Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-1
3. Das Prinzip der virtuellen Arbeit
3.1 Stab
3.2 Scheibe
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-2
3.1 Stab
● Herleitung des Prinzips der virtuellen Arbeit:
– Am Stab greifen als äußere Kräfte die Einzelkräfte F1 und
F2 und die Volumenkraft f an.
– Die Formänderungsenergie ist gleich der von den äußeren Kräften verrichteten Arbeit:
1 2
F1
F2
f
12∫V
x x dV=12 F 1u1F 2u2∫V f x u x dV
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-3
3.1 Stab
– Lastfall A: Lasten F1
A, F2
A, f A
– Lastfall B: Lasten F1
B, F2
B, f B
– Überlagerung:
12∫V
A x A
x dV=12 F 1
Au1AF 2
Au2A∫V
f A x uA x dV
12∫V
B x B
x dV=12 F 1
Bu1BF 2
Bu2B∫V
f B x uB x dV
12∫V
AB A
B dV
=12 [ F 1
AF 1
B u1Au1
B F 2AF 2
B u2Au2
B ∫V
f A f B uAuB dV ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-4
3.1 Stab
– Ausrechnen ergibt:
– Materialgesetz:
– Reziprozitätsgesetz:
12∫V
AB
BA dV=
12
F 1Au1
BF 1
Bu1AF 2
Au2BF 2
Bu2A
12∫V
f AuB f BuA dV
AB=
AE B=AB
F1Au1
B=F1
Bu1A , F 2
Au2B=F 2
Bu2A
∫V
f AuBdV=∫V
f BuAdV
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-5
3.1 Stab
– Damit ist gezeigt:
– Sei nun Lastfall A der tatsächliche Lastfall und Lastfall B ir-gendein beliebiger anderer Lastfall.
– Die Verschiebungen für Lastfall A werden mit u und die Verschiebungen für Lastfall B mit v bezeichnet.
– Die zugehörigen Dehnungen und Spannungen sind:
– Die oberen Indizes können nun weggelassen werden, da alle in der Formel auftretenden Lasten zu Lastfall A gehö-ren.
∫V
BAdV=u1
B F 1Au2
B F 2A∫V
uB f AdV
A==E
dudx
und B=v=
dvdx
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-6
3.1 Stab
– Damit gilt:
– Diese Beziehung wird als Prinzip der virtuellen Arbeit be-zeichnet.
– Die Verschiebungen v werden als virtuelle Verschiebungen bezeichnet.
– Als virtuelle Verschiebungen dürfen alle zulässigen Ver-schiebungen eingesetzt werden.
– Zulässig sind alle Verschiebungen, die die Lagerbe-dingungen erfüllen.
∫V
v dV=v1 F 1v2 F 2∫V
v f dV
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-7
3.1 Stab
● Globales Gleichgewicht:– Wenn der Stab nicht gelagert ist, ist eine
zulässige virtuelle Verschiebung.
– Wegen folgt:
– Diese Gleichung beschreibt das Kräftegleichgewicht in Stabrichtung.
v x =v0=const.
v0=0 0=v0F 1F 2∫V f dV
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-8
3.1 Stab
● Lokales Gleichgewicht:– Für eine beliebige virtuelle Verschiebung gilt:
– Einsetzen in das Prinzip der virtuellen Arbeit ergibt:
∫V
v dV=A∫0
Ldvdx
dx=A [v x x ]x=0x=L
−A∫0
L
vddxdx
=A v22−v11 −A∫0
L
vddxdx
A v22−v11 −A∫0
L
vd dxdx=v1F 1v2 F 2A∫
0
L
v f dx
v2 A2−F 2 −v1 A1F 1 =A∫0
L
v f d dx dx
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-9
3.1 Stab
– Diese Gleichung ist nur dann für beliebige virtuelle Ver-schiebungen erfüllt, wenn gilt:
– Die ersten beiden Gleichungen sind die Randbedingungen für die Spannung.
– Die dritte Gleichung ist die Differenzialgleichung des Stabs, die das Gleichgewicht am infinitesimalen Stabelement beschreibt.
1=−F 1A, 2=
F 2A,d dx
f =0
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-10
3.1 Stab
● Zusammenfassung:– Das Prinzip der virtuellen Arbeit lautet:
– Im Prinzip der virtuellen Arbeit sind die folgenden Be-dingungen enthalten:
● das Kräftegleichgewicht am Stab● die Spannungsrandbedingungen an den Stabenden● das Gleichgewicht am infinitesimalen Stabelement
∫V
v dV=v1 F 1v2 F 2∫V
v f dV für alle v
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-11
3.2 Scheibe
● Geometrie:
f
qF
1
F2
Fm
x
y
A
C
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-12
3.2 Scheibe
– Die Scheibe liegt in der xy-Ebene und bedeckt die Fläche A.– Die Randkurve der Fläche A wird mit C bezeichnet.– Die Scheibe hat die Dicke t und das Volumen V = t A.– Die Randfläche wird mit R bezeichnet.
● Lasten:
– Einzelkräfte Fm
– Flächenkraft q auf der Randfläche R– Volumenkraft f im Inneren der Scheibe
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-13
3.2 Scheibe
● Prinzip der virtuellen Arbeit:– Wie beim Stab lässt sich zeigen:
– Dabei ist
∫V
[v ]T
[ ]dV=∑m
[ vme]T
[Fm ]∫R
[ ve ]T[qe ]dR∫
V
[ ve ]T[ f e ]dV
[ ve x , y ]=[v x x , yv y x , y] , [v ]=[∂xy ] [ v
e ] , [ vme]=[ v
e xm , ym ]
[Fm ]=[FmxFmy ] , [qe x , y ]=[
q x x , yq y x , y] , [ f e x , y ]=[
f x x , yf y x , y]
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3.2 Scheibe
– Die virtuellen Verschiebungen sind beliebige Verschie-bungen, die mit den Lagerungen verträglich sind.
