TECHNISCHE MECHANIK 6(1985)Heft1
Manuskripteingang: 16. 2. 1984
Das Mohrsche Verfahren zur Berechnung von Biegebalken
mit nichtlinearem Werkstofigesetz
Hans Irschik
0. Einleitung
Die wirklichkeitsnahe Ermittlung der Durchbiegung von
Biegebalken unter BerĂŒcksichtigung nichtlinearen Werk-
stoffverhaltens (linear oder nichtlinear elastisch-plastiâ
sches Verhalten mit oder ohne Verfestigung) bereitet
zunĂ€chst nur dann wenig MĂŒhe, wenn â wie im Falle sta-
tischer Bestimmtheit â die vorgegebenen Beziehungen
zwischen Biegemoment und BalkenkrĂŒmmung unmittelâ
bar ausgewertet werden können (z. B.: Neal [1], S. 149,
Reckling [2], S. 119, Leonhardt [3], S. 85). Hingegen ist
die analytische Behandlung statisch unbestimmter TrÀger
mit ausgedehnten nichtlinearen Bereichen meist aufwen-
dig, wie ein in [2], S. 126 gegebenes Beispiel zeigt.
Nun liegt fĂŒr Tragwerke aus StĂ€hlen ohne merkliche Ver-
festigung im betrachteten plastischen Bereich mit der
FlieĂgelenktheorie ein bereits sehr weit entwickeltes
Verfahren vor (Rubin und Vogel [4], S. 159). Dieses
ist aber gerade im Hinblick auf die Durchbiegungsermitt-
lung in seiner Aussagekraft beschrĂ€nkt, weil die Ausbilâ
dung plastischer Zonen auf Grund der verwendeten idea-
lisierten Momenten-KrĂŒmmungsbeziehung eben nur in
diskreten weit entfernten Querschnitten des TrÀgers auf-
tritt und damit die Steifigkeit zwischen diesen FlieĂge-
lenken ĂŒberschĂ€tzt wird. (FĂŒr Vergleichsrechnungen
siehe z. B. Dorosz [5], Dorosz und Sawzuk [6]). Auch
treten bei vergĂŒteten StĂ€hlen oder Leichtmetallegierun-
gen merkliche Verfestigungserscheinungen auf ([2], S. 2).
StahlbetontrÀger verhalten sich nicht-linear elastisch im
Zustand II (bei Erstbelastung) und plastisch mit Verfe-
stigung im Zustand IH (z. B. [3], S. 85).
Es besteht also wohl â- trotz der groĂen Bedeutung der
FlieĂgelenktheorie zur Traglastermittlung (auch bei
Stahlbeton [3], S. 149) â ein Bedarf nach einfachen nu-
merischen Verfahren, welche möglichst unabhÀngig von
der Art des verwendeten Baustoffes die Ermittlung von
Durchbiegung und zugehörigen SchnittgröĂen auch bei
endlicher Ausdehnung der nichtlinearen Effekte in TrÀ-
gerlĂ€ngsrichtung erlauben. Dabei muĂ die BerĂŒcksichti-
gung zyklischer Be- und Entlastungsprogramme möglich
sein. Zum Vorteil des Benutzers sollte die Vorgangsweise
als Erweiterung der FlieĂgelenkmethode erkannt werden
können, und es sollten dabei Verfahren der klassischen
linearen Baustatik Verwendung finden.
Die vorliegende Arbeit soll ein Beitrag in dieser Richtung
sein. Zum Ausgangspunkt genommen wird die von Lin
[7] entwickelte Vorgangsweise, einen festen Körper mit
âinelastischer" Beanspruchung als einen linearâelasti-
schen zu behandeln, dem zusÀtzliche Volumen- und
OberflÀchenkrÀfte eingeprÀgt sind.
Unter âinelastischâ wird in l7] nicht nur elastisch-plasti-
sches oder viskoses Verhalten, sondern auch elastische
WĂ€rmebeanspruchung verstanden. Das Verfahren ist eine
Verallgemeinerung einer bereits von H. ReiĂner [8] fĂŒr
EigenspannungszustÀnde angegebenen Theorie und
schlieĂt die aus der ThermoelastizitĂ€tstheorie bekannte
Goodiersche Methode [9] mit ein. Mit Hilfe dieser Sicht
der Theorien wurden eine Reihe zwei- und dreidimensio-
naler Probleme erfolgreich gelöst; Lins Arbeit hat dann
auch die Entwicklung entsprechender Computerverfah-
ren nach sich gezogen die Methode der Randelemen-
te etwa [10], [11]). Die von Lin und Mitautoren gege-
bene Aufbereitung fĂŒr Biegeu'Ă€ger ([12]; [7], S. 128;
[13] fĂŒr Rahmen; [l4] fĂŒr dynamische Probleme) erâ
scheint allerdings doch grundsÀtzlich verbesserungsfÀhig
zu sein: So sind nach [12], [7] und [13] einem Ersatz-
trÀger erste Ortsableitungen noch zu ermittelnder Grö-
Ăen (siehe letzter Term in Gl. (2) dieser Arbeit) als Ă€uĂe-
re Momentenbelastung einzuprÀgen; in [l4] wird mit
fiktiven Querbelastungen gearbeitet, die zweite Ablei-
tungen einer numerisch zu bestimmenden Funktion dar-
stellen letzten Term in Gl. (l) dieser Arbeit).
Gelingt auch im ersten Falle die Beseitigung des rechen-
technischen Nachteils numerischer Differentiation mit-
tels eines Integralsatzes, ist doch eine geschachtelte Vor-
gangsweise zur ErfĂŒllung der Gleichgewichtsbedingungen
erforderlich; dabei muĂ der VerĂ€nderung âdynamischerâ
Randbedingungen (Biegemomente und QuerkrÀfte be-
treffend) zufolge der WerkstoffnichtlinearitÀt durch Ein-
prĂ€gen zusĂ€tzlicher Ă€uĂerer Lasten Rechnung getragen
werden.
