Mehrdimensionale IntegrationDr. Christian Lagemann
Mitschrift: Philipp Drössler
Stand: 5. Mai 2012
Inhaltsverzeichnis
1 Das Lebesgue-Integral im Rn 2
1.1 Treppenfunktionen und deren Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Das Integral von Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Konvergenzsätze und der Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Der Transformationssatz 22
3 Parameterabhängige Integrale 25
4 Differenzierbare Untermannigfaltigkeiten des Rn 27
Stichwortverzeichnis 30
Logbuch 31
1
1 Das Lebesgue-Integral im Rn
1.1 Treppenfunktionen und deren Integral
Definition 1 (Quader)Einbeschränkter Quader Q im R
n ist das Produkt von n beschränkten nicht leeren Inter-vallen Q = I1 × I2 × · · · × In
Die Intervalle können offen, abgeschlossen oder halboffen sein. Wir nennen den Quaderoffen bzw. abgeschlossen, wenn alle Ij offen bzw. abgeschlossen sind.
Das Volumen von Q gegeben durch vol(Q) =n∏
i=1(bi − ai) für Qj = (aj , bj), Qj = [aj, bj ]
oder Qj = (aj , bj ], Qj = [aj , bj)n mit jeweils aj ≤ bj.
Bemerkung 1 Unsere Quader sind achsparallet zu den jeweiligen e1, e2, . . . , en−Achsen
Sei M ⊂ Rn eine beliebige Menge, dann bezeichnen wir χM (x)
{
1 x ∈M
0 sonstals cha-
rakteristische Funktion von M .
Definition 2 (Treppenfunktion)Eine Funktion f : Rn → R heißt Treppenfunktion falls es x1, . . . , cm und eine Menge
{Q1, . . . , Qm} paarweiser disjunkter1 nicht leerer Quader gibt mit: f(x) =m∑
j=1cjχQj
(x).
Definition 3 (Träger)Sei f : Rn → R eine beliebige Funktion. Wir nennen supp(f) = {x ∈ R|f(x) 6= 0} 2 denTräger von f
Definition 4 (passend)Wir nennen die Menge {Q1, . . . , Qm} von Quadern ”zu Treppenfunktionen passend”,
falls f auf jedem Qj konstant ist undm⋃
j=1Qj ⊃ supp(f) gilt.
Bemerkung 2 Sei {Q1, . . . , Qm} eine Menge von paarweise disjunkten Quadern, pas-
send zur Treppenfunktion f : Rm → R dann ist f(x) =m∑
j=1cjχQj
(x) für c1, . . . , cm ∈ R
geeignet.
Definition 5 (Verfeinerung)Wir nennen eine Menge von Quadern {Q1, . . . , Qm} im R
n ”Verfeinerung” einer anderenMenge von Quadern {K1, . . . ,Kl} falls gilt:
1A und B sind disjunkt ⇔ A ∩ B = ∅2supp bedeutet ”support”, und ist nicht zu verwechseln mit sup dem Supremum!
2
• ∀i ∈ {1, . . . , l}∃Mi ∈ {Q1, . . . , Qm} : Ki =⋃
Q∈Mi
Q
• und ∀i ∈ {1, . . . ,m}∃i ∈ {1, . . . , l} : Qj ⊂ Ki
• und ∀j ∈ {1, . . . ,m}∀i ∈ {1, . . . , l} : (Qj ⊂ Ki) ∨ (Qj ∧Ki = ∅)
Bemerkung 3 Sei{Q1, . . . , Qm} Verfeinerung von {K1, . . . ,Kl} ⇒m⋃
i=1Qi =
l⋃
j=1Kj
Lemma 1 (Verfeinerungslemma)Ist {Q1, . . . , Qm} eine Menge von nicht leeren Quadern im R
n, so existiert eine Verfei-nerung in eine Menge von nicht leeren paarweise disjunkten Quadern.
Beweis: Induktion über n
Induktionsanfang: n = 1Sei Qi = [ai, bi] (bzw. (ai, bi], [ai, bi), (ai, bi)) mit ai ≤ bi.Wir ordnen die Menge reeller Zahlen {ai, bi|i = 1, . . . ,m} der Größe nach und erhalteneine Sequenz c1 < c2 < · · · < cl, l ≤ 2m
| | | | | |a1 b1a2 b2a3 b3a4 b4
c1 c2 c3 c4 c5 c6
M := {[ci, ci]|i = 1, . . . , l ∃ j ∈ {1, . . . ,m} : cj ∈ Qj} ∪{(ci, cj)|i = 1, . . . , l − 1 ∃ j ∈ {1, . . . ,m} : (ci, cj) ∈ Qj}
Da Qj =⋃(ci, ci+1) ∪
⋃[ci, cj ] gilt3, ist Qj =
⋃
K⊂Mi
K für Mi ⊂ M geeignet.
Weiterhin ist per Konstruktion für alleK ∈ M, j ∈ {1, . . . ,m} : K ⊂ Qj oderK∩Qj = ∅.Per Definition existiert zu jedem K ∈ M ein Qj ∈ {Q1, . . . , Qm} mit K ⊂ Qj.Also ist M die gesuchte Verfeinerung.
Korollar 1 Sind f, g : Rn → R Treppenfunktionen und ist M eine zu f , und N eine zug passende Menge von nicht leeren Quadern, so gibt es eine Menge X 6= ∅, von paarweisedisjunkten Quadern, die zu M∪N eine Verfeinerung ist und zu f und g passend ist.
Beweis:Nach Lemma 1 existiert eine Verfeinerung von M ∪ N in paarweise disjunkten, nichtleeren, Quadern. Diese ist zu f unf g passend.
Induktionsvoraussetzung: Sei die Behauptung für n ∈ N bewiesen.
Induktionsschritt: n→ n+ 1
3(ci, ci+1) ⊂ Qj und [ci, cj ] ∈ Qj
3
Sei Q = {Q1, . . . , Qn} eine Menge von, nicht leeren, Quadern. Qj ∈ Rn+1, j = 1, . . . ,m.
Also Qj = Ij1 × Ij2 × · · · × Ijn+1 für Iji ist ein nicht leeres Intervall.Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Menge, paarweise disjunkter,Quader K = {K1, . . . ,Kl} mit Ki ∈ R
n
die Verfeinerung von {Ij1 × Ij2 × · · · × Ijn+1}, j ∈ {1, . . . ,m} (Ki 6= ∅) ist.Nach Induktionsanfang gibt es eine Menge, paarweise disjunkter,Quader L = {L1, . . . Lr} mit Li ∈ R, Li 6= ∅ und die Verfeinerung von{Ijn+1|j ∈ {1, . . . ,m}} ist.
Wir definieren:M := {Ki × Ls|i ∈ {1, . . . , l}, s ∈ {1, . . . , r},∃j ∈ {1, . . . ,m} : Li × Ls ∈ Qj}
• Per Definition existiert für jedes M ∈ M ein j ∈ {1, . . . ,m} mit M ∈ Qj
• Zu jedem j ∈ {1, . . . ,m} gibt es ein Kj ⊂ K und Lj ⊂ L mitIj1 × · · · × Ijn =
⋃
K⊂Kj
K, Ijn+1 =⋃
L∈Lj
L.
Also gilt:Qj = Ij1 ×· · ·× Ijn+1 =
⋃
K∈Kj ,L∈Lj
K×L =⋃
M∈Mj
M mit Mj = {M ∈ M|M ⊂ Qj}
• Sei M ∈ Mj und Qj ∈ {Q1, . . . , Qm} mit M ∈ Qj 6= ∅. Dann gilt: M = Ki × Ls
mit (Li × Ls) ∩ (Ij1 × · · · × Ijn+1) 6= ∅.
Also Ki ∩ (Ij1 × · · · × Ijn) 6= ∅ und Ls ∩ Ijn+1 6= ∅.
Da K und L Verfeinerungen der jeweiligen Mengen von Intervallen ist, gilt:M = Ki ∩ (Ij1 × · · · × Ijn), Ls ⊂ (Ij1 × · · · × Ijn+1) = Qj �
Satz 1 Die Menge der Treppenfunktionen bildet einen R-Vekrorraum
Beweis: Übung
4
1.2 Das Integral von Treppenfunktionen
Definition 6 (Integral von Treppenfunktionen)Sei f : Rn → R eine Treppenfunktion.
f(x) =m∑
j=1cjχQj
(x), cj ∈ R, Qj paarweise disjunkte nicht leere Quader.
Dann ist∫
Rn
f(x)dx =m∑
j=1cjvol(Qj) das Integral von f (über R
n)
Satz 2 Das Integral für Treppenfunktionen ist wohldefiniert.
Beweis:
Sei f(x) =m∑
j=1cjχQj
(x) eine Treppenfunktion,
cj ∈ R, Q1, . . . , Qm ∈ Rn paarweise disjunkte nicht leere Quader.
Sei K = {K1, . . . ,Kl} eine Verfeinerung von {Q1, . . . , Qm}, Ki paarweise disjunkt undnicht leer.
Dann passt K zu f und f(x) =l∑
i=1biχKi
(x) �
Satz 3 Sind f, g : Rn → R Treppenfunktionen, λµ ∈ R, so gilt:
1)∫
Rn(λf + µg)(x)dx = λ∫
Rn f(x)dx+ µ∫
Rn g(x)dx (Linearität)
2)∣∣∫
Rn f(x)dx∣∣ ≤
∫
Rn |f(x)|dx
3) Gilt für alle x ∈ R f(x) ≤ g(x), so gilt:∫
Rn f(x)dx ≤∫
Rn g(x)dx
Konvention 1∀x ∈ R x <∞∀x ∈ R x+∞ = ∞+ x = ∞∀x ∈ R, x 6= 0 x · ∞ = ∞ · x = ∞, 0 · ∞ = ∞ · 0 = 0Ist eine Reihe mit nicht negativen Summanden divergent,so setzen wir ihren Wert auf ∞.
