Hm-3 9Ws 19/20 16.12.19

Übungsaufgaben

1 Sei

f (z) = e�z2

1 + e�2↵z, ↵ 2 C.

a. Bestimmen Sie ↵ so, dass f (z) � f (z + ↵) = e�z2.

b. Bestimmen Sie alle Residuen von f .c. Zeigen Sie

Z 1

�1e�x

2dx =

p⇡ ,

indem Sie über Quadrate in der oberen komplexen Halbebene mit einer Seite[�R, R] integrieren.

2 Untersuchen Sie, ob f (z) = z2 � 1

z3 + 4z2 + zaußerhalb seiner Polstellen eine

Stammfunktion besitzt.

Schriftaufgaben

3 Bestimmen Sie die Residuen der folgenden Funktionen

a. z + 1z

b.1

z4(z2 + 1)c.

1cos z

d.sin z

z

e.1 � cos z

z5 f.z

2 � 2z

sin(⇡z)

4 Berechnen Sie die folgenden Kurvenintegrale.

a.

Z

|z�2|=1z

2 ln(z2) dz b.

Z

|z|=⇡

tan z

zdz c.

Z

|z|=3

e↵z

1 + z2 dz .

5 Berechnen Sie:

a.

Z 1

�1

eit

4 + t2 dt b.

Z 1

�1

x + 1x4 + 1

dx c.

Z 2⇡

0

sin z

2 + cos zdz .

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Hm-3 9.2

Ws 19/20 16.12.19

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