt. 1958 Brtder, Zur numerischon Bcetimmung dcr Wiirmespannungon - 334

Der Faktor von h' mu13 eine Konstante oder eine Funktion nur von s sein, ein Fall, der bei Temperaturfeldern oft vorliegt. Dann liefert der obige Losungsansatz die nachstehend angefiihrten partikularen Integrale.

a) Bei Verwendung eines rechtwinkligen kartesischen Achsenkreuzes gilt x-1 y = T (const dz + J T-z JT2 dz dz) .

Wegen der Linearitat kann allgemeiner

geschrieben werden, wobei f und g entsprechenden Beziehungen geniigen. Die Voraussetzung iiber den Faktor von h mu13 in allen Fallen erfiillt sein.

b) Bei einem zylindrischen Korper (2, r : Koordinaten in axialer bzw. radialer Richtung) mit rotationssymmetrischer Temperaturverteilung (T = T (z, T)) sind fur folgende Faille Losungen angebbar :.

x - l y = T * ( f ( 4 + 9(Y) + W )

1. 2' = f(z) + g(r). - Aus der Gleichung der Warmeleitung folgt 1 2

T = z + CaZ2 - - car + C, lg r

ci: bekannte Konstanten). Der Losungsansatz

fiihrt auf 9c-l Y = Yl(4 + ya(4

1 7 c3 9.2 (lg r - 1)

(Cl, Ca: Integrationskonstanten). Insbesondere folgt hieraus in Verbindung mit den Spannungs- gleichungen, da13 ein Korper vollig spannungsfrei ist;wenn nur ein in Achsenrichtung konstantes Temperaturgefalle vorliegt.

2. T = f(z) . g(r) . - In diesem Sonderfall fuhrt der LoQungsansatz xL1 y = T h(z)

wieder auf den in a) angegebenen Ausdruck. Das aus dem Losungsansatz

entstehende partikulare Integral (n= 1, s= T) wird im allgemeinen wegen der Quadraturschwie- rigkeiten nicht zu bevorzugen sein.

3. T =z Cnfn(z) gn(r). - Eine Losungfur diesen Fall, derauf Grund des Bernoullischen Ansatzes der Trennung der Variablen bei vielen stationaren Temperaturfeldern auftritt, folgt ohne weiteres aus der Linearitat von (A).

Der oben erwiihnte Losungsanteil, der der homogenen Gleichung zugeordnet ist, kann im allgemeinen zur Erzielung der Konvergenz der unendlichen Reihe nicht aul3er acht gelassen werden. Wenn infolge der erforderlichen zweifachen Differentiation sowohl bei den axialen wie auch bei den radialen Normalspannungen Konvergenzschwi erigkeiten auf treten, mu13 gegebenen- falls auch der zweite oben erwahnte Losungsansatz hinzugezogen werden. Von einer Beibehaltung von Singularitaten und ihrer Kompensation durch entsprechende Unstetigkeiten des Feldes 2 diirfte man wohl im allgemeinen absehen.

c) Wenn Kugelkoordinaten dem Problem zugrunde liegen, so ergibt (n = 2, s= r ) die obige Tafel eine partikulare Losung; dies gilt auch fur den Fall, da13 T nicht nur eine Funktion des Radius T allein ist, sofern nur die Voraussetzung uber den Faktor von h' erfiillt ist.

Nachstehend ist als Beispiel fur die Methode der wohlbekannte Spannungszustand der innen beheizten Hohlkugel (a I;r Sb) mit der Temperaturverteilung

x-l w = T * h ( ~ )

behandelt. Die Ausfiihrung der Quadratur

liefert den Wert x-1 y = T (CJ( T r)-2 dr + J( T r)-2/ (T T ) ~ dr dr)

335 Z. Bd. angew. 56 Nr. Math. 8,10 sept.,Okt. Mech. 1856 Bader, Zur numerischen Beatimmung der Wiirmeapannungcn

In Verbindung mit den Beziehungen arl = 2 G x (x-l yff - T ) , atl = 2 G x ( x - l y ~ ~ r - 1 - T) ,

fur die radialen bzw. tangentialen Normalspannungen des 1. Verschiebungdeldes folgen die Ausdriicke

b3 b + A To (j-p - 7 + +)), a,l = 2 G x

ATo (- -- b3 2 + 4)). r3 r

Zur Befriedigung der Oberfllchenbedingungen (Innen- und AuSenwand seien von auSeren Krlften unbelastet) werde

gesetzt ; ferner werde ein 2. Feld mit dem Radius r proportionalen Verschiebungen u uberlagert, so daS in radialer wie tangentialer Richtung je eine konstante Normalspannung hinzutritt ; wird dieses Verschiebungsfeld zu

~ = 1 - 2 " a T o ~ ! ! ~ ) - - . - . . . . - - 3 - 3 3 b - a a ) . r 1 - v

angenommen, so verschwinden die resultierenden Spannungen lo)

b3-a3 a'b2) a b (a + b ______ __

2 G X To- b3 - a3 2 r b - a 2 r 3 at

an beiden Oberfltichen.

