Baumechanik 1 (Modul 3104)
Veranstaltungen WS 2012 / 2013
Vorlesung Mi. 10:00 – 11:30 Uhr, 3.103 (Casino-Gebäude)
Beginn: 26.9.2012
Hörsaalübung Gruppe Bauingenieure A
Di. 11:45 - 13:15 Uhr, R. 1.116 Beginn: 25.9.2012
Gruppe Bauingenieure B
Do. 11:45 – 13:15 Uhr, R. 3.107 Beginn: 27.9.2012
Wirtschaftsingenieure
Di. 10:00 – 11:30 Uhr, R. 1.017 Beginn: 25.9.2012
Übungsseminar montags 8:15 – 9:45 Uhr, 3.107
(Tutorium) Beginn: 1.10.2012
Ansprechpartner Prof. Dr.-Ing. Andreas Falk
Sprechstunde: Mo. 12:00 – 14:00, R. 1.110
Tel.: 05231 / 769 815
email: [email protected]
Internet: http://www.hs-owl.de/fb3/labore/tm0.html
mailto:[email protected]
Baumechanik 1
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04.09.2012 Baumechanik_1_2012.doc 2
Literaturangaben
[1] Bochmann, F.: Statik im Bauwesen, Bd. 1, Statisch bestimmte Systeme. 21. Auflage 2003, Huss-Medien
XBK 128
[2] Bochmann, F.: Statik im Bauwesen, Bd. 2, Festigkeitslehre. 18. Auflage 2003, Huss-Medien
XBK 128
[3] Brommundt, E.; Sachs, G.: Technische Mechanik, Eine Einführung. 3. Aufl. 1998, Springer Verlag
WCA 138
[4] Bruns, O.T.; Lehmann, Th.: Elemente der Mechanik
Bd. 1 Einführung, Statik. 1. Aufl. 1993, Vieweg
-
Bd. 2 Elastostatik. 1. Aufl. 1999, Vieweg -
Bd. 3 Kinetik. 1. Aufl. 1994, Vieweg -
[5] Bruns, O.T.: Aufgabensammlung Technische Mechanik
Bd. 1 Statik, 1. Aufl. 2000, Vieweg
-
Bd. 2 Festigkeitslehre, 1. Aufl. 2000, Vieweg -
Bd. 3 Kinetik, 1. Aufl. 1999, Vieweg -
[6] Dallmann, R.: Baustatik 1- Berechnung statisch bestimmter Tragwerke. 1. Auflage, 2006, Hanser Fachbuchverlag
XBK 266
[7] Dankert, H.; Dankert, J.: Technische Mechanik, computerunterstützt, Statik, Festigkeitslehre, Kinematik / Kinetik, 4. Auflage, 2006, Teubner
WCA 149
[8] Gross, D.; Hauger, W.; Schröder, J., Wall, W.A.: Technische Mechanik, Bd. 1, Statik. 9. Aufl. 2006, Springer Verlag
WCA 132
[9] Gross, D.; Schnell, W. ; Ehlers, W.; Wriggers, P.: Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik, Bd. 2 Elastostatik, Hydrostatik; 5. Aufl. 1998, Springer Verlag
WCA 132
[10] Gross, D.; Schnell, W. ; Ehlers, W.; Wriggers, P.: Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik, Bd. 3 Kinetik, Hydrodynamik. 5. Aufl. 1999, Springer Verlag
WCA 132
[11] Gross, D.; Hauger, W.; Schnell, W. ;Wriggers, P.: Technische Mechanik, Bd. 4, Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden. 3. Aufl. 1999, Springer Verlag
WCA 132
[12] Hauger, W. ; Schnell, W.; Gross, D. : Technische Mechanik, Bd. 3 Kinetik. 6. Aufl. 1999, Springer Verlag
WCA 132
[13] Krings, W.; Wanner, A.: Kleine Baustatik – Grundlagen der Statik und Berechnung von Bauteilen. 14. Auflage 2009. Teubner Verlag
XBK 103
[14] Lohmeyer, G.C.O. : Baustatik 1, Grundlagen. 10. Aufl. 2008, Teubner Verlag
XBK 110
[15] Lohmeyer, G.C.O., Baar, S. : Baustatik 2, Bemessung und Festigkeitslehre. 11. Aufl. 2009, Teubner Verlag
XBK 110
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[16] Mayr, M.: Technische Mechanik - Statik, Kinematik, Kinetik, Schwingungen, Festigkeitslehre; 2. Aufl. 1999, Hanser Elektronik
WCA 153
[17] Mayr, M.: Mechanik Training - Übungsbeispiele und Prüfungsaufgaben; 2. Aufl. 2000, Hanser Elektronik
-
[18] Meskouris, K.; Hake, E.: Statik der Stabtragwerke - Einführung in die Tragwerkslehre; 1. Auflage 1999, Springer-Verlag.
XBK 204
[19] Müller, K.; Ferber, E.: Technische Mechanik für Ingenieure. 2.Auflage 2004, Hanser-Verlag.
WCA 293
[20] Romberg, O. ; Hinrichs, N.: Keine Panik vor Mechanik. Taschenbuch. 2. Aufl. 2000, Vieweg
WCA 162
[21] Schatz, D.: Klausurtraining Statik, 2. Aufl. 2003, Teubner Verlag XBK 208
[22] Schnell, W.; Gross, D.; Hauger, W.: Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik, Bd. 1, Statik; 5. Aufl. 1998, Springer Verlag
WCA 132
[23] Schnell, W.; Gross, D.; Hauger, W.: Technische Mechanik, Bd. 2 Elastostatik. 6. Aufl. 1998, Springer Verlag
WCA 132
[24] Wetzell, O.W.: Technische Mechanik für Bauingenieure, Bd. 1, Statisch bestimmte Stabtragwerke. 2. Aufl. 2004, Teubner Verlag
WCI 121
[25] Wriggers, P. et al.: Technische Mechanik kompakt. 1. Auflage 2005, Teubner Verlag.
WCA 292
Internet-Hinweise
Literatur www.hs-owl.de/skim; www.amazon.de
Bauwerke www.structurae.de, www.brueckenweb.de
Hochschulen
www.hs-owl.de/fb3, www.ibnm.uni-hannover.de
www.ki-smile.de (Fachhochschule Potsdam)
http://www.hs-owl.de/skimhttp://www.amazon.de/http://www.structurae.de/http://www.brueckenbau-links.de/http://www.hs-owl.de/fb3http://www.uni-hannover.de/http://www.ki-smile.de/
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Inhalt
1 EINFÜHRUNG 10
1.1 Einteilung der Mechanik 10
1.2 Historischer Überblick 11
1.3 Begriffe 17
1.4 Griechisches Alphabet 18
2 EINWIRKUNGEN UND KRAFTBEGRIFF 19
2.1 Allgemeines 19
2.2 Physikalische Größen, Einheiten 20
2.3 Masse und Gewichtskraft 20 2.3.1 Masse 20 2.3.2 Gravitation ist die Ursache der Gewichtskraft 21 2.3.3 Berechnung der Gewichtskraft über die Wichte 22 2.3.4 Flächenkräfte p 23 2.3.5 Linienkräfte (Streckenlasten) q 25 2.3.6 Einzelkräfte F 26 2.3.7 Weitere Einteilungsmöglichkeiten für Kräfte 27 2.3.8 Bestimmungsgrößen einer Kraft 27
2.4 Kleine Übungsaufgaben 28 2.4.1 Massenermittlungen 28 2.4.2 Masse – Gewichtskraft 28 2.4.3 Kleines Tragwerk - Wartehäuschen 29
2.5 Axiome der Statik und Schnittprinzip 30
3 ZENTRALE KRAFTSYSTEME IN DER EBENE 33
3.1 Allgemeines 33
3.2 Kräfteaddition (Reduktion) 34 3.2.1 Grafische Methode 34 3.2.2 Analytische Methode 35 3.2.3 Trigonometrische Formeln 37
3.3 Bedingungen für das Gleichgewicht 38 3.3.1 Grafische Methode 38 3.3.2 Analytische Methode 38 3.3.3 Beispiel zur Reduktion und zum Gleichgewicht (Öse) 39 3.3.4 Beispiel 2 40
3.4 Kräftezerlegung in 2 Richtungen 41 3.4.1 Grafische Methode 41 3.4.2 Analytische Methode 42 3.4.3 Beispiel 1 zur Kräftezerlegung 44 3.4.4 Beispiel 2 zur Kräftezerlegung 44
3.5 Zusammenfassung 45
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4 ALLGEMEINE KRAFTSYSTEME IN DER EBENE 46
4.1 Allgemeines 46
4.2 Moment und Kräftepaar 47 4.2.1 Allgemeines, Definitionen 47 4.2.2 Komponentendarstellung des Momentes 48 4.2.3 Verschiebung einer Kraft parallel zur Wirkungslinie 50
4.3 Beispiele zu nicht-zentralen Kraftsystemen 51 4.3.1 Bsp. 1 zum nicht-zentralen Kraftsystem 51 4.3.2 Bsp. 2 zum nicht-zentralen Kraftsystem 52 4.3.3 Beispiel 3 zum nicht-zentralen Kraftsystem 53 4.3.4 Beispiel 4 zum nicht-zentralen Kräftesystem 54
4.4 Zusammenfassung 56
5 LAGERREAKTIONEN EBENER STABTRAGWERKE 57
5.1 Allgemeines 57 5.1.1 Mögliche Tragwerksarten 57 5.1.2 Tragwerksarten ebener Stabwerke 58 5.1.3 Räumliches Koordinatensystem, Freiheitsgrade 59
5.2 Lagerarten und Gelenke für ebene Stabtragwerke 61 5.2.1 Lager- und Gelenkarten bei ebenen Stabtragwerken 62 5.2.2 Ausführung von Lagern und Anschlüssen 63
5.3 Beispiele für Auflagerkraftberechnung 64 5.3.1 Beispiel 1 64 5.3.2 Beispiel 2 64 5.3.3 Beispiel 3 65 5.3.4 Beispiel 4 65 5.3.5 Beispiel 5 66 5.3.6 Beispiel 6 66
6 FACHWERKE 67
6.1 Allgemeines 67
6.2 Bezeichnungen, Fachwerkarten 68
6.3 Abzählkriterium für ebene Fachwerke 69
6.4 Berechnung der Stabkräfte 70 6.4.1 Knotenpunktverfahren 70 6.4.2 Identifizierung von Nullstäben 71 6.4.3 Ritterschnittverfahren 72
6.5 Beispiele 73 6.5.1 Fachwerkbeispiel 1 73 6.5.2 Fachwerkbeispiel 2 74 6.5.3 Fachwerkbeispiel 3 (Klausuraufgabe) 75 6.5.4 Fachwerkbeispiel 4 76
