TECHNISCHE MECHANIK 3(1982)Heft4

Manuskripteingang: 18. 3.1982

Zur iterativen Lösung von Finite-Element-Schemata bei

inkompressiblem nichtlinearem Materialverhalten

H. Gründemann

l. Einleitung

Bei der anaiytischen Beschreibung inkompressibler Vor-

gänge tritt neben der Bewegungsgleichung, in die der

Geschwindigkeitsvektor v und die Mittelspannung

(Druck) p als unabhängige Bestimmungsgrößen einge-

hen, noch die Nebenbedingung divv = O als Einschrän-

kung für das Geschwindigkeitsfeld auf. Aus dieser Ge-

gebenheit resultieren Gleichungssysteme, die zwar noch

symmetrisch, aber nicht mehr definit sind. Nach Diskre-

tisierung mittels der Methode der finiten Elemente ent-

stehen Matrizengleichungssysteme, in denen unter Um-

ständen einige der Hauptminoren aus der Koeffizienten-

matrix verschwinden. Die Auflösung mittels klassischer

direkter Verfahren, z. B. Gauß-Algorithmus, ist deshalb

oftmals mit Komplikationen verbunden [3], [8], [9].

Diese negativen numerischen Auflösungseigenschaften

können sich in Verbindung mit einem Verlust an Appro-

ximationsgenauigkeit bei ungünstiger Wahl der Form-

funktionen weiter verschlechtern. Das Problem der Glei-

ehungsauflösung ist deshalb auch in Verbindung mit der

Verwendung geeigneter Formfunktionen zu sehen.

In diesem Artikel werden iterative Lösungsalgorithmen

vorgeschlagen und deren Konvergenzbedingungen ange-

geben. Neben Formulierungen in Form von Funktional-

gleichungen, die für theoretische Untersuchungen günstig

sind, werden auch unmittelbar rechentechnisch verwert-

bare Ausdrücke für die Iterationsalgorithmen angegeben.

Die Geschwindigkeitsberechnung basiert auf einem qua-

dratischen Ansatz für die Formfunktionen. Demgegen-

über wird der Druck elementweise linear unter Verzicht

auf Kompatibilitätsbedingungen berechnet. Diese Kom-

bination garantiert eine Approximationsordnung O (h2)

und damit die Quasioptimalität des Verfahrens. '

Die Algorithmen werden am Modellfall nichtnewton-

scher Fließvorgänge (strain rate sensitive materials [6])

metallischer Werkstoffe untersucht. Als Spezialfälle sind

das Fließen Newtonscher Flüssigkeiten und inkompres-

sible elastische Verformungsvorgänge enthalten.

2. Problemstellung

Um ein konkretes Problem vor Augen zu haben, betrach-

ten wir quasistationäre Vorgänge aus dem Bereich der

Metallverformung, die sich durch hohe Verzerrungsge-

schwindigkeiten auszeichnen. Als Beschreibungsgrund-

lage hat sich hier eine „Fließformulierung” durchge-

setzt [9], [8]. Zurückgehend auf Untersuchungen von

Perzyna [6] sind unter diesen extremen Deformations-

bedingungen constitutive Beziehungen zwischen dem

Tensor der Deviatorspannungen T und dem Tensor der

Verzerrungsgeschwindigkeiten D relevant. Konkret wird

bei Verzicht auf elastische Verformungsanteile der Zu-

sammenhang [6]

T = 2n(HD)D (1)

angegeben, wobei n eine skalare Funktion der zweiten

Invariante

11,2J = 2spur (D2) mit D = %(gradv+grad VT) (2)

ist, in die als Parameter materialspezifische Kennwerte

eingehen. Ein häufig verwendeter a priori-Ansatz für n ist

1

IID )n)l

Via—111) V57

mit den Materialparametem 0y, 7 und n. Diese Klasse

"(Hol = (“y +(

enthält ideal plastische Werkstoffe ( ä = 0) und den

Bingham-Körper (n = 1).

