HELIOSEISMOLOGIE & ASTEROSEISMOLOGIE
Markus Roth & Svetlana BerdyuginaFakultät für Mathematik und PhysikAlbert-Ludwigs-Universität Freiburg
Kiepenheuer-Institut für Sonnenphysik
IV. Oszillationsgleichungen
Überblick stellare Oszillationen
Eigenschaften von Sonnen(-ähnlichen) Pulsationen
• Kleine Amplitude; können deshalb als lineare Störungen des Gleichgewichts angesehen werden• Perioden sind viel kürzer als thermische Zeitskala in den meisten Sternen; deshalb Annahme adiabatischer Oszillationen gerechtfertigt.
• Modi sind wahrscheinlich hauptsächlich durch den konvektiven Fluss und turbulente Druckstörungen gedämpft• Modi werden stochastisch durch die Konvektion angetrieben• Amplituden werden durch ein Gleichgewicht zwischen Energiezufuhr und Dämpfung bestimmt. Deshalb gibt es Anregung von beobachtbaren Oszillationen über einen breiten Frequenzbereich
Nicht-sonnenähnliche Oszillationen:• Intrinsisch getrieben, der Stern funktioniert wie eine Wärmemaschine (in der kritischen Schicht)• Begrenzung der Amplitude unklar, führt zur irregulären Auswahl von beobachtbaren Modi
Pulsierende Sterne im HR Diagramm
Grundgleichungen der (nicht-viskosen) Hydrodynamik
Energie Gleichung, adiabatische Näherung
Relative Größen:
Kleine Störungen um das Gleichgewicht
Linearisierte GrundgleichungenKontinuitätsgleichung
Bewegungsgleichung
Adiabatizität
Poisson Gleichung
Schallwellen im homogenen Medium
Innere Schwerewellen
In Wirklichkeit hat man erhöhte Trägheit wegen horizontaler Bewegungen
Stern zum „Leben“ erwecken
Bewegung eines Gaspakets mit Masse m im dreidimensionalen Stern:
Statischer Stern – eindimensional:
Kontinuitätsgleichung (keine Massenquellen und -senken)
Bewegungsgleichung (3D)
Masse m ist keine geeignete Koordinate mehr, um dreidimensionale Bewegungen im Stern zu
beschreiben
Grundgleichungen der (nicht-viskosen) Hydrodynamik
Störungen dieses zeitabhängigen Modells – durch kleine Bewegungen
Alle Größen können in der Form
© (r ,t) = ©0(r) + ©‘(r, t) , wenn ©‘ << ©0
geschrieben werden.
gestörte Größe = Gleichgewichtsmodell + kleine zeitabhängige Störung
) Einsetzen in die Grundgleichungen der Hydrodynamik
) Beibehalten von Termen bis erster Ordnung in der Störung
) Abziehen der Gleichgewichtsgrößen
Linearisierte GrundgleichungenKontinuitätsgleichung
Bewegungsgleichung
Adiabatizität
Poisson Gleichung
Separation von (, )Separation der Auslenkung in Radialteil und Horizontalteil (radiale Richtung hat besonderen Status):
Bewegungsgleichung separiert dann auch:
Kontinuitätsgleichung:
Radiale Komponente
Horizontale Komponente
Separation von (, )Divergenz anwenden auf horizontalen Bewegungsgleichung: Divergenz von Gleichgewichtsgrößen verschwindet, da keine horizontalen Anteile
Einsetzen der Kontinuitätsgleichung:
Poisson Gleichung ausgeschrieben für Radial- und Horizontalteil:
Die letzten drei Gleichungen nochmals
Ableitung nach den Winkelvariablen µ u. Á nur in Verbindung mit! weitere Vereinfachung möglich
Bis jetzt: Gleichungen sind ein System partielle Differentialgleichungen in erster Ordnungin den vier Variablen
Separation von (, )
Weiterer Separationsansatz mit Funktion f(, ) in der Art, dass f(, ) Eigenfunktion des horizontalen Laplace-Operators ist:
Erfüllt mit
Ziel, Abhängigkeit von den Winkelkoordinaten weiter vereinfachen.