In der vorliegenden Arbeit wird deshalb eine alternative
Strategie vorgestellt. Die nichtlinearen Effekte werden
problemangepaĂt als fiktive Temperaturbeanspruchung
des gegebenen TrĂ€gers unter Annahme linearâelastischen
Verhaltens gedeutet. Es wird gezeigt, daĂ es sich dabei
um eine vollstÀndige Analogie handelt, so da6 mit den
originalen Lagerungsbedingungen des Balkens gearbeitet,
werden kann. Diese neue Methode berĂŒcksichtigt einer-
seits direkt, daĂ die nichtlinearen Zonen im statisch un-
bestimmten TrÀger die linear-elastische Rechnung ja nur
um lineare ZwĂ€ngungsschnittgröĂenverteilungen Ă€ndern
können, andererseits ist die Differentiation numerisch
gewonnener Ergebnisse nicht erforderlich. Die guten
Kenntnisse des Ingenieurs betreffend âTemperaturbean-
spruchung in linear elastischen Biegebalkenâ sollen ange-
sprochen werden.
Mit Hilfe der Analogie wird die Durchbiegung des
stofflich nichtlinearen Balkens also in den linear-elasti-
schen Anteil zufolge der gegebenen Belastung und in
eine Iinearâthermoelastische Durchbiegung zufolge noch
unbekannter Temperaturbeanspruchung zerlegt. Der
erste Anteil darf als bekannt vorausgesetzt werden. Als
baustatisch besonders vorteilhaftes Verfahren zur Erâ
21
mittlung des zweiten Anteils wird das Mohrsche Verfah-
ren erkannt, welches auch im Licht neuer Arbeiten (z. B.
[4-], S. 105) seine grundsÀtzliche Bedeutung erhalten hat,
und â wie Gamer [15], [16] gezeigt hat â fĂŒr Tempera-
turbeanspruchung ein Minimum an Arbeitsaufwand ge-
wÀhrleistet.
Ausgehend von dieser Analogie und der entsprechenden
Mohrschen Formulierung wird dann eine numerische
Methode zur Ermittlung der fiktiven Temperaturbean-
spruchung angegeben; diese erscheint fĂŒr unterschied-
liche Baustoffe und TrÀgerquerschnittsformen gleich
geeignet. Die Vorgangsweise wird an Testbeispielen er-
lÀutert. Es wird diskutiert, wie das Fliefigelenkverfahren
mit seiner speziellen Biegemomenten-Kriimmungsbezie-
â hung als Sonderfall der vorgestellten numerischen
Methode aufgefaĂt werden kann.
In der vorliegenden Arbeit wird quasistatische Beanspru-
chung zufolge Querbelastung behandelt; eine Aufberei-
tung fĂŒr dynamische Probleme erfolgt in [17]. Die Be-
rĂŒcksichtigung von Temperaturbelastung, Normalkraft-
beanspruchung oder Schubdeformation sowie die Be-
rechnung von Bahmentragwerken sollen zu einem spÀte-
ren Zeitpunkt vorgestellt Werden. Auch ĂŒber Kriecher-
scheinungen wird gesondert berichtet.
l. Eine vollstÀndige Analogie zwischen Balken
mit linearem und nichtlinearem Werkstoffge-
setz
Das Problem der ebenen Biegung gerader, normalkraft-
freier StĂ€be mit eingeprĂ€gter Querbelastung q fĂŒhrt nach
Lin ([7], S. 128, 352) bei einachsigem nichtlinearem
Werkstoffgesetz (Bild la) auf die folgende Integrodifw
ferentialgleichung fĂŒr die Durchbiegungw (Bemoulli-
Euler Hypothese, geometrisch linearisierte Beziehungen
werden vorausgesetzt):
d4W _ q
dx4 H J dx2 A
Biegemomente und QuerkrÀfte ergeben sich aus w zu:
(1)
Bild l
a) Nichtlineares Stoffgesetz; Definition von 6N .
b) Qualitative nichtlineare Biegemomenten-KrĂŒmmungsbezieâ
hung des Querschnittes A; Definition von m; â â â mögli-
che lineare Approximation
d2w 1 N _ __ dM
m * He â1Aâ 0â5
EJ ist eine jeweiligen Integrationsabschnitt konstan-
te) Vergleichsbiegesteifigkeit des Stabquerschnittes A
(vgl. Bild 1b); zweckmĂ€Ăigerweise werden meist An-
fangsmodul und tatsÀchliches TrÀgheitsmoment (bei
Stahlbeton jenes im Zustand I) zu wÀhlen sein.
Man erkennt, daĂ die nichtlinearen Dehnungen 6N nicht
nur die vom linearen Fall her bekannte Differentialglei-
chung der Biegelinie:
M=âm< (m
d4 w* q
= .â ; 3
dx4 EJ ( )
sondern auch die entsprechende Schnittgröfienbeziehung:
d2 w*M* = â- E 4
J dx2 ( )
modifizieren. Damit Àndert sich der mathematische Cha-
rakter des Problems, weil der nichtlineare Term im (l)
wegen (2) nicht direkt als fiktive Querbelastung gedeu-
tet werden kann. Es ist auch ersichtlich, daĂ die in w
formulierten dynamischen Randbedingung von (l) (und
ebenso die Ăbergangsbedingungen bei Einzelwirkungsan-
griffen) gegenĂŒber (3), (4) geĂ€ndert werden.
Ein Problem der Art (1), (2) ist aber doch aus der linea-
ren Stabstafik bekannt: Das (normalkraftfreie) Bie-
gungsproblem zufolge eingeprÀgter Temperaturvertei-
lung 6 fĂŒhrt auf:
d4 wM d2
= âââm , 5
dx4' dx2 ( )
d2 win:-
M" ââEJ( + m), (6)
dx2
wobei die Temperaturbeanspruchung durch das Integral
m = g f szA
J A
gegeben ist. a ist der lineare WĂ€rmeausdehnungskoeffi-
zient; m wird â als erstes Querschnitte-Moment der Tem-
peraturverteilung 9 â oft âTemperatunnomentâ ge-
nannt. (Die wohl auf Boley [18] zurĂŒckgehendeund von
Parkus [19], S. 296 zweckmĂ€Ăig aufbereitete Formulie-
rung (5), (6), erlaubt, beliebige Temperaturverteilun-
gen 9(x, z) ebenso einfach (und genau) wie jene zu be-
6M Esz-
STOFFGESETZ 1 Z EJm1 2 H k6â 1 (EHk
(an|
3 n âTt /
Z
EJ x âi
yJ Lu)
E A z
z j- 3c=âdâw/dxâ
e BIEGEMOMENT~
N N â.
