Friedrich U. Mathiak

Die Methode derfiniten Elemente(FEM)Einführung und Grundlagen

Die Methode derfiniten Elemente(FEM)Einführung und Grundlagen

© Friedrich U. Mathiak

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1. Auflage Neubrandenburg 2002

Fachhochschule Neubrandenburg Prof. Dr.-Ing. Friedrich U. Mathiak

Fachbereich:Bauingenieur- und Vermessungswesen

Postanschrift:

Prof. Dr.-Ing. F.U. MathiakBrodaer Straße 2 Tel.: (0395) 5693-(0)-301D-17033 Neubrandenburg E-Mail: mathiak@fh-nb.de

INHALTSVERZEICHNIS

1 EINLEITUNG 12 ENTSTEHUNGSGESCHICHTE DER FEM 33 ZUGANG ZUR FEM 5

4 EIN EINFACHES BEISPIEL 74.1 Das Elastizitätsgesetz für einen geraden Stab 104.2 Transformation auf globale Koordinaten 124.3 Aufbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix des freien unverbundenen Systems 164.4 Berücksichtigung der geometrischen Kompatibilität 174.5 Kraftgleichgewicht an den Knoten 194.6 Aufbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix des ungebundenen Systems 224.7 Einbau der geometrischen Randbedingungen 274.8 Ermittlung der Stabkräfte 32

5 GRUNDLAGEN DER LINEAREN ELASTIZITÄTSTHEORIE 355.1 Der räumliche Spannungszustand 355.1.1 Die statische Grundgleichung 385.1.2 Der ebene Spannungszustand 405.1.3 Der einachsige Spannungszustand 415.2 Verschiebungen und Verzerrungen 425.2.1 Die Verschiebungen 425.2.2 Der Verzerrungszustand 445.2.2.1 Dehnungen 445.2.2.2 Die Gleitungen 465.2.2.3 Der ebene Verzerrungszustand 505.3 Materialgesetz 515.3.1 Das Elastizitätsgesetz für den räumlichen Spannungszustand 515.3.2 Das Elastizitätsgesetz für den ebenen Spannungszustand 585.3.3 Das Elastizitätsgesetz für den ebenen Verzerrungszustand 595.3.4 Das Elastizitätsgesetz für den Stab 615.3.5 Das Elastizitätsgesetz für den schubstarren Balken 61

6 GRUNDGLEICHUNGEN DER SCHEIBENTHEORIE 656.1 Voraussetzung 656.2 Scheibenschnittlasten 666.3 Transformationsgleichungen 676.3.1 Hauptlängskräfte 696.3.2 Hauptschubkräfte 716.3.3 Grundgleichungen 736.4 Elimination der Spannungen, Verschiebungsfunktion 736.5 Elimination der Verschiebungen, Spannungsfunktion 756.6 Randbedingungen 776.6.1 Verschiebungsrandbedingungen 776.6.1.1 Der Eingespannte Rand x = x0 = konst. 776.6.1.2 Der freie Rand x = x0 = konst. 776.6.2 Kraftrandbedingungen 786.6.2.1 Der Eingespannte Rand x = x0 = konst. 786.6.2.2 Der freie Rand x = x0 = konst. 79

7 GRUNDGLEICHUNGEN DER KLASSISCHEN PLATTENTHEORIE 817.1 Voraussetzungen 817.2 Plattenschnittlasten 817.3 Transformationsgleichungen für die Schnittmomente 837.3.1 Hauptbiegemomente 837.3.2 Hauptdrillmomente 857.4 Gleichgewicht am Plattenelement 877.5 Das Verschiebungsfeld w(x,y) 887.6 Die Plattendifferentialgleichung 907.7 Die Plattengleichung in Zylinderkoordinaten 907.8 Randbedingungen 937.8.1 Der eingespannte Rand x = x0 = konst. 94

INHALTSVERZEICHNIS

7.8.2 Der gelenkig gelagerte Rand x = x0 = konst. 957.8.3 Der freie Rand x = x0 = konst. 957.9 Die Platte auf nachgiebiger Unterlage 987.9.1 Produktlösung in kartesische Koordinaten 99

8 DER ARBEITS- UND ENERGIEBEGRIFF IN DER ELASTOSTATIK 1038.1 Die Arbeit einer Kraft längs eines Verschiebungsweges 1038.2 Die Arbeit eines Kräftepaares mit dem Moment M 1058.3 Das Potential einer Kraft 1078.3.1 Das Potential einer Gewichtskraft 1098.3.2 Das Potential einer Federkraft 1108.4 Formänderungs- und Ergänzungsenergie für elastische Körper 1128.5 Formänderungs- und Ergänzungsenergie für den geraden Balken 1168.5.1 Schiefe Biegung mit Normalkraft 1168.5.2 Querkraftbeanspruchung 1188.5.3 Torsion 1218.6 Die isotherme Formänderungsenergie für die Scheibe 1228.7 Formänderungsenergie für die schubstarre Platte 123

9 DAS PRINZIP DER VIRTUELLEN VERRÜCKUNG 125

10 NÄHERUNGSVERFAHREN 13110.1 Das Verfahren von Ritz 131

11 FINITE ELEMENTE BEI EINDIMENSIONALEN RANDWERTPROBLEMEN 14111.1 Vorgehensweise nach der FE-Methode 143

12 ALLGEMEINE HINWEISE ZUR ANWENDUNG DER FEM 16312.1 Wahl der Elemente und des Näherungsansatzes 16412.1.1 Tragverhalten der Konstruktion 16412.1.2 Geometrie der Elemente 16512.2 Ansatzfunktionen 16812.2.1 Art der Ansatzfunktionen 16812.2.2 Ordnung der Ansatzfunktionen, Konvergenz 16912.2.3 Kombination von Elementen 17212.2.4 Belastungen 17312.3 Wahl des Elementnetzes 17412.3.1 Elementgrenzen 17412.3.2 Anzahl der Elemente 17512.3.3 Verfeinerung des Elementnetzes 17512.3.4 Form des Elementnetzes 17712.3.5 Unendlich ausgedehnte Gebiete 17812.4 Numerierung der Knoten und Elemente 17912.5 Kontrolle der Ergebnisse 181

9-1

9 Finite Elemente bei eindimensiona-len Randwertproblemen

Wir haben im vorigen Kapitel die näherungsweise Lösung eines Randwertproblems mit Hilfedes Ritzschen Verfahrens kennengelernt. Die Herleitung der Methode der finiten Elemente(FEM) kann nun auf einfache Weise erfolgen. Die grundlegende Idee besteht darin, anstelleeines Näherungsansatzes für das Gesamtgebiet Ansätze zu wählen, die sich lediglich auf Teil-bereiche der Struktur beziehen und auch nur dort von Null verschieden sind1. Wir unterstel-

len, daß ein zu minimierendes Funktional Π vorliegt. Zur Erläuterung der weiteren Vorge-hensweise beziehen wir uns auf das Beispiel nach Abb. 9-1.

