Grundbegriffe und Kennwerte
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Gliederung• Deskriptive Statistik• Grundbegriffe
– Merkmale– Variable– Operationalisierung– Skalenniveaus– Fragebogenformate
• Datensätze in SPSS• Kennwerte
– Häufigkeiten– Maße der zentralen Tendenz– Maße der Dispersion
Deskriptive Statistik
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• Definition:
„Unter deskriptiver Statistik versteht man ein Gruppe statistischer Methoden zur Beschreibung statistischer Daten anhand statistischer Kennwerte, Graphiken, Diagrammen oder Tabellen.“ (Leonhart, 2004)
• Deskriptive Statistik bezieht sich immer auf eine Stichprobe, d.h. auf die Personen, die tatsächlich untersucht bzw. beobachtet wurden.
• Die Inferenzstatistik zieht dagegen aus den in einer Stichprobe erhobenen Daten Schlüsse auf die zugrunde liegende Population.
Grundbegriffe der Datenerhebung
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• Bei einer Datenerhebung geht es darum, bestimmte Merkmalsausprägungen der untersuchten Einheiten zu messen.
• Was sind Merkmale?
• Was sind Einheiten?
• Was ist eine Messung?
Deskriptive Statistik
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Beispiel 1: Merkmale von Psychologiestudierenden:
• Geschlecht
• Alter
• Größe
• Wohnort
• Ängstlichkeit
• Extravertiertheit
• Statistikkenntnisse
Merkmale
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Beispiel 2: Merkmale von Therapiemaßnahmen:
• Anzahl der therapeutischen Sitzungen (25 vs. 100)
• Therapeutisches „Setting“ (z.B. Einzel- vs. Gruppentherapie)
• Eingesetzte therapeutische Methoden (z.B. Gesprächsterapie vs. Verhaltenstherapie)
• Motivation des Klienten
• Motivation des Therapeuten
• …
Eine statistische Erhebung von Merkmalen muss nicht auf Basis von Personen erfolgen.
Merkmale
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Qualitative vs. Quantitative Merkmale • Qualitative Merkmale beschreiben die Zugehörigkeit einer
Person oder eines Objektes zu einer Kategorie.• Quantitative Merkmale beschreiben die Ausprägung eines
Merkmals auf einem Kontinuum.
• Beispiele …– Qualitativ: Geschlecht, Wohnort– Quantitativ: Alter, Ängstlichkeit
Merkmale
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Manifeste vs. Latente Merkmale • Manifeste Merkmale können (im Prinzip) direkt beobachtet oder
gemessen werden.• Latente Merkmale können nur indirekt zu erfasst werden. Diese
Merkmale sind meist nur unzureichend operational definiert, so dass ihre Messung indirekt durch korrespondierender manifeste Merkmale geschieht.
• Beispiele …– Manifest: Geschlecht, Körpergröße– Latent: Persönlichkeitseigenschaften
Deskriptive Statistik
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Klassifikation von Merkmalen:
Manifest Latent
Qualitativ • Geschlecht• Wohnort• …
• Persönlichkeitstypus(z.B. „Choleriker“)
• …Quantitativ • Alter
• Gewicht• …
• Persönlichkeitseigenschaft(z.B. Extraversion)
• …
Messung
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Vom Merkmal zur Variable
• Um ein Merkmal exakt zu erfassen, muss eine präzise Operationalisierung (Messvorschrift) vorliegen.
• Die Operationalisierung definiert, wie unterschiedliche Ausprägungen eines Merkmals erfasst (kodiert) werden
• Die Kodierung der Merkmalsausprägungen erfolgt in der Regel in Zahlen.
• Man spricht nun von einer Variable, die die Information enthält.
• Ein Messung ist also eine Zuordnung von Zahlen zu Objekten gemäß den Regeln einer Operationalisierung.
Operationalisierung
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Beispiele für Operationalisierungen
• Die Variable „sex“ soll das Geschlecht erfassen. Es wird für Frauen der Wert 1 und für Männer der Wert 2 verwendet.
• Die Variable „alter“ soll das Alter der untersuchten Personen in Jahren erfassen.
• Die Variable „alter“ soll das Alter von Säuglingen in Monaten erfassen.
• Die Variable „opt“ soll den selbst eingeschätzten Optimismus auf einer Skala von -2 (überhaupt nicht optimistisch) bis +2 (extrem optimistisch) erfassen.
• Die Variable „angst“ soll die Ängstlichkeit erfassen. Diese wird gemessen als die Zeitdauer in Sekunden, bis eine Spinne angefasst wird.
Variablen
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Klassifikation von Variablen: Diskret vs. Kontinuierlich
• Diskrete Variablen: Die Anzahl der möglichen Werte ist abzählbar.
• Kontinuierliche Variablen: Die möglichen Werte liegen auf einem Kontinuum.
