Hartmut GemmekeForschungszentrum Karlsruhe, [email protected].: 07247-82-5635
Einführung in die Elektronikfür Physiker
2. Definitionen &
Lineare Netzwerke
21.10.2003 Hartmut Gemmeke, WS2003/2004, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 2 2
Schreibweise von Formelzeichen
Bezeichnungen BeispielVektoren Elektrische Feldstärke, in Texten fett
Komplexe Größen sind unterstrichen, z.B.: Z = R + j X = r ejϕ
komplexer Widerstand
Momentanwerte sind klein geschrieben, i = i(t) momentaner Strom
Wechsel- und Gleichgrößen sind groß geschrieben, z.B.:
U: Gleich- oder Wechselspannung
Amplituden- und Scheitelwerte , U0: Scheitelwert einer sinusförmigenWechselspannung
Arithmetische Mittelwerte arithmetischer Mittelwerteines Stroms
r E
ˆ u
I oder < I >
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MaßeinheitenZehner-Potenz Präfix Abkürzung Beispiel
1018 Exa E EeV1015 Peta P PeV1012 Tera T THz109 Giga G GHz106 Mega M MΩ103 Kilo k kΩ100 Hekto h hl10 Deka da daA10,1 Dezi d dB0,01 Zenti c cm10-3 Milli m mA10-6 Mikro µ µA10-9 Nano n nA10-12 Piko p pF10-15 Femto f fF10-18 Atto a am
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Lineare Netzwerkelemente
Zweipole mit I ∝ U oder
Vierpole mit
• Für lineare Netzwerke gilt das Superpositionsprinzip:
I1(t) ∝ U1(t) und I2(t) ∝ U2(t) Lösung
=> a I1(t) + b I2(t) ∝ a U1(t) + b U2(t) auch Lösung
Iout
Uout
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ ∝ Matrix( )
Iin
Uin
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
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Nichtlineares Netzwerk?
(Dioden, Transistoren, ...)
Lösung:
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Grundgrößen und Definitionen
• Elektrische Elementarladung e = 1.60217733 10-19 As oder C
• Der elektrische Strom I = dQ/dt (Gleichstrom = konstant)
• Vorzeichen-Konvention für die technische Stromrichtung:
– Richtung des Stroms der positiven Ladungen von + nach - !!In metallischen Leitern sind Elektronen die Ladungsträger-> Bewegung der Elektronen entgegen der technischen Stromrichtung
– Spannung = Potentialdifferenz = treibende Ursache für den Strom:von + nach – (Pfeilrichtung)
I
RLUgU+
-
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Widerstand
•
• G = 1 A/V = Leitwert oder Konduktanz, 1S(iemens)
• Messmethode zur Kalibration des (Ur-)Widerstands:Klitzing: Quantenhalleffekt: h/e2 = 2518, 801 ± 10-8 Ω
• Widerstand eines Leiters: R = ρ • l/Amit l = Länge [m] und A = Querschnitt des Leiters [m2] undmit dem spezifischen Widerstand ρ [Ohm*m] oder der
• elektrischen Leitfähigkeit κ = 1/ρ
R =dU
dI
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
U0
=U0
I=1
V
A=1Ohm =1/G
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Spezifische Widerstände bei 20°C
Material ρ[10-6Ωm] α[10-4/K]
Silber 0,0165 38
Leitungskupfer 0,0178 38
Gold 0,023 39
Leitungsaluminium 0,0286 37
-------------------------------------------------------------
Wolfram 0,049 48
Zinn 0,104 46
Konstantan 0,50 -0,03
Quecksilber 0,97 1,2
CrAl305 1,44 0,1
(Heizleiter)
Graphit 8,00 -2,0
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Temperaturabhängigkeit
Eigenerwärmung ⇒ Nichtlinearitäten
Kohle
ideal
Metall
I
U
Grenzen:Widerstand wird ev. zuheiß (Schichtverbrennt)Pmax = Umax
2/Roder E = -∇U wird zugross (Durchschlag)
Eigen-Erwärmung:∆ϑ[°C] = PV∗Rth
mit thermischemWiderstand Rth[K/W]
Nennbelastung fürDauerbetrieb zumeistangegeben bei ϑ=70 °C
R ϑ( ) = R20 ⋅ 1+ α ⋅ ϑ − 20o( )( ), α =1R
dR
dϑ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
ϑ = 20o C
und ϑ in °C
Temperaturkoeffizient (TK) α
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internationale E-Reihe für Widerstände und C’s
