Lösung der elastischen Wellengleichung auf Lösung der elastischen Wellengleichung auf einem variablen FD-Gittereinem variablen FD-Gitter
Daniel Köhn und Thomas BohlenDaniel Köhn und Thomas Bohlen
Graz, den 24. Januar 2005Graz, den 24. Januar 2005
Einführung in die adaptive FD-Modellierung
Kantenlänge LKantenlänge L
L/2L/2
Vs1
Vs2 >> Vs1
FD-Diskretisierung auf einem homogenen Gitter
Vs1
Beachte Gitterdispersion:dh 1/nmit1=Vs1/fmax
n = 12 (2.Ordnung) = 8 (4.Ordnung)
Vs2>> Vs1
L/2L/2
„ oversampled “
FD-Diskretisierung auf einem adaptiven Gitter
Vs1
Beachte Gitterdispersion:dh 1/nmit1=Vs1/fmax
n = 12 (2.Ordnung) = 8 (4.Ordnung)
Vs2>> Vs1
L/2L/2
Rechenzeitersparnis
Rechenzeit 2D: 1/25
Rechenzeit 3D: 1/125
Implementierung des adaptiven FD-Codes
Nach Jastram (1992)
Testproblem:homogener Raum (1x1 m), umgeben von Luft
100x100 Gitterpunktedt = 3e-6 sRechenzeit: 40000 Zeitschritte
Test: 2D-Modellierung eines homogenen Raumes
Verwendeter FD-Code: - Velocity-Stress Formulierung der elastischen Wellengleichung- Standard Staggered Grid (SSG)- FD-Operatoren 2.Ordnung
=> zu interpolierende Variablen: syy , vx
Test: 2D-Modellierung eines homogenen Raumes
Analyse der Instabilität
Definition des Instabilitätszeitpunktes
Einfluss unterschiedlicher Interpolationsverfahren auf den Instabilitätszeitpunkt
Hypothese: Addition der Interpolationsfehler führt zur Instabilität ?
Interpolationsverfahren Instabilität nach L1-Norm [Zeitschritte]
gesamte Rechenzeit [s]
homogenes Gitter 8 332.1nearest neighbor 4233 368.1trigonometrisch 16277 401.03
linear 17600 247.6kubisch 19000 249.4
kubische Hermite Polynome 19789 355.1kubische Splines 20011 420.3
Modellierung des Interpolationsfehlers durch multiplikativen Gauss’schen Noise
Syy(j,i) = Syy(j,i) (1+) vx(j,i) = vx(j,i) (1+ wobei, [-0.02, 0.02]
Modellierung des Interpolationsfehlers durch multiplikativen Gauss’schen Noise
=> Instabilität ist nicht allein auf Interpolationsfehler zurückzuführen.
Entwicklung der L1-Norm (vx, multiplikativer Noise)
Analyse des Wellenzahl-Spektrums im Übergangsbereich zwischen groben und feinem
Gitter
Wellenzahl-Spektrum und L1-Norm als Funktion der Zeit
Der Einfluß des groben Gitters
Nyquist-Wellenzahl feines Gitter
Nyquist-Wellenzahl grobes Gitter
Quellsignal
„Coarse Grid Nyquist Peaks“
Stabilisierung des adaptiven FD-Codes
Response des 1D-Butterworth-Filters zur Unterdückung der Response des 1D-Butterworth-Filters zur Unterdückung der “Coarse Grid Nyquist Peaks”“Coarse Grid Nyquist Peaks”
Nyquist-Wellenzahl feines Gitter
Nyquist-Wellenzahl grobes Gitter
Unterdrückung des Noise durch Tiefpass-FilterungUnterdrückung des Noise durch Tiefpass-Filterung
Unterdrückung des Noise durch Tiefpass-FilterungUnterdrückung des Noise durch Tiefpass-Filterung
Rechenzeitersparnis: TestproblemRechenzeitersparnis: Testproblem
Homogenes Gitter ... 433.09 sAdaptives Gitter ... 293.77 s
Relative Rechenzeit adaptiv/homogen ... 67 %Theoretisch maximal möglich ... 63 %
Zusammenfassung
Die Amplitude des Interpolationsfehlers (multiplikativer Noise) wächst während der Rechnung stetig an.
Das Auftreten der „Coarse Grid Nyquist Peaks“ führt aufgrund der Verletzung des Nyquist-Kriteriums des groben Gitters zur Entstehung einer numerischen Instabilität.
Diese wächst exponentiell mit der Zeit an.
Eine Tiefpassfilterung des k-Bereichs unterhalb der Nyquist-Wellenzahl des groben Gitters führt zu einer Stabilisierung des adaptiven FD-Codes.
Ausblick
Implementierug einer Filterung im Orts-Bereich (Parallelisierung).
Genauigkeitstest anhand geologischer Beispiele:
- Probleme mit hohen Vp/Vs-Verhältnissen - Auflösung kleinskaliger Strukturen
3D-Parallelisierung