Einführung in die Elektronik für Physiker - hpe.fzk.de · Hartmut Gemmeke Forschungszentrum Karlsruhe, IPE [email protected] Tel.: 07247-82-5635 Einführung in die Elektronik für

Hartmut GemmekeForschungszentrum Karlsruhe, [email protected].: 07247-82-5635

Einführung in die Elektronikfür Physiker

2. Definitionen &

Lineare Netzwerke

21.10.2003 Hartmut Gemmeke, WS2003/2004, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 2 2

Schreibweise von Formelzeichen

Bezeichnungen BeispielVektoren Elektrische Feldstärke, in Texten fett

Komplexe Größen sind unterstrichen, z.B.: Z = R + j X = r ejϕ

komplexer Widerstand

Momentanwerte sind klein geschrieben, i = i(t) momentaner Strom

Wechsel- und Gleichgrößen sind groß geschrieben, z.B.:

U: Gleich- oder Wechselspannung

Amplituden- und Scheitelwerte , U0: Scheitelwert einer sinusförmigenWechselspannung

Arithmetische Mittelwerte arithmetischer Mittelwerteines Stroms

r E

ˆ u

I oder < I >


MaßeinheitenZehner-Potenz Präfix Abkürzung Beispiel

1018 Exa E EeV1015 Peta P PeV1012 Tera T THz109 Giga G GHz106 Mega M MΩ103 Kilo k kΩ100 Hekto h hl10 Deka da daA10,1 Dezi d dB0,01 Zenti c cm10-3 Milli m mA10-6 Mikro µ µA10-9 Nano n nA10-12 Piko p pF10-15 Femto f fF10-18 Atto a am


Lineare Netzwerkelemente

Zweipole mit I ∝ U oder

Vierpole mit

• Für lineare Netzwerke gilt das Superpositionsprinzip:

I1(t) ∝ U1(t) und I2(t) ∝ U2(t) Lösung

=> a I1(t) + b I2(t) ∝ a U1(t) + b U2(t) auch Lösung

Iout

Uout

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ ∝ Matrix( )

Iin

Uin

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟


Nichtlineares Netzwerk?

(Dioden, Transistoren, ...)

Lösung:


Grundgrößen und Definitionen

• Elektrische Elementarladung e = 1.60217733 10-19 As oder C

• Der elektrische Strom I = dQ/dt (Gleichstrom = konstant)

• Vorzeichen-Konvention für die technische Stromrichtung:

– Richtung des Stroms der positiven Ladungen von + nach - !!In metallischen Leitern sind Elektronen die Ladungsträger-> Bewegung der Elektronen entgegen der technischen Stromrichtung

– Spannung = Potentialdifferenz = treibende Ursache für den Strom:von + nach – (Pfeilrichtung)

I

RLUgU+

-


Widerstand

•

• G = 1 A/V = Leitwert oder Konduktanz, 1S(iemens)

• Messmethode zur Kalibration des (Ur-)Widerstands:Klitzing: Quantenhalleffekt: h/e2 = 2518, 801 ± 10-8 Ω

• Widerstand eines Leiters: R = ρ • l/Amit l = Länge [m] und A = Querschnitt des Leiters [m2] undmit dem spezifischen Widerstand ρ [Ohm*m] oder der

• elektrischen Leitfähigkeit κ = 1/ρ

R =dU

dI

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

U0

=U0

I=1

V

A=1Ohm =1/G


Spezifische Widerstände bei 20°C

Material ρ[10-6Ωm] α[10-4/K]

Silber 0,0165 38

Leitungskupfer 0,0178 38

Gold 0,023 39

Leitungsaluminium 0,0286 37

-------------------------------------------------------------

Wolfram 0,049 48

Zinn 0,104 46

Konstantan 0,50 -0,03

Quecksilber 0,97 1,2

CrAl305 1,44 0,1

(Heizleiter)

Graphit 8,00 -2,0


Temperaturabhängigkeit

Eigenerwärmung ⇒ Nichtlinearitäten

Kohle

ideal

Metall

I

U

Grenzen:Widerstand wird ev. zuheiß (Schichtverbrennt)Pmax = Umax

2/Roder E = -∇U wird zugross (Durchschlag)

Eigen-Erwärmung:∆ϑ[°C] = PV∗Rth

mit thermischemWiderstand Rth[K/W]

Nennbelastung fürDauerbetrieb zumeistangegeben bei ϑ=70 °C

R ϑ( ) = R20 ⋅ 1+ α ⋅ ϑ − 20o( )( ), α =1R

dR

dϑ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

ϑ = 20o C

und ϑ in °C

Temperaturkoeffizient (TK) α


internationale E-Reihe für Widerstände und C’s

Abstufung der NennwerteE48 alle Spalten (Faktor 101/48 pro Stufe)E24 ungerade Spalten (Faktor 101/24)E12 Spalte 1 und 5 (Faktor 101/12)E6 Spalte 1 (Faktor 101/6)