• Beispiele …
Merkmale und Variablen
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Merkmal qualitativ oder quantitativ ?
manifestoder latent ?
diskret oder kontinuierlich
Geschlecht qualitativ manifest diskretAlter quantitativ manifest ?Wohnort qualitativ manifest diskretOptimismus(Rating 1 bis 5)
quantitativ latent diskret
Ängstlichkeit(Zeit bis zur Handlung)
quantitativ latent kontinuierlich
Skalenniveaus
Möglichkeiten, das Konstrukt „Ängstlichkeit“ zu operationalisieren:• „Mutprobe“ (z.B. bungee jump)
– Erfolg: angst=„0“– Misserfolg: angst=„1“
• „Experten-Rating“ (Einschätzung)– nicht ängstlich („0“)– wenig ängstlich („1“)– eher ängstlich („2“)– klinisch relevante Angststörung („3“)
• Ergebnis eines Ängstlichkeitsfragebogens– Werte von 0-40
• „Mutprobe“– Zeit bis zur erfolgreichen Handlung (0 bis ? Sekunden)
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Die Art der Operationalisierung beeinflusst das Skalenniveau und damit die Möglichkeiten der statistischen Auswertung!
Skalenniveaus
Vier Skalenniveaus:(1) Nominalskala(2) Ordinalskala(3) Intervallskala(4) Verhältnisskala
• Die Messgenauigkeit und Aussagekraft der Daten steigt mit dem Skalenniveau.
• Es sollte daher versucht werden, Daten auf einem möglichst hohem Skalenniveau zu erfassen.
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Skalenniveaus
Die Nominalskala• Es werden „Namen“ (Zahlenwerte) für jede Merkmalsausprägung
vergeben.• Beispiel: Geschlecht („m“ / „w“)• Zwei Annahmen müssen berücksichtigt werden:
1. Exklusivität: Unterschiedliche Merkmalsausprägungen werden unterschiedlichen Zahlen zugeordnet.
2. Exhaustivität: Jeder beobachteten Merkmalsausprägung eine Zahl zugeordnet.
• Man spricht von einer homomorphen Abbildung, d.h. aus der Variablen kann immer auf das Merkmal zurückgeschlossen werden.
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Skalenniveaus
Die Nominalskala• Aussagekraft von Variablenwerten:
– Information über Gleichheit / Verschiedenheit der Merkmalsausprägung(Keine Aussagen zu größer/kleiner Relationen möglich!)
• Mögliche Transformationen:– Die Variablenwerte können willkürlich vorgegeben und auch nachträglich
geändert werden.– Es sind alle eineindeutigen Transformationen erlaubt– Beispiel:
weiblich = 1; männlich = 2oder weiblich = 2; männlich = 1oder weiblich = 100; männlich = 200;
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Skalenniveaus
Die Ordinalskala• Bei der Ordinalskala (Rangskala) geben die Variablenwerte
Aufschluss über die Rangfolge der Merkmalsträger bezüglich des gemessenen Merkmals
• Beispiel: Schulabschluss„0“=kein SA, „1“=Haupts., „2“=Reals., „3“=Gymnasium)
• Zusätzliche Annahme für die Operationalisierung:3. Die zugeordneten Zahlen repräsentieren eine Rangreihe der
Merkmalsausprägung.
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Skalenniveaus
Die Ordinalskala• Aussagekraft von Variablenwerten:
– Information über Gleichheit / Verschiedenheit der Merkmalsausprägung– Größer / Kleiner Relationen
• Mögliche Transformationen:– Erlaubt sind nur noch alle monotonen Transformationen.– Beispiele
• y = x + 3• y = 2x• y = log(x)
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Skalenniveaus
Die Intervallskala• Bei der Intervallskala geben die Variablenwerte Aufschluss über
die Abstände zwischen Merkmalsausprägungen.• Beispiel: Ergebnisse eines Intelligenztests
(IQ (Peter) = 115; IQ(Anne) = 130 Differenz 15 Punkte )• Zusätzliche Annahme für die Operationalisierung:
4. Gleich große Intervalle zwischen Zahlenwerten der Variable repräsentieren gleich große Abstände in der Merkmalsausprägung.
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Skalenniveaus
Die Intervallskala• Aussagekraft von Variablenwerten:
– Information über Gleichheit / Verschiedenheit der Merkmalsausprägung– Größer / Kleiner Relationen– Größe von Unterschieden
• Mögliche Transformationen:– Erlaubt sind nur noch alle linearen Transformationen (y = ax+b).– Beispiele
• y = x - 100• y = 0.1 x
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Skalenniveaus
Die Verhältnisskala• Die Verhältnisskala kann vor allem bei der Messung
physikalischer Größen (Länge, Gewicht, Zeit) angenommen werden.
• Beispiel: Reaktionszeit (ms)• Zusätzliche Annahme für die Operationalisierung:
