BERGER, R. Math. Annalen 153, 63--68 (1964)

Der Singularitiitendivisor einer algebraischen Kurve auf einer singularitiitenfreien Fliiche

Von

ROBERT BERGER ir~ Heidelberg

Einleitung

ZA~ISK~ definiert in [8] ffir eine irreduzible algebraische Kurve /~ auf einer irreduziblen, singularit/itenfreien algebraischen F1/iche F fiber algebraisch abgeschlossenem Konstantenk6rper einen sogenannten ,,Singularit/~tendivisor" s (F), der bei seinem Beweis des Riemann-Roehschen Satzes ffir Ft/iehen yon Bedeutung ist. Besonders zwei Eigenschaften von s (F) erweisen sich als wiehtig: a) Die lokale Komponente s (F)p in jedem Ptmkte P von 1~ hat geraden Grad,; b) Es ist s(_P)p ~ 0 und s(F)~ = 0 genau dann, wenn P einfaeher Punkt von 1' ist. Daneben wird in [8] noch ohne Beweis angegeben: e) s(F)p ist der lokale Fiihrer der K u r v e / ' im Punkte P. Der Beweis der Eigensehaften a) und b) wird mittels Singularit/~tenaufl6sung dureh lokale quadratisehe Trans- formationen geffihrt und ist ziemlieh umfangreieh. Aueh ist es dabei schwierig, den Beweis ffir den Fall eines vollkommenen stat t algebraisch abgeschlossenen Grundk6rpers zu verallgemeinern.

In der vorliegenden Note geben wir einen einfaehen, direkten Beweis ffir die Eigenschaft c) im Falle eines votlkommenen GrundkSrpers. Die Eigen- schaften a) und b) folgen dann unmittelbar aus c). Aul]erdem ergibt sigh aus c) durch Vergleich der Grade sofort die bekannte Formel ffir das geometrische Geschleeht einer Kurve auf einer singularit~tenfreien F1/~che.

Der Beweis yon c) beruht im wesentlichen auf der Ubereinstimmung einer gewissen K~hlerschen mit einer Dedekindschen Differente, die im Falle einer ebenen Kurve unmittelbar klar ist, im allgemeinen Fall jedoch durch Ver- mittlung einer Noetherschen Diiferente erschlossen wird. Wichtigstes teeh- nisehes Hilfsmittel ist dabei ein in [3] bewiesenes Normalisierungslemma, das ei~e Versch/irfung des bekannten Noetherschen Nomalisierungslemmas fiir unseren Fall darsteHt.

Fiir die meisten der vorkommenden Uberlegungen braueht F nicht sin- gularit/itenfrei zu sein, wenn nur die jeweils betrachteten Punkte y o n / ' ein- fach auf F sind. ])as kann bei der Betrachtung nieht vollst/~ndiger Kurven Bedeutung haben.

Um die Arbeit leichter lesbar zu gestalten, fiihren wir in einem vorbereiten- den Paragraphen zun/~chst die verwendeten Begriffe im AnschluB an [8] kurz ein, w~hrend der eigentliche Satz in § 2 bewiesen wird.

64 I~OB~T BERG~t~:

§ 1. Voraussetzungen, Bezeiehnungen, Vorbemerkungen

Es sei im folgenden stets: F eine (abslrakte) irreduzible algebraische Fliiehe i~ber einem vollkommenen

Konstantenk6rper k, I" eine irreduzible, iiber k definierte algebraische Kurve au] F, die ein/ach

au] F i s t , P ein (nulldimensionaler) Punkt yon F, Ap mit dem maximalen Ideal ~l e der lokale Ring yon P a u ] F, PP dab Primideal von 1 ~ in Ae, B m i t dem maximalen Ideal ~3 der lokale Ring von I" au] F, L der Funktionenk6rper von F, R e m i t dem maximalen Ideal m R der lokale Ring yon P a u ] I', K der Funktionenk6rper von I', S e m i t den maximalen Idealen ~(1 e), o(P) der ganze Abschlufl yon Rp in K.

Anmerkung 1. L i s t der QuotientenkSrper y o n Ap und von B. Es gilt:

= (AP)Pe = { b ; a, b ~ Ae, b ¢~ Pc}, o43 = B . PP, Rp = A e/Pe, m p = ~,lp/pp, N

B

K = B/O43, K ist der Quotientenk6rper yon R e. Weil /~ einfaeh auf F i s t , ist B ein (einrangiger) diskreter Bewertungsring. A e ist ein lokaler Ring der Dimen- sion 2, R e ein lokaler Ring der Dimension 1. I s t ferner P einfach auf F, so ist Ap regul/tr und somit gilt in A e Primelementzerlegung. P ist genau dann einfach a u f / ' , wenn gilt A e = Sp.