1 2 3 4 5 6 7 8

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,40

1,50 1,55 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10

2,20 2,30 2,40 2,55 2,70 2,85 3,00 3,15

3,30 3,45 3,60 3,75 3,90 4,10 4,30 4,50

4,70 4,90 5,10 5,35 5,60 5,90 6,20 6,50

6,80 7,15 7,50 7,85 8,20 8,60 9,10 9,55

Toleranzen: E6: 20%, E12: 10%, E24: 5%, E48: 2%, (E96: 1%)


Internationaler Farb-Code

3 Ziffern (erst ab E48 benötigt man drei Ziffernringe)

Farbe Ziffer Multiplikator Toleranz ±% Betriebsspannung für C

ohne - - 20 5000silber - 10-2 10 2000gold - 10-1 5 1000schwarz 0 1 - -braun 1 101 1 100rot 2 102 2 200orange 3 103 - 300gelb 4 104 - 400grün 5 105 0,5 500blau 6 106 0,25 600violett 7 107 0,1 700grau 8 108 0,05 800weiß 9 109 - 900

SMD-Widerstände haben oft Zahlenaufdrucke:5%-Widerstände: Z1 Z2 R (Ziffer 1 Ziffer 2 R) oder2%-Widerstände: Z1 Z2 Z3 (Z3 ist ein Multiplikator der Form 10Z3)1%-Widerstände: Z1 Z2 Z3 Z4 (Z4 ergibt den Multiplikator)


Parallel- und Serienschaltung von Widerständen

• Parallelschaltung

– Anwendung der Kirchhoffschen Knotenregelzum Knoten k (Ladungserhaltung):

• Serienschaltung

– Anwendung der Kirchhoffschen Maschenregel(Energieerhaltung):

I

R1

Ug U+

-R2

U1

U2

Iik

i=1

n

∑ = 0

I = I1 + I2

R =U

I1R

=I

U=

I1 + I2

U=

1R1

+1R2

Ui

i=1

N

∑ = 0

U = U1 + U2

R =U

I=

U1 + U2

I= R1 + R2


Spannungsquelle

ideale Spannungsquelle (Generator) Ug

liefert eine von I unabhängigeAusgangsspannung: ⇒ Ri (Ug) = 0

reale Spannungsquelle mit endlichemInnenwiderstand Ri

und nichtlinearer Sättigung

Schaltungssymbol (Ri=0)

I

U

idealreal

Ug

Imax

mit endlichemInnenwiderstand


Generator mit endlichem Innenwiderstand

Reale Spannungsquelle (Ri in Serie):

U = Ug – Ri ∗ I

= Ug – Ri ∗ U/RL

U = Ug ∗ RL / ( Ri + RL)

U = Ug ∗ RL / Rgesamt (Spannungsteiler)

z.B.: Netzgerät: Ri ~ 10-5 ΩAutobatterie: Ri ~ 10-2 ΩMonozelle: Ri ~ 0,1 – 1 Ω

• Wie misst man Ug und Ri?

1. U = ULL= Ug Leerlaufspannung ohne Last

2. Ri aus Kurzschlussstrom Iks: Ri = ULL / Iksoder besser Klemmspannung Uks bei großer Last RL messen:Ri = (Ug-Uks) ∗ RL / Uks


Stromquellen I

in idealer Stromgenerator Ig lieferteinen von der Last unabhängigen Strom(U stellt sich ein, Ri = ∞ )

Schaltsymbol:

Reale Stromquellen: Ri parallel zu Ig

I = Ig – U / Ri

Netzgeräte haben bis zu Ri < 107 Ω,aber Ri = - dU/dI und U < Umax.

Mit RL belastete Stromquelle=> Stromverzweigung:I = Ig ∗ Ri / (Ri + RL) undU = Ig ∗ (Ri || RL)

(dU/dI)-1


Stromquellen II

Wie misst man Ig und Ri?1. Kurzschluss: Ig = IKS2. Leerlaufspannung ULL: Ri = ULL / IKS

oder geringe Last,so dass UL < Umax: UL = Ig ∗ (Ri || RL)U nach Ri auflösenRi = 1 / (Ig / UL – 1 / RL)

Äquivalenzprinzip:

• Eine reale Stromquelle mit (Ig, Ri) ist einerSpannungsquelle mit (Ug, Ri) und Ug = Ri ∗ Ig äquivalent

• Für RL >> Ri => Spannungsquelle• Für RL << Ri => Stromquelle

Satz von Norton:• Jedes lineare Netzwerk mit Strom- und Spannungsquellen kann

bezüglich zweier beliebiger Knoten als reale Stromquelle mit einemInnenwiderstand Ri dargestellt werden.


Superpositionsprinzip

Folge der linearen Beschreibung

Lösungen für Ströme und Spannungen =Überlagerung von Teillösungen, bei denenalle Quellen bis auf eine durch ihrenInnenwiderstand ersetzt werden.

