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167K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Charakteristische Größen zur Beschreibung von Stromkreisen:
Werden Ladungen transportiert, so fließt ein elektrischer Strom I
I tdQ
dt( ) =
Einfachster Fall: Gleichstrom; Strom fließt in gleicher Richtungmit konstanter Stärke.
I t constQ
t( ) = =
Stromleiter setzen dem Ladungstransport einen Widerstand entgegen.Das Ohmsche Gesetz verknüpft diesen elektrischen Widerstand mitdem Strom und der Spannung.
• Stromstärke I• Spannung U
• Ohmscher Widerstand R• Kapazität C• Induktivität L
I[ ] = =Cs
ABei 1 A fließen etwa6·1018 Elektronenpro Sekunde !
4.2 Gleichstromkreise
168K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Definition der StromrichtungDefinition der Stromrichtung
Technische Definition der Stromrichtung:Stromrichtung ist definiert als Bewegungsrichtung des Flusses derpositiven Ladungen.
Beachte: In Metalldrähten bewegen sich nur die Elektronen;d.h. die gewöhnliche Stromrichtung ist entgegengesetzt zurBewegungsrichtung der Ladungen, in diesem Fall die Elektronen.(Physikalische Definition der Stromrichtung ist daher umgekehrt!)
Strom fließt von „+“ nach „-“
+-U R
Gleichstromkreismit Stromrichtung undWiderstand;Widerstand der Zuleitungwird vernachlässigt.
169K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Das Ohmsche GesetzDas Ohmsche Gesetz
Man findet experimentell folgendenZusammenhang zwischen derStromstärke I und demSpannungsabfall U am Widerstand R
+-U R+-U R
I
IU
R= Einheit des el. Widerstands: [R] = W (Ohm)
= V/A
Eselsbrücke: U=RI (Schweizer Kanton)
170K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Spezifischer Widerstand & LeitfSpezifischer Widerstand & Leitfäähigkeithigkeit
Der elektrische Widerstand eines Körpers ist abhängig vomMaterial und seiner Geometrie.
lA
Rl
A= ⋅ρ
r : spezifischer elektrischen Widerstand (Resistivität)s=1/r: spezifische elektrischen Leitfähigkeit (Konduktivität)
ρ[ ] = ⋅ = ⋅Ω Ωmm
m2
allg. in Tabellen: mm
m
2
ρ[ ] = ⋅Ω
Bsp: Kupfer: r = 0.017 Ω·mm2/mEisen: r = 0.1 Ω·mm2/mdest. Wasser: r = 5·105 Ω·mm2/mBernstein: r = 1016 Ω·mm2/m
171K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
TemperaturabhTemperaturabhäängigkeit des ngigkeit des elektrelektr. Widerstands. Widerstands
In Analogie zum spezifischen Widerstand definiert man dieelektrische Stromdichte:
jI
A= =
StromQuerschnittsfläche
Am2
Elektrische Widerstände sind i. allg. Temperaturabhängig.Als Bezugspunkt wählt man die Raumtemperatur T0 = 20 ° C
→ = ⋅ + ⋅ −( ) R T R T T( ) ( )0 01 α mit
Temperaturkoeffizient
R R T0 0==
( )
αBei den meisten Metallen steigt der Widerstand unterhalb ~ 200 °Clinear mit der Temperatur an.
R T R T T( ) = ⋅ + ⋅ + ⋅( )021 α β∆ ∆ a b
Ag, Cu 0.004 0.7·10-6
Fe 0.007 6·10-6
Für noch höhere Temperaturen findet man:
172K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
TT-Abh-Abhäängigkeit des ngigkeit des elektrelektr. Widerstands (2). Widerstands (2)
Übersicht: Temperaturkoeffizient a für verschiedene Materialien
r
T
Metaller
T
Halbleiter r
T
Supraleiter
Bsp: Wird Kupfer von 20°C nach 60°C erwärmt, so steigt der Widerstand um 16 % an.
Beachte: Das Ohmsche Gesetz gilt streng nur für Metalle und Elektrolyte bei konstanter Temperatur!
→ = ⋅ + ⋅ −( ) R T R T T( ) ( )0 01 α
173K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Strom-Strom-Spannungs Spannungs KennlinieKennlinie
Nach dem Ohmschen Gesetz U = R·I finden wir:
I
U
Metalle (I=U/R)NTC
PTCDas Ohmsche Gesetz istalso nur ein einfacherSpezialfall !
Differentieller Widerstand: rdU
dI=
V: T-Abh. von Widerständen
NTC: Widerstand nimmt mitzunehmender Temperatur ab
PTC: Widerstand nimmt mitzunehmender Temperatur zu
Gasentladung
Gasentladung: Spannungsabfallnimmt mit zunehmenderStromstärke ab
174K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Parallel und Serienschaltung von Widerständen(Kirchhoffsche Gesetze)
Grundidee der Kirchhoffschen Gesetze folgt aus der (a) Ladungserhaltung und (b) Energieerhaltung
(a) Ladungserhaltung Knotenregel:
Die einem Stromknoten zugeführten Ladungensind gleich den abgeführten Ladungen.
