2. Arbeit und Energiewandinger.userweb.mwn.de/TMD/v2_2.pdf · 2012. 9. 13. · Prof. Dr. Wandinger...

Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-1

2. Arbeit und Energie

● Die Ermittlung der Bewegungsgrößen aus der Bewe-gungsgleichung erfordert die Berechnung von mehr oder weniger komplizierten Integralen.

● Für viele Fälle kann ein Teil der Integrationen ein für alle-mal vorab durchgeführt werden.

● Diese Integrationen führen auf die Begriffe Arbeit und Energie.

2. Arbeit und Energie

2.1 Arbeitssatz

2.2 Potenzielle Energie

2.3 Energieerhaltungssatz

2.4 Massenpunktsysteme

2.5 Leistung und Wirkungsgrad

2.1 Arbeitssatz

2.1.1 Herleitung

2.1.2 Berechnung der Arbeit

2.1.3 Beispiele

2.1.1 Herleitung

● Integration der Bewegungs-gleichung:

– Betrachtet wird ein Massen-punkt, der sich entlang der Bahn C

AB vom Punkt A zum

Punkt B bewegt.

– Dabei wirkt auf ihn die resul-tierende äußere Kraft F(r), die im Allgemeinen vom Ort abhängt.

2.1.1 Herleitung

– In jedem Punkt der Bahn gilt das Newtonsche Grundgesetz:

– Das Skalarprodukt mit dem Wegelement dr lautet

– Die Beschleunigung hat eine Tangentialkomponente at und

eine Normalkomponente an :

– Da das Wegelement dr senkrecht auf der Normalkompo-nente a

n steht, gilt:

m a⋅d r=F⋅d r

a=atan

an⋅d r=0

2.1.1 Herleitung

– Mit der skalaren Bahnbeschleunigung at und dem skalaren

Wegelement ds folgt:

– Wegen

– Damit ist gezeigt:

– Integration ergibt:

m a⋅d r=m at⋅d r=mat ds

at=dvdt

=dvdsdsdt

=dvdsv

m at ds=mvdvdsds=m vdv

m a⋅d r=m vdv=F⋅d r

m∫vA

v dv=∫C AB

F r ⋅d r

2.1.1 Herleitung

● Kinetische Energie:

– Das Integral auf der linken Seite berechnet sich zu

– Die Größe

wird als kinetische Energie des Massenpunktes bezeichnet.

– Damit gilt:

m∫vA

v dv= 12m vB2−vA2

EK=12m v2

m∫vA

v dv=EBK−E A

2.1.1 Herleitung

● Arbeit der äußeren Kräfte:

– Das Integral auf der rechten Seite wird als Arbeit der äuße-ren Kräfte bezeichnet:

– WAB ist die Arbeit, die die äußere Kraft F verrichtet, wenn der

Massenpunkt entlang der Bahn CAB von Punkt A an den

Punkt B verschoben wird.

– Der Wert der Arbeit hängt im Allgemeinen nicht nur vom An-fangs- und Endpunkt, sondern auch von der Bahn ab.

W AB=∫C AB

F r ⋅d r

2.1.1 Herleitung

● Arbeitssatz:

– Die Differenz zwischen der kinetischen Energie EK

Massenpunktes im Punkt B und der kinetischen Energie EK

im Punkt A ist gleich der von den angreifenden Kräften auf dem Weg von Punkt A nach Punkt B verrichteten Arbeit W

E BK−E A

K=W AB

2.1.1 Herleitung

● Einheiten:

– Die Einheit der Arbeit ist

– Die kinetische Energie hat die gleiche Einheit wie die Arbeit.

1Nm=1kg m2

s2=1 J (Joule)

● Kraft konstanter Größe parallel zum Weg:

– Mit und gilt:

● Kraft konstanter Größe schräg zum Weg:

– Mit und gilt:

F=F e t d r=et ds

W AB=∫C AB

F⋅d r=∫sA

F e t⋅e t ds=F sB−sA F

sBφd r=et ds F⋅et=F cos

W AB=∫C AB

F⋅d r=∫sA

F⋅et ds=F cos sB−s A

● Kraft veränderlicher Größe parallel zum Weg:

– Mit undgilt:

– Wird die Kraft F über dem Weg s aufgetragen, so entspricht die Arbeit der Fläche unter der Kurve.

F s=F s et d r=et ds

W AB=∫C AB

F⋅d r=∫sA

F se t⋅e t ds

=∫sA

● Reibungsarbeit:

– Ein Massenpunkt der Masse m bewegt sich auf einer rauen Oberfläche von A nach B.