Definition 7 (Hüllreihe und Inhalt)Sei f : Rn → R ∪ {∞}.Wir nennen die Reihe
ϕ(x) :=∞∑
j=1cjχQj
(x) mit cj ∈ R, cj > 0, Qj ∈ Rn offene Quader
Hüllreihe von f falls für alle x ∈ R gilt:|f(x)| ≤ ϕ(x)
Wir definieren den Inhalt von ϕ I(ϕ) als I(ϕ) :=∞∑
j=1cjvol(Qj)
5
Definition 8 (L1 −Halbnorm)Sei f : Rn → R ∪ {∞} eine Funktion. Wir definieren die L1-Halbnorm von f :||L||1 := {I(ϕ)|ϕ ist Hüllreihe von f}
Bemerkung 4
• Jede Hüllreihe definiert eine Funktion: Rn → R ∪ {∞}
• Zu jeder Funktion existiert eine Hüllreihe4
• ||f ||1 ist für jede Funktion definiert.5
• ||f ||1 ≥ 0 ∀f : Rn → R ∪ {∞}
Satz 4 Sind f, g : Rn → R ∪ {∞} Funktionen λ ∈ R, so gilt:
• ||λf ||1 = |λ| · ||f ||1
• ||f + g||< ≤ ||f ||1 + ||g||1
• Ist ∀x ∈ Rn |f(x) ≤ |g(x)|, so gilt: ||f ||1 ≤ ||g||1
Sei K = {K1, . . . ,Kl} eine Verfeinerung von {Q1, . . . , Qm}; Kj paarweise disjunkt
f(x) =l∑
i=1biχKi
(x)
Zu jedem Qj gibt es ein Kj ⊂ K und Qj =⋃
K⊂KK, also χQj
(x) =∑
K=Kj
χK(x) und
vol(Qj) =∑
K∈Kj
vol(K) 6
Also f(x) =m∑
j=1cjχQj
(x) =m∑
j=1
∑
K⊂Kj
cjχK(x) =l∑
i=1biχKi
(x)
Da die Ki und Kj paarweise disjunkt sind7 ist bi = cj für Ki ∈ Kj .Da jedes K ∈ K in einem Qj enthalten ist, haben wir:l∑
i=1bivol(Ki) =
l∑
i=1
m∑
j=1
∑
Ki∈Kj
bivol(Ki) =m∑
j=1
l∑
i=1
Ki∈Kj
bivol(Ki) =m∑
j=1
l∑
i=1
Ki∈Kj
cjvol(Ki) =
m∑
j=1cj
l∑
i=1
Ki∈Kj
vol(Ki) =m∑
j=1cjvol(Qj)
Also liefert die Verfeinerung K den gleichen Wert für das Integral von f .
4z.B eine Hüllreihe die überall unendlich ist.5u.U. ∞6da die Kj paarweise disjunkt sind7Qj paarweise disjunkt
6
Sind M und N zu F passende Mengen von paarweise disjunkten Quadern - qir kön-nen o.B.d.A. annehmen, dass f auf keinem der Quader den Wert 0 annimmt8. Also:supp(f) =
⋃
N⊂NN =
⋃
M⊂MM ⋆
Sei Keine Verfeinerung von M∪N in paarweise disjunkte Quader.Wegen ⋆ ist K eine Verfeinerung von M und Verfeinerung von N . Nach dem Verfei-nerungslemma existiert ein K. Nach obigen Argument liefert K den gleichen Wert für∫
Rn f(x)dx wie M und auch wie N . Also liefern M und N den gleichen Wert für∫
Rn f(x)dx.
Beispiel 1 f(x) =
{
1, x ∈ Q ∩ [0, 1]
0, sonst
Sei Φk(x) =∞∑
j=1
j∑
l=0
χIli,jmit Ili,j =
(l
j−
1
2(j + 1)kj,l
j+
1
2(j + 1)kj
)
Für k > 1:
I(Φk) =∞∑
j=1
j∑
l=0
1
(j + 1)kj=
∞∑
j=1
j + 1
(j + 1)kj=
∞∑
j=1
(1
k
)j
=1
k − 1
k→∞−−−→ 0
Da die Φk Hüllreihen von f sind und I(φk)k→∞−−−→ 0 gilt: ||f ||1 ≤ 0
Wegen || · ||1 ≥ 0 gilt: ||f ||1 = 0
Lemma 2 Ist f0, f1, . . . eine Folge von Funktionen Rn → R∪{∞}, alle f nicht negativ,
so gilt:∣∣∣∣
∣∣∣∣
∞∑
k=0
∣∣∣∣
∣∣∣∣1
≤∞∑
k=0
||fk||1
Beweis:Für alle k ∈ N und ǫ > 0 gibt es eine Hüllreihe von fk, Φk : R
n → R ∪ {∞}, mit
I(Φk,ǫ) ≤ ||fk||1 + ǫ ·1
(k + 1)2.
Sei Φk,ǫ =∞∑
j=0cj,k,lχQj,k,ǫ
(x), cj,k,l ≥ 0, Qj,k,ǫ offene Quader.
Sei f : Rm → R ∪ {∞} definiert durch f(x) =∞∑
k=0
fk(x), dann ist
Φǫ =∞∑
k=0
k∑
j=0cj,k−j,ǫχQj,k−j,ǫ
(x) =∞∑
k=0
k∑
j=0cj,k,ǫχQj,k,ǫ
(x) =∞∑
k=0
Φk,ǫ(x)
Hüllreihe von f , denn für alle x ∈ Rn gilt:
f(x) =∞∑
k=0
fk(x) ≤∞∑
k=0
Φk,ǫ(x) = Φǫ(x)
I(Φǫ) =∞∑
k=0
k∑
j=0cj,k−j,ǫvol(Qj,k−j,ǫ) =
∞∑
k=0
∞∑
j=0cj,k,ǫvol(Qj,k,ǫ) =
∞∑
k=0
I(Φk,ǫ) Also: ||f ||1 ≤
I(Φǫ) =∞∑
k=0
Φk,ǫ ≤∞∑
k=0
(
||fk||1 + ǫ ·1
(k + 1)2
)
=
(∞∑
k=0
)
+ ǫ ·∞∑
k=0
1
(k + 1)2
︸ ︷︷ ︸
Konstante in R
8Diese Quader können wir in der Definition des Integrals weglassen
7
Da ǫ > 0 beliebig isdt haben wir: ||f ||1 ≤∞∑
k=0
||fk||1 �
Definition 9 (Lebesgue-integrierbar)Sei f : Rn → R∪{∞} eine Funktion. Wir nennen f Lebesgue-integrierbar über R
n, fallses eine Folge von Treppenfunktionen gibt mit:||f − fk||1 → 0 für k → ∞In diesem Fall ist das Lebesgue-Integral
∫
Rn
f(x)dx = limk→∞
∫
Rn
fk(x)dx.
Lemma 3 Ist f : Rn → R eine Treppenfunktion, so gilt:∫
Rn
|f(x)|dx = ||f ||1
Beweis:
”≤” Sei o.B.d.A. 0 ≤ f(x) ∀x ∈ Rn
Sei f(x) :=m∑
j=1cjχQj
(x), cj > 0, Qj paarweise disjunkte Quader.
Zu jedem ǫ > 0, j ∈ {1, . . . ,m} gibt es offene Quader Qǫj ⊃ Qj mit
vol(Qǫj) ≤ vol(Qj) + ǫ
Damit ist Φǫ =m∑
j=1cjχQǫ
j(x) Hüllreihe von f und
I(Φǫ(x)) =m∑
j=1cjvol(Q
ǫj) ≤
m∑
j=1cjvol(Qj) + ǫ =
∫
Rn
f(x)dx+ ǫ ·m∑
j=1
cj
︸ ︷︷ ︸Konstante
in R+0
Da ǫ > 0 beliebig ist, ist||f ||1 = inf{I(Φ)|Φ ist Hüllreihe von f} ≤ inf{I(Φǫ)|ǫ > 0} =
∫
Rn
f(x)dx
”≥” Betrachte den abgeschlossenen Quader K ⊂ Rn. Da K beschlänkt und abgeschlos-
sen ist, ist K kompakt.
Sei Φ(x) =∞∑
j=1bjχPj
Hüllreihe von χK , bj ≥ 0, Pj ⊂ Rn offene Quader.
Sei ǫ < 0 beliebig. Für alle x ∈ K existiert einmx ∈ N mit χK(x)−ǫ ≤mx∑
j=1bjχPj
(x).
Da die Pj offen sind, ist U(x) =mx⋂
j=1Pj offen und nicht leer.
