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1. Testat AUSGLEICHUNGSRECHNUNG Thema: Vermittelnde und bedingte Ausgleichung
eines Nivellementsnetzes Gerechnet von Janin Wach, Geodäsie 4. Semester
Vermittelnde und bedingte Ausgleichung eines Nivellementsnetzes Janin Wach
Vermittelnde Ausgleichung 1. Wahl der Unbekannten Anzahl der Beobachtungen: n = 9 Anzahl der Unbekannten: u = 4
F
E
D
C
HtHzHyHx
====
2. Aufstellung der ursprünglichen Verbesserungsgleichungen
B
B
A
A
HtvhyHvh
ytvhtzvhyzvhyxvhxzvhHzvhHxvh
−=+∆−=+∆
−=+∆−=+∆−=+∆−=+∆−=+∆−=+∆−=+∆
99
88
77
66
55
44
33
22
11
3. Berechnung von Näherungswerten für die Unbekannten
tttzzzyyyxxx
δδδδ
+=+=+=+=
0
0
0
0
mhHtmhHzmhHymhHx
B
A
B
A
3718,264659,265640,258966,25
90
20
80
10
=∆+==∆+==∆−==∆+=
4. Aufstellung der umgeformten Verbesserungsgleichungen
mit
99
88
77
66
55
44
33
22
11
ltvlyv
lytvltzvlyzvlyxvlxzv
lzvlxv
−+=−−=
−−+=−−+=−−+=−−+=−−+=
−+=−+=
δδ
δδδδδδδδδδ
δδ
cmhHtlcmhyHlcmhytlcmhtzlcmhyzlcmhyxlcmhxzlcmhHzlcmhHxl
B
B
A
A
00,000,0
10,018,0
14,015,0
14,000,000,0
909
808
7007
6006
5005
4004
3003
202
101
=∆−−=−=∆−−=−
=∆−−=−−=∆−−=−
=∆−−=−−=∆−−=−
=∆−−=−=∆−−=−=∆−−=−
2
Vermittelnde und bedingte Ausgleichung eines Nivellementsnetzes Janin Wach
5. Bestimmung der Normalgleichungen APAN T=
mit
−−
−−−
−
=
1000001010101100
01100011010101000001
A
=
763,0000000000699,0000000000781,0000000000877,0000000000235,1000000000125,3000000000852,1000000000471,1000000000031,1
P
−
−−−−−
=
763,00781,0877,000000000877,0235,10852,1471,100699,0781,00235,1125,300000000125,3852,10031,1
PAT
−−−−−−−−
−−
==
421,2877,0781,00877,0435,5235,1852,1781,0235,1840,5125,3
0852,1125,3008,6
APAN T
⋅−⋅−⋅−⋅
=
−
−
−
−
3
3
3
3
10360,210743,210177,2
10280,7
lPAT
3
Vermittelnde und bedingte Ausgleichung eines Nivellementsnetzes Janin Wach
mit
−
−
−
=
000010,0
0018,00014,0
0015,00014,000
l
0=− lPAxN T
mit
=
tzyx
x
δδδδ
Daraus folgt: lPANx T1−=
Mit QN =
=−
546,0189,0199,0162,0189,0334,0209,0212,0199,0209,0383,0264,0162,0212,0264,0369,0
1
ergibt sich
=
⋅−⋅−⋅⋅
==
−
−
−
−
−
tzyx
lPANx T
δδδδ
3
4
5
3
1
10061,110738,2
10520,410148,1
6. Bestimmung der Höhen der Neupunkte
mtttmzzzmyyymxxx
3707,264656,265640,258977,25
0
0
0
0
=+==+==+==+=
δδδδ
4
Vermittelnde und bedingte Ausgleichung eines Nivellementsnetzes Janin Wach
7. Bestimmung der Verbesserungen aus den Verbesserungsgleichungen
99
88
77
66
55
44
33
22
11
ltvlyv
lytvltzvlyzvlyxvlxzv
lzvlxv
−+=−−=
−−+=−−+=−−+=−−+=−−+=
−+=−+=
δδ
δδδδδδδδδδ
δδ
mv
mv
mv
mv
mvmv
mv
mv
mv
39
58
47
36
35
44
53
42
31
10061,1
1052,4
10062,1
100128,1
10081,110972,3
1018,2
10738,2
10148,1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⋅−=
⋅−=
⋅−=
⋅−=
⋅=
⋅−=
⋅−=
⋅−=
⋅=
8. Ausgleichung der Höhenunterschiede
mvhmvhmvhmvhmvhmvhmvhmvhmvh
0642,07425,08067,00949,09016,03337,05679,07462,0
1783,0
99
88
77
66
55
44
33
22
11