– Dabei wirkt auf ihn die Reibungskraft

parallel zum Weg.

– Sie verrichtet die Arbeit

R=N=m g

W ABR=−mg sB−sA =−m gL AB

– Die Reibungsarbeit ist proportional zur Länge LAB des zu-

rückgelegten Wegs.

– Sie hängt vom Weg ab, auf dem der Massenpunkt von A nach B gebracht wird.

W AB1R

≠W AB2R

● Federarbeit:

– Ein Massenpunkt, der von einer Feder gehalten wird, be-wegt sich von der Stelle s

A an die Stelle s

– Dabei greift an ihm die Federkraft an.

– Die Federkraft verrichtet die Arbeit

FF s=c s−s0

W ABF=−∫

c s−s0 ds=−12c [ sB−s0 2−sA−s0

● Hubarbeit:

– Ein Massenpunkt der Masse m bewegt sich ent-lang der Bahn C

AB vom

Punkt A an den Punkt B.

– Dabei wirkt auf ihn die Gewichtskraft

G=−mg ez

– Für das Streckenelement gilt:

– Damit berechnet sich die von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit zu

– Die von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit wird als Hubar-beit bezeichnet.

– Sie hängt nur von der Höhendifferenz ab.

d r=exdxe ydyez dz

W ABG=∫C AB

G⋅d r=∫C AB

−mg ez ⋅ex dxe ydyez dz

=−∫z A

mgdz=−mg zB−z A

● Beispiel:

– Die Masse m wird auf der schiefen Ebene reibungs-frei vom Punkt A an den Punkt B verschoben.

– Dabei greifen an ihr die folgenden Kräfte an:

● Gewichtskraft G● Horizontalkraft H● Federkraft

FF=c s s0=0

– Zu berechnen ist die gesamte Arbeit aller Kräfte, die an der Masse angreifen.

– Zahlenwerte:● Masse m = 10kg

● Weg sA = 0,5m

● Weg sB = 2,5m

● Federkonstante c = 30N/m● Horizontalkraft H = 400N● Winkel α = 30°

– Kräfte an der freigeschnittenen Masse:

● Federkraft FF

● Normalkraft N● Gewichtskraft mg● Horizontalkraft H

– Horizontalkraft H :

– Normalkraft N :● Die Normalkraft N steht senkrecht auf der Bahn und verrichtet

daher keine Arbeit.

W ABH=H cos sB−s A =400N⋅cos 30 ° ⋅2m=692,8 J

– Federkraft FF :

– Gewichtskraft G :

– Gesamte Arbeit:

= −mg zB−zA =−mg sin sB−sA

= −10 kg⋅9,81ms2⋅sin 30 °⋅2m=−98,1 J

W AB=W ABHW AB

G=504,7 J

W ABF=−

12c sB2−s A2 =−15N /m 2,52m2

−0,52m2 =−90 J

2.1.3 Beispiele

● Beispiel 1: Bremsendes Fahrzeug

– Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindig-keit v eine geneigte Stra-ße hinunter.

– Der Fahrer tritt heftig auf die Bremse, so dass das Fahrzeug mit blockierten Rädern rutscht.

– Wie weit rutscht das Fahrzeug? α

– Zahlenwerte:● Fahrzeuggewicht G = 17,5kN

● Geschwindigkeit v = 6m/s

● Neigungswinkel α = 10°● Gleitreibungskoeffizient μ = 0,5

2.1.3 Beispiele

– Kräfte am freigeschnittenen Fahr-zeug:

– Von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit:

90°-α

∑ Fn=0 : N−G cos =0

N=G cos

R=N=G cos

W ABG=G cos 90 °−s=G sin s

2.1.3 Beispiele

– Von der Reibungskraft verrichtete Arbeit:

– Kinetische Energien:

– Arbeitssatz:

– Ergebnis:

– Zahlenwert:

W ABR=−R s=−G cos s

E BK−E A

K=W AB

12Ggv2 , E B

−12Ggv2=G sin s−G cos s=G s sin −cos

cos−sin

s= 62m2/ s2

2⋅9,81m / s21

0,5cos 10 ° −sin 10 ° =5,76m

2.1.3 Beispiele

● Beispiel 2: Achterbahn

– Gegeben:● Masse des Wagens m● Radius R● Anfangsgeschwindig-

keit v(s=0) = v0

– Gesucht:● Geschwindigkeit v(s) ● Beschleunigung a(s)

2.1.3 Beispiele

– Wagen freigeschnitten:● Nur die Gewichtskraft mg verrichtet Arbeit.

● Die Normalkraft N steht immer senkrecht auf der Bahn.

