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TECHNISCHE MECHANIK 6(1985)Heft1

Manuskripteingang: 16. 2. 1984

Das Mohrsche Verfahren zur Berechnung von Biegebalken

mit nichtlinearem Werkstofigesetz

Hans Irschik

0. Einleitung

Die wirklichkeitsnahe Ermittlung der Durchbiegung von

Biegebalken unter BerĂŒcksichtigung nichtlinearen Werk-

stoffverhaltens (linear oder nichtlinear elastisch-plasti—

sches Verhalten mit oder ohne Verfestigung) bereitet

zunĂ€chst nur dann wenig MĂŒhe, wenn — wie im Falle sta-

tischer Bestimmtheit — die vorgegebenen Beziehungen

zwischen Biegemoment und BalkenkrĂŒmmung unmittel—

bar ausgewertet werden können (z. B.: Neal [1], S. 149,

Reckling [2], S. 119, Leonhardt [3], S. 85). Hingegen ist

die analytische Behandlung statisch unbestimmter TrÀger

mit ausgedehnten nichtlinearen Bereichen meist aufwen-

dig, wie ein in [2], S. 126 gegebenes Beispiel zeigt.

Nun liegt fĂŒr Tragwerke aus StĂ€hlen ohne merkliche Ver-

festigung im betrachteten plastischen Bereich mit der

Fließgelenktheorie ein bereits sehr weit entwickeltes

Verfahren vor (Rubin und Vogel [4], S. 159). Dieses

ist aber gerade im Hinblick auf die Durchbiegungsermitt-

lung in seiner Aussagekraft beschrĂ€nkt, weil die Ausbil—

dung plastischer Zonen auf Grund der verwendeten idea-

lisierten Momenten-KrĂŒmmungsbeziehung eben nur in

diskreten weit entfernten Querschnitten des TrÀgers auf-

tritt und damit die Steifigkeit zwischen diesen Fließge-

lenken ĂŒberschĂ€tzt wird. (FĂŒr Vergleichsrechnungen

siehe z. B. Dorosz [5], Dorosz und Sawzuk [6]). Auch

treten bei vergĂŒteten StĂ€hlen oder Leichtmetallegierun-

gen merkliche Verfestigungserscheinungen auf ([2], S. 2).

StahlbetontrÀger verhalten sich nicht-linear elastisch im

Zustand II (bei Erstbelastung) und plastisch mit Verfe-

stigung im Zustand IH (z. B. [3], S. 85).

Es besteht also wohl —- trotz der großen Bedeutung der

Fließgelenktheorie zur Traglastermittlung (auch bei

Stahlbeton [3], S. 149) — ein Bedarf nach einfachen nu-

merischen Verfahren, welche möglichst unabhÀngig von

der Art des verwendeten Baustoffes die Ermittlung von

Durchbiegung und zugehörigen SchnittgrĂ¶ĂŸen auch bei

endlicher Ausdehnung der nichtlinearen Effekte in TrÀ-

gerlĂ€ngsrichtung erlauben. Dabei muß die BerĂŒcksichti-

gung zyklischer Be- und Entlastungsprogramme möglich

sein. Zum Vorteil des Benutzers sollte die Vorgangsweise

als Erweiterung der Fließgelenkmethode erkannt werden

können, und es sollten dabei Verfahren der klassischen

linearen Baustatik Verwendung finden.

Die vorliegende Arbeit soll ein Beitrag in dieser Richtung

sein. Zum Ausgangspunkt genommen wird die von Lin

[7] entwickelte Vorgangsweise, einen festen Körper mit

„inelastischer" Beanspruchung als einen linear—elasti-

schen zu behandeln, dem zusÀtzliche Volumen- und

OberflÀchenkrÀfte eingeprÀgt sind.

Unter „inelastisch” wird in l7] nicht nur elastisch-plasti-

sches oder viskoses Verhalten, sondern auch elastische

WĂ€rmebeanspruchung verstanden. Das Verfahren ist eine

Verallgemeinerung einer bereits von H. Reißner [8] fĂŒr

EigenspannungszustÀnde angegebenen Theorie und

schließt die aus der ThermoelastizitĂ€tstheorie bekannte

Goodiersche Methode [9] mit ein. Mit Hilfe dieser Sicht

der Theorien wurden eine Reihe zwei- und dreidimensio-

naler Probleme erfolgreich gelöst; Lins Arbeit hat dann

auch die Entwicklung entsprechender Computerverfah-

ren nach sich gezogen die Methode der Randelemen-

te etwa [10], [11]). Die von Lin und Mitautoren gege-

bene Aufbereitung fĂŒr Biegeu'Ă€ger ([12]; [7], S. 128;

[13] fĂŒr Rahmen; [l4] fĂŒr dynamische Probleme) er—

scheint allerdings doch grundsÀtzlich verbesserungsfÀhig

zu sein: So sind nach [12], [7] und [13] einem Ersatz-

trÀger erste Ortsableitungen noch zu ermittelnder Grö-

ßen (siehe letzter Term in Gl. (2) dieser Arbeit) als Ă€uße-

re Momentenbelastung einzuprÀgen; in [l4] wird mit

fiktiven Querbelastungen gearbeitet, die zweite Ablei-

tungen einer numerisch zu bestimmenden Funktion dar-

stellen letzten Term in Gl. (l) dieser Arbeit).