Für die ablaufenden rein dissipativen Prozesse (es treten

nur bleibende Verformungen auf) ist in guter Überein-

stimmung mit Realvorgängen die Annahme inkompres-

siblen Materialverhaltens gerechtfertigt [9], [3].

Unter diesen Voraussetzungen müssen neben (l) die fol-

genden Bilanzbeziehungen für Impuls und Masse (In-

kompressibilitätsbeziehung) erfüllt sein:

divrT — grad p + pg 0 (3)

divv = 0 (4)

(p — Massedichte, g -— äußere Volumenkräfte, g = p

Der hydrostatische Druck p geht als unabhängige Größe

in (3) ein. Nach Substitution der Beziehungen (1) und

(2) in (3) erhalten wir folgendes nichtlineares System

zur Bestimmung der constitutiv wesentlichen Größen v

und p:

— div(M1113) (gradv + gradvT» + gradP = PE

in n (5)

divv = 0

(Q — Gebiet welches durch den Körper eingenommen

wird).

Als Spezialfälle können in dieses Differentialgleichunge-

system Fließvorgänge Newtonscher Flüssigkeiten (n =

const.) und, indem v durch den Verschiebungsvektor u

ersetzt wird, auch inkompressible elastische Deforma-

tionsprobleme eingeordnet werden. In beiden Fällen ist

das System (5) linear.

29

Bei Metallverformungsvorgängen ohne Wirkenergieein-

fluß treten in der Regel nur Randbedingungen erster Art

auf.

v = cpv auf P (6)

(F — Rand des Gebietes D, «pv — vorgegebene Handge-

schwindigkeit). Zusätzlich muß gewährleistet sein, daß

die in den Körper Q pro Zeiteinheit einfließende Masse

gleich der in der gleichen Zeiteinheit aus SZ herausflie-

Benden Masse ist. Eine hierzu äquivalente analytische

Darstellung lautet

fov-dl‘:0. i (7)

Q

3. Iterative Lösungsmethoden

Die analytischen Untersuchungen und numerische Lös-

barkeit des Randwertproblems (5) bis (7) wird dadurch

erschwert, daß kein Zusammenhang zwischen kinemati-

schen Größen, z. B. dem Geschwindigkeitsvektor v und

dem hydrostatischen Druck besteht.

Zweckmäßig ist eine Erweiterung des Problems im funk-

tionalanalytischen Sinne durch die Formulierung einer

zu (5), (6) äquivalenten Variationsaufgabe (schwache

Formulierung). Zu diesem Zweck führen wir zunächst

folgende Funktionenräume ein:

Xo E — Raum aller auf Q definierten und auf F

in einem verallgemeinerten Sinne verschwindenden

Funktionen, die zusammen mit ihren ersten verallgemei-

nerten Ableitungen über Q quadratisch summierbar sind.

Po E Lg — Raum aller auf Q definierten und quadra-

tisch summierbaren Funktionen ga, die die Bedingung

f cpdfl = 0 erfüllen.

Q

Aus Gründen der einfacheren Darstellung beschränken

wir uns auf homogene Randbedingungen (an = O). Die

Lösung des Systems (5) ist dann im funktionalanalyti—

schen Sinne äquivalent zur Lösung folgender Variations-

aufgabe

Zu bestimmen ist ein Paar v, pE X?) x Po, so daß

gilt

Mo a(v;v,w)+b(w,p)=<g‚w> beiwexf’; (8)

b(v,r) = 0 bel.rEPo (9)

Mit den Funktionalen

a(u;v,w) = Sfln(IID(u))(M'Bv)T'(Bw)dQ

b(w,r) = —:{2rdivwdSl

<‚ > = f deng w Qg

und

30

F i ’3x1

2 3.2 8x2

0 a

2 a—

M : 1 B = *3a ö

0 1 —— —

1 8X2 3x1

i iöX3 ö 1

i i_— aX3 6x2 .—

Die Definitionsgebiete dieser Funktionale werden durch

die Zugehörigkeiten

3*

u‚v,wGXä; rEPO; g€(X0)

bestimmt.

