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113

Ein Satz fiber die Krampsche Transzendente und einige best immte Integrale.

Von Leopold Theisinger in Stockerau.

Aus der Definitionsgleichung der Krampschen Transzendente 03

L (x) =fe-~dt (1) r

x

ist ohne weiteres zu ersehen~ da$ diese Funktion ftir keinen reellen Wert yon x versehwindet. Dagegen kann aus der Darstellung (1) nicht unmittelbar erkannt werden~ ob diese Funktion komplexe Zahlen als ~qullstellen besitzt~ die zufolge eines Satzes der Funk- tionentheorie paarweise konjugiert sein mtil3ten.

Wird aber die obige Gleiehung in der Form

L(~)=f~-(:~+~)'at=~-~fe-~-~dt (2) 0 0

geschrieben und hierinnen

gesetzt~ so geht unter der Voraussetzung a > 0~ wenn z die reellen Zahlen yon 0 bis ~ durehlauft~ aueh t yon 0 bis cx~ auf einem Weg% der~ dem Cauchysehen Theorem naeh, dem ursprting'lichen Integrationsweg aquivalent ist. Naeh Ausftihrung der Transformation gelangt man zur Formel

r �9 1 e_(~+~)~ i 1 e 1-4-zdz

J -

a > 0

.re l+~dz| (3)

die yon mir zuerst auf andere Art abgeleitet wurde. Den hier ge- gebenen~ sehr einfaehen Beweis verdanke ieh einer freundlichen Mitteilung des Herrn Professor W i r t i n g e r. Da weder der erste reehts bei (3) stehende Faktor versehwinden kann~ noeh eines der

Mona~sh. fiir Mathemat ik u. Physik. X X V I . Jahrg . 8

114 Leopold Theisinger.

beiden in der Klammer befindliehen Integral% wie ja sofort aus den Formen ihrer Integrande zu ersehen ist~ so ist also dutch (3) gezeigt~ dab ftir beliebige reelle Werte yon ~ und a > 0 die in der Zerlegung

L (~ § ~ i) = u (~, ~) + i v (~, 7)

vorkommendenKomponenten

tion in (1) langs desin neben- Oi ~ oo stehender Figur angedeuteten

Integrationsweges M P oo aus- gefiihrt~ so erhMt man

L (~ + ~ i) ---- o o 1 1

f . . . . . ,~ / ' ; /~ ,~ ~ , - - - - e ~'~ sin (~2 q ~ x) d x - - e d x ~e -~ - ~ e j e cos (z ~ o x) a

1 0 0

und auf ganz analoge Weise ergibt sieh unter der abermaligen An- nahme a > 0 :

i 1 / ~ +

a 1 1 r _ as fit

o 0 0

Aus diesen beiden Darstellungen ist zu ersehen, dai3 die imaginaren Komponenten der Funktionswerte

L ( ~ + ~ v~ und L ( - a @ ~ i )

voIlkommen tibereinstimmen. Dem Vorherigen zufolge sind also diese Komponenten stets yon Null versehieden und somit ergibt sieh der naehstehende Satz: Es gibt weder eine reelle noch eine komplexe Zahl~ ftir welehe die Krampsehe Transzendente versehwindet. Wieder auf (2) zurtidkgehend erhiilt man

O(3

0

und dureh Vergleiehung der reellen und rein imaginliren Teite dieser und der Formel (3) die ftir al]e Werte des Parameter ~ gtiltigen Relationen :

CO OO 2

:- '~-~ cos (2 ~ t) ~ t - - s . J ~ i - ~ ' ~ > 0 (5) "0 0

Ein Satz fiber die Krampsche Transzendente etc. 115

e ~ / e l + z d z

0 0

> o. (5)

Im Falle ~ = ~ sind die hier linksstehenden Integrale in ge- schlossener Form durch die Fresnelschen Funktionen

13o co

(x) =/r (t~) at, s (~) = f~ i . (t~) d t cv

ausdrtickbar, wie nun auf einfache Weise gezeigt werden solk Man braucht blog in (2)