Abb. 9-1 Dehnstab mit linear veränderlichem Querschnitt A(x)

Zum Vergleich mit der noch bereitzustellenden FE-Lösung, beschaffen wir uns zunächst dieanalytische Lösung des Problems.

Normalkraft: )x(nFN 0 −+= l

Materialgesetz: [ ])x(nF)x(A

1)x(A

NuEE 0xxxx −+==′=ε=σ l

mit ( )ξ+=

−+= A

~1A

xA

AA1AA(x) r

ll

ll l

( ) ll A/AAA~

r −= , lξ=x

1 Richard Courant, amerikan. Mathematiker dt. Herkunft, 1888-1972

9-2

Abb. 9-2 Verschiebung u(x), exakte Lösung

Abb. 9-3 Spannung σxx, exakte Lösung

9-3

DGL:)?A

~1(EA

)1(nF)x(EA

)x(nF)x(u 00

+ξ−+

=−+

=′l

ll

Integration der Differentialgleichung und Anpassung an die Randbedingung u(0) = 0 liefert

1. Verschiebung: ( ) ( )

++

ξ−+

+

−= ?A

~1lnF?A

~1ln

A~1

1n)AA(E

1u 2

0r

lll

2. Dehnung:)?A

~1(EA

)1(nF 0xx +

ξ−+=ε

l

l

3. Spannung:)?A

~1(A

)1(nFE 0

xxxx +ξ−+

=ε=σl

l

Mit den Zahlenwerten aus Abb. 9-1 ergibt die numerische Auswertung:

( )2

xxxx2

xx cm/kN20)(max]cm/kN[910525

cm1843.0)(uumax]cm[9,01ln072,001852,0u

=σ=σ→ξ−ξ−

=σ

==→ξ−−ξ=

l

l

Für den Vergleich mit der noch zu beschaffenden FE-Lösung werten wir die Querschnittsflä-chen, die Verschiebungen und Spannungen an diskreten Stellen aus.

l/x=ξ ]cm[)(A 2ξ u(ξ) [cm] σxx(ξ) [kN/cm2]

0,000 10,000 0,000 2,500,125 8,875 0,011 2,750,250 7,750 0,023 3,070,375 6,625 0,037 3,490,500 5,500 0,052 4,090,625 4,375 0,071 5,000,750 3,250 0,095 6,540,875 2,125 0,128 9,711,000 1,000 0,184 20,00

Tabelle 9-1 Querschnittswerte, Verschiebungen und Spannungen an diskreten Stellen

9.1 Vorgehensweise nach der FE-Methode

Das zuvor analytisch behandelte Beispiel soll nun mit der FE-Methode gelöst werden. Dazugehen wir in Schritten vor.

9-4

1. Schritt Idealisierung des TragwerkesDiese Phase der Problemlösung gestaltet sich genauso wie bei der analytischen Vorgehens-weise. Wir stellen zunächst fest, daß es sich bei der vorliegenden Aufgabe um ein statischesProblem mit konstanten Lasten handelt, das nach den Grundlagen der linearen Elastizitäts-theorie als Stab berechnet werden kann. Die einzige Schnittlast ist die Normalkraft N(x). Wirunterstellen also bei der Modellbildung

§ Konstante Lasten§ Hookesches Materialgesetz§ Kleine Verformungen§ Stabtheorie

2. Schritt Formulierung der VariationsaufgabeDie Formänderungsenergie des Stabes ist

dx)x(u)x(EA21

W0x

2∫=

′=l

Die äußere Arbeit resultiert aus der konstanten Normalkraftschüttung n0 längs der Stabachseund der Einzelkraft F am Stabende

)(Fudx)x(unA0

0a ll

+= ∫

Ausgehend vom elastischen Potential

Extremum)(Fudx)x(undx)x(u)x(EA21

AW)u(0x

00x

2a =−−′=−=Π ∫∫

==

lll

Gl. 9-1

erhalten wir aus dem Prinzip der virtuellen Verrückung (Gleichgewicht) die Extremwertauf-gabe

0)(uFdx)x(undx)x(u)x(u)x(EA)u(0x

00x

=δ−δ−′δ′=Πδ ∫∫==

lll

Gl. 9-2

3. Schritt Diskretisierung des TragwerkesDie vorgegebene Aufgabe wird in dem Sinne diskretisiert, daß das gegebenen Grundgebiet inTeilgebiete, den finiten Elementen zerlegt wird. Bei unserem Einführungsbeispiel (Fachwerk)und der vorliegenden Stabaufgabe ist die Elementierung bereits vorgegeben. In beiden Fällen

9-5

entspricht das finite Element einem Fachwerkstab oder Teilen davon. Ähnlich ist übrigens dieSituation bei Rahmentragwerken. Dort stellen die Balken oder Balkenstücke die finiten Ele-mente dar.

Abb. 9-4 Elementierung eines Dehnstabes, 2 Elemente gleicher Länge

Abb. 9-4 zeigt eine mögliche Elementierung unseres Dehnstabes mit zwei gleichlangen Ele-menten und drei Knoten. Die globalen Knotenkoordinaten werden in der Knotendatei abge-legt (Tabelle 9-2). In der Elementdatei (Tabelle 9-3) werden den Elementen die globalenAnfangs- und Endknoten zugeordnet.

Knotennummer x-Koordinate [cm]

1 0

2 50

3 100

Tabelle 9-2 Knotendatei

Elementnummer Anfangsknoten Endknoten

1 1 2

2 2 3

Tabelle 9-3 Elementdatei

4. Schritt Auswahl des Elementtyps, AnsatzfunktionenWir betrachten in einem ersten Schritt das 2-Knotenelement entsprechend Abb. 9-5. JederKnoten besitzt nur einen kinematischen Freiheitsgrad, nämlich die Verschiebung in xe-Richtung. Wir sprechen deshalb von einem Element mit zwei Freiheitsgraden.

9-6

Abb. 9-5 Dehnstab, 2-Knotenelement

Der Stabanfangsknoten wird mit 1 und der Stabendknoten mit 2 bezeichnet.

Hinweis: Anfangs- und Endknoten des Stabes dürfen nicht mit den globalen Knoten nachAbb. 9-4 verwechselt werden.

Damit besitzt das Element eine Orientierung. Für die Verschiebung u verwenden wir inner-halb des Elementes einen Verschiebungsansatz, der für alle Elemente identisch ist. Damitentfällt das umständliche Suchen nach geeigneten globalen Ansatzfunktionen, wie das beimRitz-Verfahren erforderlich war. Für Elemente, die sich am Rande des Lösungsgebietes be-finden, sind später die vom Problem vorgegebenen Randwerte einzuhalten. An den Element-grenzen müssen die Ansatzfunktionen gewissen Stetigkeitsanforderungen genügen, die vommechanischen Problem abhängen. Beim Dehnstab müssen an den Elementübergängen dieVerschiebungen stetig sein. In der FEM spricht man in diesem Fall von C0-Stetigkeit derVerschiebung u.

