Einführung in die Elektronik für Physiker - ipe.fzk.de · 08.12.2009 Hartmut Gemmeke, WS2009/2010, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 14 3 Frequenzgangkorrektur Ersatzschaltung

Hartmut Gemmeke Forschungszentrum Karlsruhe, IPE [email protected] Tel.: 07247-82-5635

Einführung in die Elektronik für Physiker

14. Breitbandverstärker und analoge aktive Filter

1.  HF-Verhalten von Operationsverstärkern 2.  Breitbandverstärker 3.  Transimpedanzverstärker 4.  Passive und aktive Filter 5.  Tiefpassfilter 2. Ordnung 6.  Aktive Schaltungen für Filter 2. Ordnung 7.  Sperrfilter

08.12.2009 Hartmut Gemmeke, WS2009/2010, Einführung in die Elektronik, Vorlesung 14 2

1.  Frequenzgang der Verstärkung entspricht Tiefpass 1.Ordnung mit Abfall der Verstärkung von 20 dB/Frequenz-Dekade und der Bandbreite fgA (3 dB Abfall).

2.  f >> fgA: oberhalb der 3 dB Grenz- frequenz f3db = fgA gilt:

3.  fT ist das Verstärkungs-Bandbreiten-Produkt oder die Transit-Frequenz

4.  ein Verstärker ist gegengekoppelt solange die Schleifenverstärkung

5.  Bandbreitenvergrößerung durch Gegenkopplung k

fg := (1+k!vD0)!fgA ! g!fgA

HF-Verhalten des OPV

!

vD( f ) =vD0

1+ j" ffgA

!

vD " f # vD0 " fgA = fT

!

g = k " vD >1, dann ist v0 =vD0

1+k"vD0#1k

!

!

1( ) + 4( ) " v =vD

1+kvD=

vD01+ j f fgA+k vD0

=v0

1+ j f /( fgA#(1+k vD0))=

v01+ j f / fg

!

fg " v0 = fgA " vD0 = fT

fgA g

g!fgA


Frequenzgangkorrektur I

Ersatzschaltung für OPV ohne Ck-Kompensation (Tiefpass): OPV ist 3-stufiger Verstärker mit 3 separaten Tiefpassfiltern der Grenzfrequenz "i

-> existiert " mit # $ 180° -> Gegen- wird Mitkopplung

Anforderung:

OPV soll bei äußerer ohmscher Beschaltung nicht schwingen.

Entspricht Phasengang mit: # < 180° oder besser # < 120° (60° Phasenspielraum)

Lösung: zusätzlicher Tiefpass mit CK

!

ua =uD"SDj"#"CK

, vD =uauD

=SD

j"#"CKz.B. : µA 741 CK = 30pF, SD = 0,2mA /V

vD =1$ fT =SD

2%"CK=1MHz

R1

C1

R2

C2 C3

R3ue ua


Frequenzgangkorrektur II

Im Bode-Plot mit Phasen-Diagramm erkennt man die drei unterschiedlichen Grenz-frequenzen und den damit verbundenen immer steileren Abfall der Übertragungsfunktion, 20dB/Dekade und pro Filterordnung. # ist die Summe der Phasenverschiebungen #i der 3 Stufen.

Die Anforderung „der OPV soll bei der äußeren Beschaltung nicht schwingen (# < 180°)“ wird durch die Phasen-kompensation erfüllt (siehe Abb.).

Durch Ck schiebt sich das unkompensierte Verhalten (durchgezogene Linie) nach links (- - -) in den sicheren Bereich und erhöht durch die Gegenkopplung die Bandbreite der 2. Stufe.


Slew Rate

•  Anstiegsgeschwindigkeit der Ausgangsspannung (= slew rate): CK: Reduzierung der Bandbreite % Reduktion der Anstiegsgeschwindigkeit

•  z.B.: µA 741 Eingangsdifferenzverstärker IK max & 20-30 µA

•  Frequenzgang nach Frequenzkompensation

1 Leerlaufverstärkung für µA741(kompensiert) 2 unkompensierter µA748 3 kompensierter µA748 4 (1) mit Gegenkopplung, vu=5 5 (3) mit Gegenkopplung, vu=5

!

"dUadt max

=IKmaxCK

=20µA30pF

#0,7V

µs= 2$ % f % ua

10V sinus : 0,7Vµs

= 2$ % fmax %10V

fmax #11kHz ! sonst Verzerrungen!!!