ÂŁ1 -E KRUMMUNGSGESETZ
22
handeln, die nur linear ĂŒber den Querschnitt verteilt
sind.)
Aus dem Vergleich der bisher angegebenen Beziehungen
ergibt sich nun eine vollstĂ€ndige (auch die Randbedinâ
gungen betreffende) Analogie:
Setzt man:
6N =a9, also mE% Ă edeA, (8)
so gilt:
wEw*+w**, MEM*+M**. (9)
Es werden also Durchbiegung und SchnittgröĂen in den
linear-elastischen Anteil zufolge der gegebenen Bela-
stung q und in einen linear-thermoelastischen Anteil zu-
folge fiktiver Temperaturbeanspruchung m zerlegt. Jedes
(lineare) Verfahren, das zur Durchbiegungsbestimmung
zufolge m dient, kann zur Ermittlung der nichtlinearen
Korrektur wH von w* herangezogen werden.
Die VollstÀndigkeit der Analogie zeigt sich anschaulich
in den AusdrĂŒcken fĂŒr die Spannungen: Nach [l9],
S. 297 gilt fĂŒr linear-elastische Biegebalken zufolge q
und 6:
o = $2 + E(mzâaÂź); (10)
aus [7], S. 132 ist bei inelastischem Materialverhalten:
o = M2 + E(ÂŁ f edeA â eN). (11)
J J A
Lin selbst hat ja in [7] ââ nur von der Bezeichnung her
unglĂŒcklich â linear thermoelastische Beanspruchungen
zu den âinelastischenâ gezĂ€hlt.
Die ZweckmĂ€Ăigkeit der Analogie erscheint auch da-
durch gegeben, daĂ die nichtlinearen Effekte die lineare
Rechnung ja nur zufolge von ZwĂ€ngungsschnittgröĂen
Ă€ndern können; genau solche SchnittgröĂenverteilungen
werden aber durch WĂ€rmespannungen hervorgerufen:
M** verlÀuft abschnittsweise linear, QM abschnittsweise
konstant. Beide verschwinden in statisch bestimmten
(oder durch FlieĂgelenke bestimmt gewordenen) TrĂ€-
gern. WĂŒrden hingegen die letzten Terme in (l), (2) als
Ă€uĂere Lasten gedeutet werden, mĂŒĂte â wie in [7],
[12], [l3] â eine indirekte Vorgangsweise entwickelt
werden, um die Gleichgewichtsbedingungen zu erfĂŒllen.
Die Lösung des Problems (3), (4-) wird als bekannt vor-
ausgesetzt; der statische Teil der Aufgabe beschrÀnkt
sich nur mehr auf die Ermittlung der Durchbiegung zuâ
folge m. Es wird as Mohrsche Verfahren gewĂ€hlt (vergleiâ
che [15], [16]), welches auf der Analogie von (6) mit der
Gleichgewichtsbeziehung
d2 Mdxz (12)
beruht. Der bei statisch unbestimmten OriginaltrÀgern
statisch unterbestimmte adjungierte ErsatztrÀger wird
also mit m+M**/EJ querbelastet. Dieser ErsatztrÀger
muĂ sich im Gleichgewicht befinden; daraus, und weil
der Verlauf der thermoelastischen Momentenlinie quali-
tativ bekannt ist, kann MH leicht ermittelt werden; wM
folgt dann durch Integration als Biegemoment im Erâ
satztrÀger.
2. Das numerische Verfahren
Um m numerisch darzustellen, wird der TrÀger in Inter-
valle unterteilt und der Verlauf von m zwischen StĂŒtz-
stellenwerten (ausreichend genau linear) analytisch ange-
nÀhert. M** und w'H können dann als Funktion dieser
StĂŒtzstellenwerte vomeweg mittels der Mohrschen Ana-
logie aus Gleichgewichtsbedingungen ermittelt werden.
Es wird hervorgehoben, daĂ dabei auch die geometri-
schen VertrÀglichkeitsbedingungen im gesamten TrÀger
erfith bleiben.
Dieser linear-elastischen Statik wird jetzt das jeweils zu
Grunde liegende Werkstoffgesetz gegenĂŒbergestellt, wel-
ches im einachsigen Fall ĂŒber die Querschnittsform in
einer (lokalen und nichtlinearen) BiegemomentenkrĂŒm-
mungsbeziehung seinen alleinigen Ausdruck findet und
aus M = f a (6)sz sowie der Bernoulli-Euler Hypothese
mit e = _zd2w/dx2 folgt (vgl. A Bild l b). Beispiele fĂŒr
diese (erstmals von Hrennikoff [20] verwendeten) Bezie-
hungen finden sich in der oben zitierten Literatur.
Nun kann aber in solchen Diagrammen wegen G1. (2)
EJm sofort als Differenz zwischen der Geraden mit der
Steigung E] und der gekrĂŒmmten Funktion erkannt wer-
den Bild 1 b), womit auch m(M) explizit bekannt
ist. Im folgenden wird angenommen â was bei der unten
gewĂ€hlten Vorgangsweise immer der Fall sein wird â
daĂ damit auch die Umkehrfunktion M(m) leicht ange-
geben werden kann.
