Angewandte Mathematik und Programmierung - TH Kölnafomusoe/SS2013/Fourierreihen_07.pdf · Inhalt Fourier Reihen Sehen wir in 2 Wochen Lösung der lin. Dgln. M. konst. Koeffizienten

Angewandte Mathematik und Programmierung

Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu mathematischen Rechnens

SS2013

F Ek llFomuso Ekellem

Inhalt

Fourier Reihen

Sehen wir in 2 Wochen Lösung der lin. Dgln. M. konst. Koeffizienten auch mit Laplacetransformationg g p Numerische Lösungsverfahren für Dgln. 1. Ordnungen(z.B Runge-Kutta)

Angewandte Mathematik und Programmierung2

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Fourier Reihen

Definition:Die Fourieranalysis beschäftigt sich mit dem Problem Funktionen in Kosinus und Sinus zu

entwickeln. Diese Darstellung sind in der Mathematik sowie in der Physik und Elektronik von großer Bedeutung und finden in vielen Bereichen Anwendung.

In Folgenden setzen wir voraus, dass f(x) Riemen-intergrierbar ist, auf jedem beschränkte Intervall. Wir wollen nun wissen, welche Funktionen eine Reihendarstellung der Form

b ibesitzen.

Dazu schauen wir uns zunächst einige grundlegende Eigenschaften

Programmierung und Angewandte Mathematik3

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Fourier Reihen

Steckbrief der Funktion x sin x Steckbrief der Funktion x cos x Gerade/ungerade Funktionen(Symmetrie und Antisymmetrie) Stetigkeit von Funktioneng Darstellung einer periodischen Funktion Fourierreihe Berechnung der Koeffizienten ai und big Beispiele


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Steckbrief der Funktion x → sin x

Definitionsbereich: R Wertebereich: das Invervall −1 ≤ x ≤ 1 Monotonie: im Bereich −π/2 ≤ x ≤ π/2 streng monoton

wachsend; im Bereich π/2 ≤ x ≤ 3π/2 streng monoton fallend; Monotonie-Bereiche wiederholen sich periodisch

Periodizität: kleinste Periode = 2π Positivität: im Bereich 0 < x < π positiv; im Bereich

π < x < 2π negativ; Bereiche wiederholen sich periodisch N ll ll b i j d hli Vi lf h Nullstellen: bei jedem ganzzahligen Vielfachen von π Nullstelle erster Ordnung

Asymptoten: keine U dli hk it t ll k i Unendlichkeitsstellen: keine


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Steckbrief der Funktion x → cos xSteckbrief der Funktion x → cos x

Definitionsbereich: R Wertebereich: das Invervall −1 ≤ x ≤ 1 Monotonie: im Bereich 0 ≤ x ≤ π streng monoton fallend; im

Bereich π ≤ x ≤ 2π streng monoton wachsend; Monotonie-Bereiche wiederholen sich periodisch

Periodizität: kleinste Periode = 2π Positivität: im Bereich −π/2 < x < π/2 positiv; im Bereich

π/2 < x < 3π/2 negativ; Bereiche wiederholen sich periodisch periodisch

Nullstellen: bei jedem (n + 1/2)π mit ganzzahligem nNullstelle erster Ordnung

Asymptoten: keine Asymptoten: keine Unendlichkeitsstellen: keine


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Gerade/ungerade Funktionen


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Gerade/ungerade Funktionen

Symmetrie und Antisymmetrie : Wir nennen eine Funktion f : R → R gerade(manchmal auch symmetrisch), wenn für alle x ∈ R f

(−x) = f (x) gilt. Der Graph einer symmetrischen Funktion ist symmetrisch bezüglich der y-Achse (d.h. er geht unter einer Spiegelung an der y-Achse in sich selbst über).

Weiteres nennen wir eine Funktion f : R → R ungerade(manchmal auch antisymmetrisch), wenn für alle x ∈ R f (−x) = −f (x) gilt.


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Stetigkeit von Funktionen(Wiederholung)

Eine in einem Intervall A definierte Funktion f : A → R wird als stetig bezeichnet, wenn kleine Änderungen von x innerhalb von A kleine Änderungen von f (x) zur Folge haben.

Der Graph einer stetigen Funktion ist eine zusammenhängende Kurve (die sozusagen mit dem Bleistift nachgezogen werden kann, ohne ihn abzusetzen).

Der Begriff der Stetigkeit macht nur für Intervalle, in denen eine Funktion definiert ist, Si Sinn.