Für y ∈ U(x) ist dann χK(y)− ǫ ≤mx∑
j=1bjχPj
(x) =mx∑
j=1bjχPj
(y)
Da K kompakt ist, kann man K durch endlich vieleU(x1), . . . , U(xl), x1, . . . , xl ∈ K überdecken.Sei m := max{mx1
, . . . ,mxl}, dan gilt für alle y ∈ K:
(1− ǫ)χK(y) = χK(y)− ǫ ≤m∑
j=1bjχPj
(y), also:
8
(1− ǫ)∫
Rn
χK(x)dx ≤m∑
j=1bj∫
Rn
χPj(x)dx =
m∑
j=1bjvol(Pj) ≤ I(Φǫ(x))
Damit: (1− ǫ)∫
Rn
χK(x)dx = inf{I(Φ)|Φ ist Hüllreihe von χK} = ||χK ||19
Da ǫ > 0 beliebig gilt:∫
Rn
χK(x)dx ≤ ||χK ||1
Betrachte wieder die Treppenfunktion f .Sei K ein abgeschlossener Quader mit supp(f) ⊂ K, setze M := max
x∈Kf(x). Dann
ist g(x) :=MχK(x)− f(x) eine nicht negative Treppenfunktion, und||g(x)||1 ≥M · ||χK(x)||1 − ||f ||1 ≥M ·
∫
Rn
χK(x)dx− ||f ||1
||g(x)||1 ≤∫
Rn
g(x)dx =M ·∫
Rn
χK(x)dx−∫
Rn
f(x)dx.
Also gilt: ||f ||1 ≥∫
Rn
f(x)dx
Satz 5 Für eine Lebesgue-integrierbare Funktion f : Rn → R ∪ {∞} ist das Lebesgue-Integral wohldefiniert
Beweis:Sei fk eine Folge von Treppenfunktionen mit ||f − fk|| → 0, dann gilt:∣∣∣∣
∫
Rn
fm(x)dx−∫
Rn
fl(x)dx
∣∣∣∣=
∣∣∣∣
∫
Rn
(fm(x)− fl(x)) dx
∣∣∣∣≤∫
Rn
|fm(x)− fl(x)|dxLemma 3
=
= ||fm − fl||1 = ||fm − f + f − fl||1 ≤ ||fm − f ||1︸ ︷︷ ︸
→0
m→∞
+ ||f − fl||1︸ ︷︷ ︸
→0
l→∞
Also: ak :=∫
Rn
fk(x)dx ist eine reelle Cauchy-Folge und daher konvergent.
Sind fk, gk Folgen von Treppenfunktionen mit ||fk − f ||1k→∞−−−→ 0, ||gl − f ||1
l→∞−−−→ 0
Dann:
∣∣∣∣
∫
Rn
fk(x)dx−∫
Rn
gk(x)dx
∣∣∣∣
s.o.≤ ||fk − gk||1 ≤ ||f − fk||1
︸ ︷︷ ︸→0
k→∞
+ ||f − gk||1︸ ︷︷ ︸
→0
k→∞
�
Satz 6 Sind f, g : Rn → R ∪ {∞} Lebesgue-integrierbar, λ, µ ∈ R, dann gilt:
1. λf + µg ist Lebesgue-integrierbar mit∫
Rn
(λf + µg)dx = λ∫
Rn
fdx+ µ∫
Rn
gdx
2. |f | ist Lebesgue-integrierbar und es gilt: 0 ≤
∣∣∣∣
∫
Rn
f(x)dx
∣∣∣∣≤∫
Rn
|f(x)| dx
3. ||f ||1 =∫
Rn
|f(x)|dx
4. Ist f(x) ≤ g(x)∀x ∈ Rn so ist
∫
Rn
f(x)dx ≤∫
Rn
g(x)dx.
5. Ist g beschränkt ⇒ f · g ist Lenbesgue-integrierbar.
9da Φ beliebige Hüllreihe von χK ist.
9
Beweis: 1. 4. und 5. als Übung
2) Sei fk eine Folge von Treppenfunktionen mit ‖fk − f‖1 → 0∀x ∈ R : |f(x)| − |fk(x)| ≤ |f(x)− fk(x)|Monotonie der L1-Halbnorm:||f | − |fk|| ≤ |f − fk| → 0Also: ‖|f(x)| − |fk(x)|‖1 → 0 und |f | ist Lebesgue-integrierbar.
Da
∣∣∣∣
∫
Rn
fk(x)dx
∣∣∣∣≤∫
Rn
|fk(x)|dx folgt die Ungleichung durch Grenzübergang k → ∞
�
3) Sei fk eine Folge von Treppenfunktionen mit ‖f − fk‖1 → 0Da ‖|fk|‖1 − ‖|f | − |fk|‖1 ≤ ‖|fk|+ |f | − |fk|‖1 = ‖f‖1 ≤ ‖fk‖1 + ‖|f | − |fk|‖1 ist∫
Rn
|fk|dx
︸ ︷︷ ︸
k→∞−−−→∫
Rn|f(x)|dx
−‖|f | − |fk|‖1︸ ︷︷ ︸
k→∞−−−→0
≤ ‖f‖1 ≤
∫
Rn
|fk(x)|dx
︸ ︷︷ ︸
k→∞−−−→∫
Rn|f(x)|dx
+ ‖|f | − |fk|‖1︸ ︷︷ ︸
k→∞−−−→0
Also: ‖f‖1 =∫
Rn
|f(x)|dx �
Definition 10 Sei f : Rn → R ∪ {∞} eine Funktion, M,N ⊂ RnMengen mit M ⊂ N .
Wir nennenfLebesgue-integrierbar über M , falls fM : Rn → R
fM (x) =
{
f(x), x ∈M
o, sonstüber R
nLebesgue-integrierbar ist.
Setze:∫
M
f(x)dx :=∫
Rn
fM(x)dx.
Weiterhin setze: ‖f‖1,M := ‖fM‖1
Korollar 2 Die Eigenschaften der L1-Halbnorm und des Lebesgue-Integrals über Rn gel-
ten auch für das Lebesgue-Integral über M und ‖ · ‖1,M .
Satz 7 Ist f : [a, b] → R über [a, b] Riemann-Integrierbar, so ist f über [a, b] Lebesgue-Integrierbar, a, b ∈ R, und∫
[a,b]
f(x)dx
︸ ︷︷ ︸
Lebesgue-Integral
=
b∫
a
f(x)dx
︸ ︷︷ ︸
Riemann-Integhral
Definition 11 (Messbarkeit)Wir nennen eine Menge M ⊂ R
n Lebesgue-messbar, fallszu jedem r > 0 die FunktionχM∩Br(0)(x) Lebesgue-integrierbar ist.10
10Br(0) = {x ∈ Rn|‖x‖ < r} - Kugel um den Punkt 0 mit Radius r
10
Ist M messbar so definieren wir:
vol(M) =
∫
Rn
χM (x)dx, falls χM Lebesgue-integrierbar ist.
+∞, sonst
Lemma 4 Ist M ⊂ Rn messbar mit vol(M) <∞ und f : Rn → R Lebesgue-integrierbar,
so ist f über M Lebesgue-integrierbar.
Beweis:fM = χM · f χM , f sind Lebesgue-integrierbar, χM ist beschränkt.Nach Satz 6 ist dann fM = χMf Lebesgue-integrierbar.
Definition 12 (Nullmenge)Eine Menge N ⊂ R
n heißt Nullmenge, falls N messbar ist mit vol(N) = 0Eine Eigenschaft E(x) gilt fast überall falls {x ∈ R
n|E(x) gilt nicht} eine Nullmenge ist.
Satz 8
1. Jede Teilmenge einer Nullmenge ist eine Nullmenge.
2. Abzählbare Vereinigungen von Nullmengen sind Nullmengen.
3. Ist N ⊂ Rn eine Nullmenge, f : Rn → R∪{∞} so ist f über N Lebesgue-integrierbar
und∫
N
f(x) = 0.
Beweis: Übung.
Satz 9 (Modifikationssatz)Sei f, g : Rn → R ∪ {∞} und N = {x ∈ R
n|f(x) 6= g(x)} ist eine Nullmenge. Dann istf genau dann Lebesgue-integrierbar wenn g Lebesgue-integrierbar ist, und in diesem Fallgilt:
∫
Rn
f(x)dx =∫
Rn
g(x)dx
Beweis: Übung.
Satz 10 Sei f : Rn → R ∪ {∞} und ‖f‖1 <∞.Dann ist N = {x ∈ R
n|f(x) = ∞} eine Nullmenge.
Beweis:Für alle a ∈ R ist |a · χN | ≤ |f(x)| für alle x ∈ R.Monotonie der L1-Halbnorm⇒ |a| · ‖χN‖1 ≤ ‖f‖1 <∞ für alle a ∈ R.Also ‖χN‖ = 0 ⇒ χN ist Lebesgue-integrierbar mit
∫
Rn
|χN |dx = ‖χN‖1 = vol(N) (= 0)
11
1.3 Konvergenzsätze und der Satz von Fubini
Definition 13 (L1-Grenzwert)Sei fk eine Folge von Funktionen R
n → R ∪ {∞}. Dann heißt fk konvergent, in derL1-Halbnorm, gegen f : Rn → R ∪ {∞}, falls ‖f − fk‖1 → 0 für k → ∞. f heißt dannL1-Grenzwert von fk
• L1-Grenzwerte sind nicht eindeutig.
• Lebesgue-integrierbare Funktionen sind L1-Grenzwerte von Folgen von Treppen-funktionen.
Definition 14 (L1-Cauchy-Folge)Eine Folge von Funktionen fk : R
n → R ∪ {∞} heißt L1-Cauchy-Folge falls gilt:∀ǫ > 0∃N ∈ N : ∀k,m > N ; k,m ∈ N, ‖fk − fm‖1 < ǫ.
Satz 11 (Riesz-Fischer)Jede L1-Cauchy-Folge fk, Lebesgue-integrierbarer Funktionen R
n → R ∪ {∞} besitzteinen Lebesgue-integrierbaren L1-Grenzwert f : Rn → R ∪ {∞}. Es gilt dann:
• limk→∞
∫
Rn
fk(x)dx =∫
Rn
f(x)dx
• Es gibt eine Teilfolge von fk, die fast überall punktweise gegen f konvergiert.