Verstärkung


Breitbandverstärker mit variabler Verstärkung

!

k =R1

R1+RN, v0 f =0( )

=vD0

1+vD0"k#1k

=1+RNR1

v =vD

1+vD"k=

v0(k)

1+ j ffgA 1+vD0"k( )

=v0

1+ j ffg

,

Problem:

Für jede Verstärkung und damit externe Beschaltung gibt es eine unterschiedliche Bandbreite und Schleifenverstärkung !!!

man müsste für jede Verstärkung unterschiedlich kompensieren.

Abhilfe: Transimpedanzverstärker

Frequenzgang mit fester Kompensation für alle Verstärkungen (aber abhängig von R1 und RN):

v10

g10 g1

v1

v100 g100

fg100

fg10

fg1


Transimpedanz-Verstärker I Ziel: Verstärker sehr hoher Bandbreite und Verstärkung lässt sich über weite Grenzen unabhängig von Bandbreite wählen!

Nicht-invertiender Eingang hochohmig, invertierender Eingang niederohmig (Basis bzw. Stromeingang)

=> R1 und RN können niederohmig gewählt werden und die Slewrate ist:

!

IC"

# $

%

& ' Transimp.

>>IC"

# $

%

& ' normalerOPV

!

Ua = IN " Z

Z = R C =1

1/R + j#C=

R1+ j#RC

und mit fg =1

2$ "R"C

=R

1+ j f / fgf >> fg% & % %

1j2$ f C

R1 definiert open-loop gain über UD=IN! R1

!

vD =UaUD

=Z"INR1"IN

=R /R11+ j " f

fg

=vD0

1+ j " ffg

Ersatzschaltbild Transimpedanz-OPV

ohne Gegenkopplung


Transimpedanz-Verstärker II Knotenregel + goldene Regeln:

Frequenzgang und Schleifenverstärkung g sind unabhängig von R1:

!

v =v0

1+ j" f / fgs, fgs =

12#"RN C

für R >> RN

g =vD0v0

=R R1

1+RN R1=

RRN +R1

für R >> RN + R1

Anwendung: Verstärker mit sehr großer Bandbreite und variabler Verstärkung!

v0=10

v0=100 g1=g2&500 fgs1= fgs2

vD02 vD01

mit R1 die Verstärkung ändern

mit Gegenkopplung durch RN

!

Ua"UNRN

"UNR1

+ IN = 0, UN =UP =Ue und Ua = IN # Z

$Ua1RN

+1Z

%

& '

(

) * =Ue

1RN

+1R1

%

& '

(

) *

v =UaUe

=R1+RNR1#RN

RN ZRN +Z

= 1+RNR1

%

& '

(

) *

11+RN Z

= 1+RNR1

%

& '

(

) *

11+RN 1/R+ j+C( )

,1+RNR1

= v0 für R >> RN , + = 0


Passive Filter

z.B.: Tiefpass 1.Ordnung Übertragungsfunktion:

|H(j")| hat einen negativen Pol j" => j"+' = p Laplace-Transformation L

für beliebige zeitabhängige Signale

normierte Darstellung:

Filter nter Ordnung mit reellen positiven Koeffizienten (i bestehend aus n entkoppelten Filtern 1. Ordnung:

!

H( j") =UaUe

=1

1+ j #" #R#C

!

H1T P( ) =1

1+ p"R"C

!

P =p"g

"g = 2# $ fg =1R$C

,%&0lim P =

j $ ""g

= j$ffg

= j$ '

( H1T P( ) =11+P

( H1T j $ '( ) =1

1+'2)1'

für' >>1 20dB /Dekade

!

HnT P( ) =1

1+ai Pi=1

n" =

H0

ci Pi

i=0

n#

, ai bzw.ci reell und > 0

HnT$>>1

% & % % 1

$n, Abfall von n' 20dB /Dekade


Aktive Filter

Filter höherer Ordnung: i.a. Zerlegung in quadratische Ausdrücke mit komplexen Polen; ai, bi reell

nicht mehr passiv durch RC darstellbar, wir benötigen LC und einen Trennverstärker oder mehrere RC‘s mit gegengekopplten OPV (aktives Filter)

Filterordnung n ungerade: bn=0 ai, bi bestimmen Filtercharakteristik

Hochpass: Bild des Tiefpasses um ) = 1 spiegeln mit gleichem ai,bi wie zuvor!

!

P "1P

,H0 " H#und HnH P( ) =

H#

1+aip

+bip2

$

%

& &

'

(

) ) i

*

!