X ~ e 4

zu setzen und erhMt dann mittels der bekannten Gleichung

oo

0

+ i {C (,~1/2)sin ( 4 -~-2 q / ) - S (a V2)cos ( 4 -+-2 a')},

woraus sofort die Formeln (2<)

f -t~-~.t t) dt ~ - e cos (2 ,t 0

= C (~1/2) cos ( 4 + 2 a ~) + S (~x 1/2)sin ( 4 + 2~x 2) (i)

1210

f e-t*-~'tsin (2 o~ t) dt ------

) =--r ~,~ T + ~ , ~ +s(~,V~)oo~

(ii)

8*


hervorgehen. Durch Komblnat ion derselben mit den ~ ~--- ~, 1 + z ~--- t ~ entstehenden Gle iehungen

c o c o

j:- i ~(t~-t-~)d t 1 -t:'-2~t = - - e cos ( 2 ~ t ) d t ,

g 1 0

c o oo

J t2 ~ 1 0

erhalt man :

f e-"~(r-t- ~) d t _~_ 1

aus (5) fur

(Il l)

c o

1 (IV)

a > O .

Mittels der Substitutionen

kann (I) und (II) transformiert werden in oo

j e - z ~ = c 0 s ( 2 x z - 2 x ) d z = 1

c o

f --~2~ 2 e sin ( 2 x z - - 2x) dz-~- 1

1/x


so dal~ also naeh einiger Rechnung folgt: o o o o 1

�9 . e o s ( 2 x z ) d z = e - ~ - ~ * "

1 0 0

�9 - . . . . - fe-*"=sii (2xz) dz j e -~= sin (2 x z) d z - ~ j e - sin(2 xz) dz . ~-~ 1 0 0

- - x

V 5 ~

Diesen Gleichungen entfliel~en nach Einsetzung der Integrale

j " --xz~ 1 "R -x e cos(2xz) d z = ~ - e 0

(:3o - - x

f e -0,~ sin (2xz) dz - - ~ "l/x 0

die weiteren Formeln:

1 - - X

f e_**, . 1 | / ' ~ - e { )} 2 x 1/2 x

0

1

f e - ~ ~ sin (2 x z) d z -~ 0

. _ x (v i )

x~.O.

Die zweite der Relationen (5) s011 noch zur Attswertung eines Integrals verwendet werden, welches die Krampsehe Funktion in ihrem Integranden enthltlt und sieh dutch dieselbe ausdrtleken liil~t. Aus (5) folgt namlieh:

o o o o o o o o

0 0 0 0

a > O ,

(~)


Nun ist einersoits O9 CO

;sin(2,z) d~ i f (.l ~' )sin(2,z)d, 0 0

und anderseits hat man

r i)

0

so dal~ also dureh Substitution dieser Integrale in (6) entsteht:

f e - ~ " + ~ + ~ L a d z _ _ �9 3 - - J (1 +

0 (7) (~3 O:3

0

Diese Gleiehung geht mit Beaehgung von (2) und wenn links z ~---tang~ q~ gesetzt wird tiber in die Formel:

2

f e -~'*a"g'~+~si~~ L (a sin ~) sin ~o d~o = o (VII)

_~_1/~2 a { e"~ L (a) - e-("+~~ L (a-~- a)}

a ~ O , ~ > 0 .

Weiterhin ergibt sich, wenn in (7) ~ = b @ t gesetzt, mit e -t" d t multipliziert und naeh t ~on 0 bis cx~ integriert wird

: ~ ( 1 - - e ~2"')

0 0

--=-"a e - ~ - 2 ~ d e - t~ -~ t dt - - e -~-~(~+~ d e-t~-2~tdt

0 0 0

1) N i e l s e n : Theorie des Integrallogarithmus. Seite 19, Formel 13.

Eia Satz tiber die Krampsche Transzendente etc. 119

und nach Ausfahrung der auf die Variable t beztigliehen Integra- tlonen, was wieder mittels (2) zu geschehen hat:

\ , t + z / " e

d z ~

0

~ e - ~ " L ( z )dz e -2(~~-~)~ L (z) d z �9 a ~o o

Daraus resultiert unter Bertieksichtigung der durch partielle Inte- gration sich ergebenden Gleiehung

(20

f V~, e ~c L (u) u > 0 e - ~ L ( z ) d z - - 4u 2 u O

z - - t auf das links be- und I1ach Austtbung der Substitution 1 @ z

findliche Integral die Formel:

1

f / bt \ (.,-b,)t =

0 V ~ [ e(~+~), L (a _~_ b) e~, L (b) i (VIII)

i

f a > O , b > O .