● Allgemein gilt:

Führungskräfte verrichtenkeine Arbeit.

– Kreis um A:

φ im Bogenmaß!

2.1.3 Beispiele

– Geometrie:

z =R cos

z s=R cos sR

2.1.3 Beispiele

– Kreis um B:

ψ im Bogenmaß!

z =−R sin

z s=−Rsin sR−

2 =R cos sR

2.1.3 Beispiele

– Von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit:

– Kinetische Energien:

– Arbeitssatz:

W Gs=−mg z s −z 0 =−mgR cos sR −1

12m v0

2 , EK s=12m v2

EK s−E0K=W G

12m v2 s−v0

2 =−mgR cos sR −1 v s =v0

22 gR 1−cos sR

2.1.3 Beispiele

– Beschleunigung:● Bahnbeschleunigung:

● Bei einer Kreisbewegung gilt für die Normalbeschleunigung:

at s=vdvds

=12dv2

ds=gsin sR

an s=v2

R2 g 1−cos sR

● Gewichtskraft:

– Die Arbeit der Gewichts-kraft ist unabhängig von der Bahnkurve. Sie hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahn ab:

W ABG=−G zB−z A

● Federkraft:

– Die Arbeit, die die Federkraft verrichtet, hängt nur von der Dehnung oder Stauchung der Feder ab, unabhängig davon, wie die Kraft aufgebracht wurde.

– Für s0 = 0 gilt:

W ABF=−

12c sB2−s A2

● Reibungskraft:

– Die Arbeit, die die Reibungs-kraft verrichtet, hängt von der Bahnkurve ab:

∫C 1

R⋅d r=−G L1

R⋅d r=−G L2A

● Konservative Kräfte:

– Eine Kraft heißt konservativ, wenn die Arbeit, die sie an ei-nem Massenpunkt verrichtet, nur vom Anfangs- und End-punkt der Bahn abhängt, die der Massenpunkt beschreibt, aber unabhängig von der Bahnkurve ist.

– Die Gewichtskraft und die Federkraft sind konservative Kräfte.

W AB=∫C1

F⋅d r=∫C 2

F⋅d r

● Dissipative Kräfte:

– Eine Kraft heißt dissipativ, wenn die Arbeit, die sie an einem Massenpunkt verrichtet, nicht nur vom Anfangs- und End-punkt der Bahn abhängt, die der Massenpunkt beschreibt, sondern auch von der Bahnkurve.

– Reibungskräfte sind dissipative Kräfte.

∫C 1

F⋅d r≠∫C2

F⋅d r

● Potenzielle Energie:

– Die potenzielle Energie einer konservativen Kraft im Punkt A ist die Arbeit, die die konservative Kraft an dem Massen-punkt verrichtet, wenn er vom Punkt A in den Bezugspunkt R verschoben wird.

– Die potenzielle Energie hängt vom gewählten Bezugspunkt ab.

C2E P A ,R =∫

F⋅d r=∫C2

F⋅d r=W AR

– Wird der Massenpunkt vom Ort A an den Ort B verschoben, so lässt sich die von einer konservativen Kraft verrichtete Arbeit W

AB aus der Differenz der potenziellen Energien be-

rechnen:

W AB=∫C AB

F⋅d r=∫C AR

F⋅d r∫C RB

F⋅d r

=E P A ,R−E P B , R=∫C AR'

F⋅d r∫C R ' B

F⋅d r

=E P A ,R ' −E P B , R ' =E A

P−E B

● Potenzielle Energie der Gewichtskraft:

– Für die potenzielle Energie der Gewichtskraft gilt:

– Die potenzielle Energie der Gewichtskraft hängt nur von der Höhe des Massenpunktes ab. Sie wird daher auch als po-tenzielle Energie der Lage oder Lageenergie bezeichnet.

– Die Lageenergie ist negativ, wenn sich der Massenpunkt unterhalb des Bezugspunktes befindet.

– Wird als Bezugspunkt der Koordinatenursprung gewählt, so gilt:

EG A ,R=W ARG=−m g zR−z A =mg z A−zR

EG A ,O=mg z A

– Alle Körper gleicher Masse, die sich in der gleichen Höhe befinden, haben die gleiche Lageenergie.

– Daher sind alle Bezugspunkte, die auf der gleichen Höhe liegen, gleichwertig. Sie definieren ein Nullniveau.

– In der Nähe der Erdoberfläche sind die Nullniveaus Ebenen parallel zur Erdoberfläche.

● Potenzielle Energie der Federkraft:

– Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Federkraft wird der Zustand der entspannten Feder gewählt.