Gelingt auch im ersten Falle die Beseitigung des rechen-

technischen Nachteils numerischer Differentiation mit-

tels eines Integralsatzes, ist doch eine geschachtelte Vor-

gangsweise zur ErfĂŒllung der Gleichgewichtsbedingungen

erforderlich; dabei muß der VerĂ€nderung „dynamischer“

Randbedingungen (Biegemomente und QuerkrÀfte be-

treffend) zufolge der WerkstoffnichtlinearitÀt durch Ein-

prĂ€gen zusĂ€tzlicher Ă€ußerer Lasten Rechnung getragen

werden.

In der vorliegenden Arbeit wird deshalb eine alternative

Strategie vorgestellt. Die nichtlinearen Effekte werden

problemangepaßt als fiktive Temperaturbeanspruchung

des gegebenen TrĂ€gers unter Annahme linear—elastischen

Verhaltens gedeutet. Es wird gezeigt, daß es sich dabei

um eine vollstÀndige Analogie handelt, so da6 mit den

originalen Lagerungsbedingungen des Balkens gearbeitet,

werden kann. Diese neue Methode berĂŒcksichtigt einer-

seits direkt, daß die nichtlinearen Zonen im statisch un-

bestimmten TrÀger die linear-elastische Rechnung ja nur

um lineare ZwĂ€ngungsschnittgrĂ¶ĂŸenverteilungen Ă€ndern

können, andererseits ist die Differentiation numerisch

gewonnener Ergebnisse nicht erforderlich. Die guten

Kenntnisse des Ingenieurs betreffend „Temperaturbean-

spruchung in linear elastischen Biegebalken” sollen ange-

sprochen werden.

Mit Hilfe der Analogie wird die Durchbiegung des

stofflich nichtlinearen Balkens also in den linear-elasti-

schen Anteil zufolge der gegebenen Belastung und in

eine Iinear—thermoelastische Durchbiegung zufolge noch

unbekannter Temperaturbeanspruchung zerlegt. Der

erste Anteil darf als bekannt vorausgesetzt werden. Als

baustatisch besonders vorteilhaftes Verfahren zur Er—

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mittlung des zweiten Anteils wird das Mohrsche Verfah-

ren erkannt, welches auch im Licht neuer Arbeiten (z. B.

[4-], S. 105) seine grundsÀtzliche Bedeutung erhalten hat,

und — wie Gamer [15], [16] gezeigt hat — fĂŒr Tempera-

turbeanspruchung ein Minimum an Arbeitsaufwand ge-

wÀhrleistet.

Ausgehend von dieser Analogie und der entsprechenden

Mohrschen Formulierung wird dann eine numerische

Methode zur Ermittlung der fiktiven Temperaturbean-

spruchung angegeben; diese erscheint fĂŒr unterschied-

liche Baustoffe und TrÀgerquerschnittsformen gleich

geeignet. Die Vorgangsweise wird an Testbeispielen er-

lÀutert. Es wird diskutiert, wie das Fliefigelenkverfahren

mit seiner speziellen Biegemomenten-Kriimmungsbezie-

‚ hung als Sonderfall der vorgestellten numerischen

Methode aufgefaßt werden kann.

In der vorliegenden Arbeit wird quasistatische Beanspru-

chung zufolge Querbelastung behandelt; eine Aufberei-

tung fĂŒr dynamische Probleme erfolgt in [17]. Die Be-

rĂŒcksichtigung von Temperaturbelastung, Normalkraft-

beanspruchung oder Schubdeformation sowie die Be-

rechnung von Bahmentragwerken sollen zu einem spÀte-

ren Zeitpunkt vorgestellt Werden. Auch ĂŒber Kriecher-

scheinungen wird gesondert berichtet.

l. Eine vollstÀndige Analogie zwischen Balken

mit linearem und nichtlinearem Werkstoffge-

setz

Das Problem der ebenen Biegung gerader, normalkraft-

freier StĂ€be mit eingeprĂ€gter Querbelastung q fĂŒhrt nach

Lin ([7], S. 128, 352) bei einachsigem nichtlinearem

Werkstoffgesetz (Bild la) auf die folgende Integrodifw

ferentialgleichung fĂŒr die Durchbiegungw (Bemoulli-

Euler Hypothese, geometrisch linearisierte Beziehungen

werden vorausgesetzt):

d4W _ q

dx4 H J dx2 A

Biegemomente und QuerkrÀfte ergeben sich aus w zu:

(1)

Bild l

a) Nichtlineares Stoffgesetz; Definition von 6N .

b) Qualitative nichtlineare Biegemomenten-KrĂŒmmungsbezie—

hung des Querschnittes A; Definition von m; — — — mögli-

che lineare Approximation

d2w 1 N _ __ dM

m * He “1A” 0‘5

EJ ist eine jeweiligen Integrationsabschnitt konstan-

te) Vergleichsbiegesteifigkeit des Stabquerschnittes A

(vgl. Bild 1b); zweckmĂ€ĂŸigerweise werden meist An-

fangsmodul und tatsÀchliches TrÀgheitsmoment (bei

Stahlbeton jenes im Zustand I) zu wÀhlen sein.

Man erkennt, daß die nichtlinearen Dehnungen 6N nicht

nur die vom linearen Fall her bekannte Differentialglei-

chung der Biegelinie:

M=—m< (m

d4 w* q

= .— ; 3

dx4 EJ ( )

sondern auch die entsprechende Schnittgröfienbeziehung:

d2 w*M* = —- E 4

J dx2 ( )

modifizieren. Damit Àndert sich der mathematische Cha-

rakter des Problems, weil der nichtlineare Term im (l)

wegen (2) nicht direkt als fiktive Querbelastung gedeu-

tet werden kann. Es ist auch ersichtlich, daß die in w

formulierten dynamischen Randbedingung von (l) (und

ebenso die Übergangsbedingungen bei Einzelwirkungsan-

griffen) gegenĂŒber (3), (4) geĂ€ndert werden.

