KOMPLEXE ANALYSIS

Zusammenfassung zur Vorlesung von Prof. Dr. A. Iozzi

Lukas Cavigelli, Juli 2010

lukasc@ee.ethz.ch

GRUNDLAGEN

KOMPLEXE ZAHLEN

√

* + *( ) +

EINFACHE OPERATIONEN

Konjugation: .

/

Komponentenextraktion: ( )

( ) ( )

( )

Betrag/Abstand zu 0: | | √ √ , | | | || |

| | ( )

Inversion:

| |

| |

Dreiecksungleichung: || | | || | | | | | |

Argument: ( ) * | + 2 .

/ 3

{ ( )

( ) {

√

( )

( ) ( ) ( ) Polar-Darstellung: ( ( ) ( ))

( )

WURZELZIEHEN

| | ( ) | | ( ( ) )

√| | ( ( ) )

* +

Bsp: 2√

√

√

√

√

√

√

√

3

Einfache Wurzeln: √ ⁄ √

√ ⁄

TOPOLOGIE

Umgebung

* | | + , mit als kleine, positive Zahl

Innerer Punkt

Ein Punkt ist ein innerer Punkt, falls es eine Umgebung von gibt, die in S enthalten ist.

Berührungspunkt

Ein Punkt ist ein Berührungspunkt von S, falls jede Umgebung von einen nicht leeren Durchschnitt mit S hat.

Randpunkte

Randpunkte * + * +

Gebiet

Zusammenhängende offene Teilmenge in

TEILMENGEN-EIGENSCHAFTEN

offen: falls alle Punkte, die ihr gehören, inner sind.

geschlossen: falls sie alle ihre Berührungspunkte enthält

beschränkt: falls es eine Konstante gibt, sodass * | | +

kompakt: Teilmenge, die beschränkt und geschlossen ist.

zusammenhängend: zusammenhängend, falls zwei Punkte in durch einen Streckenzug verbunden werden können, der in enthalten ist.

doppelt überdeckt: Bsp.: ( ) ( )

Eine Menge wird einfach zusammenhängend genannt, wenn das Innere jeder einfachen geschlossenen Kurve nur Punkte von enthält (=Menge ohne Loch). Eine Menge wird mehrfach zusammenhängend genannt, wenn sie nicht einfach zusammenhängend ist.

WICHTIGE ZAHLENMENGE N

* +

* + * + ( ) * || | + * | ( ) + *( )

|

+

( ) * +

Beweisen in : Wie in , aber Grenzen( ) separat prüfen.

( )

GLEICHUNGEN GEOM. BE DEUTUNG

Kreisscheibe: ( ) * | | +

Kreis: ( ) * | | +

( ) ( ) , ,

( ) ( )

Ellipse: .

/ .

/

( ( )) ( ( )) , ,

Hyperbel: .

/ .

/

(

( )) ( ( ))

*, ,+ {

}

KURVEN

Eine Kurve , - ist geschlossen, wenn ( ) ( ). Eine Kurve , - ist einfach, falls ( ) ( ) ( ) wenn sie sich nicht schneidet.

WINDUNGSZAHL EINER K URVE

( )

∫

KOMPLEXE FUNKTIONEN

Bild von ist ( )

Ein (von evtl. mehreren) Urbild von ist

Reeller und imaginärer Teil einer Funktion sind reelle Funkt.

TRIGONOMETRISCH FUNK TIONEN IN

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) siehe Analysis

HYPERBOLISCHE FUNKTI ONEN IN

( )

( )

( ) ( ) siehe Analysis ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

POTENZREIHENENTWICKLUNGEN

( ) ∑( )

( ) ( ) ∑

( )

( )

( ) ∑

( )

( ) ∑

( )

∑

⁄ ∑

( ) ∑( )

( ) ∑

| |

{

∑

| | | |

∑

| | | |

(∑ ( )

)(∑ ( )

) ∑ (∑

)( )

Konvergenzradius: ∑ ( )

konv., wenn | |

|

|

√| |

Alternative Entwicklungspunkte: substituieren

KURVEN IN DER KOMPLE XEN EBENE

Eine Kurve in ist das Bild einer Abbildung

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) wobei ein Intervall in

ist. Falls , -. ( ) ist der Anfangspunkt von . ( ) ist der Endpunkt. Parameterdarst.: Bild d. Kurve, Richtungssinn, Geschwindigkeit

Sei , - ( ) ( ( ) ( ))

Der Tangentenvektor an im Punkt ( ) ist ( ) ( )

( ). Länge des Vektors abhängig von Parameterdarst. Tipp: Länge von Winkel trennen. Verbindungsstrecke zwischen zwei Zahlen ( ) ( ) :

( ) ( ) , -

FUNKTIONEN

ABBILDUNGSEIGENSCHAF TEN

KONFORMITÄT/WINKELTREUE

Alle Winkel (inkl. Orientierung) werden erhalten. Eine analytische, injektive( ( ) ) Funktion ist konform. Die Umkehrung des Satzes ist auch wahr.