IV. Zur L6sung von (B) Bei dem hier behandelten Verfahren liegen die Schwierigkeiten in der Bestimmung des

Feldes 2, dessen Oberfliichenbedingungen im allgemeinen verwickelter Natur sind. Um zur niiherungsweisen Ermittlung der e)?) hinreichend viele verfugbare Konstanten zu erhalten, ist wie folgt vorgegangen. Der Losungsansatz fur (B 2) wird aus zwei Anteilen zusammengesetzt, deren ersterer Summand der Vektor eines Laplaceschen Feldes sei, SO daf3 der andere Summand den Vektor eines allgemeinen Quellen- und Wirbelfeldes darstellt. Bedeutet Q eine charakte- ristische Korperlgnge, Kl eine durch das jeweilige Problem gegebene Zahl, so werde gesetzt

Im Hinblick auf das nachfolgende Beispiel seien fur einen zylindrischen Korper mit rotations- symmetrischer Temperaturverteilung die entsprechenden Angaben gemacht ; es mogen u bzw. w die Verschiebungen in radialer bzw. axialer Richtung darstellen.

w?) = a K1 (uf + $*) . .

Es sei -a, z

a, e A,z - b, e-amz s,(z) zz amearn' + b,e

d,(z)

,

(a,, b,, A,: Konstante). Dann stellen die dimensionslosen GroSen 26; = 2 J1(Lr) s,(z) 9

w'z = - #EJo(An r> d,(z) (J,,, J1: Zylinderfunktionen 1. Art) bis auf den Faktor aK, die Komponenten eines Vektors eines Laplaceschen Feldes dar.

Ferner bedeuten u;*= C r s -, wz++ = - C(z/a)' (2 (1 - A))-1

a'

die Komponenten eines Vektors eines Quellen-Wirbelfeldes. Zusammenfassend sei ui = a?) + d*) eine aus den beiden Feldern resultierende Normal- oder Tangentialspannung an einer Korper-

10) Vgl. FuBnote 7, 1. c. S. 416/21. 22

Z. angew. Math. Me&. 336 Bd. 38 Nr. ello sept.lOkt. 1Qs8

oberflache, deren Flachenelement dfi sei; a, ist somit nur von einer Variablen abhangig. Ent- sprechend den iiblichen Bedingungen ist nachstebend stets Spannungsfreiheit an den Oberflachen vorausgesetzt. Ferner sei a, als Reprasentant des unbekannten Koeffizienten angesehen.

a) Die Forderung, daI3 das Quadrat der Abweichung vom Sollwert, hier also dem Wert Null, an j ede r Oberflache im Mittel moglichst klein sein soll, liefert fur jeden Wert i= 1, . . ., N N : Anzahl der verschiedenen Oberflachen) ein lineares Gleichungssystem fur die a,, so daI3

Fi = Jo;dfi 2 0 gilt, hat die Forderung

2 Fi = Min

einen mechanischen Sinn ; die Summe aller Normal- und Tangentialspannungen soll im Mittel klein sein. Unter dieser Annahme liefert

Beder, Zur numerisohon Bostimmung dor Wiirmospennungcn

berbestimmung vorlage. Da jedoch (unter Fortfall der Summationsvorschrift) 6

ein lineares Gleichungssystem fur die Unbekannten am. Die hierbei auszufiihrenden Quadraturen werden im allgemeinen betrachtliche Schwierigkeiten bereiten.

b) Daher soll zur Vereinfachung des Rechnungsganges von dem Ausdruck J ui dfi aus- gegangen werden. Wird diese GroBe gleich Null gesetzt, so werden sich einerseits im allgemeinen iiberzahlige Gleichungen ergeben, andererseits wird die Anzahl der Unbekannten stark ein- geschrankt ; es gilt m 2 N .

