Die Geometrie des Universums
Max Camenzind
Akademie Heidelberg
November 2014
Komet 67P: Perihel: 1,2432 AE Aphel: 5,689 AE a = 3,463 AE e = 0,6412 P = 6,44 a i = 7,04 PRot = 12,4 h
Komet 67P
67P Kometenbahn 2015
Zusammenfassung der
5 Axiome Einsteins von 1915 • Einstein1: Flache Minkowski RaumZeit wird durch
Riemann Mannigfaltigkeit ersetzt, jedoch lokal in jedem Punkt Minkowski (EEP) es existiert ein ds² zur Messung der Länge (= Eigenzeit) von Weltlinien.
• Einstein2: Gravitation wird durch den metrischen Transport auf RaumZeit beschrieben ( keine Torsion).
• Einstein3: Testkörper (auch Planeten, Neutronensterne, Schwarze Löcher) bewegen sich auf Geodäten: ds² > 0; Photonen auf Nullgeodäten: ds² = 0 SEP erfüllt.
• Einstein4: Materieverteilung T in der RaumZeit be-stimmt die Krümmung Ricc – R g/2 = k T
• Einstein5: Nicht-gravitative Kräfte (EM, QCD) verhalten sich im frei fallenden System wie in der SRT EEP erf.
Materie & Energie krümmen
die RaumZeit (Einstein 1915)
G: Newtonsche Konstante
Energie-Impuls Tensor im
Ruhsystem der Materie Matrix
r: totale Massen-Energiedichte (Baryonen, Phot) p: totaler Druck; Photonen, ns: p = rc²/3
Riemann-Tensor der RaumZeit
Ricci-Tensor der RaumZeit
ikikikik TcGgRgR )/8( 4
2
1
Krümmung Kosmol. Konstante Materie
Rik Ricci Tensor mit Spur R = Rmm:
folgt aus Riemann Tensor
Albert Einstein 1915: Jede Form der Materie erzeugt Krümmung R (auch Photonen, Felder, Vakuum-Energie)
+ Kosmologische Konstante 1917
Ex1: RaumZeit eines Sterns
Sonne, Erde, Neutronensterne, SL
Symmetrie lässt
nur 2 Funktionen
frei:
F(r): „Gravitations-
potenzial“
B(r): Krümmung
des 3-Raumes
B(r) > 1: Volumen
größer als
Euklidisch
(r,f)-Fläche
ds² = exp(2F(r)) c²dt² - B²(r) dr² - r² (dq² + sin²q df²)]
Gra
vit
ati
on
krü
mm
t
den
Rau
m
L
ich
tab
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ku
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Ste
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SL
och
Min
ko
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i R
au
mZ
eit
Bestätigung im Sonnensystem
• Gravitative Rotverschiebung (30% bei NS).
• Lichtablenkung an Sonne und Jupiter.
• Periheldrehung der Planeten, insbeson-dere von Merkur: 43`` pro Jahrhundert.
• Shapiro-Laufzeitverzögerung.
• Diese Effekte treten verstärkt auch bei Binär-Pulsaren auf.
• Binär-Pulsare zeigen, dass Gravitations-wellen existieren (gibt es in Newtonscher Physik nicht).
Wie stellen Sie sich
unser Universum vor? Wie groß? Wie alt? Struktur?
Antike Vorstellung
Van Gogh 1889 Das Moderne Universum
Einstein 1917
H.P. Robertson
Amerikaner
A.G. Walker
Britisch
W. de Sitter
Holländer
Albert Einstein
Deutsch
A. Friedmann
Russe
G. Lemaître
Belgier
Allgemeine Herleitung der Metrik eines
isotropen und homogenen Universums in
ART “Robertson-Walker Metrik” (1935-6)
Allgemeine
Relativität (1915);
Statisches, geschl.
Universum (1917)
Vakuum-Energie-
gefülltes expand.
Universum
“de Sitter” (1917)
Entwicklung eines homogenen,
expandierenden Universums
“Friedmann Modelle”
(1922/1924)
„Ur-Atom“ 1927 / 1931
hat den Big Bang erfunden
Väter des Modernen Universums
Weder Erde noch Sonne
im Zentrum des Universums !
Kosmologisches Prinzip (Milne 1933)
1. Wir befinden uns an keiner
ausgezeichneten Position des
Universums ( kein Zentrum).