Hinweis: C0-Stetigkeit reicht für die Durchbiegung beim Biegebalken nicht aus. Hier mußzusätzlich noch Stetigkeit in der 1. Ableitung von w(x) gefordert werden, die als C1-Stetigkeit bezeichnet wird (Abb. 9-6).

Abb. 9-6 Verletzung der C1-Stetigkeit bei einem Balkenelement

Zur Beschreibung des Verschiebungszustandes innerhalb des Elementes verwenden wir die

lokale Koordinate )e()e(x l=ξ ( )10 ≤ξ≤ . Wir benötigen zur Lösung des Problems die glo-

balen Verschiebungen u(x). Dazu stellen wir zunächst den Verschiebungszustand innerhalbeines Elementes auf und sorgen durch entsprechende Wahl der Verschiebungsfunktionen fürStetigkeit an den Elementgrenzen. Zur Darstellung der Verschiebung innerhalb des Elementes

9-7

eignen sich speziell Polynome, da diese leicht aufgebaut und auch leicht zu differenzierensind. Ein Polynom vom Grade n besitzt n + 1 freie Parameter. Es hat die Darstellung

∑=

ξ=ξ+ξ+ξ+=ξn

0i

ii

nn

2210n aaaaa)(P K Gl. 9-3

Da von der Zustandsgröße u(x) unseres Stabproblems lediglich C0-Stetigkeit gefordert wird,genügt es bei einem 2-Knotenelement einen linearen Ansatz für die Verschiebungen zu wäh-len, also

ξ+=ξ 10 aa)(u ( )10 ≤ξ≤ Gl. 9-4

Wir drücken nun die Verschiebungen innerhalb des Elementes durch die Stabendverschie-bungen u1 und u2 aus. Das erreichen wir, indem wir die Verschiebungsfunktion Gl. 9-4 an denRändern ξ = 0 und ξ = 1 auswerten.

121102

1001

uuaaau)1(u

uaau)0(u

−=+===ξ====ξ

Einsetzen der Konstanten liefert: ξ−+=ξ )uu(u)(u 121 . Wir sortieren noch etwas um und

erhalten

( ) 221121 u)(Nu)(Nuu1(u ξ+ξ=ξ+ξ−=ξ Gl. 9-5

Damit sind die Verschiebungen innerhalb des Elementes zunächst durch die Stabendverschie-bungen ausgedrückt. Die Funktionen vor den Stabendverschiebungen

ξ=ξξ−=ξ

)(N

1)(N

2

1Gl. 9-6

sind die Lagrangeschen1 Interpolationspolynome, die in der FEM auch Formfunktionengenannt werden (Abb. 9-7). Die Formfunktionen Ni nehmen an den Knoten i gerade den Wert1 und an den übrigen Knoten den Wert 0 an

≠ξ=ξξ

=ξ)ik(für0

für1)(N

k

ii

1 Joseph Louis de Lagrange, frz. Mathematiker und Physiker, 1736-1813

9-8

Abb. 9-7 Formfunktionen, linearer Ansatz

Weiterhin gilt: ∑=

=n

1ii 1N .

Zur Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix gehen wir aus vom Funktional Gl. 9-1.

Extremum)(Fudx)x(undx)x(u)x(EA21

AW)u(0x

00x

2a =−−′=−=Π ∫∫

==

lll

Gl. 9-7

Da sämtliche Energieausdrücke in Gl. 9-7 additiv sind, dürfen wir diese elementweise be-rechnen und letztlich durch Summation zum Gesamtpotential zusammenführen. Für die For-mänderungsenergie gilt dann

)e(n

1e 0x

)e(2)e()e()e(n

1ee

0x

2 dx)x(u)x(AE21

Wdx)x(u)x(EA21

W)e(

)e(

∑ ∫∑∫= ===

′==′=ll

Gl. 9-8

und für die Arbeit der äußeren Kräfte folgt

)(Fudx)x(un)(Fudx)x(unAn

1e 0x

)e()e(0

0x0a

)e(

)e(

llll

+=+= ∑ ∫∫= ==

Gl. 9-9

Die Variation des Funktionals Gl. 9-7 ist

9-9

0AW a =δ−δ=Πδ Gl. 9-10

mit

∑ ∫∑= ==

′δ′=δ=δn

1e

)e()e(

0x

)e(e

)e(n

1ee dx)x(A)x(uE)x(uWW

)e(

)e(

l

Gl. 9-11

und

)(uFdx)x(unAn

1e 0x

)e()e(0a

)e(

)e(

ll

δ+δ=δ ∑ ∫= =

Gl. 9-12

Abb. 9-8 Lineare Verschiebungsansätze

Wir beschaffen uns jetzt eine Näherungswert für das Potential Π, indem wir für die Verschie-bungen auf Elementebene den linearen Verschiebungsansatz

( ) 221121 u)(Nu)(Nuu1)(u ξ+ξ=ξ+ξ−=ξ Gl. 9-13

wählen. Damit geht das Potential Π(u) über in die Näherung )u(Π . Gl. 9-13 können wir auch

kompakter in Matrizenschreibweise notieren

9-10

[ ] (e)(e)

2

1)e(2

)e(1

2

1

)e(

)e(

)e(

)e(

e uu

)x(N),x(Nuux

,x

1)x(u uN=

=

−=

llGl. 9-14

Über die Elementgrenzen hinweg stellt sich dann ein Verschiebungszustand nach Abb. 9-8ein, der offensichtlich der geforderten C0-Stetigkeit in den Verschiebungen genügt. Die virtu-elle Verrückung ist dann

(e)(e) du uN=δ Gl. 9-15

Wir benötigen noch die Ableitung der Verschiebungsfunktion u , die der Dehnung xxε ent-

spricht. Es gilt

xx2

1

)e()e(2

1

)e(2

)e(1)e(

uu1

,1

uu

dxdN

,dxdN

)x(u ε=

−=

=′

llGl. 9-16

Die Matrix

[ ]

−=

==

)e()e()e(2

)e(1

211

,1

dxdN

,dxdN

B,BlleB Gl. 9-17

enthält die Ableitungen der Ansatzfunktionen. Die Verzerrungen auf Elementebene lassensich dann allgemein wie folgt schreiben

(e)(e)(e) uBe = Gl. 9-18

Einsetzen in Gl. 9-11 liefert

(e)(e)T(e)(e)

0

)e()e((e))e(T(e)T(e)