Bemerkung 5 Auf den Übergang zu einer Teilfolge für die punktweise Konvergenz kannnicht verzichtet werden.
Beweis:Sei (fk) eine L1-Cauchy-Folge, fk : Rn → R ∪ {∞}.Wähle eine Teilfolge fkl von fk mit ‖fk − fkl‖1 < 2−l für alle k ≥ kl.
Setze gl := fkl+1− fkl und g(x) :=
∞∑
l=1
|gl(x)|.
Es gilt: ‖|gl|‖1 = ‖gl‖1 = ‖fkl+1− fkl‖1 < 2−l also ‖g‖1 ≤
∞∑
l=1
‖gl‖1 ≤∞∑
l=1
2−l = 1
Also ist N = {x ∈ R|g(x) = 0} eine Nullmenge und∞∑
l=1
gl(x) konvergiert fast überall
absolut.
Definiere: f(x) =
liml→∞
fkl = liml→∞
fk1 +l∑
j=1
gj(x)
︸ ︷︷ ︸
fkl−fk1
= fk1 +l∑
j=1gj(x) , für x /∈ N
0 , für x ∈ N
Beobachtung: per definition konvergiert fkl fast überall gegen f .Zeige: Lebesgue-integrierbarkeit von f .Es reicht zu zeigen: Zu jedem ǫ > 0∃ Treppenfunktion ϕ : Rn → R mit ‖f − ϕ‖1 < ǫ
12
Sei ǫ > 0 Wähle ein q ∈ N mit∞∑
l=q
‖gl‖1 >ǫ
2︸ ︷︷ ︸dies ist möglich, da:
∞∑
l=1
‖gl‖1=1
und ‖fk − fkq‖1 ≤ǫ2 für k ≥ kq.
Sei ϕ eine Treppenfunktion mit ‖fk − ϕ‖1 <ǫ2
11. Dann gilt:
‖f − ϕ‖1 ≤ ‖f − fkq‖1 + ‖fkq − ϕ‖1 <
∥∥∥∥∥
∞∑
j=q+1‖gj‖1
∥∥∥∥∥1
+ ǫ2 < ǫ
Also ist f Lebesgue-integrierbar. Zu zeigen bleibt: f ist L1-Grenzwert.Sei ǫ > 0 gegeben. Wähle kq, wie vorhin.Für k > kq ist ‖f − fk‖1 ≤ ‖fk − fkq‖1 < ǫAlso f ist L1-Grenzwert von fk. Insbesondere gilt für k > kq:∣∣∣∣
∫
Rn
f(x)dx−∫
Rn
fk(x)dx
∣∣∣∣≤ · · · ≤
∫
Rn
|f(x)− fk(x)|dx = ‖f − fk‖1 < ǫ. �
Satz 12 (Monotonie Konvergenz / Beppo-Levi)Sei fk eine monoton wachsende Folge von Funktionen R
n → R ∪ {∞},d.h. ∀x ∈ R
n, k ∈ N : fk+1(x) ≥ fk(x). Seien alle fk Lebesgue-integrierbar.Definiere: f : Rn → R ∪ {∞}, f(x) = lim
k→∞fk(x) (ggf. = +∞).
Dann ist f genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn∫
Rn
fk(x)dx beschränkt ist.
In diesem Fall gilt:∫
Rn
f(x)dx = limk→∞
∫
Rn
fk(x)dx
Beweis:
”⇐” Die Beschränktheit von∫
Rn
fk(x)dx ist notwendig für die Lebesgue-integrierbarkeit
von f , da∫
Rn
fk(x)dx ≤∫
Rn
f(x)dx für alle k ∈ N
”⇒” Sei die Folge∫
Rn
fk(x)dx beschränkt. Da die Folge monoton ist12, konvergiert sie.
Also ∀ǫ > 0∃N ∈ N : ∀k > m > N ; k,m ∈ N :
ǫ >
∣∣∣∣
∫
Rn
fk(x)dx−∫
Rn
fm(x)dx
∣∣∣∣=∫
Rn
|fk(x)− fm(x)|dx =
=∫
Rn
|fk(x)− fN (x)|dx = ‖fk − fN‖1
Also ist fk L1-Cauchy-Folge und nach ”Riesz-Fischer” existiert der L1-Grenzwertg : Rn → R ∪ {∞} von fk und eine Teilfolge fkl , die punktweise fast überall gegeng konvergiert.Also ist f fast überall gleich g und da g Lebesgue-integrierbar ist, ist f Lebesgue-integrierbar.Weiterhin gilt:
∫
Rn
f(x)dx =∫
Rn
g(x)dx = limk→∞
fk(x)dx �
11eine solche existiert, da fkq Lebesgue-integrierbar ist.12Monotonie des Lebesgue-Integrals
13
Satz 13 (Ausschöpfungsprinzip)Sei f : A→ R ∪ {∞}, A ⊂ R
n, An eine Folge von Teilmengen des Rn
mit Ak ⊂ Ak+1 für k ∈ N und∞⋃
k=1
Ak = A.
Sei weiterhin f über Ak Lebesgue-integrierbar, für alle k ∈ N.Dann ist f genau dann Lebesgue-integrierbar über A,wenn die Folge
∫
Ak
|f(x)|dx beschränkt ist.
In diesem Fall gilt:∫
A
f(x)dx = limk→∞
∫
Ak
f(x)dx.
Beweis:
”⇒” Ist f Lebesgue-integrierbar in A, so ist |f | Lebesgue-integrierbar über A.Es gilt |fAk
(x)| ≤ |fA(x), für x ∈ Rn13
Monotonie des Lebesgue-Integrals⇒
∫
Ak
|f(x)|dx =∫
Rn
|fAk(x)|dx ≤
∫
A
|f(x)|dx
Also∫
A
|f(x)|dx ist obere Schranke für die Folge∫
Ak
|f(x)|dx
”⇐” Sei∫
Ak
|f(x)|dx eine beschränkte Folge in R.
Betrachte∫
Ak
f+(x)dx, f+(x) =
{
f(x) falls f(x) > 0
0 sonst14
Dann ist 0 ≤∫
Ak
f+(x)dx ≤∫
Ak
|f(x)|dx beschränkt.
Weiterhin sind die f+Ak
(
d.h.f+Ak(x) =
{
f(x), falls x ∈ Ak
0, sonst
)
monoton wachsend.
Da∫
Rn
f+Ak(x)dx =
∫
Ak
f+(x)dx können wir den Satz von Beppo-Levi anwenden auf
die Funktionenfolge f+Akund erhalten f+Ak
ist Lebesgue-integrierbar15 mit
limk→∞
∫
Rn
f+Ak(x)dx =
∫
Rn
fA(x)dx
13da Ak ⊂ A14nach Übung 5 ist f+ über Ak Lebesgue-integrierbar.15∀x ∈ R
n : limk→∞
f+
Ak(x) = f+
A (x)
14
Analog ist −f−A Lebesgue-integrierbar mit∫
Rn
−f−A (x)dx = limk→∞
∫
Rn
−f−Ak(x)dx
f−A (x) =
{
f(x), fallsf(x) < 0
0, sonst
Da fA = f+a + f−A und fAk= f+Ak
+ f−Akist f über A Lebesgue-integrierbar und
∫
A
f(x)dx =∫
Rn
fA(x)dx =∫
Rn
(f+A (x) + f−A (x))dx =∫
Rn
f+A (x)dx+∫
Rn
f−A (x)dx =
= limk→∞
∫
Rn
f+Ak(x)dx+ lim
k→∞
∫
Rn
f−Ak(x)dx = lim
k→∞
∫
Rn
(f+Ak(x)+f−Ak
(x))dx = limk→∞
∫
Rn
fAk(x)dx
�
Satz 14 (Majorisierte Konvergenz - Lebesgue)Sei fk eine Folge von Lebesgue-integrierbaren Funktionen fk : R
n → R ∪ {∞}, die fastüberall punktweise gegen f : Rn → R∪{∞} konvergiert. Gibt es ein Lebesgue-integrierbaresΦ: Rn → R ∪ {∞} mit |f(x)| ≤ Φ(x) für alle x ∈ R
n, k ∈ N, dann ist f Lebesgue-integrierbar mit:∫
Rn
f(x)dx = limk→∞
fk(x)dx
Beweis:Definiere: gk : Rn → R ∪ {∞} durch gk(x) = sup{fj(x)|g ≥ k}.Dann ist gk punktweiser Grenzwert der Folge von Funktionen(gk,l)
∞k=1,... gk,l(x) := max{fk(x), . . . , fk+l(x)}
Die gk,l sind Lebesgue-integrierbar16 und die Folge ist monoton wachsend. Weiterhin ist∣∣∣∣
∫
Rn
gk,l(x)dx
∣∣∣∣≤∫
Rn
|gk,l(x)|dx ≤∫
Rn
Φ(x)dx ≤ max{fk(x), . . . , fk+l(x)} ≤ max{Φ(x), . . . ,Φ(x)}.
Nach dem Satz von Levi ist gk Lebesgue-integrierbar mit∣∣∣∣
∫
Rn
gk(x)dx
∣∣∣∣≤ lim
l→∞
∫
Rn
|gk,l(x)|dx ≤∫
Rn
Φ(x)dx.
Die Folge (gk)∞k=1,... ist monoton fallend und
∫
Rn
gk(x)dx ist nach unten beschränkt durch∫
Rn
Φ(x)dx.
