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Zur Simulation von Haftreibung und mechanischen Anschlägen

Heinz A. Gall

Maschinenbau, Berufsakademie in Horb

e-mail: ga@ast-horb.ba-stuttgart.de

1999

Kurzfassung

Die besonderen Eigenschaften von Zwangs-kräften liefern einen Ansatz für die Modellie-rung von Haftreibung und mechanischen An-schlägen. Dabei werden Auslenkung, Ge-schwindigkeit und Beschleunigung ereignisge-steuert auf feste Werte gesetzt. Dies ist mög-lich, da die Lösung der Bewegungsgleichung in Bindungsrichtung bekannt ist, sobald Zwangskräfte auftreten.

Die Integrationsroutinen müssen dazu über die Möglichkeit verfügen, einzelne Zustands-größen zu setzen, während die anderen Zu-standsgrößen weiter integriert werden.

Seit der Version 2 verfügt SIMULINK über die notwendigen Setzmöglichkeiten. So wird der beschriebene Ansatz z.B. in der Simulink-demo „Friction Model with Hard Stops in Simulink 3“ teilweise realisiert. Leider sind nicht alle Aspekte des Modellierungsansatzes berücksichtigt.

Der Beitrag möchte die grundlegenden Ge-danken und Hintergründe der Modellbildung von Haftreibung und mechanischen Anschlä-gen durch Setzen von Systemzuständen aufzei-gen und am Beispiel einer SIMULINK-Realisierung verdeutlichen.

1. Einleitung

Bei der Simulation mechanischer Systeme tritt immer wieder das Problem der harten me-chanischen Anschläge auf. Beispielsweise ist die Steuerkolbenbewegung eines Hydraulik-ventils oder der Kolbenweg eines Hydraulik-zylinders durch Anschläge begrenzt.

Eine einfache, aber wenig vorteilhafte Me-thode, solche Anschläge zu simulieren, basiert

auf der Vorstellung, daß es sich bei Anschlä-gen um sehr steife, aber doch nachgiebige Bau-teile handelt. Dementsprechend modelliert man harte Anschlagfedern und entsprechend starke Anschlagdämpfer. Problematisch ist dann die Wahl der Feder- und Dämpferkonstanten. Da diese Parameter nicht direkt aus den techni-schen Gegebenheiten abgeleitet werden kön-nen, erkennt man, daß Anschlag-federn und –dämpfer oft nur Hilfskonstruktionen sind, um Anschläge überhaupt simulieren zu können. Simulationstechnische Schwierigkeiten entste-hen auch dadurch, daß das mechanische Sys-tem durch die harten Federn im Anschlagbe-reich relativ hochfrequent wird, was z.B. zu kleinen Integrationsschrittweiten und großen Rechenzeiten führt.

Die in diesem Beitrag beschriebene Vorge-hensweise entspringt einer anderen Anschau-ung über die physikalische Wirkungsweise von Anschlägen. Dabei werden keine Aussagen über die Vorgänge während des Anschlagens gemacht. Vielmehr betrachtet man das Auftref-fen auf einen Anschlag als ein Zustands- ereignis.

2. Ein Ausflug in die Technische Mechanik

Ist ein Körper durch materielle Bindungen mit anderen Körpern verbunden, dann hat man eine geführte Bewegung. Die Bewegungsfrei-heit des Körpers ist durch die starren Verbin-dungen eingeschränkt.

Rollt z.B. eine Kugel auf einem Tisch, dann sorgt der materielle Kontakt zwischen Tisch und Kugel dafür, daß die Kugel nicht in den Tisch eindringt. Dies geschieht dadurch, daß in der Bindung eine Zwangskraft erzeugt wird, die zu jedem Zeitpunkt genau so groß ist, daß

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in Richtung der Tischplatte Kräftegleichge-wicht herrscht.

Die Vorstellung, daß in materiellen Bindungen Zwangs- oder Reaktionskräfte entstehen, die genau so groß sind, daß sie eine Bewegung gerade verhindern, kann bei der Modellbildung von harten Anschlägen ver-wendet werden.

Bild 1: Feder-Masse-System mit Anschlägen

Wird z.B. ein Ventilkolben durch die ein-wirkenden eingeprägten Kräfte Fe gegen einen Anschlag gedrückt, dann entsteht zwischen Ventilkolben und Anschlag eine materielle Verbindung, die jede Bewegung unterdrückt. Die Auslenkung x wird in diesem Zustand auf dem Anschlagswert xa festgehalten. Die Ge-schwindigkeit ist Null und auch die Beschleu-nigung verschwindet, solange die einseitige geometrische Bindung in der Lage ist, Kräfte-gleichgewicht herzustellen.