Koeffizienten sind unabhängig von Á, d.h. weitere Separation f(µ,Á ) = f1(µ) f2(Á)
Separation von (, )Ergebnis: Die r-abhängigen Variablen in dem Differentialgleichungssystem können geschrieben werden als:
Den gemeinsamen Faktor Ylm exp (-i!t) kürzt man aus den Gleichungen heraus
und erhält ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen:
Energiegleichung:
Separation von (, )Separation der skalaren Größen, z.B:
Auslenkungsvektor:
Effekt des horizontalen Laplace Operators auf eine beliebige Störung ’:
Kugelflächenfunktionen
Nicht radiale Modi: Quadrupol Modus
l=2, m=0 l=2, m=2
Rich Townsend
Schwingungen in Sternen
Schwingungen in Sternen
Separierte GleichungenSeparation der Zeit gemäß exp(- it); adiabatische Oszillationen:
Lamb Frequenz, Schallgeschw., Brunt-Väisälä-Frequenz
System gewöhnlicher Differentialgleichungen vierter Ordnung für die vier Variablen:
RandbedingungenIm Zentrum singulärer Punkt (Taylor-Entwicklung in r)Für l ≠ 0 folgt: »r » rl-1, p’, ©’ » rl; für l=0: »r» r
An der Oberfläche: r=R1. Forderung der Kontinuität der Lösung und ihrer Ableitung; außerhalb des Sterns verschwindet die Dichtestörung, Poisson Gl. analytisch lösbar. Im Unendlichen :
Die Diff.Gl.en und Randbedingungen bestimmen die Frequenzen (Eigenwert) wnl
2. Lagrangesche Druckstörung verschwindet:
Frequenzabhängigkeit vom inneren Aufbau der Sonne
Frequenzen hängen von dynamischen Größen ab:
Jedoch können aus dem hydrostatischen Gleichgewicht und der Poisson-Gleichung p und g aus ½ bestimmt werden.
Deshalb sind adiabatische Oszillationen vollständig charakterisiert durch
oder äquivalent
Frequenzen von Model S
n = w / 2 p
Beobachtete Modi der Sonne
Experimenteller Beweis
Franz-Ludwig Deubner, 1974
Genäherte Gleichungen
Cowling Näherung
Hohe radiale Ordnung ! Störungen variieren schneller mit r als Gleichgewichtsgrößen) Ableitungen von Gleichgewichtsgrößen vernachlässigbar
Kombination der zwei verbleibenden Gleichungen:
Moden-Einfang (“Mode Trapping”)
Eigenfunktionen oszillieren als Funktion von r, falls
Lokales Verhalten von »r hängt vom Vorzeichen von K(r) ab: K positiv: lokales oszillieren K negativ: exponentielles Verhalten
Asymptotische FrequenzenDispersionsrelation für akustische Wellen
Deshalb
Wellenpfade
Ort des Umkehrpunkts
Einfluß auf Eigenfunktionen
rt
rt
Seismologie der SonneUnterschiedliche Wellen laufen durch unterschiedliche Bereich in der Sonne→ Information aus verschiedenen Tiefen
Voraussetzungen:
• Sehr genaue Messung der Frequenzen, um die Wellen trennen zu können
→ lange u. ununterbrochene Messungen
Frequenzauflösung:
Seismologie der Sonne damit möglich
„Helioseismologie“
Aus den Tönen, auf den Aufbau des Instruments schließen
Asymptotische FrequenzenDispersion Beziehung für akustische Wellen
Deshalb
Bedingung für stehene Wellen mit oberflächengeneriertem Phasensprung a
Folgerung: Duvall’sches Gesetz (Duvall 1982; Nature 300, 242)
Beobachtetes Duvall’sches Gesetz
Beobachtetes Duvall’sches Gesetz
Beobachtetes Duvall’sches Gesetz
Beobachtetes Duvall’sches Gesetz
Beobachtetes Duvall’sches Gesetz
Beobachtetes Duvall’sches Gesetz
F(w)
Innerer Aufbau der Sonne
Dichte
c2 [m
2 /s2 ]
[g
/cm
3 ]
(Kosovichev, 1996) (Vorontsov, 2002)
Schallgeschwindigkeit
Differenz zwischen theoretischem Modell und Helioseismologie: ca. 2%
Inversion der Integralgleichung für die Schallgeschwindigkeit (ähnlich für die Dichte):
Zentraltemperatur der Sonne
Die Zentraltemperatur der Sonne beträgt:
15,7 Millionen Grad Celsius
Unsicherheit: 2%
(Vorontsov, 2002)