5. Die Skala hat einen definierten Null-Punkt.
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Skalenniveaus
Die Verhältnisskala• Aussagekraft von Variablenwerten:
– Information über Gleichheit / Verschiedenheit der Merkmalsausprägung– Größer / Kleiner Relationen – Größe von Unterschieden– Verhältnis von Merkmalsausprägungen (z.B. doppelte Reaktionszeit)
• Mögliche Transformationen:– Erlaubt sind nur noch alle multiplikativen Transformationen (y = ax).– Beispiele
• y = 0.001 x (Umrechnung von Millisekunden in Sekunden)∙• y = 24 x (Umrechnung von Jahren in Monate)∙
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Skalenniveaus
Skalenniveau Beispiele Mögliche Aussagen
Erlaubte Trans-formationen
Nominalskala Geschlecht,Diagnosen
Gleichheit / Verschiedenheit
Eineindeutige Transformationen
Ordinalskala Schulbildung,Ratings
Größer / Kleiner Relationen
Monotone Trans-formationen
Intervallskala IQ, Persönlichkeits-merkmale
Gleichheit von Differenzen
Lineare Trans-formationen
Verhältnisskala Alter,Reaktionszeit
Gleichheit von Verhältnissen
MultiplikativeTransformationen
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Skalenniveaus
• Das Skalenniveau hängt ab:1. Von dem erhobenen Merkmal2. Von der Operationalisierung der Messung
• Beispiele: Geschlecht ist immer Nominalskaliert, da das Merkmal an sich keine
Rangreihe oder Intervalle definiert. Ängstlichkeit kann jedoch nominal-, ordinal-, oder intervallskaliert
erhoben werden (s.o.)
• Durch die Art der Messung kann das Skalenniveau sinken.
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Skalenniveaus
Niveau eines Merkmals vs. Niveau der Variablen• Beispiel 1: Zeit bis zum Anfassen der Spinne
– Peter: 10 Sekunden; Martin: 20 Sekunden– Also: „Martin hat doppelt so lange gezögert wie Peter.“ (Zeit ist verhältnis-
skaliert)– Also: „Martin ist doppelt so ängstlich wie Peter“– Das ergibt keinen Sinn– Ängstlichkeit kann vermutlich nicht auf Verhältnisskalenniveau gemessen
werden.
• Für (latente) psychologische Konstrukte wird in aller Regel nur Intervallskalenniveau angenommen.
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Skalenniveaus
Niveau eines Merkmals vs. Niveau der Variablen• Beispiel 2: Reaktionszeit
– Viele psychologische Studien beruhen auf Reaktionszeiten– Die Zeit ist verhältnisskaliert– Aber: Unterschiede zwischen 500 ms und 600 ms sind „psychologisch
bedeutsamer“ als Unterschiede zwischen 1500 ms und 1600 ms– Daher werden Reaktionszeiten vor der Auswertung manchmal
logarithmiert– Nun gilt:
• ln(600) - ln(500) = 6.40 – 6.22 = 0.18• ln(1600) - ln(1500) = 7.38 – 7.31 = 0.07
– Eine Logarithmierung ist eigentlich nur für ordinalskalierte Variablen zulässig.
– Dennoch wird angenommen, dass die logarithmierten Zeiten besser das intervallskalierte Konstrukt (z.B. Aufmerksamkeit) abbilden.
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Skalenniveaus
Das Skalenniveau von Fragebogen• Oft ist das Skalenniveau umstritten:
– z.B. Schulnoten (ordinal oder intervall?)– z.B. „Ratings“ (ordinal oder intervall?)
• Für einzelne Fragebogenitems kann man nur von einem Ordinalskalennieveau ausgehen
• Bei einer Aggregation von vielen „Items“ (Summenbildung) wird meist von einem Intervallskalenniveau ausgegangen.
• Für psychologische Untersuchungen ist das Intervallskalenniveau von besonderer Bedeutung, da viele statistische Verfahren nur bei intervallskalierten Daten eingesetzt werden können.
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Unterschiedliche Fragebogenformate
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Trifft zu
Trifft nicht zu
Bei allem sehe ich stets die positive Seite. 1 0
Ich blicke immer mit Zuversicht in die Zukunft 1 0
Auch in unsicheren Zeiten rechne ich im allgemeinen damit, dass sich alles zum Besten wendet.
1 0
Alles in allem erwarte ich, dass mir mehr gute als schlechte Dinge widerfahren.
1 0
Zweistufige Antworten
Unterschiedliche Fragebogenformate
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Trifft
gar
nicht zu
Trifft
eher
nicht zu
Unbestimmt
Trifft
eher zu
Trifft
voll und
ganz zu
Bei allem sehe ich stets die positive Seite. -2 -1 0 1 2
Ich blicke immer mit Zuversicht in die Zukunft -2 -1 0 1 2
Auch in unsicheren Zeiten rechne ich im allgemeinen damit, dass sich alles zum Besten wendet.
-2 -1 0 1 2
Alles in allem erwarte ich, dass mir mehr gute als schlechte Dinge widerfahren.
-2 -1 0 1 2
Mehrstufige Ratingskalen
Unterschiedliche Fragebogenformate
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Zufrieden 2 1 0 1 2 Ärgerlich
Gut 2 1 0 1 2 Schlecht
Ausgeruht 2 1 0 1 2 Schlapp
Gelassen 2 1 0 1 2 Angespannt
Ruhig 2 1 0 1 2 Unruhig
Bipolare Ratingskalen
Zusammenfassung Grundbegriffe
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• Die deskriptive Statistik dient der Beschreibung einer Stichprobe.• Grundlage jeder Statistik ist ein Datensatz. Dieser entsteht durch
die Messung von Merkmalen der Mitglieder dieser Stichprobe.• Dabei spielt die Operationalisierung der Merkmale eine
entscheidende Rolle.• Die Daten können auf unterschiedlichen Skalenniveaus vorliegen:
– Noninalskala, Ordinalskala, Intervallskala, Verhältnisskala
• Grundsätzlich sollte versucht werden, bei einer Messung ein möglichst hohes Skalenniveau zu erreichen.