Ein Problem der Art (1), (2) ist aber doch aus der linea-

ren Stabstafik bekannt: Das (normalkraftfreie) Bie-

gungsproblem zufolge eingeprÀgter Temperaturvertei-

lung 6 fĂŒhrt auf:

d4 wM d2

= ———m , 5

dx4' dx2 ( )

d2 win:-

M" ——EJ( + m), (6)

dx2

wobei die Temperaturbeanspruchung durch das Integral

m = g f szA

J A

gegeben ist. a ist der lineare WĂ€rmeausdehnungskoeffi-

zient; m wird — als erstes Querschnitte-Moment der Tem-

peraturverteilung 9 — oft „Temperatunnoment” ge-

nannt. (Die wohl auf Boley [18] zurĂŒckgehendeund von

Parkus [19], S. 296 zweckmĂ€ĂŸig aufbereitete Formulie-

rung (5), (6), erlaubt, beliebige Temperaturverteilun-

gen 9(x, z) ebenso einfach (und genau) wie jene zu be-

6M Esz-

STOFFGESETZ 1 Z EJm1 2 H k6‘ 1 (EHk

(an|

3 n ‘Tt /

Z

EJ x “i

yJ Lu)

E A z

z j- 3c=—d‘w/dx‘

e BIEGEMOMENT~

N N ‚.

ÂŁ1 -E KRUMMUNGSGESETZ

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handeln, die nur linear ĂŒber den Querschnitt verteilt

sind.)

Aus dem Vergleich der bisher angegebenen Beziehungen

ergibt sich nun eine vollstĂ€ndige (auch die Randbedin—

gungen betreffende) Analogie:

Setzt man:

6N =a9, also mE% Ä edeA, (8)

so gilt:

wEw*+w**, MEM*+M**. (9)

Es werden also Durchbiegung und SchnittgrĂ¶ĂŸen in den

linear-elastischen Anteil zufolge der gegebenen Bela-

stung q und in einen linear-thermoelastischen Anteil zu-

folge fiktiver Temperaturbeanspruchung m zerlegt. Jedes

(lineare) Verfahren, das zur Durchbiegungsbestimmung

zufolge m dient, kann zur Ermittlung der nichtlinearen

Korrektur wH von w* herangezogen werden.

Die VollstÀndigkeit der Analogie zeigt sich anschaulich

in den AusdrĂŒcken fĂŒr die Spannungen: Nach [l9],

S. 297 gilt fĂŒr linear-elastische Biegebalken zufolge q

und 6:

o = $2 + E(mz—a¼); (10)

aus [7], S. 132 ist bei inelastischem Materialverhalten:

o = M2 + E(£ f edeA — eN). (11)

J J A

Lin selbst hat ja in [7] —— nur von der Bezeichnung her

unglĂŒcklich — linear thermoelastische Beanspruchungen

zu den „inelastischen” gezĂ€hlt.

Die ZweckmĂ€ĂŸigkeit der Analogie erscheint auch da-

durch gegeben, daß die nichtlinearen Effekte die lineare

Rechnung ja nur zufolge von ZwĂ€ngungsschnittgrĂ¶ĂŸen

Ă€ndern können; genau solche SchnittgrĂ¶ĂŸenverteilungen

werden aber durch WĂ€rmespannungen hervorgerufen:

M** verlÀuft abschnittsweise linear, QM abschnittsweise

konstant. Beide verschwinden in statisch bestimmten

(oder durch Fließgelenke bestimmt gewordenen) TrĂ€-

gern. WĂŒrden hingegen die letzten Terme in (l), (2) als

Ă€ußere Lasten gedeutet werden, mĂŒĂŸte — wie in [7],

[12], [l3] — eine indirekte Vorgangsweise entwickelt

werden, um die Gleichgewichtsbedingungen zu erfĂŒllen.

Die Lösung des Problems (3), (4-) wird als bekannt vor-

ausgesetzt; der statische Teil der Aufgabe beschrÀnkt

sich nur mehr auf die Ermittlung der Durchbiegung zu—

folge m. Es wird as Mohrsche Verfahren gewĂ€hlt (verglei—

che [15], [16]), welches auf der Analogie von (6) mit der

Gleichgewichtsbeziehung

d2 Mdxz (12)

beruht. Der bei statisch unbestimmten OriginaltrÀgern

statisch unterbestimmte adjungierte ErsatztrÀger wird

also mit m+M**/EJ querbelastet. Dieser ErsatztrÀger

muß sich im Gleichgewicht befinden; daraus, und weil

der Verlauf der thermoelastischen Momentenlinie quali-

tativ bekannt ist, kann MH leicht ermittelt werden; wM

folgt dann durch Integration als Biegemoment im Er—

satztrÀger.

2. Das numerische Verfahren

Um m numerisch darzustellen, wird der TrÀger in Inter-

valle unterteilt und der Verlauf von m zwischen StĂŒtz-

stellenwerten (ausreichend genau linear) analytisch ange-

nÀhert. M** und w'H können dann als Funktion dieser

StĂŒtzstellenwerte vomeweg mittels der Mohrschen Ana-

logie aus Gleichgewichtsbedingungen ermittelt werden.

Es wird hervorgehoben, daß dabei auch die geometri-

schen VertrÀglichkeitsbedingungen im gesamten TrÀger

erfith bleiben.