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7 SCHNITTGRÖßENERMITTLUNG BEI EBENEN STABWERKEN 77
7.1 Definition von Schnittgrößen, Schnittufern 77
7.2 Mögliche Schnittgrößen (innere Kräfte) an ebenen Balkentragwerken 78
7.3 Resultierende von Streckenlasten 79
7.4 Statische Bestimmtheit 79 7.4.1 Abzählkriterium für ebene Balken und Rahmen 79 7.4.2 Zur Bestimmung der Anzahl der Zwischenbindungen z 80 7.4.3 Der Ausnahmefall der Statik 80 7.4.4 Beispiele zum Abzählkriterium 81
7.5 Schnittgrößenermittlung durch Gleichgewichtsbedingungen 82 7.5.1 Beispiel 1 82 7.5.2 Beispiel 2 83 7.5.3 Beispiel 3 84 7.5.4 Beispiel 4 84 7.5.5 Beispiel 5 85 7.5.6 Beispiel 6 87 7.5.7 Ermittlung maximaler Momente mithilfe der Anfangsschnittgrößen 88 7.5.8 Beispiel 7 89 7.5.9 Beispiel 8: Gelenkträger 91
7.6 Zusammenhang zwischen äußeren Lasten und Schnittgrößen 92
7.7 Analytische Ermittlung von Schnittgrößen mithilfe der Differenzialbeziehungen 96 7.7.1 Beispiel 1 96 7.7.2 Beispiel 2 97 7.7.3 Klausuraufgabe 98 7.7.4 Weiteres Beispiel 100
7.8 Schnittkraftlinien am Kragarm 102
7.9 Schnittgrößenermittlung mit Stabwerksprogrammen 103 7.9.1 Allgemeines 103 7.9.2 Fachwerk mit STAB2D 104 7.9.3 Balkentragwerk mit Stabwerkprogramm STAB2D 104 7.9.4 Verbreitete Stabwerksprogramme (Auswahl) 105
8 BERECHNUNG VON FLÄCHENWERTEN 106
8.1 Allgemeines 106
8.2 Flächenschwerpunkt 107 8.2.1 Einführendes Beispiel 107 8.2.2 Definitionen zum Schwerpunkt 108 8.2.3 Erläuterungen zum statischen Moment / Schwerpunktsberechnung 109 8.2.4 Beispiel: Schwerpunktermittlung für ein Dreieck 109
8.3 Formeln für Schwerpunktkoordinaten 110
8.4 Beispiele zur Schwerpunktermittlung 111 8.4.1 Mustertabelle zur Bestimmung des Schwerpunktes einer zusammengesetzten Fläche 111 8.4.2 Beispiel 1 111 8.4.3 Beispiel 2 112 8.4.4 Beispiel 3 112 8.4.5 Beispiel 4 113 8.4.6 Beispiel 5 114
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8.4.7 Beispiel 6 114
8.5 Genormte Walzprofile 115 8.5.1 Bezeichnungen 115 8.5.2 Tabellen mit Querschnittswerten 116
8.6 Berechnung von Flächenträgheitsmomenten (FTM) 118 8.6.1 Definition 118 8.6.2 Auswertung für einen Rechteckquerschnitt 118 8.6.3 Flächenträgheitsmomente für einfache Querschnitte 119 8.6.4 Kleine Übungen 120 8.6.5 Gegenüberstellung Flächenmoment 1. Grades – Flächenmoment 2. Grades 122 8.6.6 Flächenträgheitsmomente bzgl. parallel verschobener Schwerpunktachsen 123 8.6.7 Beispiel 1: Doppel-T-Querschnitt 123 8.6.8 Beispiel 2: Zusammengesetzter Querschnitt 124 8.6.9 Beispiel 3: Klausuraufgabe 125
8.7 Transformation der FTM / Hauptträgheitsachsen 126 8.7.1 Deviationsmoment (Zentrifugalmoment) 126 8.7.2 Drehung des Koordinatensystems 126 8.7.3 Hauptachsen 127 8.7.4 Beispiel L-Profil 128 8.7.5 Beispiele für unsymmetrische Profile in der Praxis 129 8.7.6 Transformation bei dünnwandigen Querschnittsteilen 130 8.7.7 Beispiel: Zusammengesetzter dünnwandiger Querschnitt 132 8.7.8 Beispiel: Einfachsymmetrischer dünnwandiger Querschnitt 133
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Abbildungsverzeichnis Bild 1-1: Übersicht zur Mechanik 10 Bild 1-2: Idealisierung im Bauingenieurwesen (Modellbildung) 17 Bild 2-1: Einwirkungen und Widerstand 19 Bild 2-2: Beispiele für Flächenlasten 23 Bild 2-3: Winddruck und Wasserdruck 24 Bild 2-4: Zusammenfassung von Flächenlasten zu Streckenlasten 25 Bild 2-5: Einzelkräfte 26 Bild 2-6: Vektorielle Addition von Kräften in der Ebene 32 Bild 3-1: Zentrales Kraftsystem in der Ebene 33 Bild 3-2: Zusammenfassung: Zentrale Kraftsysteme in der Ebene 45 Bild 4-1: Nicht-zentrales Kraftsystem 46 Bild 4-2: Außermittig belasteter Querschnitt 50 Bild 5-1: Tragwerksarten 57 Bild 5-2: Statische Systeme bei ebenen Stabtragwerken 58 Bild 5-3: Koordinatenrichtungen und Rechte-Hand-Regel 59 Bild 5-4: Drehrichtungen zu den Koordinatenachsen und Rechte-Hand-Regel 60 Bild 5-5: Koordinatensystem und Freiheitsgrade 60 Bild 5-6: Lagerarten und Gelenke 61 Bild 5-7: Lager- und Gelenksymbole 62 Bild 5-8: Ausbildung von Lagern und Anschlüssen 63 Bild 6-1: Ideales Fachwerk 67 Bild 6-2: Bezeichnungen beim Fachwerk 68 Bild 6-3: Einteilung der Fachwerke nach Trägerform 68 Bild 6-4: Einteilung nach Art der Ausfachung 69 Bild 6-5: Weitere Fachwerkarten 69 Bild 6-6: Knotenpunktverfahren 70 Bild 7-1: Definition von Schnittufern und Schnittgrößen 77 Bild 7-2: Zustandslinien 78 Bild 7-3: Zur Bestimmung von Resultierenden bei Streckenlasten 79 Bild 7-4: Gelenksituationen / Anzahl der Unbekannten 80 Bild 7-5: Ausnahmefall der Statik 80 Bild 7-6: Beispiele zum Abzählkriterium 81 Bild 7-7: Schnittkraftverläufe und Formeln für Schnittgrößen am Kragarm 102 Bild 8-1: Zur Herleitung der Formel zur Ermittlung von Flächenschwerpunkten 107 Bild 8-2: Genormte Walzträger 115 Bild 8-3: Bezeichnungen und Abkürzungen der Querschnittswerte 115 Bild 8-4: Querschnittswerte U-Profil 117
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Tabellenverzeichnis
Tabelle 1-1: Griechisches Alphabet .......................................................................... 18
Tabelle 2-1: Physikalische Basisgrößen in der Statik ............................................... 20
Tabelle 2-2: Abgeleitete Größen (Auswahl) .............................................................. 20
Tabelle 2-3: Umrechnung Masse – Gewichtskraft .................................................... 21
Tabelle 2-4: Rohdichten und Wichten wichtiger Stoffe ............................................. 22
Tabelle 3-1: Werte der trigonometrischen Funktionen für ausgewählte Winkel ........ 37
Tabelle 7-1: Grafische Zusammenfassung: Eigenschaften von Schnittkraftverläufen .......................................................................................................................... 93
Tabelle 7-2: Typische Schnittgrößenverläufe beim Balken auf zwei Stützen............ 94
Tabelle 7-3: Zusammenhang zwischen q(x), V(x) und M(x) ..................................... 95
Tabelle 8-1: Querschnittswerte für übliche Doppel-T-Träger .................................. 116
Tabelle 8-2: Querschnittswerte für ausgewählte U-Profile ...................................... 117
Tabelle 8-3: Eigen-Flächenträgheitsmomente für übliche Querschnitte ................. 119
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1 Einführung
1.1 Einteilung der Mechanik
Die Mechanik ist das älteste Teilgebiet der Physik
Lehre von den Bewegungen materieller Körper (Kinematik)
Lehre von den Kräften, die Bewegungen verursachen (Dynamik)
Technische Mechanik oder Baumechanik sind die anwendungsorientierten Darstellungen der Mechanik
Bild 1-1: Übersicht zur Mechanik
Mechanik
fester Körper
Kinematik Dynamik
Statik Kinetik
Bewegungslehre
kinesis = Bewegung
geometrische Darstellung der Bewegungsabläufe
Länge , Zeit
Aerodynamik Hydromechanik
Gleichgewicht ruhender Kräfte
status = das Stehen
Statik (1. Semester) Elastostatik (2. Sem.) Hydrostatik (2. Sem.)
Kraft, Länge
Gleichgewicht bewegter Körper
Zusammenhang Kraft - Bewegung
Kraft, Länge, Zeit
starre Körper elastische Körper plastische Körper
Lehre v. d. Kräften
dynamis = Kraft
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1.2 Historischer Überblick
Altertum
287 – 212 v.Chr.