– Mit und folgt:
[ ve ]
dV=t dA dR=t ds
∫A
[v ]T
[ ] t dA=∑m
[ vme]T
[Fm ]∫C
[ ve ]T[qe ] t ds∫
A
[ ve ]T[ f e ] t dA
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3.2 Scheibe
● Globales Gleichgewicht:– Kräftegleichgewicht in x-Richtung:
● Die virtuelle Verschiebung ist eine Translation in x-Richtung.● Wegen gilt:
– Kräftegleichgewicht in y-Richtung:
● Die virtuelle Verschiebung ist eine Translation in y-Richtung.
[ v xer
]=[v00 ]
[v ]=[∂xy ] [ vxer
]=[0 ]
0=v0∑m Fmx∫Cqx t ds∫
A
f x t dA ∑ F x=0
[ v yer
]=[ 0v0 ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-16
3.2 Scheibe
● Wegen gilt:
– Momentengleichgewicht um den Ursprung:
● Die virtuelle Verschiebung ist einelinearisierte Drehung um den Ursprung.
[v ]=[∂xy ] [ v yer
]=[0 ]
0=v0∑m Fmy∫Cq y t ds∫
A
f y t dA ∑ F y=0
[ ver
]=0 [− yx ]
x
yφ
0
v r
φ
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3.2 Scheibe
● Die Dehnungen berechnen sich zu
● Aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit folgt:
[v ]=[∂
∂ x0
0 ∂
∂ y∂
∂ y∂
∂ x]0 [− yx ]=0[
00
−11 ]=[000]
0=0[∑m − ym Fmxxm F my ∫C
− y q xx q y t ds
∫A
− y f xx f y t dA ] ∑ M O=0
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3.2 Scheibe
● Lokales Gleichgewicht:– Betrachtet wird eine
rechteckige Scheibe.– Im Inneren greifen Volu-
menkräfte und am Rand Flä-chenkräfte an.
– Es greifen keine Einzelkräfte an.
x
y
a
b
A
C1
C2
C3
C4
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3.2 Scheibe
∫V
[v ]T
[ ]dV=t∫A∂ v x∂ x
x∂ v y∂ y
y∂ v y∂ x
xy∂ v x∂ y
xydA
=t∫0
b
[∫0
a
∂ vx∂ x
x∂ v y∂ x
xydx ]dyt∫0
a
[∫0
b
∂ v y∂ y
y∂ v x∂ y
xydy ]dx=t∫
0
b
[ [ vx xv yxy ]x=0x=a
−∫0
a
v x∂ x
∂ xv y
∂xy
∂ x dx ]dyt∫
0
a
[ [v y yv xxy ] y=0y=b
−∫0
b
v y∂ y
∂ yv x
∂xy
∂ y dy ]dx
– Virtuelle Formänderungsenergie:
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-20
3.2 Scheibe
∫V
[v ]T
[ ]dV=t∫C 2
v x xv yxy ds−t∫C 4
v x xv yxy ds
t∫C 3
v y yv xxy ds−t∫C 1
v y yv x xy ds
−t∫A[v x
∂ x
∂ x∂xy
∂ y v y ∂ y
∂ y∂xy
∂ x ]dA– Virtuelle Arbeit der Flächenkräfte:
∫R
[ ve ]T
[q ]dR=t∫C1
v x q xv yq y dst∫C 2
v xq xv yq y ds
t∫C 3
v x q xv yq y dst∫C 4
v x q xv yq y ds
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3.2 Scheibe
– Virtuelle Arbeit der Volumenkraft:
– Da die virtuellen Verschiebungen beliebig sind, folgt durch Vergleich der Terme im Prinzip der virtuellen Arbeit:
∫V
[ ve ]T
[ f ]dV=t∫A
v x f xv y f y dA
∂ x
∂ x∂xy
∂ y f x=0
∂ y
∂ y∂xy
∂ x f y=0
xy = −q x , y = −q y auf C1 x = q x , xy = q y auf C2xy = q x , y = q y auf C 3
x = −q x , xy = −q y auf C 4
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3.2 Scheibe
– Mit dem nach außen zeigenden Einheitsnorma-lenvektor
lassen sich die Randbe-dingungen für die Spannungen zusammen-fassen zu
– .
[n ]=[n xn y ]
[nx 0 n y0 n y n x ][
x
y
xy]=[q xq y ]
– Mit dem Integralsatz von Gauß lässt sich zeigen, dass die Ergebnisse auch für eine Scheibe belie-biger Form gelten.
n
n
n
n
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-23
3.2 Scheibe
● Zusammenfassung:– Das Prinzip der virtuellen Arbeit lautet:
– Im Prinzip der virtuellen Arbeit sind die folgenden Be-dingungen enthalten:
● die Gleichgewichtsbedingungen für die Scheibe● die Spannungsrandbedingungen am Rand● die Gleichgewichtsbedingungen für die Spannungen
∫V
[v ]T
[ ]dV=∑m
[ vme]T
[Fm ]∫R
[ ve ]T[qe ]dR∫
V
[ve ]T[ f e ]dV
für alle [ve ]