Dieser linear-elastischen Statik wird jetzt das jeweils zu

Grunde liegende Werkstoffgesetz gegenĂŒbergestellt, wel-

ches im einachsigen Fall ĂŒber die Querschnittsform in

einer (lokalen und nichtlinearen) BiegemomentenkrĂŒm-

mungsbeziehung seinen alleinigen Ausdruck findet und

aus M = f a (6)sz sowie der Bernoulli-Euler Hypothese

mit e = _zd2w/dx2 folgt (vgl. A Bild l b). Beispiele fĂŒr

diese (erstmals von Hrennikoff [20] verwendeten) Bezie-

hungen finden sich in der oben zitierten Literatur.

Nun kann aber in solchen Diagrammen wegen G1. (2)

EJm sofort als Differenz zwischen der Geraden mit der

Steigung E] und der gekrĂŒmmten Funktion erkannt wer-

den Bild 1 b), womit auch m(M) explizit bekannt

ist. Im folgenden wird angenommen — was bei der unten

gewĂ€hlten Vorgangsweise immer der Fall sein wird —

daß damit auch die Umkehrfunktion M(m) leicht ange-

geben werden kann.

Die wesentliche NĂ€herung besteht dann darin, daß die

IdentitÀt M (m) E M* +M** zur Bestimmung von m eben

nur an den StĂŒtzstellen ausgewertet wird, welche aber

ĂŒber die nichtlinearen TrĂ€gerabschnitte verteilt und da-

bei beliebig nahe nebeneinander liegend gewÀhlt werden

können. Daraus ergibt sich das benötigte Gleichungssy-

stem fĂŒr die l StĂŒtzstellenwerte m-‚ j = 1, . . . , 1. Es be-J_,

steht aus einem linearen Teil M** = IM“, . . . , MT*]T,

dessen Koeffizientenmatrix Q" die mittels des Mohr-

schen Verfahrens errechneten thermoelastischen Momen-

teneinflußzahlen zusarnmenfaßt, dem nichtlinearen Vek-

tor M = [M1(m1),. . ‚ M,(m,)]T, der die M(m) Bezie-

hungen _a)n den StĂŒtzstellen wiedergibt, und einem Stör-

vektor M*, welcher die entsprechenden Werte von M*

enthĂ€lt: M“ = [M* , . . . , M:]T. Damit wird:

—IVI** + M) = IVI* wobei:9

l3

IVI)**:Q**I;I) und m):[m1,...,m2]T. ( )

Dies stellt ein Analogon fĂŒr das von Lin [7], S. 157 auf

anderem Weg (und mit anderem mechanischen Hinter-

grund sowie speziell fĂŒr I-Profile) angegebene, Glei-

chungssystem zur Ermittlung der letzten Terme in (1),

(2) dar und könnte mit beliebigen Lösungsverfahren fĂŒr

nichtlineare Gleichungssysteme weiter behandelt wer-

den.

Oft sind detaillierte Belastungsgeschichten zu verfolgen,

so daß zweckmĂ€ĂŸigerweise inkrementell formuliert

wird:

(M: — (35d; = (133*, (14)

wobei fĂŒr die Diagonalmatrix gilt:

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dMl de ' 15

d—n—q , . . . , (E , ( )

—> —->

und dm, dM* die Inkremente der jeweiligen Vektoren

bedeuten.

Sicherlich gestaltet ch die Lösung dann besonders ein-

fach, wenn M-(mj) stĂŒckweise linear verlĂ€uft. Es wird

deshalb vorgeschlagen, die jeweils vorgegebenen Biege-

momenten-KrĂŒmmungsbeziehungen (hinreichend genau)

linear zu approximieren (Bild lb); so eine Vorgangs-

weise ist bei numerisch (punktweise aus Experimenten)

ermittelten VerlÀufen ohnehin erforderlich. Die de/

dmj sind dann die Steigungen der den betrachteten In-

krementen zugehörigen GeradenstĂŒcke.

M'=diag[~

In den folgenden Beispielen wird darĂŒber hinaus der in-

versen Frage nachgegangen, um welches Inkrement eine

gegebene proportionale Belastungsgruppe gerade zu stei-

gern ist, damit eine neue StĂŒtzstelle das elastische Grenz-

moment bzw. einen weiteren Knick in der Mj (mJ-)-Kurve

erreicht. Auf diese Weise kann die GrĂ¶ĂŸe des jeweiligen

linearen Gleichungssystems, das heißt die Anzahll der

StĂŒtzstellen im nichtlinearen Bereich, auf einem Mini-

mum gehalten werden, und es haben sich bei den Test-

rechnungen Iterationen weitgehend erĂŒbrigt. Die Aus-

breitung der nichtlinearen Zonen im TrÀger wird dabei

kontrolliert verfolgt, weil eine Abweichung vom vorge-

gebenen Mj (mj)-Pfad unmöglich ist. Jedenfalls wirkt

sich vorteilhaft aus, daß der grĂ¶ĂŸte Teil des Gleichungs-

systems — nĂ€mlich die Koeffizienten von Q“ ~ von

vorneherein zur VerfĂŒgung stehen und von LastĂ€nderun—

gen unberĂŒhrt bleiben; der benötigte Rang von Q" muß

nur entsprechend der jeweiligen Ausbreitung der nicht-

linearen Zonen verĂ€ndert werden, worĂŒber die aktuelle

Momentenlinie und ihr linear elastisches Inkrement

(ii/1* Aufschlufi geben. Auch lĂ€ĂŸt sich die benötigte

Funktion M(m) dann leicht angeben: Im k-ten Ab-

schnitt der linearisierten BiegemomentensKrĂŒmmungsbe-

ziehung gilt nÀmlich (Bild 1 b):

d2w

M=(EJ)k (K-Kk_1)+Mk_1‚ K Z " T: (16)dx

so daß mit Gl. (2)

(M- Mk—l) = (EDk (m—mk_1)/(1 —(EJ)k /EJ) {17)

mit signM = signm und IMk_1I<|MI<IMkI. FĂŒr

EJk = E] wird m=mk_l.