• Bei der Erfassung vieler psychologischer Merkmale kann ein Intervallskalenniveau erreicht werden.
Datensätze in SPSS
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Datensätze in SPSS
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Datensätze in SPSS
Erstellen eines neuen Datensatzes• Definieren der Variablen (Variablenansicht)
– Name (kurzer Bezeichner)– Typ (meist: Numerisch = Zahl oder String = Text)– evtl.: Variablenlable und Wertelable– wichtig: Wert für missings (fehlende Werte) definieren!– Messniveau (Skalenniveau): Nominal, ordinal, oder Metrisch
• Eingabe der Daten (Datenansicht)– Jede Zeile ist ein Fall (eine Versuchsperson)– Bei fehlenden Angaben immer den Wert für missings eintragen!
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Statistische Kennwerte
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• Daten können auf viele unterschiedliche Arten dargestellt werden.
• Es gehört zu den Kompetenzen eines Statistikers zu entscheiden, welche Art der Darstellung geeignet ist.
• Sinnvoll ist immer eine Zusammenfassung des ursprünglichen Datensatzes.
• Gleichzeitig soll aber auch möglichst viel Information über das erhobene Merkmal erhalten bleiben.
• Dies erfolgt z.B. durch die Darstellung von– Häufigkeiten– Maßen der Zentrale Tendenz– Maßen der Dispersion
Häufigkeiten
• Eine Urliste enthält alle Werte einer Stichprobe• Beispiel Geschlecht: (w, w, w, m, m, w, w, w, w, m, w, m, …)• Zur Darstellung der Geschlechterverteilung fasst man diese
Urliste zusammen:
• Berechnung der Prozente:
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Geschlecht Anzahl Prozent
w 7521.4%
m 21 76.5 %
gesamt 96100.0 %
100Prozent GesamtAnz
KategorieAnz
Häufigkeiten in SPSS
Befehle in SPSS• Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten, Befehle aufzurufen
(1) Das Menu• Vorteil: Einfache Bedienung, wenn man sich nicht gut auskennt• Nachteil: Wenn man das Ergebnis nochmal braucht, muss man alles von neuem
anklicken.(2) Das Syntaxfenster
• Öffnen mit Datei > Neu > Syntax• Dann können Befehle direkt eingetippt werden.• Vorteil: Man kann die Syntax speichern, und alle Berechnungen später erneut
ausführen• Nachteil: Man muss die Befehle kennen• Sie müssen den Syntax nicht für die Klausur lernen.• ABER: Ich empfehle jedem regelmäßigem SPSS Nutzer, sich mit der SPSS Syntax
vertraut zu machen.
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Häufigkeiten in SPSS
Häufigkeiten über das Menu berechnen• Analysieren > Deskriptive Statistik > Häufigkeiten
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Häufigkeiten in SPSS
Häufigkeiten über das Menu berechnen• Die interessierenden Variablen aus der Liste (links) in das
Auswahlfeld (rechts) schieben
• … und OK anklicken
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Häufigkeiten in SPSS
Häufigkeiten über den Syntax berechnen• Ein Syntaxfester öffnen• Den Befehl eingeben:
– frequency sex.– fre sex.
• Den Befehl ausführen:– Strg. R („run“)– oder den blauen Pfeil
anklicken
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Häufigkeiten in SPSS
Häufigkeiten – SPSS Ausgabe
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Häufigkeiten in SPSS
Häufigkeiten – SPSS Ausgabe
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Häufigkeiten in SPSS
Häufigkeiten – SPSS Ausgabe
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Bundesland
Häufigkeit ProzentGültige
ProzenteKumulierte Prozente
Gültig Baden-Württemberg 53 54,1 56,4 56,4Bayern 7 7,1 7,4 63,8Hessen 8 8,2 8,5 72,3Saarland 2 2,0 2,1 74,5Nordrhein-Westfalen 7 7,1 7,4 81,9Rheinland-Pfalz 3 3,1 3,2 85,1Niedersachsen 3 3,1 3,2 88,3Berlin 2 2,0 2,1 90,4Thüringen 2 2,0 2,1 92,6Mecklenburg-Vorpommern 2 2,0 2,1 94,7Bremen 1 1,0 1,1 95,7außerhalb Deutschlands 4 4,1 4,3 100,0Gesamt 94 95,9 100,0
Fehlend -1 4 4,1Gesamt 98 100,0
Kategorisierung
• Oft hat ein Merkmal zu viele Ausprägungen, um für jede einzelne die Häufigkeit anzugeben.
