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Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-1
4. Das Verfahren von Galerkin
4.1 Grundlagen
4.2 Methode der finiten Elemente
4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-2
4.1 Grundlagen
● Das Verfahren von Galerkin ist ein allgemein anwendba-res Verfahren zur numerischen Lösung von Differenzial-gleichungen.
● Ausgangspunkt für die Anwendung des Verfahrens von Galerkin zur Lösung der Gleichungen der linearen Elasti-zitätstheorie ist das Prinzip der virtuellen Arbeit:
∫V
[v ]T
[ ]dV=∑m
[ vme ]T
[Fm ]∫R
[ ve ]T[qe ]dR∫
V
[ ve ]T[ f e ]dV
für alle [ ve ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-3
4.1 Grundlagen
● Die exakte Lösung erfüllt– die Randbedingungen– das Prinzip der virtuellen Arbeit für alle virtuellen Verschie-
bungen , die die Randbedingungen erfüllen.● Numerische Lösung:
– Lösungsansatz:
– Die Funktionen sind vorgegebene Ansatz-funktionen.
– Die Koeffizientenmatrizen sind zunächst unbekannt.
[ue ]
[ ve ]
[ueN x , y ]=∑n
n x , y [cn ]
n x , y
[cn ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-4
4.1 Grundlagen
– Die Ansatzfunktionen müssen die folgenden Bedingungen erfüllen:
● Die Randbedingungen müssen sich erfüllen lassen.● Alle Starrkörperbewegungen müssen dargestellt werden
können.– In Matrix-Schreibweise lautet der Lösungsansatz:
[ueN ]=[1 0 2 0 n 00 1 0 2 0 n
][c1 xc1 y⋮
cnxcny
] [ueN ]=[ ] [c ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-5
4.1 Grundlagen
– Mit dem Lösungsansatz lässt sich das Prinzip der virtuellen Arbeit nicht mehr für alle virtuellen Verschiebungen erfüllen.
– Die Koeffizienten werden so bestimmt, dass das Prinzip der virtuellen Arbeit für alle virtuellen Verschiebungen der Form
für beliebige erfüllt ist.– Dehnungen und Spannungen:
[ ve x , y ]=[ x , y ] [d ]
[d ]
[N x , y]=[∂xy ] [ueN x , y ]=[∂xy ] [ x , y ] [c ]=[B x , y ] [c ]
[v x , y ]=[Bx , y ] [d ]
[Nx , y ]=[C ] [N x , y]=[C ] [Bx , y ] [c ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-6
4.1 Grundlagen
– Einsetzen in das Prinzip der virtuellen Arbeit ergibt:
– Diese Gleichung ist nur dann für beliebige erfüllt, wenn gilt:
[d ]T∫V
[B ]T
[C ] [B ]dV [c ]
=[d ]T
∑m [xm , ym ]T[Fm ]∫
R
[ ]T[qe ]dR∫
V
[ ]T[ f e ]dV
[d ]
∫V
[B ]T
[C ] [B ]dV [c ]=∑m
[m ]T[Fm ]∫
R
[ ]T[qe ]dR
∫V
[ ]T[ f e ]dV mit [m ]=[xm , ym ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-7
4.1 Grundlagen
– Mit der Steifigkeitsmatrix
und den Lastmatrizen
lautet das Gleichungssystem
– In dieses Gleichungssystem müssen noch die Lagerbe-dingungen eingebaut werden.
– Danach können daraus die Koeffizienten ermittelt werden.
[K ]=∫V
[B ]T
[C ] [B ]dV
[F ]=∑m
[m ]T[Fm ] , [q ]=∫
R
[ ]T[qe ]dR , [ f ]=∫
V
[ ]T[ f e ]dV
[K ] [c ]=[F ][q ][ f ]
[c ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-8
4.1 Grundlagen
● Anmerkung:– Die Steifigkeitsmatrix ist symme-
trisch, da● die Materialmatrix symmetrisch ist, und● der gleiche Ansatz für die Lösung und die virtuellen Verschie-
bungen verwendet wird.– Galerkin-Verfahren, die die gleichen Ansatzfunktionen für
die Lösung und die virtuellen Verschiebungen verwenden, werden als Bubnow-Galerkin-Verfahren bezeichnet.
