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11. Matrizen
Eine mn-Matrix ist ein Raster aus mn Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind.
= (aij)1 i m, 1 j n
mnmm
n
n
aaa
aaa
a...aa
...
...
21
22221
11211
............
Eine mn-Matrix ist ein Raster aus mn Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind.
= (aij)
mnmm
n
n
aaa
aaa
a...aa
...
...
21
22221
11211
............
11.1 Addition und Multiplikation von Matrizen
A = (aij) und B = (bij) seien zwei mn-Matrizen.
A + B = C mit cij = aij + bij
A - B = C mit cij = aij – bij
elementweise
Man kann nur solche Matrizen addieren und subtrahieren, die gleiche Zeilenzahl m und gleiche Spaltenzahl n besitzen.
Matrixaddition ist assoziativ und kommutativ.
65
43
21
7-1-
00
21
1-4
43
42
= +
Das Produkt der Matrizen A und B A B = C
Das Produkt der Matrizen A und B A B = C ist eine Matrix C = (cij) mit den Elementen
cij =
n
kkjikba
1
Das Produkt der Matrizen A und B A B = C ist eine Matrix C = (cij) mit den Elementen
cij =
n
kkjikba
1
c21 = a21b11 + a22b21 + ... + a2nbn1
11 12 13
21 22 23
11 12 13
21 22 23
31 32 33
( )
() A B
cij =
n
kkjikba
1
Da der zweite Index des ersten Faktors ebenso wie der erste Index des zweiten Faktors bis n läuft, kann man nur solche Matrizen A und B miteinander multiplizieren, für die gilt:
A = mn-Matrix, B = np-Matrix
=
Das Ergebnis ist eine mp-Matrix.
A B C
1 2 3
4 5 6
a b
c d
e f
1a + 2c + 3e
a b
c d
e f
1a + 2c + 3e
, 1b + 2d + 3f
a b
c d
e f
1a + 2c + 3e
, 1b + 2d + 3f4a + 5c +
6e
a b
c d
e f
1a + 2c + 3e
, 1b + 2d + 3f4a + 5c +
6e , 4b + 5d + 6f
( )
1 2 3
4 5 6
a b
c d
e f1a+2c+3e
1b+2d+3f
4a+5c+6e
4b+5d+6f
cij =
n
kkjikba
1
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n.
mn-Matrix np-Matrix = mp-Matrix
=
cij =
n
kkjikba
1
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n.
mn-Matrix np-Matrix = mp-Matrix
=
Die Operation ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen
A B ≠ B A
00
01
00
10 =
00
10
cij =
n
kkjikba
1
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n.
mn-Matrix np-Matrix = mp-Matrix
=
Die Operation ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen
A B ≠ B A
00
01
00
10 =
00
10 aber
00
10
00
01 =
00
00
210
321
23
10
21
=
210
321
23
10
21
=
410600
622901 =
36
610
210
321
23
10
21
=
410600
622901 =
36
610
(a1, a2)
2
1
b
b = (a1b1 + a2b2)
210
321
23
10
21
=
410600
622901 =
36
610
(a1, a2)
2
1
b
b = (a1b1 + a2b2)
11.1 Erklären Sie folgendes Schema:
2 2 3 5 2 1 1 2 3 14 15 4 5 6 35 39 1 1 2 9 9
Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt A (B C) = (A B) C Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv über die Matrixaddition +: A (B + C) = (A B) + (A C)
Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt A (B C) = (A B) C Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv über die Matrixaddition +: A (B + C) = (A B) + (A C) Es gibt eine nn-Matrix I, die nn-Einheitsmatrix,
I =
1...00
............
0...10
0...01
= (ij) (11.4)
so dass für jede nn-Matrix A gilt A I = A = I A.
Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt A (B C) = (A B) C Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv über die Matrixaddition +: A (B + C) = (A B) + (A C) Es gibt eine nn-Matrix I, die nn-Einheitsmatrix,
I =
1...00
............
0...10
0...01
= (ij) (11.4)
so dass für jede nn-Matrix A gilt A I = A = I A. Eine 11 Matrix ist eine Zahl. Eine 1n Matrix heißt Zeilenvektor. Eine n1 Matrix heißt Spaltenvektor oder einfach Vektor.