HnT P( ) =H0

1+a1P+b1P2"

# $

%

& ' ( 1+a2P+b2P

2"

# $

%

& ' (…

Ein Filter n-ter Ordnung nur mit L’s und C’s ohne Trennverstärker ist sehr komplex wegen der Kopplung (sowie der zu berücksichtigenden Streukapazitäten, Induktivitäten und Widerständen), siehe Vorl. 4.


1  Tiefpass mit kritischer Dämpfung: Reihenschaltung von n identischen, aktiv entkoppelten Tiefpässen 1. Ordnung, kein Überschwingen

2  Bessel-Filter: Optimale Übertragung von Rechteckimpulsen für ) < 1 Gruppenlaufzeit unabhängig von ", nur geringes Überschwingen.

3  Butterworth-Filter: Amplituden-Frequenzgang für ) < 1 optimiert, konstant.

4  Tschebyscheff-Filter mit Restwelligkeit * = 0,5 dB

5  Tschebyscheff-Filter mit Restwelligkeit * = 3 dB

Amplituden-Zeitverhalten verschiedener Filter

Antwort der verschiedenen Filter 4. Ordnung auf eine Stufenfunktion (Zeitverlauf):

!

tgr = "#$#%


Amplituden-Frequenzverhalten der Filter

•  Filter 4ter (a) bzw. 10ter Ordnung (b)

1.  Kritische Dämpfung 2.  Besselfilter 3.  Butterworth-Filter 4.  Tschebyscheff-Filter mit 3

dB Restwelligkeit •  Der Butterworth-Tiefpass

fällt hier durch seinen maximalen konstanten Frequenzgang im Durchlassbereich auf!

•  Weitere Filter: Gaussfilter, Cauerfilter, inverser Tschebyschefffilter

3dB Punkt


Frequenzgänge der Gruppenlaufzeit und #

•  Normierte Gruppenlaufzeit Tgr()) und Phasenverlauf #()) für Filter 4. Ordnung:

1.  kritische Dämpfung 2.  Bessel Filter 3.  Butterworth Filter 4.  Tschebyscheff Filter mit

0,5dB Welligkeit 5.  Tschebyscheff Filter mit

3dB Welligkeit


Tiefpass-Filter 2. Ordnung: Kritische Dämpfung

!

H22 =

1

1+ ja"( )22 =

11# a2 $ "2 + 2 j $ a$ "

2 =1

1# b1$ "2 + j$ a1$ "

2 % a1 = 2a, b1 = a2

" =&&g

&'&g( ' ( ( ( 1, Hn

2 =12

=1

1+ ja( )n2 =

11+ a2

n , a = 2n #1, n = 2% a2 = 2 #1

Wie ändert sich die Grenzfrequenz von der 1. zur 2.Ordnung?!

Aneinanderreihung von 2 entkoppelten Filtern 1. Ordnung oder aktiven Filter 2. Ordnung!

!

H12 =

1

1+ j a ""g

2 =12, 3dB # Punkt für" ="g =1/RC, a =1

H22 =

1

1+ j a ""g

4 =12, " g2 =

"ga(a = 0,64)

Man muss eine um den Faktor 1/a größere Grenzfrequenz des Einzelfilters wählen, um auf die gleiche Grenzfrequenz zu kommen! Ohne Entkopplung

!

"g2 ="g /0,37


Tiefpass-Filter 2. Ordnung: Bessel-Filter Für optimale Übertragung von Rechteckimpulsen mit konstanter Gruppengeschwindigkeit:

!

" =##g

<1, tgr = $d%d#

unabhängig von #, d.h. normierte Darstellung mit : Tgr =tgrTg

=#g2&

tgr = $1

2&'d%d"

z.B. n = 2 : H =H0

1+ j'a1"$b1"2 (% = $arctan

a1'"

1$b1'"2

$)%)"

=a1 1$b1'"

2+"' 2b1'"( )* + , -

. /

1$b1'"2*

+ , -

. / 2

+ a1'"( )2=

a1' 1+b1'"2*

+ , -

. /

1+ a12$2b1( )"2+b1

2"4 mit b1 = a12 $ 2b1( b1 =

a12

3

=a1

1+ b12"4 1+ b1' "

2( )konstant bis auf Term 0"4

Amplitudenfrequenzgang von Besselfiltern 1ter bis 10ter Ordnung

=b1


Tiefpass-Filter 2. Ordnung: Butterworth-Filter solange wie möglich soll |H())|2=|H(0)|2

!