Archimedes
Griechischer Mathematiker in Syrakus und Alexandrien
Kreis- und Kugelberechnung
Hebelgesetz: Kraft * Kraftarm = Last * Lastarm
spezifisches Gewicht, Körper unter Auftrieb
Renaissance
1452 – 1519
Leonardo da Vinci
Bildhauer, Maler, Baumeister, Mathematiker in Florenz, Mailand, Frankreich
Betrachtungen zum Gleichgewicht
1548 – 1620
Simon Stevin
Generalquartiermeister der holländischen Armee
Gleichgewicht auf schiefer Ebene
Kräfteparallelogramm
1564 – 1643
Galileo Galilei, Professor an den Universitäten Pisa, Padua
Discorsi e dimonstrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze
Gesetze des freien Falles und der Wurfbewegung
Pendelschwingung
Prinzip der virtuellen Arbeit
Trägheitsaxiom, Kraft, Moment
Frage nach der Biegefestigkeit von Balken
Optik, Fernrohr
Astronomie
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1596 – 1650
René Descartes
Französischer Mathematiker und Philosoph
Cogito ergo sum
Analytische Geometrie
Kartesisches KOS
Arbeit = Kraft * Weg
1629 – 1695
Christiaan Huygens
Holländischer Physiker und Mathematiker
Elastischer Stoß
Schwingungsmittelpunkt des elastischen Pendels
astronomische Entdeckungen
1635 – 1703
Robert Hooke
Physiker, Ingenieur, Professor in London
Hooke´sches Gesetz
Ut tensio sic vis – Wie die Dehnung so die Kraft
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Aufklärung
1642 – 1727
Isaac Newton
Physiker, Mathematiker, Professor in Cambridge
Philosophiae naturalis principia mathematica
Präsident der Royal Society in London, Begründer der klassischen Physik
Ausbau der Differenzial- und Integralrechnung
Gravitationsgesetz
Bewegungsgesetze
Axiome der Mechanik
1646 – 1716
Gottfried Wilhelm Leibniz,
Philosoph, Mathematiker, Physiker, Jurist
Lösung einer Vielzahl von Ingenieurproblemen
Infinitesimalrechnung
Konstruktion von Rechenmaschinen
1654 -1722
Pierre Varignon
Seileckverfahren
1654 – 1705
Jakob Bernoulli
Unendlich kleine Größen
Schwingungen
Balkenstatik / Ebenbleiben der Querschnitte
Balkentheorem
Kettenlinie
1667 - 1748
Johann Bernoulli
Prinzip der virtuellen Verschiebungen
Strömungsmechanik
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1707 - 1783
Leonard Euler
Mathematiker, Physiker, Petersburger und Berliner Akademie der Wissenschaften
Mathematik
Hydromechanik
Biegelinie (1744)
Schnittprinzip
Stabilitätsprobleme (1759)
1736 - 1813
Joseph Louis Lagrange
Mathematiker, Professor in Turin und Paris, Akademie der Wissenschaften in Berlin
Hauptprinzipe der Mechanik
Prinzip der virtuellen Verrückungen
Variationsrechnung
1736 - 1806
Charles Augustin de Coulomb
Französischer Ingenieur und Physiker
Elektrizitätslehre
Reibung, Kraftumwandlung
Lösung der Balkenbiegung
Schubprobleme
Grundlagen zur Erddruckberechnung
1781 - 1840
Simeon Denis Poisson
Physiker und Mathematiker, Professor an der Faculté des sciences in Paris
Theoretische Physik
Potentialtheorie
Elastizitätstheorie, Akustik, Wärmeleitung
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zusammenhang zwischen Längs- und Querverformung
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Neuzeit
1785 - 1836
Louis Marie Henri Navier
Ingenieur und Professor, Polytechnische Hochschule Paris
Spannungsverteilung beim Balken
Torsion beim Balken
Knickprobleme
Platten- und Membrantheorie
Begründer der wissenschaftlichen Elastizitätslehre
1789 – 1857
Augustin Louis Baron Cauchy
Gleichgewicht am Element, Spannungen
Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen
1797 – 1886
Adhemar Jan Claude de Saint-Venant
Physiker in Paris
Arbeiten zur Theorie der Balkenbiegung, Torsion, Stabschwingungen
Verteilung der Elastizität um einen Punkt
Spannungsbestimmungen an teilweise plastischen Körpern
Torsion von Stäben
1799 – 1864
Benoit Paul Emile Clapeyron
Dreimomentensatz
Kraftgrößenverfahren
1821 - 1881
Karl Culmann
graphische Statik
Biegemomente im Balken mit Seilpolygon
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1824 – 1887
Gustav Robert Kirchhoff
Physiker, Professor in Breslau, Heidelberg, Berlin
Elektrizitätslehre
Thermodynamik
Stabschwingungen
Plattentheorie
1826- 1908
Georg Dietrich August Ritter
Professor an der Polytechnischen Schule Aachen
graphische Statik
Stabkraftermittlung bei Fachwerken
1830- 1903
Antonio Luigi Gaudenzio Giuseppe Cremona
graphische Statik
Stabkraftermittlung bei Fachwerken (Cremonaplan)
1835 – 1918
Christian Otto Mohr
Bauingenieur, Professor an der Techn. Hochschule Dresden
Festigkeitslehre
Mohrscher Spannungskreis
1847- 1884
Alberto Castigliano
Energiebetrachtungen zur Berechnung von Schnittkräften und Verformungen
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1.3 Begriffe
Die Mechanik
basiert auf Axiomen und Idealisierungen
und bedient sich der Mathematik
Axiome
Axiome sind Grundaussagen, die nicht beweisbar sind,
jedoch durch Beobachtungen bestätigt werden und plausibel erscheinen.
Bild 1-2: Idealisierung im Bauingenieurwesen (Modellbildung)
Die Mechanik ist das Paradies der mathematischen Wissenschaften, weil man mit ihr zur schönsten Frucht des mathematischen Wissens gelangt.
Leonardo da Vinci, 1488 -1523
Reale Struktur (Bauwerk)
Mechanisches Modell Idealisierungen
(z.B. starrer Körper, Punktlasten)
Mathematisches Modell
Analytische Lösung
Algebraische Gleichungen
Differenzialgleichungen
Handrechenverfahren der Baustatik
Numerische Lösung
Algebraische Gleichungssysteme
Variationsrechnung
Finite-Element-Methode
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1.4 Griechisches Alphabet
Tabelle 1-1: Griechisches Alphabet
(entnommen aus http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Griechisches_alphabet.png
http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Griechisches_alphabet.png
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2 Einwirkungen und Kraftbegriff
2.1 Allgemeines
Bild 2-1: Einwirkungen und Widerstand
Einwirkungen (external impacts)
E
Widerstand (resistance)
R
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2.2 Physikalische Größen, Einheiten
Tabelle 2-1: Physikalische Basisgrößen in der Statik
Basisgröße Abkürzung Einheit
Länge [] = 1 m
Zeit t [t] = 1 s
Masse m [m]= 1 kg
Tabelle 2-2: Abgeleitete Größen (Auswahl)
Basisgröße Dimension Einheit
Kraft dim F = dim (m / t2) [F] =
Moment dim M = dim ( F) [M] =
Spannung dim = dim ( F / 2) [] = = 1 Pa
[] = = 1 MPa
Rohdichte
Wichte
2.3 Masse und Gewichtskraft
2.3.1 Masse
Die Masse m eines Körpers wird mit dem Volumen und der Rohdichte ermittelt:
Vm
Die Rohdichte wird in 3m
kgangegeben, z. B.
Wasser
Beton
Stahl
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2.3.2 Gravitation ist die Ursache der Gewichtskraft
Tabelle 2-3: Umrechnung Masse – Gewichtskraft
Masse Umrechnung , gmG Gewichtskraft
1 Kg
2101
s
mkgG
10 Kg
100 kg
(Maurer)
1000 kg
Auto
2500 kg
Umrechnung
1 N =
1 kN = 1000 N
1 MN = 1000000 N
Kraft = Masse * Beschleunigung
Gewichtskraft auf der Erde = Masse * Erdbeschleunigung
gmG
2111 s
mkgN
Erdbeschleunigung 22 1081,9 s
m
s
mg
Merke: Ein gut ernährter Maurer erzeugt die Gewichtskraft von 1 kN
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2.3.3 Berechnung der Gewichtskraft über die Wichte
Die Wichte, auch spezifisches Gewicht genannt, gibt die volumenbezogene
Gewichtskraft an. Durch Multiplikation der Rohdichte (Masse/Volumen) mit der
Erdbeschleunigung g erhält man die spezifische Gewichtskraft, die Wichte .
323
111m
N
s
m
m
kgg
g
gWasserWasser
Stahl
Tabelle 2-4: Rohdichten und Wichten wichtiger Stoffe
Material Rohdichte ,
3m
kg Wichte ,
3m
kN
Pulverschnee
Pappschnee
Nadelholz
Wasser
Putz
Stahlbeton
Glas
Aluminium
Stahl
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2.3.4 Flächenkräfte p
Das Eigengewicht von Decken, Windlasten oder Schneelasten werden als
Flächenlasten in kN/m2 angegeben. Es kann mit Hilfe der Dicke berechnet werden:
23
111;m
kNm
m
kNptp
Mit : Wichte
t : Dicke des Bauteils oder der Schicht
Beispiel: 16 cm dicke Stahlbetondecke
tp
Beispiel: 40 cm Pappschnee
tp
Bild 2-2: Beispiele für Flächenlasten
t = 16 cm
t = 40 cm
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Weitere Beispiele
Winddruck
Wasserdruck auf eine Staumauer
Bild 2-3: Winddruck und Wasserdruck
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2.3.5 Linienkräfte (Streckenlasten) q
Belastungen auf einzelne Träger
qepq ; Idealisierung. Zusammenfassung von Flächenkräften bezogen auf eine Achse.
Last auf einen Träger (z.B. Dachsparren, Pfette)
Bild 2-4: Zusammenfassung von Flächenlasten zu Streckenlasten
Eigengewicht von Trägern als Streckenlast
qAgqEG ; Beispiel:
z
q
x
e
e
e
Holzbalken
q (kN/m)
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2.3.6 Einzelkräfte F
GVG ; FApF ;
QlqQ ;
Idealisierung. Zusammenfassung von Volumen-und Flächenkräften bezogen auf einen Punkt. Z.B: Klaviere, Herforder-Pils-Fässer, Maurer, Professoren
Statisches Modell
Achslasten / Radlasten
Statisches Modell
Bild 2-5: Einzelkräfte
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2.3.7 Weitere Einteilungsmöglichkeiten für Kräfte
Eingeprägte Kräfte – Reaktionskräfte
Fernkräfte – Nahkräfte
Äußere Kräfte – Innere Kräfte
2.3.8 Bestimmungsgrößen einer Kraft
Eine Kraft ist bestimmt durch
B . . . . . . .
R . . . . . . . (Wirkungslinie)
E . . . . . . . .
Die Kraft ist eine vektorielle Größe und wird komponentenweise berechnet.