11.2 Die transponierte Matrix Wie Beispiel (11.3) verdeutlicht, kann man das Skalarprodukt (8.8) zwei-er Vektoren auch als Matrixprodukt schreiben:
3
2
1
a
a
a
3
2
1
b
b
b
= a1b1 + a2b2 + a3b3 = (a1, a2, a3)
3
2
1
b
b
b
11.2 Die transponierte Matrix Wie Beispiel (11.3) verdeutlicht, kann man das Skalarprodukt (8.8) zwei-er Vektoren auch als Matrixprodukt schreiben:
3
2
1
a
a
a
3
2
1
b
b
b
= a1b1 + a2b2 + a3b3 = (a1, a2, a3)
3
2
1
b
b
b
Dafür ist es allerdings erforderlich, den linken Vektor als Zeilenvektor statt, wie bisher durchweg geschehen, als Spaltenvektoren aufzufassen. Zukünftig wollen wir den Zeilenvektor als den transponierten Vektor AT von A bezeichnen.
11.2 Die transponierte Matrix Wie Beispiel (11.3) verdeutlicht, kann man das Skalarprodukt (8.8) zwei-er Vektoren auch als Matrixprodukt schreiben:
3
2
1
a
a
a
3
2
1
b
b
b
= a1b1 + a2b2 + a3b3 = (a1, a2, a3)
3
2
1
b
b
b
Dafür ist es allerdings erforderlich, den linken Vektor als Zeilenvektor statt, wie bisher durchweg geschehen, als Spaltenvektoren aufzufassen. Zukünftig wollen wir den Zeilenvektor als den transponierten Vektor AT von A bezeichnen.
A =
na
a
a
...2
1
1
21
11
na
a
a
... ; AT = (a1, a2,... , an) (a11, a12,..., a1n)
11.2 Die transponierte Matrix Wie Beispiel (11.3) verdeutlicht, kann man das Skalarprodukt (8.8) zwei-er Vektoren auch als Matrixprodukt schreiben:
3
2
1
a
a
a
3
2
1
b
b
b
= a1b1 + a2b2 + a3b3 = (a1, a2, a3)
3
2
1
b
b
b
Dafür ist es allerdings erforderlich, den linken Vektor als Zeilenvektor statt, wie bisher durchweg geschehen, als Spaltenvektoren aufzufassen. Zukünftig wollen wir den Zeilenvektor als den transponierten Vektor AT von A bezeichnen.
A =
na
a
a
...2
1
1
21
11
na
a
a
... ; AT = (a1, a2,... , an) (a11, a12,..., a1n)
Damit ergibt sich das Skalarprodukt nach dem Matrixformalismus AT A = |A|2.
AT A = (a1, a2,..., an)
na
a
a
...2
1
= |A|2
A AT =
na
a
a
...2
1
(a1, a2,..., an) =
nnnn
n
n
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
21
22212
12111
......... ...
...
...
ist eine nn-Matrix symmetrisch zur Hauptdiagonale.
AT A = (a1, a2,..., an)
na
a
a
...2
1
= |A|2
A AT =
na
a
a
...2
1
(a1, a2,..., an) =
nnnn
n
n
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
21
22212
12111
......... ...
...
...
ist eine nn-Matrix symmetrisch zur Hauptdiagonale. Eine Matrix A = (aij) wird transponiert, also an der Hauptdiagonale ge-spiegelt, indem Zeilen- und Spaltenindizes vertauscht werden: AT = (aji).
Beispiel: A =
ihg
fed
cba
, AT =
ifc
heb
gda
AT A = (a1, a2,..., an)
na
a
a
...2
1
= |A|2
A AT =
na
a
a
...2
1
(a1, a2,..., an) =
nnnn
n
n
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
21
22212
12111
......... ...
...
...
ist eine nn-Matrix symmetrisch zur Hauptdiagonale. Eine Matrix A = (aij) wird transponiert, also an der Hauptdiagonale ge-spiegelt, indem Zeilen- und Spaltenindizes vertauscht werden: AT = (aji).
Beispiel: A =
ihg
fed
cba
, AT =
ifc
heb
gda
AT A = (a1, a2,..., an)
na
a
a
...2
1
= |A|2
Sei die Matrix C als Produkt von A und B gegeben, C = A B, d. h.
cij = k aikbkj . (11.2)
Sei die Matrix C als Produkt von A und B gegeben, C = A B, d. h.
cij = k aikbkj . (11.2) Um die transponierte Matrix CT direkt aus den transponierten Faktoren auszurechnen, vertauschen wir in (11.2) alle Spalten- und Zeilenindizes mit dem Ergebnis
cji = k akibjk .