Die inkrementelle Formulierung lautet entsprechend:

dM = (EJ)k dm/(l—(EJ)k IEJ), (18)

wobei also dm = 0 bei (EJ)k = E], was insbesondere fĂŒr

die Entlastung bedeutsam ist.

Die Entlastung kann nichtlinear-elastisch oder linear

(z. B. von (2) nach (3) in Bild l) vor sich gehen, im letz-

teren Fall ist m = const, solange, bis an der betrachteten

StĂŒtzstelle wieder der nichtlineare (stĂŒckweise linear an-

genĂ€herte) Ast der BiegemomentenkrĂŒmmungsbeziehung

erreicht ist. WĂ€hrend dieser Entlastung entlang der Ge-

raden mit der Steigung EJ ist dm- = O bzw. de = dMT;

danach tritt wieder ein dm- als Uanekannte in das Glei-

chungssystem (14-) ein.

Hat man es mit mehreren Lastgruppen zu tun, die mit

unterschiedlichen Lastfaktoren beaufschlagt sind, dann

24

kann die Belastungsgeschichte (genĂŒgend fein) in propor-

tionale Abschnitte geteilt und die Vorgangsweise fĂŒr jede

dieser Laststufen getrennt durchgefĂŒhrt werden.

3. Zusammenhang zum Fließgelenkverfahren

Beim klassischen Verfahren erfolgt die baustatische Be-

rĂŒcksichtigung eines Fließgelenks auf zwei Wegen ([4]

S. 160):

Es kann erstens als Gelenk mit bekanntem, eingeprÀg-

tem Doppelmoment angesehen werden, was zu einer

SystemĂ€nderung fĂŒhrt. Erreicht also eine StĂŒtzstelle im

Momenten-KrĂŒmmungsdiagramm das volle plastische

Moment (unter Ausschöpfung der Querschnittsreserve)

dann stoppt dasfivorher angegebene Berechnungsverfah-

7

ren, und M* werden fĂŒr das neue System berech—

net, worauf der Algortihmus von vorne beginnt. Die

Ausbreitung der plastischen Zonen zwischen den Gelen-

ken wird dabei voll berĂŒcksichtigt. Das klassische Fließ-

gelenkverfahren stellt dabei insofern einen Sonderfall

dar, als sich auf Grund der dort angenommenen bilinea-

ren Biegemomenten-KrĂŒmmungsbeziehungen mit hori-

zontalem Ast solche Zonen eben nicht bilden können.

Der zweite Weg besteht darin, das Fließgelenk als Quer-

schnitt mit eingeprÀgtem Knickwinkel anzusehen, wobei

keine SystemÀnderung auftritt, aber der Knickwinkel als

zusÀtzliche Unbekannte hinzukommt. Die vorliegende

Methode liefert diesen Winkel sofort als Knick in der

Momentenlinie des Mohrschen ErsatztrĂ€gers zufolge fik—

tiver Einzellasten — biegender heißer Flecke — am Ort

des Fließgelenks.

4. Testbeispiele

Um das numerische Verfahren zu illustrieren, werden

mehrere Testbeispiele vorgestellt.

ZunÀchst wird ein beiderseits starr eingespannter Balken

(Bild 2 a) unter Doppelmomentbelastung behandelt. Die

Momentenlinie M* ist in Bild 2 b dargestellt; da sie ab-

schnittsweise konstant verlĂ€uft, erĂŒbrigt sich eine Unter—

teilung des Balkens mittels StĂŒtzstellen; es braucht nur

mit den Bereichen l, 2 gearbeitet zu werden, so daß:

193* = MA [4/5, —1/5]T. (19)

In diesen Bereichen mĂŒssen dann auch die (gegebenen-

falls auftretenden) mj, j = l, 2 konstant sein. Aus Sym-

metriegrĂŒnden muß zudem MH im gesamten TrĂ€ger

konstant verlaufen. Der mit m + M**/EJ zu belastende

Ersatzbalkenschwebt frei; Gleichgewicht liefert (Bild 2 c):

1 4

g" = (—EJ/5) . ~ (20)

1 4

Es wird ein bilineares Biegemomenten-KrĂŒmmungsge-

setz (etwa: l-Profil aus verfestigendem Metall) nach

Bild 3 betrachtet; mit GI. (17) folgt:

Mr fĂŒr IM;I<!\—/l,

M. =_ _ (21)

1M +Eij/3 fiir |M;|>M‚ j:l,2.

Wird der TrÀger einer proportional steigenden Erstbela-

stung unterworfen, genĂŒgt es, mit der finiten Beziehung

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Bild 2

I{xi/leiderseits eingespannter Balken unter Doppelmomentbelastung

a) Systemabmessungen

b) Linear-elastische Momentenlinie M*

c) ErsatztrÀger unter fiktiver Querlast (m+ MH/EJ)

d) Dimensionsloser Durchbiegungsanteil EJwH/Ml2 nach pro-

portionaler Belastung bis zum Plastifizieren in 2 _

e) Zugehörige linear-elastische Durchbiegung EJw*/M l2

EJ m1

(=9fi/B

fĂŒr MA-ZH)

nf-efils

"fein

2|

EJIL 'EJ/S

EJ

l

Bild 3

Biegemomenten-KrĂŒmmungsbeziehung fĂŒr den TrĂ€ger aus Bild 2

(13) zu arbeiten; Fließen wird (vgl. (19)) zuerst im Be-

reich 1 dann in 2 auftreten. Die Frage,_wann letzteres

gerade der Fall ist, liefert (mit M2 = —M, m2 = 0) das

folgende lineare Gleichungssystem fĂŒr m1 und die zuge-

hörige Last MA :

1 4 ‚E, Ă€, _ 1

(EJ/S) - + (EJ/3) + M

1 4 0 0 — 1

_worlau2s: MA = 11 lVI/tl; 51 =9111/4EJ; = ~9M/20,

J = , .