[K ]=∫V
[B ]T
[C ] [B ]dV
[C ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-9
4.2 Methode der finiten Elemente
● Die Methode der finiten Elemente ist ein Bubnow-Galer-kin-Verfahren, bei dem als Ansatzfunktionen Inter-polationsfunktionen gewählt werden.
● Die Interpolationsfunktionen werden aus lokal definierten Interpolationsfunktionen zusammengesetzt.
● Dadurch lässt sich die Definition der Ansatzfunktionen leicht formalisieren.
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-10
4.2 Methode der finiten Elemente
● Interpolationsfunktionen:– Das vom zu berechnenden Körper eingenommene Raum-
gebiet wird durch die Vereinigung von einfachen elementa-ren Raumgebieten angenähert.
– Bei ebenen Problemen werden dreieckige oder viereckige elementare Gebiete verwendet.
– Die elementaren Raumgebiete werden als finite Elemente bezeichnet.
– Die Schnittpunkte der die finiten Elemente begrenzenden Linien werden als Knoten bezeichnet.
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-12
4.2 Methode der finiten Elemente
– Die Interpolationsfunktion Nk hat am Knoten k den Wert eins
und an allen anderen Knoten den Wert null.
k
x
y
N
1
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-13
4.2 Methode der finiten Elemente
– Die Interpolationsfunktion Nk ist nur in den
Elementen von null ver-schieden, die an den Knoten k angeschlossen sind.
– Sie ist aus den Inter-polationsfunktionen NE der Elemente zu-sammengesetzt.
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-14
4.2 Methode der finiten Elemente
● Lösungsansatz:– Die Verschiebungen in x- und y-Richtung werden zwischen
den zu bestimmenden Verschiebungen an den Knoten in-terpoliert:
[ueN ] = [N 1 0 N 2 0 N n 00 N 1 0 N 2 0 N n
] [u1 xu1 y⋮
unxuny
]
[ueN x , y ] = [N x , y ] [u ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-15
4.2 Methode der finiten Elemente
– Die gesuchten Koeffizienten sind gerade die Verschie-bungen an den Knoten.
● Prinzip der virtuellen Arbeit:– Mit , , ,
und der Verzerrungs-Verschiebungs-Transformationsmatrix
lautet das Prinzip der virtuellen Arbeit:
[ ]=[N ][c ]=[u ] [m ]=[N m ]=[N xm , ym ]
[B ]=[B ]=[∂xy ] [N ]
[v ]T∫V
[B ]T
[C ] [B ]dV [u ]=[ v ]T
∑m [N m ]T[Fm
e ][ v ]T∫R
[N ]T[qe ]dR
[ v ]T∫V
[N ]T[ f e ]dV
[d ]=[ v ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-16
4.2 Methode der finiten Elemente
– Bei der Methode der finiten Elemente wird gefordert, dass Einzelkräfte nur an den Knoten angreifen.
– Wegen und gilt daher:
[F ]=∑m
[N m ]T[Fm
e ]=∑k
[N x k , yk ]T[F k
e ]=[F 1 xF 2 x⋮
F nxF ny
]N k x k , yk =1 N l x k , yk =0 für l≠k
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-17
4.2 Methode der finiten Elemente
● Berechnung der Integrale:– Die Integrale lassen sich als Summe der Integrale über die
finiten Elemente berechnen:
[v ]T∫V
[B ]T
[C ] [B ]dV [u ]=∑E
[ v ]T∫V E
[B ]T
[C ] [B ]dV [u ]
[v ]T∫R
[N ]T[qe ]dR=∑
E
[ v ]T∫R E
[N ]T[qe ]dR
[v ]T∫V
[N ]T[ f e ]dV=∑
E
[ v ]T∫V E
[N ]T[ f e ]dV
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-18
4.2 Methode der finiten Elemente
– Innerhalb eines Elementes gilt:
– Wie beim Fachwerk extrahiert die Matrix die Matrix mit den Verschiebungen an den Elementknoten aus der Matrix mit den Verschiebungen an allen Knoten.
