04 Interpolation 2012 - hydrogelological Modelling Group ... · Beispiel Eine renommierte...

Geostatistik

Räumliche Variabilität und Interpolationsverfahren

Inhalte

Ø Räumliche Variabilität

•  Beispiele

•  Bedeutung

•  Messung

Ø  Interpolationsverfahren

•  Nicht - stochastische

Beispiele

Ø Räumliche Variabilität

Messung •  Niederschlag

Niederschlagsmesser n. Hellmann

Messung •  Niederschlag

Niederschlagsmesser n. Hellmann

Messung •  Niederschlag

•  Abfluss

Wehre - Ultraschallecholot

Messung •  Niederschlag

•  Abfluss •  Bodenhydraulische

Eigenschaften

Säulenexperimente

Messung •  Niederschlag

•  Abfluss •  Bodenhydraulische

Eigenschaften •  Verdunstung

Meteorologischer Messtürme

Messung •  Niederschlag

•  Abfluss •  Bodenhydraulische

Eigenschaften •  Verdunstung •  Stoffflüsse, -

konzentrationen in der ungesättigten Bodenzone

Lysimeter - Tensiometer

Messung •  Niederschlag

•  Abfluss •  Bodenhydraulische

Eigenschaften •  Verdunstung •  Stoffflüsse, -

konzentrationen in der ungesättigten Bodenzone

•  Grundwasserstände, Stoffkonzentrationen

Messung •  Niederschlag

•  Abfluss •  Bodenhydraulische

Eigenschaften •  Verdunstung •  Stoffflüsse, -

konzentrationen in der ungesättigten Bodenzone

•  Grundwasserstände, Stoffkonzentrationen

•  Biologische Kenngrößen

Problem

Ø Räumliche Variabilität von biologischen, geologischen, hydrologischen, usw. …. Eigenschaften finden sich auf unterschiedlichen Skalen

Ø Sie steuern zum Teil entscheidend das Prozessgeschehen

Ø Messtechnische Erfassung ist oft extrem aufwendig und teuer bzw. gar nicht möglich

Interpolation

Interpolation

Interpolation

Interpolationsmethoden

Exakt/Approximiert

Exakt/Approximiert

Lokal/Global

Deterministisch/Stochastisch

Interpolationsmethoden

Interpolation 1D

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Nearest Neighbor

Interpolation 1D

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Nearest Neighbor

Interpolation 1D

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Nearest Neighbor

Bedingte Verfahren =exakt

Interpolation 2D

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x [km]

y [k

m]

Interpolation 2D

01

23

4

0

1

2

30

1

2

3

4

5

6

x [km]y [km]

Tran

smis

sivi

ty [m

×/d]

Interpolation 2D

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x [km]

y [k

m]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x [km]

y [k

m]

Interpolation 2D

Stützstelle (xi,yi)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x [km]

y [k

m]

Interpolation 2D

Stützstelle (xi,yi)

X ???

Interpolation 2D Nearest Neighbor

01

23

4

0

1

2

30

2

4

6

8

x [km]y [km]

Tran

smis

sivi

ty [m

×/d]

Interpolation 2D Nearest Neighbor

x [km]

y [k

m]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Interpolation Nearest Neighbor

2D 1D

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Nearest Neighbor

Interpolation 1D

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Interpolation 1D

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Stützstelle ???

Interpolation 1D

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Nichtbedingte Verfahren =approximiert

Beispiel Eine renommierte Sektkellerei möchte einen hochwertigen Rieslingsekt

auf den Markt bringen. Für die Festlegung des Abgabepreises soll zunächst eine Preis-Absatz-Funktion ermittelt werden. Dazu wird in Geschäften ein Testverkauf durchgeführt, und man erhält sechs Wertepaare mit dem jeweiligen Ladenpreis einer Flasche (in Euro) sowie der Zahl der jeweils verkauften Flaschen :

Versuch 1 2 3 4 5 6

Flaschenpreis 20 16 15 16 13 10 verkaufte Menge 0 3 7 4 6 10

http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Regression

Beispiel

http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Regression

Lösung eines 2x2 Gleichungssystems

•  Die inverse Matrix einer 2x2 kann noch explizit angegeben werden. Sie lautet

Linearer Zusammenhang zwischen den Daten

Ein linearer Zusammenhang zwischen den Daten liegt nur dann vor, wenn beide Regressionsgeraden (für x=a‘y+b‘ und für y=ax+b) aufeinander liegen!!

Regressionsgeraden für y=gx(x) [rot] und x=gy(y) [blau]

Interpolation 1D

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Lineare Interpolation 1D Linear

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Lineare Interpolation 1D

(30,9.9)

(20,16.8)

(23,???)