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2.4 Kleine Übungsaufgaben
2.4.1 Massenermittlungen
Vm
Welche Masse hat
a) ein Kantholz 6 cm / 20 cm der Länge 7 m? ( = kg/m3 )
b) ein Stahlträger HEA 200 (A = 5380 mm2) der Länge 4 m? ( = kg/m3 )
c) eine Betonrohr di = 800 mm / da = 900 mm der Länge 2 m? ( = kg/m3 )
d) eine Betondecke d = 18 cm, ℓ = 6 m , b = 4 m? ( = kg/m3 )
e) die Getreidefüllung eines Silos d = 4 m, h = 8 m? ( = kg/m3 )
2.4.2 Masse – Gewichtskraft
gmG ;
VG
a) Welche Gewichtskraft erzeugt ein Kantholz 8 cm / 16 cm der Länge 1 m? Wie
groß ist die Masse des Kantholzes?
b) Welche Gewichtskraft erzeugt ein Stahlträger HEA 100 (A = 21,2 cm2) der
Länge 1 m? Wie groß ist die Masse des Stahlträgers?
c) Die Achslast eines Schwerlastfahrzeuges beträgt 240 kN. Pro Rad entspricht
diese Last einer Masse von ……. kg.
Die Aufstandsfläche eines Reifens wird mit 40 cm * 40 cm angegeben.
Wie groß ist die Spannung (Kraft pro Fläche) unter einem Reifen in
?
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2.4.3 Kleines Tragwerk - Wartehäuschen
Gesucht sind Masse und Gewichtskraft
der Dachhaut,
der Stahlträger,
der Stahlbetonwände,
der Stahlbetonfundamente,
Weiterhin sind zu ermitteln
Flächenlast der Dachhaut,
Streckenlast der Dachhaut bezogen o auf einen Innenträger
o auf einen Randträger
Belastung der Wand oben als
o Einzellasten (von 2 Außen- und 2 Innenträgern)
o Streckenlast
Belastung des Bodens als
o Streckenlast
o Flächenlast in kN/m2, MN/m2, kN/cm2
4,40 m
4,00 m
3,0 m
60 cm m
60 cm m
20 cm m
20 cm m
2 Lagen Bitumendichtungsbahn, 0,06 kN/m2 je Lage
OSB – Platte, d = 3cm, =10 kN/m3
4 IPE 120, g=0,104 kN/m
Stahlbeton-Seitenwände und -fundamente
2,0 m
e = 65 cm m
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2.5 Axiome der Statik und Schnittprinzip
Das Gleichgewichtsaxiom (Lex prima, Newton, 1642-1727)
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe
(oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung),
wenn er nicht durch Kräfte dazu gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern.
oder anders ausgedrückt:
Wirken auf einen Körper zwei gleich große, entgegengesetzt wirkende Kräfte,
und wirken diese auf der selben Wirkungslinie,
so befindet sich dieser Körper im Gleichgewicht.
Die Resultierende aller Kräfte ist Null.
Das dynamische Grundgesetz (Lex secunda, Newton, 1642-1727)
Die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße mv
ist proportional zur einwirkenden Kraft F.
dt
mvdF
)(
amdt
dvmF
Kraft = Masse Beschleunigung
F2 F1
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Das Wechselwirkungsgesetz (Lex tertia, Newton, 1642-1727)
actio = reactio, Reaktionsprinzip
Zu jeder Kraft existiert
eine gleich große, entgegen gesetzt gerichtete Gegenkraft.
Beide Kräfte liegen auf einer Wirkungslinie.
Beispiele
Gravitation
Rasenmäher
Das Verschiebungsaxiom (Varignon, 1654-1722)
(Axiom von der Linienflüchtigkeit der Kräfte)
Die Wirkung einer Kraft auf einen Körper bleibt unverändert,
wenn sie entlang der Wirkungslinie verschoben wird.
Kraft auf Handgelenk / Arm
Kraft auf Rasenmäher
=
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Das Axiom vom Kräfteparallelogramm (Stevin, 1548 - 1620)
Die Resultierende R zweier Kräfte F1 und F2 ergibt sich als Diagonale
in dem von F1 und F2 aufgespannten Parallelogramm (grafische Vektoraddition).
Die Wirkung zweier an einem Punkt einwirkenden Kräfte F1 und F2
ist äquivalent zur Wirkung der Resultierenden R.
Bild 2-6: Vektorielle Addition von Kräften in der Ebene In der Regel genügt es, das Kräftedreieck zu zeichnen.
Das Schnittprinzip (Euler, 1707 - 1783)
Zur Erfassung aller Kräfte an einem Körper
ist ein gedankliches Freischneiden aller Bindungen des Körpers erforderlich.
An beiden Schnittufern werden unter
Beachtung des Wechselwirkungsgesetzes die Schnittkräfte eingetragen.
Beispiel: Balkentragwerk (Brücke)
R F2
F1 F1
R
F2
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3 Zentrale Kraftsysteme in der Ebene
3.1 Allgemeines
Kennzeichen von zentralen Kraftsystemen in der Ebene:
Die Wirkungslinien aller Kräfte Fi schneiden sich in einem Punkt P.
Alle Kräfte liegen in einer Ebene.
Bild 3-1: Zentrales Kraftsystem in der Ebene
F1
F2
F3
P
3 Grundaufgaben
Reduktion (Kräfteaddition) aller (i.d.R. äußeren) Kräfte Fi (i=1 … n) zu einer Resultierenden R
Bedingungen für das Gleichgewicht (Berücksichtigung aller Kräfte – innere und äußere Kräfte),aufstellen (dann muss gelten: R = 0)
Zerlegung einer Kraft in 2 oder mehr Richtungen
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3.2 Kräfteaddition (Reduktion)
3.2.1 Grafische Methode
Lageplan Längenmaßstab: = 1 m
Kräfteplan
Kräftemaßstab: = 10 KN
F3 = 20 KN
F2 = 40 KN
F1 = 10 KN
Vorgehen
Längenmaßstab für Lageplan festlegen
Kräfte und deren Richtungen in den Lageplan eintragen
Kräftemaßstab für Kräfteplan festlegen
Richtungen für 2 Kräfte aus Lageplan in den Kräfteplan übertragen
Kräfteparallelogramm für
2,121 RFF
zeichnen
Kräfteparallelogramm für
RFR
32,1 zeichnen
Resultierende R einzeichnen, Länge messen
Richtung der Resultierenden R aus dem Kräfteplan in den Lageplan übertragen
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alternativ: Kräftepolygon
3.2.2 Analytische Methode
cosF
Fx
; sinF
Fy
cos FFx
; sin FFy
n
iixx
FR1
= i
n
ii
F cos1
n
iiyy
FR1
= i
n
ii
F sin1
22
yxRRR ;
x
y
R
R
Rtan
F1 = 10 KN
F2 = 40 KN
F3 = 20 KN
gemessen:
R 62 KN
y
x
Vorgehen
Richtung der Kräfte aus dem Lageplan in den Kräfteplan übertragen
Vektorpfeile aneinander reihen (Reihenfolge beliebig)
Resultierende messen und Richtung in den Lageplan übertragen
Kräftepolygon liefert
Länge und Richtung der Resultierenden
Lageplan liefert
Lage der Resultierenden
F3 = 20 KN
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Zur Ermittlung des Winkels mit Hilfe der Funktion arc tan
y
x
Ry
Rx
R
y
x
y
x
y
x
Fall 1: R im 1. Quadranten
….. ≤ ≤ …….
Ry 0; Rx 0
.....~....
)arctan()arctan(~
x
y
R
R
Fall 2: R im 2. Quadranten
…… ≤ ≤ …….
Ry 0; Rx 0
.....~....
)arctan()arctan(~
x
y
R
R
Fall 3: R im 3. Quadranten
….. ≤ ≤ …….
Ry 0; Rx 0
.....~....
)arctan()arctan(~
x
y
R
R
Fall 4: R im 4. Quadranten
….. ≤ ≤ …….
Ry 0; Rx 0
.....~....
)arctan()arctan(~
x
y
R
R
R
R
R
Ry
Rx
Ry
Rx
Ry
Rx
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3.2.3 Trigonometrische Formeln
; ;
;
Tabelle 3-1: Werte der trigonometrischen Funktionen für ausgewählte Winkel
Weitere mathematische Beziehungen
0° 30° 45° 60° 90°
0
sin 0 0,5
1
cos 1
0,5 0
tan 0
1
cot 1
0
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3.3 Bedingungen für das Gleichgewicht
n
iixx
FR1
= i
n
ii
F cos1
= 0
n
iiyy
FR1
= i
n
ii
F sin1
= 0
0R
Das Krafteck muss sich im einheitlichen Drehsinn schließen.
3.3.1 Grafische Methode
Geg.: F1= 30 kN, F2 = 40 kN, f1, f2
Ges.: F3 für Gleichgewicht
3.3.2 Analytische Methode
Krafteck mit allen gegebenen Kräften zeichnen
Krafteck im einheitlichen Drehsinn schließen
F1
F2
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3.3.3 Beispiel zur Reduktion und zum Gleichgewicht (Öse)
E
F1
F2
F3
Geg.: F1 = 2 kN; F2 = 3 kN; F3 = 4 kN;
= 45°; = 60°
Gesucht:
a) Betrag und Richtung der Resultierenden R1,2,3
b) Betrag und Richtung der Gegenkraft E, die das Gleichgewicht gewährleistet
GRAFISCH und ANALYTISCH
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3.3.4 Beispiel 2
3:1
4:1
Geg.: F1, F2 , G gem. Skizze
Gesucht:
a) Betrag und Richtung der Resultierenden R1,2,3
b) Betrag und Richtung der Gegenkraft E, die das Gleichgewicht gewährleistet
c) Stabkräfte S1 und S2
d) Welcher Pfahl trägt auf Druck, welcher auf Zug?
GRAFISCH und ANALYTISCH
F1 = 120 kN
F2 = 80 kN G = 300 kN
30°
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3.4 Kräftezerlegung in 2 Richtungen
3.4.1 Grafische Methode
geg. : F = 3 kN, f1, f2 gem. Lageplan
ges.: F1, F2
Lageplan Kräfteplan
Vorgehen
Gegebene Kraft im Kräfteplan zeichnen
Richtungslinie f1 vom Lageplan in den Kräfteplan übertragen und mit dem Anfangspunkt der gegebenen Kraft zum Schnitt bringen.
Richtungslinie f2 vom Lageplan in den Kräfteplan übertragen und mit dem Endpunkt der gegebenen Kraft zum Schnitt bringen.
Das Krafteck zeichnen. Längen und Winkel messen.