Die entsprechenden Durchbiegungen sind (als Biegemo-

mente im Mohrschen ErsatztrÀger) in Bild 2d), e) ange-

geben. ~

Ist MA <MA, so gilt (mit m2 = 0): m1 = (leA _ 151V!)

/8EJ, also etwa fĂŒr MA = 2M: M1 = llM/B, was Lin [7],

S. 161 auf anderem Weg erhalten hat. Die graphische Er-

mittlung dieses Ergebnisses ist in Bild 3 dargestellt.

(SelbstverstÀndlich kann bei nur einer Unbekannten

ohne weiteres mit nichtlinearen Biegemomenten-KrĂŒm-

mungsbeziehungen gearbeitet werden.)

Ist hingegen MA > MA hat man das Gleichungssystem

1 4 m1 m1

(EI/5) - + (EJ/3)

1 4 m2_ m2 (23)

l 4

+ M = (MA /5)

. _1 _ 1

zu lösen, was auf m1 = (12MA/5 — 871V!/20)/EJ,

m2 = (33M/2O — 3MA/5)/EJ man.

Dieses Beispiel eines EinfeldtrÀgers zeigt bereits alle we-

sentlichen Merkmale des numerischen Verfahrens, aller-

dings ist fĂŒr M* I const die Ausbreitung der nichtlinea-

ren Zonen lÀngs der TrÀgerachse vorerst unbekannt. Der

TrÀger wird deshalb in Intervalle untertth und der Ver-

lauf von m zwischen den die Intervalle trennenden StĂŒtz-

stellen nÀherungsweise analytisch vorgeschrieben. In der

vorliegenden Arbeit wird eine Treppenfunktionsapproxi-

mation gewÀhlt, was einer direkten Erweiterung des obi-

gen (im Rahmen der Theorie exakten) Beispiels ent-

spricht und sich bei Vergleichsrechnungen als genau ge-

nug erwiesen hat.

Die Vorgangsweise wird im folgenden am durchlaufen-

den MehrfeldtrĂ€ger auf n StĂŒt'zen demonstriert. Die FlĂ€-

chentrÀgheitsmomente seien abschnittsweise konstant,

also etwa im i-ten Feld (links von der i-ten StĂŒtze) Ji

mit i = 1, . . .., n— 1. Die linear elastischen Lösungen

w*, M* zufolge der eingeprÀgten Querbelastung q wer-

den als bekannt vorausgesetzt. Das i-te Feld, welches li

lang ist, wird in ri Intervalle unterteilt, und der Verlauf

von m im Intervall j wird nÀherungsweise konstant zu

mĂŒ gesetzt, wobei j = 1, . . . , ri. Ist sij die LĂ€nge dieses

l

Intervalls (also 1i 2 E sij), dann kann das fiktive Tem-

j= 1

peraturmoment am Mohrschen Ersatzbalken statisch

Ă€quivalent durch die „Einzellast”

‘I’ij = mij Sij (24)

ersetzt werden, welche in der Intervallmitte angreift. Das

Mohrsche Verfahren lĂ€ĂŸt sich nun, wie Gamer in [15] ge-

zeigt hat, auf den thermoelastischen Dreimomentensatz

4

= (MA/5) ‚ (22)

_1

25

Page 6: DasMohrscheVerfahrenzurBerechnungvonBiegebalken ... · PDF filemittlung des zweitenAnteils wird dasMohrscheVerfah-ren erkannt, welches auchimLichtneuerArbeiten(z. B. [4-], S. 105)seinegrundsätzliche

zurĂŒckfĂŒhren. Dieser lautet mit den verwendeten Be-

zeichnungen in inkrementeller Form

1 1k lk lk+1dM** .. i + 2dM'”: ._ + +1 + ** .. —— =

k-Lu Jk k," (Jk 1m) “141 Jk+1

0 fiir k±i, IHM—1,

= ‚k=1,...‚n—2. (25)

17.. .

—6E(l— li—‘J)d<1>ij fĂŒrk=1‚

nij .. _.

Dabei ist E der (globale Anfangs)ElastizitÀtsmodul, nij

ist der Hebelarm von (I’i- zur i-ten StĂŒtze, und die

dMi’?’ij sind die Inkremente der StĂŒtzmomente im La-

ger k zufolge eines fiktiven Temperaturmomentinkre-

ments d<I>ij im j-ten Intervall des i-ten Feldes.

Nach Lösung dieser statischen Aufgabe erfolgt die Er-

mittlung des aus dgn dÖij mit Gl. (24) entsprechend ge-

bildeten Vektors dm nach GL (14-) in der geschilderten

Weise. Insbesondere kann — da die ZwĂ€ngungsmomen-

tenverteilung M zwischen den BalkenstĂŒtzen linear ver-

lĂ€uft —— die zugehörige Einflußmatrix Q" aus (25)

leicht mittels des Strahlensatzes angegeben werden.