Verkettungen von konformen Abbildungen sind konform. Konforme Gebietsabbildungen: Die analytischen Funktionen und sind konform, wenn injektiv( ( ) ) und und ( ) ein Gebiet und ( ) auf ( ). Konform äquivalent: Zwei Gebiete, die sich konform aufeinander abbilden lassen. Riemann’scher Abbildungssatz: Für jedes einfach zusammenhängende Gebiet existiert eine konforme Abbildung auf die Einheitsscheibe .

MÖBIUSTRANSFORMATION

( )

( )

Dreifache Transitivität (nicht 4-fache)

Für 3 Punkte und 3 Punkte gibt

es genau eine , so dass ( )

Dann Überprüfung was innen und aussen ist (Korrektur

durch Vertauschen zweier Zahlen ).

Fixpunkte: min. 1, höchstens 2

Konformität: Alle MTs sind konform, somit auch analytisch

Kreistreue: Kreis werden auf Kreise abgebildet in

Riemannkugel: Möbius-Trafos sind als Translationen und Rotation der Riemannkugel darstellbar.

Bestandteile: o Translation

( ) o Drehstreckung

( ) o Inversion

( )

SATZ VON WEIERSTRASS

| ( )| ∑ ( ) ∑ ( )

und ( ) ∑ ( )

Anwendung: Potenzreihe mit Konvergenzradius

( ) ∑

analytisch auf

( ) ∑ ( )

RIEMANN‘SCHE ZAHLENK UGEL

Realisierung (bijektive Abb.) von als Zahlenkugel.

Projektion *( ) + Diese Abbildung ist konform (winkeltreu)

( ) 4

| | ( )

| | | |

| | 5

( )

VERZWEIGUNGSPUNKTE

Ein Punkt heisst Verzweigungspunkt, wenn die mehrwertige Funktion ( ) auf einem um laufenden Kreis nicht stetig ist. Um eine Stetige Umkehrfunktion zu haben, muss man einen Schlitz bis zum Verzweigungspunkt schneiden.

UMKEHRFUNKTIONEN

Die Umkehrfunktion einer eindeutigen analytischen Funktion

ist analytisch und es gilt: ( )

auf ( ) ( )

DIFFERENTIALRECHNUNG

LIMES UND STETIGKEIT

Limes: * + , wobei eine Umgebung von ist. ( ) ist wie folgt definiert: , so dass

| ( ) | , wenn | | . Wichtig: ist eine Funktion mehrerer Variablen, muss aus jeder Richtung Stetigkeit in : wenn ( ) definiert und ( )

( ) Stetigkeit ist auch bei den Randpunkten definiert. Gleichmässig stetig: wenn stetig und unabhängig von ist.

KOMPLEXE DIFF‘BARKEI T

( )

( ) ( )

Differenzierbar in : falls ( ) aus jeder Richtung existiert. Diff’barkeit ist nur für innere Punkte definiert.

RECHENREGELN

Linearität: ( ) ??? Produktregel: ( )

Quotientenregel: .

/ ( )

( )

Kettenregel:

. ( ( ))/

| ( )

Ableitung der Inversen:

( ( ))

( ( )), falls die

Funktionen differenzierbar sind und alle definiert sind.

WICHTIGE KOMPLEXE AB LEITUNGEN

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

∑

∑

∑

für jedes

mit | | Konvergenzradius.

CAUCHY-RIEMANN-DGLS

erfüllt C-R-DGLs analytisch ( ) ( ) ( ) erfüllt

( )

( )

( )

( )

und die partiellen Ableitungen sind stetig.

Wichtiges Kalkül: C-R-DGLs erfüllt

.

/

C-R-DGLs in Polarkoordinaten:

C-R-DGLs gelten nur für komplexe Funktionen!

ANWENDUNG DER C -R-DGLS

Konstantheit 1: analytisch | ( )| konstant Konstantheit 2: analytisch ( ) konstant Tangentenvektor an der Kurve : ( ) ( )

( ( )) ( )

POTENTIALGLEICHUNG

( )

( )

wobei zweimal diff’bar mit stetiger 2. Ableitung (darf 0 sein).

HARMONISCHE FUNKTIONEN

Harmonische Funktionen: =genügen der Potentialleichung

ANALYZITÄT & HOLOMORPHISMUS

In der komplexen Analysis: analytisch holomorph integrierbar diff’bar auf einer Umgebung beliebig oft diff’bar auf einer Umgebung analytisch beliebige Ableitung analytisch CR-DGLs erfüllt Kompositionen: holomorph

( ) ( ) holom., ( ) ( ) holom.