AnschlieBend hieran sollen noeh einige Integrale mitgeteilt werden, die sich /lurch Zylinderfunktionen ausdrticken lassen. Z u - I11~ehst erhalt man dureh n-malige Differentiation der allbekannten Formeln

oo oo

f ~ C O S ( ~ X ) ~ X - - ' f f ' - - a a } "'xsiIl('2x) c ~ x ~ - a a a ' > O ~ 2 + x 2 - - - - 2 e , ~2 _~_ x 2 - - ~ - e , ( ~ 0

0 0 wovon die erste auch ftir ~-=-0 gilt, I1ach dem Parameter a mit Bentitzung der Differentia]relationen

, ~ ~+~ cos ( n @ 1) aretai1g , ( a + Z ~ ) 2 '

D2 a~__Zxx ~ = (a ~ + x ~)~§ x sin (n -~- 1) aretang ,

120 Leopold Theisingcr.

die Beziehungen (30

cos (~ x) cos I(n @ 1) aretang ~ . d x

0

o o

sin (:~x) sin (n -~- 1) arctang d x ~ . . . . .

0

die sieh ftir a = 1, und wenn x = tang q) gesetzt wird, verein- fachen zu :

2

f ( cos q~)~-~ cos ((n 7~ 1) q~) cos (a tang 9~) dq~ : 0

. ~ (s) 2

-=.,/(cos 9)"-~ sin ((n -~ 1) q~) sin (~ tang 9) d ~ = 2 ' n I " 0

Ferner gehen aus der fur e -~" geltenden Potenzreihe dureh die Annahme

z = ~ cos ~ (cos ~ + i sin ~r

die ftir alle ~ und q0 gleicbm~gig konvergenten Entwieklungen

e-l~~ (~ sin q; cos ~) = ~ ( - 1)~ y~ (cos q0) '~ n ! cos ~. ~

e-~~176 (~ sin r cos q~) : - - ~ n i (cos ~)'~ sin n n ~ o

hervor, die zu den weiteren Gleiehungen ft~hren:

-~oo~ cos ((,~ + 2)~ --~ sin ~ cos ~)=

= ~ ( - - ~)"~ (~os~,),~os((,~+,~+ ~)~)

o o

= ~ ( ly~ "~

Ein Satz fiber die Krampsche Truns~endente etc. 121

Eine Multiplikation derseiben mit

cos (~ tang ~) (cos ?)m d qo resp. sin (e tang q~) (cos 9) ~ d q~

und Integration naeh ? yon 0 bis -ff liefert:

2

f e - ,oo~~ oos ((,n + S) ~ - - ~ sin ~ cos ~) (cos ~)m cos (~ tang ~) d ,s = 0

---- ( - - ~ " f ( e ~ 1 7 6 2 4 7 1 7 6 n ~ O 0

2

fe -zr176 sin ((m ~- 2) q) - - ~ sin q) cos ~p) (cos r2)" sin (~ tang q~) dq~ = 0

oo z l~n ~n 2

~ 0 0

oder wie naeh (8) aueh gesehrieben werden kann:

2

f e - ~ r 1 7 6 cos ((m @ 2) q) - - ~sin (p cos q~} (cos ~)"eos (= tang q~) d ~ = .i 0

=--ff~ e ~ n!(m-[-~)t n ~ 0

(9) m~

2

o

2 n t -{- ~ 0

Die hier vorkommende Reihe ist ein spezieller Fall der far die allgemeine Besselsehe Zylinderfunktion gUltigen Darstellung

~ t ~ 0


aus der namlich ftir z = m, z = 2 ] / ~ - folgt:

= ~; ~ ~ ( ; - ; : ~

Mit Rtieksieht hierauf resultieren also aus (9)d ie Integral- formeln :

z~

2

f e -t~c~176 cos ( ( m + 2)(p--,3 sin q~eos@ (cos qg)"eos (~tangq~)dq~= 0

" (IX)

2

2

fe -~'~~ sin ((m@ 2) 9 - - ~ sin q~ cos q~)(cos q~) ~ sin (~ tang 9) dq) = 0

~ > 0 .