Die wesentliche NĂ€herung besteht dann darin, daĂ die
IdentitÀt M (m) E M* +M** zur Bestimmung von m eben
nur an den StĂŒtzstellen ausgewertet wird, welche aber
ĂŒber die nichtlinearen TrĂ€gerabschnitte verteilt und da-
bei beliebig nahe nebeneinander liegend gewÀhlt werden
können. Daraus ergibt sich das benötigte Gleichungssy-
stem fĂŒr die l StĂŒtzstellenwerte m-â j = 1, . . . , 1. Es be-J_,
steht aus einem linearen Teil M** = IMâ, . . . , MT*]T,
dessen Koeffizientenmatrix Q" die mittels des Mohr-
schen Verfahrens errechneten thermoelastischen Momen-
teneinfluĂzahlen zusarnmenfaĂt, dem nichtlinearen Vek-
tor M = [M1(m1),. . â M,(m,)]T, der die M(m) Bezie-
hungen _a)n den StĂŒtzstellen wiedergibt, und einem Stör-
vektor M*, welcher die entsprechenden Werte von M*
enthĂ€lt: Mâ = [M* , . . . , M:]T. Damit wird:
âIVI** + M) = IVI* wobei:9
l3
IVI)**:Q**I;I) und m):[m1,...,m2]T. ( )
Dies stellt ein Analogon fĂŒr das von Lin [7], S. 157 auf
anderem Weg (und mit anderem mechanischen Hinter-
grund sowie speziell fĂŒr I-Profile) angegebene, Glei-
chungssystem zur Ermittlung der letzten Terme in (1),
(2) dar und könnte mit beliebigen Lösungsverfahren fĂŒr
nichtlineare Gleichungssysteme weiter behandelt wer-
den.
Oft sind detaillierte Belastungsgeschichten zu verfolgen,
so daĂ zweckmĂ€Ăigerweise inkrementell formuliert
wird:
(M: â (35d; = (133*, (14)
wobei fĂŒr die Diagonalmatrix gilt:
23
dMl de ' 15
dânâq , . . . , (E , ( )
â> â->
und dm, dM* die Inkremente der jeweiligen Vektoren
bedeuten.
Sicherlich gestaltet ch die Lösung dann besonders ein-
fach, wenn M-(mj) stĂŒckweise linear verlĂ€uft. Es wird
deshalb vorgeschlagen, die jeweils vorgegebenen Biege-
momenten-KrĂŒmmungsbeziehungen (hinreichend genau)
linear zu approximieren (Bild lb); so eine Vorgangs-
weise ist bei numerisch (punktweise aus Experimenten)
ermittelten VerlÀufen ohnehin erforderlich. Die de/
dmj sind dann die Steigungen der den betrachteten In-
krementen zugehörigen GeradenstĂŒcke.
M'=diag[~
In den folgenden Beispielen wird darĂŒber hinaus der in-
versen Frage nachgegangen, um welches Inkrement eine
gegebene proportionale Belastungsgruppe gerade zu stei-
gern ist, damit eine neue StĂŒtzstelle das elastische Grenz-
moment bzw. einen weiteren Knick in der Mj (mJ-)-Kurve
erreicht. Auf diese Weise kann die GröĂe des jeweiligen
linearen Gleichungssystems, das heiĂt die Anzahll der
StĂŒtzstellen im nichtlinearen Bereich, auf einem Mini-
mum gehalten werden, und es haben sich bei den Test-
rechnungen Iterationen weitgehend erĂŒbrigt. Die Aus-
breitung der nichtlinearen Zonen im TrÀger wird dabei
kontrolliert verfolgt, weil eine Abweichung vom vorge-
gebenen Mj (mj)-Pfad unmöglich ist. Jedenfalls wirkt
sich vorteilhaft aus, daĂ der gröĂte Teil des Gleichungs-
systems â nĂ€mlich die Koeffizienten von Qâ ~ von
vorneherein zur VerfĂŒgung stehen und von LastĂ€nderunâ
gen unberĂŒhrt bleiben; der benötigte Rang von Q" muĂ
nur entsprechend der jeweiligen Ausbreitung der nicht-
linearen Zonen verĂ€ndert werden, worĂŒber die aktuelle
Momentenlinie und ihr linear elastisches Inkrement
(ii/1* Aufschlufi geben. Auch lĂ€Ăt sich die benötigte
Funktion M(m) dann leicht angeben: Im k-ten Ab-
schnitt der linearisierten BiegemomentensKrĂŒmmungsbe-
ziehung gilt nÀmlich (Bild 1 b):
d2w
M=(EJ)k (K-Kk_1)+Mk_1â K Z " T: (16)dx
so daĂ mit Gl. (2)
(M- Mkâl) = (EDk (mâmk_1)/(1 â(EJ)k /EJ) {17)
mit signM = signm und IMk_1I<|MI<IMkI. FĂŒr
EJk = E] wird m=mk_l.
Die inkrementelle Formulierung lautet entsprechend:
dM = (EJ)k dm/(lâ(EJ)k IEJ), (18)
wobei also dm = 0 bei (EJ)k = E], was insbesondere fĂŒr
die Entlastung bedeutsam ist.
Die Entlastung kann nichtlinear-elastisch oder linear
(z. B. von (2) nach (3) in Bild l) vor sich gehen, im letz-
teren Fall ist m = const, solange, bis an der betrachteten
StĂŒtzstelle wieder der nichtlineare (stĂŒckweise linear an-
genĂ€herte) Ast der BiegemomentenkrĂŒmmungsbeziehung
erreicht ist. WĂ€hrend dieser Entlastung entlang der Ge-
raden mit der Steigung EJ ist dm- = O bzw. de = dMT;
danach tritt wieder ein dm- als Uanekannte in das Glei-
chungssystem (14-) ein.
Hat man es mit mehreren Lastgruppen zu tun, die mit
unterschiedlichen Lastfaktoren beaufschlagt sind, dann
24
kann die Belastungsgeschichte (genĂŒgend fein) in propor-
tionale Abschnitte geteilt und die Vorgangsweise fĂŒr jede
dieser Laststufen getrennt durchgefĂŒhrt werden.