=+∆=+∆=+∆=+∆=+∆=+∆=+∆=+∆=+∆
9. Mittlerer Kilometerfehler mittlerer Gewichtseinheitsfehler
[ ]un
pvvm−
±=0
mit
[ ] ( )2
2
0517,00086,00000,00001,00090,00144,00049,00000,00011,00136,0
cmcmpvv
=
++++++++=
cmm 102,00 ±=
5
Vermittelnde und bedingte Ausgleichung eines Nivellementsnetzes Janin Wach
mittlerer Kilometerfehler
kmkm p
mm 0= mit 111==kmp (da pi = 1 / si)
cmmmkm 102,00 ±==
10. Mittlerer Fehler der ursprünglichen Beobachtungen
i
i pmm 0=
Es ergibt sich:
cmmcmmcmmcmmcmmcmmcmmcmmcmm
117,0122,0115,0109,0092,0058,0075,0084,0100,0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
=========
11. Mittlerer Fehler der ausgeglichenen Beobachtungen
iii Qmm ⋅= 0
B
B
A
A
HthyHh
ythtzhyzhyxhxzhHzhHxh
−=∆−=∆
−=∆−=∆−=∆−=∆−=∆−=∆−=∆
9
8
7
6
5
4
3
2
1
tt
yy
ttytyy
ttztzz
zzyzyy
yyxyxx
zzxzyy
zz
xx
QQQQ
QQQQ
QQQQ
QQQQ
QQQQ
=
=
+−=
+−=
+−=
+−=
+−=
=
=
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
2
2
2
2
6
Vermittelnde und bedingte Ausgleichung eines Nivellementsnetzes Janin Wach
Es ergibt sich:
cmm
cmm
cmm
cmm
cmm
cmm
cmm
cmm
cmm
075,0
063,0
074,0
072,0
056,0
048,0
054,0
059,0
062,0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
12. Mittlerer Fehler der Neupunkthöhen
cmQmm
cmQmm
cmQmm
cmQmm
tttt
zzz
yyy
xxx
075,0
059,0
063,0
062,0
0
0
0
0
=⋅=
=⋅=
=⋅=
=⋅=
13. Mittlerer Fehler des Höhenunterschiedes HC – HF
cmQmm
QfQffQfQ
fffftxHHF
FFF
tttxttxxxxFF
tzyx
FC
078,0
591,0546,0162,02369,02
1,0,0,1
0
22
=⋅=
=+⋅−=⋅+⋅+⋅=
−===+=−=−=
7
Vermittelnde und bedingte Ausgleichung eines Nivellementsnetzes Janin Wach
Bedingte Ausgleichung 1. Wahl der Unbekannten Anzahl der Beobachtungen: n = 9 Anzahl der Unbekannten: u = 4
F
E
D
C
HtHzHyHx
====
2. Aufstellung der ursprünglichen Bedingungsgleichungen
( ) 0
0
0
0
0
962
897
765
453
231
=−−∆−∆−∆
=∆−∆−∆
=∆−∆−∆
=∆+∆−∆
=∆−∆+∆
AB HHhhh
hhh
hhh
hhh
hhh
3. Aufstellung der umgeformten Bedingungsgleichungen
mit
00000
962
897
765
453
231
=+−−=+−−=+−−=++−=+−+
e
d
c
b
a
wvvvwvvvwvvvwvvvwvvv
( )ABe
d
c
b
a
HHhhhwhhhwhhhwhhhwhhhw
−−∆−∆−∆=∆−∆−∆=∆−∆−∆=∆+∆−∆=∆−∆+∆=
962
897
765
453
231
→
−−−−
−−−
−
=
100100010111000000
001110000000011100000000111
TA
−−−
−
=
=
0018,00010,00022,0
0015,00014,0
e
d
c
b
a
wwwww
w
8
Vermittelnde und bedingte Ausgleichung eines Nivellementsnetzes Janin Wach
0=+ wkN mit APAN T 1−=
=−
311,1000000000431,100000000028,100000000014,100000000081,000000000032,000000000054,000000000068,000000000097,0
1P
−−
−−−
−
=
131,3311,114,1068,0311,1022,428,10014,128,123,381,000081,067,154,068,00054,019,2
N
( )wNk −= −1
mit
−−−−−−−−−
−−−
=−
744,0405,0511,0351,0317,0405,0512,0411,0261,019,0511,0411,0768,0461,0272,0351,0261,0461,0932,0339,0
317,019,0272,0339,0639,0
1N
→
⋅⋅⋅⋅−⋅
=
−
−
−
−
−
4
5
4
3
3
10803,71097,210085,110229,1
10185,1
k
9
Vermittelnde und bedingte Ausgleichung eines Nivellementsnetzes Janin Wach
4. Berechnung der Verbesserungen kAPv 1−=