Ideale Stromquelle Ri=∞, SpannungsquelleRi=0:

UL1 = U1 ∗ RL||R2 / (R1+RL||R2) => IL1 = UL1 / RLUL2 = U2 ∗ RL||R1 / (R2+RL||R1) => IL2 = UL2 / RL

IL = IL1 + IL2 = (U1 ∗ R2 + U2 ∗ R1) / (R1 ∗ R2 + RL ∗ (R1 + R2))


Ri

Ug

R1 R2

RLU1 U2IRL

=

Satz von der Zweipol-Spannungsquelle I

Helmholtz, Thévenin

Jedes lineare Netzwerk kann

bezüglich zweier beliebiger

Knotenpunkte durch eine

Spannungsquelle Ug und einen

Innenwiderstand Ri

charakterisiert werden. IRLRL


Satz von der Zweipol-Spannungsquelle II

Bestimmung von Ug und Ri:

I1+ I2 = (U1-Ug)/R1 + (U2-Ug)/R2 = 0Ug∗(1/R1+1/R2)= U1/R1+U2/R2

⇒ Ug = (U1∗R2 + U2 ∗ R1) / (R1+R2)

I1 I2

⇒Ri = R1||R2 = R1∗R2 / (R1+R2)


Analyse linearer Netze I

• Kirchhoffsche Regeln

– n lineare Netzelemente

– k Knoten (k-1 lin.unabh.)

– m Maschen (lin.unabh.)

• Knotenregel (Ladungserhaltung):

– I1 + I2 - IL = 0

– Bei einem Knoten mit nur 2 Verbindungen trivial

• Maschenregel (Energieerhaltung):

– I1∗R1 + IL∗RL - U1 = 0I2∗R2 + IL∗RL - U2 = 0

• 3 linear unabhängige Gleichungen=> lineares Gleichungsystem lösen:

Masche1 Masche2


Analyse linearer Netze II

Lineares Gleichungssystem mit 2 linear unabhängigen Maschen und einemlin. unabh. Knoten:

Maschenstromanalyse:Ströme von benachbarten Maschen ersetzen:

Auswertung mit der Kramerschen Regel

R1 0 RL

0 R2 RL

1 1 −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

I1

I2

IL

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

=

U1

U2

0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

D =R1 + RL RL

RL R2 + RL

= R1 • R2 + (R1 + R2) • RL

I1

I2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

1

D

R2 + RL −RL

−RL R1 + RL

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

U1

U2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

I1 + I2 = IL

R1 + RL RL

RL R2 + RL

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

I1

I2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

U1

U2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

A ⋅r x =

r b ,

r x = (x1,x2, ...xn )

und A ≠ 0

mit adjungierten Matrizen Ai

(Spalte i durchr b ersetzt)

xi =Ai

A


1/ Rij = GijUij = Ui-Ujd.h.: Uij = - Uji

Σ Ii = 0:U31 / R1 + U32 / R2 + U30 / RL = 0

Σ Uij = 0: - U31 + U30 – U1 = 0- U30 + U32 + U2 = 0

(GL + G1 + G2) ∗ U30 = U1∗ G1 + U2 ∗ G2oder U30 = (U1∗ G1 + U2 ∗ G2) / (GL + G1 + G2)

Knotenspannungsanalyse I

∗G1

∗G2

GL G1 G2

1 −1 0

1 0 −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

U30

U31

U32

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

=

0

U1

U2

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ Die Zeilen 2 und 3 werden mit

G1 und G2 multipliziert


Knotenspannungsanalyse II

Elegante Lösung mitÄquivalenzprinzip:

Ig1 = Ug1 / R1 und Ig2 = Ug2 / R2

U30 = (Ig1 + Ig2) / (R1||RL||R2) = (U1∗ G1 + U2 ∗ G2) / (GL + G1 + G2)qu.e.d.

oder eine Stromquelle mit Ig = Ig1 + Ig2 und Ri = R1||R2


Lösung: Seien alle qi bis auf eins an der Stelle i = ν gleich 0, so erhalteich eine Ausgangsspannung Uν. Die qi⋅ U entsprechen aufschaltbarenSpannungsquellen (0 oder U).Das Superpositionsprinzip liefert dann als Gesamtlösung:

Anwendung des Superpositionsprinzips

Aufgabe: N-bit Zahl, (qν = 0 oder 1) soll in eine entsprechende analoge

Spannung gewandelt werden.

Digital-Analogwandler I

2R2R

R

RqN-1UqN-2U UA

2R2R

RR

q2Uq1U2R

2R

R

qoU

Q = qν •2ν

ν =0

N −1

∑

UA = qν •Uνν = 0

N−1

∑


Digital-Analog-Wandler II

Wie gross ist Uν? Der gesamte quellenfreie Teil kann durch 2R ersetzt werden:2R||2R+R=2R

Pro Nachfolgestufe Halbierung der Spannung:

⇒ bis auf einen konstanten Faktor das gesuchte Verhalten

Uν = U 2N +1−ν = U ⋅ 2ν 2N +1

UA = U qνν = 0

N−1

∑ ⋅ 2ν /2N +1

2R

2R

R

U

1

= 2R 2R

2R

U

ν

= (Ugν ,Ri)U/2, R

2R

R

...

n+1 -> N-1

R= (Ugν+1,Ri) U/4, R

(UgΝ−1,Ri)U/2N-ν, R

...U/2N+1-ν

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