3. Zusammenhang zum FlieĂgelenkverfahren
Beim klassischen Verfahren erfolgt die baustatische Be-
rĂŒcksichtigung eines FlieĂgelenks auf zwei Wegen ([4]
S. 160):
Es kann erstens als Gelenk mit bekanntem, eingeprÀg-
tem Doppelmoment angesehen werden, was zu einer
SystemĂ€nderung fĂŒhrt. Erreicht also eine StĂŒtzstelle im
Momenten-KrĂŒmmungsdiagramm das volle plastische
Moment (unter Ausschöpfung der Querschnittsreserve)
dann stoppt dasfivorher angegebene Berechnungsverfah-
7
ren, und M* werden fĂŒr das neue System berechâ
net, worauf der Algortihmus von vorne beginnt. Die
Ausbreitung der plastischen Zonen zwischen den Gelen-
ken wird dabei voll berĂŒcksichtigt. Das klassische FlieĂ-
gelenkverfahren stellt dabei insofern einen Sonderfall
dar, als sich auf Grund der dort angenommenen bilinea-
ren Biegemomenten-KrĂŒmmungsbeziehungen mit hori-
zontalem Ast solche Zonen eben nicht bilden können.
Der zweite Weg besteht darin, das FlieĂgelenk als Quer-
schnitt mit eingeprÀgtem Knickwinkel anzusehen, wobei
keine SystemÀnderung auftritt, aber der Knickwinkel als
zusÀtzliche Unbekannte hinzukommt. Die vorliegende
Methode liefert diesen Winkel sofort als Knick in der
Momentenlinie des Mohrschen ErsatztrĂ€gers zufolge fikâ
tiver Einzellasten â biegender heiĂer Flecke â am Ort
des FlieĂgelenks.
4. Testbeispiele
Um das numerische Verfahren zu illustrieren, werden
mehrere Testbeispiele vorgestellt.
ZunÀchst wird ein beiderseits starr eingespannter Balken
(Bild 2 a) unter Doppelmomentbelastung behandelt. Die
Momentenlinie M* ist in Bild 2 b dargestellt; da sie ab-
schnittsweise konstant verlĂ€uft, erĂŒbrigt sich eine Unterâ
teilung des Balkens mittels StĂŒtzstellen; es braucht nur
mit den Bereichen l, 2 gearbeitet zu werden, so daĂ:
193* = MA [4/5, â1/5]T. (19)
In diesen Bereichen mĂŒssen dann auch die (gegebenen-
falls auftretenden) mj, j = l, 2 konstant sein. Aus Sym-
metriegrĂŒnden muĂ zudem MH im gesamten TrĂ€ger
konstant verlaufen. Der mit m + M**/EJ zu belastende
Ersatzbalkenschwebt frei; Gleichgewicht liefert (Bild 2 c):
1 4
g" = (âEJ/5) . ~ (20)
1 4
Es wird ein bilineares Biegemomenten-KrĂŒmmungsge-
setz (etwa: l-Profil aus verfestigendem Metall) nach
Bild 3 betrachtet; mit GI. (17) folgt:
Mr fĂŒr IM;I<!\â/l,
M. =_ _ (21)
1M +Eij/3 fiir |M;|>Mâ j:l,2.
Wird der TrÀger einer proportional steigenden Erstbela-
stung unterworfen, genĂŒgt es, mit der finiten Beziehung
NR vSYSTEM Ă© 2 1 2 %
4 \. âz _zus us zu:
â- _ b.)
AMA/5 e M.
G G
MAIS'I m __. )
m2 m2 C.
i l l l l l Iâ
ERSATZ- ..
BALKEN "âEJ
H d)
EJrIfitâe .55 29R
DURCHBIEG-
UNGEN "
e.)
0 11 11 EJu'Ifilâ
50m
Bild 2
I{xi/leiderseits eingespannter Balken unter Doppelmomentbelastung
a) Systemabmessungen
b) Linear-elastische Momentenlinie M*
c) ErsatztrÀger unter fiktiver Querlast (m+ MH/EJ)
d) Dimensionsloser Durchbiegungsanteil EJwH/Ml2 nach pro-
portionaler Belastung bis zum Plastifizieren in 2 _
e) Zugehörige linear-elastische Durchbiegung EJw*/M l2
EJ m1
(=9fi/B
fĂŒr MA-ZH)
nf-efils
"fein
2|
EJIL 'EJ/S
EJ
l
Bild 3
Biegemomenten-KrĂŒmmungsbeziehung fĂŒr den TrĂ€ger aus Bild 2
(13) zu arbeiten; FlieĂen wird (vgl. (19)) zuerst im Be-
reich 1 dann in 2 auftreten. Die Frage,_wann letzteres
gerade der Fall ist, liefert (mit M2 = âM, m2 = 0) das
folgende lineare Gleichungssystem fĂŒr m1 und die zuge-
hörige Last MA :
1 4 âE, Ă€, _ 1
(EJ/S) - + (EJ/3) + M
1 4 0 0 â 1
_worlau2s: MA = 11 lVI/tl; 51 =9111/4EJ; = ~9M/20,
J = , .
Die entsprechenden Durchbiegungen sind (als Biegemo-
mente im Mohrschen ErsatztrÀger) in Bild 2d), e) ange-
geben. ~
Ist MA <MA, so gilt (mit m2 = 0): m1 = (leA _ 151V!)
/8EJ, also etwa fĂŒr MA = 2M: M1 = llM/B, was Lin [7],
S. 161 auf anderem Weg erhalten hat. Die graphische Er-
mittlung dieses Ergebnisses ist in Bild 3 dargestellt.
(SelbstverstÀndlich kann bei nur einer Unbekannten
ohne weiteres mit nichtlinearen Biegemomenten-KrĂŒm-
mungsbeziehungen gearbeitet werden.)
Ist hingegen MA > MA hat man das Gleichungssystem
1 4 m1 m1
(EI/5) - + (EJ/3)
1 4 m2_ m2 (23)
l 4
+ M = (MA /5)
. _1 _ 1
zu lösen, was auf m1 = (12MA/5 â 871V!/20)/EJ,
m2 = (33M/2O â 3MA/5)/EJ man.