Abstufung der NennwerteE48 alle Spalten (Faktor 101/48 pro Stufe)E24 ungerade Spalten (Faktor 101/24)E12 Spalte 1 und 5 (Faktor 101/12)E6 Spalte 1 (Faktor 101/6)
1 2 3 4 5 6 7 8
1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,40
1,50 1,55 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10
2,20 2,30 2,40 2,55 2,70 2,85 3,00 3,15
3,30 3,45 3,60 3,75 3,90 4,10 4,30 4,50
4,70 4,90 5,10 5,35 5,60 5,90 6,20 6,50
6,80 7,15 7,50 7,85 8,20 8,60 9,10 9,55
Toleranzen: E6: 20%, E12: 10%, E24: 5%, E48: 2%, (E96: 1%)
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Internationaler Farb-Code
3 Ziffern (erst ab E48 benötigt man drei Ziffernringe)
Farbe Ziffer Multiplikator Toleranz ±% Betriebsspannung für C
ohne - - 20 5000silber - 10-2 10 2000gold - 10-1 5 1000schwarz 0 1 - -braun 1 101 1 100rot 2 102 2 200orange 3 103 - 300gelb 4 104 - 400grün 5 105 0,5 500blau 6 106 0,25 600violett 7 107 0,1 700grau 8 108 0,05 800weiß 9 109 - 900
SMD-Widerstände haben oft Zahlenaufdrucke:5%-Widerstände: Z1 Z2 R (Ziffer 1 Ziffer 2 R) oder2%-Widerstände: Z1 Z2 Z3 (Z3 ist ein Multiplikator der Form 10Z3)1%-Widerstände: Z1 Z2 Z3 Z4 (Z4 ergibt den Multiplikator)
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Parallel- und Serienschaltung von Widerständen
• Parallelschaltung
– Anwendung der Kirchhoffschen Knotenregelzum Knoten k (Ladungserhaltung):
• Serienschaltung
– Anwendung der Kirchhoffschen Maschenregel(Energieerhaltung):
I
R1
Ug U+
-R2
U1
U2
Iik
i=1
n
∑ = 0
I = I1 + I2
R =U
I1R
=I
U=
I1 + I2
U=
1R1
+1R2
Ui
i=1
N
∑ = 0
U = U1 + U2
R =U
I=
U1 + U2
I= R1 + R2
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Spannungsquelle
ideale Spannungsquelle (Generator) Ug
liefert eine von I unabhängigeAusgangsspannung: ⇒ Ri (Ug) = 0
reale Spannungsquelle mit endlichemInnenwiderstand Ri
und nichtlinearer Sättigung
Schaltungssymbol (Ri=0)
I
U
idealreal
Ug
Imax
mit endlichemInnenwiderstand
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Generator mit endlichem Innenwiderstand
Reale Spannungsquelle (Ri in Serie):
U = Ug – Ri ∗ I
= Ug – Ri ∗ U/RL
U = Ug ∗ RL / ( Ri + RL)
U = Ug ∗ RL / Rgesamt (Spannungsteiler)
z.B.: Netzgerät: Ri ~ 10-5 ΩAutobatterie: Ri ~ 10-2 ΩMonozelle: Ri ~ 0,1 – 1 Ω
• Wie misst man Ug und Ri?
1. U = ULL= Ug Leerlaufspannung ohne Last
2. Ri aus Kurzschlussstrom Iks: Ri = ULL / Iksoder besser Klemmspannung Uks bei großer Last RL messen:Ri = (Ug-Uks) ∗ RL / Uks
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Stromquellen I
in idealer Stromgenerator Ig lieferteinen von der Last unabhängigen Strom(U stellt sich ein, Ri = ∞ )
Schaltsymbol:
Reale Stromquellen: Ri parallel zu Ig
I = Ig – U / Ri
Netzgeräte haben bis zu Ri < 107 Ω,aber Ri = - dU/dI und U < Umax.
Mit RL belastete Stromquelle=> Stromverzweigung:I = Ig ∗ Ri / (Ri + RL) undU = Ig ∗ (Ri || RL)
(dU/dI)-1
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Stromquellen II
Wie misst man Ig und Ri?1. Kurzschluss: Ig = IKS2. Leerlaufspannung ULL: Ri = ULL / IKS
oder geringe Last,so dass UL < Umax: UL = Ig ∗ (Ri || RL)U nach Ri auflösenRi = 1 / (Ig / UL – 1 / RL)
Äquivalenzprinzip:
• Eine reale Stromquelle mit (Ig, Ri) ist einerSpannungsquelle mit (Ug, Ri) und Ug = Ri ∗ Ig äquivalent
• Für RL >> Ri => Spannungsquelle• Für RL << Ri => Stromquelle
Satz von Norton:• Jedes lineare Netzwerk mit Strom- und Spannungsquellen kann
bezüglich zweier beliebiger Knoten als reale Stromquelle mit einemInnenwiderstand Ri dargestellt werden.
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Superpositionsprinzip
Folge der linearen Beschreibung
Lösungen für Ströme und Spannungen =Überlagerung von Teillösungen, bei denenalle Quellen bis auf eine durch ihrenInnenwiderstand ersetzt werden.