2. Das Universum ist isotrop. Erst von 1990 - 2008 nachgewiesen!
Iso
tro
pie
de
r G
ala
xie
n-
ve
rte
ilu
ng
au
f S
ph
äre
n
1998 –
2007 S
DS
S D
R7
420 M
pc
600 M
pc
Jeder Punkt
ist eine Galaxie
Isotropie der CMB-Strahlung
COBE 1993 – T-Anisotropien
2006
Temperaturschwankungen DT = 30 µK in der
Hintergrundstrahlung, auf Skalen > 7 Grad,
aufgenommen durch COBE (Mission 1989–1993)
WMAP Photosphäre isotrop Auflösung 14´ reicht nicht ; 20´ 80 Mpc
DT < +-100 micro-Kelvin um <T> = 2,725 Kelvin
510T
T
D
Rot: wärmer
Blau: kühler
X
Konstruktion des Universums Fortsetzung des antiken Modells !
Jeder Beobachter sieht einen andern Teil
Galaxien-
Sphären
Kuiper-Gürtel
Planeten-Sphären
Photo-
Sphäre
Fixstern-
Sphären
Wir sind
scheinbar
im Zentrum
des
Universums
r = 0
Jede
Kugel-
Schale:
r = const
Dr = 100 Mpc
Kugel-
schalen
expandieren
mit der Zeit
r a(t) r
Photosphäre des
Universums
3000 K
2,725 K
Galaxien-
Sphären
Big Bang Kosmische Sphären
r
Ph
oto
sph
äre
Un
iversu
m
C
MB
1965
Alter des Universums in Mrd. Jahren
Stra
hlu
ngs-S
ph
äre
381000 a 0
r = 0
? Modernes Universum
Kosmische Sphären je tiefer umso jünger
• Wie sieht der Raum aus ds2 ?
• Aus Kosmologischen Prinzip
(Isotropie um jeden Punkt)
räumliche Krümmung
überall konstant.
• Nur 3 Möglichkeiten: • 3-Sattel – negative
Krümmung: K < 0
• 3-Sphäre – positive
Krümmung: K > 0
• Flacher E3 – keine
Krümmung: K = 0
Welche Geometrie hat Kosmos?
RaumZeit expandierendes Universum
3 Friedmann-Lemaître Weltmodelle
Metrik ist diagonal (aus Symmetriegründen)!
a(t) : Expansionsfaktor Streckung des 3-Raumes
R(t) : Radius des Universums zeitabhängig
Streckung des 3-Raumes in der Minkowski RaumZeit: r a(t) r ;
ds² = c²dt² - R²(t) [dc² + sin²c (dq² + sin²q df²)]
Expansion der 3-Sphäre + Erweiterung auf RaumZeit / Friedmann 1922
ds² = c²dt² - a²(t) [dr² + r²(dq² + sin²q df²)]
Expansion der 3-Hyperboloid-RaumZeit / Friedmann 1924
ds² = c²dt² - R²(t) [dc² + sinh²c (dq² + sin²q df²)]
k = +1
k = -1
k = 0
Die Geometrie des Universums
r,q,f sind co-moving Koordinaten (“Labels” für Galaxien).
t: ausgezeichnete kosmische Zeit (gemessen von Atomuhren
im Zentrum von Galaxienhaufen – Virgo, Coma, …).
dr = a(t) dr : Distanzen gestreckt (isotrope Expansion).
a(t) ist eine Funktion der Zeit und r bleibt konstant.
a(t) ist als Skalenfaktor des Universums bekannt und mißt
die universelle Expansionsrate des Universums.
a(t0) = 1 normiert, wobei t0 die heutige Zeit (Alter d. Univ.).
Räumliche Krümmung {+1,0,-1}
Kugelschalen mit Radius a(t)r Abstand der Kugelschalen
Der Krümmungsparameter
Wk = - kc²/(H0²R0²)
c/H0: Hubble Radius Falls R0 >> c/H0 Wk ~ 0
so erscheint das Universum fast flach! Konsequenz aus Inflation
• Dieses Friedmann-Modell des expandier-enden Universums erklärt folgendes:
• 1. wie Photonen im Universum propagieren globale Lichtkegelstruktur;
• 2. die kosmische Rotverschiebung z;
• 3. das Hubble-Gesetz und seine nicht-lineare Erweiterung für z > 0,1;
• 4. Distanzen im Universum als Func(z);
• 5. Winkeldurchmesser als Func(z).
• 6. Alter des Universums als Func(z).
Das Friedmann-Universum erklärt
• Das Universum ist eine 4 dim. Mannigfaltigkeit, sprich RaumZeit, salopp „eine 4D Fläche“.
• Die Isotropie der Materieverteilung lässt nur 3 Modelle zu: E³, 3-Sphäre & 3-Hyperboloid. Dies kann mathematisch genau erschlossen werden.
• zum sog. Krümmungsparameter k = 0,+1,-1.
• Es existiert eine ausgezeichnete Zeit t, eine sog. geodätische Zeit.
• Galaxien werden durch ihren Abstand r und 2 Winkel bestimmt: Rektaszension und Deklination.
• Der einzige Freiheitsgrad: Expansionsskalar a(t)
Fazit