V. Beispiel Ein kreiszylindrischer Stab der Lange h werde an seinen beiden Endfliichen auf konstanter

Temperaturdifferenz LIT gehalten und gebe am Mantel an das umgebende Medium der Tem- peratur To= 0 Warme abll). Die Nusselt-Zahl12) sei auf den Halbmesser bezogen: Nu=ola/Z, (a : Warmeiibergangszahl, A: Warmeleitzahl). Die Temperaturverteilung ist durch

m

T = 2 LIT. NU 2 C,. f , (~) * gn(r) n=l

gegeben; hierbei ist mit a a h Halbmesser cn = (Nu2 + p; .2)-1 , f n = Gin 9n = JoOln W o ( r U n 4 -

(h - z)/Gjitt pn h y

Bild 1. Temperaturverteilungen be1 Nu = 0,6 Bild 2. Temperaturverteilung am Mantel des Zylinders h/a = 2 be1 versehiedenen NUSBelt-Zahlen

Die Eigenwerte pn sind durch die Wurzeln der Gleichung

P n a * J ~ ( p n a) = NU * John a)

11) Vgl. z.B. H. S. Carslsw and J. C. Jaeger, Conduction of hest in solids, 2. Aufl., S. 188, Oxford

la) Vgl. z.B. E. Schmidt, Thermodynamik, 4. Aufl. S. 366. Berlin 1960. 1948.

337 Bd, 36 Nr. e/lo 8ept./0kt,

festgelegt. Auf Grund der asymptotischen Entwicklungen der Zylinderfunktionen folgt hieraus fur hinreichend groi3e Werte der Indizes die fur die Konvergenz der Reihen wichtige Beziehung

2. angew. Math. Mech. Bader, Zur numerischen Bestimmung der Wiirmespennungcn -

a) Fe l d 1. Die von der L a p 1 a c e - Gleichung Ay = 0 stammenden Zusatzglieder wurden derart gewiihlt, da13 an den beiden Endflachen (z = O bzw. h) die Normalspannung verschwindet. Damit ergibt sich fur das Potential in (A) der Wert

mit .

Die Ermittlung der Spannungen liefert insbesondere fur die Mantelschubspannungen

. y == x * AT * NU 2 Cn [(h - Z) kn - h got pn h * f n ] gn

k n = Pn (h - z)/G,in h *

h JZ](Z, a) dz = 0 . 0

b) Feld 2. Aus der in IVb aufgestellten Forderung folgt fur die unbekannten Koeffizienten

1. Normalspannungen fur z = 0: das lineare Gleichungssystem :

2 J1(Am a) * Sm(0) = 0 . m

2. Schubspannungen fur z = 0:

mit13)

Bild 3. Spmnungen 811 der Endflache z = 0 ( a : Feld 1; E : Feld 2; c : res. Feld) - 0 5 nu =a-a = E

1 - v K = __ wU. AT.^,

3. Normalspannung fur z = h h 2 J1(A, a) * S,(h) + - c = 0 .

m 2 a

13) Die numerische Auswertung des hierbei auftretenden Integrals Jo(6) dE wurde durchgefiihrt unter Verwendung des Tabellenwerkes Faddeeva- Gavurin, Tebellen der genzzahligen Bess e lschen Funk- tionen, Moskau 1960. Dieses Werk gibt bis zur Ordnung rn = 120 die Zehlenwerte an, so daD die Bildung von Z J z k + , raech durchzufuhren ist.

222

Z. angew. Math. Me&. Bd. 9e Nr. g/lo 8ept./0kt. 1g5e 338 Beder, Zur numcrischcn Bestimmung dcr Wlirrncspannungen

4. Schubspannung fur z = h

m

-g-S n I 1

-5-3.5 h

I 1

-405- 0.5 LO

-qos- 0.5 I,O

-405 - 4s LO

9 10

0.05

0

-0.05

-910 -470 1-j ‘

Bild 4. Gpannungen an der Endflirrhe z = h ( a : Eeld 1; b : Feld 2; c: ree. Feld) E aa K=- N u * A T . & . N u = - = O 0 , 5

1 - - Y 1

5. Normalspannung fur T = a . * 2 (Jo(Am a) -%A) (dm(h) - d,(O)) - ~ 1 - 1 P C -

m A112 a 1 - v 2 a2 [ ~ 4 ~ + ~ h ) ( G p - 1 ) - Nu 21.

6. Schubspannung fur T = a

44

42

0

- 42 -44

-.

7,’

t o

45 0

-85

- bO -35

Bild 6. Gpannungen am Zyllndermantel (a: Feid 1; b: Feld 2; c: res. Feld) K = - N u . A T . a , N = ? ? = 0 , 6

1 - Q 1

Hierbei bedeuten : V1%(5) = got 5- 5 Girt-2 5 , q2,(5) = (5 Qoi 5 - Bin 5) G i r 2 5 , ~ ~ ~ ( 5 ) = (goi 5 - 1) 5-1 G i r l 5 , ~ ~ ~ ( 5 ) = ( 5 - Girt 5) Bin-l 5 .