• In diesem Fall kann es sinnvoll sein, Kategorien zu bilden.• Regeln für die Bildung von Kategorien:
– Kategorien sind disjunkt (keine Überlappung)– Kategorien sind direkt benachbart (keine Lücken)– An den Rändern sind „offene“ Kategorien erlaubt– Alle geschlossenen Kategorien sind gleich breit– Je größer eine Stichprobe, desto mehr und desto schmalere Kategorien
werden gebildet, in der Regel nicht mehr als 20.– Faustregel für die Anzahl der Kategorien (Leonhard, 2004):
• Bei N Probanden: m = 1 + 3.32 · log (N)• Bei 20 Probanden: m = 1 + 3.32 · log (20) = 1 + 3.32 · 1.3 ≈ 4• Bei 100 Probanden: m = 1 + 3.32 · log (100) = 1 + 3.32 · 2.0 ≈ 8• Bei 1000 Probanden: m = 1 + 3.32 · log (100) = 1 + 3.32 · 3.0 ≈ 10
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Kategorisierung
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Kenntnisse in der Statistik
Häufigkeit ProzentGültige
ProzenteKumulierte Prozente
Gültig 0 8 8,2 8,2 8,20.1 1 1,0 1,0 9,22 2 2,0 2,0 11,25 7 7,1 7,1 18,410 17 17,3 17,3 35,715 6 6,1 6,1 41,820 12 12,2 12,2 54,123 1 1,0 1,0 55,125 2 2,0 2,0 57,130 12 12,2 12,2 69,435 1 1,0 1,0 70,436 1 1,0 1,0 71,440 10 10,2 10,2 81,650 10 10,2 10,2 91,855 1 1,0 1,0 92,960 1 1,0 1,0 93,962 1 1,0 1,0 94,965 1 1,0 1,0 95,970 2 2,0 2,0 98,080 2 2,0 2,0 100,0Gesamt 98 100,0 100,0
Kategorisierung
Kategorie Prozent Kumuliert
0 ≤ x < 10 18.40% 18.40%
10 ≤ x < 20 23.40% 41.80%
20 ≤ x < 30 15.30% 57.10%
30 ≤ x < 40 14.30% 71.40%
40 ≤ x < 50 10.20% 81.60%
50 ≤ x < 60 11.30% 92.90%
60 ≤ x 7.10% 100.00%
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Selbsteinschätzung der Statistikkenntnisse (Kategorisiert)
Maße der Zentralen Tendenz
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• Maße der zentralen Tendenz geben an, wie ein Merkmal bei den meisten Mitgliedern einer Stichprobe bzw. in dieser Stichprobe im Durchschnitt ausgeprägt ist.
• Es gibt dafür unterschiedliche Maße der zentralen Tendenz– Modalwert (für alle Skalentypen)– Median (für mindestens ordinalskalierte Daten)– Mittelwert (für mindestens intervallskalierte Daten).
Der Modalwert
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• Der Modalwert (Modus, Mo) ist derjenige Wert aus einer Verteilung, welcher am häufigsten besetzt ist.
• Es kann auch mehrere Modalwerte geben.– SPSS gibt dann nur den kleinsten Wert aus.
• Bei kategorisierten Daten wird die Mitte der am häufigsten besetzten Kategorie angegeben.
• Die Angabe des Modalwertes ist besonders bei nominalskalierten Daten sinnvoll.
Der Modalwert
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Kategorie Prozent
0 ≤ x < 10 18.40%10 ≤ x < 20 23.40%20 ≤ x < 30 15.30%30 ≤ x < 40 14.30%40 ≤ x < 50 10.20%50 ≤ x < 60 11.30%60 ≤ x 7.10%
Beispiele: Wert Häufigkeit0 8
0.1 12 25 7
10 1715 620 1223 125 230 1235 136 140 1050 1055 160 162 165 170 280 2
Der Modalwert in SPSS
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Den Modalwert über das Menu berechnen• Analysieren > Deskriptive Statistiken > Häufigkeiten…• Auswahl „Statistiken …“• Auswahl „Modalwert“
Der Modalwert in SPSS
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Den Modalwert über den Syntax berechnen
• Ergänzende Unterbefehle in der Syntax werden immer mit einem „/“ eingeleitet.
• Ganz am Ende des Kommandos steht ein Punkt.• „/format notable“ unterdrückt die normale Häufigkeitstabelle• „/statistics modus” gibt den Modalwert aus.
frequencies age /format notable /statistics modus.
Der Modalwert in SPSS
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Modalwert – SPSS Ausgabe
Der Median
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Der Median• Der Median (Md) ist derjenige Wert, der die geordnete Reihe der
Messwerte in die oberen und die unteren 50 Prozent aufteilt. Somit ist die Anzahl der Messwerte über und unter dem Median gleich.
• Man benötigt ordinalskalierte Daten, um eine „geordnete Reihe“ bilden zu können.
Der Median
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Der Median – Berechnung• Für ungerade N nimmt man den Wert in der Mitte der
geordneten Liste:– Liste: 20, 21, 23, 27, 35– Md = 23– Allgemein:
• Für gerade N nimmt man den Mittelwert der beiden in der Mitte stehenden Werte:– Liste: 20, 21, 23, 27, 35, 36– Md = (23+27) / 2 = 25
– Allgemein:
2
1 NxMd
2
122
NN xx
Md
Der Median
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Beispiel:
Der Median in SPSS
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Den Median über das Menu berechnen• Analysieren > Deskriptive Statistiken > Häufigkeiten• Auswahl „Statistiken …“• Auswahl „Median“
Der Median in SPSS
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Den Median über den Syntax berechnen
• Ergänzende Unterbefehle in der Syntax werden immer mit einem „/“ eingeleitet.