Weiterhin sind die gk Lebesgue-integrierbar. Nach dem Satz von Levi istf : Rn → R ∪ {∞}, f(x) := lim
k→∞gk(x) Lebesgue-integrierbar mit:
∫
Rn
f(x)dx = limk→∞
∫
Rn
gk(x)dx. Da f(x) = limk→∞
gg fast überall gilt, stimmen f und f fast
überall überein und nach dem Modifikationssatz ist f Lebesgue-integrierbar und∫
Rn
f(x)dx =∫
Rn
gk(x)dx.
Sei hk eine Folge von Funktionen Rn → R ∪ {∞} definiert durch: hk(x) = inf{fj|j ≥ k}
Ein analoges Argument zeigt:∫
Rn
f(x)dx = limk→∞
hk(x)dx
16s. Übung Blatt 5 Nr. 17 unsicher!
15
Da für alle k ∈ N, x ∈ Rn hk(x) ≤ fk(x) ≤ gk(x) folgt
∫
Rn
hk(x)dx ≤∫
Rn
f(x)dx ≤∫
Rn
gk(x)dx
existiert limk→∞
∫
Rn
f(x)dx und ist gleich∫
Rn
f(x)dx. �
Definition 15 (lokal Lebesgue-integrierbar)Sei A ⊂ R
n eine abzählbare Vereinigung kompakter Mengen. Wir nennen f : A → R ∪{∞} lokal integrierbar falls f über jedes kompakte K ⊂ A, Lebesgue-integrierbar ist.
Satz 15 (Majorantenkriterium)Sei A ⊂ R
n eine abzählbare Vereinigung kompakter Mengen,und f : A→ R ∪ {∞} lokal integrierbar.Sei F : A→ R ∪ {∞} über A Lebesgue-integrierbar mit |f(x)| ≤ F (x) für alle x ∈ A.Dann ist f über A Lebesgue-integrierbar.
Beweis:Übung.
Satz 16 Dei f : Rn → R ∪ {∞} stetig, K ⊂ Rn kompakt.
Dann ist füber K Lebesgue -integrierbar.
Beweis:Da K kompakt und f stetig ist, ist f auf K gleichmäßig stetig.zu jedem k ∈ N gibt es ein δk > 0 mit∀x, y ∈ K mit ‖x− y‖ < δk ⇒ |f(x)− f(y)| < 1
k
o.B.d.A. können wir δk so wählen, dass δk → 0 für k → ∞Sei Uk : {Q 1
k(x)|x ∈ K} wobei Q 1
koffene Quader sind.
Q 1
k= (x1−
δk4n , x1+
δk4n )×(x2−
δk4n , x2+
δk4n)×· · ·×(xn−
δk4n , xn+
δk4n) mit x = (x1, . . . , xn)
Jedes Uk ist eine offene Überdeckung von K. Damit gibt es zu jedem k ∈ N eine endlicheTeilmenge von Uk, die K überdeckt. Nach dem Verfeinerungslemma können wir dieseendlichen Mengen zu Mengen von paarweise disjunkten Quadern {Qk,1, . . . , Qk,lk} ver-feinern, die K überdecken.
Definiere: ϕk(x) :=lk∑
j=1ck,jχQk,j
(x) mit ck,j = supy∈Qk,j∩K
{f(y)} falls Qk,j ∩ K 6= ∅ und
ck,j = 0 sonst.17
Da f stetig ist und die ck,j endlich sind, sind die ϕk(x) Treppenfunktionen.Jedes Qk,j ist per Konstruktion in einem Quader Q ∈ Uk enthalten.Für alle Q ∈ Uk, y ∈ Q gilt dist(y,K) ≤ δk
2 .18(da, ‖x− y‖2 ≤ n‖x− y‖∞)Also supp(ϕk) ⊂ {y ∈ R
n|dist(y,K) < δk} für alle k ∈ N.Sei s ∈ R\K. Da K kompakt ist, gibt es ein r < 0 mit dist(x,K) > r.Da δk → 0 gibt es ein Nr ∈ N mit δk < r für alle k > Nr
Damit: x /∈ supp(ϕk) für k > Nr, also ϕk(x) = 0 für k > Nr.
17der Schnitt mit K ist nötig, da faußerhalb von K nicht definiert ist.18dist : euklidischer Abstand
16
Somit limk→∞
= 0 = fk(x), fk(x) =
{
f(x), x ∈ K
0, sonst
Sei x ∈ K. Für alle k ∈ N gibt es jk ∈ {1, . . . , lk} mit x ∈ Qk,jk
Also ϕk(x) =lk∑
j=1ck,jχQk,j
(x)Qk,jpaarw. disj. für festes k
= ck,jk = supy∈Qk,jk
∩Kf(y)
Da x ∈ Qk,jk und ‖y − x‖ ≤ δk2 ≤ δk für alle Qk,jkfolgt :
|ϕk(x)− fK(x)| = |ϕk(x)− f(x)| ≤ supy∈Qk,jk
∩K|f(y)− f(x)| ≤ 1
k
Also: 0 ≤ limk→∞
|ϕk(x)− fK(x)| ≤ limk→∞
1k= 0 somit gilt: lim
k→∞ϕk(x) = fK(x)
Damit konvergiert ϕk punktweise gegen fK . Da K beschränkt ist gibt es Quader Q ⊂ Rn
mit {y ∈ Rn|dist(y,K) < sup
k∈Nδk} ⊂ Q19
Es gilt für alle x ∈ Rn, k ∈ N
|ϕk(x)| ≤ maxy∈K
|f(y)| · χQ(x)
Also Φ(x) := maxy∈K
|f(y)|χQ(x) ist Lebesgue-integrierbare Majorante der ϕk.
Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz ist die punktweise GrenzfunktionLebesgue-integrierbar. �
Satz 17 f : (a, b) → R, a, b ∈ R ∪ {±∞}, a < b mit f auf jedem Intervall [c, d] ⊂(a, b) Riemann-integrierbar. Dann ist f über (a, b) genau dann Lebesgue-integrierbar,wenn |f | über (a, b) uneigentlich Riemann-integrierbar ist.
Satz 18 (Satz von Fubini)Sei f : Rn → R ∪ {∞} unf f Lebesgue-integrierbar. Dann gilt:
a) Die Funktion fy : Rn → R∪{∞}, fy(x) = f(x, y) ist für fast alle y ∈ Rn Lebesgue-
integrierbar. D.h. {y ∈ Rn|fy nicht Lebesgue-integrierbar} ist eine Nullmenge.
b) Sei F : Rn → R definiert durch:
F (y) =
∫
Rn
f(x, y)d(x) =∫
Rn
fy(x)dx, falls fy Lebesgue-integrierbar
0, sonstDann ist F Lebesgue-integrierbar mit:∫
Rn×Rm
f(x, y)d(x, y) =∫
Rn
F (y)dy =∫
Rn
(∫
Rm
f(x, y)dx
)
dy20
Beispiel 2 f : R× R → R
f(x, y) = x · y · χ[0,1]2(x, y) = x · y · χ[0,1](x) · χ[0,1](y) Lebesgue-integrierbar.
19Dieses Supremum ist endlich, da δk → 0 gilt20iteriertes Integral oder Mehrfachintegral genannt
17
∫
R×R
f(x, y)d(x, y) =∫
R
∫
R
f(x, y)dxdy =∫
R
∫
R
x·y·χ[0,1](x)·χ[0,1](y) =∫
R
yχ[0,1](y)
(∫
R
xχ[0,1](x)dx
)
dy =
∫
R
yχ[0,1](y)1∫
0
xdxdy =∫
R
yχ[0,1](y) ·12 · 1dy = 1
2
∫
R
yχ[0,1](y)dy = 12
1∫
0
ydy =1
4
Lemma 5 Sei A ⊂ Rm ×R
n eine Nullmenge.Dann gibt es eine Nullmenge N ⊂ R
n, so dass für alle y ∈ Rn\N die Menge
Ay = {y ∈ Rn|(x, y) ∈ A} eine Nullmenge ist.
[TODO: Graphik einfügen!]Beweis:Ist A eine Nullmenge, so gilt: ‖χA‖1 =
∫
Rm×Rn
χA(x, y)d(x, y) = 0 Sei ǫ > 0 beliebig.
Dann gibt es eine Hüllreihe Φ(x, y) =∞∑
j=1cjχQj
(x, y),
cj ≥ 0 Qj ⊂ Rm × R
n offene Quader, von χA(x, y) d.h.
|χA(x, y)|χA≥0= χA(x, y) ≤ Φ(x, y), mit I(Φ) < ǫ
Es gilt Qj = Q′j ×Q′′
j mit Q′j ⊂ R
m, Q′′j ⊂ R
n offene Quader, für alle j ∈ N.Definiere a : Rn → R ∪ {∞}, a(y) = ‖χAy(x, y)‖1 (Ay := {x ∈ R
m|(x, y) ∈ A})
Dann haben wir: χAy(x) = χA(x, y) ≤∞∑
j=1cjχQj
(x, y) =∞∑
j=1cj χQ′
j×Q′′j(x, y)
︸ ︷︷ ︸
=χQ′j(x)·χQ′′
j(y)
=∞∑
j=1cjχQ′
j(x)χQ′′
j(y)
a(y) = ‖χAy‖1Monotonie
≤ ‖∞∑
j=1cjχQ′
j(x)χQ′′
j(y)‖1
△−UG≤
∞∑
j=1|cj | · ‖χQ′
j(x) χQ′′
j(y)
︸ ︷︷ ︸
Konstante
‖1x =
=∞∑
j=1χQ′′
j(y)‖χQ′
j(x)‖1x
‖a(y)‖1yMonotonie
≤
∥∥∥∥∥
∞∑
j=1cjχQ′′
j(y)‖χQ′
j(x)‖1x
∥∥∥∥∥1y
△−UG≤
∞∑
j=1cj
∥∥∥χQ′′
j(y)‖χQ′
j(x)‖1x
∥∥∥1y
=
=∞∑
j=1cj · volm(Q′
j)︸ ︷︷ ︸
Volumen im Rm
· vol(Q′′j )
︸ ︷︷ ︸
Volumen im Rn
=∞∑
j=1cjvol(Q
′j ×Q′′
j︸ ︷︷ ︸
=Qj
) =∞∑
j=1cjvol(Qj) = I(Φ) < ǫ
Da ǫ > 0 beliebig ist, ist also ‖a(y)‖1 = 0. Damit ist a fast überall gleich Null.Also: ‖χAy‖1 ist für fast alle y gleich Null. Damit ist Ay für fast alle y eine Nullmenge.�
Beweis: (Satz von Fubini)f ist Lebesgue-integrierbar ⇒ Es gibt eine Folge ψk von Treppenfunktionen, die gegenf , in der L1-Halbnorm, konvergiert. Nach Riesz-Fischer gibt es eine Teilfolge, die fastüberall punktweise gegen f konvergiert. Nach dem Beweis vom ”Satz von Riesz-Fischer”
gilt für diese Teilfolge ψkl sogar∞∑
l=1
‖ψkk+1− ψkl‖ <∞.