Sei die Matrix C als Produkt von A und B gegeben, C = A B, d. h.
cij = k aikbkj . (11.2) Um die transponierte Matrix CT direkt aus den transponierten Faktoren auszurechnen, vertauschen wir in (11.2) alle Spalten- und Zeilenindizes mit dem Ergebnis
cji = k akibjk . Vertauschen wir überdies noch die Reihenfolge
cji = k bjkaki , (11.5) so besitzt (11.5) dieselbe Struktur wie die Definition des Produktes (11.2).
Sei die Matrix C als Produkt von A und B gegeben, C = A B, d. h.
cij = k aikbkj . (11.2) Um die transponierte Matrix CT direkt aus den transponierten Faktoren auszurechnen, vertauschen wir in (11.2) alle Spalten- und Zeilenindizes mit dem Ergebnis
cji = k akibjk . Vertauschen wir überdies noch die Reihenfolge
cji = k bjkaki , (11.5) so besitzt (11.5) dieselbe Struktur wie die Definition des Produktes (11.2). Lediglich die Indizes i und j sind vertauscht. Transposition eines Produktes bedeutet also Transposition und Vertauschung der Faktoren CT = (A B)T = BT A T .
00
01
00
10 =
00
10 transponiert:
01
00
00
01=
01
00
00
01
00
10 =
00
10 transponiert:
01
00
00
01=
01
00
0
0
1
(0 0 1) =
000
000
100
transponiert:
1
0
0
(1 0 0) =
001
000
000
00
01
00
10 =
00
10 transponiert:
01
00
00
01=
01
00
0
0
1
(0 0 1) =
000
000
100
transponiert:
1
0
0
(1 0 0) =
001
000
000
Ein Gleichungssystem wird transponiert, indem die Faktoren in Matrixprodukten vertauscht und einzeln transponiert werden (A X)T = XT AT = BT.
00
01
00
10 =
00
10 transponiert:
01
00
00
01=
01
00
0
0
1
(0 0 1) =
000
000
100
transponiert:
1
0
0
(1 0 0) =
001
000
000
Ein Gleichungssystem wird transponiert, indem die Faktoren in Matrixprodukten vertauscht und einzeln transponiert werden (A X)T = XT AT = BT.
Transponiert man eine transponierte Matrix AT, so erhält man wegen doppelter Indexvertauschung wieder die Ausgangsmatrix (AT)T = A.
11.2 A =
987
654
321
, B =
65
43
21
, C =
03-2-
1-01-
A A
CT + BT
A (B + CT)
11.2 A =
987
654
321
, B =
65
43
21
, C =
03-2-
1-01-
A A
CT + BT
A (B + CT) C A B C C B BT CT
11.2 A =
987
654
321
, B =
65
43
21
, C =
03-2-
1-01-
A A
CT + BT
A (B + CT) C A B C C B BT CT 11.3 Zeigen Sie (A B C)T = CT BT AT.
11.3 Elementarmatrizen Zur Erinnerung: Die Einheitsmatrix I3 lässt jede 33-Matrix A bei Multipli-kation unverändert. Sie bewirkt also nichts und es gilt I3 A = A.
100
010
001
ihg
fed
cba
=
ihg
fed
cba
11.3 Elementarmatrizen Zur Erinnerung: Die Einheitsmatrix I3 lässt jede 33-Matrix A bei Multipli-kation unverändert. Sie bewirkt also nichts und es gilt I3 A = A.
100
010
001
ihg
fed
cba
=
ihg
fed
cba
Die Elementarmatrix E(12) entsteht durch Vertauschung der ersten und zweiten Zeile von I3; E(12) vertauscht die erste und zweite Zeile von A:
100
001
010
ihg
fed
cba
=
ihg
cba
fed
E(3 3) entsteht durch Multiplikation der dritten Zeile von I3 mit der reel-len Zahl ; E(3 3) multipliziert die dritte Zeile von A mit :
00
010
001
ihg
fed
cba
=
ihg
fed
cba
E(3 3) entsteht durch Multiplikation der dritten Zeile von I3 mit der reel-len Zahl ; E(3 3) multipliziert die dritte Zeile von A mit :
00
010
001
ihg
fed
cba
=
ihg
fed
cba
E(2 2+3) entsteht durch Addition der mit multiplizierten dritten Zeile von I3 zur zweiten Zeile von I3; E(2 2+3) addiert die mit multiplizierte dritte Zeile von A zur zweiten Zeile von A:
100
10
001
ihg
fed
cba
=
ihg
ifhegd
cba
11.4 Geben Sie die Matrix an, die in A =
94-1
63-4
026-
zuerst die erste mit der dritten Zeile vertauscht, anschließend die mit 4 multiplizierte erste Zeile von der zweiten Zeile subtrahiert und endlich die mit 6 multiplizierte erste Zeile zur dritten addiert. [Hinweis: Die gesuchte Matrix ist das Produkt von drei Elementarmatrizen. Anwendungsreihenfolge beachten: Die zuerst anzuwen-dende Elementarmatrix steht direkt links von A.]