– Dann gilt für die potenzielle Energie der Federkraft:

– Die potenzielle Energie derFederkraft ist immer positiv.

– Sie wird als Federenergiebezeichnet.

E F s=12c s2

● Arbeitssatz:

– Der Arbeitssatz lautet:

– Die Arbeit WAB setzt sich zusammen

● aus der Arbeit der konservativen Kräfte, und● der Arbeit der dissipativen Kräfte.

– Einsetzen in den Arbeitssatz ergibt:

E BK−E A

K=W AB

W ABK =E A

P−E BP

E BK−E A

P−E B

E BKE BP −E AKE A

P =W ABD

– Die Änderung der Summe aus kinetischer und potenzieller Energie eines Massenpunktes ist gleich der Arbeit der an ihm angreifenden dissipativen Kräfte.

– Die Arbeit der dissipativen Kräfte ist immer negativ.

● Energieerhaltungssatz:

– Wenn an einem Massenpunkt nur konservative Kräfte an-greifen, dann bleibt die Summe der kinetischen und der po-tenziellen Energie konstant:

E BKE B

● Beispiel 1: Bremsendes Fahrzeug

– Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit v eine geneigte Straße hinunter.

– Der Fahrer tritt heftig auf die Bremse, so dass das Fahr-zeug mit blockierten Rädern rutscht.

– Wie weit rutscht das Fahrzeug?

– Reibungsarbeit:● Reibungskraft:

● Reibungsarbeit:

– Bezugspunkt für die Lageenergie:● Ort bei Bremsbeginn

∑ Fn=0 : N−G cos =0

N=G cos

R=N=G cos

W ABR=−R s=−G cos s

– Punkt A: Bremsbeginn● Kinetische Energie:

● Lageenergie:

– Arbeitssatz:

12Ggv2

E AG=0

EBG=−G s sin

– Punkt B: Bremsende● Kinetische Energie:

● Lageenergie:

E BKE BG −E AKE AG =W AB

−G s sin −12Ggv2=−G s cos

cos −sin s cos −sin =

● Beispiel 2: Achterbahn

– Gegeben:● Masse des Wagens m● Radius R● Anfangsgeschwindig-

keit v(s=0) = v0

– Gesucht:● Geschwindigkeit v(s)

– Nur die Gewichtskraft verrichtet Arbeit.

– Da die Gewichtskraft eine konservative Kraft ist, gilt der Energieerhaltungssatz.

– Als Bezugspunkt für die Lageenergie wird Punkt A gewählt.

– Stelle s = 0:● Kinetische Energie:

● Lageenergie:

E0G=mgR

– Beliebige Stelle s:● Kinetische Energie:

● Lageenergie:

– Energieerhaltungssatz:

EK s=12mv2

EG s=m gz s=mgR cos sR EK sEG s=E 0

12mv2 sm gR cos sR =

v s=v022 g R 1−cos sR

● Arbeitssatz für einen Massenpunkt:

– Für jeden einzelnen Massenpunkt mit Index i gilt der Ar-beitssatz

– Für die kinetische Energie des Massenpunktes gilt:

– WABi ist die von den am Massenpunkt angreifenden äußeren

und inneren Kräften verrichtete Arbeit:

E BiK−E Ai

K =W ABi

E AiK=

12mi v Ai

2 , E BiK=

12m i vBi

W ABi=W ABiX W ABi

– Für die Arbeit der äußeren Kräfte gilt:

– Für die Arbeit der inneren Kräfte gilt:

– Die Summe erstreckt sich über alle inneren Kräfte Fij, die

am Massenpunkt mit Index i angreifen.

W ABi I

=∫C i∑j F ij ⋅d r

W ABIX

=∫C i

F i⋅d r

● Arbeitssatz für das Massenpunktsystem:

– Summation über die einzelnen Massenpunkte ergibt:

– Kinetische Energie des Massenpunktsystems:

– Arbeit der äußeren Kräfte:

– Arbeit der inneren Kräfte:

E BiK−E AiK =∑

iW ABi

EK=∑iE iK=∑

12mi v i

W ABX =∑

iW ABi

W AB I =∑

iW ABi

I =∑

i∫C i∑j F ij ⋅d r

– Damit lautet der Arbeitssatz für das Massenpunktsystem:

– Der Weg Ci , den der Massenpunkt i beschreibt, stimmt im

Allgemeinen nicht mit dem Weg Cj überein, den der Mas-

senpunkt j beschreibt.

– Daher ist trotz Fij + F

ji = 0 die von den inneren Kräften ver-

richtete Arbeit im Allgemeinen nicht null.