[N x , y ] [u ]=[N E x , y ] [uE ]=[N E
x , y ] [aE ] [u ]
[B x , y ] [u ]=[ x , y ]=[BE x , y ] [uE ]=[BE x , y ] [aE ] [u ]
mit [BE ]=[∂xy ] [NE ]
[N ] [ v ]=[N E ] [aE ] [ v ] , [B ] [ v ]=[BE ] [aE ] [ v ]
[a E ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-19
4.2 Methode der finiten Elemente
– Für die Integrale folgt:
[v ]T∫V
[B ]T
[C ] [B ]dV [u ]=[ v ]T
∑E [a E ]T
∫V E
[BE ]T
[C ] [BE ]dV [aE ] [u ]
[v ]T∫R
[N ]T[qe ]dR=[ v ]
T
∑E [aE ]T
∫R E
[N E ]T[qe ]dR
[v ]T∫V
[N ]T[ f e ]dV= [ v ]
T
∑E [aE ]∫V E
[N E ]T[ f e ]dV
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-20
4.2 Methode der finiten Elemente
– Mit den Element-Steifigkeitsmatrizen
und den Element-Lastmatrizen
gilt für die System-Matrizen:
[K ]=∑E
[aE ]T[kE ] [aE ] , [q ]=∑
E
[aE ]T[qE ] , [ f ]=∑
E
[aE ]T[ f E ]
[k E ]=∫V E
[BE ]T
[C ] [BE ]dV
[qE ]=∫RE
[N E ]T[qe ]dR und [ f E ]=∫
V E
[N E ]T[ f e ]dV
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-21
4.2 Methode der finiten Elemente
● Berechnungsablauf:– Berechnung der Element-Matrizen:– Assemblierung der System-Matrizen– Partitionierung des Gleichungssystems entsprechend der
Randbedingungen:
– Auflösen des Gleichungssystems nach und– Berechnung der Dehnungen und Spannungen in den
Elementen:
[k E ] , [qE ] , [ f E ]
[[K ff ] [K fs ]
[K fs ]T
[K ss ] ][[u f ][0 ] ]=[ [
F f ]
[F s ] ][ [q f ]
[qs ] ][ [f f ]
[ f s ] ][u f ] [F s ]
[E ]=[BE ] [uE ] , [E ]=[C ] [E ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-22
4.2 Methode der finiten Elemente
● Gleichgewicht:– Die Interpolationsfunktionen müssen so gewählt werden,
dass Starrkörperbewegungen exakt abgebildet werden können.
– Dann sind die Gleichgewichtsbedingungen für die frei ge-schnittene Gesamtstruktur sowie für jedes frei geschnittene finite Element erfüllt.
– Das lokale Gleichgewicht am infinitesimalen Element ist in der Regel nicht erfüllt.
– Bei statisch unbestimmten Systemen sind die einzelnen Lagerreaktionen nicht exakt.
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-23
4.2 Methode der finiten Elemente
● Eigenschaften der Näherung:– Durch die Vorgabe der Ansatzfunktionen wird die Bewe-
gungsmöglichkeit der Struktur eingeschränkt. Es sind nur Bewegungen möglich, die durch die Ansatzfunktionen be-schrieben werden können.
– Durch diese Einschränkung der Bewegungsmöglichkeit wird die Struktur versteift.
– Bei der klassischen Methode der finiten Elemente ist das diskrete Finite-Elemente-Modell daher steifer als die tat-sächliche Struktur.
– Verschiebungen sind betragsmäßig kleiner als der exakte Wert.
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-24
4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft
● Aufgabenstellung:
– Der Stab der Länge L ist im Punkt A fest einge-spannt.