Die Beschleunigung wird deshalb zu Null, weil der Anschlag auf den Kolben eine Zwangskraft Fz ausübt, die immer genau so groß ist, daß die Summe aller Kräfte am Kol-ben gleich Null ist (1).

Da der Anschlag nur Druck- aber keine Zugkräfte aufbringen kann, wirkt der Anschlag nur so lange, wie die angreifenden einge-prägten Kräfte Fe den Kolben in Richtung des Anschlages drücken.

3. Anschlagmodellierung

Für die Modellierung mechanischer An-schläge ergibt sich aus der oben beschriebenen Einsicht folgende Vorgehensweise.

Man unterscheidet zwei Zustände, in denen sich das System befinden kann:

a) Freie Bewegung (Fz = 0)

Es wirken keine Anschläge, d.h. keine geo-metrischen Zwänge. Die Masse bewegt sich entsprechend der Differentialgleichung (1), wobei als Kräfte F nur eingeprägte Kräfte Fe in Erscheinung treten (Gewicht, Feder- und Dämpferkräfte, Gleitreibung, hydraulische Druckkräfte, usw.).

b) Erzwungener Stillstand (Fz ≠ 0)

Die Masse befindet sich an einem Anschlag. In der materiellen Bindung treten Zwangskräf-te auf, die genau so groß sind, daß die Summe aller Kräfte gleich Null ist. Solange der Körper gegen den Anschlag gedrückt wird, bleibt die Auslenkung x auf dem Anschlagswert xa fest-gehalten. Die Geschwindigkeit ist Null und es tritt auch keine Beschleunigung auf. Da somit die Lösung der Bewegungsgleichung (1) be-kannt ist, kann man diese Lösung in das Simu-lationsmodell einbauen.

Beim Übergang von freier Bewegung zum erzwungenen Stillstand tritt das Zustands-ereignis „Stoß“ auf.

Zur Steuerung der Simulation verwendet man logische Bedingungen, die Auskunft da-rüber geben, ob gerade ein Stoß eingetreten ist und ob sich das System im Zustand des er-zwungenen Stillstandes befindet oder nicht.

4. Anforderungen an ein Simulationspaket

Oft können Begrenzungen dadurch simuliert werden, daß man den Eingang eines Integra-tors auf Null setzt und somit eine Zustandsgrö-ße auf dem momentanen Wert festhält. Dies reicht für die Realisierung der oben dargestell-ten Anschlagsmodellierung nicht aus. Viel-mehr benötigt man Integrationsroutinen, bei

)1(FFFxm ze∑ ∑ ∑+==⋅••

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denen einzelne Zustandsgrößen auf vorgebbare Werte gesetzt werden können. Die nicht ge-setzten Zustandsgrößen werden währenddessen normal weiterintegriert.

Seit MATLAB 5/ SIMULINK 2 steht in SIMULINK die notwendige Beeinflussungs-möglichkeit der Integratoren zur Verfügung. Dabei ist zu beachten, daß das Setzen eines Integrators nicht statisch, in Abhängigkeit ei-nes Zustandes erfolgt, sondern dynamisch, bei einem Zustandswechsel. Man muß daher dafür sorgen, daß die gesetzten Integratoren fest-gehalten werden, solange die entsprechenden Zustände andauern.

In der Simulationssprache ACSL wird die Ereignissteuerung mit der SCHEDULE-Operation bewerkstelligt.

Eine komfortable Zustandsbehandlung steht in der Sprache DYMOLA oder mit der SIMU-LINK-Erweiterung STATEFLOW zur Verfü-gung.

5. Strategie

Will man die vorgeschlagene Anschlags-modellierung anwenden, dann kommt den boolschen Setzbedingungen eine zentrale Be-deutung zu. Man muß die Frage beantworten, unter welcher Bedingung die Auslenkung x auf den Anschlagswert xa bzw. die Geschwindig-keit auf Null gesetzt werden muß.