Definition 1. Die einrangigen diskreten Bewertungen von L (bzw. K ) iiber k, deren Zentren au/ F (bzw. f ' ) die Dimension 1 (bzw. O) haben, hei[3en ,,Prim- divisoren" yon F (bzw. F) . Die Elemente der von den Primdivisoren erzeugten [reien abelschen Gruppe hei[3en Divisoren von F (bzw. F). Ist X ein Divisor von F (bzw. 1~) und Q ein nulldimensionaler Punkt vou F (bzw. F) , so ver- stehen wir unter der Q-Komponente XQ von X den]enigen Divisor von F (bzw. F) , der aus X entsleht, wenn man alle Komponenten dutch Null ersetzt, die zu solchen Primdivisoren geh6ren, deren Zentrum au/ F (bzw. 1 ~) den Punkt Q nicht enth~ilt.

Anmerkung 2. Jeder Divisor X yon F zerlegt sich eindeutig in der Form X = ~ XQ, wobei die Summe fiber alle (nulldimensionalen) Punkte Q v o n / '

Q l~uft. Fiir fast alle Q ist XQ -- O, und f/Jr verschiedene Punkte Q und Q' v o n / 7 sind XQ und XQ, zueinander fremd.

Die K u r v e / " identifizieren wir im folgenden stets mit dem durch die zu B gehSrige Bewertung von L definierten Primdivisor yon F.

Man definiert wie fiblich fiir eine Funktion ~ =~ 0 auf F bzw. / ' den zu- gehSrigen Divisor durch (~) = ~ vc(~) • C, wobei die Summe fiber alle Prim-

c

divisoren C von F bzw. F zu erstreeken ist und nur endlich viele von Null verschiedene Summanden vorkommen, vv(~) bezeichnet dabei den Wert von ~ bei C. Zwei Divisoren X und Y von F b z w . / ' heiBen (linear)/iquivalent, X - - Y, wenn es eine Funktion ~ auf F bzw. / ' gibt mit X = Y + ($). I s t Y ein Divisor yon F, so gibt es, wenn P ein ein/acher Punkt von F i s t , wegen der Primelementzerlegung in A e ein Element ~/= ~ f , e in L mit Y~ = (~)e.

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~1 heii~t eine lokale Gleichung/iir Y in P. I s t 9' eine zweite lokale Gleichung fox Y in P, so gilt offenbar 9' = s ' ~ mit einer Einheit e von Ap. P ist genau dann nicht Komponente von Y, wenn eine (und damit jede) lokale Gleiehung fox Y in P Einheit von B ist. Dann ist die Restklasse ~ von ~ m o d ~ ein von Null ver~ehiedenes Element yon K, also (~)p ein Divisor y o n / ' . FOx eine Ein- heir s von Ap gilt offenbar (~)p --= 0, also h~ingt (~)p nicht yon der ~Vahl der tokalen Gleichung, sondern nur yon Y und P ab. I s t C ein y o n / ' versehiedener Primdivisor von F, so haben die Zentren y o n / ~ und C auf/~ nut endlich viele Punkte gemeinsam. Daraus sieht man, dab fox einen Divisor Y yon F, der F nicht als Komponente enth~lt, die lokale Gleichung in fast allen Punkten P yon F, die einfaeh auf F sind, eine Einheit yon A p ist. ~ (~Tr, p)P, wo P fiber

P alle Punkte yon F, die einfaeh auf F sind, l~uft, ist also ein Divisor v o n / ' , d e r n u r yon Y abh~ngt. Daher ist folgende Definition sinnvoll:

Definition 2. I s t P ein Punk t von l", der ein/acher Punk t von F i s t , Y ein Divisor yon F, der F nicht als Komponente enthdIt, so setzen wir Trr, p Y = (~Tr, P)P, wo ~y, p eine lokale Gleichung ]iir Y in P ist. S ind alle Punkte yon F ein/ach a u / F , so setzen wir Tr r Y = ~ Trr, p Y.

pE1 ~ Lemma. Es ist Gradk(Trr, p Y) ~- la~(Ap/(p e + A p , ~ f , p ) • (Ae /T l P : k)),

wenn Y ein positiver Divisor ist. Dabei bedeutet lae ( ) die L~inge als Ap .Modul , ( A p / ~ p : k) den Kfrpergrad des RestklassenkSrpers A p / ~ p i~ber k und Grad k ( ) den in i~blicher Weise definierten Grad bezi~glich k eines Divisors yon 1".

Beweis. Es ist IAp ( A p / p p + A p " Uy, p) = lRe ( R p / R p • ~y ,p) = lap(Se/Sl~'f?y,p), letzteres nach [3], Lemma 5. I s t nun S p . @ y , p = £~(e) n . . . . ~(~P)~e die Primidealzerlegung yon ~r, e in Sp, so ist lR,, (Sp/Sp. #y, p)

rp = ~ n~. (Sp/C~P): Re~rap). Andererseits ist nach Definition Grad~ (Trr, p Y)

i = l "rp

= ~ n~. (Sp/Q!P): R p / m p ) . (Rp/me : k) und Rp/me = Ap /T le . q.e.d. i = 1

Korollar. Es ist Gradk(Trr, p Y ) = ( F . Y)~, die Sehnittzahl von _Fmi t Y beziiglich k.

(Zum Beweis siehe [4], § 4, 1.2 und 1.1 Lemma 1 sowie [8], § 7.) Es sei nun D' die Di~erentlation yon L i~er k und D die Di~erentiation von

K iiber k (siehe [1]). Weft k vollkommen ist, ist D ' zugleich die Differentiation yon C fiber k

fox ]eden zu einem Primdivisor C yon F gehfrigen diskreten Bewertungsring C, und es ist C D ' C ein freier C-Modul vom Rang 2. I s t C D ' C = C . w 1 • C'w2, so bilden w I u n d wz aueh eine Basis fiir L D ' L ([1], I , Satz 4). Jede Differential- form zweiter Stu/e von L l£Bt sich also in der Form darstellen to = a . w 1A w 2, und der Wert vc (a) yon a bei C ist naeh Definition der Wert yon co bei C. Er ist unabh£ngig yon der Wahl von w 1 und w~. Der Divisor von mis t sehlieB- lich definiert durch (co) -- ~ re(m) • C, wo die Summo fiber alle Primdivisoren C

yon F zu erstrecken ist. Wir wahlen eine spezielle Bas i s / i i r B D ' B in folgender Weise: Weil k vollkommen und dim~K = 1 ist, ist K D K = K D ~ , wo 5

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66 ROBERT B]~RGER:

ein beliebiges Element von K mit D ~ =~ 0 ist. Es sei x E B ein Repr/~sentant fiir ~ und t ein Primelement yon B. Dann ist B D ' B = B D ' t ¢ B D ' x .

Beweis: Es ist K D ~ = KDK----- B D ' B / ( 9 ~ . B D ' B + B . D't) (vgl. [1]). Daraus folgt: B D ' B ~ ( B . D ' t + B . D 'x ) ÷ 9~ • B D ' B , also, weil ~ das maximale Ideal von B ist, B D ' B = B . D' t + B . D' x. ~Vegen dim~ ( L D ' L ) = 2 und JLD'L = L ® B D ' B sind D ' t und D ' x linear unabhi~ngig fiber L. q.e.d.

Definition 3. Es sei o)E L D ' L eine Differential]otto zweiter Stu/e yon L, in deren Divisor .l" genau mit der Viel/achheit - 1 vorkommt, t ein Primelement

yon B und x ein Element von B m i t B D' B --= B D' t ~ B D" x. Dann 15flt sich ~o b

in der Form schreiben ~o = -~ . D' t A D' x mit einer Einheit b ~ B. Wir setzen:

T r r w = b . D~, b, ~ K die Restklassen yon b und x m o d ~ . Trrco heiflt das , ,Poincar&esiduum" von eo au/ I ' ([7], [4]).

Anmerkung 3. Man sieht sofort durch eine direkte Rechnung, da[~ Tri.co nieht v o n d e r Auswahl yon t und x abhi~ngt (siehe [4], § 2, 2.3 und [8], § 10).