Quotient ( )

( ) holom., wenn holom. auf und ( )

Verkettung ( ( )) holom. auf * | ( ) ( )+

Evtl. durch Reihenentwicklung zeigen. Ganzheit: wenn eine Funktion auf ganz analytisch ist. Diffeomorphismus: Eine Funktion ist diffeomorph, wenn sie eine holomorphe Umkehrabbildung besitzt und selbst holomorph ist.

ELEMENTARE ANALYTISC HE FUNKTIONEN

( )

√ ( ) ( )

( )

( )

NICHT holomoph: | | ( ) ( ) ( )

ABLEITUNGEN VON KOMPL. FUNKTIONE N

( )

( )

( )

( )

( )

INTEGRALRECHNUNG

LINIEN/KURVENINTEGRAL

stetig diff‘bar entlang der param‘baren Kurve , dann:

∫ ( )

∫ ( ( )) ( )

( ) ( )

mit , - Parameterdarstellung von mit ( ) . Eigenschaften:

Linearität: ∫ ( )

∫ ∫

Umkehrung: ∫ ( )

∫ ( )

Beschränktheit:

| ( )| |∫ ( )

| ( )

( ) Verkettung: ∑ ∫ ( )

∑ ∫ ( )

Aus der Definition folgt für geschlossene und : ∫ ( )

( ) ( )

SATZ VON CAUCHY (FÜR EINF. ZUSAMH. GEB. )

Sei analytisch auf einem einfach zusammenh. Gebiet (das aber sehr unförmig sein kann). Gilt auch für reelle Integrale.

∳ ( )

∑∫ ( )

besitzt analyt. Stammfunktion: ( ) ( ) ∫ ( )

INTEGRALFORMEL VON C AUCHY

ein -fach zusammenhängendes Gebiet mit Randkomponenten , die einmal im positiven Sinn (Gegenuhrzeigersinn) das undefinierte Gebiet umlaufen. analytisch auf und , dann gilt :

( ) ∳ ( )

∑∳ ( )

∑ ( )

∑∳ ( )

( ) analytisch, ( )

NICHT analytisch.

Integralformel von Cauchy für Ableitungen: analytisch

( )( ) ∳

( )

( )

Anwendungen:

Mittelwertsatz: , so dass ( ) * | | +

( )

∫ ( )

∫

( )

( )

Maximumprinzip:

, so dass | ( )| | ( )| (oder | ( )| | ( )|) Dann ist konstant auf . Bemerkung: Maximumprinzip und Mittelwert sind Eigenschaften von harmonischen Funktionen.

DEFORMATIONSPRINZIP

Können zwei Kurven innerhalb eines Gebietes aufeinander deformiert werden, so hat ihr Integral denselben Wert.

WICHTIGE FUNKTIONEN

ARGUMENT

Hauptwert des Arguments Arg: ( - ( ) ( -

LOGARITHMUS

( ) (| |) ( )

( ) ( ) „Der Logarithmus bildet eine Zahl auf ihr Argument ab“ mit oder ohne Grenzen??? Hauptzweig des Logarithmus Log: ( ) (| |) ( ) Wenn ( ) komplexer log = reeller log Positiver Zweig des Logarithmus:

( ) ( ) ( ( ))

SINC-FUNKTION

( ) { ( )

stetig, nicht absolut integrabel

EXPONENTIALFUNKTION

exp(z) ist holomorph

TRIGONOMETRISCHE FUNKTIO NEN

| ( )| ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) Der komplexe Sinus und der komplexe Cosinus haben beide nur ihre allgemein bekannten Nullstellen. (alle in )

Zeigen mit Re- bzw. Im-Anteil von

ALLGEMEINES

DIVERSES

Joukowski-Funktion (Fluid-Dynamik): ( )

LÖSUNGSIDEEN & FEHLERQUELLEN

Polardarstellung

Parameterdarstellung

Evtl. nur Teilgebiete betrachten

Notfalls Vektorrechnung in

Indirekter Beweis?

Einsetzen kann auch eine Beweismöglichkeit sein

Quadrieren des Integrals, dann Koordinatentrafo

K-Integral durch andere K-Integrale und S.v.Cauchy best.

Abschätzung zur Bestimmung des Integrals:

∫ ( ) |∫ ( ) | ∫| ( )|

„Herausschneiden“ von unerwünschten Gebieten (S.v.C.)

Laurent-Reihen: PBZ, erweitern mit

Laurent-Reihen: Entwicklungsstelle beachtet?