Bitte Aufgabenstellung beachten: ÄQUIVALENZ oder GLEICHGEWICHT
Auswirkung auf die Pfeilspitzen
Eine Kraftzerlegung in 2 Richtungen ist eindeutig möglich;
bei 3 Richtungen gibt es unendlich viele Lösungen.
f1 f2
F
f1
f2 F
f3
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3.4.2 Analytische Methode
Methode 1: Halbgrafisch mit Sinussatz
geg.: F, F = 30°, 1 = 60°, 2 = 45°
ges.: F1, F2
Methode 2: Gleichungssystem unter Verwendung von Additionstheoremen lösen
Äquivalenzbeziehung (kein Gleichgewicht):
F1 cos 1 + F2 cos 2 = F cos F
F1 sin 1 + F2 sin 2 = F sin F
Mit dem Additionstheorem (s. Blatt 2.5)
sin (-) = sin cos - cos sin
folgt
F2 sin (1 - 2) = F sin (1 - F)
Für reine Zerlegung einer Kraft in 2 vorgegebene Richtungen:
(Äquivalenz, kein Gleichgewicht):
)sin(
)sin(
12
21
FFF ;
)sin(
)sin(
21
12
FFF
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Zerlegung und Gleichgewicht analytisch:
S1 cos 1 + S2 cos 2 + F cos F = 0
S1 sin 1 + S2 sin 2 + F sin F = 0
S1 cos 1 + S2 cos 2 = - F cos F
S1 sin 1 + S2 sin 2 = - F sin F
Mit dem Additionstheorem
sin (-) = sin cos - cos sin
folgt
S2 sin (1 - 2) = F sin (F - 1)
Für Zerlegung einer Kraft in 2 vorgegebene Richtungen unter Beachtung des Gleichgewichts:
)sin(
)sin(
12
2
1
FFS ;
)sin(
)sin(
21
1
2
FFS
F S1
S2
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3.4.3 Beispiel 1 zur Kräftezerlegung
Sonderfall: rechtwinklige Zerlegung
3.4.4 Beispiel 2 zur Kräftezerlegung
G = 1 KN
Geg.: G1 = 1 kN; = 30°; = 45°
Gesucht: Stabkräfte S1; S2 (für Gleichgewicht !)
a) grafisch
b) halbgrafisch
c) analytisch
FII
F F Gegeben sind F und .
Gesucht sind die Komponenten der Kraft F
senkrecht zum Stab (F)
und parallel zum Stab( FII )
S1
S2
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3.5 Zusammenfassung
Zentrale Kraftsysteme in der Ebene
Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich in einem Punkt
Drei Grundaufgaben
Grafische Lösung
Analytische Lösung
Reduktion
n
i
ixx FR
1
= i
n
i
iF cos1
; 22yx RRR
n
i
iyy FR
1
= i
n
i
iF sin1
; x
y
RR
Rtan
Kräftezerlegung
zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten
Sinussatz
Sonderfall: rechtwinkliges Dreieck
F = F cos , F = F sin
Gleichgewicht
Das Krafteck ist geschlossen
n
iix
HF1
00
001
VFn
iiy
Bild 3-2: Zusammenfassung: Zentrale Kraftsysteme in der Ebene
x
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4 Allgemeine Kraftsysteme in der Ebene
4.1 Allgemeines
Kennzeichen von allgemeinen (nicht-zentralen) Kraftsystemen in der Ebene:
Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich nicht in einem Punkt.
o Die Wirkungslinien von gleichgerichteten Kräften können parallel verlaufen.
o Die Wirkungslinien von entgegengesetzt gerichteten Kräften können parallel verlaufen. Hierfür ist die Definition des Kräftepaares und des Momentes eines Kräftepaars erforderlich.
Alle Kräfte liegen in einer Ebene.
Bild 4-1: Nicht-zentrales Kraftsystem
3 Grundaufgaben
Reduktion (Kräfteaddition) aller Kräfte Fi (i=1 … n) zu einer Resultierenden R und Ermittlung der Lage von R
Ggfs. Ermittlung des resultierenden Momentes MR bzgl. eines Punktes
Mehrere Fälle sind möglich:
a) R 0; MR 0
b) R = 0; MR 0
c) R 0; MR = 0
Bedingungen für das Gleichgewicht aufstellen
Es muss gelten: Rges = 0, Mges = 0
Zerlegung einer Kraft in 2 oder mehr Richtungen
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4.2 Moment und Kräftepaar
4.2.1 Allgemeines, Definitionen
Das Moment einer Kraft F bezüglich eines Punktes A ist das Produkt von Kraft mal Hebelarm. Der Hebelarm a ist die kürzeste Verbindung von der Wirkungslinie der Kraft zum Bezugspunkt A. Anders ausgedrückt:
Fälle das Lot von Bezugspunkt zur Wirkungslinie; das Maß vom Bezugspunkt zum Schnittpunkt des Lots mit der Wirkungslinie ist der Hebelarm a.
Moment = Kraft Hebelarm
MA = a F, [M] = 1 N m
Bestimmungsgrößen eines Momentes
Größe der Kraft F
Abstand a
Drehsinn
Das Moment eines Kräftepaares
2 gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kräfte mit parallelen Wirkungslinien nennt man Kräftepaar. Ein Kräftepaar kann nicht weiter reduziert werden.
Kräftepaar Moment
Das Moment eines Kräftepaares wird definiert als Produkt der Kraft mit dem Abstand der beiden Wirkungslinien.
M = a F, [M] = 1 N m
Ein Kräftepaar wird üblicherweise durch sein Moment dargestellt.
r
a F
A
a
F
F
A
F
x
y
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4.2.2 Komponentendarstellung des Momentes
Geg.: F, F, A, xP, yP
Ges.: MA
Der Koordinatenursprung wird in den gewählten Bezugspunkt A gelegt
P wird beliebig auf der Wirkungslinie von F festgelegt
x,y wird dann abgelesen
MA = Fy x – Fx y
MA = F sin x – F cos y
Bei mehreren Kräften:
MA = MAi = Fyi xi – Fxi yi
Gleichung der Geraden (Lage von F)
x
A
x
y
F
Mx
F
Fy
F Fy
x
Fx
A
P
y
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Beispiel mit Zahlen
Geg: F, F, xP, yP
Ges: MA
F = 14,14 kN
x A
P
y
5
3
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Weitere Eigenschaften von Momenten
Das Moment eines Kräftepaares ist unabhängig vom Bezugspunkt.
Das Moment ist ein freier Vektor. Die Wirkung von M auf einen Körper ist unabhängig vom Bezugspunkt.
Momente werden algebraisch addiert (Drehsinn beachten !).
Momente befinden sich im Gleichgewicht, wenn gilt Mi = 0.
4.2.3 Verschiebung einer Kraft parallel zur Wirkungslinie
= +
Bild 4-2: Außermittig belasteter Querschnitt
a
F
F
A
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4.3 Beispiele zu nicht-zentralen Kraftsystemen
4.3.1 Bsp. 1 zum nicht-zentralen Kraftsystem
Geg.: F1, F2, F3, f1, f2, f3 gem. Lageplan
Ges.: Reduktion des Kräftesystems
Lageplan
Kräfteplan
F3 = 5,66 kN
F1 = 4 kN F2 = 4 kN
2 m
2 m
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4.3.2 Bsp. 2 zum nicht-zentralen Kraftsystem
Geg.: F1, F2, F3, F4 , F5, f1, f2, f3 , f4, f5 gem. Lageplan
Ges.: Reduktion des Kräftesystems
Lageplan
Kräfteplan
F5 = 20 kN
1,11
F4 = 90 kN
F2 = 30 kN F1 = 28,3 kN F3 = 56,6 kN
3,0 2,89
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4.3.3 Beispiel 3 zum nicht-zentralen Kraftsystem
Geg.: Belastung und Abmessungen gemäß Skizze
Ges.:
a) Betrag, Richtung und Lage der Resultierenden der einwirkenden Kräfte G,H,V
b) Die Stabkräfte S1 , S2 , S3
G= 0,5 kN
H=0,2 kN
V= 1 kN
0,5 m 0,5 m
1,0 m
0,4 m
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4.3.4 Beispiel 4 zum nicht-zentralen Kräftesystem
Geg.: System gem. Zeichnung
Gesucht:
a) Zusammenfassung der äußeren Kräfte zu einer Resultierenden R.
b) Angabe der Wirkungslinie für R im Lageplan.
c) Pfahlkräfte S1, S2, S3
d) Welcher Pfahl wird durch eine Zugkraft beansprucht ?
0,5 m 1 m
F=100 kN Z=50 kN E=40 kN
G=200 kN
1 2
3
3
10 m
5 m
4 m
2 m
20° 1,5 m
0,65 m
0,4m
4:1 3:1
5 m
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4.4 Zusammenfassung
Allgemeine Kraftsysteme in der Ebene
Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich nicht in einem Punkt. Neben Kräften wird das Kräftepaar (Moment) eingeführt.
Drei Grundaufgaben
Krafteck Seileck Analytische Lösung
Reduktion Krafteck liefert Größe und Richtung von R
a) Resultierende Kraft
b) R = 0, jedoch:
Resultierendes Moment
Seileck liefert Lage von R
Lage von R
Seileck nicht geschlossen; erster und letzter Polstrahl verlaufen im Lageplan parallel
n
i
ixx FR
1
n
i
iyy FR
1
MA= Fyi xi –Fxi yi
Kräftezerlegung
(in 3 Kräfte)
Hilfskraft C einführen
Culmannsche Gerade (bei Zerlegung in 3 Kräfte)
Drei Gleichungen mit drei Unbekannten
Gleichgewicht
Das Krafteck ist geschlossen
Das Seileck ist geschlossen H =
n
i
ixF1
= 0
V =
n
i
iyF1
= 0
M = 0
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5 Lagerreaktionen ebener Stabtragwerke
5.1 Allgemeines
5.1.1 Mögliche Tragwerksarten
Stäbe (Fachwerkstäbe) (nur Zug- oder Druckübertragung)
(Biege-)Balken
Bogen, Rahmen (gekrümmte oder abgewinkelte Balkentragwerke)
Scheiben (Wandscheiben)
Platten (Deckenplatten, Plattenbrücken)
Schalen (Kühltürme, Hypar-Schalen)
Bild 5-1: Tragwerksarten
Querkraft
Biegemoment Normalkraft
Druck
Zug
L
B d
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5.1.2 Tragwerksarten ebener Stabwerke
Einfeldträger
Kragträger
Gelenkträger
Durchlaufträger
(Mehrfeldträger)
Dreigelenkrahmen/
Dreigelenkbogen
Zweigelenkrahmen/
Zweigelenkbogen
Eingespannter Rahmen/
Eingespannter Bogen
Bild 5-2: Statische Systeme bei ebenen Stabtragwerken
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5.1.3 Räumliches Koordinatensystem, Freiheitsgrade
Die Rechte-Hand-Regeln
Bild 5-3: Koordinatenrichtungen und Rechte-Hand-Regel
Translationsfreiheitsgrad in x-Richtung: u
Translationsfreiheitsgrad in y-Richtung: v
Translationsfreiheitsgrad in z-Richtung: w
Drehfreiheitsgrad um die x-Achse: x oder x
Drehfreiheitsgrad um die y-Achse: y oder y
Drehfreiheitsgrad um die z-Achse: z oder z
Daumen der rechten Hand = X-Achse
Zeigefinger der rechten Hand = Y- Achse
Mittelfinger der rechten Hand = Z-Achse
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Positive Drehrichtungen zu den positiven Koordinatenachsen
Bild 5-4: Drehrichtungen zu den Koordinatenachsen und Rechte-Hand-Regel Zusammenfassende Darstellung
3 Translationen: u,v,w
3 Rotationen: x, y, z
Bild 5-5: Koordinatensystem und Freiheitsgrade
x
y
w
v
y
u z
x
z
Positive Koordinatenrichtung
Darstellung der positiven Drehgröße
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5.2 Lagerarten und Gelenke für ebene Stabtragwerke
Tragwerke sind durch Auflager mit ihrer Umgebung verbunden.