Es ergibt sich:
⋅−⋅−⋅−⋅−⋅⋅−⋅−⋅−⋅
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
3
5
4
3
3
4
5
4
3
10062,11025,410009,110013,1
10083,110933,310376,210752,2
10149,1
v
5. Ausgleichung der Höhenunterschiede
mvhmvhmvhmvhmvhmvhmvhmvhmvh
0642,07425,08067,00949,09016,03337,05679,07462,0
1783,0
99
88
77
66
55
44
33
22
11
=+∆=+∆=+∆=+∆=+∆=+∆=+∆=+∆=+∆
→ Höhen der Neupunkte
( )
mvhHHtmvhHHzmvhHHy
mvhHHx
BF
AE
BD
AC
3707,264656,26
5640,258977,25
99
22
88
11
=+∆+===+∆+===+∆−==
=+∆+==
6. Mittlerer Kilometerfehler mittlerer Gewichtseinheitsfehler
[ ]un
pvvm−
±=0
10
Vermittelnde und bedingte Ausgleichung eines Nivellementsnetzes Janin Wach
mit
[ ] ( )2
2
0517,00086,00000,00001,00090,00144,00049,00000,00011,00136,0
cmcmpvv
=
++++++++=
cmm 102,00 ±=
mittlerer Kilometerfehler
kmkm p
mm 0= mit 111==kmp (da pi = 1 / si)
cmmmkm 102,00 ±==
7. Mittlerer Fehler der ursprünglichen Beobachtungen
i
i pmm 0=
Es ergibt sich (analog zur vermittelnden Ausgleichung):
cmmcmmcmmcmmcmmcmmcmmcmmcmm
117,0122,0115,0109,0092,0058,0075,0084,0100,0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
=========
11
Vermittelnde und bedingte Ausgleichung eines Nivellementsnetzes Janin Wach
8. Mittlerer Fehler der ausgeglichenen Beobachtungen
iii Qmm ⋅= 0 ( iiQ = Werte der Hauptdiagonale) mit 1111 −−−− −= PANAPPQ T
−−−−−⋅−−−
−−−−⋅−−−−−−⋅
−−−−⋅−−−−
=
−
−
−
−
545,02,0347,0357,0011,0038,0026,0189,0161,0201,0382,0186,01012,9174,0119,0055,0209,0264,0
347,0185,053,0366,0163,0082,0082,0021,0102,0358,010788,9366,0503,0136,004,0095,0146,0049,0012,0173,0164,0136,0299,0122,0177,0125,0052,0037,012,0082,0041,0121,0225,0103,01072,2105,0
026,0054,0082,0096,0177,0102,028,0122,0157,0189,0209,0022,0145,0126,010611,2123,0334,0212,0161,0263,0102,0049,0053,0105,0157,0213,0369,0
3
3
3
3
Q
Es ergibt sich:
cmm
cmm
cmm
cmm
cmm
cmm
cmm
cmm
cmm
075,0
063,0
074,0
072,0
056,0
048,0
054,0
059,0
062,0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
±=
±=
±=
±=
±=
±=
±=
±=
±=
12
Vermittelnde und bedingte Ausgleichung eines Nivellementsnetzes Janin Wach
9. Mittlerer Fehler des Höhenunterschiedes HC – HF
cmm
Q
qAPf
fPf
qAPffPfQ
q
fPANq
f
fffffffffhhHHF
Qmm
F
FF
T
T
TT
FF
T
FC
FFF
078,0
592,0
088,1
68,1
248,0045,0395,0445,0213,0
0001
00100
0,0,0,1,0,0,1,0,0
1
1
11
11
987654321
63
0
=
=
−=
=
+=
−−−−−
=
−=
−=⇒
===−======∆−∆=−=
⋅=
−
−
−−
−−
13
Vermittelnde und bedingte Ausgleichung eines Nivellementsnetzes Janin Wach
10. Mittlerer Fehler der Neupunkthöhen
( )
mvhHHtmvhHHzmvhHHy
mvhHHx
BF
AE
BD
AC
3707,264656,26
5640,258977,25
99
22
88
11
=+∆+===+∆+===+∆−==
=+∆+==
Die mittleren Fehler der Neupunkthöhen ergeben sich aus den Fehlern der ausgeglichenen Beobachtungen.
→
cmmm
cmmm
cmmm
cmmm
t
z
y
x
075,0
059,0
063,0
062,0
9
2
8
1
±==
±==
±==
±==
14
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