11.4 Geben Sie die Matrix an, die in A =
94-1
63-4
026-
zuerst die erste mit der dritten Zeile vertauscht, anschließend die mit 4 multiplizierte erste Zeile von der zweiten Zeile subtrahiert und endlich die mit 6 multiplizierte erste Zeile zur dritten addiert. [Hinweis: Die gesuchte Matrix ist das Produkt von drei Elementarmatrizen. Anwendungsreihenfolge beachten: Die zuerst anzuwen-dende Elementarmatrix steht direkt links von A.]
106
010
001
100
014-
001
001
010
100
=
601
4-10
100
11.4 Inversion von Matrizen Mit Hilfe von Elementaroperationen kann man bestimmte lineare Glei-chungssysteme auf die reduzierte Normalform (10.9) bringen. Durch Multiplikation der entsprechenden Koeffizientenmatrix A mit Elementar-matrizen Ei kann man A auf die analoge Form (11.4) bringen. Da dies aber nur für quadratische Matrizen gelingen kann, wollen wir in diesem Abschnitt nur noch quadratische Matrizen betrachten.
11.4 Inversion von Matrizen Mit Hilfe von Elementaroperationen kann man bestimmte lineare Glei-chungssysteme auf die reduzierte Normalform (10.9) bringen. Durch Multiplikation der entsprechenden Koeffizientenmatrix A mit Elementar-matrizen Ei kann man A auf die analoge Form (11.4) bringen. Da dies aber nur für quadratische Matrizen gelingen kann, wollen wir in diesem Abschnitt nur noch quadratische Matrizen betrachten.
I =
1...00
............
0...10
0...01
= (ij) (11.4)
Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und bezeichnet B mit A-1.
Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und bezeichnet B mit A-1. Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, muss man im Allgemeinen zwischen dem Linksinversen und dem Rechtsinversen unterscheiden. Für eine quadratische Matrix sind die beiden Inversen jedoch identisch. Sei L das Linksinverse zu A, d.h. L A = I und R das Rechtsinverse A R = I.
Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und bezeichnet B mit A-1. Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, muss man im Allgemeinen zwischen dem Linksinversen und dem Rechtsinversen unterscheiden. Für eine quadratische Matrix sind die beiden Inversen jedoch identisch. Sei L das Linksinverse zu A, d.h. L A = I und R das Rechtsinverse A R = I.
Eine Matrix heißt umkehrbar, wenn ein Linksinverses L und ein Rechts-inverses R existieren. In diesem Falle gilt L = R, denn R = I R = (L A) R = L (A R) = L I = L.
Berechnung der Inversen A-1 von A.
(En (...(E3 (E2 (E1 A))))) = I
(En ... E3 E2 E1) A = I
(En ... E3 E2 E1 I) A = I
= A-1 A
Werden also die Elementarmatrizen in derselben Reihen-folge auf die Einheitsmatrix angewandt, so entsteht daraus die zu A inverse Matrix
A-1 = En ... E3 E2 E1 I
A =
1-56
1-34
021
I =
100
010
001
1-7-0
1-5-0
021
106-
014-
001
1-7-0
1/510
021
106-
01/5-4/5
001
2/500
1/510
021
17/5-2/5-
01/5-4/5
001
A =
1-56
1-34
021
I =
100
010
001
1-7-0
1-5-0
021
106-
014-
001
1-7-0
1/510
021
106-
01/5-4/5
001
2/500
1/510
021
17/5-2/5-
01/5-4/5
001
A =
1-56
1-34
021
I =
100
010
001
1-7-0
1-5-0
021
106-
014-
001
1-7-0
1/510
021
106-
01/5-4/5
001
2/500
1/510
021
17/5-2/5-
01/5-4/5
001
A =
1-56
1-34
021
I =
100
010
001
1-7-0
1-5-0
021
106-
014-
001
1-7-0
1/510
021
106-
01/5-4/5
001
2/500
1/510
021
17/5-2/5-
01/5-4/5
001
2/500
1/510
021
17/5-2/5-
01/5-4/5
001
100
1/510
021
5/27/2-1-
01/5-4/5
001
100
010
021
5/27/2-1-
1/2-1/21
001
Ergebnis:
I =
100
010
001
A-1 =
5/27/2-1-
1/2-1/21
11-1-
Probe: A A-1 = I = A-1 A.