0

)e()e((e)(e))e((e)(e))e(

)e(

)e(

dx)x(AE

dx)x(AE)u(W

ukuuBBu

uBuB

(e)k

δ=δ=

δ=δ

=

∫

∫

44444 344444 21

l

l

Gl. 9-19

Bezeichnen A1 und A2 die Querschnittsflächen am Stabanfang (Knoten 1) bzw. Stabende

(Knoten 2) dann gilt: )e(

)e(

121)e( x

)AA(A)x(Al

−+= . Ausmultiplizieren der Matrizen und

anschließende Integration liefert die Elementsteifigkeitsmatrix

9-11

( )

−

−=

−

−+=

−+−−−

−−−−+== ∫∫

1111AE

1111AAE

21

)AA(Ax

)AA(A

AA(Ax

)AA(AEdx)x(AE

e

)e(m

)e(

)e(21

)e(

0121)e(

)e(

121

121)e(

)e(

121

2)e(

)e(

0

)e()e((e))e(T(e)(e)

)e()e(

ll

l

ll

ll

BBk

Gl. 9-20

die nur von der Länge )e(l und der Dehnsteifigkeit )e(m

)e( AE des betrachteten Elementes ab-

hängt. In Gl. 9-20 ist

( )21)e(

m AA21

A += Gl. 9-21

der Mittelwert der Querschnittsflächen am Stabanfang und Stabende. Ist die Querschnittsflä-che A(e) = A1 =A2 innerhalb des Elementes konstant, dann geht Gl. 9-20 über in

−

−=

1111AE

)e(

)e()e((e)

lk Gl. 9-22

Die virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:

1. Arbeit der Linienlast n0 an der virtuellen Verschiebung δu

2. Arbeit der Einzellast F an der virtuelle Verschiebung δu( l )

Wir betrachten zuerst die Arbeit der Linienlast n0 auf Elementebene. Die Arbeit der EinzellastF wird später berücksichtigt. Mit

∑∑ ∫==

δ=δ=δn

1e

)e(a

n

1e 0

)e()e(0a Adx)x(unA

)e(l

Gl. 9-23

ist der auf das Element bezogene Anteil

(e)(e)T

0x

)e(0

(e)T(e)T

0

)e(0

(e)(e)

0

)e()e(0

)e(a

(e)

)e(

e

)e()e(

dxndxndx)x(unA puNuuN

p

δ=δ=δ=δ=δ

=

=∫∫∫

44 344 21

lll

Gl. 9-24

9-12

Die Integration liefert für n = n0 = konst. den Elementlastvektor

== ∫

= 11

2n

dxn)e(

0

0x

)e(0

(e)T

)e(

e

ll

Npe Gl. 9-25

5. Schritt Aufbau des globalen GleichungssystemsDie auf Elementebene berechneten Matrizen werden jetzt zum globalen Gleichungssystemzusammengebaut. Der Zusammenbau muß so erfolgen, daß die Kompatibilität in den Verfor-mungen über die Elementgrenzen hinweg gewährleistet ist. Dazu benötigen wir den Zusam-menhang zwischen den lokalen Elementknotenverschiebungen (u1, u2) und den globalen Sy-stemknotenverschiebungen

=

3

2

1

vvv

v Gl. 9-26

Hierzu führen wir auf Elementebene die Zuordnungsmatrix Ae ein, die sich aus der Element-datei ermitteln läßt. Es gilt dann

vAu (e)(e) = Gl. 9-27

Die Matrix A(e) ist eine Boolesche Matrix, die nur die Informationen 0 oder 1 enthält (s.h.Beispiel Fachwerk). Für das Element 2 erhalten wir zum Beispiel

vAu )2(

3

2

1)2(

2

1)2(

vvv

100010

uu

=

=

= Gl. 9-28

Das Potential des Elementes ist dann

(e)(e)T(e)(e)(e)T

0

)e()e(0

)e(

0

)e(2)e()e()e(

21

dx)x(undx)x(u)x(AE21

)e()e(

puuku −=−′=Π ∫∫ll

Gl. 9-29

Am Gesamtpotential fehlt jetzt noch die Arbeit der äußeren eingeprägten Kraft F an der Ver-schiebung u( l ). Die Kraft F kann nur über den Systemknoten "3" in die Konstruktion einge-leitet werden. Führen wir mit

9-13

=

=

F00

FFF

3

2

1

F Gl. 9-30

den Knotenlastvektor ein, dann ist die Arbeit der eingeprägten Kräfte

vFTF,aA =

Die Gesamtenergie des Stabes ist dann endgültig

[ ]

[ ]

Extremum21

221

221

)u(ˆ

TT

Tn

1e

(e)(e)T(e)(e)(e)TT

n

!e

T(e)(e)T(e)(e)(e)Tn

1e

)e(

=−=

−−=

−−=Π=Π

∑

∑∑

=

==

PvvKv

FvpAvAkAv

vFpuuku

Gl. 9-31

mit der globalen Systemsteifigkeitsmatrix

∑=

=n

1e

(e)(e)(e)T AkAK Gl. 9-32

und dem globalen Knotenlastvektor

FpAP += ∑=

n

1e

(e)(e)T Gl. 9-33

Das Prinzip der virtuellen Verrückung fordert

[ ] 021

21ˆ TTTT =−δ=δ−δ+δ=Πδ PvKvPvvKvvKv Gl. 9-34

In Gl. 9-34 wurde die Symmetrie der Systemsteifigkeitsmatrix berücksichtigt1. Wegen derBeliebigkeit von vδ muß dann

PvK = Gl. 9-35

1 Dann gilt: vKvvKv TT δ=δ

9-14

erfüllt sein.

6. Schritt Aufbau des modifizierten Gleichungssystems, Einbau der Randbedingun-genMit Hilfe der Zuordnungsmatrizen Ae läßt sich nun das Gleichungssystem für das noch nichtgefesselte System aufbauen. Wir beginnen mit der Systemmatrix K

)2()2()T2()1()1()T1()2()1(2

1e

(e)(e)(e)T AkAAkAKKAkAK +=+== ∑=

Gl. 9-36

Zur Ermittlung der Elementsteifigkeitsmatrix k(e) benötigen wir gemäß Gl. 9-21 neben den

Elastizitätsmoduli die Mittelwerte der Elementquerschnittsflächen )e(mA

Element Elastizitätsmodul [kN/cm2] (e)mA [cm2] Elementlänge [cm]