Sind die d<l>ij fĂŒr das aktuelle Lastinkrement — oder

jenes Lastinkrement, bei dem eine neue StĂŒtzstelle in

den nichtlinearen Bereich eintritt — berechnet, liegt die

inelastische inkrementelle Biegemomentenkorrektur

dM** fest, wobei in den Auflagern

H _ n— l ri es

de — i521 j=21 de’i‘i (26)

ĂŒbertragen wird.

Man erhÀlt dann die inkrementelle Durchbiegungskorrek-

tur dwH als Biegemoment in der kinematischen Ersatz-

trĂ€gerkette. Diese ist ja — etwa im i-ten Feld — durch

dM**/E‚Ii sowie durch die Öij belastet, wobei j = l, . . ri

sowie i = 1, . . . , n — l; sie befindet sich unter dieser Be-

lastung im Gleichgewicht. Bei der Ermittlung der zuge-

hörigen Biegemomente im i-ten Feld des ErsatztrÀgers

wird dann zweckmĂ€ĂŸigerweise die ErsatztrĂ€gergelenk-

kraft an der Stelle der i-l—ten BalkenstĂŒtze verwendet,

vgl. [15].

Als einfaches Anwendungsbeispiel wird der unendlich

lange, Ă€quidistant gestĂŒtzte TrĂ€ger betrachtet; die TrĂ€g-

heitsmomente der Felder sollen gleich groß sein. Dann

wird d<I>ij = const. fĂŒr alle i bei festem j. LĂ€ĂŸt man nun

d<I>j im Intervall j jedes Feldes zugleich angreifen, wer—

den auch die entsprechenden StĂŒtzmomentinkremente

= dMT; = const im ganzen TrÀger. Aus dem

Dreimomentensatz (25) kann somit die einfache Bezie-

hung

dMTj" = — EJdÖj/l . (27)

abgeleitet werden, wobei l die FeldlÀnge bedeutet. Ist die

eingeprÀgte Belastung zusÀtzlich symmetrisch zur Feld-

mitte, wÀhlt man eine gerade Anzahl symmetrisch ange-

ordneter Intervalle; j bezeichnet dann gemeinsam jene

26

beiden Mengen von Intervallen, deren d<I> aus Summe-

triegrĂŒnden gleiche Werte annehmen mĂŒssen.

Weiter sind — weil dM“ im ganzen TrĂ€ger konstant ver-

lĂ€uft —— alle Komponenten einer Spalte der MatrixQ"

gleich und es wird das thermoelastische Biegemoment in

allen StĂŒtzstellen zufolge der in den Intervallen j wirken-

den dmj = 1:

cf; =_ 2Eisjn,j=1‚...,r/2. i ' (28)

ist die LĂ€nge des j-ten Intervalls, r die Anzahl der

tervalle im Feld.

Der DurchlauftrÀger verhÀlt sich also jetzt wie ein beider-

seits starr eingespannter EinfeldtrÀger. Einen solchen

unter konstanter Belastung q = qo = const. hat Lin in [7]

S. 161 — 171 behandelt, vgl. Bild 4, wobei die in Tabel-

le l angegebene Biegemomenten-KrĂŒmmungsbeziehung

verwendet wurde. In Bild 4 sind die weiter benötigten

Bezeichnungen definiert. Wie in [7] wird der Frage nach-

gegangen, wie weit die Belastung zu steigern ist, bis in

x = 0,02] das elastische Grenzmoment — M erreicht ist;

sodann wird die Belastung solange reversiert, bis die glei-

che Stelle wieder plastiziert. Es werden drei Intervalle

mit s] = 0,0051, s2 = 0,011, S3 = 0,01l betrachtet; aus

VergleichsgrĂŒnden werden (im Gegensatz zur oben vor-

geschlagenen Vorgangsweise) als StĂŒtzstellen das TrĂ€ger-

auflager (0) sowie die Mitten der Intervalle 2 und 3 ge-

wÀhlt.

Das linear-elastische Moment M‘t kann Bild 4 entnom-

men werden; es ist M‘ = —— 0,08331; l2, M; = —— 0,0784qol2,

Mg: —0,0735qol2. (Das TrĂ€geraufiager erreicht somit

das elastische Grenzmoment bei q0 = 378 Afh/l2 (Di-

mensionen werden beibehalten, um eine leichte Gegen-

mammal I l

qo

Illllllllll

\:x \:

l

/ a)

m2

e e

\ 0 5 I112; mu;

snsarzmlasn: t.)

Llllllll «Ha-’16

1«~ Ini l

. d la r- '

7 Durchhicgligsans \

1,209. ums

_ u“

teil nach Ersth

auf 1,420”

Bild 4

Durchlauftriger unter konstanter Belastung po

a) Systemabmessungen eines Feldes *

b) Linear elastische Magentaqu M

c) ErsatztrÀger unter d + d IE] _

d) Dimensionslose mi EJw“/M12 die nach propor-

tionaler Belastung bis— M in x = 0,021 auftritt

Page 7: DasMohrscheVerfahrenzurBerechnungvonBiegebalken ... · PDF filemittlung des zweitenAnteils wird dasMohrscheVerfah-ren erkannt, welches auchimLichtneuerArbeiten(z. B. [4-], S. 105)seinegrundsätzliche

6 E SANDWICH-

5 00:35:11-

lpsil [Psi] NITTzfl-th

10500 1- 0‘12

0,0030 31,50 A A‘

7000 Z

0,0035 35,00

1.500 h

c 0,001.5 39,50

2867 im

d 0,0060 16,80 A,

cu

M d

J 1:

Eh I)

a

51:5,1

3|

II 2

2Ma

//2

parallel

4 zu t-d __

Tahelle l

Stoffgesetz und Querschnittsabmessungen des TrÀgers aus

Bild 4.