Betrag im Integral Integral aufsplitten

FT & LT: Multivar-DGLs haben am Schluss beide Variablen!

√

Es gilt immer: reelles Integral reelle Lösung

reelle Integrale von cos mit schreibe und dann Realteil des Integrals nehmen (nur mit überlegen!)

UNSORTED

Falls ( ) verhält sich wie auf einer Umgebung von . Bei Integralen über den Rand von Kreisringen ist der innere Kreis im uhrzeigersinn, der äussere Gegenuhrzeigersinn.

UNGLEICHUNG VON CAUCH Y

analytisch

| ( )| ( ) | ( )( )|

| ( )( )|

∫

| ( )|

| |

( )

Satz von Lieuville:

| ( )| Jede beschränkte, ganze Funktion ist konstant. Satz von Morera:

∮ ( )

TAYLOR

Lemma 3.3.6: irgendwas zu Taylor ( )

( ) ( )

∮

( )

( )

( )

{

∑ ( )

| |

∑ ( )

| |

∮

( )

( )

( )

Satz 3.3.7 von Taylor:

( )

( ) ∑ ( )( )

( )

( )

Die Konvergenz ist auf ( ), wobei gleichmässig.

( ) ∑ ( )( )

( )

∫ ( )

∑ ( )( )

∫( )

RESIDUENSATZ

LAURENT-ENTWICKLUNGEN

Ab jetzt kann analytisch auf * + sein.

KONVERGENZRADIUS

Konvergenzradius: „Abstand zur nächsten Singularität“

|

|

√| |

LAURENT-ENTWICKLUNGEN

analytisch min. auf einem Kreisring mit Zentrum von

( ) ∑ ( )

⏟

∑ ( )

⏟

∮

( )

( )

Integralberechnung fast NIE nötig. Andere Reihen anpassen, PBZ. Bei jeder Singularität eine Entwicklung auf einem Kreisring innen und einem Kreisring aussen. Innerhalb Konvergenzbereich sind L-R und die Funktion holom.

SINGULARITÄTEN

: Gebiet, * + analytisch Singularität in : ist nicht def. oder nicht holom. in . Nicht isolierte Singularitäten: selbsterklärend Isolierte Singularität: , so dass ohne weitere Sing. auf der Scheibe ( ) analytisch ist.

ISOLIERTE SINGULARITÄTEN

Typenunterscheidung isolierter Singularitäten: Hebbare Singularität:

Die Funktion ist analytisch fortsetzbar. Kein Hauptteil i.d. L-E Gegenbeweis: limes existiert nicht. Riemann’sche Hebbarkeit: holom. auf * + und beschränkt auf ( ) analytisch fortsetzbar in . Pol: Hauptteil der L-E im Zentrum hat endlich viele Terme. Die Ordnung ist der „grösste negative“ (eig. kleinste) Exponent. Dazu muss unbedingt die L-E auf einer punktierten Kreisscheibe um betrachtet werden. Ist analytisch und ein Pol von , so gilt: | ( )|

Wesentliche Singularität: Der Hauptteil der L-E in hat unendliche viele Terme. holom., wesentliche Sing. nimmt auf der infinit kleinen Scheibe ( ) um jeden Wert bis auf einen unendlich oft an. Nullstellen in Bezug auf Taylor-Entwicklungen: Eine Nullstelle -ter Ordnung, falls

( ) ( )

( )( ) ( )( ) Falls eine Nullstelle -ter Ordnung bei , so gilt für T-E:

( ) ∑ ( )

( ) ∑ ( )

( ) ( ) ( )

Fazit: Eine analytische Funktion kann nur isolierte Nullstellen besitzen. Satz: Sei analytisch in mit ( ) und die Nullstelle besitzt Ordnung . Sei weiter analytisch mit ( ) , dann

haben die Funktionen

( )

( )

( ) bei einen Pol der

Ordnung . Def.: Eine analytische Funktion deren Singularitäten nur Pole sind, wird meromorph genannt.

RESIDUENSATZ

RESIDUUM

( )

∮ ( )

Berechnungsarten:

Wesentliche Singularität: ( ) -

einfacher Pol: ( ) (( ) ( ))

-facher Pol: ( )

( )

(( )

( ))

hat einf. Nullstelle :

( )

( )

( ) holo.

allgemein: ( )

∮ ( )

Die Methode für wesentliche Singulartäten funktioniert immer.