Für einen einseitigen Anschlag beim Aus-lenkungswert xa und unter der Annahme eines plastischen Stoßes, kann die Setzstrategie fol-gendermaßen aussehen:

1. Erreicht der Körper den Anschlag, dann tritt das Ereignis „Stoß“ ein. Die Auslen-kung x wird auf den Anschlagswert xa und die Geschwindigkeit wird auf Null gesetzt. Setztbedingung (dynamisch):

2. Wird der Körper von den eingeprägten Kräften gegen den Anschlag gedrückt, herrscht der Zustand „Erzwungener Still-stand“. Die Auslenkung x wird auf dem Anschlagswert xa und die Geschwindigkeit wird auf Null festgehalten. Dies wird durch das Nullsetzen der Beschleunigung be-werkstelligt. Haltebedingung (statisch):

3. Ansonsten wird die Bewegungsgleichung ohne jedweden Eingriff integriert.

6. Realisierung mit SIMULINK

Nachfolgend soll die Realisierung der vor-geschlagenen Anschlagmodellierung mit SIMULINK 3 aufgezeigt werden.

Bild 1 zeigt das zugrundegelegte mechani-sche System mit zwei Anschlägen bei x = xa bzw. bei x = xb. Es wird ein plastischer Stoß angenommen.

Die freie Bewegung wird durch folgende Gleichungen beschrieben

Bild 2 zeigt das SIMULINK-Modell. Alle für die Anschlagmodellierung notwendigen Blöcke sind durch Schatten gekennzeichnet.

Für die Integratorbeeinflussung stehen in SIMULINK zwei Eingriffsmöglichkeiten zur Verfügung. Die Integratorsättigung (Limit output) und das externe Setzen (External re-set). Dabei ist zu beachten, daß das externe Setzen dynamisch erfolgt. Man setzt den In-tegrator also nicht solange ein Zustand andau-ert, sondern beim Eintreten eines Ereignisses (Zustandswechsel).

)2(xx a≥

)4()xcxpdxc(

m1

xp

xpx

e

⋅+⋅−⋅−=

=•

•

∑ ≥≥ )3()0F(UND)xx( ea

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Geschwindigkeit Auslenkung

Beschleunigung

Summe der eingeprägten Kräfte Fe

Steuersignal: 1...rechter Anschlag erreicht; -1...linker Anschlag erreicht

xxp

xpp

Schalter

((u(2)==1)&&(u(1)>=0)) || ((u(2)==-1)&&(u(1)<=0))

Schaltbedingung

Mux

s

1

Integrator2

s

1

Integrator1c

c

d

1/m

0

Anregungxe

|u|

Abs

Bild 2: SIMULINK-Modell mit Anschlägen

Dementsprechend erfolgt die Integrato-rensteuerung folgendermaßen:

1. Die Auslenkung x wird, durch die Begren-zungen des Integrators2, auf den An-schlagswerten xa bzw. xb festgehalten. Ist die Auslenkung x in der Sättigung, dann wird dies durch das Steuersignal am „satu-ration port“ angezeigt.

2. Mit dem Steuersignal aus dem Integrator2 wird die Geschwindigkeit xp (Integrator1) dynamisch, d.h. beim Zustandswechsel, auf Null gesetzt, sobald ein Anschlag erreicht ist. Da am saturation port auch beim Ver-lassen der Begrenzung Signalwechsel er-folgen, wird die Betragsbildung (Abs) und die aufsteigende Flanke benutzt. Dadurch ist sichergestellt, daß die Geschwindigkeit nur beim Erreichen eines Anschlages auf Null gesetzt wird.

3. Damit die Geschwindigkeit xp auch solan-ge auf Null bleibt, solange die Masse gegen den Anschlag gedrückt wird, hält man die Beschleunigung xpp (Eingang des Integra-tors1) auf Null, solange ein Anschlag wirkt. Schaltbedingung:

Bild 3 zeigt beispielhaft ein Simulations-ergebnis: Nachdem zur Zeit t = 0.1s die Eingangsgröße xe einen Sprung von 0 auf 0.1 Meter gemacht hat, bewegt sich die Masse in Richtung des rechten Anschlages. Bei x = xa = 0.05m stößt die Masse plastisch gegen den Anschlag. Da die Feder die Masse gegen den Anschlag drückt, bleibt die Geschwindigkeit xp gleich Null und auch die Beschleunigung xpp ver-schwindet. Erst wenn die Eingangsgröße xe bei t = 1,1s wieder auf Null zurückgeht, löst sich die Mas-se vom Anschlag. Durch ihr Überschwingen tippt sie noch am linken Anschlag an, ohne dort für längere Zeit liegenzubleiben.

Die Simulation zeigt, daß die drei entschei-denden Vorgänge, „Anstoßen und Anliegen“, „vom Anschlag lösen“ sowie „Antippen“ vom Modell richtig wiedergegeben werden.