(z.B. Mauerwerk, Brückenlager)
Auflagerreaktionen sind die vom Auflager auf das Bauteil ausgeübten Auflagerkräfte und Auflagermomente
Auflagerreaktionen erhält man mit dem Schnittprinzip:
Einwertige Lager: nur eine Kraftgröße kann übertragen werden
Meistens: Vertikalkraft
Rollenlager
Gleitlager
Pendelstütze
Zweiwertige Lager: zwei Kraftgrößen können übertragen werden
z.B: Vertikal- und Horizontalkräfte
Gelenklager
Doppelstütze
Dreiwertige Lager: drei Kraftgrößen können übertragen werden
Betonplatte
Einspannung
Bild 5-6: Lagerarten und Gelenke
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5.2.1 Lager- und Gelenkarten bei ebenen Stabtragwerken
Bild 5-7: Lager- und Gelenksymbole
My
y
y
A
A
My
w
GH
My
GV
My
u
GH
GV
u
AH
AH
AH
A
A
w
2
1
3
2
y
2
2
2
2
Symbol Auflagerkräfte Freiheitsgrade
Wertigkeit
w = 0
Bezeichnung
Bewegliches
Lager
Festes Lager
Starre Einspannung
Bewegliche
Einspannung
Bewegliche
Einspannung
Momenten-
gelenk
Querkraft-
gelenk
Bindungen
u = 0 w = 0
u = 0 w = 0
y = 0
u = 0
y = 0
w = 0
y = 0
u = 0 w = 0
Normalkraft-
gelenk
u = 0
y = 0 w = 0
y = 0
u
My
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5.2.2 Ausführung von Lagern und Anschlüssen
Bild 5-8: Ausbildung von Lagern und Anschlüssen
Bewegliches
Lager
Festes Lager
Starre
Einspannung
Querkraft-
gelenk
Momenten-
gelenk
Rollenlager
Linienkipplager
Normalkraft-
gelenk
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5.3 Beispiele für Auflagerkraftberechnung
5.3.1 Beispiel 1
5.3.2 Beispiel 2
Gesucht: Auflagerreaktionen
45°
F2
F1
2m 2m
2m
MLast
1 2 3
Gegeben: F1 = F2 = 10 kN
MLast = 20 kNm
Gesucht: Stabkräfte S1, S3, S3
F1 = 4 2 kN F2 = 2 kN
1 1
ML = 4 kNm
1
45°
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5.3.3 Beispiel 3
5.3.4 Beispiel 4
60°
30°
F1 = 2 kN
F2 = 20 kN
F1 = 10 kN F2 = 3 kN
1
2
3 3
2 m
4 m 2 m
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5.3.5 Beispiel 5
5.3.6 Beispiel 6
Gesucht: a) Auflagerreaktionen infolge F1 , Z und ML
b) Wie groß muss F2 mindestens sein, damit am linken Auflager keine vertikale Zugkraft verankert werden muss ?
1 m
ML = 3 kNm
60°
F1 = 3 kN F3 = 1 kN
F2 = 2 kN
1 m 1 m 1 m
F2 = ?
F1 = 5 kN
3 m 1 m
Z = 2 kN
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6 Fachwerke
6.1 Allgemeines
Ein ideales Fachwerk besteht aus geraden Stäben, die an ihren Enden, d.h. in den Fachwerkknoten, durch reibungsfreie Gelenke miteinander verbunden sind.
Bild 6-1: Ideales Fachwerk
Die Stabachsen schneiden sich knotenweise in einem Punkt.
Die Belastung wird ausschließlich an den Knoten eingeleitet (Knotenlasten = Einzelkräfte).
Das Fachwerk trägt nur durch Normalkräfte in den Stäben (Zug oder Druck). Es treten keine Querkräfte und Biegemomente auf.
Bei der zeichnerischen Darstellung wird auf die Gelenkdarstellung verzichtet.
Diese Idealisierungen stellen eine sinnvolle Näherung für eine überschaubare Fachwerkberechnung und –bemessung dar.
Die in der Realität verteilten Lasten (insbesondere Verkehrslasten) werden für die Berechnung als Teilresultierende in den Knoten zusammengefasst.
Das einfachste Fachwerk ist ein Stabdreieck.
Einfache ebene Fachwerke bestehen aus Stabdreiecken.
An jedem Knoten
H = 0; V = 0
Zugstab
Druckstab
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6.2 Bezeichnungen, Fachwerkarten
Bild 6-2: Bezeichnungen beim Fachwerk
Bild 6-3: Einteilung der Fachwerke nach Trägerform
Vertikalstab = Pfosten
Untergurt Diagonalstab
Trapezträger Parallelgurtträger
Linsenträger
Dreieckträger Fischbauchträger
Obergurt
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Bild 6-4: Einteilung nach Art der Ausfachung
Bild 6-5: Weitere Fachwerkarten
6.3 Abzählkriterium für ebene Fachwerke
Für jeden Knoten k stehen 2 Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung.
Unbekannte sind: s Stabkräfte und a Auflagerreaktionen
Die Berechnung von Fachwerken ist einfach lösbar, wenn gilt: 2k = a + s
n = ( a + s ) - 2k =
ichverschiebl
bestimmtstatisch
unbestimmtstatisch
:0
...:0
...:0
K-Fachwerk Strebenfachwerk
Strebenfachwerk (ohne Pfosten)
Rautenfachwerk
Gelenk-Fachwerkträger
Dreigelenk-Fachwerkrahmen
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6.4 Berechnung der Stabkräfte
Knotenpunktverfahren
Ritterschnitt
Cremonaplan (grafisches Verfahren)
6.4.1 Knotenpunktverfahren
Bild 6-6: Knotenpunktverfahren
Vorgehen
Nullstäbe bestimmen
Knoten nummerieren, Stäbe bezeichnen
Auflagerkräfte am Gesamtsystem bestimmen
Knoten herausschneiden
o man beginnt mit einem Knoten, an dem max. 2 Stabkräfte unbek. sind
Knotenkräfte als Zugkräfte einzeichnen
Gleichgewichtsbedingungen ( H = 0, V = 0) für jeden Knoten aufschreiben
o Positiv berechnete Kräfte sind Zugkräfte
o Negativ berechnete Kräfte sind Druckkräfte
An jedem Knoten
H = 0; V = 0
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6.4.2 Identifizierung von Nullstäben
Nullstäbe sind normalkraftfrei und dienen zur Versteifung der Konstruktion.
Es gibt drei charakteristische Fälle:
Fall 1: Unbelasteter Knoten
Fall 2: Belasteter Knoten (nur eine Last)
Fall 3: Unbelasteter Knoten
F
S1 = 0
S2 = 0
S1 = F
S2 = 0
S1 = S2
S3 = 0
Wenn an einem unbelasteten Knoten lediglich zwei nicht in einer Richtung verlaufende Stäbe zusammentreffen, so sind diese beiden Stäbe Nullstäbe.
Wenn an einem belasteten Knoten lediglich zwei nicht in einer Richtung verlaufende Stäbe zusammentreffen, und die eine äußere Last in Richtung des einen Stabes einwirkt, so ist der andere Stab ein Nullstab.
Wenn an einem unbelasteten Knoten drei Stäbe angeschlossen sind, von denen zwei in einer Richtung verlaufen, so ist der dritte Stab ein Nullstab.
S1 = S2
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6.4.3 Ritterschnittverfahren
Vorgehen
Nullstäbe bestimmen
Auflagerkräfte am Gesamtsystem bestimmen.
Einen Schnitt durch das Fachwerk führen, bei dem höchstens drei Stabkräfte unbekannt sind.
Stabkräfte als Zugkräfte einzeichnen.
Gleichgewichtsbedingungen ( M= 0, H = 0, V = 0) am Teilsystem aufschreiben.
Mögliche Schnittführungen
Schnitt A-A: Schnitt durch 2 Stäbe
(wie Knotenpunktverfahren)
Schnitt B-B: Schnitt durch max. 3 Stäbe,
die sich nicht in einem Punkt schneiden
(3 Gleichgew.-Bed.)
Schnitt C-C: Schnitt durch einen Stab
und einen Knoten
MG= 0 U
AH
A
A B
C A
B
C
B
G
U
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6.5 Beispiele
6.5.1 Fachwerkbeispiel 1
F1 = 10 kN
F2 = 10 kN
12 m 12 m
6 m
F2 = 50 kN
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6.5.2 Fachwerkbeispiel 2
AH
A
F1 = 4 kN
2 m
A
B
C A
B
C
B
2 m 2 m 2 m 2 m
F3 = 3 kN
F2 = 2 kN
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6.5.3 Fachwerkbeispiel 3 (Klausuraufgabe)
F1 = 12 kN
F2 = 18 kN
4 m
F3 = 6 kN
3 m
4 m 4 m
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6.5.4 Fachwerkbeispiel 4
60° 60°
F1 = 20 kN F2 = 10 kN
2 m 2 m
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7 Schnittgrößenermittlung bei ebenen Stabwerken
7.1 Definition von Schnittgrößen, Schnittufern
Bild 7-1: Definition von Schnittufern und Schnittgrößen
Lokales Koordinatensystem : x in Richtung der Stabachse
z senkrecht zur Stabachse
Gestrichelte Faser: parallel zur x-Achse an der Unterseite des Trägers
Bei ebenen Balkentragwerken werden die Schnittgrößen
Normalkraft N, Querkraft V und Biegemoment M ermittelt.