• Ganz am Ende des Kommandos steht ein Punkt.• „/format notable“ unterdrückt die normale Häufigkeitstabelle• „/statistics median” gibt den Median aus.• Man kann auch Kennwerte kombinieren:
– “/statistics median, modus.”
frequencies age /format notable /statistics median.
Der Median in SPSS
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Median – SPSS Ausgabe
Der Median
Der Median bei kategorisierten Daten• Bei kategorisierten Daten wird berücksichtigt, wie viel Prozent
der Stichprobe oberhalb und unterhalb der Kategorie mit dem Median liegen.
• Berechnung:
– uG: Untere Grenze der Kategorie, in der der Median liegt.– KB Breite der Kategorie– fk Häufigkeit in der Kategorie k, in der der Median liegt– cum fk-1: kumulierte Häufigkeit der Kategorie k-1, d.h. die Summe
derHäufigkeiten aller Kategorien unter dem Median.
02_grundbegriffe_kennwerte 59
KBf
fcumNuGMd
k
k
15.0
Der Median
Berechnung
02_grundbegriffe_kennwerte 60
KBf
fcumNuGMd
k
k
15.0
Kategorie f cumf
0 ≤ x < 10 18 18
10 ≤ x < 20 24 42
20 ≤ x < 30 15 57
30 ≤ x < 40 14 71
40 ≤ x < 50 11 82
50 ≤ x < 60 11 93
60 ≤ x 7 100
7.24
7.420
1047.020
1015
42985.020
Md
Das arithmetische Mittel
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Das arithmetische Mittel• Der arithmetische Mittel (Mittelwert, „Durchschnitt“, ) ist das
häufigste Maß der zentralen Tendenz.• Das arithmetische Mittel darf nur für intervallskalierte Daten
berechnet werden.
x
Das arithmetische Mittel
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Das arithmetische Mittel – Berechnung• Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Messwerte geteilt
durch deren Anzahl N.
N
xx
N
i i 1 Zum Rechnen mit dem Summenzeichen siehe auch Leonhart (2004, S. 421f)
Das arithmetische Mittel
02_grundbegriffe_kennwerte 63
Beispiel:Vp lot
1 16
2 23
3 12
4 19
5 25
195
95x
Das arithmetische Mittel in SPSS
02_grundbegriffe_kennwerte 64
Das arithmetische Mittel über das Menu berechnen• Analysieren > Deskriptive Statistiken > Deskriptive Statistik… • Variable auswählen• OK
Das arithmetische Mittel in SPSS
02_grundbegriffe_kennwerte 65
Das arithmetische Mittel über den Syntax berechnen
oder
oder
oder
descriptives lot.
descriptives lot /statistic mean.
descriptives age, lot, stat_k /statistic mean.
frequency age, lot, stat_k /format notable /statistic mean.
Das arithmetische Mittel in SPSS
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Das arithmetische Mittel– SPSS Ausgabe
descriptives age, stat_k, lot /statistic mean.
frequency age, stat_k, lot /format notable /statistic mean.
Vergleich der Maße der Zentralen Tendenz
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frequencies age, freiburg /format notable /statistics modus median mean.
• Alter: Mittelwert > Median > Modus• Einstellung zu Freiburg: Modus > Median > Mittelwert• Warum?
Vergleich der Maße der Zentralen Tendenz
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Vergleich der Maße der Zentralen Tendenz
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Symmetrische Verteilung
Modus Median AM
Modus Median AM
Rechtssteile Verteilung Linkssteile Verteilung
Modus Median AM
Das gewichtete arithmetische Mittel (GAM)
02_grundbegriffe_kennwerte 70
Das gewichtete arithmetische Mittel (GAM)• Problem: Wie berechnet man das arithmetische Mittel, wenn
man nur Mittelwerte aus verschiedenen Gruppen kennt?• Beispiel: Die Studienmotivation von Psychologiestudierenden des
1.Semesters soll bestimmt werden. Ein Fragebogen wird in den drei Tutorien vorgegeben. Die Tutorinnen melden folgende Ergebnisse zurück:– Gruppe 1: M = 12– Gruppe 2: M = 10– Gruppe 3: M = 8
• Wichtig: Die Gruppengrößen müssen beachtet werden!
Das gewichtete arithmetische Mittel (GAM)
02_grundbegriffe_kennwerte 71
Berechnung:
Gruppe 1: M=12; N=50Gruppe 2: M=10; N=20;Gruppe 3: M=8; N=10;
k
i i
k
i ii
n
xnGAM
1
1
1180
88080
80200600102050
81010201250321
332211
nnn
xnxnxnGAM
Zusammenfassung: Maße der zentralen Tendenz
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• Eine einfache Form der Zusammenfassung ist die Darstellung der Häufigkeiten oder Prozente.
• Der Modalwert ist der Wert einer Verteilung, der am häufigsten vorkommt.
• Der Median ist der Wert, der eine Stichprobe in die oberen 50% und unteren 50% aufteilt.
• Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.
• Die Maße der zentralen Tendenz lassen auch Rückschlüsse auf die Verteilungsform zu.
• Sollen Mittelwerte aus Mittelwerten berechnet werden, müssen die Gruppengrößen berücksichtigt werden (GAM).
Maße der Dispersion
• Die Maße der zentralen Tendenz geben Auskunft über die „Mitte“ einer Verteilung.