Eine unstetige Funktion ist dadurch charakterisiert, dass die Forderung nach einem zusammenhängenden Graphen im Definitionsbereich nicht erfüllt ist, dass also beispielsweise eine Sprungstelle existiert (an der die Funktion definiert ist an der der Graph aber eine Sprungstelle existiert (an der die Funktion definiert ist, an der der Graph aber "auseinandergerissen" ist).

Eine Funktion, die voneinander isolierten Stellen unstetig, dazwischen aber stetig ist, heißt stückweise (oder abschnittsweise) stetig. Es gibt aber auch Funktionen, die auf ganz Rdefiniert und an jeder Stelle unstetig sind


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Stetigkeit von Funktionen(Wiederholung)

Beispiel für (un)stetige Funktionen


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Beispiel: Unstetiger Sägezahn


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Darstellung einer periodischen Funktion


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Darstellung einer periodischen FunktionDarstellung einer periodischen Funktion

Dirichlet hat die notwendigen Voraussetzungen für die Existenz einer Fourier-Spektren für jedes Signal.

Jede Funktion, die die Dirichlet-Bedingungen erfüllt:1. Die Anzahl der Unstetigkeiten innerhalb einer Periode ist endlich2. Die Anzahl der Maxima und Minima innerhalb einer Periode ist endlich3. Die Funktion ist in jeder Periode integrierbar (d.h., die Fläche unter dem Betrag der

Funktion ist in jeder Periode endlich)läßt sich als Summe von Kosinus- und Sinusfunktionen darstellen.


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Darstellung einer periodischen Funktion

Beispiele


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periodischen Funktion Fourierreihe

Die Fourier-Reihe in spektraler Darstellung Jede 2π-periodische Funktion, die die Dirichlet-Bedingungen erfüllt, läßt sich als Summe von

Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen Fourier-Reihe.

Eine Funktion f(x) ist 2π-periodisch wenn sich für alle x-Werte des Definitionsbereichs die Funktionswerte nach einer Verschiebung um 2π nicht ändern. Für solche Funktionen gilt dann f(x) = f(x + 2π).


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2π-periodische Funktion

cos(0)=1 und sin(0)=0 vereinfacht sich diese Gleichung zu: Fourierreihe

Um für eine konkrete periodische Funktion die Fourrierreihe bilden zu können, müssen die p ,Koezienten ak , bk bestimmt werden, die Fourierkoeffizenten.

Muss nicht immer k sein. Kann auch n oder andere Buchstabeln sein. Also: Fourier-Reihenentwicklungen stellen eine Möglichkeit der Transformation vom Zeit-

in den Frequenzbereich dar. Voraussetzung hierfür ist, dass die zu transformierende Funktion periodisch ist.


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Ist f(x) eine stetige monotone Funktion und im Intervall −π ≤ x ≤ π integrierbar, so kann die Funktion als trigonometrische Reihe in Form einer unendlichen Funktionenreihen geschrieben werden,

und ak und bk die Fourierkoeffizienten lassen sich so berrechnen.


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Beispiele


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Rechteck-Schwingung. Beispiel 1


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Berechnung der Koeffizienten ai und bi

Rechteck-Schwingung

Diese Rechteckschwingung ist eine ungerade Funktion. Allgemein: Für gerade Funktionen sind alle bn = 0, für ungerade Funktionen alle an = 0.

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Rechteck-Schwingung


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Rechteck-Schwingung


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Rechteck-Schwingung


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Rechteck-Schwingung


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Rechteck-Schwingung


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Rechteck-Schwingung


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Rechteck-Schwingung


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Rechteck-Schwingung


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Beispiel 2

Reelle Fourierreihe einer abschnittsweise definierten FunktionGegeben sei die 2π-periodische Funktionf(x) = x² x Є [0..π] und

π= 2π - x x Є [π..2π][ ]

1. Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten der Funktion f(x)


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Reelle Fourierreihe: Beispiel 2


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Reelle Fourierreihe

Die Funktion wird dadurch als Funktionsreihe oder Fourier-Reihe dargestellt. Die Koeffizienten an, an und bn werden Fourierkoeffizienten der Funktion f(x) genannt. Bei

der harmonischen Analyse einer periodischen Funktion werden diese Koeffizienten bestimmt. Je mehr Glieder bei der Fourieranalyse errechnet werden, desto genauer kann die Funktion f(x) durch entsprechende Sinus- und Cosinusfunktionen beschrieben werden. Mit Hilf d F i ih k j d dä ft i di h Si l d h i li Mit Hilfe der Fourierreihen kann jedes ungedämpfte periodische Signal durch eine lineare Überlagerung, d.h. Addition oder Subtraktion, einfacher harmonischer Teilschwingungen (Sinus- und Cosinusfunktionen) beschrieben werden.

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