18
Es gibt also eine Folge von Treppenfunktionen mit ϕk : Rm × R
n → R ∪ {∞} mit:
• ‖ϕk − f‖1 → 0
• limk→∞
ϕk(x, y) = f(x, y), für (x, y) ∈ Rm × R
n\A, mit A ist Nullmenge
•∞∑
k=1
‖ϕk+1 − ϕk‖ <∞
Nach Lemma 5 gibt es eine Nullmenge N ⊂ Rn, so dass Ay = {x ∈ R
n|(x, y) ∈ A} eineNullmenge ist, für y ∈ R
n\N .Definiere21 fy : R
m → R ∪ {∞}, fy(x) = f(x, y)ϕk,y : R
m → R ∪ {∞}, ϕk,y(y) = fy(x) fast überallDann haben wir: für y ∈ R
m\N, limk→∞
ϕk,x(y) = fy(x) fast überall.22
Sei ϕk(x, y) =lk∑
j=1ck,jχQk,j
(x, y),
ck,j ∈ R, Qk,j ⊂ Rm × R
n, für festes k paarweise disjunkte Quader.Es ist Qk,j = Q′
k,j ×Q′′k,j mit Q′
k,j ⊂ Rm, Q′′
k,j ⊂ Rn
Mittels des Verfeinerungslemmas können wir o.B.d.A. annehmen, dass für festes k undalle i ∈ {1, . . . , lk}gilt:(Q′
k,j ∩Q′k,i = ∅ ∨Q′
k,j = Q′k,i) ∧ (Q′′
k,j ∩Q′′k,i = ∅ ∨Q′′
k,j = Q′′k,i) (i)
Sei k ∈ N fest gewählt. Betrachte ϕk und ϕk+1. Mittels verfeinerungslemma könnenwir für dieses feste k annehmen, dass Qk,j = Qk+1,j, Q
′k,j = Q′
k+1,j, Q′′k,j = Q′′
k+1,j undlk = lk+1, wobei wieder (i) gelten soll.
Wir definieren (für beliebiges k ∈ N)Hy : R
n → R ∪ {∞} Hk(y) =∫
Rm
|ϕk+1,y(x)− ϕk,y(x)|dx.
Wir kehren nun zu unserem festen k ∈ N zurück. Dann ist
Hk(y) =∫
Rm
|ϕk+1,y(x)− ϕk,y(x)︸ ︷︷ ︸
ϕk+1(x,y)−ϕk(x,y)
|dx =∫
Rm
∣∣∣∣∣
lk∑
j=1(ck+1,j − ck,j)χQk,j
(x, y)
∣∣∣∣∣dx =
=∫
Rm
∣∣∣∣∣∣
lk∑
j=1
(ck+1,j − ck,j)χQ′k,j(x)χQ′′
k,j(y)
∣∣∣∣∣∣
︸ ︷︷ ︸
Treppenfunktion in x
dx =lk∑
j=1|ck+1,j − ck,j|︸ ︷︷ ︸
Konstante
χQ′′k,j(y)
︸ ︷︷ ︸
Konstante
vol(Q′k,j)
︸ ︷︷ ︸
∈R
Also: Hk : Rn → R ∪ {∞} und Hk ist Treppenfunktion.
21aus der Definition des Satzes von Fubini22Da Ay Nullmenge ist
19
∫
Rn
Hk(y)dy =lk∑
j=1|ck+1,j − ck,j| vol(Q
′′k,j)vol(Q
′k,j)
︸ ︷︷ ︸
Q′k,j
×Q′′k,j
=Qk,j
=lk∑
j=1|ck+1,j − ck,j|vol(Qk,j) =
=∫
Rm×Rn
|ϕk+1(x, y)− ϕk(x, y)|d(x, y) = ‖ϕk+1 − ϕk‖1
Da wir für jedes feste k ∈ N dieses Argument durchführen können, ist Hk für alle k ∈ N
eine Treppenfunktion und∞∑
k=1
∫
Rm
Hk(y)dy ≤∑
‖ϕk+1 − ϕk‖1 <∞.
Die Funktionenfolge
(t∑
k=1
Hk
)
t=1,2,...
ist monoton wachsend und die Funktionen sind
Lebesgue-integrierbar (Da Treppenfunktionen).
Weiterhin gilt:∫
Rn
t∑
k=1
Hk(y)dy =t∑
k=1
∫
Rn
Hk(y)dy ≤t∑
k=1
‖ϕk+1 − ϕk‖ <∞.
Nach dem Satz von Beppo-Levi konvergiertt∑
k=1
Hk fast überall gegen eine Lebesgue-
integrierbare Funktion, also∞∑
k=1
Hk(y) <∞ für alle y ∈ Rn\N2 mit N2 ist Nullmenge.
Damit gilt:∞∑
k=1
‖ϕk+1,y − ϕk,y‖1x =∞∑
k=1
∫
Rn
|ϕk+1,y(x)− ϕk,y(x)|
︸ ︷︷ ︸
Hk(y)
dx =∞∑
k=1
Hk(y) <∞
für y ∈ Rn\N2.
Sei N = N1 ∪N2. N ist Nullmenge.
Da für y ∈ Rn\N gilt ‖ϕm,y − ϕk,y‖1 <
m−1∑
j=k
‖ϕj+1,y − ϕj,y‖1 für m > k und
∞∑
j=1‖ϕj+1,y − ϕj,y‖1 <∞, ist ϕk,y für y ∈ R
n\N eine L1-Cauchy-Folge.
Wir wissen, dass ϕk,y fast überall gegen fy konvergiertr für y ∈ Rn\N . Nach Riesz-
Fischer konvergiert eine Teilfolge von ϕk,y für y ∈ Rn\N fast überall punktweise gegen
eine Lebesgue-integrierbare Funktion fy : Rn → R ∪ {∞}. Also stimmen fy und fy für
y ∈ Rn\N überein und nach dem Modifikationssatz ist fy ∈ R
n\N Lebesgue-integrierbar.
Definiere: F : Rn → R durch F (y) =
∫
Rn
fy(x)dx = limk→∞
für y ∈ Rn\N
0 für y ∈ N
Sei Φk(y) :=∫
Rm
ϕk,y(x)dx =lk∑
j=1ckjvol(Q
′kj)χQ′′
kj
(x) für k ∈ N
Φk ist eine Treppenfunktion für jedes k ∈ N. Für y ∈ Rn\N ist lim
k→∞Φk(y) = F (y), also
konvergiert Φk fast überall punktweise gegen F .
‖Φk+1 − Φk‖1 =∫
Rn
∣∣∣∣
∫
Rm
ϕk+1,y(x)dx −∫
Rm
ϕk,y(x)dx
∣∣∣∣dy =
=∫
Rn
∣∣∣∣
∫
Rm
ϕk−1(x, y)− ϕk(x, y)dx
∣∣∣∣dy ≤
∫
Rn
∫
Rm
|ϕk+1(x, y)− ϕk(x, y)| dxdy =∫
Rm
Hk(y)dy.
20
Also:∞∑
k=1
‖Φk+1 − Φk‖1 ≤∞∑
k=1
∫
Rn
Hk(y)dy <∞
Dann ist (Φk)k∈N eine L1-Cauchy-Folge und nach Riesz-Fischer konvergiert eine Teil-foge fast überall punktweise gegen eine Funktion F : Rn → R ∪ {∞}(den L1-Grenzwert von Φk). Nach dem Modifikationssatz ist F Lebesgue-integrierbar mit:∫
Rn
F (y)dy =∫
Rn
F (y)dy = limk→∞
Φk(y)dy = limk→∞
lk∑
j=1ckjvol(Q
′kj)vol(Q′′
kj) = lim
k→∞
lk∑
j=1ckjvol(Qkj ) =
limk→∞
∫
Rn×Rm
ϕk(x, y)d(x, y) =∫
Rn×Rm
f(x, y)d(x, y). �
Korollar 3 Ist f : Rm × Rn → R ∪ {∞} Lebesgue-integrierbar, so gilt:
∫
Rm×Rn
f(x, y)d(d, y) =∫
Rm
∫
Rn
f(x, y)dxdy =∫
Rm
∫
Rn
f(x, y)dydx
Beweis:Analoger Beweis von Fubini liefert:∫
Rm×Rn
f(x, y)d(x, y) =∫
Rm
∫
Rn
f(x, y)dydx
Satz 19 (Satz von Tonelli)Sei f : Rm×R
n → R∪{∞} lokal Lebesgue-inegrierbar. Dann ist f genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn eines der iterierten Integrale∫
Rm
∫
Rn
|f(x, y)|dydx oder∫
Rn
∫
Rm
|f(x, y)|dxdy
existiert. D.h∫
Rn
|f(x, y)|dy bzw.∫
Rm
|f(x, y)|dx existiert für fast alle x ∈ Rm bzw y ∈ R
n
und die Funktion
F (x) =
∫
Rn
|f(x, y)|dy, falls existent
0 sonstbzw F (y) =
∫
Rm
|f(x, y)|dx, falls existent
0 sonstist Lebesgue-integrierbar.