Ist die Funktion n auf dem Intervall [0, °°) stetig und be-

schränkt und existieren Konstanten i.” > O und Cn, so

daß die Bedingungen

n(s)s—n(t)t>2n(s—t)

_ für s>t>0 (10)

In(s)svn(t)t|<Cnls—tl

erfüllt sind, so besitzt das Problem MO eine eindeutig be-

stimmte Lösung v, p 6 X3 x P0 und ist in dem Sinne

regulär, da6 kleinen Änderungen in den Kräften g auch

kleine Änderungen der Lösung v, p entsprechen. Diese

Aussage wird in [2] für lineare Probleme und für den all—

gemeinen Fall in [5] bewiesen. Zur numerischen Lösung

sind folgende Algorithmen geeignet.

3.1. Verallgemeinerter Iterationsalgorithmus nach Ar-

row-Hurwicz

Im Falle eines linearen Problems wird der hier in direkter

Weise auf nichtlineare Probleme verallgemeinerte Itera-

tionsprozeß als Arrow-Hurwicz Algorithmus bezeichnet

[7].

Ausgehend von bekannten Startwerten v0, p0 E 1

X2 x P0 ist eine Folge vmfl, per1 E X3 x Po zu

finden, so daß gilt

MA (vm+l —vm, w)J + va(vm;vm,w)

+ Vb w, m =V< ,w>

( P ) g bel. w e X3

(pm+1 _ipm’Os _„b(vm+1‚r):0 be]. rEP0

wobei

3

'2

l

(11, W), gradu? ' grad wi d Q bel. ui, wi E X0f19

(«ms = 6 q-rdfl bel.q,rEPo

Die Konvergenz der Folge der Iterationslösungen vm, pm

6 Xo x Po gegen die exakte Lösung v, p E Xi x Po des

Problems Mo ist unter den Bedingungen (10) bei beliebi-

gen Startwerten v°, p° gesichert, wenn der Iterationspa-

rameter V in den Schranken

2 c

0 < V < _;

36 Cn + 1

gewählt wird [5].

Formal erhält man beide Iterationsfunktionale, indem

(8) und (9) mit dem Parameter V durchmultipliziert und

auf der linken Seite die Funktionale( ' , ')J und( ' , ')S

addiert werden.

3.2. Numerische Lösung durch Regularisierung

Das Problem M0 ist in folgender Weise regularisierbar:

Zu bestimmen ist ein Paar v6, pé E X?) x P0, so

daß gilt

Mg a(ve;v€,w).+b(w,p)= <g,w> beLweXä

— €(pe, r)s + b (v6, r) = 0 bel. IE Po

(e > O — Regularisierungsparameter).

Durch das regularisierende Glied in der zweiten Funk-

tionalgleichung wird ein Zusammenhang zwischen hy-

drostatischem Druck pe und dem Geschwindigkeitsvek-

tor ve erzwungen, und aus der Nebenbedingung (9) wird

nunmehr eine vollwertige Bestimmungsgleichung. Damit

kann die Lösung des Problems Mg auf der Grundlage

herkömmlicher zweistufiger iterativer Lösungsverfahren

erfolgen {10].

Es kann gezeigt werden [5], daß unter den Bedingungen

(10) bei e —> O die re larisierten Lösungen v6, pe in der

Norm des Raumes X0 x Po gegen die exakte Lösung v, p

des Problems Mo konvergieren.

Problematisch ist die Wahl geeigneter Parameter 6 > O.

Bei der numerischen Lösung treten bei sehr kleinen Wer-

ten für e („klein” in Abhängigkeit von der Rechenarith-

metik) die typischen Erscheinungen numerischer Instabi-

lität auf (stark oszillierende Werte, im Extremfall Zah-

lenüberläufe). Um die Bedeutung optimaler Parameter E

auf die Regularisierung und Stabilität des Problems zu

verringern, ist es vorteilhaft, den Iterationsprozeß, der

ohnehin zur Lösung der nichtlinearen ‘Variationsaufgabe

notwendig ist, mit einer Nachiteration bezüglich der Re-

gularisierung zu verbinden. Dies führt zu folgendem Ite—

rationsprozeß 2

3.3. Regularisierung mit Nachiteration

Ausgehend von bekannten Startwerten v2, pg 6 X3;

x P0 ist die Folge v?” , pg'fl 6 X3 x Po zu fin-

den, so daß gilt

(V'enfl—vgn‚w)J +Va(v'en;v'€“‚w)