H "( )2 =1

1+ j#a1#"$b1#"2

2=

1

1$b1#"2%

& ' (

) * 2

+ a1#"( )2=

1

1+ a12$2b1

% & ' (

) * #"2+b1

2#"4, " <1 +"4 <<"2

+ a12 = 2b1, H "=1( )2 =

12# H "=0( )2 entspricht 3dB $ Abschwächung

+ b1 =1 a1 = 2

H "( ) =1

1+ j # 2#"$"2bzw. H 2 =

1

1+"4

Butterworth-Filter 1ter bis 10ter Ordnung:

Frequenzgang der Amplitude


Tiefpass-Filter 2. Ordnung: Tschebyscheff-Filter

!

T1 "( ) ="

T2 "( )=2"2#1

T3 "( )=4"3#3"M

Übertragungsfunktion mit konstanter Welligkeit < *, aber sehr schnellem Abfall

!

HnT2

=k"H0

2

1+# 2"Tn2 $( )

,HmaxHmin

= 1+#2

Tschebyscheff Polynome k zur Normierung von H()=0) k = 1 wenn n ungerade k = 1 + *2 wenn n gerade

0,01 0,03 0,1 0,3 1 3 10 ) 30

Tschebyscheff-Filter von 1ter bis zur 10ten Ordnung mit 0,5 dB Restwelligkeit: Amplitude als Funktion der Frequenz


Aktive Schaltung für Filter 2. Ordnung I

•  Beispiel Tiefpass 2.Ordnung •  Filter-

koeffizientKritischeDämpfung

Bessel-Filter Butterworth-Filter

Tschebyscheff-Filter, 1dB

a1 1,2872 1,3617 1,4142 1,3022b1 0,4142 0,6180 1,0000 1,5515

!

Vu0 =UaU1

=1+R3" k#1( )R3

= k

Dimensionierung aus Vergleich mit Übertragungsfunktion

Koeffizientenvergleich % Bestimmungsgleichungen für Ri ,Ci

Vereinfachung mit k=1, hat dann hohe Bandbreite (gut für Hochpässe) !

H P( ) =k

1+"g C1 R1+R2( )+ 1#k( )R1$C2[ ]$P+"g2 $R1$R2 $C1$C2 $P

2=

k

1+a1P+b1P2


Vereinfachte Schaltung für Filter 2. Ordnung

•  über k Filtertyp einstellen mit R1 = R2 = R und C1 = C2 = C

!

H P( ) =k

1+"g 3#k( )$R$C$P+ "g$R$C( )2$P2a1 ="g 3#k( ) $ R $C, b1 ="g $ R $C

k = H0 = 3#a1b1

% Filtertyp, R $C =b1"g

Kritische Dämpfung

Bessel-Filter Butterworth-Filter

Tschebyscheff-Filter, 1dB Welligkeit

k 1,0 1,268 1,586 1,955 !b1 0,644 0,786 1 1,246


Vergleich der Eigenschaften von Filtern 2. Ordnung

Tiefpass Hochpass

1. k=1.955 Tschebyscheff-Filter (1dB)

2. k = 1,586 Butterworth-Filter

3. k=1.268 Bessel-Filter

4. k=1 kritische Dämpfung - - -

!

uaue

=k

1" b1#2 + j b1 (3" k)#

!

="k#2

b1 "#2 + j b1 (3" k)#

!

H ( j")H (0)

!

H ( j")H ( j#)

1. 2.

3.

4.

)


Bandpass mit Einfachmitkopplung

•  Transformation Tiefpass -> Bandpass durch Kombination eines Hoch- und Tiefpasses:

!

1"#

(P +1P

) mit "# der Bandbreite oder der Güte Q = 1"#

H(P) = A0

1+P$

A0

1+ 1"#

(P +1P

)=

A0 % "#% P1+"#% P + P 2

Bandpass mit k=1, 1.5, 2.5, 3.5

!

H( j") =j"k

1#"2 + j"(4 # k), Q =

1$"

=14 # k

%r =1/RC, Hr = H( j(" =1)) = k /(4 # k)

k=1

3,5

1,5 2,5

!

H ( j")Hr


Schaltung für einen Sperrkreis

•  Doppel-T-Bandsperre oder Notchfilter passiv (k=1) und R/2 auf Masse (nicht rückgekoppelt), aktiv: k=1 (R2%+), 1,8:

Resonanzfrequenz fr = 1/(2,RC)

Verstärkung k

H(P)=k (1 + P2)/(1 + 2 (2 - k) P + P2) mit !g=1/RC

Unterdrückungsgüte Q = fr /-f = 0,5/(2 - k)

Grenzen: Präzision der C‘s und R‘s sowie Ra und Phasendrehung des OPV bestimmen die Güte Q

1

passiv

1.8

-) Q=1/-)

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