( ) ( )

Achtung: Bei Nullstellenbestimmung mit √

ist das Originalpolynom ( )( )

RESIDUENSATZ

∳ ( )

∑ ( )

ANWENDUNGEN AUF REEL LE INTEGRALE

Typ 1, gebrochen-rationale, reelle Funktion von sin und cos:

∫ ( ( ) ( ))

∮ 4

5

| |

∑ 4

4

5 5

| |

Typ 2, geborchen-rationale, reelle Funktion:

∫ ( )

( )

∑ 4 ( )

( ) 5

( )

( ) ( ) ( )

Typ 3, Funktionen von sin oder cos mult. mit gebr.-rat. Funkt.: ( )

( ) ( )

∫ ( ) ( )

( )

( ∑ 4 ( )

( ) 5

( )

)

∫ ( ) ( )

( )

( ∑ 4 ( )

( ) 5

( )

)

Typ 4, mit oder ohne einfachen Polstellen auf -Achse:

∫ ( )

∑ ( )

( )

∑ ( )

Ungeprüfte Formel für gebr.-rat. F. von cos, sin & exp:

∫ ( ( ) ( ))

∑ ( ( ) )| |

( ) 4

5

SPEZIELLE UNEIGENTLICHE INTEGRALE

Hat ein Integral mehrfache Polstellen auf -Achse, so wählen wir einen Integrationsweg, der einer Halbkreisform in positive Imaginär-Richtung entspricht und bei den Singularitäten jeweils einen kleinen Halbkreis unter der Singularität rum macht (so dass sie eingeschlossen ist/sind. Dann das Integral Gesamtintegral berechen (Residuensatz) und dieHalbkreise manuell berechnen und subtrahieren. BILD!!!

KOMISCHE RECHENREGEL N

∫ ( )

∫ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

NULL- UND POLSTELLENZÄHLENDES INTEGRAL

∮ ( )

( )

CAUCHY-PRODUKTREGEL

(∑

)(∑

) ∑

∑

FOURIER-REIHEN

PERIODIZITÄT

( ) ( ) Fundamentalperiode (FP): kleinste Periode, konst. Funkt. FP Rechenregel: period. periodisch, periodisch

WICHTIGE PERIODIZITÄ TEN

( ) ( ) ⁄ ⁄ eine Periode

TRIGONOMETRISCHE POLYNOME

Trigonometrisches Polynom von Grad :

∑

∑( ( ) ( ))

Trigonometrische Reihe:

∑

∑( ( ) ( ))

Die Periode dieser trig. Reihe ist .

Skalarprodukt

Seien zwei perdiosche Funktionen, so ist das Skalarprodukt von und durch so definiert:

⟨ | ⟩

∫ ( ) ( )

Eigenschaften: ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩

⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ Orthogonalität: ⟨ | ⟩ orthogonal Norm: Die Norm einer -periodischen Funktion ist

‖ ‖ ⟨ | ⟩

∫ ( ) ( )

∫ | ( )|

(gleiche Eigenschaften wie Ableitung)

FOURIER-REIHE

-periodisch, so ist folgende ihre Fourier-Reihe:

∑

∑( (

) (

))

FOURIER-KOEFFIZIENTEN

∫ ( )

∫ ( ) .

/

∫ ( ) .

/

Evtl. komplexe Fourierkoeff. mit Residuensatz berechnen! gerade (wie cos): ( ) ( )

∫ ( ) (

)

⁄

ungerade (wie sin): ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ( ) (

)

⁄

Allgemein gilt für :

UMRECHNUNG

( )

( )

( )

GERADE UND UNGERADE FUNKTIONEN

( ) ( )

∫

∫

∫

WICHTIGE IDENTITÄTEN:

( ) ( )

, ( ) ( )-

( ) ( )

, ( ) ( )-

( ) ( )

, ( ) ( )-

.

/ ( )

Orthogonalitätsrelationen: Seien

( ) ⟨ | ⟩ 2

∫ ( ) ( )

2

∫ ( ) ( )

2

∫ ( ) ( )

Andere spezielle bestimmte Integrale:

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

√

∫ ( )

∫

∫

( )

√ * +

∫

√

Vereinfachungen der Exponentialfunktion:

. /

. /

( ) . /

WICHTIGE INTEGRALE F ÜR FOURIER

∫ ( ) ( )

0 ( )

1

∫ ( ) ( )

0 ( ) ( ) ( ) ( )

( )1

∫ ( ) ( )

0

( )

1

∫ ( ) ( )

0 ( ) ( ) ( ) ( )

( )1

UNSTETIGKEITEN

Sei eine -periodische Funktion auf dem Intervall [– ]

stückweise stetig und es existieren eine rechte und linke (nicht zwingend gleiche) Ableitung in jedem Punkt in , -, dann ist die Fourier-Reihen-Entwicklung von auf , - konvergent.

∑

{

( )

( )

( )

⏟

, -

Bemerkung: Falls stetig Konvergenz der Fourier-Reihe von ist gleichmässig. Bem.: Die Konvergenz einer Fourier-Reihe ist normalerweise nicht gut.