Dieselben gelten ftir jeden Wer t des Parameters ~ wobei noeh bemerkt werden mag~ dal~ ftir ~ ~ - 0 reehts der Grenztiber- gang lira ~ = 0 auszuftihren ist. Eine p-malige Differentiation einer derselben naeh ~ z. B. der ersten, liefert:

2

( - - 1) p f e - z ~ 1 7 6 1 7 6 cos ((m + / ) + 2) q~ - - ~ sin q9 cos q~) (cos q))~'~ +%os(atangq~)dq) =

m m

- - - - j m

Anderseits ist aber naeh (IX) selbst:

2

(cos q~) cos (~ tang ~0) dq) = 0

m + p

- _ = ( ~ ] '~ ~-~ J"+~' ( 2 ~ / ~ ) . 2 \ ~ /

Diese und die vorige Gleiehung ffihren zu der bekannten Relation :


D~ [~ ~- jm (2V~)]---- (-- 1)" ----7- J'~+~' (2] /~) �9 ~ g

Sehliel]lieh mSgen noeh die far m = 0 aus ( IX)und (X) naeh einigen Bezeiehnungs/inderungen sigh ergebenden Formeln erw/thnt werden :

e- ~~ ,e eos (,5 - - ~ sin ~) cos e tang d ,~ = (XI)

0

Ein anderes dureh Zylinderfunktionen ausdrtiekbares Integral ist

wofUr sieh direkt ergibt: zv

2

2 , / ' e " - a sin~~ d ~ 0

2

/ v~ ,~- ~ +- ~; ~ ' - - =o s! (sinq~) 2 d q ) :

o o (10)

1 - ~ ( 1)~F s _~_~_

= - 2 - ] /~ ~ S I ~" .=os, F ( 2 4 @ 1)

Dureh Zerlegung der Reihe in zwei Tell% wovon der eine nur die geraden~ der andere die ungeraden Potenzen yon a enthalt~ nimmt (10) die Form an:

[ ~ - ~ 1 v~- 1 - J ] / s ~ =-- 2 =o(2s)!F(s---s (11) 0

1 ]

. .

~= 1 1)

124 Leopoht Theisinger.

Einer der Theorie der Gammafunktionen entstammenden Formel naeh ist

1 / ~ (4s-~ 1)F (2s-~ - 1 ) ,.(s+l+l)_ 1 1)

1 1) 2~8+1F (s ~ +

was verm(ige der aus der Relation

---~s! F ( x - - s -~- 1)

sich ergebenden Gleichungen

4s-~- 1

2 ~ (4 s -~- 1)

8

2 2~-1 (4 s - - 1)

auoh umgeformt werden kann in:

F(s+~)- ~,~,~(~ ~ 1/~

E i n Satz t iber die K r a m p s c h e T r a n s z e n d e n t e etc. 125

Durch Substitution dieser Ausdrticke in (11) entsteht:

2 - - a s i n ep ~

0 s:0 r ( s - ~ + l ) ~ 4 j r (s+~-+t) ~

(12)

Nun folgen aus der allgemeinen Produktdarstellung 1)

dureh die Spezialisierungen

1 1 1 1 p = ~ - , z = ~ - resp. p ~- - - ~ - , z = - - T

und ftir z ~---~- die Reihenentwicklungen

: l ~ - ) : - - v ; ~=o r ( , + ~ + l ) ~

,~i 2 s y

j 4 ~ - r(~ ~ )~

~ = o - - ~- - l - 1

denen zufolge aus (12) die seh(ine Integralformel

'2

J ~ - ~ F ~ - i ~ ~ ~ ~ ~ (XlI)

resultiert. Wie aus der Herleitung derselben zu ersehen ist, gilt dieselbe ftir jeden Wert yon a.