7. Teilelastischer Stoß

Soll bei der Simulation berücksichtigt wer-den, daß der Körper beim Aufprall zurück-springt, dann muß beim Stoß eine Geschwin-digkeitsumkehr modelliert werden.

Bild 4 zeigt, durch Schatten gekennzeich-net, die notwendige Erweiterung des SIMU-LINK-Modells. Die Dead Zone ist erforder-lich, damit die Masse nicht unendlich oft und dabei sehr hochfrequent prellt.

[ ]

[ ])5(

)0F(UND)xx(ODER

)0F(UND)xx(

eb

ea

∑ ≤≤

∑ ≥≥

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Geschwindigkeit Auslenkung

Beschleunigung

xxp

xpp

k

Stoßzahl

((u(2)==1)&&(u(1)>=0)) || ((u(2)==-1)&&(u(1)<=0))

Schaltbedingung

Mux

s

1

Integrator2

s

1

Integrator1

[0]

IC

c

c

d

1/m

Dead Zone

0

Anregungxe

|u|

Abs

Bild 3: Simulationsergebnisse

Bild 4: SIMULINK-Modell mit elastischem Stoß

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.04 -0.02

0 0.02 0.04

Bewegungsgrößen A

usle

nkun

g x

[m]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.5

0

0.5

1

Ges

chw

ind.

xp

[m/s

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -2

0

2

4

Bes

chl.

xpp

[m/s

2 ]

Zeit [s]

Xa = 0.05m

Xb = -0.02m

Antippen am linken Anschlag Lösen vom rechten Anschlag

plastischer Stoß am rechten Anschlag

Nullsetzen der Geschwindigkeit

Beschleunigung auf Null halten

(Stoß)

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Die Stoßzahl k gibt das Verhältnis der Ge-schwindigkeiten vor und nach dem Stoß an.

Bild 5: Simulationsergebnisse bei teilelastischem Stoß

Bei einer Stoßzahl von k = 0 handelt es sich um einen plastischen Stoß. Ist k = -1, dann hat man einen vollelastischen Stoß. Beim wirkli-chen Stoß liegt k zwischen 0 und –1.

Für einen teilelastischen Stoß (k = -0,6; tote Zone = ±0,05 m/s; sonst alles wie für Bild 3) sind in Bild 5 Simulationsergebnisse dargestellt. Man erkennt deutlich das Zurückspringen der Masse und die Geschwindigkeitsumkehr.

8. Haftreibung

Oft wird Reibung durch Schlupfkurven (Reibkraft über Relativgeschwindigkeit) modelliert. Die Haftreibung wird dabei durch einen steilen Kraftanstieg im Bereich kleiner Geschwindigkeiten nachgebildet (Bild 6). Neben numerischen Schwierigkeiten durch die sehr große Verstärkung im Geschwindigkeits-nullpunkt, hat diese Methode den Nachteil, daß der reibungsbehaftete Körper nicht so richtig

anhalten kann. So kommt eine Masse auf einer schiefen Ebene nicht vollständig zur Ruhe, da immer eine kleine Geschwindigkeit erforder-lich ist, um der Hangabtriebskraft entgegenzu-

wirken.

Im Gegensatz zur Gleit-reibung ist die Haftreibung eine Zwangskraft. Dement-sprechend ist die Haftreibungs-kraft immer genau so groß, daß sie den anderen Kräften das Gleichgewicht hält und damit jede Bewegung verhindert (Auslenkung festgehalten, Ge-schwindigkeit gleich Null). Erst wenn die anderen am Körper angreifenden Kräfte von der Haftreibung nicht mehr gehalten werden können, tritt eine Bewe-gung auf.

Analog zum Anschlag läßt sich daher die Haftreibung als Zwangskraft modellieren.

Bild 7 gibt das zugehörige SIMULINK-Modell wieder.

1. Das Ereignis „Eintritt in die Haftreibung“ tritt nur auf, wenn die Relativgeschwindig-keit Null ist bzw. einen Nulldurchgang hat (Hit Crossing Block) UND die Summe al-ler eingeprägten Kräfte kleiner-gleich der maximal möglichen Haftreibungskraft ist.

Die Geschwindigkeit xp (Integrator1) wird in diesem Fall auf Null gesetzt.