GIBBS PHÄNOMEN

Das Überschiessen der Fourier-Reihe bei einfachen Sprungstellen (ca. 18% der Höhe).

Sei ∑

die -te partielle Summe von . Die Konvergenz ist nicht punktweise wegen des Gibbs Phänomens. Satz: Sei eine Funktion die durch ihre Fourier-Reihen-Entwicklung dargestellt wird. Dann ist:

1. ‖ ‖ →

2. ‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖ ∫ | |

( ∑

) ∑ | |

Bemerkung: analytisch auf * | | +

FOURIER LAURENT-REIHE

( ) ∑

∫

( )

∫ ( )

Sei ( ) ( ) -periodisch

und

∫ ( )

( ) ( ) ∑

Fazit: die Laurent-Reihen-Entwicklung einer analytischen Funktion auf einer Umgebung von ist die Fourier-Reihen-

Entwicklung der -periodischen Funktion ( ) ( ).

Anders formuliert:

Substituiert man in einer Fourier-Reihe, erhält man die Laurent-Reihe von mit im Konvergenzgebiet:

( )

FOURIER-TRANSFORMATION

GRUNDWISSEN

ABSOLUTE INTEGRABILI TÄT

ist absolut integrabel, falls

∫ | ( )|

Fall 1: | ( )| und ( ) kompakt abs. int.

∫| ( )| ( ( ))

Fall 2: ( ) unbeschränkt abs. int., wenn schnell genug | | verschwindet. (exp ist z.B. schnell genug)

TRÄGER

Der Träger einer Funktion ist der kleinste geschlossene Menge wobei die Funktion ungleich 0 ist. Träger (en: support):

( ) * ( ) + ( )

Bsp1: ( ) { , -

( ) , -

Bsp2: ( ) { ( )

( ) , -

FOURIER-TRANSFORMATION

HERLEITUNG

Fourier-Reihe mit unendlicher Periode. Möchten Fourier-Transformation

( ) { , -

( ) ( ) | | ( )

Wenn ( ) ( ) Idee: Betrachtung als Riemannsumme.

Frequenz:

→

( )

∑ 4∫ ( )

5

Falls dann:

∫ ( )

∫ ( )

Falls

( )

( )

√ ∫

(

√ ∫ ( )

⏟ ( ) )

TRANSFORMATION

Für , absolut integrabel, ist die FT von :

( )

√ ∫ ( )

RÜCKTRANSFORMATION

Sei , absolut integrabel, stetig und absolut integrabel, dann gilt:

( )

√ ∫ ( )

Unstetigkeiten: Falls in nicht stetig ist, ist

√ ∫ ( )

[

( )

( )]

Sei ( ) ( ) ( )

∫

√ ( )

Die FT zerlegt als ein Integral schwingender Funktionen und zeigt, welche Frequenzen in anwesend sind.

√ ( ) ist die Amplitude der schwingenden Komposanten

von . (vgl. Fourierreihen)

ENERGIE

√ | ( )| ist die Energie des Teiles .

Satz von Parseval-Plancherel:

| | | | ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ‖ ‖ ‖ ‖

Konsequenz: Die Gesamtenergie der Funktion ist:

∫ | ( )|

∫ | ( )|

∑ | |

Satz von Plancherel:

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

SKALARPRODUKT & NORM

Skalarprodukt:

⟨ | ⟩ ∫ ( ) ( )

Normen: Für stetig, bezeichnen wir:

-Norm ‖ ‖ ∫ | ( )|

-Norm (normale Norm) ‖ ‖ ⟨ | ⟩ ∫ | ( )|

-Norm ‖ ‖ | ( )|

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

RECHENREGELN

Zeitbereich unitäre FT in

Linearität ( ) ( ) ( ) ( ) Zeit-Shift ( ) ( ) Freq-Shift ( ) ( ) Zeit-Skal. ( )

| | .

/

.

/ ( )

Freq-Skal. ( ) ( )

Zeit-Diff.

( )

( ) ( )

Freq-Diff. ( )

( )

Zeit-Konv. ( )( ) √ ( ) ( ) Freq-Konv ( ) ( ) ( )( )

√

∫ ( ) ( )

Herm.sym. Bildber. v. ( ) reell ( ) ( ) gerade, Bildb. reell ( ) reell, gerade unger., Bildb. reell ( ) imag., ung.

TABELLE

Quadrat-integrable Funktionen:

Zeitbereich unitäre FT in

( )

√ .

/

( )

√ .

/

( )

√ .