Beweis:
”⇒” Ist f Lebesgue-integrierbar, so ist auch |f | Lebesgue-integrierbar und der Satz vonFubini liefert die Existenz von
∫
Rn
∫
Rm
|f(x, y)|dxdy und∫
Rm
∫
Rn
|f(x, y)|dydx.
”⇐” Definiere: fk : Rm×Rn → R∪{∞} durch fk(x, y) := min{|f(x, y)|, k·χ[−k,k]m+n(x, y)}
Da f lokal integrierbar ist, ist fk Lebesgue-integrierbar über Rm × R
n.Weiterhin ist fk monoton wachsend und punktweise konvergent gegen |f |Zudem gilt:∫
Rm×Rn
fk(x, y)d(x, y)Fubini=
∫
Rn
∫
Rm
fk(x, y)dxdy ≤∫
Rn
∫
Rm
|f(x, y)|dxdy <∞
(
bzw.∫
Rm
∫
Rn
fk(x, y)dydx ≤∫
Rm
∫
Rn
|f(x, y)|dydx <∞
)
Nach dem Satz der majorisierten Konvergenzist |f | Lebesgue-integrierbar.Damit ist nach dem Majorantenkriterium f Lebesgue-integrierbar. �
21
2 Der Transformationssatz
Zur Erinnerung:Ein C1−Diffeomorphismus ist eine Abbildung ϕ : U → V , U, V ⊂ R
n offen, die bijektivund stetig differenzierbar mit stetig differenzierbarer Inversen ϕ−1, ist.
Satz 20 (Transformationssatz)Seien U, V ⊂ R
n offen und T : U → V ein Diffeomorphismus. Dann ist f : V → R∪{∞}Lebesgue-integrierbar genau dann wenng : U → R ∪ {[∞}, g(y) = f(T (y)) · |det(DT (y))| Lebesgue-integrierbar über U ist.Im Fall der Lebesgue-integrierbarkeit gilt:
∫
V
f(x)dx =∫
U
f(T (y)) · |det(DT (y))|dy
Korollar 4 Seien U, V ⊂ Rn offen, T : U → V ein Diffeomorphismus.. Sei K ⊂ V und
f : K → R ∪ {∞}. Dann ist f über K genau dann Lebesgue-integrierbar wenny 7→ f(T (y)) · |det(DT (y))| Lebesgue-integrierbar ist über T−1(K) ist. Im Falle derLebesgue-integrierbarkeit gilt:∫
K
f(x)dx =∫
T−1(K)
f(T (y))|det(DT (y))|dy
Beweis:
Wende den Transformationssatz auf fk(x) :=
{
f(x), x ∈ K
0 , sonstan. �
Bemerkung 6 |det(DT (y))| =
∣∣∣∣∣∣∣
det
∂T1
∂x1(y) . . . ∂T1
∂xn(y)
......
∂Tn
∂x1(y) . . . ∂Tn
∂xn(y)
∣∣∣∣∣∣∣
bezeichnet man auch als Funktionaldeterminante.
Beispiel: Volumen des Ellipsoids E = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn|
n∑
j=1
x2j
a2j≤ 1} mit a1, . . . , an > 0
Transformation: T : Rn → Rn T (y) =
a1. . .
an
· y
T ist eine invertierbarte Abbildung.
|det(DT (y))| =
∣∣∣∣∣∣∣
det
a1. . .
an
∣∣∣∣∣∣∣
=n∏
j=1aj
E ist kompakt, alo messbar und vol(E) <∞
Sei x = T (y). Dann gilt:n∑
j=1
x2j
a2j
=n∑
j=1
(ajyj)2
a2j
=n∑
j=1y2j
Also ist T (B1(0)) = E da,n∑
j=1
x2j
a2j≤ 1 ⇔
n∑
j=1y2j ≤ 1 für T (y) = x
22
Damit istvol(E) =
∫
E
1dx =∫
B1(0)
1 · |det(DT (y))|dy =
=∫
B1(0)
n∏
j=1ajdy =
∏nj=1 aj
∫
B1(0)
1dy =n∏
j=1ajvol(B1(0))
23
Einschub/NachtragUnpdate zur zweiten VorlesungDefinition:Sei f : M → R, M ⊂ R
n eine beliebige Menge.Dann bezeichnen wir die Mengesuppo.A.(f) = {x ∈M |f(x) 6= 0} als Träger ohne Abschluss von fBemerkung:Im Allgemeinen definiert man den Träger für Funktionen auf topologischen (bzw. metri-schen) Räumen als Abschluss der Nichtnullmenge.z.B.:f : M → R M ⊂ R
n
supp(f) = {x ∈M |f(x) 6= 0}Wir verwenden hier also einew nicht-standart-Definition.
Beweis:(Beweisskizze für den Transformationssatz)24
Lemma 6 Das Volumen P =
{n∑
i=1tiai|ti ∈ [0, 1]
}
ai ∈ Rn ∀i = 1, . . . , n ist:
vol(P ) = |det(a1, . . . , an)|
Lemma 7 Ein Diffeomorphismus Φ: U → V, U, V ⊂ Rn offen,
bildet eine Nullmenge von U auf Nullmenge in V ab.
Lemma 8 Sind U, V ⊂ Rn offen, Q ⊂ U ein abgeschlossener Würfel und ist
Φ: U → V ein Diffeomorphismus, so ist:vol(Φ(Q)) ≤ max
x∈Q|det(DΦ(x))| · vol(Q)
Lemma 9 Sind U, V ⊂ Rn offen Φ: U → V ein Diffeomorphismus
Ist K ⊂ U kompakt , so gilt:vol(K) ·min |det(DΦ(x))| ≤ vol(Φ(K)) ≤ max
k∈K|det(DΦ(x))| · vol(K)
Lemma 10 Die Transformationsformel gilt für χQ mit Q ⊂ V , Q ist Quader.(Damit gilt die Transformationsformel für jede Treppenfunktion mit suppo.A.(ϕ) ⊂ V )
Lemma 11 Ist f Lebesgue-integrierbar über V (f : V → Rn → R ∪ {∞}).
Dann gibt es zu jedem ǫ > 0 eine Treppenfunktion ϕ mitsuppo.A.(ϕ) ⊂ V und ‖f − ϕ‖1,V < ǫ
23da ∂Br(0) Nullmenge ist (Übung)24der komplette Beweis würde den zeitlichen Rahmen der Vorlesung sprengen
23
Beweis:(Transformationssatz)
• approximiere f durch eine Treppenfunktion mit suppo.A.(ϕk) ⊂ V (im L1-Sinne)
• (Riesz-Fischer) ⇒ o.B.d.A. konvergiert ϕk punktweise gegen f (Übergang zur Teil-folge)
• ϕk(x) := |det(DT (x))| · ϕk(x) ist L1-Cauchy-Folge.
• ϕk konvergiert punktweise gegen f(x) = |det(DT (x))| · f(T (x))
• (Riesz-Fischer): f ist Lebesgue-integrierbar mit:
∫
U
f(y)dy = limk→∞
∫
U
ϕk(y)dy = limk→∞
∫
V
ϕk(x)dx =∫
V
f(x)dx
Korollar 5 Sei T (x) = Ax+ b, A ∈ GL(n), b ∈ Rn und
f : Rn → R Lebesgue-integrierbar. Dann gilt:∫
Rn
f(x)dx = |det(A)| ·∫
Rn
f(Ay + b)dy und
y 7→ f(T (y)) ist Lebesgue-integrierbar.
Korollar 6 Sei M ⊂ Rn messbar mit vol(M) <∞ und T (x) = Ax+ b,
A ∈ GL(n), b ∈ Rn, dann gilt:
vol(T (M)) = |det(A)| · vol(M)
Beweis:vol(T (M)) =
∫
T (M)
1dx =∫
M
1◦T (y)|det((DT (y))|dy = |det(A)|∫
M
1dy = |det(A)| ·vol(M)
24
3 Parameterabhängige Integrale
Satz 21 (Stetigkeitssatz)Sei X ⊂ R
n offen, Y ⊂ Rm, f : X × Y → R mit
• ∀x ∈ X : y 7→ f(x, y) ist über Y Lebesgue-integrierbar
• ∀y ∈ Y : x 7→ f(x, y) stetig.
• es existiert, Φ: Y → R über Y Lebesgue-integrierbar mit:∀(x, y) ∈ X × Y : |f(x, y)| ≤ Φ(y)
Dann ist F (x) =∫
Y
f(x, y)dy stetig
Beweis:Übung.
Satz 22 Sei X ⊂ Rn offen, Y ⊂ R
m, f : X × Y → R mit
• ∀x ∈ X : y 7→ f(x, y) ist über Y Lebesgue-integrierbar
• ∀y ∈ Y : x 7→ f(x, y) stetig differenzierbar.