2. Solange die Summe der eingeprägten Kräf-te betragsmäßig kleiner-gleich der maximal möglichen Haftreibungskraft FHaft,max = µ0*FN ist, befindet sich das System im Zustand „Verharren in der Haftreibung“. Dabei sorgt die Haftreibung als Reaktionskraft für

)6(vkv vorhernachher ⋅=

)7(FFF

UND0x

N0max,Hafte ⋅µ=≤

=

∑

•

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.04 -0.02

0 0.02 0.04

Bewegungsgrößen

Aus

lenk

ung

x [m

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.5 0

0.5 1

Ges

chw

ind.

xp

[m/s

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -2 0 2 4

Bes

chl.

xpp

[m/s 2 ]

Zeit [s]

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Geschwindigkeit

Auslenkung

Beschleunigung

Haftreibungsmodell

Gleitreibungsreibungsmodellxpp

x

xp

xp

Geschwindigkeit

Switch

Sign

(u(2)==1)&&(abs(u(1))<=u(3))

SchaltbedingungNulldurchgang Geschwindigkeit

mue0*FN

Max Haftreibung

s

1

Integrator2

s

1

Integrator1

mue*FN*u(1)

Gleitreibung

c

c

d

1/m

0

Anregungxe

Reibkraft

Geschwindigkeit

Kräftegleichgewicht. Die Beschleunigung xpp ist Null. Dadurch bleibt auch die Geschwindigkeit xp bei Null stehen. Die Auslenkung x wird auf dem momentanen Wert festgehalten.

3. Tritt keine Haftreibung auf, dann kann z.B. Gleitreibung als eingeprägte Kraft wirken.

In Bild 8 sind Simulationsergebnisse dar-gestellt. Die Anregung springt bei der Zeit t = 0.1s von Null auf xe = 0.1m. Nach einem Einschwingvorgang kommt die Masse bei t = 1,1s in der Haftreibung zur Ruhe. Die Aus-lenkung entspricht dabei nicht der Anregung! Die Geschwindigkeit xp ist exakt gleich Null. Bei t = 1,3s geht die Anregung sprunghaft auf Null zurück. Die Masse befreit sich aus der Haftreibung.

Bild 6: Reibkraft eines Hydraulikzylinders

In der Beschleunigung xpp ergeben sich Nadelimpulse, die das Simulationsergebnis aber praktisch nicht beeinflussen. Die Peaks entstehen beim Beginn einer Bewegung, da die Gleitreibung erst nach einem ersten Integra-tionsschritt (ab einer Geschwindigkeit xp ≠ 0) sprunghaft wirkt.

Bild 7: SIMULINK-Modell mit Gleit- und Haftreibung

)8(F)x(signF NR ⋅µ⋅−=•

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Bild 8: Simulationsergebnisse: Feder-Masse-Schwinger mit Gleit- und Haftreibung

9. Schlußbemerkung

Beim Auftreten von Zwangskräften (ma-teriellen Bindungen und Haftreibung) erfolgt ein Strukturwechsel im mechanischen System. Dieser führt dazu, daß die Lösung der Bewe-gungsgleichungen für die betroffene Größe bekannt ist. Es herrscht nämlich Ruhe infolge von Kräftegleichgewicht.

Durch Ereignissteuerung (Setzen und An-halten von Integratoren) kann diese bekannte Lösung in die Simulation eingebracht werden.

Bei ersten Versuchen („selbstgestrickte“ setzbare Integrationsroutinen mit fester Schrittweite) hat sich diese Vorgehensweise als sehr gutmütig erwiesen. Im Vergleich zu Anschlagfedern und –dämpfern konnten ex-

trem große (feste) Schrittweiten verwendet werden (Faktor 1000). Es traten keinerlei numerische Probleme auf.

Seit es in SIMULINK setzbare Integratoren gibt, wird die Vorgehensweise an der Berufs-akademie in Horb z.B. bei der Simulation von Hydrauliksystemen erfolgreich eingesetzt. Auch wenn gelegentlich Warnmeldungen we-gen algebraischer Schleifen auftreten, sind die Erfahrungen sehr positiv.

Abschließend kann festgestellt werden, daß man mit der vorgestellten Methode über eine erprobte, funktionierende und leistungsfähige Vorgehensweise zur Simulation von Haftrei-bung und harten Anschlägen verfügt.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.1

0

0.1

0.2 Bewegungsgrößen

Aus

lenk

ung

x [m

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -1

-0.5

0

0.5

Ges

chw

ind.

xp

[m/s

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -5

0

5

Bes

chl.

xpp

[m/s

2 ]

Zeit [s]

Haftreibung

Haftreibung

Xe

Haftreibung