/

( )

√ ( )

√

| | √

Verteilungen:

Zeitbereich unitäre FT in

√ ( ) ( )

√

√ ( ) ( )

√ ( ) ( )

( ) √

( ) ( )

( )

√ 4

5

( )

√ 4

5

√ ( )( )

√ ⁄ ( )

√ ⁄

( )

( ) ( )

| |

√ ( ⁄ ) ( )

| |

( ) √ ⁄

( ) √ ⁄ 4

( )5

Rechteckfunktion:

( ) { | | ⁄

⁄ | | ⁄

| | ⁄

Dreiecksfunktion:

( ) ( | | ) { | | | |

Allgemeines Lösen von DGLs: siehe Laplace-Transformation Beispiel Multivariablen PDEs: * + ( ) ( )

( ) , ( )-( ) (Fourier-Trafo der -Komponente) ( )

( ) ( ) , -( )

( ) ( )

FALTUNG

Faltung zweier -periodischen Funktionen: -period., stetig ist -periodisch

( )( ) ∫ ( ) ( )

Faltung nicht-periodisch: , stetig

( )( ) ∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

integrierbar, falls ∫ | ( )|

resp. ∫ | ( )|

existiert. Analogie der Faltung periodischer Funkt. zu Fourier-Reihen:

Seien ( ) ∑

( ) ∑

dann ist ( )( ) ∑

.

RECHENREGELN FALTUNG

Identität ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) Assoziativität ( ) ( ) Assoziativität mit Skalaren

( ) ( ) ( )

Distributivität ( ) ( ) ( ) Kommutativität Konjugation Ableitung

( )

Integration ∫( )( ) ∫ ( )

∫ ( ) evau*evau=evau ( ) ( )

( )( ) ist mindestens so „schön“ (z.B. stetig, diff’bar, ...) wie die „schönere“ der beiden Funktionen und . Mit Hilfe der Faltung werden Funktionen immer glatter und deren Träger immer grösser.

FALTUNG LAURENT-REIHE

(∑

)⏟ ( )

(∑

)⏟ ( )

∑

⏟

∑

EVAU

Eine Funktion ( ) wird Einschwingvorgang (Evau) genannt. Eigentliches Integral bei Faltung von zwei Evaus:

Seien ( ) ∫ ( ) ( )

⇔ ∫ ( ) ( )

⇔ ∫ ( ) ( )

( ( )( ) )

FALTUNGSBEISPIELE

Bsp zu 6:

, - ( ) ∫ , -( ) ( )

∫ ( )

∫ ( )

Sei , - ( )

, - , - , - ∫ , -( )

{

, -

, -

( )

ALLGEMEINES UNSORTIE RTES

Kreisfrequenz:

Summenvereinf.: ∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

Ist nicht aus Formel berechenbar, versuchen separat zu berechnen!

UNSORTED FOURIER -TRANSFORMATION

| | ( )

∫ ( )

√

.( ⁄ ) /

Die fouriertransformation ist bijektiv, d.h.:

( ) ( ) Nachtrag Singularitäten:

( )

→

→ 2

Aufpassen bei ( ) ( )

∫

| |

- Cauchy-Riemann-DGLen

- Kurvenintegrale von Hand berechnen

- Standard-Parametrisierungen von

"handelsüblichen" Kurven (Kreisabschnitte,

Geraden, etc.)

- Cauchyscher Integralsatz und Folgerungen

- Cauchysche Integralformel und Folgerungen

- Laurentreihen

- Residuensatz und Folgerungen

- Reelle Integrale mittels Residuensatz

berechnen

- Laplace-/Fouriertrafo eines

Anfangswertproblems

LAPLACE-TRANSFORMATION

, -( ) ( ) ∫ ( ) , )

∫ ( )

{∑

} ∑ * +

∑

( )

Voraussetzung: ( )

Zeitbereich Laplace-Bereich

Linearität ( ) ( ) ( ) ( ) Freq. Abl. ( ) ( ) Freq. Abl. ( ) ( ) ( )( ) Ableitung ( ) ( ) ( ) 2. Abl. ( ) ( ) ( ) ( )

Allg. Abl. ( )( ) ( ) ( )

( )( )

Freq. Int. ( )

∫ ( )

Integr. ∫ ( )

( )( )

( )

Skalieru. ( )

.

/

Freq-Shift

( ) ( )

Zeit-Shift ( ) ( ) ( )

Konvol., Faltung

( )( )

∫ ( ) (

)

( ) ( )

Period. F. ( )

∫ ( )

Anfangswertsatz: ( ) ( ) Schlusswertsatz: ( ) ( ), wenn alle Pole links.