– Er wird durch die konstante Volumenkraft f belastet.
x
A B
L
f
uB
– Gesucht:● Verlauf der Verschie-
bung und der Spannung– Daten:
● Länge L = 1m● QuerschnittsflächeA = 25mm2
● ElastizitätsmodulE = 210000N/mm2
● Volumenkraft f = 7,5·10-4N/mm3
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-25
4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft
● Exakte Lösung:– Aus der Festigkeitslehre ist bekannt:
– Zahlenwerte:
u x =f L2
2ExL 2−
xL , uB=
f L2
2 E, x = f L 1−
xL
uB=7,5⋅10−4 N /mm3⋅10002mm2
2⋅2,1⋅105N /mm2=1,78571⋅10−3mm
0= f L=0,75N /mm2
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-26
4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft
● Stabelement:– Verschiebungsansatz:
– Matrix-Darstellung:
– Starrkörperbewegung: Translation in x-Richtung
LE
xE
1 2
u x E =1−x ELE u1
x ELEu2
u x E =[1−x ELE
x ELE ][
u1u2 ]=[N
Ex E ] [u
E ]
u1=u2=u0 u x E =u0
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-27
4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft
– Verzerrungs-Verschiebungs-Transformationsmatrix:
– Steifigkeitsmatrix:
=dudxE
[BE ]=ddxE
[N E ]=1LE
[−1 1 ]
[k E ]=∫V E
[BE ]T
[C ] [BE ]dV=∫0
LE1LE [
−11 ]E
1LE
[−1 1 ] AdxE
=EALE
[ 1 −1−1 1 ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-28
4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft
– Lastmatrix:
[ f E ]=∫V E
[N E ]Tf dV=∫
0
LE
[1−x ELEx ELE
] f Adx E= f A [[x E−
x E2
2LE ]x E=0x E=LE
[x E2
2 LE ]x E=0x E=LE ]
=12f A LE [11]=
12f V E [11]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-29
4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft
● Lösung mit 1 Element:
– Steifigkeitsmatrix:
– Lastmatrix:
[K ]=EAL [ 1 −1
−1 1 ]=5250N /mm [ 1 −1−1 1 ]
1 2
L
[ f ]=12f A L[11]=9,375N [11 ] , [ f f ]=[ f 2 ]=[9,375 ]N
[K ff ]=[K 22 ]=[5250 ] N /mm
LE=L
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-30
4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft
– Verschiebungen:
– Spannung:
● Die Spannung ist konstant. Das lokale Gleichgewicht ist nicht erfüllt:
u1=0, u2=f 2K 22
=9,375N
5250N /mm=1,78571⋅10−3mm
=E =E [BE ] [uE ]=210000N /mm2
1000mm[−1 1 ] [ 0
1,78571⋅10−3]mm=0,375N /mm2
d dx
f= f≠0
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-31
4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft
– Bewertung:● Die Verschiebung für Punkt B ist exakt.● Die berechnete Spannung stimmt mit der Spannung an der
Stelle x = L/2 überein.● Die Verläufe werden nicht korrekt wiedergegeben.
● Lösung mit 4 Elementen:
– Steifigkeitsmatrizen der Elemente:1 2
L
3 4 51 2 3 4
LE=L/4
[k E ]=4EAL [ 1 −1
−1 1 ]=21000N /mm [ 1 −1−1 1 ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-32
4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft
– Lastmatrizen der Elemente:
– Steifigkeitsmatrix der Struktur:
[ f E ]=18f A L[11]=2,34375N [11]
[K ]=21000 N /mm [1 −1 0 0 0−1 2 −1 0 00 −1 2 −1 00 0 −1 2 −10 0 0 −1 1
]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-33
4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft
– Lastmatrix der Struktur:
– Partitionierung:
[ f ]=2,34375N [12221]
[K ff ]=21000N /mm [2 −1 0 0−1 2 −1 00 −1 2 −10 0 −1 1
] , [ f f ]=2,34375N [2221]
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-34
4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft
– Gleichungssystem:
– Verschiebungen:
[2 −1 0 0−1 2 −1 00 −1 2 −10 0 −1 1
][u2u3u4u5]=1,11607⋅10−4mm [
2221]
[u2u3u4u5]=[0,78131,33921,67411,7857
]10−3mm
Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-35
4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft
– Spannungen:● Die Spannung ist in jedem Element konstant:
– Die Abbildungen auf der nächsten Seite zeigen:● Die Verschiebungen an den Knoten stimmen mit den exakten
Verschiebungen überein.● Die Spannungen stimmen mit den exakten Spannungen in
der Mitte der Elemente überein.
1=0,65625N /mm2 ,
2=0,46875N /mm2
3=0,28125N /mm2 ,
4=0,09375N /mm2
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