§ 2. Der Divisor s ( / ' )

Definition 4. Es sei (~ eine Differential]orm zweiter Stu/e von L, in deren Divisor der Primdivisor I ' genau mit der Viel/achheit - 1 vorkommt, P ein Punk t yon F, der ein]acher Punk t yon F ist. Dann setzen wir :

8(F)p = Trr, p((W ) + F ) - (Trx O))p

und, wenn alle Punkte yon F ein/aehe Punkte von F sind,

s (F) = Trr((o)) + F ) - (Trro9) = ~ s ( F ) p . PEF

Anmerkung 4. Weil man aus einer beliebigen, yon Null verschiedenen Differentialform zweiter Stufe yon L durch Multiplikation mit einer geeigneten Potenz von t stets eine solche erhalten kann, in deren Divisor/~ genau mit der Vielfachheit - 1 aufgeh$, ist 8(F)p stets definiert. AuBerdem ist 8(F)p unab- Mingig yon der Auswahl yon o~.

Beweis: I s t ¢o' eine zweite Differentialform, die den Voraussetzungen genfigt, so ist ¢o '= a - o ) und F i s t nicht Komponente yon (a). Es ist dann Trro) ' = g - Trro~ und (eO')p = (~o)p + (a)p, also Trr, p((O)' ) ÷ F ) - (Trreo')p = Trr, p((w ) + 1") + Trr, e (a } - (ff)p - (Trreo)p = Trr, p((e) ) + F ) - (Trrw)e. q.e.d.

Satz. Is t t (Sp/R~) der Fiihrer von St, nach Rp und P ein/ach au/ F , so gilt:

s (F)p = ff ( SdR~) )F .

Beweis. Nach [3], Lemma 11, angewandt auf Ap, gibt es Elemente z, z 2 E Ap, die den Bedingungen 1) -3) des Lemma 11 genfigen. Es ist dana AI, D ' A p

= A p • D ' z (~ A p • D z , und daher auch B D ' B = B • D ' z q~ B • D'z2, well B Quotientenring yon Ap ist. Ferner sei t eine lokale Gleichung fiir F in P. Dann gilt ffir die Differentialform co = t -1. D ' z A D ' z 2, dal3 (eO)p = - F i s t . Also enth/flt (to) den Primdivisor F genau mit der Vielfachheit - 1. Wir bilden s (F)p

mit Hilfe yon diesem w. Wegen (¢O)p = - F i s t Trr, p((W ) + F ) = 0 und somit s (F)p = - (Trreo)p. Wegen t E A p gilt D' t ~- t, • D' z + tz, . D' z~ mit gewissen

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Elementen t z, tz, E Ap. Als lokale Gleichung f f i r / " i n P ist t P r ime lement yon B. Nach Wahl yon z ist ferner D 5 =~ 0, also bilden, wie a m Ende yon § 1 gezeigt wurde, D ' t und D ' z eine Basis ffir B D ' B . Daher ist tz2 # 0, weft sonst D ' t und D' z l inear abh~ngig w/£ren. Man erhi~lt du tch Umrechnen : ¢o = - t -1. t~ 1. D' t A D' z und daraus (Trrco)p = - (-[z~)P + (D~)p.

Naeh der R iemannschen Forme l gilt weiter (D~)p = ( 9 9 (Se/se))p, wo ~D (tie klassische Dedekindsehe Differente und s e den Quot ientenr ing k[z]m ~, bezeiehnet (vgl. [3], Def. 3).

Bezeichnen wir mi t d die Different iat ion yon Rp fiber k und m i t d' die Differentiation yon Rp fiber sp, so ha t m a n wegen Rp = A p / p e und pp = A e . t nach [1]: Rp d R p = (Rp . d " z ~ R e . d"z~) /Rp( t , , d " z + t-z~ " d"z2), wo die d" z, d" z~ die Restklassen der D' z, D' z2 m o d t . A e D ' A P sind, und welter: R p d ' R e = R e d R p / R e • dz ~-- R e / R e • t~ . Es folgt ffir die K/ihlersche Differente : ~K(Re / se ) = R p . t~ und ferner, weil R p d ' R p ein zykliseher Re-Modul ist, nach [1 ], I I , Satz 3 und Satz 4: ~ K (Re/se) = ~ (Re/sp), ~ " die Noethersehe Differente. Die letzte ist naeh [3], L e m m a 9 gleieh der Dedekindschen Differente yon Rp fiber s e. I n sgesamt ha t m a n also : s (]")e = (~z) (Re/se))e - (~D (Se/se))e. Ferner gilt wegen [2], Satz 4 ffir den Komplement i i rmodu l R~, von R e fiber se: R~ = (~1)(Rp/se) ) -~= R e • 7~ 1, also ist R* inver t ierbar . Aus [3], L e m m a ' 9 folgt daher 6' (F)p = (~ (Sp/Rp))p q.e.d.