2/500
1/510
021
17/5-2/5-
01/5-4/5
001
100
1/510
021
5/27/2-1-
01/5-4/5
001
100
010
021
5/27/2-1-
1/2-1/21
001
Ergebnis:
I =
100
010
001
A-1 =
5/27/2-1-
1/2-1/21
11-1-
Probe: A A-1 = I = A-1 A.
2/500
1/510
021
17/5-2/5-
01/5-4/5
001
100
1/510
021
5/27/2-1-
01/5-4/5
001
100
010
021
5/27/2-1-
1/2-1/21
001
Ergebnis:
I =
100
010
001
A-1 =
5/27/2-1-
1/2-1/21
11-1-
Probe: A A-1 = I = A-1 A.
2/500
1/510
021
17/5-2/5-
01/5-4/5
001
100
1/510
021
5/27/2-1-
01/5-4/5
001
100
010
021
5/27/2-1-
1/2-1/21
001
Ergebnis:
I =
100
010
001
A-1 =
5/27/2-1-
1/2-1/21
11-1-
Probe: A A-1 = I = A-1 A
1-56
1-34
021
11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B , (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbe-kannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B . (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inver-sen Matrix gelöst werden kann.
11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B , (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbe-kannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B . (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inver-sen Matrix gelöst werden kann.
11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B , (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbe-kannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B . (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inver-sen Matrix gelöst werden kann.
11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B , (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbe-kannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B . (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inver-sen Matrix gelöst werden kann.
11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B , (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbe-kannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B . (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inver-sen Matrix gelöst werden kann.
Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
3
2
1
x
x
x
=
5/27/2-1-
1/2-1/21
11-1-
3
2
1
=
1/2-
1/2
0
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
3
2
1
zu B' =
0
0
1
kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
1-
1
1-
. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
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d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
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kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
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. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
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d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
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kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
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. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
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Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
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d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
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zu B' =
0
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kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
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. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
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Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
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d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
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zu B' =
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kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
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. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
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Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
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d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
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zu B' =
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kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
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. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
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1
x
x
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=
3
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1
Bemerkungen: Ein Gleichungssystem heißt homogen, wenn B = 0. Die Lösung X = 0 des homogenen Systems heißt triviale Lösung. Eine Matrix mit maximalem Rang r = n heißt regulär, eine Matrix mit Rang r < n heißt irregulär (oder singulär). Eine Matrix A heißt symmetrisch, wenn AT = A.
Bemerkungen: Ein Gleichungssystem heißt homogen, wenn B = 0. Die Lösung X = 0 des homogenen Systems heißt triviale Lösung. Eine Matrix mit maximalem Rang r = n heißt regulär, eine Matrix mit Rang r < n heißt irregulär (oder singulär). Eine Matrix A heißt symmetrisch, wenn AT = A.
Bemerkungen: Ein Gleichungssystem heißt homogen, wenn B = 0. Die Lösung X = 0 des homogenen Systems heißt triviale Lösung. Eine Matrix mit maximalem Rang r = n heißt regulär, eine Matrix mit Rang r < n heißt irregulär (oder singulär). Eine Matrix A heißt symmetrisch, wenn AT = A.
11.5 Invertieren Sie die Matrix
42
13.
11.6 Versuchen Sie, die Matrix
26
13 zu invertieren.
11.7 Stellen Sie die Ergebnisse von Übung 5.1 durch Matrizen dar.
III IX XI X // \\
11.5 Invertieren Sie die Matrix
42
13.
11.6 Versuchen Sie, die Matrix
26
13 zu invertieren.
11.7 Stellen Sie die Ergebnisse von Übung 5.1 durch Matrizen dar.
III IX XI X // \\
11.5 Invertieren Sie die Matrix
42
13.
11.6 Versuchen Sie, die Matrix
26
13 zu invertieren.
11.7 Stellen Sie die Ergebnisse von Übung 5.1 durch Matrizen dar.
III IX XI X // \\
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