ĂŒberstellung mit [7] zu ermöglichen.) Dann wird M0 =

M: = —31,50 Afh, M2 = M; = ——29,65 Afh, M3 = M; =

—27,80 Afh. Nun wird nach jenem Lastinkrement ge—

sucht, bei dem die StĂŒtzstelle 2 das elastische Grenzmo-

ment erreicht. Aus Gl. folgt G*.* = —0,01 E]; aus

Tabelle 1 entnimmt man E = 3150/00030 : 10,5: 103

und Eb = 3,50/0,0005 = 7,0103 Gleichung (18) liefert

damit dMo/dml = 2,0013]. Das Biegemoment in 2 wird

um sz = _ (31,50—29,65)A,h = — 1,85 Afh verĂ€n-

dert, Daraus ergibt GI. (14) das Gleichungssystem:

2,00EJdm1 + 0,01 EJdml =—0,0833qu2,

_1,85A,h + 0,01 EJdm1 =_o,784dq12. (29)

Die Lösung ist dq = 24,36 Afh/l, dml = — 1,01 Afh/EJ.

Gl. (33) stimmen mit dem von Lin [7], S. 165 auf ande—

rem Wege gefundenen Gleichungssystemen zur Bestim-

mung des letzten Terms von Gl. (1) gut ĂŒberein. (Im wei-

teren Gang der Rechnung ergeben sich kleine Differen-

zen, weil in [7] teilweise mit Sekantenmoduli gearbeitet

wird). Es folgt dM0 = —— 2,02 Afh, dM3 = —- 1,78 Afh. ‘

Das Lastinkrement, bei dem in 0 das Biegemoment —

Mb erreicht wird, folgt mit

<1M,,/dm1 = 2,00 EJ,

dMo : _ (35,00 _ 31,5 _ 2,02) (30)

Afh : - 1,48 Afh,

ĂŒber

dml = _ 0,74 Afh/EJ (31)

aus dMo = —— 0,0833 dql2 —- 0,01 EJdml zu

dq = 17,90 Aal/12. Damit wird dM2 = _ 1,40 Afh,

dM3 = —— 1,31 Afh.

Laststeigerung, bis in 3 das elastische Grenzmoment auf-

tritt, fĂŒhrt auf das Gleichungssystem:

0,75 0,01 0,02 0 dm, .

2,00 Afh + 0,01 0,02 0 EJ- dm2

_ __. 0,01 0,02 0 10,61 EJ

(32)

0,0833

= _ dq 0,0784 I2,

0,0735

wobei wegen G1. (18) dMo/dml = 0,75, dM2/dm2 2

2,00 und dM3 = —- (31,50 — 30,89) Afh = — 0,61 Afh

gesetzt wurde. Das Ergebnis ist dml = — 0,93 Afh/Ej,

dm2 = — 0,33 Afh/EJ, dq = 8,51 Afh/l2. Daraus folgt

dMo = — 0,69 Afh, dM2 = — 0,65 Afh. FĂŒr den entspre-

chenden plastischen Durchbiegungsanteil siehe Bild 4d).

Nun wird die Belastungsrichtung umgekehrt. Damit wie-

der Plastifizierung in 0 auftritt, ist eine BelastungsÀnde-

rung um dq = — 756 Afh/l2 erforderlich; die zugehöri-

gen BiegemomentenÀnderungen sind dMo = 63,0 Afh,

dM2 = 59,27 Afh, dM3 = 55,57 Afh.

Bei weiter gesteigerter Gegenhelastung soll die Biegemo-

menten-KrĂŒmmungsbeziehung in 0 parallel zu b—c ver-

laufen (in diesem Bereich befand sich das Auflager ja vor

der Entlastung). Neuerliches Plastifizieren in 2 erfordert

dM2 = (63,0— 59,27) Afh = 3,73 Afh- Dies fĂŒhrt auf das

Gleichungssystem

0,75 EJdml + 0,01 EJdml = _ 0,0833 dql2

3,73 Afh + 0,01 EJdm, = _ 0,0784 dql2 (33)

Die Lösung wĂ€re: dml = 5,29 Afh/EJ, dq = —-48,25

Afh/lz, woraus: dMo = 3,96 Afh. Damit hÀtte das Auf-

lager aber bereits den Bereich parallel zu c—-d im Biege-

momenten-KrĂŒmmungsdiagramm erreicht. Es muß des-

halb zuerst das diesem Knick entsprechende Lastinkre-

ment errechnet und dann Gleichung (33) neu ange-

schrieben werden. Dies und das ĂŒbrige gehen aber völlig

analog zur bisherigen Rechnung vor sich, sodaß sich eine

weitere Demonstration erĂŒbrigt.

5. Schlußwort

Es wurde ein einfaches, gegebenfalls auch fĂŒr die Hand-

rechnung geeignetes, numerisches Verfahren fĂŒr Biege—

balken mit nichtlinearem Stoffgesetz vorgestellt, welches

die endliche Ausdehnung nichtlinearer Zonen lÀngs der

Balkenachse berĂŒcksichtigt. Die Methode fĂŒhrt auf die

Lösung linearer Gleichungssysteme, die anschaulich aus

Gleichgewichtsbedingungen am Mohrschen Ersatzbalken

hergeleitet werden.

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27

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Anschrift des Verfassers:

Univ. Ass. Dip]. Ing. Dr. techn. Hans Irschik

Institut fĂŒr Allgemeine Mechanik

Technische UniversitÀt Wien

Karlsplatz 13

A— 1040 Wien


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