Positive Schnittgrößen weisen
am positiven Schnittufer am negativen Schnittufer
in positive Koordinatenrichtungen in negative Koordinatenrichtungen.
V
M
N
Negatives Schnittufer
Positives Schnittufer
z
Schnitt
Biegemoment
Querkraft
Normalkraft Stabachse
Gestrichelte Faser
Lokales KOS
x
M
V
N
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7.2 Mögliche Schnittgrößen (innere Kräfte) an ebenen Balkentragwerken
Die Normalkraft wirkt normal zur Querschnittsfläche als Druck oder Zug.
Die Normalkraft dehnt oder staucht einen Stab und erzeugt Normalspannungen.
Zug Dehnung Druck Stauchung
Ein positives Biegemoment erzeugt an der Unterseite des Stabes Zug (gestrichelte Faser) und führt zu einer Krümmung des Stabes.
Biegemomente erzeugen Krümmungen und Normalspannungen.
Eine Grundaufgabe des Tragwerksplaners besteht darin, an jeder Stelle x des Tragwerks die inneren Schnittgrößen Normalkraft, Querkraft und das Biegemoment zu ermitteln. Gesucht sind also die Verläufe N(x), V(x) und M(x). Diese Verlaufsfunktionen nennt man Zustandslinien.
Zustandslinien = Verlauf der Schnittgrößen entlang der Stabachse.
Bild 7-2: Zustandslinien
M
N N N N
V
V
M
Die Querkraft wirkt senkrecht zur Stabachse und erzeugt Schubverzerrungen sowie Schubspannungen.
V(x)
M(x)
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7.3 Resultierende von Streckenlasten
R1 (kN) = q (kN/m) (m) R2 (kN) = 12 qA (kN/m) (m)
Bild 7-3: Zur Bestimmung von Resultierenden bei Streckenlasten
Der Betrag der Resultierenden entspricht dem Flächeninhalt des Lastbildes.
Die Resultierende greift im Schwerpunkt der Belastungsfläche an.
Bei Trapezlasten: Zerlegen in Rechteck und Dreieck
= +
7.4 Statische Bestimmtheit
7.4.1 Abzählkriterium für ebene Balken und Rahmen
n = a + z – 3 p =
ichverschiebl
bestimmtstatisch
unbestimmtstatisch
:0
...:0
...:0
a: Anzahl Auflagerkräfte
z: Anzahl Gelenkkräfte (Zwischenbindungen)
p: Anzahl von Systemteilen (Scheiben)
Systemteile sind durch Gelenke miteinander verbunden.
qE
qE
qA
/3
R2 (kN)
R1 (kN)
qA (kN/m)
q (kN/m)
/2
qA – qE
/2 /3 ??
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7.4.2 Zur Bestimmung der Anzahl der Zwischenbindungen z
Mögliche Gelenke siehe Blatt 4.5
Treffen mehrere Stäbe s an einem Gelenk zusammen, so gilt: z = 2 (s-1)
Bild 7-4: Gelenksituationen / Anzahl der Unbekannten
7.4.3 Der Ausnahmefall der Statik
Das Abzählkriterium liefert bei allen nachfolgend dargestellten Systemen n = 0.
Jedoch sind alle Systeme verschieblich (Ausnahmefall der Statik).
n = 3 – 3 = 0, bzw. n = 6 + 6 – 3 4 = 0;
es können jedoch keine Horizontalkräfte aufgenommen werden !
Das System ist horizontal verschieblich !
n = 3 – 3 = 0;
es können jedoch können keine Momente aufgenommen werden !
Das System kann sich verdrehen !
Bild 7-5: Ausnahmefall der Statik
Baumechanik 1
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7.4.4 Beispiele zum Abzählkriterium
Gesucht ist der Grad der statischen Bestimmtheit für die folgenden Systeme:
Bild 7-6: Beispiele zum Abzählkriterium
Baumechanik 1
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7.5 Schnittgrößenermittlung durch Gleichgewichtsbedingungen
Zur Ermittlung der
Schnittgrößenverläufe als Funktion der Stabkoordinate x
( Zustandslinien M(x), V(x), N(x) )
werden die Balkensysteme an beliebigen Stellen x durch Anwendung des Schnittprinzips gedanklich geschnitten. An der Schnittstelle sind die unbekannten Schnittgrößen anzutragen. Unter Berücksichtigung der äußeren Lasten, der Lagerreaktionen und der gesuchten Schnittgrößen im Schnitt x muss sich jedes Systemteil im Gleichgewicht befinden.
7.5.1 Beispiel 1
Wichtige Merkregeln Für die Querkraftlinie:
In lastfreien Bereichen ist die Querkraft konstant, d.h. der Wert der Querkraft ändert sich nicht.
An der Stelle, wo eine äußere Einzellast einwirkt, hat die Querkraftlinie einen Sprung in der Größe der einwirkenden vertikalen Lastkomponente.
Für die Momentenlinie:
In lastfreien Bereichen verläuft die Momentenlinie linear veränderlich. Sie ist also eine Gerade. In Sonderfällen ist die Momentenlinie dort Null.
An der Stelle, wo eine äußere Einzellast einwirkt, hat die Momentenlinie einen Knick.
Für mittige Einzellast ist
z
F
a
x
b
4max
FM
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7.5.2 Beispiel 2
F1 = 160 kN
z
F2 = 280 kN
x
8,00
3,40 2,60 2,0
Baumechanik 1
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7.5.3 Beispiel 3
7.5.4 Beispiel 4
60°
z
F = 10 kN
4
x
2
F1 = 2 kN
2 2 2 2
F2 = 3 kN F3 = 13 kN
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7.5.5 Beispiel 5
Weitere Merkregeln bei Gleichstreckenlasten Für die Querkraftlinie:
In Bereichen mit konstanter Streckenlast verläuft die Querkraftlinie linear.
Die Summe der auf die Länge verteilten Veränderung der Querkraft entspricht der Bereichsresultierenden.
Für die Momentenlinie:
In Bereichen mit konstanter Streckenlast verläuft die Momentenlinie quadratisch.
Die Momentenlinie hat einen Extremwert an der Stelle, wo die Querkraftlinie einen Nulldurchgang hat.
Beim Balken auf zwei Stützen unter Gleichstreckenlast ist der Extremwert der
Momentenlinie 8
2q
z
q
x
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Zusammenfassung
z
q
x
x
.)(: constqxqgeg
2)(
lqxqxV
xl
qx
qxM 22
)(2
qxV )(
)(2
)( xVl
qxqxM
Die (negative) Steigung der
Querkraftlinie V(x) ist in der
Belastungsfunktion q(x) gegeben.
Geradengleichung (y=mx + b)
Quadratische Parabel
Die Steigung der Momentenlinie
M(x) ist in der Querkraftlinie V(x)
gegeben.
Belastung
Querkraftverlauf
Momentenverlauf
+
-
+
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7.5.6 Beispiel 6
z
q
x
4,80 2,40
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7.5.7 Ermittlung maximaler Momente mithilfe der Anfangsschnittgrößen
(gilt nur bei Gleichstreckenlast !)
q
VMM
q
VxMMVVFall
q
AMM
q
AxMMAVFall
q
AM
q
AxMAVFall
q
VMM
q
VxemeinAl
reB
B
reB
BAnfreBAnf
AAAnfAnf
AnfAnf
Anf
Anf
Anf
2max;;:3
2max;;:2
2max;0;:1
2max;:lg
2
,,
max,
2
max
2
max
2
max
VAnf
A
MAnf
V(xmax)=0
q
xmax
max M
R(xmax)
VAnf=A
MAnf=0
VAnf=VB,re
MAnf= MB
VAnf=A
MAnf=MA
A
B q
VM
q
VqMM
q
Vx
xxqMM
xxVx
xRMM
M
q
VxxVxqVV
Anf
Anf
Anf
Anf
Anf
Anf
Anf
Anf
Anf
Anf
22max
;2
max
0)(2
)(max
0
0)(0
22
max
max
max
maxmax
max
max
maxmaxmax
Fall 1: Ein oder zweiwertiges Endauflager
Fall 2: Einspannung
Fall 3: Mittelauflager
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7.5.8 Beispiel 7
Auflagerkräfte
q2 = 60 kN/m
1,3 1,8
q1 = 40 kN/m
3,0
3,2
2,4
3,1
4,0
F1 = 48 kN
F2 = 32 kN
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Normalkraftverlauf
Querkraftverlauf
Biegemomentenverlauf
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7.5.9 Beispiel 8: Gelenkträger
Gesucht: Auflagerkräfte, Gelenkkräfte, Schnittkraftverläufe
Auflagerkräfte
Querkraftlinie
Biegemomente
q = 6 kN/m
3,0
F1 = 10 kN
4,0
Besteht ein statisch bestimmtes Tragwerk aus mehreren Tragwerksteilen, die durch Gelenke miteinander verbunden sind, so sind bei der Ermittlung der Auflagerkräfte Teilsysteme direkt neben den Gelenken zu betrachten.
Bei Biegemomentengelenken muss am Teilsystem gelten: MG = 0
Greift im Gelenk eine Kraft an, so hat die Querkraftlinie dort einen Sprung (wie sonst auch). Die Querkräfte links und rechts vom Gelenk sind dann unterschiedlich groß.
Wirkt im Gelenk keine Kraft, so haben V und N dort keinen Sprung.
4,0 4,0
F2 = 20 kN
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n(x)
V+dV
M
N
q(x)
V
M+dM
N+dN
dx
7.6 Zusammenhang zwischen äußeren Lasten und Schnittgrößen
V
x
x
CdxqVqV
xqdx
dVdxxqdV
dxxqVdVVV
e
a
)(;)(
0)(:0
Merkregeln
1. In lastfreien Bereichen sind N und V konstant, während sich M linear
verändert, falls V 0 ist.
2. In den Bereichen, in welchen ein konstantes nx oder qz wirkt, ändert sich N bzw. V linear. Einer linearen V-Linie entspricht ein quadratischer Momenten-verlauf.
3. Eine linear veränderliche Belastung qz bedingt bei V einen quadratischen, bei M einen kubischen Verlauf.
4. Wo V verschwindet, nimmt M einen Extremwert an.
5. Im Einwirkungspunkt von Einzellasten quer zur Stabachse hat die V-Linie einen Sprung, die M-Linie einen Knick.
6. Im Einwirkungspunkt einer Einzellast in Richtung der Stabachse besitzt die N-Linie einen Sprung.
7. Im Einwirkungspunkt von Einzelmomenten hat die M-Linie einen Sprung, die V-Linie bleibt unbeeinflusst, desgleichen die Neigung der M-Linie.