Dieses Beispiel eines EinfeldtrÀgers zeigt bereits alle we-
sentlichen Merkmale des numerischen Verfahrens, aller-
dings ist fĂŒr M* I const die Ausbreitung der nichtlinea-
ren Zonen lÀngs der TrÀgerachse vorerst unbekannt. Der
TrÀger wird deshalb in Intervalle untertth und der Ver-
lauf von m zwischen den die Intervalle trennenden StĂŒtz-
stellen nÀherungsweise analytisch vorgeschrieben. In der
vorliegenden Arbeit wird eine Treppenfunktionsapproxi-
mation gewÀhlt, was einer direkten Erweiterung des obi-
gen (im Rahmen der Theorie exakten) Beispiels ent-
spricht und sich bei Vergleichsrechnungen als genau ge-
nug erwiesen hat.
Die Vorgangsweise wird im folgenden am durchlaufen-
den MehrfeldtrĂ€ger auf n StĂŒt'zen demonstriert. Die FlĂ€-
chentrÀgheitsmomente seien abschnittsweise konstant,
also etwa im i-ten Feld (links von der i-ten StĂŒtze) Ji
mit i = 1, . . .., nâ 1. Die linear elastischen Lösungen
w*, M* zufolge der eingeprÀgten Querbelastung q wer-
den als bekannt vorausgesetzt. Das i-te Feld, welches li
lang ist, wird in ri Intervalle unterteilt, und der Verlauf
von m im Intervall j wird nÀherungsweise konstant zu
mĂŒ gesetzt, wobei j = 1, . . . , ri. Ist sij die LĂ€nge dieses
l
Intervalls (also 1i 2 E sij), dann kann das fiktive Tem-
j= 1
peraturmoment am Mohrschen Ersatzbalken statisch
Ă€quivalent durch die âEinzellastâ
âIâij = mij Sij (24)
ersetzt werden, welche in der Intervallmitte angreift. Das
Mohrsche Verfahren lĂ€Ăt sich nun, wie Gamer in [15] ge-
zeigt hat, auf den thermoelastischen Dreimomentensatz
4
= (MA/5) â (22)
_1
25
zurĂŒckfĂŒhren. Dieser lautet mit den verwendeten Be-
zeichnungen in inkrementeller Form
1 1k lk lk+1dM** .. i + 2dM'â: ._ + +1 + ** .. ââ =
k-Lu Jk k," (Jk 1m) â141 Jk+1
0 fiir kÂąi, IHMâ1,
= âk=1,...ânâ2. (25)
17.. .
â6E(lâ liââJ)d<1>ij fĂŒrk=1â
nij .. _.
Dabei ist E der (globale Anfangs)ElastizitÀtsmodul, nij
ist der Hebelarm von (Iâi- zur i-ten StĂŒtze, und die
dMiâ?âij sind die Inkremente der StĂŒtzmomente im La-
ger k zufolge eines fiktiven Temperaturmomentinkre-
ments d<I>ij im j-ten Intervall des i-ten Feldes.
Nach Lösung dieser statischen Aufgabe erfolgt die Er-
mittlung des aus dgn dĂij mit Gl. (24) entsprechend ge-
bildeten Vektors dm nach GL (14-) in der geschilderten
Weise. Insbesondere kann â da die ZwĂ€ngungsmomen-
tenverteilung M zwischen den BalkenstĂŒtzen linear ver-
lĂ€uft ââ die zugehörige EinfluĂmatrix Q" aus (25)
leicht mittels des Strahlensatzes angegeben werden.
Sind die d<l>ij fĂŒr das aktuelle Lastinkrement â oder
jenes Lastinkrement, bei dem eine neue StĂŒtzstelle in
den nichtlinearen Bereich eintritt â berechnet, liegt die
inelastische inkrementelle Biegemomentenkorrektur
dM** fest, wobei in den Auflagern
H _ nâ l ri es
de â i521 j=21 deâiâi (26)
ĂŒbertragen wird.
Man erhÀlt dann die inkrementelle Durchbiegungskorrek-
tur dwH als Biegemoment in der kinematischen Ersatz-
trĂ€gerkette. Diese ist ja â etwa im i-ten Feld â durch
dM**/EâIi sowie durch die Ăij belastet, wobei j = l, . . ri
sowie i = 1, . . . , n â l; sie befindet sich unter dieser Be-
lastung im Gleichgewicht. Bei der Ermittlung der zuge-
hörigen Biegemomente im i-ten Feld des ErsatztrÀgers
wird dann zweckmĂ€Ăigerweise die ErsatztrĂ€gergelenk-
kraft an der Stelle der i-lâten BalkenstĂŒtze verwendet,
vgl. [15].
Als einfaches Anwendungsbeispiel wird der unendlich
lange, Ă€quidistant gestĂŒtzte TrĂ€ger betrachtet; die TrĂ€g-
heitsmomente der Felder sollen gleich groĂ sein. Dann
wird d<I>ij = const. fĂŒr alle i bei festem j. LĂ€Ăt man nun
d<I>j im Intervall j jedes Feldes zugleich angreifen, werâ
den auch die entsprechenden StĂŒtzmomentinkremente
= dMT; = const im ganzen TrÀger. Aus dem
Dreimomentensatz (25) kann somit die einfache Bezie-
hung
dMTj" = â EJdĂj/l . (27)
abgeleitet werden, wobei l die FeldlÀnge bedeutet. Ist die
eingeprÀgte Belastung zusÀtzlich symmetrisch zur Feld-
mitte, wÀhlt man eine gerade Anzahl symmetrisch ange-
ordneter Intervalle; j bezeichnet dann gemeinsam jene
26
beiden Mengen von Intervallen, deren d<I> aus Summe-
triegrĂŒnden gleiche Werte annehmen mĂŒssen.
Weiter sind â weil dMâ im ganzen TrĂ€ger konstant ver-
lĂ€uft ââ alle Komponenten einer Spalte der MatrixQ"
gleich und es wird das thermoelastische Biegemoment in
allen StĂŒtzstellen zufolge der in den Intervallen j wirken-
den dmj = 1:
cf; =_ 2Eisjn,j=1â...,r/2. i ' (28)
ist die LĂ€nge des j-ten Intervalls, r die Anzahl der
tervalle im Feld.