• es existiert, Φ: Y → R über Y Lebesgue-integrierbar mit:∀(x, y) ∈ X × Y, i ∈ {1, . . . , n} : | ∂
∂xif(x, y)| ≤ Φ(y)
Dann ist F (x) =∫
Y
f(x, y)dy stetig differenzierbar und
∂∂xif(x, y) ist Lebesgue-integrierbar und es gilt:
∂∂xiF (x) =
∫
Y
∂∂xif(x, y)dy für i = 1, . . . , n
Beweis:Sei x0 ∈ X, i ∈ {1, . . . , n} fest und (hk)
∞k=1,... ⊂ R\{0} eine Nullfolge mit x0+hkei ∈ X.
Definiere ϕk(y) :=f(x0 + hkei, y)− f(x0, y)
hk.
Dann ist, wegen den Bedingungen an f , ϕk Lebesgue-integrierbar und für alle y ∈ Y istlimk→∞
ϕk(y) =∂∂xif(x0, y).
Nach den Bedingungen an ∂∂xif und dem Schrankensatz25 ist |ϕk(y)| ≤ Φ(y) für alle
k ∈ N.Also: Nach dem Satz der majorisierten Konvergenz ist y 7→ ∂
∂xif(x0, y) Lebesgue-integrierbar
mit∫
Y
∂∂xif(x0, y)dy = lim
k→∞ϕk(y)dy = lim
k→∞
∫
Y
f(x0+hkei,y)−f(x0.y)hk
dy =
= limk→∞
1hk
(∫
Y
f(x0 + hkei, y)dy −∫
Y
f(x0, y)dy
)
= limk→∞
1hk
(F (x0 + hkei)− F (xo))
25Alternativ: mit Taylor
25
Da (hk)∞1,... ⊂ R beliebig mit x0 + hkei ∈ X und X offen, ist gilt:
limhk→0
F (x0−hkei)−F (xo)hk
=∫
Y
∂∂xif(xo, y)dy
Damit ist F für alle x ∈ X, i ∈ {1, . . . , n} partiell differenzierbar nach xi, mit∂∂xiF (x) =
∫
Y
∂∂xif(x, y) = dy.
∂∂xiF (x) ist stetig nach Satz 21. Also: alle partiellen Ableitiungen sind stetig auf X und
damit ist F stetig differenzierbar. �
26
4 Differenzierbare Untermannigfaltigkeiten des Rn
Intuitiv:Eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit M des R
n der Dimension m ist eine Teil-menge des Rn, die man lokal um jeden Punkt von M zu einer offenen Teilmenge des Rm
”glattziehen” kann.26.
M ∩ U
Rm
Rn−m
×x
M
Umgebung U von x in Rn
Rm × {0}n−m
×ϕ(x)
V
ϕ : U → V ∈ Rn
ϕ: Karte (engl: chart)
Definition 16 Eine Menge M ∈ Rn heißt m-dimensionale Ck-Untermannigfaltigkeit
des Rn falls, zu jedem Punkt x ∈ M, offene Mengen U, V ⊂ R
n (x ∈ U) und ein Ck-Diffeomorphismus27 ϕ : U → V existieren mit:ϕ(M∩ U) = (Rm × {0}n−m) ∩ V (x ∈ U also ist M∩ U 6= ∅)Wir nennen ϕ Karte von M um x und M∩ U Kartengebiet.Eine Fammilie {ϕi : Ui → Vi|i ∈ I} (I Indexmenge) von Ck-Karten von M heißtCk-Atlas falls die Ui die Untermannigfaltigkeit M überdeckt also M ⊂
⋃
i∈IUi gilt.
Beispiel 3 (Einheitskreis im R2)
S1 = {x ∈ R2|‖x‖1 = 1}
• ϕ1(x1, x2) = (x1 −√
1− x22, x2)U1 = {(x1, x2) ∈ R
2||x2| < 1, x1 > 0}V1 = {(y1, y2) ∈ R
2||y2| < 1, y1 > −√
1− y22}ϕ1 : U1 → V1, ϕ1 ∈ C∞, bijektivϕ−11 ∈ C∞
26m < n27d.h. ϕ ist eine Bijektion und sowohl ϕ als auch ϕ−1 sind in Ck
27
• ϕ2(x1, x2) = (x1 +√
1− x22, x2)U2 = {(x1, x2) ∈ R
2 : |x2| < 1, x1 < 0}V2 = {(y1, y2) ∈ R
2 : |y2| < 1, y1 >√
1− y22}ϕ2 : U2 → V2, ϕ2 ∈ C∞, bijektivϕ−12 ∈ C∞
• ϕ3(x1, x2) = (x1, x2 −√
1− x21)U3 = {(x1, x2) ∈ R
2 : |x1| < 1, x2 > 0}V3 = {(y1, y2) ∈ R
2 : |y1| < 1, y2 > −√
1− y21}ϕ3 : U3 → V3, ϕ3 ∈ C∞, bijektivϕ−13 ∈ C∞
• ϕ4(x1, x2) = (x1, x2 +√
1− x21)U4 = {(x1, x2) ∈ R
2 : |x1| < 1, x2 < 0}V4 = {(y1, y2) ∈ R
2 : |y1| < 1, y2 >√
1− y21}ϕ4 : U4 → V4, ϕ4 ∈ C∞, bijektivϕ−14 ∈ C∞
ϕ1(U1 ∩ S1) = ({0} × R) ∩ V1) analog für ϕi i = 2, 3, 4.
Also sind ϕi i = 1, 2, 3, 4 Karten. {ϕ1ϕ2, ϕ3, ϕ4} ist Atlas.Also ist S1 Untermannigfaltigkeit.
Wiederholung; Definition:Sei U ⊂ R
n offen. Eine C1-Abbildung ϕ : U → Rm heißt Submersion falls
rang(Dϕ(x)) = m für alle x ∈ U .ϕ heißt Immersion falls rang(Dϕ(x)) = n für alle x ∈ U
Satz 23 Sei U ⊂ Rn offen, ϕ : U → R
m eine Submersion.Dann ist für alle c ∈ ϕ(U) die Menge ϕ−1(c) eine C1-Untermannigfaltigkeit des R
n derDimension n−m.
Beweis:Sei x0 ∈ ϕ−1(c). Da rang(Dϕ(x)) = m können wir o.B.d.A. annehmen, dassDϕ(x0) = (A#), A ∈ R
m×m, rang(A) = m.Wir schreiben nun für x ∈ R
n : x = (y, z), y ∈ Rm, z ∈ R
n−m
und für xo : x0 = (y0, z0), y0 ∈ Rm, z0 ∈ R
n−m.Definiere: Ψ: Rm × R
n−m durch Ψ(y, z) = (ϕ(y, z)− c, z)T .
Dann ist DΨ(y0, z0) =
(Dyϕ(yo, zo) Dzϕ(yo, z0)
0 1n−m
)
=
(A #0 1n−m
)
.
Also ist rang(DΨ(y0, z0)) = m+ (n−m) = nNach dem Umkehrsatz gibt es eine offene Umgebung U ⊂ U von (y0, z0) = x0 und eineoffene Umgebung V von Ψ(y0, z0) = (0, z0) dso dass, Ψ: U → V eine Bijektion mit stetigdifferenzierbarer Inversen Ψ−1 ist, also ist Ψ ein Diffeomorphismus.Weiter ist ϕ−1(c) ∩ U 6= ∅ (da x0 ∈ U) und Ψ(ϕ−1(c) ∩ U) = ({0}m × R
n−m) ∩ V(für geeignete U und V ).Also ist Ψ Karte von M in x0.
28
Da die Konstruktion für alle x0 ∈ ϕ−1(c) möglich ist, ist ϕ−1(c) Untermannigfaltigkeitder Dimension n−m. �
Definition 17 (kritische/reguläre Werte)Sei ϕ : U → R
m stetig differenzierbar, U ⊂ Rn offen.
Ein Punkt x ∈ U heißt kritischer Punkt, falls rang(Dϕ(x)) < m ist.Wir nennen c ∈ R
m regulären Wert falls ϕ−1(c) keine kritischen Punke enthält; ansonstenkritischen Wert.
Korollar 7 (Satz vom regulären Wert)Sei ϕ : U → R
m ϕ ∈ C1 c ∈ Rm regulärer Wert mit ϕ−1(c) 6= ∅. Dann ist ϕ−1(c) eine
C1-Untermannigfaltigkeit.
29
INDEX
Stichwortverzeichnis
A
Atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Ausschöpfungsprinzip. . . . . . . . . . . . . . . . 14
C
Charakteristische Funktion . . . . . . . . . . . 2
F
fast überall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Funktionaldeterminante . . . . . . . . . . . . . 22
H
Hüllreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I
Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Integral
von Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . 5
K
Karte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27kritischer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
L
L1-Cauchy-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12L1-Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12L1-Halbnorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Lebesgue-integrierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
lokal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Lemma
Verfeinerungs- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
M
Messbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
N
Nullmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
P
passend zu Treppenfunktion . . . . . . . . . . 2
Q
Quader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
S
SatzBeppo-Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Majorantenkriterium . . . . . . . . . . . . 16Majorisierte Konvergenz . . . . . . . . . 15Modifikations- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Stetigkeits- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Transformations- . . . . . . . . . . . . . . . . 22vom regunären Wert. . . . . . . . . . . . .29
T
Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Treppenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
V
Verfeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
30
Logbuch
01. 17.10, 2–302. 24.10, 3–603. 31.10, 6–1004. 07.11, 10–1105. 14.11, 11–1406. 21.11, 14–1607. 28.11, 16–1808. 05.12, 18–2009. 12.12, 20–2310. 19.12, 23–2611. 19.12, 2911. 9.1, 26
31