MW0

+Vb(w,p’e“”)=v<g,w> bel. wexfi

“P?”-P2“,r)rvb(v£‘”,r)=0 bel.r€Po

Ein ähnliches Iterationsverfahren wird zur Lösung linea-

rer Probleme in [l] mit Erfolg angewendet. In allen

untersuchten Parameterbereichen konnten durch Itera-

tion bessere Ergebnisse erreicht werden als bei einmali-

ger Lösung des regularisierten Problems.

Die Konvergenz des Verfahrens Mgp gegen die exakte

Lösung v, p ist unter den Bedingungen (10) für beliebi-

ges 6 > 0 und bei beliebigen Startwerten v2, pg gesi-

chert, wenn der lterationsparameter V in den Schranken

C

0<11< -fl

180%

eingeschlossen ist

4. Finite Element Diskretisierung

Bei Anwendung der Methode der finiten Elemente wer-

den die numerischen Lösungseigenschaften und der

Approximationsgrad der diskretisierten Gleichungssyste-

me entscheidend durch die verwendeten Formfunktio-

nen für v und p bestimmt.

h > O sei ein Diskretisierungsparameter und

Xoh CXo i Poh CPo

endlichdimensionale Unterräume. Das zu Mo diskreti-

sierte Problem lautet:

Zu bestimmen ist ein Paar vh, ph E Xäh x Poh, so

dafs gilt

Moh 3(Vh;Vh‚Wh)+ b(Wh»Ph) : <ngh> beLWhEX‘gh

13(th1‘11) = 0

Konkrete Räume Xoh und Poh sowie entsprechende

Approximationsbedingungen werden für zweidimensio-

nale Probleme im linearen Fall bei dreiseitigen Elemen-

ten in [2] und für den nichtlinearen Fall bei vierseitigen

Elementen in [5] angegeben. Das Ergebnis unter den

letztgenannten Bedingungen sei hier mitgeteilt:

Zur Definition der Räume Xoh und Poh werden über

jedem vierseitigen finiten Element 0.2- C Q (1 <j S m,

m — Elementanzahl der vernetzten Struktur) folgende

Ausdrücke für die gesuchten Größen vh und ph ange-

setzt:

9 _ „

Vh(X) I E ai Ni(X)

i=1

Ph (X) = aj + bj x1 + Cj x2 (12)

1

X1 _ a? )

x = < ) =X2 3(12)

Die Formfunktionen Ni (x) gehen durch subparametri-

ache Transformation (im Falle geradlinig begrenzter Ele-

mente) oder isoparametrische Transformation (bei Ele-

mentberandungen zweiter Ordnung) aus vollständigen

quadratischen Funktionen [8] (Lagrangesche Interpola-

tionspolynome zweiter Ordnung) hervor, die über dem

Standardgebiet

31

bei. Ph E Poh .

177

lo 7 3

1

81 9 1

5 if

b1

1 5 Z

Bild l

9-Knoten-Element in Standardform

definiert sind. Unter diesen Bedingungen ist ein kompa-

tibles Elementkonzept für die Berechnung von vh ge-

sichert. Demgegenüber ist durch den linearen Ansatz

(12) die Kompatibilität bei der Druckberechnung nicht

mehr gegeben, folglich ist ph an den Elementübergängen

unstetig, und die zu bestimmenden freien Parameter aj,

- und - können nicht mit Knotenpunktswerten für ph

i entifiziert werden. Dies wirkt sich jedoch keinesfalls

nachteilig auf die Approximationsgüte aus, sondern

sichert im Gegenteil die Quasioptimalität des Verfahrens,

d. h., die Approximation ist von der gleichen Größen-

ordnung wie die bestmöglichste Approximation durch

den Unterraum Xäh x Poh. Ist die Bedingung (10) er-

füllt und v e (wg (52))2, p e wg (n) n Po, so gilt die Ab-

schätzung [2], [5]:

2Iv—vhlxä + np_phupo g Ch (Ilvll(wg)2 + upuwä)‚

wobei C eine von h unabhängige Konstante ist.

sz — Raum der Funktionen, die zusammen mit allen

verallgemeinerten Ableitungen bis einschließlich der

Ordnungj quadratisch summierbar sind.