Ideale Stromquelle Ri=∞, SpannungsquelleRi=0:
UL1 = U1 ∗ RL||R2 / (R1+RL||R2) => IL1 = UL1 / RLUL2 = U2 ∗ RL||R1 / (R2+RL||R1) => IL2 = UL2 / RL
IL = IL1 + IL2 = (U1 ∗ R2 + U2 ∗ R1) / (R1 ∗ R2 + RL ∗ (R1 + R2))
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Ri
Ug
R1 R2
RLU1 U2IRL
=
Satz von der Zweipol-Spannungsquelle I
Helmholtz, Thévenin
Jedes lineare Netzwerk kann
bezüglich zweier beliebiger
Knotenpunkte durch eine
Spannungsquelle Ug und einen
Innenwiderstand Ri
charakterisiert werden. IRLRL
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Satz von der Zweipol-Spannungsquelle II
Bestimmung von Ug und Ri:
I1+ I2 = (U1-Ug)/R1 + (U2-Ug)/R2 = 0Ug∗(1/R1+1/R2)= U1/R1+U2/R2
⇒ Ug = (U1∗R2 + U2 ∗ R1) / (R1+R2)
I1 I2
⇒Ri = R1||R2 = R1∗R2 / (R1+R2)
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Analyse linearer Netze I
• Kirchhoffsche Regeln
– n lineare Netzelemente
– k Knoten (k-1 lin.unabh.)
– m Maschen (lin.unabh.)
• Knotenregel (Ladungserhaltung):
– I1 + I2 - IL = 0
– Bei einem Knoten mit nur 2 Verbindungen trivial
• Maschenregel (Energieerhaltung):
– I1∗R1 + IL∗RL - U1 = 0I2∗R2 + IL∗RL - U2 = 0
• 3 linear unabhängige Gleichungen=> lineares Gleichungsystem lösen:
Masche1 Masche2
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Analyse linearer Netze II
Lineares Gleichungssystem mit 2 linear unabhängigen Maschen und einemlin. unabh. Knoten:
Maschenstromanalyse:Ströme von benachbarten Maschen ersetzen:
Auswertung mit der Kramerschen Regel
R1 0 RL
0 R2 RL
1 1 −1
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
I1
I2
IL
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
=
U1
U2
0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
D =R1 + RL RL
RL R2 + RL
= R1 • R2 + (R1 + R2) • RL
I1
I2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =
1
D
R2 + RL −RL
−RL R1 + RL
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
U1
U2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
I1 + I2 = IL
R1 + RL RL
RL R2 + RL
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
I1
I2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =
U1
U2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
A ⋅r x =
r b ,
r x = (x1,x2, ...xn )
und A ≠ 0
mit adjungierten Matrizen Ai
(Spalte i durchr b ersetzt)
xi =Ai
A
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1/ Rij = GijUij = Ui-Ujd.h.: Uij = - Uji
Σ Ii = 0:U31 / R1 + U32 / R2 + U30 / RL = 0
Σ Uij = 0: - U31 + U30 – U1 = 0- U30 + U32 + U2 = 0
(GL + G1 + G2) ∗ U30 = U1∗ G1 + U2 ∗ G2oder U30 = (U1∗ G1 + U2 ∗ G2) / (GL + G1 + G2)
Knotenspannungsanalyse I
∗G1
∗G2
GL G1 G2
1 −1 0
1 0 −1
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
U30
U31
U32
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
=
0
U1
U2
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ Die Zeilen 2 und 3 werden mit
G1 und G2 multipliziert
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Knotenspannungsanalyse II
Elegante Lösung mitÄquivalenzprinzip:
Ig1 = Ug1 / R1 und Ig2 = Ug2 / R2
U30 = (Ig1 + Ig2) / (R1||RL||R2) = (U1∗ G1 + U2 ∗ G2) / (GL + G1 + G2)qu.e.d.
oder eine Stromquelle mit Ig = Ig1 + Ig2 und Ri = R1||R2
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Lösung: Seien alle qi bis auf eins an der Stelle i = ν gleich 0, so erhalteich eine Ausgangsspannung Uν. Die qi⋅ U entsprechen aufschaltbarenSpannungsquellen (0 oder U).Das Superpositionsprinzip liefert dann als Gesamtlösung:
Anwendung des Superpositionsprinzips
Aufgabe: N-bit Zahl, (qν = 0 oder 1) soll in eine entsprechende analoge
Spannung gewandelt werden.
Digital-Analogwandler I
2R2R
R
RqN-1UqN-2U UA
2R2R
RR
q2Uq1U2R
2R
R
qoU
Q = qν •2ν
ν =0
N −1
∑
UA = qν •Uνν = 0
N−1
∑
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Digital-Analog-Wandler II
Wie gross ist Uν? Der gesamte quellenfreie Teil kann durch 2R ersetzt werden:2R||2R+R=2R
Pro Nachfolgestufe Halbierung der Spannung:
⇒ bis auf einen konstanten Faktor das gesuchte Verhalten
Uν = U 2N +1−ν = U ⋅ 2ν 2N +1
UA = U qνν = 0
N−1
∑ ⋅ 2ν /2N +1
2R
2R
R
U
1
= 2R 2R
2R
U
ν
= (Ugν ,Ri)U/2, R
2R
R
...
n+1 -> N-1
R= (Ugν+1,Ri) U/4, R
(UgΝ−1,Ri)U/2N-ν, R
...U/2N+1-ν