Linear

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Lineare Interpolation 1D

(30,9.9)

(20,16.8)

(23,14.7)

Linear

( )( )1

12

112 yxx

xxyyy ii +

−

−−=

(xi,yi)

Lineare Interpolation 2D Linear

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x [km]

y [k

m]

Lineare Interpolation 2D Linear

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x [km]

y [k

m]

Lineare Interpolation 2D

x y T P1 1.534 1.534 2.1 P2 2.078 0.267 2.4 P3 2.715 2.119 4.7

P1

0 1 2 3 4

01

2302

4

6

8

x [km]y [km]

Tran

smis

sivi

ty [m

×/d]

P2

P1

P3

CByAx ++=

),( yxfT =

Lineare Interpolation 2D

x y T P1 1.534 1.534 2.1 P2 2.078 0.267 2.4 P3 2.715 2.119 4.7

CBACBACBA

+⋅+⋅=

+⋅+⋅=

+⋅+⋅=

119.2715.27.4267.0078.24.2534.1534.11.2

Lösung eines 3x3 Gleichungssystems

•  Die inverse Matrix einer 3x3 kann noch explizit angegeben werden. Sie lautet

Determinante einer 3x3 Matrix

x y T P1 1.534 1.534 2.1 P2 2.078 0.267 2.4 P3 2.715 2.119 4.7

Lineare Interpolation 2D

x y T P1 1.534 1.534 2.1 P2 2.078 0.267 2.4 P3 2.715 2.119 4.7

CBACBACBA

+⋅+⋅=

+⋅+⋅=

+⋅+⋅=

119.2715.27.4267.0078.24.2534.1534.11.2

73.158.091.1

−=

=

=

CBA

Lineare Interpolation 2D

x y T P1 1.534 1.534 2.1 P2 2.078 0.267 2.4 P3 2.715 2.119 4.7

CBACBACBA

+⋅+⋅=

+⋅+⋅=

+⋅+⋅=

119.2715.27.4267.0078.24.2534.1534.11.2

73.158.091.1

−=

=

=

CBA

73.158.091.1 −⋅+⋅= yxT

Lineare Interpolation 2D

x y T P1 1.534 1.534 2.1 P2 2.078 0.267 2.4 P3 2.715 2.119 4.7

P1

0 1 2 3 4

01

2302

4

6

8

x [km]y [km]

Tran

smis

sivi

ty [m

×/d]

P2

P1

P3

73.158.091.1 −⋅+⋅= yxT

Lineare Interpolation 2D

x y T P1 1.534 1.534 2.1 P2 2.078 0.267 2.4 P3 2.715 2.119 4.7

P1

0 1 2 3 4

01

2302

4

6

8

x [km]y [km]

Tran

smis

sivi

ty [m

×/d]

P2

P1

P3

73.158.091.1 −⋅+⋅= yxT

x y T Pi 2.1 1.6 ????

22.373.16.158.01.291.1 =−⋅+⋅=T

Lineare Interpolation 2D Linear

01

23

4

0

1

2

30

2

4

6

8

x [km]y [km]

Tran

smis

sivi

ty [m

×/d]

Lineare Interpolation Linear

01

23

4

0

1

2

30

2

4

6

8

x [km]y [km]

Tran

smis

sivi

ty [m

×/d]

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

2D 1D

Inverse Distance Weighting

Inverse Distance Weighting

Inverse Distance Weighting

Polynom Interpolation 1D

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Polynome

Polynom Interpolation 1D

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Polynome n-ten Grades

( ) nn

nn xaxaxaxaaxf +++++= −−

11

2210 …

Polynom Interpolation 1D

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Polynome n-ten Grades

0-ten Grades

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades

0-ten Grades

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades

1-ten Grades

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades

2-ten Grades

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades

3-ten Grades

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades

4-ten Grades

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades

5-ten Grades

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades

6-ten Grades

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades

7-ten Grades

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades

8-ten Grades

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Polynom Interpolation 1D Polynome n-ten Grades

9-ten Grades

Polynom Interpolation 2D

Polynome n-ten Grades

0-ten Grades:

01

23

4

0

1

2

30

2

4

6

8

x [km]y [km]

Tran

smis

sivi

ty [m

×/d] aT =

01

23

4

0

1

2

30

2

4

6

8

x [km]y [km]

Tran

smis

sivi

ty [m

×/d]

Polynom Interpolation 2D

Polynome n-ten Grades

1-ten Grades:

cybxaT ++=

01

23

4

0

1

2

30

2

4

6

8

x [km]y [km]

Tran

smis

sivi

ty [m

×/d]

Polynom Interpolation 2D

Polynome n-ten Grades

2-ten Grades:

fyexdxycybxaT++

+++= 22

01

23

4

0

1

2

30

2

4

6

8

x [km]y [km]

Tran

smis

sivi

ty [m

×/d]

Polynom Interpolation 2D

Polynome n-ten Grades

3-ten Grades:

jyixhxygxfyxeyydx

cybxaT

++

+++

+++=2222

33

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

Interpolation 1D

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

Distanz [m]

Höhe

[m]