Die Iterationsverfahren MoA und M? können direkt zur

Lösung des diskretisierten Problems Moh Anwendung

finden:

FAusgehend von bekannten Startwerten vfi, pg E Xäh

x Poh, ist eine Folge vfl'”, pl?” 6 Xäh x Poh zu

finden, so daß gilt

M2}. (dn+l-Vü‚wh)1+"a(vf;vm’wh)

+ vb(wh‚p}'?)=v<g,wh>

32

bei. wh e xfih (13)

(pan*l—p‚?‚rh>.—vb<v‚?“‚rh>=0 bel-rhEPoh (14>

[Ausgehend von bekannten Startwerten vgh, pgh E Xäh

x Poh, ist eine Folge väfl , png e xgh J: P0,, zu fin-

den, so dafi gilt

€P 1

Moh ( 611+ — V3. N10] + “(v3 :v2" ,wh)

+Vb(wh,pgil+l) = V<g,wh> bel. whexfih

m+l

E (Peh

—pä.‚rh)s—vb(vä.”‚m)=0 bel-PhEPoh

Die Konvergenz dieser Verfahren ist unter den gleichen

Bedingungen wie für die Iterationsverfahren MA und

Mgp nachweisbar. Für den praktischen Gebrauch müs-

sen aus den Funktionalgleichungen äquivalente Matri-

zengleichungen hergeleitet werden. Bei der Entwick-

lung dieser Gleichungen stützen wir uns auf das Verfah-

ren Mäh.

l. Plerechnung von p$+l bei bekannten Größen p? und

v'l': :

Ausführlich geschrieben lautet die Gleichung (l4)

sszpi?“ —p{.“ + vdivvfl”) an = o bel. mePoh.

Diese Beziehung ist äquivalent zu

pfiri-l _PLn = _VRh (divviln'l'l)

wobei Rh der Orthoprojektor in Po auf den Raum Poh

ist. Da die Funktionen aus Poh stückweise linear und

nicht kompatibel sind, kann dieser Projektor gemäß dem

Ansatz

Rh‚(divv',{”1) |w = aw + bw x1 + cw x2 bel. wCSZ

elementweise berechnet werden. Der Vektor der Konstan-

ten

pw = (aw, bw, cw)T ist Lösung des Gleichungssystems

Rw Poo = bw (VLMI)

mit

(1.1) (x1,1) (x2.1) (Ldivvli

Rw: (1aX1)(X1‚X1)(X2aX1) ’hw(v) = (xlvdivv)

(1ax2)(x1,x2)(x2»xz) (xzadivv)

und

(wk) = fw'wdw.(4.)

Die elementweise Berechnung von pi?” erfolgt dann

über den Ausdruck

m

ph “Ln = pf,“ lw—V(1,x1,x2)R: bw(v;‚"+1) bel. (Eco.

15)

2. Berechnung von vgl” bei bekannten Größen p: und

V’h”

Gemäß dem Ansatz (11) werden die Funktionen v‘ng

über dem gesamten Gebiet Q durch

definiert, wobei sich die Summation über alle Knoten-

punkte (1, .. . ,n) aus Q erstreckt. Die Funktionen

vgl” sind dann eindeutig durch die Vektoren

am+l = (a(11)m+1, 3(12)m+1’ . . . ’ a(Il)m+l a(12)m+l)T

9

bestimmt. Nach Substitution des Ansatzes (16) in der

Funktionalbeziehung (l3) erhält man folgende Matri-

ze {eichung zur iterativen Berechnung der Vektoren

ma :

1(am+1—am):u(£_A(v§)am—G(p;f)) (17)

mit den Matrizen

Iij z Jij(1 O. _' w,

0 1) ‚ Jü—EJü.

Jg? = f (grad N,)T ~ grade dw

(‚0

ff Eff”; fi“: fNigdw(A)

Aü (v?) = 2 Ag]? of) ; A§f(v{.")= (£12011) (vE))(171'Bi)T ' Bjdw

Gap?) = 2 Grip?» 6%,?) = 35 (pi? Iw>gradNidw

= —(si..‚>T p...

1 < i, < n Die Summationen sind über alle Elemente w

zu nehmen, die xi (und als gemeinsamen

Knotenpunkt besitzen.

2 Pw,l

0 _ Pw,2 _

o2

aNi

0T6x1 (L (grad Ni) dw

N. .

Bi = 0 ä; S‘w = f x1 (grad Ni)T du)

6x2 (‚0 T

aNi aNi (L x2 (grad Ni) dw

31;; a

Ausgehend von bekannten Näherungswerten vm, pi?

wird im (m+1)ten Iterationsschritt van“, phm 1 wie

folgt bestimmt:

a) Berechnung des Näherungsskelets am+1 aus (17). Ge-

miiß der Beziehung (16) ist dann auch van“ ermit-

te t. ‚

b) Berechnung von pf?” aus (15).

Damit ist klar, daß die Geschwindigkeits-Druck-Berech-

nung v, p in jedem Iterationsschritt separat ausführbar

ist. wobei ein lineares Gleichungssystem der Dimension

2 n mit positiv definiter symmetrischer konstanter Koef-

fizientenmatrix I zu lösen ist und die Druckberechnung

elementweise durch Auflösung von Gleichungssystemen

mit drei Unbekannten erfolgt. Noch zweckmäßiger ist es,

das Iterationsverfahren (l7) mit iterativen Lösungs-

methoden für lineare Gleichungssysteme zu verbinden

[4].

Methodisch in gleicher Weise sind für das Verfahren M3l

Matrizengleichungen ableitbar. Die entsprechenden Itera-

tionsgleichungen lauten wie folgt:

m+1 _ m V n -1 m+l

peh w — peh w _ F (l’xl’x2) Rw bc.3<v(ah ) (18)

2V- m+1 m m m m

(1+ F L) (ae — ae ) = V(f— A(v6h) ae —G(peh)

_ 65 La‘e“), wobei (19)

_ w w_ i T . -1 . j

Li]- — ELij und Lij — (Sw) Rw Sw.

Auch hier ist in jedem Iterationsschritt ein lineares Glei-

chungssystem der Dimension 2n mit der positiv defini-

ten symmetrischen konstanten Koeffizientenmatrix

I + €12L zu lösen. Die Druckberechnung erfolgt in glei—

cher Weise wie beim Verfahren Mjh. Besteht nur Inter-

esse an der Berechnung von veh (oder vh)‚ so können die

Funktionen päl (oder p?) aus den Iterationsverfahren

eliminiert werden. Zur Berechnung der Dissipationslei-

stung und damit der Temperaturverteilung bei irreversib-

len Prozessen ist z. B. die Druckverteilung ph nicht er-

forderlich. Nachdem die Funktionen päh sukzessive durch

div véh (i = l, . . . , m) substituiert sind, erhält man aus

(19) folgende Iterationsgleichung

(1+ :—2L><a’;‘”— a?) =

y m .

v[f— Aug) Je“— G(p:h) _ 5h? — gig Lag] m > 1.

(20) “

Für m : 0 behält die Beziehung (l9) ihre Gültigkeit.

Mit diesem Iterationsverfahren konnten ausgezeichnete

Ergebnisse erzielt werden [1], [5]. Wird die Druckvertei-

lung ph nicht benötigt, so ist bei der rechentechnischen

Realisierung das Iterationsverfahren (20) gegenüber (18),

(19) zu bevorzugen.

In der gleichen Weise kann aus (l7) p: eliminiert wer-

den.

5. Beispiielrechnungen zum Fließpressen

Die Zuverlässigkeit des Iterationsverfahrens (20) wurde

anhand erster Beispielrechnungen aus der Umform- und

Spanungstechnik getestet. In den letzten Jahren hat sich

für diese Metallverformungsvorgänge als Modellgrundlage

bei Anwendung der Methode der finiten Elemente mehr

und mehr eine Fließformulierung durchgesetzt [3], [9].

33

An dieser Stelle sollen einige Ergebnisse zum Vorwärts-

fließpressen mitgeteilt werden. Weitere Rechnungen zur

Spanungsproblematik sind in unserem Fachartikel [ll]

enthalten.

In allen Rechnungen wurde von vgh = 0 ausgegangen.

Die constitutive Spannungsbeziehung beeinflußt ent-

scheidend das Konvergenzverhalten des Algorithmus

(20), denn die Materialparameter gehen wesentlich in die

Konstanten g7? und Cn ein, die ihrerseits Grenzen für den

Iterationsparameter V festlegen. Den Rechnungen wur-

den Materialparameter für den Werkstoff Ck 45 zugrun-

de gelegt [12]. Unter diesen Bedingungen konnten mit

V = 0.1 und im Parameterbereich

l _ 2n

3 1—211

mit 0.499 < u < 0.49995

in allen Beispielen bei Zugrundelegung der Toleranz

ev = 10'2 für das Abbruchkriterium

"am” _-am n

max "ai+1 —— aill

0<i<m

die Rechnungen nach weniger als 20 Iterationsschritten

beendet werden. [l 1e Rechenzeiten der Zentraleinheit

der EDVA 1040 im OS-Betriebssystem lagen in Abhän—

gigkeit von der Vernetzungstopologie (Anzahl der Kno-

tenpunkte, Elementzusammenhang) zwischen 3 und 12

Minuten.

Die Probleme zum ebenen Vorwärtsfließpressen umfas-

sen die Berechnung der Verteilung von Umformge-

schwindigkeit und der zweiten Invariante IID bei einer

Reduzierung des Werkstiickquerschnittes im Verhältnis

2 :_ 1 unter 45° bzw. 90° (Bilder 3 und 4). Die Darstel-

lungen für Werkzeuggeometrie, Randbedingungen und

V2 -O (reibungsfrei)

V1=Ü.6 V210

m/rnin 2mm

Vz-O

v] 'l Vz IO

m/rnin

Bild 2

Geometrie, Randbedingungen und Vernetqu beim ebenen Vor-

wärtsfliefipressen

34

Vernetzung sind im Bild 2 enthalten. An den Kontakt-

flächen zum Umformwerkzeug wird reibungsfreies Glei-

ten vorausgesetzt. Ein qualitativer Vergleich mit den

Beispielen in [8], [9] zeigt eine sehr gute Übereinstim-

mung der Resultate. Insbesondere die Erfüllung der In-

kompressibilitätsbedingung ist mit einer Genauigkeit von

drei geltenden Ziffern gewährleistet. Deutlich wird auch,

daß bei einem Reduktionsverhältnis von 2 : l die zu er-

wartende betragsmäßig doppelt große Ausflußgeschwin-

digkeit mit einem relativen Fehler von 10'4 berechnet

werden kann.

Perspektivisch ist ein direkter Vergleich mit Meßwerten

am Realvorgang wünschenswert.

v, - 0.5 v‚. M93

u""\

m\*—_-o—. H o——a. ‚_-

..._.....r—._._.__ ._... ._.. ‚_..iÜl

HH

HH

V‚- 1.0 V2 I 1.998

Bild 3

Geschwüidigkeitsverteilung (mlmin) in der Umformmne

1mm

65 352’555 3

Bild 4 _

Verteilung von IID (l/s) in der Umformzone

LITERATUR

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Anschrift des Verfassers:

Dr. rer. nat. H. Griindemann,

Akademie der Wissenschaften der DDR

Institut für Mechanik

Abt. Bruchmechanik/Mikromeehanik

9010 Karl-Marx-Stadt

PSF 408

35