E BK−E A

K=W ABX W AB

● Starre Bindung:

– Liegt zwischen zwei Massen-punkten eine starre Bindung vor, so beschreiben sie bei ei-ner Translation den gleichen Weg.

– Für die Arbeit der inneren Kräf-te folgt daraus:

W AB I =∫

CF12F21 ⋅d r=0

– Bei einer Rotation steht das Wegele-ment dr senkrecht auf der Verbin-dungslinie der beiden Massenpunkte.

– Wegen

gilt also ebenfalls:

– Ergebnis: m1

F12⋅d r1=0, F 21⋅d r2=0

W AB I =0

Bei einem Massenpunktsystem mit starren Bindungenverrichten die inneren Kräfte keine Arbeit.

– Für Systeme mit starren Bindungen vereinfacht sich der Ar-beitssatz zu

– Wenn die äußeren Kräfte konservativ sind, dann kann die von ihnen verrichtete Arbeit aus der Differenz der potenziel-len Energien berechnet werden:

– Dann lautet der Arbeitssatz:

E BK−E A

K=W ABX

W ABX =E A

P−E B

iE AiP −E B iP

E BKE B

– Dabei kann für jeden Massenpunkt ein eigenes Nullniveau gewählt werden.

● Beispiel: Flaschenzug

– Aufgabenstellung:

● Die beiden Massen m1 und m

2 sind

durch ein masseloses dehnstarres Seil verbunden, das über masselo-se Rollen läuft.

● Wie groß sind die Beschleunigun-gen, wenn das System aus der Ruhe losgelassen wird?

– Wahl der Freiheitsgrade:

● Die Lagekoordinaten s1 und s

beiden Massen werden ab der Aus-gangslage nach unten gemessen.

– Kinematische Bindung:●

– Innere Kräfte:● Da eine starre Bindung vorliegt, ver-

richten die inneren Kräfte keine Ar-beit.

2 s1s2=0 s2=−2 s1

– Äußere Kräfte:● Als äußere Kraft wirkt die Gewichtskraft. Sie ist eine konser-

vative Kraft.● Wird das Nullniveau der Lageenergie jeweils in die Ausgangs-

lage der Massen gelegt, dann gilt:

● Dabei kennzeichnet der Index A den Ausgangszustand und der Index B den ausgelenkten Zustand.

EA1G=0, EB1

G=−m1g s1 , E A2

G=0, E B2

G=−m2 g s2

– Kinetische Energie:● Das System ist am Anfang in Ruhe. Also gilt:

● Für die kinetische Energie im ausgelenkten Zustand gilt:

– Arbeitssatz:

● Mit der kinematischen Bindung folgt daraus:

12m1 s1

12m2 s2

12m1 s1

12m2 s2

2−m1g s1−m2g s2=0

12m1 s1

22m2 s1

2−m1g s12m2g s1=0

– Geschwindigkeit:

● Für m1 > 2m

2 muss s

1 positiv sein. Die Masse m

1 bewegt sich

nach unten. Es ist das positive Vorzeichen der Wurzel zu nehmen.

● Für m1 < 2m

2 muss s

1 negativ sein. Die Masse m

1 bewegt sich

nach oben. Es ist das negative Vorzeichen der Wurzel zu nehmen.

v1s1=s1=±2m1−2m2

– Beschleunigungen:

● Die Geschwindigkeit v1 ist als Funktion des Weges s

1 bekannt.

● Daraus berechnet sich die Beschleunigung a1 zu

● Aus der kinematischen Bindung folgt:

12dds v1

2 =m1−2m2

a2=−2a1=−2m1−2m2

● Leistung:

– Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeiteinheit:

– Die Einheit der Leistung ist

– Aus der Definition der Arbeit folgt

P= dWdt

1Js=1N m

s=1W (Watt)

P= dWdt

=F⋅d rdt

P=F⋅v

=PNP A

● Wirkungsgrad:

– Der mechanische Wirkungsgrad η einer Maschine ist defi-niert als das Verhältnis der abgegebenen Nutzleistung P

zur aufgewendeten Leistung PA:

– Wegen der stets auftretenden Verluste ist η < 1.

● Beispiel:

– Ein PKW fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit v von 60km/h auf ebener Straße.

– Die Motorleistung PA beträgt 30kW.

– Der Wirkungsgrad η hat einen Wert von 0,8.

– Wie groß ist die Antriebskraft F?

– Für die Nutzleistung gilt:

– Daraus folgt:

– Zahlenwert:

PN=F v

=F vP A

P Av=F

F= 0,8⋅30⋅103Nm /s60 /3,6m / s

=1,44 kN

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