• Maße der Dispersion beziehen sie dagegen auf die „Variabilität“ einer Verteilung, d.h. darauf, wie sehr sich die Werte unterscheiden.
• Beispiel: Schulnoten in zwei Klassen– Gruppe 1: 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3– Gruppe 2: 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5– Modalwert (=3), Median (=3) und Mittelwert (=3) unterscheiden nicht
zwischen beiden Gruppen!– Dennoch gibt es natürlich Unterschiede zwischen den Verteilungen.
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Maße der Dispersion
Maße der Dispersion:• Spannweite• Interquartilabstand• Varianz• Standardabweichung• Schiefe, Exzess
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Spannweite (Range)
• Die Spannweite wird auch als Variationsbreite oder Range bezeichnet.
• Unterschiedliche Definitionen für kontinuierliche und diskrete Variablen:– Für kontinuierliche Variablen:
Range = maximaler Wert – minimaler Wert.– Für diskrete Variablen:
Range = maximaler Wert – minimaler Wert +1(bzw.: Range = Anzahl der Kategorien)
• Bewertung– Eher geringe Aussagekraft über die Verteilung, da nur 2 Werte
berücksichtigt werden (der Kleinste und der Größte)– Hohe Empfindlichkeit gegenüber Ausreißerwerten.
02_grundbegriffe_kennwerte 75
Spannweite (Range)
Beispiel: Wie groß ist der „Range“?
02_grundbegriffe_kennwerte 76
Minimum Maximum Range
Geschlecht 1 2 2
Alter 18 49 31
Bundesland 1 11 11
Kenntnisse „Freiburg“ 5 90 85
Spannweite (Range)
• In SPSS kann der Range über den Befehl „Häufigkeiten“ ausgegeben werden.– Anwählen: Statistiken > Spannweite
• Syntax:
• Achtung: SPSS verwendet immer die Formel für kontinuierliche Variablen!
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frequency age, stat_k, lot /format notable /statistic range.
Interquartilabstand
• Als Quartilgrenzen werden die drei Punkte einer Verteilung bezeichnet, welche die geordnete Liste von Werten in vier Bereiche mit jeweils 25% der Stichprobe einteilen.– 25% (1. QG) 25% (2. QG) 25% (3. QG) 25%
• Die 2. Quartilgrenze entspricht damit dem Median• Beispiel: In einem Assessment-Center erhalten die 12 Teilnehmer
folgende Gesamtbeurteilungen (Max. 50 Punkte möglich):– 24, 28, 30, 31, 34, 35, 36, 37, 37, 41, 42, 43
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Q1=30.5 Q2=35.5 Q3=39
Interquartilabstand
• Der Abstand zwischen dem 1. und dem 3. Quartil wird als „Interquartilabstand“ bezeichnet.
• Es ist ein Maß für den „Kernbereich“ einer Verteilung.
• Im Interquartilbereich liegen 50% der Stichprobe.
• Berechnung: IQA = Q3 – Q1– IQA = 39 – 30.5 = 8.5
• Vorteil: Der IQA ist weniger anfällig gegenüber Ausreißern als die Spannweite.
• Voraussetzung für die Bildung von Quartilen ist ein Ordinal-skalenniveau.
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Interquartilabstand
• In SPSS kann man sich die Quartilgrenzen mit dem Befehl „Häufigkeiten“ ausgeben lassen:
• Im Menu „Analysieren > Deskriptive Statistiken > Häufigkeiten“ aufrufen.
• Dann unter Statistiken „Quartile“ auswählen.
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• In der Syntax:
• Perzentile sind „hundertstel“ der Verteilung• 25 Hundertstel entsprechen 1 Viertel
– 1. Qurtil = Perzentil 25 – 2. Quartil = Perzentil 50– 3. Quartil = Perzentil 75
Interquartilabstand
02_grundbegriffe_kennwerte 81
frequency age, stat_k, lot /format notable /percentiles 25, 50, 75.
• SPSS Ausgabe:
• IQA = 26.5 – 20.0 = 6.5
Interquartilabstand
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Zentrale Momente
• Als zentrales Moment wird der Abstand der Messwerte vom Mittelwert bezeichnet.
• Dabei unterscheidet man verschiedene „Ordnungen“:
– Zentrales Moment 1. Ordnung:
– Zentrales Moment 2. Ordnung: „Varianz“
– Zentrales Moment 3. Ordnung: „Schiefe“
– Zentrales Moment 4. Ordnung: „Exzess“
02_grundbegriffe_kennwerte 83
)( xxi 2)( xxi 3)( xxi 4)( xxi
Varianz
• Das wichtigste Maß für die Dispersion ist die Varianz.• Bei der Berechnung der Varianz wird jeder einzelne Wert
berücksichtigt.• Die Varianz gibt an, wie weit jede individuelle Merkmals-
ausprägung vom Mittelwert der Verteilung entfernt ist.• Dabei wird die Summe des zentralen Moments 2. Ordnung über
alle Probanden einer Stichprobe durch die Anzahl der Probanden dividiert:
• Voraussetzung für die Berechnung der Varianz ist Intervallskalenniveau.