Korol lar 1. Is t ]eder Punk t yon ]" ein/ach au/ F, so gilt:

s(]") = ~ ( ] " ) , wo ~(]") = Z (f(Se/R~,))e den Fiihrerdivisor von F bezeichnet, e ~ r

Korollar 2. s ( ] " ) p ~ 0 und 8 (l '~)p = 0 genau dann, wenn P ein/ach au /1" ist. Korollar 3. Gradk(s(]")p ) = 2 . I~:~(Se/Re). (Re /me : k), wo lRe( ) die

L~inge als R- Modul bezeichnet. Beweis: Korol la r 1 und 2 folgen di rekt aus dem Satz zusammen mi t An-

merkung 1. Korol la r 3: Es ist Gradk( ~ ( S p / R p ) ) p : 1Rp(Se/~ ( S p / R p ) ) " (Re /m e : k) und lkp(Sp/Re) = ln~(Rp/~ (Se/Rp)), well ~(Se/Rp) = S-~ l als Re- Idea l und das maximale Idea l yon R e yon zwei E lementen erzeugt wird (vgl. [2], [5], [6]).

Anmerkung 5. Die Gr5Be 5e = IRe(Se/RP)" (Re~rap: k) heiBt der ,,Sin- gular i t / t tsgrad" yon ] " in P bezfiglich k. (~ = ~ (~p heiBt der Singularit/~tsgrad

P E F yon/7" bezfiglich k. Die Anzahl g der fiber k l inear unabh~ngigen Differentiale 1. Ga t tung des Funkt ionenk6rpers K fiber k heil~t das Geschlecht des KSrpers K fiber k. I s t ]" vollsti~ndig, so heiBt 7r (]") = g + (~ das geometrische Geschlecht der Kurve F beziiglich k ([6], [7]).

Korol lar 4. Is t i"vollstdndig und F singularitiiten/rei, so gilt:

(]") = ~ + ~ . (]" . (]" + w))~,

wobei W ein beliebiger kanonischer Divisor yon F ist und ~ = (k' : k), k' der algebraisehe Absehlufl yon k in K.

Beweis: Aus Korol la r 3 und dem Korol la r des L e m m a folg~:

2~ = Grad~ s(]") = Grad~Trr((co) + ]") - Grad~(Trro))

= ( ]" . ( F + ( w ) ) ~ - Grad~(Trco~ ) . 5*

68 ROBERT BERGER: Der Singularit~tendivisor einer algebraischen Kurve

N u n ist Trreo ein Different ia l yon K, also gi l t nach dem R ie ma nn-Roc hsc he n Sa tz G r a d ~ ( T r r c o ) = 2 ( g - ~ ) . Die Schn i t t zah l ( F . ( F + (c0))k i~ndert sich nicht , wenn m a n (o~) durch einen bel iebigen kanonischen Divisor W ersetz t , weft alle kanonischen Divisoren yon F un t e r e inande r l inear ~quiva len t sind. D a r a u s folgt die Behaup tung .

L i t e ra tu r

[1] BERGER, R.: ~ber verschiedene Differentenbegriffe. Sitzber. Heidelberger Akad. Wiss. Math.-naturw. K1. 1. Abh. 1960.

[2] - - t?ber eine Klasse unvergabelter lokaler Ringe. Math. Ann. 146, 98--102 (1962). [3] - - Differentialmoduln eindimensionaler lokaler Ringe. Math. Z. 81, 326--354 (1963). [4] NASTOLD, H.-J.: Zur Cohomologietheorie in der algebraischen Geometrie. IL Math.

Z. 78, 375--405 (1962). [5] R o q u m ~ , P.: ?2~ber den Singularit~tsgrad eindimensionaler Ringe II . J. reine angew.

Math. 2{}9, 12--16 (1962), Beriehtigung Ibid 211, 191 (1962). [6] ROS~NLICHT, M. : Equivalence relations on algebraic curves. Ann. Math. 56, 169--191

(1952). [7] S~.RR~:, J.-P. : Groupes alg6briques et corps de classes. Actual. Scien~. e~ Ind. Nr. 1264.

Paris: Hermann 1959. [8] ZXRZSKI, O.: Introduction to the theory of algebraic surfaces. Vorlesungsausarbeitung,

Harvard Univ. 1957/58.

(Eingegangen am 11. Januar 1963)