Der DurchlauftrÀger verhÀlt sich also jetzt wie ein beider-
seits starr eingespannter EinfeldtrÀger. Einen solchen
unter konstanter Belastung q = qo = const. hat Lin in [7]
S. 161 â 171 behandelt, vgl. Bild 4, wobei die in Tabel-
le l angegebene Biegemomenten-KrĂŒmmungsbeziehung
verwendet wurde. In Bild 4 sind die weiter benötigten
Bezeichnungen definiert. Wie in [7] wird der Frage nach-
gegangen, wie weit die Belastung zu steigern ist, bis in
x = 0,02] das elastische Grenzmoment â M erreicht ist;
sodann wird die Belastung solange reversiert, bis die glei-
che Stelle wieder plastiziert. Es werden drei Intervalle
mit s] = 0,0051, s2 = 0,011, S3 = 0,01l betrachtet; aus
VergleichsgrĂŒnden werden (im Gegensatz zur oben vor-
geschlagenen Vorgangsweise) als StĂŒtzstellen das TrĂ€ger-
auflager (0) sowie die Mitten der Intervalle 2 und 3 ge-
wÀhlt.
Das linear-elastische Moment Mât kann Bild 4 entnom-
men werden; es ist Mâ = ââ 0,08331; l2, M; = ââ 0,0784qol2,
Mg: â0,0735qol2. (Das TrĂ€geraufiager erreicht somit
das elastische Grenzmoment bei q0 = 378 Afh/l2 (Di-
mensionen werden beibehalten, um eine leichte Gegen-
mammal I l
qo
Illllllllll
\:x \:
l
/ a)
m2
e e
\ 0 5 I112; mu;
snsarzmlasn: t.)
Llllllll «Ha-â16
1«~ Ini l
. d la r- '
7 Durchhicgligsans \
1,209. ums
_ uâ
teil nach Ersth
auf 1,420â
Bild 4
Durchlauftriger unter konstanter Belastung po
a) Systemabmessungen eines Feldes *
b) Linear elastische Magentaqu M
c) ErsatztrÀger unter d + d IE] _
d) Dimensionslose mi EJwâ/M12 die nach propor-
tionaler Belastung bisâ M in x = 0,021 auftritt
6 E SANDWICH-
5 00:35:11-
lpsil [Psi] NITTzfl-th
10500 1- 0â12
0,0030 31,50 A Aâ
7000 Z
0,0035 35,00
1.500 h
c 0,001.5 39,50
2867 im
d 0,0060 16,80 A,
cu
M d
J 1:
Eh I)
a
51:5,1
3|
II 2
2Ma
//2
parallel
4 zu t-d __
Tahelle l
Stoffgesetz und Querschnittsabmessungen des TrÀgers aus
Bild 4.
ĂŒberstellung mit [7] zu ermöglichen.) Dann wird M0 =
M: = â31,50 Afh, M2 = M; = ââ29,65 Afh, M3 = M; =
â27,80 Afh. Nun wird nach jenem Lastinkrement geâ
sucht, bei dem die StĂŒtzstelle 2 das elastische Grenzmo-
ment erreicht. Aus Gl. folgt G*.* = â0,01 E]; aus
Tabelle 1 entnimmt man E = 3150/00030 : 10,5: 103
und Eb = 3,50/0,0005 = 7,0103 Gleichung (18) liefert
damit dMo/dml = 2,0013]. Das Biegemoment in 2 wird
um sz = _ (31,50â29,65)A,h = â 1,85 Afh verĂ€n-
dert, Daraus ergibt GI. (14) das Gleichungssystem:
2,00EJdm1 + 0,01 EJdml =â0,0833qu2,
_1,85A,h + 0,01 EJdm1 =_o,784dq12. (29)
Die Lösung ist dq = 24,36 Afh/l, dml = â 1,01 Afh/EJ.
Gl. (33) stimmen mit dem von Lin [7], S. 165 auf andeâ
rem Wege gefundenen Gleichungssystemen zur Bestim-
mung des letzten Terms von Gl. (1) gut ĂŒberein. (Im wei-
teren Gang der Rechnung ergeben sich kleine Differen-
zen, weil in [7] teilweise mit Sekantenmoduli gearbeitet
wird). Es folgt dM0 = ââ 2,02 Afh, dM3 = â- 1,78 Afh. â
Das Lastinkrement, bei dem in 0 das Biegemoment â
Mb erreicht wird, folgt mit
<1M,,/dm1 = 2,00 EJ,
dMo : _ (35,00 _ 31,5 _ 2,02) (30)
Afh : - 1,48 Afh,
ĂŒber
dml = _ 0,74 Afh/EJ (31)
aus dMo = ââ 0,0833 dql2 â- 0,01 EJdml zu
dq = 17,90 Aal/12. Damit wird dM2 = _ 1,40 Afh,
dM3 = ââ 1,31 Afh.
Laststeigerung, bis in 3 das elastische Grenzmoment auf-
tritt, fĂŒhrt auf das Gleichungssystem:
0,75 0,01 0,02 0 dm, .
2,00 Afh + 0,01 0,02 0 EJ- dm2
_ __. 0,01 0,02 0 10,61 EJ
(32)
0,0833
= _ dq 0,0784 I2,
0,0735
wobei wegen G1. (18) dMo/dml = 0,75, dM2/dm2 2
2,00 und dM3 = â- (31,50 â 30,89) Afh = â 0,61 Afh
gesetzt wurde. Das Ergebnis ist dml = â 0,93 Afh/Ej,
dm2 = â 0,33 Afh/EJ, dq = 8,51 Afh/l2. Daraus folgt
dMo = â 0,69 Afh, dM2 = â 0,65 Afh. FĂŒr den entspre-
chenden plastischen Durchbiegungsanteil siehe Bild 4d).
Nun wird die Belastungsrichtung umgekehrt. Damit wie-
der Plastifizierung in 0 auftritt, ist eine BelastungsÀnde-
rung um dq = â 756 Afh/l2 erforderlich; die zugehöri-
gen BiegemomentenÀnderungen sind dMo = 63,0 Afh,
dM2 = 59,27 Afh, dM3 = 55,57 Afh.