Da die Gln. (l), (3) und (6) linear voneinander abhiingen, also eine dieser Bestimmungsgleichungen entfallt, gilt m = 1, 2.

Im AnschluB wurden numerische Rechnungen mit folgenden Ausgangswerten ausgefuhrt : Zylinderhalbmesser a = 1, Schlankheitsgrad h/a=2, 3,5 und 5, N u s s e 1 t - Zahl Nu= 0,s. Zur Veranschaulichung sind in Bild 1 und 2 einige Temperaturverteilungen angegeben. Bild 3 bis 5 geben in mahtabsfreier Wiedergabe eine ubersicht uber die 6 Randbedingungen, wobei span- nungsloser Zustand (sowohl hinsichtlich der Nor- mal- wie der Tangentialspannungen angestrebt wurde. Der in die Rechnungen [Bestimmungsglei- chung (5)] eingehende Wert Y der Querkontraktion istl') zu 0,22 angenommen. Es gilt z. B. fur Spie-

42

gelglas 0

E = 7 - lo5 kg/cm2 a = 8 Grad-1 -42

K = 3,6 kg/mm2. Blld 6. Axfale Normalspannung far t = 0 - bei einer Temperaturdifferenz A T = 100" C

E 1 --. K .= - N U . A T .a, NU = - 0,s

Lediglich die radialen Normalspannungen auf der Mantelfliiche steigen bis auf mehrere kg/mm2 an, wiihrend die ubrigen Spannungen an den Oberfliichen befriedigend klein sind. Bild 6 zeigt einen beachtenswerten Vorzeichenwechsel der axialen Normalspannungen in den Zylindermitten r = 0; wiihrend der dicke Zylinder hier nur Druckspannungen aufweist, ergeben die Rechnungen fur den schlanken Zylinder im wesentlichen Zugspannungen. Nach Bild 1 liegt beim schlanken

Zylinder die starkste Temperaturiinderung - etwa in dem Bereich 0 < - < 0,4; daher mu13

als Ausgleich fur die Druckspannung in der Niihe der unteren Endfliiche (z = 0) fur groBere

Werte von - ein Vorzeichenwechsel eintreten.

aT z az h

2

h

VI. Zussmmenfassung Es wurde die Grundannahme uber das Verhalten der Dehnungen eines stationar erwiirm-

ten Korpers in das allgemeine Elastizitatsgesetz eingefuhrt ; ohne Zusatzvoraussetzungen uber den Zusammenhang zwischen dem Spannungs- und dem Verzerrungsdeviator ergaben sich auf- grund des Kriiftegleichgewichtes die bekannten thermoelastischen Gleichungen.

Fur den wirbelfreien Anteil des in ublicher Weise zusammengesetzten Verschiebungs- feldes wurde eine Rechenvorschrift zur Aufstellung partikuliirer Integrale der Poi s s o n-Gleichung angegeben; diese Losungen bestehen i. a. aus 2 unendlichen Reihen; auf diese Weise konnen die Konvergenzschwierigkeiten i. a. vermieden werden, die bei der Bestimmung der Spannungen infolge der erforderlichen 2fachen Differentiationen auftreten konnen.

Zur Berechnung des 2. Verschiebungsfeldes wurde eine Minimumsbedingung vorgeschlagen, deren Anwendung jedoch einen betrlchtlichen Aufwand an Rechenhilfsmittel erfordert.

Als Beispiel wurde der Fall endlich langer Zylinder behandelt, deren Endfliichen auf kon- stanter Temperaturdifferenz gehalten sind und deren Mantelflache Warme nach auflen abgibt . Anstelle der emiihnten Minimumsforderung wurde eine vereinfachte Annahme verwendet. Die Randbedingungen konnten gut erfullt werden ; lediglich die radialen Normalspannungen an der Manteloberfliiche wiesen relativ gro13ere Abweichungen vom Sollwert auf.

Fur die axialen Normalspannungen in den Zylinderachsen ergab sich ein vom Schlankheits- grad abhangiger Wechsel von Druck bei kurzen Zylindern nach Zug bei schlankeren.

1') Dieser Wert Barn (men vgl. PuDnote 9,l . o. S. 107/8) etwa fur Ulea engenommen werden. Eingegangen am 6. September 1966.