8. In der Symmetrieachse eines Systems ist bei symmetrischer Belastung die Querkraft gleich Null, bei antimetrischer Belastung verschwinden die Normal-kraft und das Biegemoment.
9. Ein zwischen zwei Gelenken gelegenes, gerades Stabelement ohne Lasten quer zur Stabachse überträgt nur Längskräfte.
10. Die Normalkraft ist völlig unbeeinflusst von Querkraft und Moment und umge-kehrt.
11. In einem Bereich mit positivem nx oder qz nimmt N bzw. V ab.
12. In einem Bereich mit positiver Querkraft V wächst das Biegemoment an.
N
x
x
x
xx
x
CdxnxNxnxN
xndx
dNdxxndN
dxnNdNNH
e
a
)()()(
)(;)(
0:0
M
x
x
CdxVxMxVxM
xVdx
dMdxxVxdM
dxqdxVMdMMM
e
a
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02
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Tabelle 7-1: Grafische Zusammenfassung: Eigenschaften von Schnittkraftverläufen
Keine Belastung Einzellast Gleichstreckenlast Dreieckslast Einzelmoment
Lastbild
Querkraft- verlauf
Biege- momenten-
verlauf
konst
Knick
Sonderfall bei V=0: M=konst
Sprung
linear veränderlich
Sonderfall: V=0
linear
konst
Keine Knicke
quadratisch
Sprung
linear
konstant
quadratisch
kubisch
linear
linear linear
linear
konstant
konstant
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Tabelle 7-2: Typische Schnittgrößenverläufe beim Balken auf zwei Stützen
Lastbild Querkraftverlauf Biegemomentenverlauf
ℓ/2
+
-
+
+
+
+
+
-
-
ML
+
-
+
+
F
q
ℓ
a b
F
-
ℓ/2
F F
a b
a
+
-
-
+
+
a b
q
ℓ
q
ℓ
a b
q
c
+
+
+
a b
+
+
+
-
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Tabelle 7-3: Zusammenhang zwischen q(x), V(x) und M(x)
Bereich x V
CdxxqxV )( MCdxxVxM )(
lineare Belastung konstante Belastung keine Belastung
Bsp.: q(x) = 4x Bsp.: q(x) = 5 kN/m Bsp.: q = 0
reA
V
Vx
CdxxxV
2
4
4)(
2
reA
V
Vx
CdxxV
,5
5)(
reA
V
V
CdxxV
,
0)(
quadratisch
AA
MA
MxVx
CdxVx
xM
re
re
,
3
2
3
2
2
4)(
AA
MA
MxVx
CdxVxxM
re
re
,
2
2
5
5)(
AA
MA
MxV
CdxVxM
re
re
,
)(
kubisch
quadratisch
A x
V = const.
A x
A x
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7.7 Analytische Ermittlung von Schnittgrößen mithilfe der Differenzialbeziehungen
7.7.1 Beispiel 1
Gesucht: Auflagerkräfte, Zustandslinien mit Angabe von Ordinaten
Auflagerkräfte
Querkraftlinie
Momentenlinie
qE = 12 kN/m F = 20 kN
3,0 4,0 4,0
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7.7.2 Beispiel 2
Gesucht: Auflagerkräfte, Zustandslinien mit Angabe von Ordinaten
Auflagerkräfte
Querkraftlinie
Biegemomentenlinie
q = 4 kN/m
3 4 2
ML = 6 kNm
2
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7.7.3 Klausuraufgabe
Gesucht: Auflagerkräfte; Zustandslinien N, V, M mit Angabe von Ordinaten
Auflagerkräfte
Normalkraftlinie
ML = 40 kNm
q = 5 kN/m
4
45°
4
2 *40 kN
4 8
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Querkraftlinie
Biegemomentenlinie
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7.7.4 Weiteres Beispiel
Gesucht: Auflagerkräfte; Zustandslinien N, V, M mit Angabe von Ordinaten
Auflagerkräfte
F2=10 kN
60°
F1= 2 10 kN
3 2 3 2
45°
3
q= 3 kN/m
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7.8 Schnittkraftlinien am Kragarm
Bild 7-7: Schnittkraftverläufe und Formeln für Schnittgrößen am Kragarm
A
VA,rechts
MA
N A,rechts
qE
q
ℓ
ℓ
ℓ
F
A
VA,rechts
MA
N A,rechts
A
VA,rechts
MA
N A,rechts
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7.9 Schnittgrößenermittlung mit Stabwerksprogrammen
7.9.1 Allgemeines
Die Geometrie eines Stabwerkes ist gekennzeichnet durch Koordinaten von Punkten und Linien von Punkt zu Punkt.
Den geometrischen Bestandteilen des Stabwerkmodelles werden
Materialparameter, Querschnittswerte, Belastung und Lagerbedingungen
zugeordnet.
Ein Stabwerksprogramm (oder Finite-Element-Programm) unterteilt die vorgegebenen Linien (Stabzüge) in einzelne Stabelemente. Die Enden von Stabelementen werden als Knoten bezeichnet.
In einfachen Fällen sind Linien und Stabelemente gleich.
Vorgehen
1. Eingabe - System
(alle Eingaben einheitengetreu, also z.B. alle Angaben in m und kN)
a. Knoten
Die Knotenkoordinaten werden im vorher festgelegten globalen Koordinatensystem angegeben. Lagerbindungen werden festgelegt.
b. Stäbe
Stäbe werden von Knoten zu Knoten angegeben. Damit werden die Richtung der lokalen x-Achse und die Lage der gestrichelten Zone festgelegt.
Mit „Zeigen – Grafik“ kann man die Eingabe visuell kontrollieren.
c. Querschnittstypen
Nicht vergessen! Mindestens eine „1“ bei den vier Materialparametern angeben!
d. Gelenke
Bei Fachwerken: (s-1) Gelenke am Knoten
2. Eingabe - Belastung
a. Knotenlasten
b. Streckenlasten
c. Einzellasten
d. …
3. Berechnen – Th. 1. Ordnung
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7.9.2 Fachwerk mit STAB2D
Koordinaten der Punkte (im globalen Koordinatensystem X-Z)
Punkt Nr X Z Punkt Nr X Z
1 4
2 5
3 6
7.9.3 Balkentragwerk mit Stabwerkprogramm STAB2D
Koordinaten der Punkte (im globalen Koordinatensystem X-Z)
Punkt Nr X Z
1
2
3
x
z
x
Z
X
Z
F1 = 10 kN
q = 10 kN/m
2
F3 = 20 kN
F2 = 5 kN
2 4
4
3
2
1
HEB 500
E = 210.000 N/mm2
= . . . . . . . . . . . . . . . kN/m2
h = 500 mm = . . . . . m
A = 239 cm2 = . . . . . . . . . m2
= 107.200 cm4 = . . . . . . . . . m4
F1 = 10 kN
F2 = 50 kN
12 m 12 m
6 m
Globales KOS (fest)
X Globales KOS
Lokales KOS (auf den Stab bezogen)
1 2
4
6
3
5
z
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7.9.4 Verbreitete Stabwerksprogramme (Auswahl)
Stab2d
Gutes und einfaches Stabwerkprogramm zur Ermittlung von Schnittgrößen und Verformungen bei ebenen Stabtragwerken (auf den Rechnern der FH Lippe installiert)
Demoversion zum download unter
www.isd.uni-hannover.de/software.html
Ruckzuck
Gutes und einfaches Stabwerkprogramm zur Ermittlung von Schnittgrößen und Verformungen bei ebenen Stabtragwerken (Fachwerke, Durchlaufträger, Rahmentragwerke)
Demoversion zum download unter
http://www.ruckzuck.co.at/Download.aspx
PCAE
4H-NISI von PCAE Gutes Stabwerksprogramm zur statischen Berechnung und Bemessung beliebiger ebener Stabtragwerke aus Stahl, Holz oder Stahlbeton (Lehrversion auf den Rechnern der FH Lippe installiert)
Weiter Infos unter
http://www.pcae.de
Friedrich & Lochner
Weit verbreitetes Programmsystem mit DLT10 (Durchlaufträger) und ESK (Ebenes Stabwerk) zur statischen Berechnung und Bemessung beliebiger ebener Stabtragwerke aus Stahl, Holz oder Stahlbeton
Weitere Infos unter
http://www.frilo.de
RSTAB
RSTAB von Dlubal: Gutes Stabwerkprogramm insbesondere für die statische Berechnung und Bemessung von Stahltragwerken.
(Lehrversion auf den Rechnern der FH Lippe installiert)
http://www.dlubal.de
D.I.E
Gutes Statikprogrammsystem
Weitere Infos unter
http://www.die.de/
http://www.isd.uni-hannover.de/software.htmlhttp://www.ruckzuck.co.at/Download.aspxhttp://www.pcae.de/http://www.frilo.de/http://www.dlubal.de/http://www.die.de/
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8 Berechnung von Flächenwerten
8.1 Allgemeines
Schritte zur Tragwerksplanung / statischen Berechnung
1. Modellbildung
z.B. Balkentragwerk als dargestellt als Linie, Bestimmung der Länge
2. Lastzusammenstellung / Maßgebende Laststellungen
Ständige Einwirkungen: Eigengewicht, Erddruck
Veränderliche Einwirkungen: Verkehrslasten, Wind- und Schneelasten
3. Statische Berechnung
Maßgebende (extremale) Schnittgrößen M,N,V
4. Dimensionierung (Bemessung) durch Material- und Querschnittswahl mithilfe des Spannungsnachweises und des Durchbiegungsnachweises
Nachweis der Tragfähigkeit
Nachweis der Gebrauchstauglichkeit
Spannungsermittlung erforderlich z.B. : = N/ A
Hierfür ist die Ermittlung von Flächenwerten erforderlich.
5. Nachweise von Details und Anschlüssen
Mögliche Flächenwerte sind
1. Ordnung: Längen, Breiten, Höhen, Schwerpunkt-Abstand; [] = m
2. Ordnung: Querschnittsfläche; [A] = cm2 / m2
3. Ordnung: Vol., statisches Moment, Widerstandsmoment: [V]=[S]=[W]=cm3
4. Ordnung: Flächenträgheitsmoment; [] = cm4 / m4
6. Ordnung: Wölbwiderstand [] = cm6
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8.2 Flächenschwerpunkt