( ) * ( )+ Konvergenz

1 ( )

1a ( )

2 ( )

( ) ( )

( ) ( )

2a ( )

( ) ( )

2a1

( ) ( )

( ) ( ( ) )

2a2 ( )

( )

2b ( )

( )

2c ( )

( )

2d ( )

( ) ( )

2d1 ( )

( )

3 ( ) ( )

( ) ( )

4 ( ) ( )

( )

5 ( ) ( )

( )

6 ( ) ( )

( ) | |

7 ( ) ( )

( ) | |

8 ( ) ( )

( ) ( )

9 ( ) ( )

( ) ( )

10 √ ( )

( ) ⁄

(

)

( )

11 (

) ( )

, ( )

- ( )

( )( )

( )

( )

. ( )

.

/ ( )/ ( )

( )

( )( )

konv. ???

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ( ))

( )

Heavyside-Step-Funktion:

( ) ( ) ( ) ( ) 2

( ) ( )

Dirac-Delta-Funktion:

( ) 2

∫ ( )

Gamma-Funktion:

( ) ( ) ∫

( )

Euler-Mascheroni-Konstante: ( )

Bildraum: Menge aller Laplacetransformationen

ANWENDUNGEN

SCHALTKREISBERECHNUNG

GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

1. Komplette DGL in Laplace-Bereich transformieren 2. Nach ( ) auflösen (u.U. Binomialformel verwenden) 3. Rücktransformieren (u.U. PBZ, Konvolution verw.) Systeme von DGLs: Mit Cramer’scher Regel oder Gauss in Laplace-Raum auflösen.

INTEGRALFUNKTIONEN

Beispiel: Gesucht :

( ) ∫ ( ) ( )

( )( )

zur Lösung: , -( ) , -( ) , -( )

( )

, -( ) , -( )

( )

( )

Rücktransformieren:

( )

(

)

(

) , -

, -

LAPLACE-TRANSFORMATION

ORIGINALFUNKTION

stückw. stetig mit 1. ( ) 2. | ( )| , wobei , konstant. Dann heisst Originalfunktion. Die Menge aller Originalfunktionen heisst Originalraum der Laplace-Transformation. Bemerkung:

1. Falls ( ) ( ) ( ) ( ) ist Originalfunktion.

2. Für . Falls | ( )| | ( )|

. so dass | ( )| , heisst

Wachstumskoeffizient von . Anm.: | ( )| . Beispiele: 1. ( )

2. ( ) {

Beh.: ist Originalfunktion

Bew.: ∑( )

, mit

*

+

3. ( ) {

ist Originalfunktion mit

und ( ) | | | | ( ) | |

EINDEUTIGKEITSSATZ

Seien Originalfunktionen mit Wachstumskoeff. ; mit ( ) ( ), und , -( ) , -( ), dann ( ) ( ) , wo stetig.

TRANSFORMATION

Sei Originalfunktion mit ( ).

, -( ) ∫ ( )

( )

Lemma: Sei Originalfunktion mit ( ). Dann gilt:

1. ∫ ( )

existiert mit ( ) .

2. ( ) , -( ) , -( ) ist analytisch in .

Bemerkung: 1. Laplace-Trafo funktioniert für eine grössere Klasse von Funktionen, insbesondere exponentiell, lineare wachsende.

2. , - sind Integraltransformationen. D.h. sie benötigen globale Daten der Funktion . Approximationen wie Laurent oder Taylor sind lokal. Alle diese sind eigenlich Basis-Transformationen.

RÜCKTRANSFORMATION OHNE TABELLE

Originalfunktion, ( ) , -( ) auf ( ) , Wachstumskoeff. von . Wir hatten gesehen: 1. analytisch auf * ( ) + 2. ( ) ( )

3. ( ) ∫ ( )

betrachte

⏞

( ⏟

) ∫ ( ) ( )

( ) ∫ ( )

Sei ( ) ( ) , dann ist ( ) √ ( )

( ) ( )

√ ∫ ( )

√ ∫ ( )

( ) ⏞

√ ∫ ( )

( )

( ) nicht stetig in : ∫

( ( ) ( ))

RÜCKTRANSFORMATION NACH MELLIN

, ( )- ( )

∫ ( )

Dabei wird entlang der Vertikalen ( ) integriert, wobei grösser sein muss als der Realteil aller Singularitäten von ( ). Dadurch ist gewährleistet, dass das Linienintegral im Konvergenzbereich liegt. Spezialfall: Realteil aller Singularitäten kleiner 0. Dann kann gesetzt werden und die Rücktrafo entspricht der Fourier-Rücktrafo.

SPEZIELLE INTEGRALE

∫

√

∫

existiert nicht

∫ .

/

∫ ( ) ( )

( )

( )

( ), Vorzeichen:

∫ ( ) ( )

( )

( )

( )

, Vorzeichen: