Anhang I
Die mathematische Ableitung und Berechnung der Elastizitat
Da die Elastizitat durch das Verhaltnis zwischen der relativen Veranderung einer abhangigen Variablen y und der diese Veranderung auslosenden reI ativen Veranderung einer unabhangigen Variablen x gemessen wird, kann sie wie folgt abgeleitet werden, wenn1)
y = f(x) die abhangige Variable,
6x die absolute und
6x - die relative Veranderung der unabhangigen Variablen bedeuten:
x
lim [f (x+ 6x) - f (x) : 6Xj 1)y, x = 6x -+ 0 f (x) x
lim [f (x+ 6x) - f (x) , ~j 'Yjy, x = 6x -+ 0 f (x) 6x
= lim [~, f(X+6X)-f(X)j 1)y, x 6x -+ 0 f(x) 6x
x 1)y, x = f(x) , f' (x)
x dy 1'}y,x = y' dx
dy y 1)y,x = dx : ~
Die Definitionsgleichung der Elastizitat kann auch in der folgenden Weise abgeleitet werden:
Wenn log y = f1 (x) und x = f2 (log x), dann gilt
d(log y) d(log y) dx 1 dy dy y =-.- 'x -'-'
d(log x) dx d(log x) y dx dx x
d(log y) 1 dy dx 1 denn
dx =-'-und
d(log x) d(log x) = x 2).
Y dx
dx
1) Zu den folgenden Ausfiihrungen vgl. R. G. D. Allen, Mathematik fUr Volks- und Betriebswirte, a. a. 0., S. 252 ff. und 262 ff. I) R. G. D. Allen, ebenda, S. 252 und S. 254.
554 Anhang I
Man erhiilt also
dy y d(log y) 'Yjy,x = dx : X = d(log x)
Die Elastizitiit einer Variablen y in bezug auf eine Variable x ist sowohl durch das Verhiiltnis zwischen dem Grenzwert und dem Durchschnittswert von y in bezug auf x als auch durch die erste Ableitung von Logarithmus y nach Logarithmus x definiertS).
Von der abgeleiteten Definitionsgleichung der Elastizitiit ausgehend wird im folgenden gezeigt, wie die Elastizitiit fUr verschiedene Formen des funktionalen Zusammenhanges zwischen y und x bestimmt werden kann. Zur Bezeichnung der Elastizitiit von y in bezug auf x werden dabei die Schreib-
Ey E weisen 'Yjy, x, Ex und Ex [f(x)] synonym verwandt4).
1st y eine eindeutige Funktion von x und wird y urn eine Konstante a erhoht (z. B. fixe Kosten) oder vermindert, dann betriigt die Elastizitiit von y ± a in bezug auf x:
E dy y ± a dy x dy x . y -(y + a) =-:--=-.--=-.----:--Ex - dx x dx y ± a dx (y ± a) . y
dy x y = dx 'y'y ± a
E Ey y Y Ex (y ± a) = Ex . y ± a = 1)T, x • y ± a
Fur mehrere additive oder substraktive Konstante gilt:
E ~ y (y + a1 + a2 + + a ) = -- . --;---;---;---,----Ex - - _ .. , - n Ex y ± a1 ± a2 ± ... ± an
Entsprechend erhiilt man fUr die Summe bzw. Differenz zweier Funktionen Y1 = f1(X) und Y2 = f2(X):
E (dY1 dY2) Y1 ± Y2 dY1 x dY2 x Ex (Y1 ± Y2) = dx + dx: x = dx . Yl ± Y2 + dx' Y1 ± Y'l
3) Aus der Bedingung '1/y, x = :g~: ~~ folgt, daB die Elastizitat von y in bezug auf
x in einem doppelt logarithmischen Koordinatensystem als die Steigung der Kurve bestimmt werden kann, welche y in Abhangigkeit von x darstellt. Wahrend also im normalen (kartesischen) Koordinatensystem die Steigung der Kurve, welche y in Abhangigkeit von x darstellt, den Grenzwert von y miilt (z. B. die Grenzkosten), wird in einem doppelt logarithmischen Koordinatensystem die Elastizitat von y in bezug auf x durch die Steigung dieser Kurve gemessen. Vgl. hierzu L. Pack, Die Bedeutung der Kostenelastizitat fUr die theoretische Analyse, a. a. 0., S. 683-687. ') VgL zum folgenden L. Pack, Die Bedeutung der Kostenelastizitat fiir die theoretische Analyse, a. a. 0., S. 601-603.
Die mathematische Ableitung und Berechnung der Elastizitiit 555
Erweitert man den ersten Summanden mit Yl und den zweiten mit Y2, dann erhalt man:
E ~ x ~ ~ x n - (Yl ± Y2) = - . - . + - . - . ---'-:--b ~ ~ ~±n-~ n ~±n
E 'flY!. x • Yl ± 'fIY2. x • Y2 Ex (Yl ± Y2) =
Yl ±Y2
Analog erhalt man fUr mehrere additiv (z. B. eine Summe verschiedener Kostenarten) und/oder subtraktiv miteinander verbundene Funktionen:
E 'fIY1. x • Yl ± 'fIy2. x' Y2 ± ... ± 'fIYn. x • Yn Ex (Yl ± Y2 ± ... ± Yn) = Yl ± Y2 ± ... ± Yn
Ein konstanter Faktor (z. B. in Form ei.nes konstanten Preises) ist auf die Elastizitat einer Funktion ohne EinfiuB:
Sind zwei Funktionen Yl = fleX) und Y2 = f2(x) multiplikativ miteinander verbunden (z. B. Produktmenge und Preis), dann gilt fur die Elastizitat ihres Produktes v = fs(x):
Ev E d Yl . Y2 Yl . Y2 Ex = Ex (Yl' Y2) = dx (Yl' Y2) : -x- = Yl'· Y2 :-x-
Yl . Y2 dYl Yl dY2 Y2 + Y2' . Yl : -- = ..3__ : - + ..3__ :-x UA x UA x
E Ex (Yl . Y2) = 'flY!. x + 'fIYl!. x
Analog dazu gilt:
E Ex (Yl . Y2 .... Yn) = 'fIY1. x + 'fIY2. x + ... + 11Yn. x
D· EI t' 't"t d Q t' t . F kt' Yl fl (x) echn Ie as lZl a es uo len en aus zwel un lOnen q = - - -f ( ) err et Y2 2 x
sich entsprechend:
Eq =~(~)=~(~):~= Yl"Y2-Y2"Yl :~ Ex Ex Y2 dx Yll Y2 . X yr Y2 . X
Yl' Yl Y2' . Yl Yl dYl Yl dYll Y2 = y;: Y2 . X - Y22 : Y2 . X = dx : x - ~ : x
E~ (~:) = 1171. x - 11,2. x
556 Anhang I
1st y = fl(X) und x = f2(Z), dann ist die Elastizitat von y in bezug auf z:
Ey dy dx y x dy y dx x Ey Ex Ez = dx . dz : x . --Z = dx : x' dz: --Z = Ex . Ez
Ey
Ez ny, x 'nx, z
Sind y = f(x) und x = cp(y) inverse Funktionen (z. B. Ertrag und Kosten), dann gilt fUr die Elastizitaten von y in bezug auf x und von x in bezug auf y fur eine bestimmte Kombination von x und y:
Ey dy y Ex dx X Ex = dx : x = ny, x
---'--", Ey - dy . y - ·,x,y
Folglich gilt:
1 1 1} =-- und'" =--
y, x nx, y "x, y 1}y, x
1st Y = f(x) = x±a, dann ist die Elastizitat dieser Funktion:
Ey E x±a Ex = Ex (x±a) = (±a)· x(±a)-l: ~ = (±a)· x(±a)-l: x(±a)-l
E -- (x±a) = ± a Ex
Anhang II
Die Ermittlung von Verbraumsfunktionen, dargestellt anhand von drei Beispielen
1m erst en Beispiel wird der Elektromotor als der heute wohl am hiiufigsten verwandte Lieferant motorischer Kriifte behandelt. Der Elektromotor ist fUr die Darstellung von Verbrauchsfunktionen deshalb gut geeignet, weil sein Stromverbrauch einfach zu ermitteln ist. Ein zweites Beispiel befaBt sich mit dem Kraftstoffverbrauch des Automobilmotors, fur den sich ebenfalls relativ einfache Verhiiltnisse ergeben. AbschlieBend wird der Koksverbrauch in einem Wiirmekraftwerk untersucht, das als Beispiel eines Betriebes, dessen Leistungsintensitiit wiihrend der Leistungszeit variiert, besonders gut geeignet ist. Urn Wiederholungen moglichst zu vermeiden, wird nur das Beispiel des Elektromotors umfassend dargestellt.
1. Beispiel: Der Stromverbrauch von Elektromotoren
Der Stromverbrauch von Elektromotoren ist bei variierender Leistungsintensitiit yom Wirkungsgrad abhiingig. Deshalb ist zuniichst auf den Wirkungsgrad einzugehen.
a) Der WirkuHgsgrad
Die Aufgabe von Elektromotoren besteht darin, elektrische Leistung in mechanische Leistung umzuwandeln. Bei dies em UmwandlungsprozeB entstehen Verluste. Es gelingt nicht, aIle zugefUhrte elektrische Leistung in mechanische Leistung umzuwandeln. Dennoch muB nach dem Energiegesetzl) die gesamte dem Motor zugefUhrte elektrische Energie gleich der gesamten yom Motor abgegebenen Energie sein. Was also yom Motor nicht in Form von mechanischer Energie abgegeben wird, ist in eine andere Energieform umgewandelt worden, niimlich in Wiirme. Da die Freisetzung von Wiirme weder notwendig noch erwunscht ist, mussen die Teile der zugefuhrten elektrischen Energie, welche in Wiirme umgesetzt werden, als Verluste angesehen werden. Zur Messung derartiger Verluste arbeitet man ublicherweise in der Technik mit dem Begriff des Wirkungsgrades, mitunter auch als Energieergiebigkeitsgrad bezeichnet. Fur ihn wird in technischen Darstellungen stets das Symbol 1) verwandt. Da dieses Symbol jedoch in wirtschaftswissenschaftlichen Darstellungen stets zur Kennzeichnung der Elastizitiit verwandt wird, solI im folgenden der technische Wirkungsgrad durch
1) M. Planck, Das Prinzip der Erhaltung der Energie, 4. Auf!., Leipzig 1921.
558 Anhang II
das Symbol n* gekennzeichnet werden. Fur den technischen Wirkungsgrad (n*) gilt der Ausdruck2):
(II-I) n* = zugefUhrte Leistungsintensitat -- Verluste
zugefuhrte Leistungsintensitat
Verluste 1 -- --------------------------zugefUhrte Leistungsintensitat
abgegebene Leistungsintensitat
zugefuhrte Leistungsin tensi ta t
Fur den Wirkungsgrad eines Elektromotors erhalt man also die Definitionsgleichung
(II-2) n* = abgegebene mechanische Leistungsintensitat
zugefiihrte elektrische Leistungsintensitat
Sowohl die zugefUhrte elektrische Leistungsintensitat als auch die abgefUhrte mechanische Leistungsintensitat werden in Kilowatt gemessen. Der Wirkungsgrad ist deshalb wie die Elastizitat eine dimensionslose GroBe.
Die in einem Elektromotor entstehenden Verluste folgen ganz bestimmten GesetzmaBigkeiten. Dadurch ist man in der Lage, den Stromverbrauch von Elektromotoren generell zu bestimmen. Man kommt dabei zu Funktionen, in welche die konstruktiven Daten des Motors, dessen Stromverbrauch zu bestimmen ist, als parametrische Konstanten und die ihm abverlangte Leistungsintensitat als Variable einzusetzen sind. Eine derartige Funktion, einmal aufgestellt, gilt generell fUr den Stromverbrauch von Elektromotoren. Die Bestimmung einer solchen Funktion soIl im folgenden versucht werden3).
Die Verluste eines Elektromotors sind zu unterteilen in Wirkstrom- und Blindstromverluste, wobei fur die Ermittlung des Wirkungsgrades nur die Wirkstromverluste von Bedeutung sind.
Die Wi r k s t rom v e r Ius t e umfassen die folgenden Verlustarten:
(1) Die S t rom war m eve r Ius t e
In G lei c h s t rom mot 0 r e n setzen sich die Stromwarmeverluste zusammen aus den Verlusten im Anker und in der Erregerwicklung.
Die S t rom war m eve r Ius ted e sAn k e r s (Va) betragen stets:
(II-3)
2) Es sei daran erinnert, daB abweichend von der technischen Terminologie statt des Begrifies "Arbeit" der Ausdruck "Leistung" und statt der technischen "Leistung" der Ausdruck "Leistungsintensitat" verwandt werden. Zur Definition des Wirkungsgrades vgl. Dubbels Taschenbuch fUr den Maschinenbau, Erster Band, zwolfte vollig neu bearbeitete Auflage, herausgegeben von F. Sass und Ch. Bouche, Berlin-Gottingen-Heidelberg 1961, S. 245. 8) Die folgenden Darstellungen geschehen in Anlehnung an W. Lehmann, Die Elektrotechnik und die elektrischen Antriebe, 5. Aufl., Berlin-Gottingen-Heidelberg 1959, v. a. S. 101 ff. und S. 139 sowie M. Liwschitz, Die elektrischen Maschinen, Band III, Berechnung und Bemessung, Leipzig und Berlin 1934.
Ermittlung von Verbrauchsfunktionen anhand von Beispielen 559
Hierin bedeuten Ra den Ankerwiderstand (gemessen in Ohm Q) und Ia den im Anker flieBenden Strom (gemessen in Ampere A).
Die Verluste der Erregerwicklung (Vm) sind fUr NebenschluB- und ReihenschluBmotoren verschieden. Bei einem Erregerwicklungswiderstand Rm betragt der Erregerverlust:
In der N ebenschluBmaschine
(II-4.)
da die Erregerwicklung der NebenschluBmaschine an der vollen Maschinenspannung (U) liegt. 1m ist der in der Erregerwicklung flieBende Strom, Rm der Widerstand der Erregerwicklung.
In der ReihenschluBmaschine (auch HauptschluBmaschine genannt) ergibt sich der Erregerwicklungsverlust zu
(II-5)
da die Erregerwicklung der ReihenschluBmaschine zwar nicht an der vollen Spannung liegt, dafUr aber vom vollen Maschinenstrom (I) durchflossen wird.
Bei DoppelschluBmaschinen (sie enthalten eine in Reihe mit dem Anker liegende und eine NebenschluBwicklung als Erreger) addieren sich beide Wirkungen.
Bei Drehstrommotoren betragen die Stromwarmeverluste im Stander
(II-6)
die Verluste im Laufer
(II-7)
(2) Mag net i s c h eVe r 1 u s t e (E i sen v e rl u s t e)
Die Eisenverluste setzen sich aus Wirbelstromverlusten (Vw ) und Hysteresisverlusten (Vh) zusammen.
Fur G 1 e i c h s t rom mot 0 r e n gelten dabei folgende Beziehungen:
Durch die Umdrehungen des Ankers der Gleichstrommaschinen wird in den Ankerblechen eine elektromotorische Kraft (EMK) in Hohe von4)
E= c·<t>·n
erzeugt.
') Hierin bedeuten: E die Starke der elektromotorischen Kraft (gemessen in Volt), c eine Proportionalitatskonstante, die sich aus den konstruktiven Daten eines Motors ergibt (vgl. hierzu W. Lehmann, a. a. 0., S. 74), <l> die Starke des magnetischen Kraftflusses (gemessen in Maxwell); sie ist gleich dem Produkt aus der magnetischen Induktion und der durchflossenen Flache F (in cm2),
n die Drehzahl des Motors.
560 Anhang II
Die Starke der auftretenden Wirbelstrome (Iw) ist deshalb bei einem Eisenwiderstand in Hohe von Re:
Iw = c· <p. n
Re
Als Wirbelstromverlust ergibt sich aufgrund des sen
(II-8)
Der Hysteresisverlust entsteht durch die dauernden Ummagnetisierungen des Motoreisens. Er ist zur Drehzahl proportional, wahrend zwischen Hysteresisverlust und MagnetfluB (<P) eine funktionale Abhangigkeit besteht, welche fUr gewohnliche Eisenbleche durch einen Exponenten kleiner gleich 2 gekennzeichnet ist; fur hochlegierte Bleche ist der Exponent meist groBer als zwei. Bezeichnet man dies en Exponenten mit h (meist wird er der Einfachheit halber mit 2 angenommen), dann gilt fUr die Hysteresisverluste folgende Beziehung5):
(II-g)
FUr D r e h s t rom mot 0 r en gelten grundsatzlich die gleichen Beziehungen, nur tritt dort an die Stelle der Drehzahl n die Netzfrequenz (in Europa meist 50 Hertz, d. h. 50 . 60 = 3000 U/min).
(3) M e c han i s c h eVe r Ius t e
Die mechanischen Verluste setzen sich aus den Rei bun g s v e r 1 u s ten der Lager, der BUrsten und der Luft zusammen. Bei Maschinen ohne kunstliche LuftkUhlung sind diese Verluste proportional der Drehzahl und es gilt die Beziehung6):
(II-I 0) Vr = Cr· n
Fur Motoren mit kunstlicher LuftkUhlung wachs en die mechanischen Verluste jedoch mit einem Exponenten, der groBer als 1 ist. Bezeichnet man diesen Exponenten mit r, so ergibt sich in diesen Fallen fUr die mechanischen Verluste folgende Beziehung:
(lI-ll) Vr = Cr· nr
Besonders bei groBen Motoren, bei welchen die AbfUhrung der Verlustwarme nur durch LuftkUhlung moglich ist, ist der Exponent r groBer als 1.
5) Ch ist ebenfalls eine Proportionalitatskonstante, die durch die konstruktiven Daten eines Motors festgelegt ist (vgl. hierzu W. Lehmann, a. a. 0., S. 23) und insbesondere von der magnetischen Induktion und der Art der verwandten Dynamobleche abhangt (filr normalen Flu13stahl etwas mehr als doppelt so hoch wie bei hochlegierten Blechen). G) Der Faktor Cr ist eine Proportionalitatskonstante und durch die konstruktiven Eigenschaften eines Motors, unter anderem die Art der verwandten Lager, bestimmt.
Ermitttung 'Von Verbrauchs;funktionen anhand 'Von Beispielen 561
Dies geht auch aus der Abbildung 1 hervor, welche die Luft- und Lagerreibungsverluste von Asynchronmaschinen fiir verschiedene Drehzahlen und Leistungsintensitaten in Prozent der Nennleistung darstellt7). Da die mechanischen Verluste im Rahmen der Gesamtverluste jedoch von untergeordneter Bedeutung sind, besitzen groBere Motoren dennoch einen hoheren Wirkungsgrad als kleine.
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-2 0,6 III > ~O,s I: ::I .a ~ 0,4
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Y' 0.2'0 20 30 SO 70 100 200 300 500 1000 2000
Nennleistung ~ in kW
Abbildung 1
Luft- und Lagerreibungs'Verluste von Asynchronmaschinen
(4) Zusatzliche Verluste
Wegen der zusatzlich in Eisen- und Kupferteilen der elektrischen Maschinen entstehenden Wirbelstrome sind noch sogenannte zusatzliche Verluste zu beriicksichtigen. Sie miissen entweder gemessen werden, da sie von Bauform zu Bauform verschieden sind, oder es muB nach den Regeln fiir elektrische Maschinen8) bei Gleichstrommaschinen 1 0/0, fiir Drehstrommotoren 0,5 % der
7) Die Abb. 1 ist entnommen aus M. Liwschitz, a. a. 0., S. 85. R) Vgl. hierzu Regeln fUr elektrische Maschinen VDE 0530, VDE-Verlag GmbH, Berlin-Charlottenburg 2, 1959, § 61.
36 Pack
562 Anhang II
aufgenommenen Leistungsintensitiit in Ansatz gebracht werden. Es gilt also
a) fUr Gleichstrommotoren:
(II-12) Vz = Nt· 0,01
b) fUr Drehstrommotoren
(II-13) Vz = Nt· 0,005
wenn man mit Nl die aufgenommene Leistungsintensitiit bezeichnet9).
(5) V e r 1 u s t e in de r Z u 1 e i tun g z u m Mot 0 r
Die Verluste in der ZUleitung zum Motor sind von der Liinge der Zuleitung und von ihrem Querschnitt abhiingig. Sie betragen:
(II-14)
Hierin bedeuten:
(} . I VL = --.12
F
1 die Liinge der Zuleitung in Meter,
(} den spezifischen Widerstand des Leiters in Ohm,
F den Querschnitt des Leiters in mm!,
I die Stromstiirke.
Die Verluste in der Zuleitung rechnet man normalerweise bei der Bestimmung des Wirkungsgrades eines Motors nicht mit, wei! sie nicht yom Motor, sondern von der Zuleitung abhiingig sind. Sie werden dennoch hier aufgefiihrt, wei! hier letztlich nicht der Wirkungsgrad als solcher interessiert, sondern die Moglichkeit, die Kosten des Stromverbrauches mit Hilfe des Wirkungsgrades zu bestimmen.
(6) Z usa m men f ass u n g d erg e sam ten Wi r k s t rom v e r Ius t e
FaBt man siimtliche Wirkstromverluste, mit Ausnahme der Zuleitungsverluste, die ja von Fall zu Fall sehr verschieden sind, zusammen, so erhiilt man allgemein die folgenden Gesamtverluste:
0) Da die Verwendung des Symbols N in der technischen Literatur allgemein ublich ist, wird auf seine Ersetzung durch das bisher zur Bezeichnung der Leistungsintensitiit verwandte Symbol x verzichtet.
Ermittlung von Verbrauchs!unktionen anhand von Beispielen 563
Fur die einzelnen Motorarten ergeben sich hieraus gemaB den Formeln II-3 bis II-ll die folgenden Gesamtverluste:
a) Fur einen Gleichstrom-NebenschluBmotor:
c2 (II-15) VgN = Ra' la2 + U' 1m + - ,tP2 , n2 + Ch' tPh, n + Cr ' nr + Nt, 0,01
Re
b) Fur einen ReihenschluBmotor:
c2
(II-I6) VgR = Ra' la2 + Rm' 12 + Re . tP2 • n2 + Ch' tPh, n + Cr ' n r + Nt' 0,01
c) Fur einen Drehstrommotor:
(II-17) VgD = R.' 1.2 + RI ' 112 +C. + Ch' tPh, n + Cr ' n r + Nt' 0,005
Beim Drehstrommotor sind die Wirbelstromverluste im Stander konstant und in Gleichung II-17 mit C. angegeben. Dies kommt daher, daB im Drehstrommotor an die Stelle der Drehzahl n - die einzige Variable in Gleichung II-9 - die konstante Frequenz (gemessen in Hertz) tritt, welche zu einer konstanten Umlaufzahl des Drehfeldes (meist 3000 Umdrehungen pro Minute) fiihrt. Damit enthalt Gleichung II-9 fur den Fall des Drehstrommotors nur konstante Werte und kann zu einer einzigen Konstanten (C.) zusammengefaBt werden, Die Wirbelstromverluste im Laufer von Drehstrommotoren sind fast gleich Null und kannen vernachlassigt werden, well die Drehzahl des Laufers sich von der Drehzahl des Drehfeldes nur relativ wenig unterscheidet10).
Das Gewicht der einzelnen im Motor auftretenden Verluste kann in etwa durch das bei Nennlastll) geltende Verhaltnis Reibungsverluste : Erregerverluste : Eisenverluste : Stromwarmeverluste = 1 : 1 : 2 : 4 gekennzeichnet werden.
Fur einen gegebenen Motor ist zu beachten, daB die GraBen Ra, Rm, c, Re,
h, r, Ch und Cr bekannt und, wei! von der Leistungsintensitat unabhangig, konstant sind. Variabel, weil von der Leistungsintensitat abhangig, sind also nur: la, 1m, n und tP, wobei zu beachten ist, daB la, 1m und tP durch n und N2 bestimmt sind, und daB n wieder von N2 abhangig ist, so daB schlieBlich die gesamten Verluste als Funktion der abgegebenen Leistungsintensitat
10) Vgl. W. Lehmann, a. a. 0., S. 139. 11) Die Nennlast entspricht der Nennleistungsintensitat. Zum Begriff der Nennleistungsintensitat vgl. VDE, Regeln fUr elektrische Maschinen, a. a. 0., § 87: "Nennbetrieb ist der Betrieb, fUr den die Maschine yom Lieferer bestimmt und der auf dem Leistungsschild angegeben ist. Die hierbei auftretenden GraBen werden entsprechend durch die Vorsilbe ,Nenn' gekennzeichnet; Nennleistung, Nennspannung, Nennstrom, Nennfrequenz, Nenndrehzahl, Nennleistungsfaktor ..... Was dort mit "Nennleistung" bezeichnet ist, entspricht definitionsgemaB dem, was hier "Nennleistungsintensitat" genannt wird. - Zu dem angegebenen Verhaltnis zwischen den einzdnen Verlustarten vgl. W. Lehmann, a. a. 0., S. 104.
36*
564 Anhang II
N2 ausgedruckt werden konnenI2). Dies bedeutet, daB der Stromverbrauch eines Elektromotors eindeutig durch die verlangte Leistungsintensitat bestimmt ist. Es konnen deshalb aus den oben genannten Gleichungen fur jeden Elektromotor unter Beachtung seiner konstruktiven Daten (Faktorqualitaten)
1. der Stromverbrauch und
2. der Wirkungsgrad
als Funktion der verlangten mechanischen Leistungsintensitat bestimmt werden, denn fUr den Wirkungsgrad gilt bekanntlich generell die Formel II-I, die auch wie folgt geschrieben werden kann:
abgegebene Leistungsintensitat (N2)
abgegebene Leistungsintensitat plus Verluste (Nl)
Der Stromverbrauch ist dann gleich der abgegebenen (mechanischen) Leistungsintensitat plus den Verlusten.
Der Wirkungsgrad kann fur Leistungsintensitaten, die nicht mehr als etwa 50 Ofo unterhalb und nicht mehr als etwa 25 Ofo oberhalb der Nennleistungsintensitat liegen, mit Hilfe von Naherungsformeln bestimmt werden. Sehr oft genugt die Annahme, daB die Verluste im Motor in einen konstanten und einen mit der Belastung quadratisch wachsenden Teil zerlegt werden konnen. Das Verhaltnis zwischen den konstanten Verlusten Vk und den mit der Belastung quadratisch wachsenden Verlusten Vv , welches fUr die einzelnen Motorarten verschieden ist, solI fur Nennlast mit a bezeichnet werden1S):
Vv Vk = a; daraus folgt: Vv = a' Vk
Dieses Verhaltnis ist fur verschiedene Motorarten in etwa bekannt. Es betragt fUr langsam laufende ReihenschluBmotoren und fUr Drehstrommotoren zum Antrieb von Kranen (Lastheben- und -senken) etwa 2, fUr schnell laufende ReihenschluBmotoren liegt es zwischen 2 und 1, fUr normal laufende NebenschluBrnotoren und fur die heute rneist verwandten norrnalen Drehstrornrnotoren ist es gleich 1 und fUr schnelllaufende NebenschluB- und Drehstrornrnotoren liegt es zwischen 0,5 und 114).
1!) In diesem Sinne stellen die GroBen Ra bis iP parametrische Konstante der Stromverbrauchsfunktion eines Elektromotors dar, und insofern kann festgestellt werden, daB die Faktorqualit§ten einer Produktiveinheit die parametrischen Konstanten der Verbrauchsfunktionen dieser Produktiveinheit definieren. 13) Diese Darstellung gibt z. B. W. Lehmann, a. a. 0., S. 104 ff.; vgl. auch S. 104 und S. 139. 14) Vgl. hierzu auch AEG, Drehstrom-Motoren, Berlin 1952, S. 43-44.
Ermittlung von VeTbTauchsjunktionen anhand von Beispielen 565
FUr den Verlust Vx bei einer beliebigen Belastung, die gleich dem x-fachen der Nennlast ist, ergibt sich dann
(11-18) Vx = Vk' (1 + ax2)
Bringt man den durch Formel 11-18 definierten Zusammenhang in Verbindung mit der Definitionsgleichung 11-2, dann erhiilt man fur den Wirkungsgrad die Funktion
N·x (II-I9) n* - ~~~~----~--~
- N· x + Vk' (1 + ax2)
1
Vk 1 + -- . (1 + ax2)
N·x
Die folgende Abbildung 2 zeigt elmge Wirkungsgradfunktionen, welche nach Formel II-I9 berechnet worden sind. Dabei ist a konstant mit 1 angenommen worden (die Kurven gelten also fur normale Drehstrommotoren). Der Wert von Vk ist mit 0,3 fur Kurve 1, mit 0,2 fur Kurve 2, mit 0,1 fur Kurve 3 und mit 0,05 fur Kurve 4 angenommen.
Jrot
1,0
o.s o.a 0,7
0,6
ItS 0,4
0.,3
0,2
0,1
4
3 :: I I I I I 'I I
0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0..6 0,7 0..8 0,9 110 1.1 1,2 't3 1/0 1,5 Last als Viel/aches der Nennlast
Abbildung 2
WirkungsgTadkurven, die nach Formel 11-19 eTmittelt worden sind
566 Anhang II
In Abbildung 3 werden Wirkungsgradkurven wiedergegeben, welche die Siemens-Schuckert-Werke fur ihre Drehstrommotoren angeben15).
100 ~ c
.;. 90 'tI a 0.80 UI 01 C :J 70 .... '-
~
t 60
30
40
20
20
10
0
-V ~ r-
L v~ ~ II/; ~~
r- -V V ----VI IV ~
r- --fo-'
V ..--~ V
V/; /V ~
V ..--r--V i--f-
/L V
.1fh /V V V
L
fIL V V
Ii/I I
! 194 I
IS6 J82 t-
/8 t--
174
16S J S2 r-= 58 1- r-~
I~ z
1'41 I~ I~ Jk c
l..i I·: 1>-
l
-r--r--- r--
---r-----~ --l-r-r--
100 ~
90'= "~ 'tI
80 e 01 UI 01
70 § t:
SO~
50
40
30
20
10
10 202530 ltO 50 SO 707580 90 100 110 120,25,30 140 150 --+- Last in .,. der Nennlast
Abbildung 3
Wirkungsgradkurven fur Siemens-Drehstrommotoren in Abhiingigkeit vom Ausnutzungsgrad der N ennleistungsintensitiit
Ein Vergleich der beiden Abbildungen zeigt, daB mit Hilfe der Formel II-19 eine recht gute Annaherung erreicht wird16). In den Abbildungen 2 und 3 ist zur Vereinfachung der Darstellung und des Vergleiches auf der Abzisse die abgegebene Leistungsintensitiit nicht absolut, sondern in Prozent der Nennleistungsintensitat der Motoren aufgetragen17). Die Abzissenwerte ent-
15) Abb. 3 ist entnommen aus Siemens-Schuckert-Werke AG, Drehstrommotoren. Schaltgerate, Kondensatoren, Sammelliste SA 1, Mai 1957, S. 85. 16) Ein Weg zu einer exakteren Bestimmung von a wird von W. Lehmann beschrieben. Vgl. W. Lehmann, a. a. 0., S. 104 ff.
17) Statt der Funktion 1'/* = ~~ = fl(N2)[kW] wird also die Funktion 7)* = f2(X)
[NkWj dargestellt, indem N2 durch x ersetzt wird, worin x = ~2 ist.
N0 7)* = -" = fl(N2)[kWj = fl(Nx)[kWj = f2(X)[NkW].
Nl Die Dimension der Abszisse ist also nicht mehr kW, sondern NkW (Nennleistungs-
Ermittlung von Verbrauchsfunktionen anhand von Beispielen 567
sprechen also dem Wert x der Gleichung 11-19, der hier jedoch durch einen Prozentsatz ausgedrlickt wird; x = 0,7 entspricht 70 % der Nennleistung.
Diese Art der Darstellung ist vorteilhaft, weil sie allgemeinere Gultigkeit besitzt als eine Wiedergabe der Wirkungsgradkurven auf der Basis von absoluten Leistungsintensitaten, und zwar aus folgenden Grunden:
1. Der Wirkungsgrad ist fUr Motoren mit verschiedener Drehzahl verschieden. Bei Verwendung von absoluten Leistungsintensitaten muBten also fUr jede Drehzahl andere Wirkungsgradkurven gegeben werden (vgl. die Abbildungen 5 und 6).
2. Der Wirkungsgrad ist von der Art des verwandten Laufers (bei Drehstrommotoren) bzw. des Ankers (bei Gleichstrommotoren) abhangig. KurzschluBlaufer haben z. B. in der Regel einen etwas hoheren Wirkungsgrad als Schleifringlaufer.
3. Die graphische Darstellung wird vereinfacht, weil man fUr die zwischen wenigen Watt und Tausenden von Kilowatt liegenden Leistungsintensitaten von Elektromotoren nicht eine ubermaBig lange Abszisse braucht (in den Abbildungen 4, 5 und 6 ist dieses Problem durch eine logarithmische Darstellung gelost).
Um MiBverstandnisse zu vermeiden, muB jedoch auf folgendes hingewiesen werden: Es scheint zunachst, als hatten Motoren mit bei Nennlast hohem Wirkungsgrad auch fUr andere Lasten (Teillasten) einen hoheren Wirkungsgrad als Motoren mit bei Nennlast niedrigerem Wirkungsgrad. Dies stimmt zwar stets fur gleiche Auslastungsgrade (ein Viertel, ein Halb, eineinhalb usw.) der verschiedenen Nennlasten. Es braucht dagegen fur gleiche absolute Belastungswerte nicht zu stimmen, weil dann nicht mehr gleiche prozentuale Ausnutzungen der verschiedenen N ennlasten miteinander verglichen werden, sondern absolut gleiche Leistungsabgaben. Dann kommen natiirlich Belastungen vor, in denen ein groBer Motor einen niedrigeren Wirkungsgrad besitzt als ein Motor kleinerer Nennleistungsintensitat, weil der kleine
intensitatseinheiten). Ein bestimmter Abszissenwert Xl entspricht also dem xl-fachen der Nennleistungsintensitat.
Den Wirkungsgrad eines Motors fUr eine bestimmte mechanische Leistungsintensitat N2 bestimmt man wie folgt:
1. Man ermittelt X = N2 = gewUnschte mechanische Leistungsintensitat N Nennleistungsintensitat .
2. Man sucht auf der Wirkungsgradkurve, deren angezeigter Wirkungsgrad fUr x = 1 dem Wirkungsgrad des betrachteten Motors bei Nennlast entspricht, den zu dem gefundenen x = N2 : N gehorigen Wert von 1)*. Dies ist der gesuchte Wirkungsgrad des Motors fUr die mechanische Leistungsintensitat N2.
568 Anhang II
Motor innerhalb dieser Belastung besser ausgelastet ist als der groBe. Um dies en Sachverhalt klar aufzuzeigen, sind die Wirkungsgradkurven der Abbildung 3 in der folgenden Abbildung 4 nochmals dargestellt, und zwar in Abhangigkeit von den absoluten Werten der Leistungsabgabe (Leistungsintensitat).
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0,9
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0.6
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0,05 Q1 q2 Q3 0,4 0,5
2 3 4 5 10 20 304050 100 2003
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0,8
0.7
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0,5
0.4
0;3 2 3 45 10 20 304050 100 200300@!OOkW
Abbildung 4
Wirkungsgradkurven fur Siemens-Drehstrommotoren in Abhangigkeit von der Leistungsintensitat
Zur Abrundung der Darstellung wird in den Abbildungen 5 und 6 gezeigt, wie der maximale Wirkungsgrad von Drehstrommotoren fUr alternative Drehzahlen mit der Nennleistungsintensitat steigt'8).
18) Abb.5 ist entnommen aus M. Liwschitz, a. a. 0 ., S. 202; fUr andere Motorentypen vgl. ebenda, S. 283, 353 und 361. Die Abbildungen 4 und 5 geben praktische Beispiele zu dem, was Gutenberg mit "BetriebsgroBenvariation" bzw. insbesondere mit "mutativer BetriebsgroBenvariation" bezeichnet. Die Wirtschaftlichkeit des Einsatzes groBer Aggregate ist klar ersichtlich. Vgl. diesbeziiglich auch H. Ludwig, Die GroBendegression der technischen Produktionsmittel, a. a. 0., v. a. S. 25, 35, 52 und 99-106.
Ermittlung von Verbrauchsjunktionen anhand von Beispielen 569
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0,88
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0,80 t
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./ V
............... ,/ el90
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Abbildungen 5 und 6
Der maximale Wirkungsgrad von Drehstrommotoren in Abhiingigkeit von der N ennleistungsintensitat
570 Anhang II
b) Der spezifisdte Stromverbraudt
Unter dem spezifischen Stromverbrauch von Elektromotoren (VB) solI der Stromverbrauch pro Leistungsintensitatseinheit verstanden werden.
Der spezifische Stromverbrauch pro Leistungsintensitatseinheit kann unmittel bar aus dem Wirkungsgrad bestimmt werden, denn er ist gleich dem reziproken Wert des Wirkungsgrades. Es gelten also die folgenden Beziehungen:
(II-20) Vs
(II-21) Vs
zugefiihrte elektrische Leistungsintensitat
abgegebene mechanische LeistungsintensWit
mechanische Leistungsintensitat plus Verluste
mechanische Leistungsintensitat
Die zu den in Abbildung 3 gezeigten Wirkungsgradkurven gehorigen Kuryen des spezifischen Stromverbrauches sind in Abbildung 7 dargestellt. Ihr Anstieg ist in allen Punkten grofier als der Anstieg der Wirkungsgradkuryen, weil die Kehrwerte von variierenden Werten, die kleiner als 1 sind -
Vs= 2,4 1
11. 2,3
2,2
2.1
2,0
1,9
1,8
1.7
1,6
1,5
1,4
1,3
1.2 1, I
58
62 Iii o
66 § QI Z
70 ·Gi
74.D "0
78 ~ Ol
82 ~ 86 c 90.g :::::=======i========-94 §
1,0 '--+--+--+-~-+-+--+-_-+-___ +-_:-+--+_ 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 ·140 .150
.,. der Nennleistung
Abbildung 7
Der spezijische Stromverbrauch von Siemens-Drehstrommotoren in Abhiingigkeit vom Ausnutzungsgrad der Nennleistungsintensitiit
Ermittlung von Verbrauchsfunktionen anhand von Beispielen 571
und die Wirkungsgrade sind immer kleiner als 1 - starker variieren als die Werte selbst (eine Ausnahme liegt nur dort vor, wo die Steigung gleich Null ist, also im Maximum des Wirkungsgrades, das dem Minimum des spezifischen Stromverbrauches entspricht). Ein steigender (sinkender) Wirkungsgrad bedeutet sinkenden (steigenden) spezifischen Stromverbrauch.
c) Der gesamte Stromverbrauch pro Zeiteinheit
Aus der Abbildung 7 kann der gesamte Stromverbrauch pro Zeiteinheit unmittelbar bestimmt werden. Es sind dabei die folgenden Zusammenhange zu beachten:
Die einem Motor zugefiihrte elektrische Leistungsintensitat wird in der Elektrotechnik iiblicherweise mit Nl, die von ihm abgegebene mechanische Leistungsintensitat iiblicherweise mit N2 bezeichnet. Diese Schreibweise wird auch hier verwandt. Man erhalt dann fiir den Wirkungsgrad
(II-22) N2
r;* =Nl '
fiir den spezifischen Stromverbrauch
Nl 1 (II-23) v =-=-
8 N2 r;*'
Der gesamte Stromverbrauch pro Zeiteinheit (N1) kann wie folgt bestimmt werden:
(II-24)
Der gesamte Stromverbrauch pro Zeiteinheit gibt an, welchen Strom ein Motor pro Zeiteinheit verbraucht, wenn er eine bestimmte Leistungsintensitat abgeben solI. Es mag zunachst absurderscheinen, N1 aus der Wirkungsgradfunktion bestimmen zu wollen, wo doch der Wirkungsgrad nur iiber Nl bestimmt werden kann. Diese Anschauung ist jedoch nicht ganz berechtigt. Einerseits kann man den Wirkungsgrad mit Hilfe von Formeln (vgl. z. B. die weiter oben angegebene Naherungsformel) bestimmen, braucht dann also nicht erst N1 zu ermitteln. Andererseits g.eben die Motorenfirmen nicht die Werte von N1, sondern die Werte von r;* in Abhangigkeit von N2 an. Damit sind die Betriebe auf eine Rechnung angewiesen, welche von N2 und r;* als Bekannten ausgeht.
In Abbildung 8 ist unter Verwendung der in Abbildung 3 dargestellten Wirkungsgradkurven der Stromverbrauch N1 als Funktion der gewiinschten mechanischen Leistungsintensitat N2 dargestellt. Da, wie bekannt, dem gleichen Wirkungsgrad verschiedene Nennleistungen entsprechen konnen, ist hier neben der mechanischen auch die elektrische Leistungsintensitat nicht absolut, sondern als Vielfaches der Nennleistungsintensitat aufgetragen.
572
Vs (N,ln"lo von N)
230
220
210
200
190
180
170
160
150
11,0
130
120
110
100
'90
80
70
60
50
itO
30
20
10
Anhang II
10 20 30 L,Q 50 60 70 80 90 100 110 120 m 1lo0150 "10 . (N2 in 'lovonN)
Abbildung 8
Der Stromverbrauch pro Zeiteinheit fur Siemens-Drehstrommotoren in Abhiingigkeit von der Leistungsintensitiit
Statt der Funktion
wird also die Funktion
Nt dargestellt, worin N intensitat in kW angiht.
y [NkW] = f2 (x) [NkW]
N2 = y und N = x sind und NkW die Nennleistungs-
Ermittlung von Verbrauchsfunktionen anhand von Beispielen 573
Die Dimension der Abszisse und der Ordinate ist also NkW. Der fur die Abgabe einer bestimmten mechanischen Leistungsintensitat N2 durch einen Motor mit der Nennleistungsintensitat N erforderliche Stromverbrauch N1 kann wie folgt bestimmt werden:
N2 1. Man ermittelt x = N. 2. Man sucht auf der Gesamtverbrauchskurve, die dem Wirkungsgrad des
Motors bei Nennlast entspricht, den zu x gehorigen Wert.
3. Man multipliziert diesen Wert mit der Nennleistungsintensitat des Motors und erhalt so den gesuchten Stromverbrauch Nt in kW.
Die bisherigen AusfUhrungen zum gesamten Stromverbrauch pro Zeiteinheit bediirfen noch einer Erganzung bezuglich der B 1 i n d s t rom v e r -1 u s t e. Sie treten bei Dreh- und Wechselstrommotoren auf, und zwar dadurch, daB der Magnetisierungsstrom zeitlich der Spannung nacheilt19).
Ein Blindstrom tritt immer dann auf, wenn in einem Wechselstromkreis induktive (z. B. Motoren, Transformatoren) und/oder kapazitative Widerstiinde (z. B. Kondensatoren) eingeschaltet sind. Bei Ohmschen Widerstanden dagegen (z. B. Gluhlampen) tritt dieser Effekt nicht auf.
Bei induktiver Belastung "hinkt" der Strom hinter der Spannung her, bei kapazitativer Belastung eilt der Strom der Spannung voraus.
Da fUr die Leistungsintensitat in jedem Zeitpunkt die Beziehung
(11-25) N=u·r gilt, hat dies folgende Konsequenzen:
Die Leistungsintensitat ist positiv, wenn U un d I gleichzeitig positiv oder negativ sind, was bei Ohmschen Widerstiinden, die keine Phasenverschiebung auslosen, stets der Fall ist. Die Leistungsintensitat ist negativ, wenn e i n e der beiden GroBen U oder I negativ ist, was bei Phasenverschiebung vorubergehend eintritt. Es entsteht dann eine negative Leistungsintensitat, welche den Wert, den das Produkt U . I wahrend des Zeitverlaufes im Durchschnitt hat und der gleich
T
f U(t) . 1(t) dt o
T
ist, mindert; dabei bezeichnen U(t) die Rohe der Spannung im Zeitverlauf, 1(t) die Starke des Stromes im Zeitverlauf und T die Lange des betrachteten Zeitraumes. Die Minderung ist naturgemaB urn so groBer, je groBer die Phasenverschiebung ist. Bei einer Phasenverschiebung von 90° (wie sie fUr eine verlustlose Spule und fUr Kondensatoren zutrifft) ist der Wert, den die Leistungsintensitat wahrend der Leistungszeit im Durchschnitt hat, gleich
19) Vgl. hierzu W. Lehmann, a. B. 0., S. 49.
574 Anhang II
Null. Dann folgen niimlich im Zeitverlauf gleichmiiBig Bereiche positiver und negativer Leistungsintensitiiten aufeinander, die gleich groB sind, so daB sie sich bei der Durchschnittsbildung gegeneinander aufheben. Praktisch bedeutet dies, daB die ganze Energie zwischen dem Stromverbraucher und der Stromquelle nur hin und her pendelt, infolge dieses "Hin- und HerflieBens von den Ziihlern nicht geziihlt" und somit von den "Abnehmern nicht bezahltI9&)" wird. Aus diesem Grunde wird von den Elektrizitiitswerken ein besonderer Zuschlag erhoben, wenn die Phasenverschiebung relativ stark ist; dar auf ist weiter unten noch einzugehen.
Das AusmaB der Phasenverschiebung wird durch den Winkel qJ gemessen, der angibt, urn wieviel Grad der Verlauf von Strom und Spannung differieren bzw. urn wieviel Grad die Spannung gegeniiber dem Strom phasenverschoben ist. Das Vorhandensein einer Phasenverschiebung urn einen Winkel von qJ Grad hat die folgenden Konsequenzen:
Die insgesamt aufgenommene Strommenge wird yom Stromziihler nicht in voller Hohe, sondern nur in Hohe der Wirkleistungsintensitiit (N) gemessen:
(II-26) N = U . Iw = U . I . cos qJ
Der Blindstrom Ib und die Blindleistungsintensitiit Nb werden yom Stromziihler nicht gemessen, weil sie nur stiindig hin und her flieBen.
(1I-27) Nb = U . Ib = U . I . sin qJ
Dennoch wird dem Netz insgesamt eine Leistungsintensitiit in Hohe von
(II-28) Ns = U' I
entnommen, die als Scheinleistungsintensitiit (Ns) bezeichnet wird.
Aus den angefiihrten Formeln ermittelt sich der Leistungsfaktor cos qJ als das Verhiiltnis
(1I-29) N
cos qJ = Ns .
Der Leistungsfaktor cos qJ gibt also den Anteil der Wirkleistung (N) an der Scheinleistung (Ns) an. Seine GroBe wird auf Wechsel- und Drehstrommotoren stets angegeben, weshalb hier auf die Beschreibung seiner Ermittlung verzichtet werden kann20). Die Angaben gelten stets fUr Nennlast.
Der Leistungsfaktor cos qJ ist bei gegebenem Motor von der Belastung abhiingig (vgl. Abbildung 9)21). Dies ist dadurch bedingt, daB bei geringer
19&) W. Lehmann, a. a. 0., S. 50. 20) Vgl. hierzu W. Lehmann, a. a. 0., S. 49 f. und S. 133 f. 21) Abb. 9 ist entnommen aus Siemens-Schuckert-Werke AG, Drehstrommotoren, a. a. 0., S. 84.
Ermittlung von Verbrauchsjunktionen an hand von Beispielen 575
Belastung der Magnetisierungsstrom 1m (Blindstrom), der gegeniiber der Spannung urn 90° verschoben ist, in bezug auf den bei kleiner Last ebenfalls kleinen Belastungsstrom relativ groB ist. Mit steigender Last steigt der Belastungsstrom, so daB das VerhiHtnis sich andert und der Leistungsfaktor steigt. Bei hoher Vberlastung kann eine starke Streuung auftreten, die wieder eine VergroBerung der Phasenverschiebung und damit ein Absinken des Leistungsfaktors zur Folge hat.
I iii I-E
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~ ~ ~ 100 ~ 1~ - Last in 'I. der Nennlast
Abbildung 9
Die Abhangigkeit des Leistungsfaktors vom Ausnutzungsgrad der N ennleistungsintensitat bei Siemens-Drehstrommotoren
In den Abbildungen 10 und 11 wird gezeigt, wie der Wert, den der Leistungsfaktor bei Nennleistungsintensitat besitzt, mit steigender Nennleistungsintensitat (MotorgroBe) zunimmt22).
If) Die AbbiIdungen 10 und 11 sind entnommen aus M. Liwschitz, a. a. 0., S. 201; vgl. auch ebenda, S. 202 und 361.
576
0,92
0,90
0,88
0,85
0.80
0,75
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Anhang II
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V
N
200 300 500 1000 2000 kW
Abbildungen 10 und 11
Der Leistungsfaktor normaler Schleifringliiufermotoren in Abhiingigkeit von der N ennleistungsintensitiit
Ermittlung von Verbrauchsfunktionen anhand von Beispielen 577
d) Die sptzifischen StromkosteH
Wegen der Problematik des Leistungsfaktors sollen im folgenden zunachst nur die Kosten des Wirkstromes betrachtet werden. Die zusatzliche Berucksichtigung des Blindstromes erfolgt weiter unten.
Die spezifischen Stromkosten (kst), d. h. die Stromkosten pro Leistungsintensitatseinheit, konnen unmittelbar aus dem spezifischen Stromverbrauch bestimmt werden. Fur sie gilt folgende Beziehung23):
Nt [kW] kst = Va . na = N2 [kW]' ns[DM/kWh] = Vs . ns [DM/kWh] (II-30)
Hierin bedeutet ns, mit der Dimension D-Mark pro Kilowattstunde, den Preis, der fur eine Leistungseinheit (Kilowattstunde kWh) zu zahlen ist24).
Die spezifischen Stromkosten haben also die Dimension D-Mark pro Kilowattstunde. Sie konnen aus den spezifischen Stromverbrauchskurven unmittelbar abgelesen werden, wenn man auf der Ordinate einen zweiten MaBstab abtragt, der das ns-fache des MaBstabes ist, welcher fUr den spezifischen Stromverbrauch gilt. Die spezifischen Stromkosten konnen dann wie folgt bestimmt werden:
1. Man ermittelt x = N2 gewiinschte Leistungsintensitiit
N Nennleistungsintensitiit
2. Man liest auf der Kurve, welche clem Nenn-Wirkungsgrad des betrachteten Motors entspricht, auf dem fUr kst geltenden MaBstab die spezifischen Stromkosten abo Sie geben an, was bei der gewunschten Leistungsintensitat N2 eine Kilowattstunde abgegebene mechanische Leistung kostet.
Bei der Beurteilung der kat-Kurven ist jedoch zu beachten, daB sie auf Wirkungsgradkurven aufbauen, welche fUr den Stromverbrauch eines Motors in betriebswarmem Zustand gelten25). Veranderungen des Stromverbrauches, die evtl. bei gleicher Leistungsintensitiit wahrend der Leistungszeit, Z. B. nach der Inbetriebnahme vor Erreichen der Betriebstemperatur, auftreten, sind also nicht berucksichtigt. Desgleichen sind Blindstromverluste nicht beachtet.
Versucht man die kst-Kurven fur den Fall darzustellen, daB ein Motor langere Zeit oder sogar dauernd mit einer bestimmten Leistungsintensitat arbeiten solI, so ist zu beachten, daB Elektromotoren in der Regel so ausgelegt sind, daB sie bei Dauerbetrieb mit Nennlast die Grenz-Ubertemperatur erreichen. Grenz-tJbertemperatur ist die Temperatur, die nicht uberschritten
23) Die Existenz fixer Strornkosten in Form einer fixen GrundgebUhr bleibt dabei unbeachtet. 24) Urn terminologische Schwierigkeiten zu verrneiden, sei auf folgendes hingewiesen: Dern ElektriziUitswerk wird nicht die Leistungsintensitat (technisch: Leistung), gernessen in kW, sondern die Leistung (technisch: Arbeit), gernessen in kWh (Kilowattstunden) bezahlt. 25) Vgl. VDE, Regeln fUr elektrische Maschinen, a. a. 0., § 49, Buchstabe e, 17 und 25.
37 Pack
578 Anhang II
werden darf, wenn die Motorisolation nicht Schaden nehmen S01126). Die Grenz-Dbertemperatur ist insbesondere von der verwandten Isolation, der Umg.ebungstemperatur, dem eventuell verwandten Kiihlmittel und der geographischen Rohe des Aufstellungsortes abhangig. Die wichtige hier interessierende Konsequenz ist: Ein Dauerbetrieb von Elektromotoren mit einer Belastung, die hoher ist als die Nennlast, ist nicht moglich. Nachdem ein Motor betriebswarmen Zustand erreicht hat, ist lediglich eine Dberlastu!lg in Rohe von 150 Ofo des Nennstromes fUr zwei Minuten einmalig moglich, ohne daB "Beschadigung oder bleibende Formanderung"27) eintreten.
kW 10 Pole 500 r--------r----~--.--r-.-._.-"
400 ~--~~~r_--~---r--r-~~~~
1 00r-----~-H~~+_-r~~~~c+~
80 r-----~_+~~~~~~~~~~
60 r---~~~~~~~~~~~~~
~ r-----~_+~~ff_--~~~~~~
40 ~--------r_~~~~~-r+1~~~~
10 L-______ ~ ____ -L __ _L __ L-~~~L4
10 20 30 40 50 70 90 '/, Einschaltdauer (ED)
Abbildun g 12
Mogliche Leistungsintensitat von Drehst1'ommotoren mit Oberfliichenkilhlung bei verschiedener Einschaltdauer (die Zahlen an den horizontal verlaufenden
Kurven bezeichnen verschiedene Motoren vom Typ hOR)
26) Vgl. hierzu VDE, Regeln fUr elektrische Maschinen, a. a. 0., §§ 32-37, 17 und 25. 27) Vgl. VDE, Regeln fUr elektrische Maschinen, a. a. 0 ., § 40, a.
Ermittlung von Verbrauchsfunktionen anhand von Beispielen 579
GroBere Moglichkeiten der 'Oberlastung bestehen jedoch dann, wenn ein Motor nicht im Dauerbetrieb, sondern im Kurzzeitbetrieb, Durchlaufbetrieb mit Kurzzeitbelastung, Aussetzbetrieb, Durchlaufbetrieb mit Aussetzbelastung oder im Schaltbetrieb28) arbeitet. Dies beruht darauf, daB jeder Motor eine gewisse Zeit braucht, bis er die Grenz-'Obertemperatur erreicht (groBe Motoren sogar viele Stunden) und bei den vorgenannten Betriebsarten zusatzlich Abkiihlungsmoglichkeiten bestehen wahrend der Zeit, in der der Motor nicht arbeitet oder leer lauft. Abbildung 12 zeigt z. B. die Moglichkeiten der 'Oberlastung bestimmter Motortypen der Firma Siemens fur verschiedene Einschaltdauer (angegeben in Prozent der Summe aus Einschaltdauer plus Ruhezeit) und fur verschiedene Belastungszeiten (an die vertikalen Kurven angeschrieben)2B). Hier bestehen verhaltnismaBig groBe Moglichkeiten der 'Oberlastung.
In der Praxis neigt man jedoch wegen der Gefahren, die mit 'Oberlastungen verbunden sind, dazu, einen Motor eher zu groB als zu klein zu wahlen.
18) vgl. VDE, Regeln fUr elektrische Maschinen, a. a. 0., § 18. Die einzelnen Betriebsarten werden dort _ wie folgt definiert: D a u e r bet r i e b (DB): Die Betriebsdauer bei Nennleistung ist so lang, daB die Beharrungstemperatur praktisch erreicht wird. Kurzzei tb etrieb (KB): Die vereinbarte Betriebsdauer bei Nennleistung ist so kurz, daB die Beharrungstemperatur nicht erreicht wird. Die Pause, in der die Maschine nicht unter Spannung steht, ist so lang, daB die Maschine sich praktisch auf die Temperatur des Kiihlmitte1s abkiihlt. D u r chI auf bet r i e b mit Kurzzeitbelastung (DKB): Die vereinbarte Be1astungsdauer mit NennIeistung ist so kurz, daB die Beharrungstemperatur nicht erreicht wird. Die Pause, in der die Maschine leerliiuft, ist so lang, daB die Maschine sich praktisch auf die Endtemperatur bei Leerlauf abkiihIt. A us setzbetrieb (AB): Einschaltzeiten mit Nennleistung wechseln mit Pausen ab, in denen die Maschine spannungslos ist. Die Pausen sind so kurz, daB die Maschine sich nicht auf die Temperatur des Kiihlmittels abkiihlt. D u r chI auf bet r i e b mit Aussetzbelastung (DAB): Belastungszeiten mit Nennleistung wechseln mit LeerIaufpausen ab, die so kuu sind, daB sich die Maschine nicht auf ihre Endtemperatur bei LeerIauf abkiihlt. S chal tbetrieb: Sonderfall des Durchlaufbetriebes mit Aussetzbelastung (DAB) oder des Aussetzbetriebes (AB), bei dem die Erwarmung der Maschine hauptsachlich durch Anlauf, Bremsung oder Umschaltung bestimmt ist. 1. Durchlaufschaltbetrieb (DSB):
Der mit NennIeistung belastete Motor wird in regelmaBiger oder unregelmaBiger Folge geschaltet. Spannungslose Pausen treten praktisch nicht auf.
2. A u sse t z s c h a I t bet r i e b (ASB) : Belastungszeiten mit NennIeistung und in regelmaBiger oder unregelmiiBiger Folge ausgefiihrte Schaltung wechseln mit Pausen ab, in denen die Maschine nicht unter Spannung steht und die so kurz sind, daB sich die Maschine nicht auf die Temperatur des Kiihlmittels abkiihlt.
29) Abb. 12 ist entnommen aus W. Lehmann, a. a. 0., S. 216.
37·
580 Anhang II
Meistens sind die Motoren zudem gegen 'Oberlastungen durch einen Schutzschalter gesichert. Dies hat zur Folge, daB ein Motor bei 'Oberlastung abgeschaltet wird30) und eine Unterbrechung des BetriebsabIaufes hervorruft. Wegen der sehr hiiufigen Verwendung von Elektromotoren ais Antriebsaggregate hat dies natiirlich fUr die Elastizitiit der meisten maschinellen Produktiveinheiten groBe Bedeutung.
Aus der folgenden Abbildung 13 kann entnommen werden, wie Schutzschalter arbeiten31). Der Schutzschalter (auch kurz Schiitz genannt) wird auf einen bestimmten Nennstrom eingestellt. Die beiden eingezeichneten Kuryen geben an, nach wieviel Sekunden bzw. Minuten der Schutzschalter den Motor abschaltet, wenn der Nennstrom iiberschritten wird. Solange der neun-
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Abbildung 13
Kennlinien eines Stotz-Motorschutzschalters
30) Von einem Betrieb, der Holzbearbeitungsmaschinen herstellt, wurde dem Verf. angegeben, daB die Motoren durchschnittlich 30 % starker gewahlt werden, als dies bei exakter Einhaltung der Bedienungsvorschriften notig ware. Die Qualitat und Giite einer Maschine wird oft yom Kunden danach beurteilt, ob der Motor auch bei starker Belastung noch "durchzieht". Ein Betrieb, der technisch exakt ermittelt hatte, welcher Motor bei Einhaltung der mitgelieferten Bedienungsvorschriften einen minimalen Stromverbrauch hat, des sen Maschinen also technisch eine ausgereifte Konstruktion darstellten, muBte feststellen, daB seine Maschinen wenig gekauft wurden, weil man sich nicht an die Bedienungsvorschriften hielt, den Motor standig iiberlastete und dadurch die SicherheitsschaItung ausloste, welche den Motor abschaltete. 31) Abb. 13 gibt die Strom-Zeit-Kennlinien der Stotz-Automaten fUr Kraftanlagen und Stotz-Motorschutzschalter wieder. Sie ist entnommen aus: Handbuch fUr Planung, Konstruktion und Montage von Schaltanlagen, 2. Auf I., bearbeitet von Obering. Albert Hoppner, BBC Brown, Boverie & Cie. AG., Mannheim 1951, S. 157.
Ermittlung von Verbrauchsfunktionen anhand von Beispielen 581
fache Nennstrom nicht iiberschritten wird, erfolgt bei dem Schutzschalter, dessen Kennlinien in Abbildung 13 wiedergegeben sind, die AuslOsung auf thermischem Wege, d. h. entsprechend der Motortemperatur. Insofern besteht zwischen den Abbildungen 12 und 13 ein Zusammenhang; denn die Temperatur, die ein Motor nach einer bestimmten Zeit erreicht, ist natiirlich vom Anteil der Einschaltzeiten an der betrachteten Gesamtzeit abhiingig. Infolgedessen sind die Auslosezeiten fUr einen Motor, der in kaltem Zustand in Betrieb genommen und iiberlastet wird, liinger als bei einem Motor, der im betriebswarmen Zustand iiberlastet wird.
Unterbelastungen schaden Elektromotoren in der Regel nicht (Ausnahme: ReihenschluBmotoren, die dann "durchgehen", weil bei ihnen die Drehzahl von der Belastung abhiingt). Sie haben zwar bei Unterlast einen niedrigeren Wirkungsgrad, konnen aber auch im Dauerbetrieb mit Unterlast gefahren werden.
KostenmiiBige Konsequenzen ergeben sich jedoch evtl. durch das Absinken des Leistungsfaktors bei Unterlast (vgl. Abbildung 9). Hierzu ist folgendes zu sagen:
Solange der Leistungsfaktor den Wert 0,8 nicht unterschreitet, hat er keine kostenmiiBigen Konsequenzen, weil in den Tarifen der Elektrizitiitswerke meist ein Leistungsfaktor bis zu 0,8 zugelassen und einkalkuliert ist. Sobald jedoch der Leistungsfaktor eines Betriebes unter 0,8 absinkt, werden besondere Zuschliige erhoben. Deshalb sind die Hersteller von Elektromotoren bemiiht, den Leistungsfaktor entweder durch die Auslegung des Motors iiber 0,8 zu halten oder ihn in einer Weise zu kompensieren, daB der Wert 0,8 erreicht oder meist sogar iiberschritten wird. Dies kann durch den Einbau von Kondensatoren geschehen (fUr welche ja, wie angefUhrt, die Spannung dem Strom nacheilt, wodurch das Voreilen der Spannung gegeniiber dem Strom im Motor ausgeglichen werden kann). Weiter kommen dafUr Synchronmotoren in Frage, die einen Leistungsfaktor von 1 haben konnen und sich als sogenannte "Phasenschieber" betiitigen, indem sie die Blindleistung anderer Motoren liefern. Ein Motor, dessen Leistungsfaktor wegen Unterlast niedriger als 0,8 ist, verursacht also unter Umstiinden zusiitzliche Kosten, weil entweder vom Elektrizitiitswerk Zuschliige erhoben werden oder Kosten fUr "phasenschiebende" Motoren bzw. Kondensatoren entstehen32).
32) Die entsprechende Bestimmung in Abschnitt VII. 3. der "Allgemeinen Bedingungen" der Elektrizitiitswerke lautet: "Die allgemeinen Tarifpreise haben zur Voraussetzung, daB der Gebrauch der elektrischen Arbeit im Jahresmittel mit einem nicht ungilnstigeren Leistungsfaktor als cos qJ = 0,8 und flir Beleuchtungszwecke praktisch induktionsfrei erfolgt; andernfalls kann das EW (Elektrizitiitswerk, Anm. d. V.) nach seiner Wahl den Einbau zusiitzlicher Einrichtungen flir den Ausgleich der Blindarbeit verlangen oder den Verbrauch an Blindarbeit in Rech.nung stellen." Es ist also zu beachten, daB der Leistungsfaktor nicht flir einen einzelnen Motor, sondern stets flir einen Betrieb als Ganzes ermittelt wird. Deshalb ist es oft moglich, daB ein niedriger Leistungsfaktor eines Motors durch andere Strom-
582 Anhang II
Die Bestimmung der spezifischen Stromkosten in der Weise, daB der reziproke Wert des Wirkungsgrades (vgl. Abbildung 7) mit dem Strompreis ns multipliziert wird, ist auf Grund der aufgezeigten Zusammenhange nur insoweit m6glich, als der Leistungsfaktor des Betriebes nicht unter 0,8 absinkt und die dem Motor abverlangte Leistungsintensitat nicht auBerhalb der durch den Schutzschalter bestimmten Belastungsgrenze liegt. Innerhalb dieser Grenzen k6nnen jedoch die spezifischen Stromkosten unmittelbar auf die genannte Weise bestimmt werden. Das Minimum der Kurve der spezifischen Stromkosten liegt dabei in der Regel bei der Nennleistungsintensitat des Motors, da bei der Konstruktion von Elektromotoren darauf geachtet wird, daB der Wirkungsgrad sein Maximum bei der Belastung erreicht, welche der Nennleistungsintensitat entspricht33).
e) Die gesamten Stromkosten pro Zeiteinheit
Die gesamten Stromkosten pro Zeiteinheit k6nnen aus dem gesamten Stromverbrauch pro Zeiteinheit bestimmt werden, und zwar in der gleichen Weise, wie sich die spezifischen Stromkosten aus dem spezifischen Stromverbrauch errechnen. Es genugt also, in Abbildung 8 einen zweiten MaBstab anzubringen, der das ns-fache des MaBstabes ist, der fUr den Stromverbrauch pro Zeiteinheit gilt und der die Dimension D-Mark pro Zeiteinheit hat. Diese Dimension ergibt sich wie folgt:
(II-31) Kst = N1 [kW] . ns [DM/kWh] = N1 . ns [DM/h]
Die gesamten Stromkosten pro Zeiteinheit (Kst) k6nnen naturlich auch durch Multiplikation von kst mit N2 errechnet werden. Dann erhalt man:
(II-32) Kst = N2 [kW] . kst [DM/kWh] = N2 . kst [DM/h]
Fur die auf diese Weise ermittelten gesamten Stromkosten pro Zeiteinheit gelten dieselben Vorbehalte, die bezuglich der spezifischen Stromkosten
verbraucher (v. a. Beleuchtungskorper, deren Leistungsfaktor bekanntlich gleich 1 ist) ausgeglichen wird. KostenmaBig ist fUr einen Betrieb als Ganzes der Tatsache, daB ein niedriger Leistungsfaktor Blindstromverbrauch bedeutet, also streng genommen erst Rechnung zu tragen, wenn der Leistungsfaktor des ganzen Betriebes unter 0,8 absinkt. 33) Auf diesen Sachverhalt wird sowohl in technischen Lehrbuchern als auch in den Bedienungsanweisungen der Hersteller hingewiesen: "Die Verteilung der Verluste liegt in der Hand des Konstrukteurs ... Das Maximum des Wirkungsgrades (welches minimalem, spezifischem Stromverbrauch entspricht, Anm. d. V.) solI moglichst bei der zeitlichen Durchschnittsleistung im wirklichen Betrieb liegen." Dubbel's Taschenbuch fUr den Maschinenbau, II. Band, zweiter berichtigter Neudruck der elf ten vollig neu bearbeiteten Auflage, Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1956, S. 806. - ,,1m allgemeinen ist die Erwarmungsbedingung die bestimmende, wei! meistens bei der Nennleistung, durch die der Motor gekennzeichnet ist, die Temperaturgrenze bereits erreicht ist, ... " W. Lehmann, a. a. 0., S. 202. -"Die Nennleistung des Motors solI moglichst gleich der Antriebsleistung der Arbeitsmaschine sein." Siemens-Schuckert-Werke, Drehstrommotoren ... , a. a. 0., S. 10. "Es ist aus wirtschaftlichen Grunden anzustreben, daB die Motoren moglichst etwa mit der Nennleistung belastet werden." AEG, Drehstrom-Motoren, a. a. 0., S. 89.
Ermittlung von Verbrauchsjunktionen anhand von Beispielen 583
gemacht wurden. Sollen die Motoren Hingere Zeit mit Unterlast laufen, sind evtl. zusatzliche Blindstromverluste zu berucksichtigen. AuBerdem sind die Leistungsgrenzen zu beachten, welche durch die Temperaturempfindlichkeit bzw. durch die verwandten Schutzschalter gesetzt sind.
f) Die gesamteJ. StromkosteH
Die gesamten Stromkosten (Ks) ergeben sich unmittelbar durch Integration der gesamten Stromkosten pro Zeiteinheit nach der Zeit. Fur den Fall, daB die Stromkosten pro Zeiteinheit wahrend der Leistungszeit konstant sind, kann die Ermittlung der gesamten Stromkosten einfach in der Weise geschehen, daB die Kosten pro Zeiteinheit mit der Leistungszeit multipliziert werden.
Sollen z. B. die Stromkosten fiir einen Auf trag ermittelt werden, fur den ein Elektromotor t Stunden mit konstanter Leistungsintensitat in Anspruch genommen wird, und sind die Stromkosten pro Stunde bei der gegebenen Leistungsintensitat gleich Kat, so ergeben sich die gesamten Stromkosten des Auftrags zu:
(II-33) Ks = Kst [OM/h] . t [h] = Kat' t [OM]
Variieren die Stromkosten pro Zeiteinheit, so kann entweder eine Durchschnittsrechnung verwandt oder eine Integration der gesamten Stromkosten pro Zeiteinheit nach der Leistungszeit vorgenommen werden. Dann gilt
(II-34) t
Ks = f Kst (t) dt, o
wenn Kst (t) die Hohe der Stromkosten pro Zeiteinheit wahrend der Leistungszeit angibt und wenn die Leistungszeit von 0 bis t reicht.
Mit Hilfe der Funktionen II-33 bzw. II-34 konnen die Stromkosten von Elektromotoren bestimmt werden.
2. Beispiel: Der Kraftstoffverbrauch von Kraftfahrzeugmotoren
Der Kraftfahrzeugmotor soIl deshalb als Beispiel verwandt werden, weil er von den Lieferanten motorischer Krafte wohl der bekannteste ist und weil er ein typisches Beispiel dafiir abgibt, daB die Elastizitat von Produktiveinheiten sowohl nach unten als auch nach oben in bezug auf die Leistungsintensitat scharf begrenzt ist. Die Grenze nach unten wird dadurch gesetzt, daB die Drehzahl mindestens so groB sein muB, daB sie "zur Bildung und zum Ansaugen des Kraftstoff-Luft-Gemisches34)" ausreicht. Eine Grenze
34) R. Bosch GmbH., Kraftfahrtechnisches Taschenbuch, 15. Aufl., DUsseldorf 1961, S. 248.
584 Anhang II
nach oben existiert unter anderem deshalb, weil die durch das Hin- und Hergehen des Kolbens erzeugten Krafte nicht groBer werden diirfen als es die verwandten Materialien gestatten35).
a) Der Kraftstoffverbrauch in Abhiingigkeit von der Leistungsintensitiit
Der Kraftstoffverbrauch von Verbrennungsmotoren, wie sie in Form des Zweitakt-, des Otto- und des Dieselmotors in Kraftfahrzeugen Verwendung finden, ist bei gegebenem Motor vor allem von der Drehzahl und vom mittleren Arbeitsdruck abhangig.
Die Abhangigkeit der Leistung, des Drehmomentes und des spezifischen Verbrauches (in Gramm pro PS-Stunde) von der Drehzahl ist in Abbildung 14 dargestellt36) •
kgm
fTl ~ 10 .c II
Ci 8 01 c: i! 1/1 'ii ..J
PS. 70
Ore mom nt
L - -..... r--...... -""" /'r'
~
60
50
40 L Istun V 30
'-/ "-
20
10
o 1000
/ V
~ z.Vert raud1
2000 3000
n )
Abbildung 14
-.........
'" .,. /
g/PS.h 300
250
200 loooo Ulmin
Leistung, Drehmoment und spezifischer Kraftstoffverbrauch eines Otto-Motors in Abhiingigkeit von der Drehzahl
Abbildung 14 gilt fUr volle Belastung des Motors (volle Offnung des Ansaugquerschnittes). Der sich gemaB Abbildung 14 ergebende Benzinverbrauch pro Zeiteinheit (in Gramm pro Stunde) als Funktion der Leistungsintensitat (in ~S) ist in Abbildung 15 dargestellt.
35) Gerade die begrenzte Drehzahl der Kraftfahrzeugmotoren gab den Anla13 zur Konstruktion von Kreiskolbenmotoren (sogenannter Wankelmotor), bei welchen nur noch rotierende Teile auftreten und deshalb hahere Drehzahlen erreicht werden kannen als bei den iiblichen Kraftfahrzeugmotoren mit hin- und hergehenden Kolben. 36) Abb. 14 ist entnommen aus Dubbel's Taschenbuch fUr den Maschinenbau, Band II, a. a. 0., S. 163.
Ermittlung von Verbrauchsfunktionen anhand von Beispielen 585
Kraflsloffg/h verbrauch
pro Siunde
15000
14000
13000
12000
11000
10000
9000
8000
7000
6000
I B 20 I
1250
25 I
1500
4500
PS
30 35 40 40 I I I I I I I I II
1750 2000 2180 2350 2500 lJOO 3500 2750 4500 4000
llmin
Abbildung 15
Kraftstoftverbrauch eines Otto-Motors pro Zeiteinheit (in Gramm pro Stunde) in Abhiingigkeit von der Leistungsintensitiit
Die Entwicklung der Abbildung 15 aus Abbildung 14 geschieht in der Weise, daB festgestellt wird, welcher Benzinverbrauch pro PS-Stunde und welche Leistungsintensitat (in PS) gleichen Umdrehungszahlen entsprechen. Dann werden der Benzinverbrauch pro PS-Stunde und die Leistungsintensitat in PS, die zu derselben Umdrehungszahl gehoren, miteinander multipliziert. Stellt man die so erhaltenen Werte in Abhangigkeit von der Leistungsintensitat dar, erhalt man den Benzinverbrauch als Funktion der Leistungsintensitat, wie er durch die in Abbildung 15 wiedergegebene Kurve beschrieben wird. Zum Vergleich sind in Abbildung 15 auch die jeweiligen Umdrehungszahlen angegeben.
Aus Abbildung 15 geht hervor, daB bei steigender Umdrehungszahl der Benzinverbrauch standig zunimmt, daB aber die Leistungdntensitat ab einem bestimmten Wert bei steigender Umdrehungszahl nicht mehr steigt, sondern sogar zuriickgeht. Dies kommt vor aHem daher, daB die Widerstande in den Ansaugquerschnitten, welche beim Ansaugen des KraftstoffLuft-Gemisches iiberwunden werden miissen, bei steigender Drehzahl stark zunehmen, und zwar mit dem Quadrat der Ansauggeschwindigkeit, die ihrerseits mit der Drehzahl zunimmt. Es ergibt sich infolgedessen in Ab-
586 Anhang II
bildung 15 ein Kurvenverlauf, welcher dem ertragsgesetzlichen formal entspricht37).
Die Hohe des spezifischen Kraftstoffverbrauches ist vor aHem von der Art des Motors und von der dem Motor bei gegebener Drehzahl abverlangten Leistungsintensitat abhangig. Urn dies zu zeigen, wird in der folgenden Abbildung 16 als Erganzung zu Abbildung 14 (welche den spezifischen Kraftstoffverbrauch eines Otto-Motors bei VoHast wiedergibt) fUr die ublichen Arten von Verbrennungsmotoren gezeigt, welcher spezifische Kraftstoffverbrauch sich bei verschiedenen Lastgraden ergibt38).
kp/cm1 Vergaser-Otlomotor Einspritz -Oltomato r
Diesel motor (direkte Einspritzung)
ill 1111111 g/PSh
600
.c v
500
:1400 ~ .0
~ 300 >
~ 200
~ ~ 100
'.
\
. '.
"
'. ....
-~ . '.~ " ,
~-
I -Vollast I- f- -- --311. Last - f- -··········V2 Last - ' - ' -114 Leist - f- -' ..
.. ' .:- "
" 1'0==::' --
o 1000 2000 3000 1000 2000 3000 2000 lXX) 2000 IlX1J 1000 2000 1000 2000 U1min
Abbildung 16
Mittlerer Arbeitsdruck und spezifischer Kraftstoffverbrauch von Fahrzeugmotoren
Aus Abbildung 16 geht klar hervor, daB der spezifische Kraftstoffverbrauch fUr Teillasten meist erheblich hoher ist als fUr VoHast (Ausnahmen ergeben sich lediglich fur den Zweitakt-Vergaser- und den Viertakt-Einspritz-OttoMotor). Diesen Sachverhalt gilt es spater bei der ErmittIung des Kraft-
37) Materiell liegt dagegen keine Dbereinstimmung vor, da die Leistungssteigerung nicht nur der vermehrten KraftstoffzufUhrung zuzurechnen ist. 38) Abb. 16 ist entnommen aus R. Bosch GmbH, Kraftfahrtechnisches Taschenbuch, a. a. 0., S. 249.
Ermittlung von Verbrauchsjunktionen anhand von Beispielen 587
stoffverbrauches fur den ein Kraftfahrzeug bewegenden Motor zu beriicksichtigen. 1m Verkehr kann ein Fahrzeug namlich nicht immer mit Vollast gefahren werden; oft kommt es vielmehr darauf an, eine bestimmte Geschwindigkeit zu halten (z. B. dann, wenn Hachstgeschwindigkeiten vorgeschrieben sind oder die StraBenverhaltnisse ein schnelleres Fahren nicht zulassen). Der Kraftstoffverbrauch wird also durch die Drehzahl nicht eindeutig definiert; zusatzlich muB vielmehr der Lastgrad bekannt sein, der durch den im Zylinder herrschenden mittleren Arbeitsdruck (gemessen in Kilopondlcm2, vgl. den oberen Teil der Abbildung 16) bestimmt ist. Dabei gelten folgende Zusammenhange: Betragen der mittlere Arbeitsdruck d [kp/cm2], die Kolbenoberflache a [cm2] und der Kolbenhub b [cm] bzw. 0,01 b [Meter], dann gilt fur das Drehmoment M
(11-34)
M [mkp] = d [kp/cm2] • 0,01 b [m] . a [cm!!]
M = 0,01 a· b . d [mkp]
Multipliziert man das Drehmoment mit der Winkelgeschwindigkeit w, 1
welche die Dimension -- hat und durch die Drehzahl n mit der Dimension sec. U/min bestimmt wird, dann gilt fur die Leistungsintensitat N31):
:n: M·n (11-35) N = M . w = 30 . M . n [mkp/sec] = 716,2 [PS]
0,01 a . b . d . n N = 716,2 [PS]
Durch die Formel 11-35 wird zwischen der Leistungsintensitat und dem Kraftstoffverbrauch eines gegebenen Motors eine eindeutige Beziehung hergestellt; denn die in Formel 11-35 enthaltenen GraBen definieren sowohl die Leistungsintensitat als auch den Kraftstoffverbrauch. Mit anderen Worten: Der Kraftstoffverbrauch pro Zeiteinheit fur einen gegebenen Motor wird durch die Konstanten a und b (welche zu den Faktorqualitaten zahlen und in den Verbrauchsfunktionen alternativer Motoren als parametrische Konstanten auftreten), durch den mittleren Arbeitsdruck d und durch die Drehzahl n eindeutig definiert.
Durch Multiplikation des Kraftstoffverbrauchs pro Zeiteinheit mit der Leistungszeit erhalt man unter der Voraussetzung, daB der Kraftstoffverbrauch pro Zeiteinheit wahrend der Leistungszeit konstant ist, den gesamten Kraftstoffverbrauch; wenn die genannte Konstanzbedingung nicht erfullt ist, muB an die Stelle der Multiplikation die Integration des Kraftstoffverbrauches nach der Leistungszeit treten (vgl. die entsprecbenden Ausfuhrungen fUr den Stromverbrauch des Elektromotors).
a9) Vgl. hierzu z. B. Dubbels Taschenbuch fUr den Maschinenbau, Band I, a. a. 0., S.245.
588 Anhang II
Aus dem gesamten Kraftstoffverbrauch errechnen sich die gesamten Kraftstoffkosten in der bekannten Weise, d. h. durch Multiplikation des Kraftstoffverbrauches mit dem Preis einer Einheit Kraftstoff.
b) Der Kraftstoffverbrauch in Abhiingigkeit von der Fahrgeschwindigkeit
Der Kraftstoffverbrauch des ein Fahrzeug bewegenden Motors ist eine Funktion der Leistungsintensitat, welche der Kraftfahrzeugmotor zu erbringen hat, urn unter Uberwindung der einer Orts- bzw. Lageveranderung entgegenstehenden Widerstande das Fahrzeug mit einer bestimmten Geschwindigkeit bei einer bestimmten Beschaffenheit der Fahrbahn zu bewegen. Diese Widerstande - die sogenannten Fahrwiderstande - setzen sich wie folgt zusammen:
1. Rollwiderstande fUr die Formanderung von Reifen und Fahrbahn. Sie sind abhangig von "Beschaffenheit der Fahrbahn, Radlast, Bauart und Durchmesser der Bereifung und nehmen bei kleinem Reifenluftdruck und hoherer Fahrgeschwindigkeit stark zu40)".
2. Luftwiderstande. Sie sind vor aHem abhangig von der Fahrgeschwindigkeit, der Windgeschwindigkeit und der Fahrzeugform.
3. Steigungswiderstande. Sie sind positiv, wenn die Fahrbahn ansteigt und negativ, wenn sie abfallt. Die Starke der Steigung und das Fahrzeuggewicht sind fUr sie bestimmend.
4. Beschleunigungswiderstande. Sie umfassen den notwendigen Kraftaufwand zur Beschleunigung des Fahrzeuges gegenuber der Fahrbahn und zur Beschleunigung der umlaufenden Fahrzeug- bzw. Motorteile.
Fur samtliche Widerstande gibt es mathematische Formeln bzw. TabeHen, nach denen die zu ihrer Uberwindung erforderlichen Krafte ermittelt werden konnen41). Den Zusammenhang zwischen der Motorleistung, den einzelnen Fahrwiderstanden und der UberschuBleistung, die zur Beschleunigung des Fahrzeuges zur Verfugung steht, gibt die Abbildung 17 wLeder42).
Abbildung 18 zeigt zusatzlich, welche Geschwindigkeiten ein Fahrzeug in den einzelnen Gangen bei bestimmtem Anstieg der Fahrbahn erreichen kann43).
40) Dubbels Taschenbuch fUr den Maschinenbau, Band II, a. a. 0., S. 731. 41) Dubbels Taschenbuch fUr den Maschinenbau, Band II, a. a. 0., S. 737, vgl. auch R. Bosch GmbH, Kraftfahrtechnisches Taschenbuch, a. a. 0., S. 205 ff. 42) Die Abb. 17 wurde entnommen aus: Dubbels Taschenbuch fUr den Maschinenbau, Band II, a. a. 0., S. 731. 43) Zu Abb. 18 vgl. R. Bosch GmbH, Kraftfahrtechnisches Taschenbuch, a. a. 0., S. 205/206.
PS
o
Ermittlung von Verbrauchsfunktionen anhand von Beispielen 589
chslgeschwindi keil
25 50 75 100 125 km/h Fahrgeschwindigkeil
Abbildung 17 Fahrleistungsschaubild eines Kraftfahrzeugmotors
kg 500r---~-----.----.-----r----'-----'
Fahrgeschwindigkeit km/h
Abbildung 18 Antriebskriifte und Fahrwiderstiinde eines Kraftfahrzeuges fur verschiedene Steigungen und Geschwindigkeiten (dabei sind WR der Rollwiderstand, WL
der Luftwiderstand und Ws der Steigungswiderstand)
590 Anhang II
Aus den Abbildungen geht hervor, daB neben der zu iiberwindenden Steigung der Luftwiderstand eine erhebliche Rolle spielt, und zwar deshalb, weil er mit der Geschwindigkeit quadratisch ansteigt. Infolgedessen wird die Hochstgeschwindigkeit, die ein Kraftfahrzeug erreichen kann, vor all em durch den zu iiberwindenden Luftwiderstand begrenzt (vgl. Abbildung 17, aus der dieser Sachverhalt klar hervorgeht). Da ein Fahrzeug im normalen StraBenverkehr nicht standig mit der Hochstgeschwindigkeit bzw. mit Volllast gefahren werden kann, weil die Verkehrsverhaltnisse dies nicht zulassen, ist fUr den ein Kraftfahrzeug bewegenden Motor die Beriicksichtigung des Kraftstoffverbrauches, der sich bei Teillasten ergibt, von besonderer Bedeutung. Dies geht klar aus der folgenden Abbildung 19 hervor44).
~ 30 (S al _"T""'-r--,---,r-T"'"""'T"""""T'--r-r-"T""""T""""'T-r--'T""""" o o 5
lit ! l I: I ! I ~ ~ I I
10 30 100 -v in .... /h
Abbildung 19 Kraftstoffverbrauchsfelder eines Kraftfahrzeuges
") Die Abb.19 wurde von der Volkswagen-Werk AG zur Verfiigung gestellt.
Ermittlung von Verbrauchsfunktionen an hand von Beispielen 591
Die darin eingezeichneten Verbrauchsfelder sind in der Weise zu verstehen, daB ihre untere Begrenzungslinie den Kraftstoffverbrauch unter der Voraussetzung angibt, daB das Fahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit fahrt, wahrend die obere Begrenzungslinie bei Vollast gilt. Entsprechend dem Lastgrad sind samtliche zwischen der oberen und der unteren Begrenzungslinie liegenden Verbrauchswerte moglich(5) .
GemaB den durch Abbildung 19 dargesteIIten Zusammenhangen kann der Kraftstoffverbrauch pro Zeiteinheit bestimmt werden. Abbildung 20 gibt den Kraftstoffverbrauch (in Liter pro Stunde) fur den Volkswagen in Abhangigkeit von der Fahrgeschwindigkeit unter der Voraussetzung wieder, daB auf ebener Bahn mit konstanter Geschwindigkeit gefahren wird.
Kraftstoff- Kilt Uh v.rbrauch DM/h
pro Siunde
13
12
" 10
9
8 ., 6
5
4
3
2
", ktn/h -"
40 50 60 70 80 90 0 110 120 1.3.0.
Abbildung 20
Der Kraftstoffverbrauch eines Kraftfahrzeuges in Abhiingigkeit von der Fahrgeschwindigkeit
45) Der Vorsicht halber sei darauf verwiesen, daB die Geschwindigkeiten optimalen Kraftstoffverbrauchs, die wie aus Abb. 19 ersichtlich, relativ niedrig liegen, nicht die kostengiinstigsten Geschwindigkeiten sind, da neben den Kraftstoffkosten noch andere Kostenarten zu beriicksichtigen sind und da bei sehr niedrigen Geschwindigkeiten insbesondere der VerschleiB relativ hoch ist.
592 Anhang II
Die untere Kurve gilt fur zwei Personen und 75 kg Gepiick, die obere fur das hOchstzuliissige Gesamtgewicht. Abbildung 20 kann aus Abbildung 19 in der Weise ermittelt werden, daB die fUr das Fahren im 4. Gang geltenden Werte der unteren Begrenzungslinie des Verbrauchsfeldes mit der GroBe Geschwindigkeit
100 multipliziert werden; dann erhiilt man
[ Liter ] . Geschwindigkeit [km] = [ Liter] Vs 100 km 100 Std Vs Std .
Ein Vergleich der Abbildung 20 mit der Abbildung 15 zeigt, daB die Kraftstoffverbrauchskurve in Abhiingigkeit von der Fahrgeschwindigkeit anders verliiuft als in Abhiingigkeit von der Leistungsintensitiit. Dies ist darin begrundet, daB zwischen der Leistungsintensitiit und der Fahrgeschwindigkeit kein proportionaler, sondern ein quadratischer Zusammenhang besteht.
Aus dem durch Abbildung 20 beschriebenen Zusammenhang kann der gesamte Kraftstoffverbrauch durch Multiplikation des Kraftstoffverbrauches pro Zeiteinheit mit der Leistungszeit bzw. durch Integration nach der Leistungszeit ermittelt werden. Die Kraftstoffkosten ergeben sich durch Multiplikation des gesamten Kraftstoffverbrauches mit dem Preis einer Einheit Kraftstoff.
3. Beispiel: Der Kohleverbrauch eioes Dampfkessels
Ais drittes Beispiel solI eine Dampfkesselanlage betrachtet werden. Ais Unterlagen standen Untersuchungsergebnisse fur eine Dampfkesselanlage, bestehend aus zwei gleichen Kesseln mit je einer Regellast von 32 Tonnen pro Stunde und einer hochsten Dauerlast von 40 Tonnen pro Stunde zur Verfugung.
a) Die BestimmuHg des WirkuHgsgrades
Die Bestimmung des Wirkungsgrades erfolgte in beiden Fiillen sowohl auf direktem als auch auf indirektem Wege. Von einer direkten Bestimmung des Wirkungsgrades spricht man dann, wenn die Wiirmemenge, die in dem abgegebenen Dampf enthalten ist, verglichen wird mit der Wiirmemenge der eingesetzten Kohle. Die indirekte Bestimmung erfolgt in der Weise, daB die nicht in genutzte Wiirme uberfuhrten Wiirmeeinheiten bestimmt werden. Sie entfallen auf die Wiirmemengen, die in den Abgasen, in der Rostkuhlung, in der Schlacke und durch Leitung und Strahlung verlorengehen.
Die Werte des Wirkungsgrades wurden fUr einen Dampfdurchsatz zwischen 24 und 40 Tonnen pro Stunde experimentell ermittelt. Fur niedrigere und h6here Werte wurde auf Grund von Erfahrungen bei friiheren Versuchen eine Extrapolation durchgefuhrt. Insgesamt standen vier Versuchsergebnisse zur Verfugung. Die einzelnen Verlustarten sind in Abbildung 21 als
Ermittlung von Verbrauchsfunktionen anhand von Beispielen 593
Funktion des Dampfdurchsatzes dargestellt und werden gemessen in Prozent der insgesamt in der eingesetzten Kohlenmenge enthaltenen Warmemenge. Der Wirkungsgrad kann aus Abbildung 21 in der Weise ermittelt werden, daB man die Summe der Verlustprozente von 100 Ufo subtrahiert (ein Wirkungsgrad von 100 Ufo wurde sich dann ergeben, wenn die in der Kohle enthaltene Warmemenge verlustlos in die im erzeugten Dampf enthaltene Warmemenge umgewandelt werden konnte).
40
30
20
10
Verluste in·l. der eingesetzten Warmemenge
Gesamtverluste
Abgasverlus
Strahlung
5 10 15 20 25
Abbildung 21
30 35 40 45 Dampf (t/Std)
Die einzelnen Verlustarten eines Dampfkessels in Abhiingigkeit von der Leistungsintensitiit, welche durch den Dampfdurchsatz
pro Stunde gemessen wird
Das arithmetische Mittel der Werte, welche sich in den vier durchgefUhrten Versuchen fur den Wirkungsgrad ergaben, ist in Abbildung 22 in der Kurve I dargestellt.
b) Die Bestimmung des Kohleverbrauches
Mit Hilfe des Wirkungsgrades kann der Kohleverbrauch pro Zeiteinheit in Abhangigkeit vom Dampfdurchsatz ermittelt werden. Man bestimmt dazu zuerst die Warmemenge, die in einer Tonne Dampf enthalten ist. In den vorgenommenen Versuchen ergab sich als Mittelwert fUr 1 Tonne Dampf ein Warmegehalt von 687650 Kilokalorien [kcal]. Mit Hilfe dieses Wertes rechnet man die durchgesetzten Tonnen Dampf in Warmeeinheiten urn. Dann ermittelt man den durchschnittlichen Warmewert von 1 kg der verwandten Kohle. Hier ergab sich als Mittelwert samtlicher Messungen ein Gehalt von 7083,5 kcal pro Kilogramm Kohle. Den Kohleeinsatz fur die einzelnen
38 Pack
594
Kohle kg/t'Std
140
130
120
Vsl10
~·T 100
90
80
70
60
50
10
Anhang II
I
20 25 30 35
Abbildung 22
Kohle kg/Std
5000
3000
2500
It' 2000
1500
1000
500
40 45 Dampf t/Std
Der Wirkungsgrad (I), der gesamte Kohleverbrauch (II) und der spezifische Kohleverbrauch (III) eines Dampfkessels in
Abhiingigkeit von der Leistungsintensitiit
Dampfdurchsatze ermittelt man sodann wie folgt: Man dividiert die einem bestimmten Dampfdurchsatz entsprechenden Warmeeinheiten durch das Produkt aus Wirkungsgrad und Warmeeinheiten pro Kilogramm Kohle.
Als Beispiel sei die Berechnung der Kohlemenge dargestellt, welche fur einen Dampfdurchsatz von 40 Tonnen pro Stunde erforderlich ist. 40 t Dampf der untersuchten Art enthalten 40 . 687 650 kcal = 27 506 000 kcal. Zur Erzeugung von 27 506 000 kcal sind bei einem Wirkungsgrad von 89,4 °/g und bei einem Warmeinhalt von 7083,5 kcal pro Kilogramm Kohle
27 506 000 [kcal/Std] 0,894 . 7 083,5 [kcal/kg] = 4 342,15 [kg Kohle pro Std.]
Ermitttung von Verbrauchsjunktionen anhand von Beispieten 595
erforderlich. Auf diese Weise kann fur jede Dampfmenge unter Berucksichtigung des Wirkungsgrades die pro Zeiteinheit erforderliche KohleMenge errechnet werden. Sie wird in Abbildung 21 als Funktion des Dampfdurchsatzes durch Kurve II beschrieben. Der spezifische Kohleverbrauch mit der Dimension "Kohleverbrauch pro Tonne Dampf" ergibt sich, wenn man die der Kurve II entsprechenden Kohlenmengen durch die jeweilige Leistungsintensitat dividiert. Der spezifische Kohleverbrauch wird in Abbildung 22 durch die Kurve III wiedergegeben.
Der gesamte Kohleverbrauch ergibt sich, wenn man den Kohleverbrauch pro Zeiteinheit mit der Leistungszeit multipliziert bzw. nach der Leistungszeit integriert. Zur Ermittlung der Kohlekosten ist der Kohleverbrauch mit dem Preis einer Gewichtseinheit Kohle zu multiplizieren.
AnbangIII
T abellen der relativen Abweichungen (a) von der optimalen Bestellmenge bzw. Losgrofie, welclte zulassig sind, bevor eine bestimmte Proportionalitats-
abweicltung (l1KJ iiberscltritten wird
fUr alternative Werte von
Xo • kvp 1 + d S = Kfp + Kn und 1 + e '
2 U' kvl1 wobei d = . (K + K ) 1 fp n
kV18 -. + b'kvl1
1 und e = ----:--kvp
598 Anhang III
l+d --=-" 01 1 + e '
S f.tKo = 0,01 f.tKo = 0,02 f.tKo = 0,03 f.tKo = 0,04 +a -a +a -a +a -a +a -a
0,10 0,192 0,161 0,282 0,220 0,355 0,262 0,420 0,296 0,25 0,177 0,150 0,258 0,205 0,324 0,245 0,383 0,277 0,50 0,178 0,151 0,261 0,207 0,328 0,247 0,387 0,279 0,70 0,183 0,155 0,269 0,212 0,338 0,252 0,399 0,285 1,00 0,192 0,161 0,282 0,220 0,355 0,262 0,420 0,296
1,50 0,208 0,172 0,305 0,234 0,385 0,278 0,456 0,313 2,00 0,223 0,182 0,328 0,247 0,415 0,293 0,492 0,330 2,50 0,237 0,192 0,350 0,259 0,443 0,307 0,527 0,345 3,00 0,251 0,201 0,372 0,271 0,471 0,320 0,561 0,359 4,00 0,277 0,217 0,413 0,292 0,525 0,344 0,626 0,385
5,00 0,302 0,232 0,451 0,311 0,576 0,366 0,689 0,408 7,00 0,349 0,259 0,524 0,344 0,673 0,402 0,807 0,447
10,00 0,412 0,292 0,625 0,385 0,807 0,447 0,974 0,493 15,00 0,506 0,336 0,778 0,437 1,014 0,503 1,232 0,552 20,00 0,592 0,372 0,919 0,479 1,207 0,547 1,476 0,596
30,00 0,748 0,428 1,182 0,542 1,571 0,611 1,940 0,660 50,00 1,027 0,507 1,665 0,625 2,253 0,693 2,818 0,738 70,00 1,282 0,562 2,119 0,679 2,904 0,744 3,666 0,786
100,00 1,641 0,621 2,775 0,735 3,854 0,794 4,911 0,831 200,00 2,754 0,734 4,870 0,830 6,934 0,874 8,980 0,900
500,00 5,875 0,855 10,956 0,916 16,001 0,941 21,035 0,955 1000,00 10,936 0,916 20,995 0,955 31,029 0,969 41,056 0,976
S f.tKo = 0,05 f.tKo = 0,06 f.tKo = 0,08 f.tKo = 0,1 +a -a +a -a +a -a +a -a
O,lO 0,479 0,324 0,534 0,348 0,637 0,389 0,733 0,423 0,25 0,436 0,304 0,486 0,327 0,578 0,366 0,664 0,399 0,50 0,441 0,306 0,492 0,330 0,585 0,369 0,672 0,402 0,70 0,455 0,313 0,507 0,336 0,604 0,377 0,694 0,410 1,00 0,479 0,324 0,534 0,348 0,637 0,389 0,733 0,423
1,50 0,521 0,342 0,582 0,368 0,696 0,410 0,802 0,445 2,00 0,562 0,360 0,629 0,386 0,754 0,430 0,870 0,465 2,50 0,603 0,376 0,676 0,403 0,811 0,448 0,938 0,484 3,00 0,643 0,391 0,721 0,419 0,867 0,464 1,004 0,501 4,00 0,720 0,419 0,809 0,447 0,976 0,494 1,134 0,531
5,00 0,793 0,442 0,893 0,472 1,081 0,519 1,259 0,557 7,00 0,934 0,483 1,054 0,513 1,283 0,562 1,502 0,600
10,00 1,131 0,531 1,282 0,562 1,572 0,611 1,850 0,649 15,00 1,441 0,590 1,642 0,621 2,031 0,670 2,407 0,707 20,00 1,735 0,634 1,985 0,665 2,472 0,712 2,947 0,747
30,00 2,297 0,697 2,646 0,726 3,329 0,769 4,000 0,800 50,00 3,371 0,771 3,917 0,797 4,993 0,833 6,059 0,858 70,00 4,415 0,815 5,158 0,838 6,629 0,869 8,090 0,890
100,00 5,956 0,856 6,995 0,875 9,061 0,901 1l,118 0,917 200,00 11,017 0,917 13,049 0,929 17,105 0,945 21,155 0,955
500,00 26,063 0,963 31,089 0,969 41,136 0,976 51,181 0,981 1000,00 51,081 0,981 61,lO4 0,984 81,148 0,988 101,190 0,990
Tabellen zuliissiger relativer Abweichungen 599
l+d 1 + e = 0,5
S P-Ko = 0,01 P-Ko = 0,02 P-Ko = 0,03 P-Ko = 0,04 +a -a +a -a +a -a +a -a
0,10 0,304 0,233 0,454 0,312 0,580 0,367 0,694 0,410 0,25 0,228 0,186 0,337 0,252 0,426 0,299 0,506 0,336 0,50 0,205 0,170 0,302 0,232 0,381 0,276 0,451 0,311 0,70 0,203 0,168 0,298 0,229 0,375 0,273 0,444 0,308 1,00 0,205 0,170 0,302 0,232 0,381 0,276 0,451 0,311
1,50 0,216 0,178 0,318 0,241 0,401 0,286 0,476 0,322 2,00 0,228 0,186 0,337 0,252 0,426 0,299 0,506 0,336 2,50 0,242 0,195 0,357 0,263 0,453 0,312 0,538 0,350 3,00 0,255 0,203 0,377 0,274 0,479 0,324 0,570 0,363 4,00 0,280 0,219 0,417 0,294 0,530 0,347 0,632 ' 0,387
5,00 0,304 0,233 0,454 0,312 0,580 0,367 0,694 0,410 7,00 0,350 0,259 0,526 0,345 0,675 0,403 0,811 0,448
10,00 0,413 0,292 0,626 0,385 0,809 0,447 0,976 0,494 15,00 0,507 0,336 0,778 0,438 1,015 0,504 1,234 0,552 20,00 0,592 0,372 0,920 0,479 1,208 0,547 1,477 0,596
30,00 0,748 0,428 1,182 0,542 1,572 0,611 1,941 0,660 50,00 1,027 0,507 1,665 0,625 2,253 0,693 2,819 0,738 70,00 1,282 0,562 2,120 0,679 2,904 0,744 3,666 0,786
100,00 1,641 0,621 2,775 0,735 3,854 0,794 4,911 0,831 200,00 2,754 0,734 4,870 0,830 6,934 0,874 8,980 0,900
500,00 5,875 0,855 10,956 0,916 16,001 0,941 21,035 0,955 1000,00 10,936 0,916 20,995 0,955 31,029 0,969 41,056 0,976
S P-Ko = 0,05 P-Ko = 0,06 P-Ko = 0,08 P-Ko = 0,1 +a -a +a -a· +a -a +a -a
0,10 0,799 0,444 0,900 0,474 1,089 0,521 1,269 0,559 0,25 0,579 0,367 0,648 0,393 0,777 0,437 0,898 0,473 0,50 0,515 0,340 0,575 0,365 0,687 0,407 0,792 0,442 0,70 0,507 0,337 0,566 0,362 0,677 0,404 0,779 0,438 1,00 0,515 0,340 0,575 0,365 0,687 0,407 0,792 0,442
1,50 0,544 0,352 0,608 0,378 0,728 0,421 0,840 0,456 2,00 0,579 0,367 0,648 0,393 0,777 0,437 0,898 0,473 2,50 0,616 0,381 0,690 0,408 0,829 0,453 0,960 0,490 3,00 0,654 0,395 0,733 0,423 0,882 0,469 1,022 0,505 4,00 0,727 0,421 0,817 0,450 0,987 0,497 1,147 0,534
5,00 0,799 0,444 0,900 0,474 1,089 0,521 1,269 0,559 7,00 0,937 0,484 1,058 0,514 1,289 0,563 1,508 0,601
10,00 1,134 0,531 1,285 0,562 1,576 0,612 1,855 0,650 15,00 1,442 0,591 1,644 0,622 2,033 0,670 2,410 0,707 20,00 1,736 0,634 1,987 0,665 2,474 0,712 2,949 0,747
30,00 2,298 0,697 2,647 0,726 3,330 0,769 4,002 0,800 50,00 3,372 0,771 3,917 0,797 4,994 0,833 6,059 0,858 70,00 4,416 0,815 5,158 0,838 6,630 0,869 8,091 0,890
100,00 5,956 0,856 6,995 0,875 9,061 0,901 11,118 0,917 200,00 11,017 0,917 13,049 0,929 17,105 0,945 21,155 0,955
500,00 26,063 0,963 31,089 0,969 41,136 0,976 51,181 0,981 1000,00 51,081 0,981 61,104 0,984 81,148 0,988 101,190 0,990
600
S "'Ko = 0,01 +a -a
0,10 0,414 0,293 0,25 0,283 0,221 0,50 0,236 0,191 0,70 0,225 0,184 1,00 0,221 0,181
1,50 0,226 0,184 2,00 0,236 0,191 2,50 0,247 0,198 3,00 0,259 0,206 4,00 0,283 0,221
5,00 0,307 0,235 7,00 0,352 0,260
10,00 0,414 0,293 15,00 0,507 0,337 20,00 0,593 0,372
30,00 0,748 0,428 50,00 1,027 0,507 70,00 1,282 0,562
100,00 1,642 0,621 200,00 2,754 0,734
500,00 5,875 0,855 1000,00 10,936 0,916
S "'Ko = 0,05 +a -a
0,10 1,137 0,532 0,25 0,737 0,424 0,50 0,600 0,375 0,70 0,569 0,363 1,00 0,558 0,358
1,50 0,572 0,364 2,00 0,600 0,375 2,50 0,632 0,387 3,00 0,667 0,400 4,00 0,737 0,424
5,00 0,806 0,446 7,00 0,942 0,485
10,00 1,137 0,532 15,00 1,444 0,591 20,00 1,737 0,635
30,00 2,298 0,697 50,00 3,372 0,771 70,00 4,416 0,815
100,00 5,957 0,856 200,00 11,017 0,917
500,00 26,063 0,963 1000,00 51,081 0,981
Anhang III
1+d --=1 1+e
"'Ko = 0,02 +a -a
0,628 0,386 0,422 0,297 0,348 0,258 0,332 0,249 0,326 0,246
0,333 0,250 0,348 0,258 0,366 0,268 0,384 0,278 0,422 0,297
0,458 0,314 0,529 0,346 0,628 0,386 0,779 0,438 0,920 0,479
1,182 0,542 1,665 0,625 2,120 0,679 2,775 0,735 4,870 0,830
10,956 0,916 20,995 0,955
"'Ko = 0,06 +a -a
1,289 0,563 0,828 0,453 0,672 0,402 0,637 0,389 0,624 0,384
0,640 0,390 0,672 0,402 0,709 0,415 0,748 0,428 0,828 0,453
0,908 0,476 1,064 0,516 1,289 0,563 1,646 0,622 1,988 0,665
2,648 0,726 3,918 0,797 5,158 0,838 6,996 0,875
13,049 0,929
31,089 0,969 61,104 0,984
"'Ko = 0,03 "'Ko = 0,04 +a -a· +a -(I
0,811 0,448 0,979 0,495 0,537 0,349 0,640 0,390 0,441 0,306 0,524 0,344 0,419 0,295 0,497 0,332 0,412 0,292 0,488 0,328
0,422 0,297 0,500 0,333 0,441 0,306 0,524 0,344 0,464 0,317 0,551 0,355 0,488 0,328 0,581 0,367 0,537 0,349 0,640 0,390
0,585 0,369 0,700 0,412 0,679 0,404 0,815 0,449 0,811 0,448 0,979 0,495 1,016 0,504 1,235 0,553 1,209 0,547 1,479 0,597
1,572 0,611 1,941 0,660 2,253 0,693 2,819 0,738 2,904 0,744 3,666 0,786 3,854 0,794 4,911 0,831 6,934 0,874 8,980 0,900
16,001 0,941 21,035 0,955 31,029 0,969 41,056 0,976
"'Ko = 0,08 "'Ko = 0,1 +a -a +a -a
1,580 0,612 1,860 0,650 1,000 0,500 1,163 0,538 0,806 0,446 0,933 0,483 0,763 0,433 0,881 0,468 0,748 0,428 0,863 0,463
0,768 0,434 0,887 0,470 0,806 0,446 0,933 0,483 0,852 0,460 0,987 0,497 0,900 0,474 1,044 0,511 1,000 0,500 1,163 0,538
1,100 0,524 1,282 0,562 1,296 0,564 1,517 0,603 1,580 0,612 1,860 0,650 2,036 0,671 2,414 0,707 2,476 0,712 2,952 0,747
3,332 0,769 4,003 0,800 4,995 0,833 6,060 0,858 6,630 0,869 8,091 0,890 9,061 0,901 11,118 0,917
17,105 0.945 21,155 0,955
41,136 0,976 51,181 0,981 81,148 0,988 101,190 0,990
S
0,10 0,25 0,50 0,70 1,00
1,50 2,00 2,50 3,00 4,00
5,00 7,00
10,00 15,00 20,00
30,00 50,00 70,00
100,00 200,00
500,00 1000,00
S
0,10 0,25 0,50 0,70 1,00
1,50 2,00 2,50 3,00 4,00
5,00 7,00
10,00 15,00 20,00
30,00 50,00 70,00
100,00 200,00
500,00 1000,00
TabeZlen zuliissiger relativer Abweichungen
"'Ko = 0,01 +a -a
1,028 0,507 0,596 0,373 0,422 0,297 0,367 0,268 0,326 0,246
0,298 0,229 0,290 0,225 0,290 0,225 0,294 0,227 0,308 0,235
0,326 0,246 0,364 0,267 0,422 0,297 0,512 0,339 0,596 0,373
0,750 0,429 1,028 0,507 1,283 0,562 1,642 0,621 2,754 0,734
5,875 0,855 10,936 0,916
"'Ko = 0,05 +0. -a
3,377 0,772 1,749 0,636 1,163 0,538 0,990 0,497 0,863 0,463
0,780 0,438 0,755 0,430 0,755 0,430 0,768 0,434 0,810 0,448
0,863 0,463 0,981 0,495 1,163 0,538 1,460 0,594 1,749 0,636
2,306 0,698 3,377 0,772 4,419 0,815 5,959 0,856
11,018 0,917
26,064 0,963 51,081 0,981
l+d --=5 l+e
"'Ko = 0,02 +0. -a,
1,667 0,625 0,926 0,481 0,640 0,390 0,553 0,356 0,488 0,328
0,444 0,308 0,431 0,301 0,431 0,301 0,438 0,305 0,460 0,315
0,488 0,328 0,548 0,354 0,640 0,390 0,787 0,440 0,926 0,481
1,186 0,543 1,667 0,625 2,121 0,680 2,776 0,735 4,870 0,830
10,957 0,916 20,995 0,955
"'Ko = 0,06 +0. -a
3,923 0,797 2,002 0,667 1,319 0,569 1,119 0,528 0,973 0,493
0,877 0,467 0,849 0,459 0,849 0,459 0,863 0,463 0,912 0,477
0,973 0,493 1,109 0,526 1,319 0,569 1,665 0,625 2,002 0,667
2,657 0,727 3,923 0,797 5,162 0,838 6,998 0,875
13,050 0,929
31,089 0,969 61,104 0,984
"'Ko = 0,03 +0. -a,
2,256 0,693 1,216 0,549 0,828 0,543 0,711 0,415 0,624 0,384
0,567 0,362 0,550 0,355 0,550 0,355 0,558 0,358 0,588 0,370
0,624 0,384 0,705 0,413 0,828 0,453 1,027 0,507 1,216 0,549
1,577 0,612 2,256 0,693 2,906 0,711 3,856 0,794 6,935 0,874
16,001 0,941 31,029 0,969
"'Ko = 0,08 +0. -a
5,001 0,833 2,494 0,714 1,618 0,618 1,365 0,577 1,182 0,542
1,062 0,515 1,027 0,507 1,027 0,507 1,044 0,511 1,105 0,525
1,182 0,542 1,352 0,575 1,618 0,618 2,060 0,673 2,494 0,714
3,343 0,770 5,001 0,833 6,635 0,869 9,065 0,901
17,107 0,945
41,137 0,976 81,148 0,988
601
"'Ko = 0,04 +0. -a,
2,822 0,738 1,488 0,598 1,000 0,500 0,854 0,461 0,748 0,428
0,677 0,404 0,656 0,396 0,656 0,396 0,667 0,400 0,703 0,413
0,748 0,428 0,847 0,459 1,000 0,500 1,249 0,555 1,488 0,598
1,947 0,661 2,822 0,738 3,669 0,786 4,913 0,831 8,981 0,900
21,035 0,955 41,056 0,976
"'Ko = 0,1 +0. -a
6,069 0,859 2,973 0,748 1,906 0,656 1,600 0,615 1,380 0,580
1,236 0,553 1,194 0,544 1,194 0,544 1,215 0,549 1,288 0,563
1,380 0,580 1,585 0,613 1,906 0,656 2,443 0,710 2,973 0,748
4,017 0,801 6,069 0,859 8,097 0,890
11,123 0,918 21,157 0,955
51,182 0,981 101,191 0,990
602
s ,uKo = 0,01 +a -a
0,10 1,643 0,622 0,25 0,895 0,472 0,50 0,600 0,375 0,70 0,506 0,336 1,00 0,431 0,301
1,50 0,374 0,272 2,00 0,348 0,258 2,50 0,337 0,252 3,00 0,333 0,250 4,00 0,337 0,252
5,00 0,348 0,258 7,00 0,379 0,275
10,00 0,431 0,301 15,00 0,518 0,341 20,00 0,600 0,375
30,00 0,753 0,429 50,00 1,029 0,507 70,00 1,284 0,562
100,00 1,643 0,622 200,00 2,754 0,734
500,00 5,875 0,855 1000,00 10,936 0,916
S ,uKo = 0,05 +a -a
0,10 5,961 0,856 0,25 2,853 0,740 0,50 1,763 0,638 0,70 1,439 0,590 1,00 1,194 0,544
1,50 1,011 0,503 2,00 0,933 0,483 2,50 0,898 0,473 3,00 0,887 0,470 4,00 0,898 0,473
5,00 0,933 0,483 7,00 1,028 0,507
10,00 1,194 0,544 15,00 1,480 0,597 20,00 1,763 0,638
30,00 2,315 0,698 50,00 3,382 0,772 70,00 4,423 0,816
100,00 5,961 0,856 200,00 11,019 0,917
500,00 26,064 0,963 1000,00 51,081 0,981
Anhang III
l+d --=10 1 + e
,uKo = 0,02 +a -a
2,777 0,735 1,434 0,589 0,933 0,483 0,777 0,437 0,656 0,396
0,564 0,361 0,524 0,344 0,506 0,336 0,500 0,333 0,506 0,336
0,524 0,344 0,573 0,364 0,656 0,396 0,797 0,443 0,933 0,483
1,190 0,543 1,669 0,625 2,123 0,680 2,777 0,735 4,871 0,830
10,957 0,916 20,995 0,955
,uKo = 0,06 +a -a
7,001 0,875 3,303 0,768 2,019 0,669 1,640 0,621 1,355 0,575
1,143 0,533 1,053 0,513 1,013 0,503 1,000 0,500 1,013 0,503
1,053 0,513 1,164 0,538 1,355 0,575 1,688 0,628 2,019 0,669
2,667 0,727 3,929 0,797 5,166 0,838 7,001 0,875
13,052 0,929
31,090 0,969 61,104 0,984
,uKo = 0,03 ,uKo = 0,04 +a -a +a -a
3,857 0,794 4,915 0,831 1,926 0,658 2,395 0,705 1,226 0,551 1,500 0,600 1,013 0,503 1,231 0,552 0,849 0,459 1,027 0,507
0,725 0,420 0,873 0,466 0,672 0,402 0,806 0,446 0,648 0,393 0,777 0,437 0,640 0,390 0,768 0,434 0,648 0,393 0,777 0,437
0,672 0,402 0,806 0,446 0,737 0,424 0,887 0,470 0,849 0,459 1,027 0,507 1,040 0,510 1,265 0,559 1,226 0,551 1,500 0,600
1,583 0,613 1,955 0,662 2,259 0,693 2,827 0,739 2,908 0,744 3,672 0,786 3,857 0,794 4,915 0,831 6,935 0,874 8,982 0,900
16,002 0,941 21,035 0,955 31,029 0,969 41,057 0,976
,uKo = 0,08 ,uKo = 0,1 +a -a +a -a
9,069 0,901 11,128 0,918 4,187 0,807 5,060 0,835 2,516 0,716 3,000 0,750 2,029 0,670 2,405 0,706 1,665 0,625 1,962 0,662
1,396 0,583 1,638 0,621 1,282 0,562 1,500 0,600 1,232 0,552 1,440 0,590 1,215 0,549 1,420 0,587 1,232 0,552 1,440 0,590
1,282 0,562 1,500 0,600 1,421 0,587 1,668 0,625 1,665 0,625 1,962 0,662 2,090 0,676 2,479 0,713 2,516 0,716 3,000 0,750
3,357 0,770 4,035 0,801 5,010 0,834 6,079 0,859 6,641 0,869 8,104 0,890 9,069 0,901 11,128 0,918
17,109 0,945 21,160 0,955
41,138 0,976 51,183 0,981 81,149 0,988 101,191 0,990
S
0,10 0,25 0,50 0,70 1,00
1,50 2,00 2,50 3,00 4,00
5,00 7,00
10,00 15,00 20,00
30,00 50,00 70,00
100,00 200,00
500,00 1000,00
S
0,10 I 0,25 0,50 0,70 1,00
1,50 2,00 2,50 3,00 4,00
5,00 7,00
10,00 15,00 20,00
30,00 50,00 70,00
100,00 200,00
500,00 1000,00
TabelZen zutiissiger retativer Abweich'Ungen
P-Ko = 0,01 +a -/l>
5,876 0,855 2,756 0,734 1,647 0,622 1,308 0,567 1,040 0,510
0,818 0,450 0,703 0,413 0,632 0,387 0,586 0,370 0,532 0,347
0,506 0,336 0,491 0,329 0,506 0,336 0,564 0,361 0,632 0,387
0,772 0,436 1,040 0,510 1,291 0,563 1,647 0,622 2,756 0,734
5,876 0,855 10,937 0,916
P-Ko = 0,05 +/l> -a
26,068 0,963 11,029 0,917 5,982 0,857 4,525 0,819 3,424 0,774
2,561 0,719 2,131 0,681 1,877 0,652 1,715 0,632 1,530 0,605
1,440 0,590 1,388 0,581 1,440 0,590 1,638 0,621 1,877 0,652
2,388 0,705 3,424 0,774 4,452 0,817 5,982 0,857
11,029 0,917
26,068 0,963 51,083 0,981
l+d --=50 l+e
P-Ko = 0,02 I +a -a·
10,958 0,916 4,875 0,830 2,786 0,736 2,167 0,684 1,688 0,628
1,302 0,566 1,105 0,525 0,987 0,497 0,910 0,476 0,821 0,451
0,777 0,437 0,752 0,429 0,777 0,437 0,873 0,466 0,987 0,497
1,224 0,550 1,688 0,628 2,135 0,681 2,786 0,736 4,875 0,830
10,958 0,916 20,996 0,955
P-Ko = 0,06 +a -a
31,095 0,969 13,064 0,929
7,025 0,875 5,289 0,841 3,979 0,799
2,957 0,747 2,450 0,710 2,153 0,683 1,962 0,662 1,746 0,636
1,641 0,621 1,581 0,613 1,641 0,621 1,872 0,652 2,153 0,683
2,754 0,734 3,979 0,799 5,202 0,839 7,025 0,875
13,064 0,929
31,095 0,969 61,107 0,984
P-KG = 0,03 +a -a
16,004 0,941 6,942 0,874 3,870 0,795 2,972 0,748 2,286 0,696
1,740 0,635 1,464 0,594 1,300 0,565 1,194 0,544 1,072 0,517
1,013 0,503 0,979 0,495 1,013 0,503 1,143 0,533 1,300 0,565
1,630 0,620 2,286 0,696 2,927 0,745 3,870 0,795 6,942 0,874
16,004 0,941 31,030 0,969
P-Ko = 0,08 +a -/l>
41,144 0,976 17,125 0,945
9,101 0,901 6,802 0,872 5,075 0,835
3,735 0,789 3,075 0,755 2,689 0,729 2,443 0,710 2,164 0,684
2,030 0,670 1,953 0,661 2,030 0,670 2,326 0,699 2,689 0,729
3,470 0,776 5,075 0,835 6,687 0,870 9,101 0,901
17,125 0,945
41,144 0,976 81,152 0,988
603
P-Ko = 0,04 +a -a
21,039 0,955 8,990 0,900 4,931 0,831 3,755 0,790 2,861 0,741
2,157 0,683 1,803 0,643 1,595 0,615 1,460 0,594 1,306 0,566
1,232 0,552 1,189 0,543 1,232 0,552 1,396 0,583 1,595 0,615
2,015 0,668 2,861 0,741 3,696 0,787 4,931 0,831 8,990 0,900
21,039 0,955 41,058 0,976
P-Ko = 0,1 +a -a
51,191 0,981 21,180 0,955 11,168 0,918 8,305 0,893 6,160 0,860
4,502 0,818 3,687 0,787 3,213 0,763 2,911 0,744 2,570 0,720
2,406 0,706 2,312 0,698 2,406 0,706 2,768 0,735 3,213 0,763
4,173 0,807 6,160 0,860 8,162 0,891
11,168 0,918 21,180 0,955
51,191 0,981 101,195 0,990
Literaturverzeimnis
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Abb. 1
Abb. 2
Abb. 3
Abb. 4
Abb. 5
Abb. 6
Abb. 7
Abb. 8
Abb. 9 Abb. 10
Abb. 11
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Abb. 21 Abb. 22 Abb. 23
Abb. 24
Abb. 25 Abb. 26
Abb. 27
Abb. 28
Abb. 29
Verzeidmis der Abbildungen
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Die graphische Bestimmung der ElastizWit von Gesamtkosten-funktionen 44 Die graphische Bestimmung der Elastizitiit von Stiickkostenfunk-tionen 46 Die graphische Bestimmung der Reagibilitat der Gesamtkosten bei gekriimmter Gesamtkostenkurve 54 Die graphische Bestimmung der Reagibilitat der gesamten Stiick-kosten 54 Die graphische Bestimmung der Reagibilitat der Gesamtkosten bei linearem Verlauf der Gesamtkostenkurve 55 Die graphische Bestimmung der Reagibilitat der fixen Kosten 55
Die graphische Bestimmung der Variabilitat der Gesamtkosten 57
Die graphische Bestimmung der Variabilitat der Gesamtkosten aus der Stiickkostenkurve . 58 Der Ertragsverlauf nach dem Ertragsgesetz 144 Beispiel eines Ertragsgebirges fiir zwei variable und einen fixen Faktor 145 Die Isoquante als Begrenzungslinie einer Schnittfiache des Er-tragsgebirges 146 Graphische Bestimmung der Minimalkostenkombination 149 Ertragsverliiufe iiber einem ProzeBstrahl bei Kombination von zeitlicher und intensitiitsmaBiger Anpassung 162 Isoquante mit nicht begrenztem Substitutionsbereich 166 Isoquante mit begrenztem Substitutionsbereich 166 Isoquante mit nahezu punktformigem Substitutionsbereich 166 Isoquante zweier limitationaler Faktoren, deren Ertrag durch iiberschiissige Faktormengen nicht beeinfiuBt wird 166 Isoquante zweier limitationaler Faktoren, deren Ertrag durch iiberschiissige Faktormengen verringert wird 167 Die Ableitung preisabhangiger Verbrauchsfunktionen aus einem Isoquantendiagramm 173 Die Ableitung preisunabhangiger Verbrauchs.funktionen aus einem Isoquantendiagramm 174 Die Kosten alternativer Faktorqualitatskombinationen 188 Der Aufbau der Leistungsfunktion M = x . t 192 Leistungsfunktionen von der Form M = x t fUr alternative Werte von x 192 Leistungsfunktionen von der Form M = x . t fiir alternative Werte von t 193 Die Leistungsfunktion M = x . t in dreidimensionaler Darstellung 194 Schnittfiachen der Leistungsfunktion M = x . t fiir Schnitte senkrecht zur x-t-Flache durch die Geraden OA, OB, ~C, OD und OE 195 Kurven gleicher Leistungsmengen im Rahmen der Leistungsfunk-tion M = x . t 195 Leistungsfunktionen der Form M = M('X; t) fUr alternative Werte von x bei mit steigendem x und t zunehmender AusschuBquote 196 Zwei Beispiele fUr mogliche Formen der Abhangigkeit der maxi-mal moglichen Leistungszeit von der Leistungsintensitat bzw. der maximal moglichen Leistungsintensitat 197
620
Abb. 30
Abb. 31 Abb. 32
Abb. 33
Abb. 34
Abb. 35
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Abb. 38 Abb. 39
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Abb. 54
Verzeichnis der Abbildungen
Seite
Eine mogliche Form der Leistungsfunktion M = M(x; t) in drei-dimensionaler Darstellung . . . . . . . . . . .. ..... 197 Abhangigkeit des Zeitlohnes von der Leistungszeit ... . . 202 Die nur von der Leistungszeit abhangigen Kosten als Teil der Gesamtkosten . . . . . . . . .. ....... ..... 203 Kostenfunktionen der Form K = Kc + Kv(X) . t fiir alternative Werte von x ......... . 207 Kostenfunktionen der Form K = Kc + Kv(x) . t fiir alternative Werte von t ......... . 208 Eine Kostenfunktion der Form K = Kc + Kv(x) . t in dreidimensionaler Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Kostenfunktionen der Form K = K(X; t) fiir alternative Werte von x ............................. 210 Kostenfunktionen der Form K = K(x; t) fiir alternative Werte von t ............................. 210 Kostenfunktion der Form K = K (x; t) . . . . . . . . . . . . . 211 Die Bestimmung der kostenoptimalen Kombination von M und x bei gegebenem t, wenn M = M(x; t) . . . . . . . . . . . . . . 215 Die Bestimmung der kostenoptimalen Kombination von M und x bei gegebenem t, wenn M = x . t . . . . . . . . . . . . . . . 216 Die Bestimmung der kostenoptimalen Kombination von M und t bei gegebenem x, wenn M = M(X; t) . . . . . . . . . . . . . . 219 Die Bestimmung der kostenoptimalen Kombination von M und t bei gegebenem x, wenn M = x . t . . . . . . . . . . . . . . . 220 Die Bestimmung der kostenoptimalen Kombination von M und t, wenn M = x . t und K = Kc + Kv(X) . t . . . . . . . . . . . . 221 Die Bestimmung der kostenoptimalen x-t-Kombination, wenn M = M(x; t) und K = K(x; t) ................. 224 Die Bestimmung der kostenoptimalen Kombination von x und t, wenn M = x . t und K = K(x; t) . . . . . . . . . . . . . . . 227 Der Verlauf der Gesamtkosten und der das Kostenminimum definierenden KostengroBen iiber einer Isoquante, wenn M = x . t und K = Kc + Kv(x) . t fiir M = 12. . . . . . . . . . . . . . . 230 Kostenoptimale Kombinationen von M und x fiir alternative Werte von t, wenn M = x . t und K = Kc + Kv(x) . t . . . . . 231 Die Bestimmung der kostenoptimalen Kombination von M, x und t, wenn K = K(x; t) und M = M(x; t) . . . . . . . . . . . . . 234 Die Bestimmung der kostenoptimalen Kombination von M, x und t, wenn K = K(x; t) und M = x . t . . . . . . . . . . . . . . 236 Veranderung der Leistungsmenge durch zeitliche und anschlieBende intensitatsmiiBige Anpassung, wenn die maximale Leistungszeit (tm) von der Leistungsintensitat abhangig ist . . . . . 238 Veranderung der Leistungsmenge durch zeitliche und anschlieBende intensitatsmiiBige Anpassung, wenn die maximale Leistungszeit (tm) von der Leistungsintensitat unabhangig und konstant ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Die Bestimmung der kostenoptimalen Kombination von M, x und t, wenn M = x . t, K = Kc + Kv(x) . t und tm = const. . . . . . 241 Kostenkurve eines Betriebes, fUr den M = x . t, tm = const. und K = Kv(Xkvmin) . t + Kc (fUr t ::; tm) bzw. K = Kv(x) . tm + Kc (fiir t = tm und x ~ Xkvmin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Kostenkurve eines Betriebes, fiir den tm = tm(x) und fiir den ansonsten die Bedingungen der Abb. 53 gelten . . . . . . . . . 244
Abb. 55 Abb. 56
Abb. 57 Abb. 58 Abb. 59
Abb. 60a
Abb. 60b
Abb. 61
Abb. 62
Abb. 63
Abb. 64
Verzeichnis der Abbildungen 621
Seite
Mogliche Form der Kostenkurve, wenn M = x . t und K = K(xj t) 247 Mogliche Form der Kostenkurve, wenn K = K(Xj t) und wenn fUr Xl ::; X ::; X2 sowie 0 ::; t ::; tn M = X . t und fur X > Xli sowie t>tnM=I=x·t............ 249 Graphische Darstellung der Funktion 2-191 ..... . Graphische Darstellung der Funktion 2-192 ..... .
255 255
Graphische Darstellung moglicher Formen der Funktion 2-193 (in Abhangigkeit von j) . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . 257 Graphische Darstellung moglicher Formen der Funktion 2-194 (in Abhangigkeit von j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Die in Abbildung 60a wiedergegebenen Kosten, dargestellt in Abhangigkeit von den in Abbildung 59 enthaltenen Leistungsmengen 257 Die Bestimmung der kostenoptimalen Leistungsintensitatskombinationen fUr zwei qualitativ gleiche Produktiveinheiten, wenn nur die Leistungsintensitat variiert wird . . . . . . . . . . . . 263 Isokostenlinien fUr zwei qualitativ gleiche Produktiveinheiten, wenn nur die Leistungsintensitat variiert . . . . . . . . . . . 265 lsoquanten und Isokostenlinien fUr zwei qualitativ gleiche Produktiveinheiten bei konstanter Leistungszeit und variabler Lei-stungsintensitat ........................ 266 Die Bestimmung der Kostenminima, welche vorgegebenen Leistungsmengen zugeordnet sind, fur eine variable Zahl von parallel arbeitenden, qualitativ gIeichen Produktiveinheiten bei intensitatsmaBiger Anpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Abb. 65 Die Bestimmung der Kostenminima, welche vorgegebenen Leistungsmengen zugeordnet sind, fUr eine variable Zahl von parallel arbeitenden, qualitativ verschiedenen Produktiveinheiten bei intensitatsmaBiger Anpassung ................. 275
Abb. 66 Die Kosten zweier Produktiveinheiten, fur die M = X . t und Kv = Kv(x) . t ist, in Abhangigkeit von den Leistungszeiten tl und ~ der beiden Produktiveinheiten . . . . . . . . . . . . . . 293
Abb. 67 Die vorgegebenen Leistungsmengen zugeordneten Kostenminima fUr eine variable Zahl von parallel arbeitenden, qualitativ gleichen Produktiveinheiten bei zeitlicher Anpassung, wenn M = X . t und Kv = Kv(x) . t ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Abb. 68 Die Kosten zweier Produktiveinheiten, fUr welche M = X . t ist und fur welche die Kostenkurven in bezug auf t geknickt ver,laufen, in Abhangigkeit von den Leistungszeiten tl und ~ der beiden Produktiveinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Abb. 69 Die vorgegebenen Leistungsmengen zugeordneten Kostenminima fUr eine variable Zahl von parallel arbeitenden, qualitativ glei-chen Produktiveinheiten bei zeitlicher Anpassung, wenn M = X . t ist und wenn die Kostenkurve in bezug auf die Leistungszeit geknickt verlauft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Abb. 70 Die vorgegebenen Leistungsmengen zugeordneten Kostenminima fur 1, 2, 3 oder 4 parallel arbeitende, qualitativ verschiedene Produktiveinheiten bei zeitlicher Anpassung im "speziellen Fall" . . 299
Abb. 71 Die Bestimmung der vorgegebenen Leistungsmengen zugeordneten Kostenminima fUr 1, 2 oder 3 parallel arbeitende, qualitativ verschiedene Produktiveinheiten bei zeitlicher Anpassung im "all-gemeinen Fall" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Abb. 72 Die Abhangigkeit der Kosten von der Leistungsmenge, wenn der Bereich steigender Grenzkosten ausgenutzt wird und wenn er ubersprungen wird . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
622 Verzeichnis der Abbildungen
Seite
Abb. 73 Die Bestimmung der kostenoptimalen Kombinationen von Leistungszeit und Leistungsintensitiit fUr zwei qualitativ gleiche Produktiveinheiten, welche Leistungszeit und Leistungsintensitiit individuell variieren konnen, im "speziellen Fall". . . . . . . . 311
Abb. 74 Die Minimalkostenkurve fUr drei qualitativ gleiche Produktiveinheiten, welche Leistungszeit und Leistungsintensitiit individuell variieren konnen, im "speziellen Fall" . . . . . . . . . . . . . 313
Abb. 75 Die Bestimmung der kostenoptimalen Kombinationen von Leistungszeit und Leistungsintensitiit fUr zwei qualitativ gleiche Produktiveinheiten, die Leistungszeit und Leistungsintensitiit individuell variieren konnen, wenn M = x . t ist und wenn die Kostenkurve in bezug auf t geknickt verliiuft . . . . . . . . . . . . . 314
Abb. 76 Minimalkostenkurve fur drei qualitativ gleiche Produktiveinheiten, welche Leistungszeit und Leistungsintensitiit individuell variieren konnen, wenn M = x . t ist und wenn die Kostenkurve in bezug auf die Leistungszeit geknickt verliiuft ........ 316
Abb. 77 Die Minimalkostenkurve eines Betriebes, der drei qualitativ verschiedene Produktiveinheiten einsetzt, fiir welche M = x . t und Kv = Kv(x) . t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Abb. 78 Die Kostenkurve eines Betriebes, der uber vier qualitativ gleiche Produktiveinheiten verfUgt, fiir die x und t gleich groB und konstant sind und fiir welche Inbetriebnahme- und StilIegungskosten anfallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Abb. 79 Alternativen Leistungsmengen zugeordnete Kosten, wenn qualitativ verschiedene Produktiveinheiten eingesetzt werden, fur welche x und t konstant sind und fiir welche Inbetriebnahme-und Stillegungskosten anfallen . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Abb. 80 Die Bestimmung der kostenoptimalen Leistungsintensitiitskombinationen fUr zwei qualitativ gleiche Produktiveinheiten, welche Inbetriebnahme- und StilIegungskosten verursachen. . . . . . . 329
Abb. 81 Minimalkostenkurve fUr mehrere qualitativ gleiche Produktiv-einheiten, die Inbetriebnahme- und StilIegungskosten verursachen, bei intensitiitsmiiBiger und quantitativer Anpassung . . 331
Abb. 82 Die Bestimmung der Zahl der einzusetzenden Produktiveinheiten bei sinkender Leistungsmenge fUr qualitativ gleiche Produktiveinheiten, die kontinuierlich fertigen . . . . . . . . . . . . . . 334
Abb. 83 Kostenkurven fiir drei qualitativ verschiedene Produktiveinheiten und fiir die Ihnen entsprechenden Leistungsintensitiitskombinationen, wenn. Inbetriebnahme- und Stillegungskosten anfallen . . 336
Abb. 84 Die Bestimmung der Zahl der einzusetzenden Produktiveinheiten bei gesunkener Leistungsmenge fiir qualitativ verschiedene Produktiveinheiten, die kontinuierlich fertigen . . . . . . . . . . . 339
Abb. 85 Minimalkostenkurve fiir vier qualitativ gleiche Produktiveinhei-ten, die Inbetriebnahme- und Stillegungskosten verursachen, bei zeitlicher und quantitativer Anpassung . . . . . . . . . . . . . 340
Abb. 86 Die Bestimmung kostenminimaler Leistungszeitkombinationen fur zwei qualitativ gleiche Produktiveinheiten, deren Kostenkurven in bezug auf die Leistungszeit geknickt verlaufen, wenn Inbetriebnahme- und Stillegungskosten anfallen . . . . . . . . . 342
Abb. 87 Minimalkostenkurve fiir vier qualitativ gleiche Produktiveinhei-ten, die Inbetriebnahme- und Stillegungskosten verursachen, bei zeitlicher und quantitativer Anpassung . . . . . . . . . . . . . 343
Abb. 88 Minimalkostenkurve unter den fur Abbildung 87 genannten Bedingungen, wenn die Inbetriebnahme- und Stillegungskosten halb so hoch sind, wie in Abbildung 87 unterstellt . . . . . . . . . . 345
Abb. 89
Abb. 90
Abb. 91
Abb. 92
Abb. 93
Abb. 94
Abb. 95
Abb. 96
Abb. 97
Abb. 98
Abb. 99
Abb. 100
Abb. 101
Abb. 102
Verzeichnis der Abbildungen 623
Seite
Minimalkostenkurve fUr drei qualitativ verschiedene Produktiveinheiten, welche Inbetriebnahme- und Stillegungskosten verursachen, bei zeitlicher und quantitativer Anpassung . . . . . . 346 Minimalkostenkurve fUr drei qualitativ gleiche Produktiveinhei-ten, welche Inbetriebnahme- und Stillegungskosten verursachen, bei zeitlicher, intensitiitsmiiBiger und quantitativer Anpassung . 349 Geometrische Bestimmung der optimalen Losgr6Be im karte-sis chen Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 Geometrische Bestimmung der optimalen Losgr6Be im doppelt logarithmischen Koordinatensystem .............. 388 Gesamteinnahmen und Gesamtausgaben eines Loses in Abhangigkeit von der Losfertigungszeit (tp ) • • • • • • • • . . • • • . 401 M6glicher Verlauf der Kapitalbindung im Produktionsbereich wiihrend einer vorgegebenen Losfertigungszeit tp . . . . . . . . 402 M6glicher VerI auf der Kapitalbindung im Produktionsbereich wahrend einer vorgegebenen Losfertigungszeit tp . . . . . . . . 406 M6glicher Verlauf der Kapitalbindung im Produktionsbereich wiihrend einer vorgegebenen Losfertigungszeit tp . . . . . . . . 407 M6glicher Verlauf der Kapitalbindung im Produktionsbereich wahrend einer vorgegebenen Losfertigungszeit tp . . . . . . . . 407 M6glicher Verlauf der Kapitalbindung im Produktionsbereich wahrend einer vorgegebenen Losfertigungszeit tp . . . . . . . . 408 Das Binden von Kapital durch die c . k y l3 entsprechenden Lagerkosten im VerI auf der Absatzzeit eines Loses . . . . . . . . . . 420 Die Kapitalbindung in der Produktion und im Fertiglager, wenn nicht aile Produkte iiber das Fertiglager verkauft werden und wenn die Kapitalbindung auf Einnahmenbasis definiert ist . . . 423 Die Kapitalbindung in der Produktion und im Fertiglager, wenn nicht alle Produkte iiber das Fertiglager verkauft werden und wenn die Kapitalbindung auf Ausgabenbasis definiert ist . . . . 431 Gewinn und optimale Auflagehiiufigkeit in Abhiingigkeit von der Leistungsmenge bei zeitlich begrenzter Kapazitiit . . . . . . . . 442
Abb. 103 Der Fertigungsablauf beim Einsatz von einer, zwei oder drei Produktiveinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
Abb. 103a Das Problem der 'Oberschneidung von Losfertigungszeiten bei isolierter Ermittlung der optimalen Auflagehiiufigkeit . . . . . 466
Abb. 104 Die Bestimmung der Leistungsmenge, ab welcher es kostengiinstiger ist, von der unterbrochenen zur kontinuierlichen Fertigung iiberzugehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
Abb. 105 Die Kapitalbindung im Falle der Chargenproduktion . . . . . . 483 Abb. 106
Abb. 107 Abb. 108
Der Lagerbestand, wenn wiihrend der Produktionszeit aus der Produktion verkauft und nur die den Verkauf iibersteigende Pro-duktion ins Fertiglager gegeben wird . . . . . . . . . . . . . . 486 Die Kapitalbindung im Fertiglager . . . . . . . . . . . . . . . 487 Der Zusammenhang zwischen 11K, x und 17Ky, x in Abhiingigkeit von der Fixkostenintensitiit, wenn 17K, x = 1 bzw. 17Kv. x = 1 . . . . . 499
Abb. 109 Die Bestimmung des Grenzwertes einer Funktion aus der Kurve des zugeh6rigen Durchschnittswertes . . .. ........ 510
Abb. 110 u. 111 Der EinfluB des gewiihlten MaBstabes auf die Form der Gesamtkostenkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
Abb. 112 Die "geortete Reagibilitiit" der Kosten bei linearer Gesamtkosten-kurve ............................. 529
624
Abb. 113
Abb. 114
Abb. 115
Abb. 116
Abb. 117
Abb.118
Verzeichnis der Abbildungen
Die relative Leistungsmengenabweichung 11;:, urn welche die
effektive Beschaftigung (M) von der Planbeschaftigung (Mp) bei
einer bestimmten Kostenstruktur ( gemessen durch ~:) abwei-
Seite
chen darf, ohne eine bestimmte Proportionalitatsabweichung zu iiberschreiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 Die Bestimmung des Bereiches, innerhalb dessen die Abweichung der geplanten von den effektiven Kosten einen bestimmten Prozentsatz der geplanten Kosten nicht iibersteigt . . . . . . . . . 537 Die Aufteilung einer Ma13gro13e, auf deren Basis die Kosten geplant und vorgegeben werden, in der Weise, da13 in keinem Bereich Abweichungen auftreten, die einen maximal zugelassenen Prozentsatz (Proportionalitatsabweichung) iibersteigen . . . . . 538 Die Bestimmung des Bereiches, innerhalb dessen die Abweichung der geplanten Kosten von den effektiven Kosten einen bestimm-ten Prozentsatz der geplanten Kosten nicht iibersteigt . . . . . 539 Die relativen Abweichungen der Bestellmenge bzw. der Losgro13e von der optimalen Bestellmenge bzw. der optimalen Losgro13e, bei
welchen fiir ! ! : = 1 die Proportionalitatsabweichung gleich
flKo ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 Verlauf der Kosten pro bestellte bzw. produzierte Einheit in Abhangigkeit von der Bestellmenge bzw. Losgr613e 548
Abbildungen zu Anhang II
Abb. 1 Luft- und Lagerreibungsverluste von Asynchronmaschinen 561 Abb. 2 Wirkungsgradkurven, die nach Formel II-19 ermittelt worden
sind .............................. 565 Abb. 3 Wirkungsgradkurven fUr Siemens-Drehstrommotoren in Abhan
gigkeit vom Ausnutzungsgrad der Nennleistungsintensitat . . . 566 Abb. 4 Wirkungsgradkurven fUr Siemens-Drehstrommotoren in Abhan
gigkeit von der Leistungsintensitat . . . . . . . . . . . . . . . 568 Abb. 5 u. 6 Der maximale Wirkungsgrad von Drehstrommotoren in Abhan
gigkeit von der Nennleistungsintensitat . . . . . . . . . . . . . 569 Abb. 7 Der spezifische Stromverbrauch von Siemens-Drehstrommotoren
in Abhangigkeit vom Ausnutzungsgrad der Nennleistungsinten-sitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
Abb. 8 Der Stromverbrauch pro Zeiteinheit fiir Siemens-Drehstrommotoren in Abhangigkeit von der Leistungsintensitat . . . . . . 572
Abb. 9 Die Abhangigkeit des Leistungsfaktors vom Ausnutzungsgrad der Nennleistungsintensitat bei Siemens-Drehstrommotoren . . . . . 575
Abb. 10 u. 11 Der Leistungsfaktor normaler Schleifringlaufermotoren in Abhangigkeit von der Nennleistungsintensitat . . . . . . . . . . . 576
Abb. 12 Mogliche Leistungsintensitat von Drehstrommotoren mit Oberflachenkiihlung bei verschiedener Einschaltdauer . . . . . . . . 578
Abb. 13 Kennlinien eines Stotz-Motorschutzschalters . . . . . . . . . . 580 Abb. 14
Abb. 15
Abb. 16
Leistungsintensitat, Drehmoment und spezifischer Kraftstoffverbrauch eines Otto-Motors in Abhangigkeit von der Drehzahl . . 584 Kraftstoffverbrauch eines Otto-Motors pro Zeiteinheit (in Gramm pro Stunde) in Abhangigkeit von der Leistungsintensitat . . . . 585 Mittlerer Arbeitsdruck und spezifischer Kraftstoffverbrauch von Fahrzeugmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
Verzeichnis der Tabellen 625
Seite
Abb. 17 Fahrleistungsschaubild eines Kraftfahrzeugmotors . . . . .. 589 Abb. 18 Antriebskrafte und Fahrwiderstande eines Kraftfahrzeuges fUr
verschiedene Steigungen und Geschwindigkeiten . . . . . . . . 589 Abb. Abb.
19 20
Kraftstoffverbrauchsfelder eines Kraftfahrzeuges . . . . . . . . 590 Der Kraftstoffverbrauch eines Kraftfahrzeuges in Abhangigkeit von der Fahrgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
Abb. 21 Die einzelnen Verlustarten eines Dampfkessels in Abhiingigkeit von der Leistungsintensitat, welche durch den Dampfdurchsatz pro Stunde gemessen wird . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
Abb. 22 Der Wirkungsgrad, der gesamte Kohleverbrauch und der spezifische Kohleverbrauch eines Dampfkessels in Abhangigkeit von der Leistungsintensitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
Verzeiclmis der Tabellen
Tabelle 1 Schematische tlbersicht tiber die zu behandelnden Betriebsmodelle 91 Tabelle 2 Zusammenstellung der fUr Betrieb 1 untersuchten FaIle und der
abgeleiteten Kriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Tabelle 3 Die Bestimmung des kostenminimalen Einsatz-Programmes in
Abhangigkeit von der Leistungsmenge fUr drei qualitativ verschiedene Produktiveinheiten, deren Leistungsintensitat isoliert variiert werden kann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Tabelle 4 Verbesserung des in Tabelle 3 auf Stufe 2 der Rechnung ermittelten Wertes von M, ab dem die Produktiveinheit 2 zusatzlich einzusetzen ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Tabelle 5 Die Bestimmung des kostenminimalen Einsatzprogrammes in Abhangigkeit von der Leistungsmenge fUr drei qualitativ verschiedene Produktiveinheiten, deren Leistungszeit isoliert variiert werden kann ......................... 308
Tabelle 6 Die Bestimmung des kostenminimalen Einsatzprogrammes in Abhangigkeit von der Leistungsmenge fUr drei qualitativ verschiedene Produktiveinheiten, deren Leistungsintensitat und Leistungs-zeit variiert werden kann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Tabelle 7 Die Bestimmung des kostenminimalen Einsatzprogrammes in Abhangigkeit von der Leistungsmenge fUr drei qualitativ verschiedene Produktiveinheiten, deren Leistungsintensitat isoliert variiert werden kann, wenn Inbetriebnahme- und Stillegungskosten anfallen ............................ 337
Tabelle 8 Die Bestimmung des kostenminimalen Einsatzprogrammes in Abhangigkeit von der Leistungsmenge ftir drei qualitativ verschiedene Produktiveinheiten, deren Leistungszeit isoliert variiert werden kann, wenn Inbetriebnahme- und Stillegungskosten an-fallen ............................. 348
Tabelle 9 Die Bestimmung des kostenminimalen Einsatzprogrammes in Abhangigkeit von der Leistungsmenge fUr drei qualitativ verschiedene Produktiveinheiten, deren Leistungsintensitat und Leistungs-zeit variiert werden kann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
Tabelle 10 Die Definition der Schmalenbachschen Kostenkategorien durch die Variabilitat der Kosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
Tabelle 11 Die Kennzeichnung der Kostenentwicklung durch die Elastizitat und durch die Reagibilitat der Kosten 505
Tabelle 12 Kostenplan einer Kostenstelle
40 Pack
513
Amax
ah
ajj·
a
C
C
Cs
D
Dl Dh
d
d
E
e
e = 1,2' ... J q
Symbolverzeidmis
gesamte Ausgaben, die im Zusammenhang mit der Produktion eines Loses bis zum Zeitpunkt seiner Fertigstellung anfallen Auflagehliufigkeit einer bestimmten Arbeitsgangart h innerhalb eines Leistungszeitraumes; auch Produktionshliufigkeit die Menge an Primlirfaktor i, welche in einer Einheit des Sekundlirfaktors i· enthalten ist Reihenfolgevektor fUr die Verrichtung verschiedener Arbeitsgangarteinheiten auf einer Produktiveinheit Kurzschreibweise (vgl. 2-306)
Kurzschreibweise (vgI. 2-311) durchschnittlicher Lagerbestand der Arbeitsgangart h im Intervall z
der relative Anteil von kVl1, der im Zeitpunkt der Einlagerung anflillt Kapitalbindung bzw. Hohe des gebundenen Kapitals
Kapitalbindung im Lagerbereich
Kapitalbindung im Fertiglager
Kapitalbindung im Produktionsbereich Kosten pro lagernde Mengeneinheit und pro Einheit der Lagerdauer (nur in Abschnitt C II des dritten Kapitels) der relative Anteil von kv13, der eine Kapitalbindung auslost In d e x zur Kennzeichnung zeitraumabhlingiger Fixkosten bzw. des Ihnen entsprechenden Faktorverbrauchs I n d e x zur Kennzeichnung des zeitraumproportionalen Teiles der produktiveinheitsfixen Kosten einer Produktiveinheit
I n d e x zur Kennzeichnung von Inbetriebnahmekosten einer Produktiveinheit
In d e x zur Kennzeichnung von Stillegungskosten einer Produktiveinheit
In d e x zur Kennzeichnung von Stillstandskosten einer Produktiveinheit
Kurzschreibweise (vgI. 2-307)
Kurzschreibweise (vgI. 2-312)
Durchlaufzeit einer Leistungsarteinheit durch Fertigungsstufe h (leistungsfreie Zeiten und Rustzeiten sind hierin nicht enthalten)
der in der Mathematik ubliche totale Differentialoperator
K ch 'b . ro· 2U' kvll urzs rel welse r i (Kfp + Kn)
Erlos
Kurzschreibweise fur (kv;s + b . kVI1) : kvp
L auf i n d e x zur Kennzeichnung alternativer Arten von Produktiveinheiten fur den Fall, daB der betreffende Betrieb nur eine einzige Leistungsart erstellt
Sllmbolverzeichnis 627
e == 1,2, ... , Q La u fin d e x zur Kennzeichnung altemativer Arten von Produktiveinheiten fUr den Fall, daB der betreffende Betrieb mehrere Leistungsarten erstellt
F
F
f
f
f
G h = 1,2, .. .,s
h = 1,2, ... ,S
I
i bzw. 100 i 0/0
i = 1,2, ••. , n
Kurzschreibweise (vgl. 2-308)
Kurzschreibweise (vgl. 2-356) Kurzschreibweise (vgl. 2-313) Minimalkosten der Leistungsmenge Munter der Voraussetzung, daB die Produktiveinheiten 1, 2, •.• , j fiir die Erzeugung der Menge M beriicksichtigt werden die von der Bestellmenge unabhiingigen Kosten (nur in Abschnitt C II des dritten Kapitels) I n d e x zur Kennzeichnung arbeitsgangartfixer (losfixer) Kosten bzw. des ihnen entsprechenden Faktorverbrauchs hoc h g est e 11 t e r In d ex: Zur Kennzeicimung solcher GroBen, die sich auf das Fertigwarenlager beziehen Gewinn L auf i n d e x zur Kennzeichnung alternativer Arbeitsgangarten fUr den Fall, daB ein Betrieb nur eine Leistungsart erstellt
La u fin d e x zur Kennzeichnung alternativer Arbeitsgangarten fUr den Fall, daB ein Betrieb mehrere Leistungsarten erstellt
In d e x zur Kennzeichnung der bei gegebener Produktionshliufigkeit in einem Leistungszeitraum anfallenden Inbetriebnahme-kosten Zinssatz fUr die Verzinsung des gebundenen Kapitals
La u fin d e x zur Kennzeichnung altemativer primarer Faktorarten
i* = 1*, 2*, ... ,,, La u fin d e x zur Kennzeichnung alternativer sekundarer Faktorarten
j = I, 2, ... , me L auf i n d e x zur Kennzeichnung von Produktiveinheiten der Art e
K
Kc Kcl
Kc2 Kc Kf
Kfl
Kfp
40·
gesamte Kosten (in Abhangigkeit von der jeweiligen Indizierung auf Produktiveinheiten, Arbeitsgangarten usw. bezogen)
Gesamtkosten fUr einen Beschaftigungsgrad von a 0/0 der Planbeschliftigung gesamte zeitraumabhangige betriebsfixe Kosten der Teil der Kosten, der wegen tf > 0 zu den fixen Kosten ziihlt (= ku· ttl sonstige fixe Kosten (= Kc - Kcl) effektive Gesamtkosten
gesamte arbeitsgangartfixe (losfixe) Kosten
losfixe Lagerkosten
losfixe Produktionskosten (= Summe der arbeitsgangartfixen Kosten fUr aHe Arbeitsgangarten) gesamte Kosten des Fertigwarenlagers pro Zeiteinheit gesamte Kosten des Fertigwarenlagers pro Los
die kn entsprechenden Kosten pro Betrachtungszeitraum
die kn entsprechenden Kosten pro Los
gesamte Produktionskosten oder gesamte Plankosten
628
Kt Ku
k = 1,2'000' P
kc4
ke
kn
ko
kp
kvll
kv12
k V13
k yp
ku
kt2
ku
kyjv
M
M
Symbolverzeichnis
die nur von der Leistungszeit abhangigen Kosten die Kosten, welche durch die Unterbrechung der LeistungsersteIlung zusatzlich entstehen, wenn von der kontinuierlichen zur aussetzenden Fertigung iibergegangen wird gesamte leistungsabhangige (variable) Kosten
gesamte leistungsabhangige (variable) Kosten vor Abzug der im FaIle der LeistungsersteIlung ersparbaren Stillstandskosten gesamte Zinskosten pro Betrachtungszeitraum gesamte Zinskosten pro Los gesamte Zinskosten des Fertigwarenlagers gesamte Kosten pro Leistungseinheit (unter Beriicksichtigung der jeweiligen Indizierung) L auf i n d e x zur Kennzeichnung alternativer Leistungsarten
Stillstandskosten pro Zeiteinheit
effektive Gesamtkosten pro Einheit der Leistungsmenge (Effektiveinheitskosten) in bezug auf die Zahl der vereinnahmten Stiicke fixe Kosten pro Vereinnahmung von Fertigprodukten im Fertiglager Kosten pro nicht lieferbares Stiick und pro Einheit der Lieferzeit, die dadurch entstehen, daB wegen der Produktion in Losen, die groBer als 1 sind, der Absatz nicht im friihestmoglichen Zeitpunkt beginnt gesamte Kosten pro Mengeneinheit im FaIle der Realisierung optimaIer Bestellmengen oder LosgroBen
gesamte Plankosten pro Einheit der Leistungsmenge (Planeinheitskosten) von der eingelagerten Menge abhangige variable Lagerkosten pro Mengeneinheit von der Lagermenge unabhangige zeitraumproportionale Lagerkosten pro Zeiteinheit zur Lagerzeit und Lagermenge proportionale Lagerkosten pro Zeiteinheit und Mengeneinheit variable Produktionskosten pro Leistungseinheit
der Teil der nur leistungszeitabhangigen Kosten pro Zeiteinheit, der fiir t > tf zu beriicksichtigen ist der Teil der nur leistungszeitabhangigen Kosten pro Zeiteinheit, der bereits ab t = 0 zu beriicksichtigen ist U"berstundenzuschlag (pro Zeiteinheit) fiir solche Zeiteinheiten, die iiber tn hinaus geleistet werden variable Kosten pro Zeiteinheit im Leistungszeitintervall v bei der Leistungsintensitiit Xjv
Leistungsmenge (in Abhangigkeit von der jeweiligen Indizierung auf Leistungsart, Arbeitsgangart, Produktiveinheit usw. bezogen)
M = M: (M): die fiir aIle Arbeitsgangarten als gleich groB angenommenen Arbeitsgangartmengen, welche fUr die Erstellung von M Einheiten einer Leistungsart erforderlich sind die im v-ten Leistungszeitintervall von der j-ten Produktiveinheit erstellte Leistungsmenge optimale LosgroBe
Mp
m*
p
q
R
R*
Rc Re*
Rei
Re2
Re3
Rc4
Rf r
rei
re2
re3
re4
s
s
Sj.
t
Symbolverzeichnis 629
die groBte Leistungsmenge, welche bei gegebener Kapazitat mit der zugehorigen optimalen Auflagehaufigkeit erstellt werden kann Planbeschaftigung Anzahl der im ProzeB der Leistungserstellung eingesetzten Produktiveinheiten Verkaufspreis pro Leistungseinheit bezeichnet in der Schreibweise Kj (q) Leistungsmengen, welche von der Produktiveinheit zu erstellen sind, die im Rahmen der Dynamischen Programmierung in der Stufe j der Rechnung in die Betrachtung eingefuhrt wird gesamter Faktorverbrauch (in Abhangigkeit von der jeweiligen Indizierung auf Faktorarten, Produktiveinheiten, Arbeitsgangarten usw. bezogen) gesamter Faktorverbrauch vor Abzug des im FaIle der Leistungserstellung ersparbaren Stillstandsverbrauchs gesamter zeitraumabhangiger betriebsfixer Faktorverbrauch gesamter leistungsartfixer zeitraumabhangiger Faktorverbrauch gesamter zeitraumproportionaler produktiveinheitsfixer Faktorverbrauch gesamter Faktorverbrauch fUr die Inbetriebnahme einer Produktiveinheit gesamter Faktorverbrauch fUr die Stillegung einer Produktiveinheit gesamter durch Stillstand einer Produktiveinheit bedingter Faktorverbrauch gesamter arbeitsgangartfixer (losfixer) Faktorverbrauch durchschnittlicher Faktorverbrauch pro Zeiteinheit (in Abhangigkeit von der jeweiIigen Indizierung auf Faktorarten, Produktiveinheiten, Arbeitsgangarten usw. bezogen) durchschnittlicher zeitraumabhangiger betriebsfixer Faktorverbrauch durchschnittlicher zeitraumproportionaler produktiveinheitsfixer Faktorverbrauch Faktorverbrauch pro Inbetriebnahme einer Produktiveinheit Faktorverbrauch pro Stillegung einer Produktiveinheit durchschnittlicher Faktorverbrauch pro Zeiteinheit im FaIle des Stillstandes einer Produktiveinheit In d e x zur Kennzeichnung der bei gegebener Produktionshaufigkeit in einem Leistungszeitraum anfallenden Stillegungskosten
x ·k Kurzschreibweise fUr K 0 + ~
fp fl
Zahl der Leistungseinheiten, die das v-te Leistungszeitintervall der j-ten Produktiveinheit umfaBt
Lange des Leistungszeitraums Summe der Leistungszeiten einer bestimmten Produktiveinheit innerhalb eines Leistungszeitraumes Leistungszeit (in Abhangigkeit von der jeweiligen Indizierung auf Arbeitsgangarten, Produktiveinheiten, spezielle Leistungsintensitaten usw. bezogen) diejenige Losfertigungszeit, fUr welche Gesamteinnahmen und Gesamtausgaben gleich groB sind ("break-even"-Zeit)
630
tf
tpl
u
SymboZverzeichnis
mindestens zu entlohnende Arbeitszeit die im v-ten Leistungszeitinterva1l von der j-ten Produktiveinheit ausgenutzten Zeiteinheiten maximal mogliche Leistungszeit
normale Leistungszeit (ohne 'Oberstunden)
Losfertigungszeit (ohne Rtistzeiten)
der Teil der Losfertigungszeit, welcher vom Beginn der Prod uktion bis zu dem Zeitpunkt reicht, ab welchem ein Absatz friihestens moglich ist der Teil der Losfertigungszeit, welcher zwischen dem Zeitpunkt liegt, ab welchem abgesetzt werden konnte, wenn Fertigprodukte vorhanden waren, und dem Zeitpunkt, in welchem das erste Los fertig wird RUstzeit pro Los bzw. fUr Arbeitsgangart h, wenn mit h indiziert (vgl. 2-358) Leistungszeitraumvektor = Aufteilung des Leistungszeitraumes in Leistungs- und / oder Stillstandszeiten im Planungszeitraum absetzbare Leistungsartmenge (Absatzgeschwindigkeit)
Vj die im betrachteten Leistungszeitraum fUr die Produktiveinheit j verftigbare Leistungszeit
v zur Bestellmenge proportionale Kosten pro beste1lte Mengeneinheit v I n d e x zur Kennzeichnung leistungsabhangiger (variabler) Kosten
bzw. des Ihnen entsprechenden Faktorverbrauchs Wh Wartezeit einer Leistungsarteinheit beim Durchlauf durch Ferti
gungsstufe h (ohne leistungsfreie Zeiten) im Fa1le der Fertigung in Losen
w = 1,2, ... , y La u fin d e x zur Kennzeichnung alternativer (diskreter) Leistungsintensitaten
x Leistungsintensitat (Anzahl der pro Zeiteinheit erstellten Leistungseinheiten); unter Berilcksichtigung der jeweiligen Indizierung auf Arbeitsgangarten, Produktiveinheiten, spezielle Leistungsintensitaten usw. bezogen. Lediglich im Abschnitt C II des dritten Kapitels bezeichnet x die Bestellmenge bzw. LosgroBe
xo optimale Bestellmenge Xjv Grenzproduktivitiit der Produktiveinheit j in bezug auf die Lei
stungszeit im Leistungszeitintervall v xkTmin diejenige Leistungsintensitiit, fUr welche die variablen Kosten pro
Einheit der Leistungsintensitiit ein Minimum werden Z Zeitlohn fUr die gesamte Leistungszeit ~ in bezug auf die Leistungszeit variabler Teil des Zeitlohnes z Lohnsatz pro Zeiteinheit innerhalb der normalen Arbeitszeit z hoc h g est ell t e r In d ex: Zur Kennzeichnung solcher GroBen,
die sich auf Zwischenlager beziehen z = 1, 2, ... , Z L auf i n d e x zur Kennzeichnung der Intervalle eines Leistungs
zeitraumes, in welchen reine Fertigungszeiten liegen Zl1 'Oberstundenzuschlag (pro Zeiteinheit) auf den Zeitlohn fUr Zeit
einheiten, die tiber tn hinaus geleistet werden a relative Mengenabweichung einer Bestellmenge bzw. LosgroBe von
der optimalen Bestellmenge bzw. LosgroBe
Symbolverzeichnis 631
ahj8 Hohe der kapitalbindenden Ausgaben, die in einem Intervall anfallen, wenn in diesem Intervall die Arbeitsgangart h mit der Menge "h von der Produktiveinheit je erstellt wird
am Ausgaben pro Mengeneinheit einer Charge apt Ausgaben pro Zeiteinheit wlihrend der Fertigungszeit einer Charge apll Ausgaben pro Mengeneinheit einer Charge und pro Zeiteinheit der
Fertigungszeit der Charge r Umrecllnungsfaktor (vgl. 2-282 und 2-378) h endliche VeranderungsgroBe a der in der Mathematik ubliche partielle Differentialoperator d Variabilitat (Verhaltnis zwischen dem Quotienten aus den ver
anderten Werten der abhangigen und der unabhangigen Variablen einerseits und dem Quotienten aus den urspriinglichen Werten der abhangigen und der unabhangigen Variablen andererseits)
e Reagibilitat (ermittelt auf Grund einer endlichen Veranderung der unabhangigen Variablen)
1'/ Elastizitat im engeren Sinne (ermittelt auf Grund einer infinitesimal kleinen Veranderung der unabhangigen Variablen)
1'/* Wirkungsgrad (im technischen Sinne) "h die in einem Leistungszeitintervall produzierte Menge der Arbeits-
gangart h A Lagrange-Multiplikator p. Proportionalitatsabweichung p.h Anzahl der Einheiten anArbeitsgangart h, welche in eineLeistungs
arteinheit eingehen p.kz die Menge der Leistungsart k, welche im Intervall z abgesetzt wird P.Ko Proportionalitatsabweichung von der optimalen Bestellmenge bzw.
LosgroBe " = 1, 2, ... , bj Laufindex zur Kennzeichnung der fUr eine Produktiveinheit zu
beriicksichtigenden Leistungszeit- oder Leistungsmengenintervalle "hg Zahl der Einheiten von Arbeitsgangart h, welche in eine Einheit
der Arbeitsgangart g eingehen .1fj Preis pro Mengeneinheit der Faktorart i 'i HilfsgroBe zur Bestimmung der Zinskosten (vgl. FuBnote 337 auf
S.303) T~ fur die Verrichtung einer Arbeitsgangarteinheit der Art h erforder
liche Bearbeitungszeit 'lje Anzahl der Inbetriebnahmen einer bestimmten Produktiveinheit in
einem Leistungszeitraum 'l*je Anzahl der Stillegungen einer bestimmten Produktiveinheit in
einem Leistungszeitraum 'lp Fertigungszeit pro Leistungsarteinheit (vgl. 2-357) rp Hilfsvariable fur Indikatorfunktionen 1p Hilfsvariable fUr Indikatorfunktionen
Namensverzeimnis
Adam, D. 436, 440, 465, 468, 471 Agthe, K. 109 Albach, H. 122, 159, 187, 253 Allen, R. G. D. 33, 156, 553
Beckmann, M. 182 Bellmann, R. E. 281 Bramesfeld, E. 83
Carlsson, S. 33
Dano, S. 182 Dinkelbach, W. 436, 444, 449, 470 f. Dreyfus, St. E. 281 Dubbe183
Ferschl, E. 281
Galweiler, A. 67 Graf, O. 83 f. GroJ3le, H. K. 177 Gutenberg, E. 17, 21, 62 f., 67, 73 ff., 88.
94, 98, 100, 126 ff., 143 f., 156 ff .. 177 ff., 190, 243, 252, 258, 325, 355 f., 477
Haller, H. 33 Hasenack, W. 34 Heinen, E. 35, 37, 78, 131, 476, 502, 506 Henzel, F. 17, 62 Hoffmann, A. J. 135
Jacob, H. 178, 253
Kartaun, J. 122, 128 Kilger, W. 35, 100, 127 f., 159, 509, 527,
531 Koch, H. 37, 78, 81
Kosiol, E. 35, 501 f. Krelle, W. 71, 156
Lehmann, W. 83, 126, 558 ff. Liwschitz, M. 558 ff. Ludwig, H. 129, 568 Lutz, F. u. V. 77
Marshall, A. 33 Mellerowicz, K. 34, 78, 178, 481, 505 Michel, E. 512 Moller, H. 33 Moore, H. L. 33 Miiller-Merbach, H. 452, 539
Nordin, J. A. 126
Plaut, H. G. 512, 531 Preiser, E. 547
Riebel, P. 35 Rummel, K. 37, 131
Schafer, E. 22, 175 Schmalenbach, E. 49, 62, 78, 130, 256, 500,
502 ff. Schneider, D. 156 Schneider, E. 17, 33, 37, 62, 67, 73 ff.,
80 ff., 93, 130, 152 f., 170 Schultz, H. 33 v. Stackelberg, H. 33, 67, 73, 75 ff., 81,
94,509
Tigges, H. 528
Vazsonyi, A. 107
Walras, L. 159 Wittmann, W. 180
Sachverzeidmis
Absatzgeschwindigkeit vgl. Geschwindigkeit
Aggregat - Ein-Zweck-Aggregat 89, 112, 126 - EngpaB- 100 - Mehrzweck- 89, 126, 380 Amoroso-Robinson-Formel 508 Analyse, quantitative 15 Annahmen, allgemeine produktions
theoretische 73 ff. Anpassung 17, 62, 79 - intensitiitsmiiBige 64, 79, 177, 181,
190 ft., 214 ff., 222 ft., 258 ff·, 307 ff., 328 ff., 347, 354 ff., 454, 464, 469
- nach dem Ertragsgesetz 64, 177, 181, 498,586
- quantitative 79, 97, 252 ff., 258 ff., 291, 307 ff., 326, 328 ff., 347, 454, 457, 464,469
- zeitIiche 79, 190 ff., 218 ff., 222, 291 ff., 307 ff., 347, 360 ff., 454, 464, 470, 479
Arbeit vgl. Fertigung Arbeits-- gangart 66, 131, 380, 468 - gangarteinheit 101 - gangartfolge 381 ff., 391, 443, 465 - gangartmenge 86, 101, 107, 356, 362,
370,471 - gangartmengen-Lagerdauer 458 - gangfolge 70, 87, 113 f., 443 ff., 449 ft.,
462 ff. - gangfolge, optimale 443, 453 - gangfolgevektor 87, 113 ff., 382 - kriifte 64 Auflagehiiufigkeit 87, 114, 381 ff., 417,
436, 449, 469, 541 f. - gewinnmaximale 441 f. - optimale 381 ff., 387 ff., 409 ff., 421 ff.,
434, 436 ff., 450 ff., 460 ff. Ausgaben 405, 416 AusschuB 84
Beschiiftigung 17, 42, 62 - Plan- 528 f., 536 - Vber- 500 Bestellmenge 539, 597 - optimale 540 ff., 597 Bestellpolitik 546 Betrachtungszeitraum vgl. Zeitraum Betrieb - Einprodukt- 65, 384 - Mehrprodukt- 65, 112, 465
- Saison- 490 Betriebs-- groBe 129, 568 - optimum 43, 358, 369
Charge 480 ff. Chargenproduktion vgl. Fertigung
Degressionseffekt der fixen Kosten 80, 83, 237
Einnahmen 405, 408, 416 Elastizitiit 39 - Bestimmung der 553 ff. - Definitionsgleichung der 553 - der fixen Kosten pro Stuck 48 - der gesamten fixen Kosten 48 - der gesamten Kosten pro Stuck 45 ft.,
468,506 f. - der gesamten variablen Kosten 499 - der Gesamtkosten 43 ff., 497 ff., 499,
506 f. - der Kosten 19, 32, 37, 42, 352, 381,
497, 500, 505, 507, 511 ff. - - Hauptarten der 36, 38 ff. - - Determinanten der 63 - - Unterarten der 39 - der Nachfrage 508 - dervariablenGesamtkosten 47, 497ff. - der variablen Kosten pro Stuck 48 - des Durchschnittswertes 508 f. - des Gesamtwertes einer Funktion 508 - des Preises 508 - des Verbrauches einer Faktorart 517 - des Wirkungsgrades 517 - fertigungstechnische 126 - im engeren Sinne 27, 31, 42 ff. - im weiteren Sinne 27, 31 - K-t-M-Elastizitiit 292, 309 - K-x-M-Elastizitiit 261, 309 - leistungswirtschaftliche 35 - Niveau- 170 - Substitutions- 168 Elastizitiits-- begriff 27, 32, 553 - koeffizient 34 Endproduktmenge 356 Ertrag 142 - Durchschnitts- 515 f. Ertrags-- gebirge 145 - gesetz 143, 176 ff. Extremwert 491
Sachverzeichnis 635
Fiihigkeiten, psycho-physische 64 Faktor (Faktoren) 63 - limitationale 174 - Primiir- 184 - Sekundiir- 184 Faktor-- arten 64, 182 - arten, fixe 143, 165, 178 - arten, limitationale 174 - arten, variable 143, 182 - eigenschaften, immanente 65, 129,
252,255 - eigenschaften, kombinations
bestimmte 65, 130, 252, 255 - einsatzmengen 63 ff., 87 - einsatzmengen, BestimmungsgroBen
der 63, 70 - preise 63, 71, 87, 173, 181, 495 - qualitiiten 64, 90, 92, 126, 564, 587 Fall, allgemeiner, spezieller
vgl. Produktionstheoretisches Modell Fertigung - aussetzende 478 f. - Chargen- 480 - in Reihe 353, 376, 455 - kontinuierliche 478 f. - parallele 251, 264, 376, 455 Fertigungsstufe 389 Fixkostenintensitiit 499 Funktion - Elementar- 21 - Gewinn- 441 - Komplementiir- 22 - Kosten- 95 ff., 201 ff., 421, 425, 432,
439, 447, 450, 460, 488, 512, 542, 544 - Produktions- 141 - - vom Typ A 143, 175, 177 - - vm Typ B 156 f., 159, 175, 177,
355 f. - - Cobb-Douglas 156, 165, 174 - - linear limitationale 159 - Spiegelbild- 22
Geschwindigkeit - Absatz- 381, 391, 398, 409, 466 f.,
484 f., 489 - Aufwands- 75 - Momentan- 77 - Produktions- 67, 75, 398, 459, 466, 469 Gewinn 434 f. Gewinn-- maximierung 437, 440 - maximum 436, 495 Grenzkosten 43, 225 - K-t-M-Grenzkosten 292, 300, 304 - K-x-M-Grenzkosten 261, 277 Grenzkostenkurve, aggregierte 274
Grenzplankostenrecbnung 512, 531 Grenzproduktivitiit 147, 223, 304 ff. - partielle 143, 180 Grenzwert 508 - einer Funktion 510
Homogenitiit, lineare 155 f.
Indizes, verwandte 88 ff. Investition 253 Isoquante 146, 160 ff., 171, 264 - Abweichungs- 534 - Kosten- 150, 264 f.
Kapazitiitsgrenze 222, 295 Kapitalbindung 398 f., 405, 408 ff., 420 ff.,
433, 460, 482 ff. - auf Ausgabenbasis 437 - auf Einnahmenbasis 437 - durch Lagerkosten 419 - durchschnittliche 421 - in der Produktion 426 Kapitalbindungsdauer 458 Kapitalfreisetzung 421, 430 f. Kombination, kostenoptimale 212 Koordinatensystem, doppelt logarith-
misches 387, 554 Kosten - Anlauf- 479 - arbeitsgangartfixe 88, 112, 117, 130,
132, 199, 253, 323 ff., 380, 444, 467 - arbeitsgangartfixe Lager- 392, 404 f. - arbeitsgangartfixe Produktions- 392,
404 f., 411, 447, 472 - Beschleunigungs- 477 - betriebsfixe 108, 133, 253, 268 - betriebsfixe, zeitraumabhiingige 99,
108, 130 - degressive 501 ff. - degressive Gesamt-, im weiteren
Sinne 506 - der Unterbrechung 479 - Dispositionsbestimmtheit der 17, 62 - Effektiveinheits- 532 ff. - effektiv erwartete 532 - Einlagerungs- 402 - elastische 41 - Erzeugnisfix- 109 - Erzeugnisgruppenftx- 109 - fixe 61, 99, 130, 500, 502 ff. - gesamte 87 - Inbetriebnahme- 92, 95, 132, 134, 199,
253 f., 322, 327 ff., 454, 461, 464, 476 ff., 481 ff., 489
- intervallfixe 98, 324 - kalenderzeitabhiingige 131 - Lager- 384 ff., 418, 424, 444, 448,
456 ff., 460, 472 ff., 481 ff.
636 Sachverzeichnis
- leistungsartfixe, zeitraumabhiingige 109, 111, 116, 119
- losfixe 87, 112 - losfixe Lager- 383 f. - Pflege- und Erhaltungs- 404, 411, 414 - Planeinheits- 532 ff. - pro bestellte Einheit 540, 547 - Produktions- 384 ff., 481, 485 - produktiveinheitsfixe 99, 108, 111, 116,
119, 134, 253, 268 - pro Leistungsarteinheit 358, 383 - progressive 501 ff. - proLeistungseinheit 290, 307, 312, 315,
352, 359, 363, 367 f. - proportionale 501 ff. - pro Zeiteinheit 87 - regressive 501 ft. - Rtist- und Abrtist- 130 - Stillegungs- 92, 95, 132, 134 ff., 199,
253 f., 323, 327 ff., 454, 461, 464, 476 ff., 482 ff., 489
- Stillstands- 92, 132, 135 ff., 199, 254 f., 324, 327 ff., 485
- Sttick- 43, 232 - Transport- 457 f. - unelastische 41 - variable 85 - - Produktions- 383, 391, 411 - - pro Leistungseinheit 516 - - pro Zeiteinheit 206 - - zeitraumabhiingige fixe 112, 402 - zeitraumproportionale fixe 131 - zeitraumunabhiingige fixe 87 - Zins- 385 f., 409, 422, 424, 430 f., 444,
449, 460, 483, 487 f. Kostenbegriff 63 Kostendenken, relatives 525 ff. Kostendeterminanten, groBe 62 KosteneinfiuBgroBen 17 f., 38 f., 61 ff.,
70,505 - Haupt- 62 - Interdependenzen zwischen 71 - rechnung 514 f. - Sekundiirwirkungen der 72 Kostenelastizitiit vgl. Elastizitiit der
Kosten Kostenfunktion vgl. Funktion Kostengebirge 147, 264 Kostenkategorien 500, 505 f. Kostenminimum vgl. Minimum Kostenoptimum vgl. Optimum Kostenplatz 512 Kostenrechnung 511, 520 ff. Kostentheorie 15 - betriebswirtschaftliche 549 - statische 73
Lager-- dauer 393 - bestand 467, 473 - Fertigwaren- 380 f., 398, 416, 418, 423,
427 ff., 485 f. - zugang, einmaliger 396 - zugang, tiiglicher 396, 484 f. - Zwischen- 365, 372, 376, 380 f., 387 ft.,
539 Lagrange-- funktion 222, 259, 291, 309, 363, 374,
376,450 - Multiplikator 150 Leistungs-- art 65, 106, 468 - arteinheit 101 - artmenge 353, 357, 362, 465 - artmenge, im Planungszeitraum ab-
setzbare 383 - funktion 191 ff., 214, 389, 391 - menge 65, 81, 84 ff., 142, 161, 190, 212,
355 f. - mengenabweichung, relative 536 Leistungsintensitiit 66 f., 74 ff., 81, 85 f.,
89 f., 120, 142, 161, 191, 198, 212, 246, 356 ff., 362, 367, 389, 391, 445 ft., 452 f., 460, 465 ff., 470, 476 f., 484 ff., 518
- Konstanz der 89 - variable 120, 476 f. Leistungszeit vgl. Zeit Leistungszeitraum vgl. Zeitraum Limitationalitiit 167 f. Losfertigungszeit 389, 394 ff., 405, 417,
423, 427, 430, 466 LosgroBe 380 ff., 443, 449, 539, 541 ff., 597 - optimale 381 ff., 410, 436, 450, 454, 465,
468, 469, 540, 546 ff., 596
Mindestlohn, garantierter 200 Minimalkosten-- kombination 19, 143, 148, 172, 178,
182, 184, 212, 223, 242, 245, 261, 351, 477, 492, 495, 526, 549
- kurve 240, 277 ff., 300 ff., 307, 312, 315, 330, 341, 351, 352, 367, 378
Minimum - der Sttickkosten 47, 217, 232, 237, 358,
492 ff. - Kosten- 259 - minimorum der Kosten pro
Leistungseinheit 270, 290 - sektor, Dominanz des 358 Mischungsproblem 172 Modelle, 'Obersicht tiber die 91 Momentangeschwindigkeit
vgl. Geschwindigkeit Momentanproduktion 74, 77, 85, 93
Sachverzeichnis 637
Operations Research 15 Optimalitatsprinzip 281 Optimalwert 491 Optimierungskriterien der Kosten 521 f. Optimum - der Gesamtkosten 497 - der Kosten 491
Parallelarbeit vgL Fertigung Plan-- kostenrechnung 511 - kostenrechnung, flexible 527 - Leistungsmenge 534 Planung, Arbeitsablauf- 465 f., 470 Prinzip - erwerbswirtschaftliches 18 - Rational- 18, 139 Produktions-- funktion vgl. Funktion - geschwindigkeit vgl. Geschwindigkeit - haufigkeit 68, 86, 90, 92, 95, 132 f., 141,
476 ff., 489 - - optimale 476, 483 f. - koeffizient 159, 438, 446, 494, 517 - programm 465, 471 f. - theoretisches Modell 85 ff. - - allgemeines 85 ff., 92, 196, 248,
264 ft., 272, 277 - - spezielles 92, 114, 191, 264 ff., 272,
292,310 Produktiveinheit 65, 512 - qualitativ gleichartige 65, 251, 254 f.,
258 ff., 291 ff., 307 ft., 328 ff., 340 ff., 363, 455 ff.
- qualitativ verschiedene 65, 251, 255 f., 273 ff., 299 ff., 308 ff., 335 ff., 344 ff., 353, 373, 462 ff.
Produktiveinheitskombination 279 Programmierung - dynamische 281, 284, 320, 349 - lineare 302 ff., 319, 538 Proportionalitat 528 Proportionalitatsabweichung 30, 56 ff.,
530 ff., 543 ff., 597 ft. ProzeBstrahl 156, 161
Rationalprinzip vgL Prinzip Reagibilitat 28, 40, 216, 219, 226, 228 - Bestimmung der 49 ft. - der fixen Kosten pro Stiick 52 - der gesamten fixen Kosten 51 - der gesamten variablen Kosten 50,
523 - der gesamten variablen Kosten pro
Einheit der KosteneinfluBgroBe 523 - der gesamten Stiickkosten 51 - der Gesamtkosten 50
- der Kosten 34, 352, 505, 511 ff., 527 f. - der variablen Stiickkosten 52 - geortete 527 ff. Reagibilitatsgrad der Kosten 34 Reihenfolgeproblem 278, 391 Returns to scale 256, 352
Sensibilitat 539 ff. Substitution - alternative 182 - periphere 143, 165, 174, 180 - periphere Faktor- 156, 172
Theorie, operationale 15 Transportproblem 463 Traveling-Salesman-Problem 444
tJberstunden-- lohne 83 - zuschlage 201 Unternehmer 21 Unternehmensforschung
vgl. Operations Research
Variabilitat 29, 40 - Bestimmung der 55 - der gesamten fixen Kosten 57 f. - der gesamten variablen Kosten 56 ff. - der Gesamtkosten 56 f. - der Kosten 503 ft., 511, 530 ff. Variator 512, 528 Verbrauch, spezifischer 515 ff. Verbrauchsfunktion 156, 171 ff., 173, 477,
557 ff. - preisabhangige 174 - preisunabhangige 174
Wirkungsgrad 64, 515 ft., 557 ff., 592 f. Zeiten - Abriist- 69 - Durchlauf- 387 ff. - Fertigungs- 457, 482 - - pro Leistungsarteinheit 439 - Lager- 457 ff. - Leistungs- 68, 76, 81, 85 f., 142, 161,
191, 198, 212, 356 f., 362, 374, 387, 452 ff., 466, 467, 478
- - maximale 237 ff. - leistungsfreie 68, 430, 445, 459 - Liefer- 422 ff., 433 - Riist- 69, 395, 430, 436 ff., 445, 459, 464, - Stillstands- 485 - Warte- 389, 457 Zeitlohn 200 Zeitraum, Leistungs- 67, 76, 86, 90, 92,
130, 134 ff., 323 f., 384, 389, 394, 436, 468, 471, 477, 481, 490
Zinsen, fUr das Fertiglager 418, 431 Zinssatz 383, 547