1 3000.0 0.5 (10 + 5.5) = 7.75 50

2 3000.0 0.5 (5.5 + 1.0) = 3.25 50

Tabelle 9-4 Elementgrößen, zwei Elemente gleicher Länge

Damit erhalten wir nach Gl. 9-20 die Elementsteifigkeitsmatrizen

−

−=

−

−=

−

−=

−

−=

1111

1951111AE

1111

4651111AE

)2(

)2(m

)2()2(

)1(

)1(m

)1()1(

llkk

sowie unter Beachtung von Gl. 9-32 die globalen Elementmatrizen

−

−=

−

−

==

00004654650465465

010001

465465465465

001001

)1()1()T1()1( AkAK

−−=

−

−

==

19519501951950

000

100010

195195195195

100100

)2()2()T2()2( AkAK

Der Zusammenbau liefert die globale Systemsteifigkeitsmatrix

9-15

−−−

−=

−−+−

−=+=

1951950195660465

0465465

1951950195195465465

0465465)2()1( KKK

Nun wird die rechte Seite aufgebaut. Es gilt

=

+

+

=++=+= ∑

= 25.2150.225.1

2000

110

25.1011

25.1)2()T2()1()T1(n

1e

(e)(e)T FpApAFpAP

Die Systemgleichung Gl. 9-35 lautet dann

=

−−−

−

25.2150.225.1

vvv

1951950195660465

0465465

3

2

1

Wie man leicht zeigen kann, ist die Systemmatrix K singulär (det K = 0). Das System ist of-fensichtlich kinematisch, denn wir haben noch nicht berücksichtigt, daß der Stab bei x = 0

festgehalten ist. Wegen v1 = 0 und damit auch 0v1 =δ können die 1. Spalte und die 1. Zeile

des Gleichungssystems gestrichen werden. Es verbleibt dann die reduzierte Systemgleichung

=

−

−25,2150,2

vv

195195195660

3

2

mit der Lösung

=

1600,00511,0

vv

3

2 [cm]

Aufgrund des kinematischen Zwangs v1 = 0 reagiert das System am linken Rand mit einerReaktionskraft R (Abb. 9-9). Soll diese Reaktionskraft berechnet werden, dann muß das ki-nematische Modell durch das entsprechende statische Modell ersetzt werden. Die RechteSeite wird um die unbekannte Auflagerkraft R erweitert

+=

25,2150,2

R25,1F Gl. 9-37

9-16

Abb. 9-9 Statisches Modell zur Berechnung der Reaktionskraft R

Die Systemmatrix erscheint dann in folgender Form

+=

−−−

−

25,2150,2

R25,1

vv0

1951950195660465

0465465

3

2 Gl. 9-38

Mit den bereits bekannten Knotenverschiebungen v2 und v3 erhalten wir aus der ersten Glei-chung

R25,1v465 2 +=−

und damitkN0,2525,10511,0465R −=−⋅−=

7. Schritt RückrechnungMit den Knotenverschiebungen liegen dann auch die verbleibenden Zustandsgrößen fest. Dawir einen linearen Verschiebungsansatz gewählt haben, sind die Verzerrungen (und damitauch die Spannungen) innerhalb des Elementes konstant1. Mit Gl. 9-16 gilt

vABuBe (e)(e)(e)(e)(e) == Gl. 9-39

Element 1:

3E022,1500511,0

1600,00511,00

010001

501

,501

vvv

0100011

,1

3

2

1

)1()1()1()1()1(

−==

−=

−==

llvABe

1 In der angelsächsischen Literatur wird deshalb ein solches Element als constant strain element bezeichnet.

9-17

Element 2:

( ) 3E178,20511,016,0501

1600,00511,00

100010

501

,501

vvv

1000101

,1

3

2

1

)2()2()2()2()2(

−=−=

−=

−==

llvABe

Für die Spannungen gilt

(e))e((e) E es = Gl. 9-40

Element 1: 2)1()1()1( cm/kN07,33E022,13E0,3E =−⋅+== es

Element 2: 2)2()2()2( cm/kN53,63E178,23E0,3E =−⋅+== es

Die grafischen Darstellungen der Verschiebungen und Spannungen in Abb. 9-10 und Abb.9-11 zeigen deutlich ein starkes Anwachsen der Zustandsgrößen in der Nähe des rechtenRandes. Das trifft besonders für die Spannungen zu. Die Elementierung des Stabes mit nurzwei Elementen unter Verwendung des Zweiknotenelementes mit linearem Verschiebungsan-satz ist offensichtlich nicht in der Lage, insbesondere die Spannungen befriedigend wiederzu-geben. Die mit der FEM ermittelten Spannungen entsprechen jedoch exakt den theoretischenWerten in Elementmitte. Diese Mittelung im energetischen Sinne ist charakteristisch für dieFE-Methode. Die größte Spannung tritt bei l=x auf. Der relative Fehler beträgt immerhin

%4,6720

53,620

an

FEan =−

=σ

σ−σ=σ∆

ein für die sinnvolle Auslegung des Systems zu hoher Wert.

Mit dem vorgestellten 2-Knoten-Element lassen sich die Ergebnisse durch folgende Modifi-kationen wesentlich verbessern

1. Erhöhung der Elementanzahl bei Beibehaltung der Elementlänge2. Feinere Elementierung im Bereich starker Änderung der Zustandsgrößen

9-18

Abb. 9-10 Verschiebung u, Ergebnis für zwei Elemente gleicher Länge

Abb. 9-11 Spannung σxx, Ergebnis für zwei Elemente gleicher Länge

9-19

Wir erhöhen in einem ersten Schritt die Anzahl der Elemente auf vier. Den vier Elementengleicher Länge sind 5 Systemknoten mit den entsprechenden Freiheitsgraden zugeordnet.

Abb. 9-12 Elementierung eines Dehnstabes, 4 Elemente gleicher Länge

Knotennummer x-Koordinate [cm]

1 0

2 25

3 50

4 75

5 100

Tabelle 9-5 Knotendatei, 4 Elemente gleicher Länge

Elementnummer Anfangsknoten Endknoten

1 1 2

2 2 3

3 3 4

4 4 5

Tabelle 9-6 Elementdatei, 4 Elemente gleicher Länge

Zur Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen benötigen wir wieder die gemittelten Quer-

schnittsflächen )e(mA

9-20

Element Elastizitätsmodul [kN/cm2] (e)mA [cm2] Elementlänge [cm]