Aus der ftir alle reellen Werte des Parameters b giiltigea Formel c o

0

N i e 1 s e n : H a n d b u c h der Theor ie der Z y l i n d e r f u s k t i o n e n , Selte 20, Formel 4.


geht ftir b - - ~ die Gleichung z

/ 1 , _ . . _ , _ _ e:-ex~dxfe-eeos. 2= d y = T w j x e ~ "dx 0 0 0

03)

hervor~ deren linke Seite mittels der Substitution

x = u cos ~ ~ y ~ u sin

transformiert werden kann in: ~v

2

0 0

zv

2 c o

2 os (2 a tang~) (cos ~ f d~ - - 2

0 0

cos (2 ~ z) d z

(i + z0T +1

Demnaeh ergibt sieh aus (13)

(2,0 (DO

e-'~-~ = V~- 3 ( 1 + zOY +~ 0 0

, (14)

woraus zunaehst dureh die spezielle Annahme z----0 naeh einiger Reehnung die Formel

*" d* = ~ I/ 7 ~ (a) > O, ~ (b) ~ 0 (1~,) 0

entfliel3t. Mit Bentltzung der bekannten Relation

] - T (z) = cos z

kann die reehte Seite yon (14) umgeformt werden in

Cx3 1 1

v~ r ( ~ + 1 - - . - 7 , ~ 7 , ' o J (1 ~ - z 0

Ein Satz tiber die Krampsche Transzendente etc. 127

so dai3 also aus (14) zufolge der allgemeinen yon S o n i n her- rtihrenden Formel 1)

c o

J (1 -J- z~) z+~

Z .~--Z+l

2 ~+~ F (k -~- 1)

in der allgemein H~ * (u) die dutch die Gleiehung

h~i

I } ~-- ~ - (u)--e-Y J-h(u) sin h~ e- j h (16)

definierte Hankelsehe Zylinderfunktion erster Art bedeutet, die folgende Formel resultiert:

c o ." __x~ .__a%z , ~ ,/~ a + l ( 1 - - o-) z i 1 --[- o

0

(XlII)

Well das auf der reehten Seite der Gleiehung (14) stehende Integral nur ftir reelle Werte yon a und solehe z konvergiert, deren reeller Tell gr613er ist a l s - 2, so kann zun~tchst nur ge- sehlossen werden~ daft die aus (14) gewonnene Formel (XIII) sieher far solehe Werte yon ~t und z riehtig ist Dal~ aber dieselbe unter der Voraussetzung eines positiven reellen a aueh ftir alle z gilt, deren reeller Tell unterhMb der Zahl - - 2 liegt'~ kann leicht gezeigt werden. Denn es sei ~ - - a @ b i ~ wo a > 2 und b beliebig ist. Dann hat man:

GG Cx~

f xae -z:~-a~'x-~ dx o ;

(x - ( a - b o e - X ~ - ~ x - ~ d x =

GO

1--a+.bi f xa--2--hi c--x2--a*x-~ d x ;

o

Wegen a > 2 kann auf das letzte Integral sicher dio Formel (XIII) angewendet werden~ wonach sich ergibt:

~) N i e l s e n : Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen~ Seite 221~ Formel 7.

1 2 8 L e o p o l d T h e i s i n g e r .

(DO

f x--a-~bi(i--x~--a~x--:6~ X ____

1--a-~-bl

2 cosl(a--bi--2) 2

_. _ . ; (i +~- 2-I~,')

e<l+~ ~ bo~ j ~ ( 2 ~ i ) - -

2

[i+(-,+~i)] o{ 2 e[1 §247 ~ j - [ 1 ~ - ( - < t § ~ i) - -

_ ~ i [ l + ( - ~ + b 0 ] )} _ - - e [l+(-~+b,)] u J ~ (2~i "

Mit Rtieksieht auf die Definitionsffleichung (16) kann dieses aueh so gesehrieben werden

- - a § --x2--a~x -~ X C (~X---~

./ 0

7~

= E ' (2 0,

woraus eben die Richtigkeit der vorigen Behauptung erhellt. Unter der Voraussetzung ~R (a 0 > o ist sowohl das Integral

(XIII) als auch der dort rechts stehende Ausdruck eine analytisehe Funktion yon ' ~. Einem Fundamentalsatze der Funktionentheorie zufolge gilt daher die Formel (XIII) ftir alle % deren reeller Teil positivist.