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N
xxs
N
i ix
1
2
2
Varianz
Beispiel: Berechnung der Varianz für folgende Variable:
02_grundbegriffe_kennwerte 85
Vp x x-M (x-M)²
1 4 1 1
2 2 -1 1
3 2 -1 1
4 2 -1 1
5 5 2 4
1. Berechnen Sie den Mittelwert
2. Bilden Sie für jede Merkmalsausprägung die Differenz zum Mittelwert
3. Quadrieren Sie die Differenzen
4. Bilden Sie die Summe
5. Teilen Sie die Summe durch N
6.15
82 xs
Varianz
Varianz in der Stichprobe und in der Population• Die Formel für die Varianz, die wir bisher kennengelernt haben,
gilt für die Berechnung der Varianz in einer Stichprobe.• In aller Regel will man etwas über die Varianz eines Merkmals in
der gesamten Population erfahren.• Die Varianz ist aber kein „erwartungstreuer Schätzer“, d.h. wenn
man viele Stichproben untersucht, dann entspricht der Mittelwert der Varianzen dieser Stichproben nicht der Varianz der gesamten Population.
• Die Stichprobenvarianz unterschätzt die Populationsvarianz.• Diese Abweichung ist umso stärker, je kleiner die Stichprobe ist.
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Varianz
Varianz in der Population• Die Formel für die Populationsvarianz korrigiert die
Unterschätzung der Varianz in der Stichprobe:
• Unterschiede zu der Formel für s²:– Wir verwenden nun ein griechisches Sigma (statt s), um zu verdeutlichen,
dass wir uns auf die Population beziehen.– Das ^ wird verwendet, um zu zeigen, dass die Populationsvarianz nur
geschätzt werden kann.– Im Nenner steht N-1 (statt N). Dadurch wird das Ergebnis der Formel
etwas größer.
02_grundbegriffe_kennwerte 87
1
)(ˆ 1
22
N
xxN
i ix
Varianz
Zurück zum Beispiel:• Stichprobenvarianz:
• Populationsschätzer:
02_grundbegriffe_kennwerte 88
0.2
4
8
1ˆ 1
2
2
N
xxN
i ix
6.1
5
81
2
2
N
xxs
N
i ix
Standardabweichung
• Die Varianz ist durch die Bildung der Quadrate schwer zu interpretieren.
• Daher wird aus ihr oft die Standardabweichung berechnet, indem wieder die Quadratwurzel aus der Varianz gezogen wird.
• Voraussetzung für die Berechnung der Standardabweichung ist wiederum Intervallskalenniveau.
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Standardabweichung
• In der Stichprobe:
• Populationsschätzer:
02_grundbegriffe_kennwerte 90
1
ˆˆ 1
2
2
N
xxN
i ixx
N
xxss
N
i ixx
1
2
2
Schiefe
• Zusätzliche Information über die Form einer Verteilung liefert die Schiefe.
• Man unterscheidet
02_grundbegriffe_kennwerte 91
Linkssteile VerteilungRechtssteile Verteilung
Schiefe
• Die Schiefe wird aus dem zentralen Moment 3. Ordnung berechnet:
• Es gilt dabei:– a3<0 rechtssteile Verteilung– a3=0 symmetrische Verteilung– a3>0 linkssteile Verteilung
02_grundbegriffe_kennwerte 92
3
1
3
3x
N
i i
sN
xxa
Exzess (Kurtosis)
• Weitere Information über die Form einer Verteilung liefert der Exzess (Kurtosis).
• Man unterscheidet
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Breitgipflige Verteilung Schmalgipflige Verteilung
Exzess (Kurtosis)
• Der Exzess wird aus dem zentralen Moment 4. Ordnung berechnet:
• Es gilt dabei:– a4<0 breitgipflige Verteilung– a4=0 „Normalverteilung“– a4>0 schmalgipflige Verteilung
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3
41
4
4
x
N
i i
sN
xxa
Kennwerte in SPSS
• Varianz, Standardabweichung, Schiefe und Exzess können in SPSS über die Befehle „Häufigkeiten“ oder „Deskriptive Statistiken“ berechnet werden.
• Syntax für den Befehl Häufigkeiten:
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frequencies freiburg psycho stat /format notable /statistic mean variance stddev skewness kurtosis.
frequencies freiburg_k psycho_k stat_k /format notable /statistic mean variance stddev skewness kurtosis.
Kennwerte in SPSS
SPSS Ausgabe:
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Kennwerte und Skalenniveaus
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Maß Skalenniveau mindestens:
Häufigkeit / Prozente Nominal
Modalwert Nominal
Median Ordinal
Quartile Ordinal
Arithmetisches Mittel Intervall
Varianz Intervall
Standardabweichung Intervall
Schiefe Intervall
Exzess Intervall
Zusammenfassung Dispersionsmaße
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• Wichtige Maße der Dispersion sind der Range, der Interquartilabstand, die Varianz und die Standardabweichung.
• Bei Varianz und Standardabweichung muss beachtet werden, ob ein Maß für die Stichprobe oder für eine Population berechnet wird.
• Weiteren Aufschluss über die exakte Verteilungsform liefern die Schiefe und der Exzess.
• Bei der Berechnung statistischer Kennwerte muss beachtet werden, ob das entsprechende Skalenniveau gegeben ist.