Bei weiter gesteigerter Gegenhelastung soll die Biegemo-
menten-KrĂŒmmungsbeziehung in 0 parallel zu bâc ver-
laufen (in diesem Bereich befand sich das Auflager ja vor
der Entlastung). Neuerliches Plastifizieren in 2 erfordert
dM2 = (63,0â 59,27) Afh = 3,73 Afh- Dies fĂŒhrt auf das
Gleichungssystem
0,75 EJdml + 0,01 EJdml = _ 0,0833 dql2
3,73 Afh + 0,01 EJdm, = _ 0,0784 dql2 (33)
Die Lösung wĂ€re: dml = 5,29 Afh/EJ, dq = â-48,25
Afh/lz, woraus: dMo = 3,96 Afh. Damit hÀtte das Auf-
lager aber bereits den Bereich parallel zu câ-d im Biege-
momenten-KrĂŒmmungsdiagramm erreicht. Es muĂ des-
halb zuerst das diesem Knick entsprechende Lastinkre-
ment errechnet und dann Gleichung (33) neu ange-
schrieben werden. Dies und das ĂŒbrige gehen aber völlig
analog zur bisherigen Rechnung vor sich, sodaĂ sich eine
weitere Demonstration erĂŒbrigt.
5. SchluĂwort
Es wurde ein einfaches, gegebenfalls auch fĂŒr die Hand-
rechnung geeignetes, numerisches Verfahren fĂŒr Biegeâ
balken mit nichtlinearem Stoffgesetz vorgestellt, welches
die endliche Ausdehnung nichtlinearer Zonen lÀngs der
Balkenachse berĂŒcksichtigt. Die Methode fĂŒhrt auf die
Lösung linearer Gleichungssysteme, die anschaulich aus
Gleichgewichtsbedingungen am Mohrschen Ersatzbalken
hergeleitet werden.
LITERATUR
[1 ] Neal, B. G.: Die Verfahren der plastischen Berechnung
biegesteifer Stahlstabwerke. SpringerâVerlag: Berlin, Göt-
tingen, Heidelberg (1958).
[2 ] Reckling, K.-A.: PlastizitÀtstheorie und ihre Anwendung
auf Festigkeitsprobleme. Springer-Verlag: Berlin, Göt-
tingen, Heidelberg (1967).
[3 1 Leonhardt, F.: Vorlesungen ĂŒber Massivbau. Vierter Teil:
Nachweis der Gebrauchsfesu'gkeit. Springer-Verlag: Berlin,
Heidelberg, New York (1976).
27
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
28
Rubin, H., Vogel, U.: Baustatik ebener Stabwerke. In:
Stahlbau Handbuch, Bd. l, Stahlbau-VerlagsâGmbH,
Köln (1982).
Dorozs, S.: An Improuved Upper Bound to Maximum
Deflections of Elastic-Plastic Structures at Shakedown.
J. Struct. Mech. 6, 267 â 287.
Dorozs, S., Sawczuk, A.: Deflections of Elastic-Plastic
Beams at Finite Spread of Plastic Zones. In: Physical
Non-Linearities in Structural Analysis, IUTAM Sympo-
sium, Springer Berlin (1981).
Lin, T. H.: Theory of Inelastic Structures. John Wiley and
Sons: New York, London, Sidney, Toronto (1968).
ReiĂner, H.: Eigenspannungen und Eigenspannungsquel-
len. ZAMM ll, l â 8 (1931).
Goodier, J. N.: Integration of Thermoelastic Equations.
Phil. Mag. 23, 1017 (1937).
Baneljee, P. K., Cathie, D. N., Davies, T. G.: Two-and
Three-dimensional Problems of EIastoâPlasticity. In:
Developments in Boundary Element Methodsâ1, App].
Sc. PubL: London, New York (1979).
Mukherjee, S.: Boundary Element Methods in Creep and
Fracture. App]. Sc. PubL: London, New York (1982).
Lin, T. H.: Elastoplastic Analysis of Indeterminate Beams
under Reversed Loading. J. Frank]. Inst. 285, 364 â 376
(1968)
Chi.l K. 8., Lin, T. H.: Slope-Deflection Method for Ela-
stic-Plastic Multistorey Frames. Int. J. Solids Structures
13, 125 â 135 (1977).
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
120]
Lin, S. C., Liu, T. H.: Elastie-Plastic Dynamic Analysis of
Structures Using Known Elastic Solutions. Earthquake
Eng. Struct. Dynamics 7, 147 â 159 (1979).
Gamer, U.: Die Behandlung von temperaturmomentbelaâ
steten Balken mit Hilfe der Mohrschen Analogie. Ăster-
reichische Ingenieur-Zeitschrift 14., 336 â 338 (1971).
Gamer, U.: Thermal Stress and Deflection of a Beam of
Sectionally Constant Cross Section. Journal of Thermal
Stresses 4, 435 â- 441 (1981).
Ziegler, F., Irschik, H.: Dynamic Analysis of Elastic-
Plastic Beams by Means of Thermoelasfic Solutions.
Proc. EUROMECH COIL ,,lnelastic Structures under
Variable Loadsâ, C. Polizzotto, ed.: Palermo (1983).
Boley, B. A.: The Determination of Temperature Stresses
and Deflections in Two-Dimensional Thermoelastic Pro-
blems. J. Aeronaut. Sci. 23, 67 â 69 (1956).
Parkus, H.: Mechanik der festen Körper. 3. Aufl. Springerâ
Verlag, Wien, New York (1981).
Hrennikoff, A.: Theory of Inelastic Bending with Refe-
rence to Limit Design. ASCE Trans. 113, 213 â 246
(1948).
Anschrift des Verfassers:
Univ. Ass. Dip]. Ing. Dr. techn. Hans Irschik
Institut fĂŒr Allgemeine Mechanik
Technische UniversitÀt Wien
Karlsplatz 13
Aâ 1040 Wien