Dem Umstande zufolg% dab die Funktion

X(~ e -~ x ~ - - a 2 x - a

ftir reelle a und alle dem Integrationsintervall angehSrigen x-Werte positiv ist~ kann das Integral (XItI) ftir solehe a nicht versehwinden.

1 -~- z jeden beliebigen Wert k Da bei entspreehend gewiihltem % - - ~

haben kann~ so ergibt sieh also aus XI I I der Satz : D i e H a n k e 1- s c h e Z y l i n d e r f u n k t i o n e r s t e r A r t b e s i t z t k e i n e r e i n i m a g i n ~ i r e n N u l l p u n k t e .

E i n S a t z f ibe r d ie K r a m p s c h e T r a n s z e n d e n t e e t c . 129

Durch Multiplikation der aus (XIII) unmittelbar entstehenden Formel

x" dx---- --r" ~"~ e 1:[1 ( 2 i ] / ~ ) o ~t

und der hiezu analogen

ergibt sich die Gleichung: oo o(3

f 2ca e-- ~ xt%- /~ x-- t~ d 'X . . f yZ e-- , ,]ft-- a ~-- t~ d y o ~ 0 (17)

Das Integralprodukt, welches einstweilen mit A bezeichnet werden soll~ kann auch als Doppelintegral aufgefal~t werden, und geht durch Anwendung tier Substitution

x = u c o s % y = u s i n ~ tiber in

-~ (18) 2 O<3

f( os ~ (sin " / ' -%u, ) o

2

oder wenn u-~-z~ gesetzt wird: (18')

2 OO ~" r [a-bTq-2\ t

a �9 ~ 2 - - - 1 -~7(s in

0 0

Unter der Voraussetzung o -~ ~ -~- 2 ~ ~-~ ist nach (15)

, c o

/ e - - { ? (sin cP)~u -~ 6(c~ 0

-b fl (cos ,p)-- re} - - '~ d z =

2 ]/8 (cos ~0)" -~- 7 (sin ~)" Monatsh. f i i r Mathemat ik U. Physik. X X V I . Jahrg.


und somit erh~]t man bei dieser Annahme:

6' ]/'~ (cos ~)" + "~, (sin ~?)"

Alles dieses in (17) eingesetzt liefert die Integralformel

r

2

/(oo~ ~)~ (sin ~)~-~ ]/1~ 1" + ~ ~ 1 7 6 d ~ _

]/~ (~o~ ~)"+ ~ (~i~ v) ,~ (XlV)

-~-i 1 / ~ ~ - ~ t f l ~ (2 i l / ~--~) H~ ~ (2 i l / ~.()

in der bei ~ o ~ z ~ 0 sein mul3:

~>=o, ~>=o, ~ > o , 8 > 0 , ~+~+2-y .

Durch die spezielle Annahme

~ --~ 2, a ~ ,~ : ~; : ~ ~ x ,

wobei x eine positive Zahl sein soll, entfliel~t aus (XIV) :

xr

2

cos qo) ~ (sin ~p)~ e ~i~ ~ ~o~ ~o d qQ = (xv)

= 2 ] / ~ x H l - ~ - ( 2 x i ) H l - ~ - ( 2 x i ) , x > O, a-~- ' : ~------ 1.

1 Die weitere Spezialisierung ~ ~--- z ~-- - - -~- fiihrt zu :

2

(xv')

Das Doppelintegral bei (18) n immt fur

~-----2, a ~ : ~ ( ~ - ~ a , a ~ 0

Ein Satz fiber die Krampsche Transzendonte etc. 131

die Form

2 c o

l( { ~ a z 2 - -

A ~ COS ~0) a ( a O S q))T d q), Z a @ ~ + 1 e s i n ~ ~p cos 2 ep d z

o

an, oder naeh Ausf'~hrung der Integration nach z mittels (XIII):

r~

2 T c l o - ~ l \ ~ i f " l a - } - v \ ( ~ r--a d~ a--yA---r )wjg~-t-~ -+1) c~i-

,sin ~ ~ s ~) (tang qo)" , cos ~ r o

Mithin resultiert aus (17), wann noah tang ~ --:- z gesetzt wird, die F o r m a l :

(7)0 2 - - d z _

0 ( X V I )

a > O .

9 ~