1 3000,0 0.5 (10,0 + 7,75) = 8,875 25

2 3000,0 0.5 (7,75 + 5,50) = 6,625 25

3 3000,0 0.5 (5,50 + 3,25) = 4,375 25

4 3000,0 0.5 (3,25 + 1.00) = 2,125 25

Tabelle 9-7 Elementgrößen, 4 Elemente gleicher Länge

Elementlastvektoren

=

⋅=

=

11

625,011

225,05

11

2n e0(e) l

p

Elementsteifigkeitsmatrizen

−

−=

−

−=

−

−=

−

−=

−

−=

−

−=

−

−=

−

−=

255255255255

1111AE

525525525525

1111AE

795795795795

1111AE

0651065106510651

1111AE

)4(

)4()4()4(

)3(

)3()3()3(

)2(

)2()2()2(

)1(

)1()1()1(

ll

ll

kk

kk

Vektor der rechten Seite

=

+

+

+

+

=+= ∑=

625,20250,1250,1250,1625,0

200000

11000

625,0

01100

625,0

00110

625,0

00011

625,04

1e

(e)(e)T FpAP

Systemgleichung

+

=

−−+−

−+−−+−

−

625,20250,1250,1250,1

R625,0

vvvv0

2552550002552555255250005255257957950007957951065106500010651065

5

4

3

2

9-21

Knotenverschiebungen

=

1745,00936,00520,00229,00

v

Reaktionskraft

kN00,25625,002289,01065R =−⋅−=

Verzerrungen

4E160,9250229,0

1745,00936,00520,00229,00

0001000001

251

,251)1()1()1()1()1( −==

−=== vABuBe

3E164,125

0229,0052,0

1745,00936,00520,00229,00

0010000010

251

,251)2()2()2()2()2( −=

−=

−=== vABuBe

3E664,125

052,00936,0

1745,00936,00520,00229,00

0100000100

251

,251)3()3()3()3()3( −=

−=

−=== vABuBe

3E236,325

0936,01745,0

1745,00936,00520,00229,00

1000001000

251

,251)4()4()4()4()4( −=

−=

−=== vABuBe

Spannungen2)1()1()1( cm/kN75,24E160,93E0,3E =−⋅+== es2)2()2()2( cm/kN49,33E164,13E0,3E =−⋅+== es2)3()3()3( cm/kN99,43E664,13E0,3E =−⋅+== es2)4()4()4( cm/kN71,93E236,33E0,3E =−⋅+== es

9-22

Abb. 9-13 Verschiebung u, Ergebnis für vier Elemente gleicher Länge

Abb. 9-14 Spannung σxx, Ergebnis für vier Elemente gleicher Länge

9-23

9.2 Stabelement mit quadratischem Verschiebungsansatz

Wird der Grad des Polynoms für die Verschiebungsfunktion )(u ξ erhöht, so sind weitere

Zwischenknoten erforderlich. Wählen wir z.B. ein Polynom 2. Ordnung, also

2210 aaa)(u ξ+ξ+=ξ Gl. 9-41

dann können wir den zusätzlichen Freiwert einem weiteren Knoten zuordnen, z.B. im Mittel-punkt des Elementes (Abb. 9-15).

Abb. 9-15 Dehnstab, 3-Knoten-Element

Die drei Konstanten a0, a1 und a2 werden aus dem linearen Gleichungssystem

2103

2102

01

aaau)1(u4a2aau)21(u

au)0(u

++==++==

==

zu

3212

3211

10

u2u4u2auu4u3a

ua

+−=−+−=

=

Gl. 9-42

ermittelt. Einsetzen dieser Konstanten in Gl. 9-41 liefert

( ) ( ) ( ) 32

22

12 u2u4u231)(u ξ+ξ−+ξ−ξ+ξ+ξ−=ξ Gl. 9-43

Mit den Formfunktionen

9-24

( )( )12)(N

14)(N231)(N

3

2

21

−ξξ=ξξ−ξ=ξ

ξ+ξ−=ξ

Gl. 9-44

lauten dann die Elementverschiebungen

332211 u)(Nu)(Nu)(N)(u ξ+ξ+ξ=ξ Gl. 9-45

In Abb. 9-16 sind die Formfunktionen für das 3-Knoten-Element dargestellt.

Abb. 9-16 Formfunktionen, quadratischer Ansatz

[ ] (e)(e)

3

2

1

)e(3

)e(2

)e(1

)e(

uuu

)x(N),x(N),x(N)x(u uN=

= Gl. 9-46

Mit diesem Ansatz ist C0-Stetigkeit über die Elementgrenzen hinweg gesichert.

(e)(e)u uN δ=δ Gl. 9-47

Wir benötigen wieder die Ableitung der Verschiebungsfunktion u . Es gilt

[ ] (e)(e)

3

2

1

)e(

3

2

1

)e(3

)e(2

)e(1)e(

uuu

14,84,341

uuu

dxdN

,dxdN

,dxdN

)x(u uB=

−ξξ−−ξ=

=ε=′

lGl. 9-48

9-25

Die Querschnittsfläche des Stabes ist linear veränderlich. Bezeichnen A1 und A3 die Quer-schnittsflächen an den entsprechenden Elementknoten, dann gilt:

( ) [ ] (e)(e)

3

12131)e(

)e(

131)e(

AA

NNAA)1(x

AAA)x(A AN=

=ξ+ξ−=−+=

l

und für die Elementsteifigkeitsmatrix erhalten wir

++−++−++−

++−+== ∫

313131

313131

313131

)e(

)e(

0

)e()e((e))e((e)T(e)

A11A3)A3A(4AA)A3A(4)AA(16)AA3(4

AA)AA3(4A3A11

6E

dx)x(AE)e(

l

l

BBk Gl. 9-49

Unter der Voraussetzung elementweise konstanter Querschnittsfläche A1 = A3 = A0 = konst.folgt aus Gl. 9-49

−−−

−=

7818168187

3AE

)e(0

)e()e(

lk Gl. 9-50

Entsprechend erhalten wir mit n0 = konst. den Elementlastvektor

=ξ

−ξξξ−ξξ+ξ−

== ∫∫=ξ 1

41

6n

d)12()1(4

231ndxn

)e(0

1

0

2

)e(0

)e(

00

(e)T(e)

)e(

ll

l

Np Gl. 9-51

Abb. 9-17 Elementierung eines Dehnstabes, 2 Elemente gleicher Länge (quadratischer Ansatz)

9-26

Zur Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen nach Gl. 9-49 benötigen wir noch die Quer-schnittsflächen an den Elementrändern.

Element E(e) [kN/cm2] (e)1A [cm2] (e)

3A [cm2] (e)l [cm]

1 3000 10 5.50 50

2 3000 5.50 1.00 50

Tabelle 9-8 Elementgrößen

−−−

−=

−−−

−=

275340653401040700

65700635

9051060155106024801420

15514201265)2()1( kk

=

⋅

=

=

417,0667,1417,0

141

65,05

141

6n )e(

0(e) lp

Systemgleichung des gefesselten Systems

+

=

−−−

−+−−−

−

417,20667,1834,0667,1

R417,0

vvvv0

2753406500340104070000657006359051060155001060248014200015514201265

5

4

3

2

Lösung:

1.) Knotenverschiebungen

=

=

18022,009571,005228,002302,0

0

vvvvv

5

4

3

2

1

v [cm]

2.) ReaktionskraftkN2599,24417,005228,015502302,01420R −≈−=−⋅+⋅−=

9-27

3.) Elementverschiebungen

Element 1:

[ ]

]cm[10248,110979,3

18022,009571,005228,002302,0

0

001000001000001

)12(),1(4,231)(u

222

2)1()1()1()1(

ξ⋅+ξ⋅=

−ξξξ−ξξ+ξ−===ξ

−−

vANuN

Element 2:

[ ]

]cm[10216,810577,410228,5

18022,009571,005228,002302,0

0

100000100000100

)12(),1(4,231)(u

2222

2)2()2()2()2(

ξ⋅+ξ⋅+⋅=

−ξξξ−ξξ+ξ−===ξ

−−−

vANuN

4.) Spannungen

vABuB )e()e()e()e()e()e()e()e()e( EEE ==ε=σ

Element 1:

[ ]

]cm/kN[499,1388,2

18022,009571,005228,002302,0

0

001000001000001

14,84,3450

3000E

2

)1()1()1()1(

ξ+=

−ξξ−ξ==σ vAB

Element 2:

[ ]

]cm/kN[859,9746,2

18022,009571,005228,002302,0

0

100000100000100

14,84,3450

3000E

2

)2()2()2()2(

ξ+=

−ξξ−−ξ==σ vAB

9-28

Abb. 9-18 Verschiebung u, Ergebnis für zwei Elemente gleicher Länge (quadratischer Ansatz)

Abb. 9-19 Spannung σxx, Ergebnis für zwei Elemente gleicher Länge (quadratischer Ansatz)

9-29

Abb. 9-20 Verschiebung am Stabende in Abhängigkeit von der Elementanzahl

Abb. 9-21 Spannung am Stabende in Abhängigkeit von der Elementanzahl

9-30

Ein Blick auf das Verschiebungsfeld in Abb. 9-18 zeigt, daß, obwohl nur zwei Elemente ver-wendet wurden, bereits eine sehr gute Übereinstimmung mit den analytischen Werten besteht.Für die Spannungen gilt das nur im ersten Element (Abb. 9-19). Dort ist die Spannungsände-rung jedoch nicht so stark, wie in der zweiten Hälfte. Am Elementübergang tritt ein Span-nungssprung auf. Mit feiner werdender Elementierung lassen sich die Ergebnisse für die Ver-schiebungen und Spannungen noch erheblich verbessern. Abb. 9-20 und Abb. 9-21 zeigen dieEntwicklung Zustandsgrößen bei Verwendung gleicher Elementlängen und zunehmender An-zahl der Elemente. Das Element mit quadratischem Verschiebungsansatz zeigt für beide Zu-standsgrößen die besseren Ergebnisse. Allerdings ist beim Element mit quadratischem Ver-schiebungsansatz infolge des zusätzlichen Mittenknotens, und damit einer zusätzlichen Unbe-kannten je Element, die Rechenzeit größer als beim linearen Element.Den analytischen Lösungen für die Verschiebungen und Spannungen ist zu entnehmen, daßdie Änderung der Zustandsgrößen (ihre Gradienten) mit Annäherung an den rechten Randzunehmen. Es liegt daher nahe, auch die Elementierung zum rechten Rand hin zu verdichten.Wir wählen ein Elementnetz entsprechend Abb. 9-22. Die rechte Stabhälfte wurde nochmalsin 2 Elemente gleicher Länge (25 cm) unterteilt. Die analytische Lösung des linken Bereichszeigt eine nahezu lineare Veränderlichkeit der Zustandsgrößen, hier kann also recht grob ele-mentiert werden.

Abb. 9-22 Elementierung eines Dehnstabes, 3 Elemente ungleicher Länge, quadratischer Ansatz

9-31

Knotennummer x-Koordinate [cm]

1 0

2 25

3 50

4 62,5

5 75

6 87,5

7 100

Tabelle 9-9 Knotendatei, 3 Elemente ungleicher Länge, quadratischer Verschiebungsansatz

Elementnummer Anfangsknoten Mittenknoten Endknoten

1 1 2 3

2 3 4 5

2 5 6 7

Tabelle 9-10 Elementdatei, 3 Elemente ungleicher Länge, quadratischer Verschiebungsansatz

Zur Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen nach Gl. 9-49 benötigen wir wieder dieQuerschnittsflächen an den Elementrändern.

Element E(e) [kN/cm2] (e)

1A [cm2] (e)3A [cm2] (e)l [cm]

1 3000 10 5.50 50

2 3000 5,50 3,25 25

3 3000 3,25 1.00 25

Tabelle 9-11 Elementgrößen

Systemgleichung

+

=

−−

−−

−−

2083,208333,04166,08333,06250,06667,1

R4167,0

vvvvvv0

415.symm500136085860182000122028000017515802310000010602480000015514201265

7

6

5

4

3

2

9-32

Abb. 9-23 Verschiebungen, 3 Elemente ungleicher Länge, quadratischer Ansatz

Abb. 9-24 Spannungen, 3 Elemente ungleicher Länge, quadratischer Ansatz

9-33

Knotenverschiebungen:

[ ]18353,012802,009479,007110,005228,002302,00T =v [cm]

Elementverschiebungen:

Element 1: ξ(0,03979 + 0,01249ξ) [cm]

Element 2: 0,05228 + 0,032763ξ + 0,009738 ξ2 [cm]

Element 3: 0,09478 + 0,044211ξ + 0,044529 ξ2 [cm]

Elementspannungen:

Element 1: 2,3876 + 1,4983ξ [kN/cm2]

Element 2: 3,9316 + 2,3372ξ [kN/cm2]

Element 3: 5,3053 + 10,6870ξ [kN/cm2]

Die errechneten Verschiebungen sind praktisch deckungsgleich mit den analytischen Werten.Bei den Spannungen hat sich im rechten Bereich eine wesentliche Verbesserung im Vergleichzu einer äquidistanten Elementierung mit 3 Elementen ergeben. Der Maximalwert am rechten

Rand ( 2FE cm/kN00,16=σ ) liegt näher an der analytischen Lösung, der relative Fehler be-

trägt aber immer noch etwa 20%. Eine Verbesserung der Spannungsergebnisse kann durchfeinere Elementierung in der rechten Stabhälfte erzielt werden.

9.3 Statische Kondensation

In den vorangegangenen Untersuchungen wurde gezeigt, daß bei Verwendung eines Polyno-mansatzes n-ter Ordnung für die Verschiebungen genau n + 1 Freiwerte anfallen. Bei einemlinearen Verschiebungsansatz waren das genau 2 Freiwerte, die wir den Knotenverschiebun-gen u1 und u2 zuordneten. Bei Verwendung eines Polynoms 2. Ordnung (quadratischer Ver-schiebungsansatz, 3 Freiwerte) wurde zur Abdeckung des dritten Freiwertes ein zusätzlicherKnoten in Elementmitte eingeführt. Da dieser Knotenfreiwert nur mit den äußeren Knoten-werten des Elementes verknüpft ist, wird im folgenden versucht, diesen inneren Knotenfrei-wert bereits auf Elementebene durch die äußeren Knotenwerte zu ersetzen. Dieser Vorgangwird statische Kondensation1 genannt.

1 spätl. >Verdichtung<

9-34

Ausgangspunkt unserer Untersuchungen ist der auf das Element entfallende Anteil des elasti-schen Potentials

(e)(e)T(e)(e)T(e)e 2

1ˆ ruuku −=Π Gl. 9-52

Durch Summation über alle Elemente erhalten wir das vollständige Funktional

Extremum21ˆˆ

n

1e

(e)(e)T(e)(e)(e)Tn

1ee =

−=Π=Π ∑∑

==

ruuku Gl. 9-53

Im Elementlastvektor r(e) sind sämtliche Elementbeiträge zum Lastvektor der rechten Seitezusammengefaßt. Die Variation des elastischen Potentials liefert

( ) 0ˆˆn

1e

(e)(e)(e)(e)Tn

1ee =−δ=Πδ=Πδ ∑∑

==

ruku

Für jedes Element ist also

( ) 0(e)(e)(e)(e)T =−δ ruku Gl. 9-54

sicherzustellen. Es wird nun eine Umsortierung derart vorgenommen, daß im Elementknoten-verschiebungsvektor u(e) sowie im Vektor der rechten Seite r(e) die Knotenwerte wie folgtzusammengefaßt werden1

=

→= )e(

i

)e(a

)e(i

)e(a

)e(ii

)e(ia

)e(ai

)e(aa(e)(e)(e)

rr

uu

kkkk

ruk Gl. 9-55

Damit zerfällt das obige Gleichungssystem in die beiden Matrizengleichungen

)e(i

)e(i

)e(ii

)e(a

)e(ia

)e(a

)e(i

)e(ai

)e(a

)e(aa

rukuk

rukuk

=+

=+Gl. 9-56

Aus der zweiten Gleichung kann )e(iu sofort ermittelt werden

][ )e(a

)e(ia

)e(i

1)e(ii

)e(i ukrku −=

−Gl. 9-57

1 was durch einfache Zeilen- und Spaltentausche immer möglich ist

9-35

Setzen wir dieses Ergebnis in die erste Gleichung ein, dann erhalten wir zunächst

[ ] )e(a

)e(a

)e(ia

)e(i

1)e(ii

)e(ai

)e(a

)e(aa rukrkkuk =−+

−

und zusammengefaßt

0)e(a

)e(i

1)e(ii

)e(ai

)e(a

)e(ia

1)e(ii

)e(ai

)e(aa =−+−

−−rrkku]kkk[k Gl. 9-58

Der Gl. 9-58 entnehmen wir die kondensierten Elementsteifigkeitsmatrix

)e(ia

1)e(ii

)e(ai

)e(aa

(e)ˆ kkkkk−

−= Gl. 9-59

und den kondensierten Elementlastvektor der rechten Seite

)e(i

1)e(ii

)e(ai

)e(a

(e)ˆ rkkrr−

−= Gl. 9-60

Mit diesen Abkürzungen können wir Gl. 9-58 auch kürzer schreiben

0ˆˆ )e()e(a

)e( =− ruk Gl. 9-61

Wir wenden die obigen Gleichungen auf das Stabelement mit quadratischem Verschiebungs-ansatz an.

( )( ) ( ) ( )

( )

++−++−++−

++−+=

313131

313131

313131

e

e(e)

A11A3A3A4AAA3A4AA16AA34

AAAA34A3A11

6El

k

=

3

2

1

(e)

uuu

u ;

=

141

6n e0l

ep

Das Element besitzt neben den beiden Außenknoten einen zusätzlichen Mittenknoten, den wirdurch statische Kondensation auf Elementebene eliminieren wollen. Der herauszukondensie-rende Knoten ist der Mittenknoten 2. Wir haben also in der Steifigkeitsmatrix die 2. und 3.spalte und Zeile zu tauschen. Nach der Umsortierung erhalten wir

9-36

( )( )

( ) ( ) ( )

=

++−+−+−+++−++

=)e(

ii)e(

ia

)e(ai

)e(aa

313131

313131

313131

e

e(e)

AA16A3A4AA34A3A4A11A3AAAA34AAA3A11

6E

kkkk

kl Gl. 9-62

=

= )e(

i

)e(a

2

3

1

(e)

uuu

uu

u ;

=

= )e(

i

)e(ae0

pp

411

6n l(e)p Gl. 9-63

Gl. 9-62 entnehmen wir die Teilmatrizen

++++

=3131

3131

e

e(e)aa A11A3AA

AAA3A11

6El

k (e)Tia

31

31

e

e(e)ai A3A

AA3

3E2

kk =

++

−=l

[ ]31e

e(e)ii AA

3E8

+=l

k [ ])AA(1E8

331

e

e1)e(ii +=

− lk

Gl. 9-64

[ ]13

n2;

11

6n e0(e)

ie0(e)

a

ll=

= rr Gl. 9-65

( )( )

++++−

++−+++

=

−=−

2331

21

2331

21

2331

21

2331

21

e31

e

)e(ia

1)e(ii

)e(ai

)e(aa

(e)

AAA4AAAA4AAAA4AAAA4A

)AA(3E

ˆ

l

kkkkk

Gl. 9-66

kondensierter Elementlastvektor der rechten Seite

+

++

=−=−

31

31

31

e0)e(i

1)e(ii

)e(ai

)e(a

(e)

A2AAA2

)AA(3nˆ l

rkkrr Gl. 9-67

Entsprechend Gl. 9-66 und Gl. 9-67 erhalten wir die Elementgrößen

=

=

=

=

9615384615.538461539.1

ˆ;8461539.1638461539.163-8461539.163-8461539.163ˆ

129032258.1370967742.1

ˆ;9354838.4519354838.451-9354838.451-9354838.451ˆ

)2()2(

)1()1(

rk

rk

Gl. 9-68

Die Systemgleichung des gefesselten Systems kann dann unter Berücksichtigung der Einzel-kraft am Knoten 5 (20kN) leicht aufgebaut werden

9-37

+=

961538.20667494.2

R370968.1

vv0

8461539.1638461539.163-08461539.163-7816377.6159354838.451-

09354838.451-9354838.451

5

3

1.) Knotenverschiebungen

]cm[18022,005228,0

0

vvv

v

5

3

1

=

=

2.) Reaktionskraft

kN25370968.105228,09354838.451R −=−⋅−=

Für den Sonderfall elementweise konstanter Querschnittsfläche A1 = A3 = A0 = konst.erhalten wir

−

−=

1111AEˆ

(e)0

(e)(e)

lk

was Gl. 9-22 entspricht. Die Verschiebung der Elementmittenknoten ergeben sich sofort ausGl. 9-57.

9-38