Iii
n
=∑ =
1
0 zufließender Strom: I > 0abfließender Strom: I < 0
175K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Kirchhoffsche Gesetze (2)
(b) Energieerhaltung Maschenregel:
In einem geschlossenen Stromkreis istdie Summe aller treibenden SpannungenUi gleich der Summe allerSpannungsabfälle URi
U UQi
n
Rj
m
i j
= =∑ ∑=
1 1
D.h.: In einem geschlossenen Stromkreisist die Summe aller Spannungen Null
Vorzeichen der Spannungsquellen ist hierbei zu beachten !
Zeichnungoben:
U U U UQ Q R R1 2 1 20− + + =
U U I R I RQ Q1 2 1 2 0− + ⋅ + ⋅ =I
U U
R RQ Q=
−+
1 2
1 2
176K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Parallel- und Serienschaltung von WiderstParallel- und Serienschaltung von WiderstäändenndenAus den Kirchhoffschen Gesetzen kann man die Gesetze fürParallel- und Serienschaltungen von Widerständen undSpannungsquellen ableiten:
177K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Parallelschaltung
I I I= +1 2 (Knotenregel)
U R I
R I
R I
= ⋅= ⋅= ⋅
1 1
2 2
→ =→ =→ =
I U R
I U R
I U R
1 1
2 2
/
/
/= ⋅ +( )R I I1 2
= ⋅ +( )R U R U R/ /1 2
⇒ = + 1 1 1
1 2R R R
Serienschaltung
I U R= /
(Maschenregel)
U R I
U R I1 1
2 2
= ⋅= ⋅
U U U= +1 2
⇒ = = + = ⋅ + ⋅ I
U
R
U U
R
R I R I
R1 2 1 2
⇔ = + R R R1 2
178K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Parallelschaltung
I I I= +1 2 (Knotenregel)
U R I
R I
R I
= ⋅= ⋅= ⋅
1 1
2 2
→ =→ =→ =
I U R
I U R
I U R
1 1
2 2
/
/
/
Serienschaltung
I U R= /
U R I
U R I1 1
2 2
= ⋅= ⋅
⇔ = U
U
R
R1
2
1
2
⇔ = I
I
R
R1
2
2
1
Ströme verhaltensich umgekehrtzu denWiderständen
Spannungsabfälleverhalten sich wie dieWiderstände
I R I R1 1 2 2⋅ = ⋅ U R U R1 1 2 2/ /=
179K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Parallel- und Serienschaltung von Spannungsquellen
Obige Überlegungen gelten auch für Spannungsquellen (z.B. Batterien)
Serienschaltung von Batterienbewirkt Spannungserhöhung:
U U
2·U
Parallelschaltung von Batterienbewirkt Stromerhöhung:
U
2·I
U
R
U U
2·I
U U
R
2U Spannungs- undStromverdoppelung
180K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
BspBsp. einer komplexen Schaltungen. einer komplexen Schaltungen
A: Reihenschaltung von 7, 8
B: Parallelschaltung von 9, A
R R RA = +7 8
1 1 1
9R R RB A
= + ⇔ = ⋅+
RR R
R RBA
A
9
9
C: Parallelschaltung von 1,2,3,41 1 1 1 1
1 2 3 4R R R R RC
= + + +
D: Reihenschaltung von B, 6, 5, C
R R R R R RD ges B C= = + + +6 5
Einfachster Fall:Alle Widerstände sind gleich
R RA = 2
R RB = 23
R RC = 14
R Rges = + +
⋅2
23
14
= ⋅21112
R
181K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
UQ Ri
Reale Spannungsquellen und InnenwiderstandReale Spannungsquellen und Innenwiderstand
Bei Belastung mit einem äußeren Widerstand Ra wird die Spannungsquellevom gleichen Strom I durchflossen wie der äußere Stromkreis.
der Innenwiderstand Ri der Spannungsquelle muss bei der Berechnung des Stroms berücksichtigt werden
Ra
I
Reale Spannungsquelle:UQ: Quellenspannung (Spannung ohne Stromfluss)Ri : Innenwiderstand
UK UK : Klemmenspannung (verfügbare Spannung am Verbraucherwiderstand Ra)R R Rges i a= +
U U I RK Q i= − ⋅
IU
RK
a
= =+
U
R RQ
i a
Innenwiderstand Ri von Batterien kann also bestimmtwerden, wenn Ra, UQ, UK, oder UQ, UK, I bekannt.
R RU
Ui aQ
K
= −
1 RU U
IiQ K=
−
182K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Bsp: Innenwiderstand einer Batterie
Aus einer 9 V Batterie werden bei Belastung mit einemArbeitswiderstand 20 mA Strom entnommen.Die Spannung an der Batterie sinkt dabei auf 8.8 Volt.
Innenwiderstand: RU U
IiQ K=
−
= −⋅ −
9 8 820 10 3
V V A
.
= 10 Ω
183K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Strom- und SpannungsmessgerStrom- und Spannungsmessgeräätete
Auch hier spielen Innenwiderstände eine sehr wichtige Rolle.
R
I
I
Innenwiderstand Ri des Strommessgerätessollte möglichst klein sein, damit dievolle Spannung über R abfallen kann.
R
I
U
Innenwiderstand Ri des Spannungs-messgerätes sollte möglichst groß sein,damit möglichst wenig Strom durch dasVoltmeter, und damit der ganze Stromüber R fließt.
RiA ` R
RiU p R
Strommessung
Spannungsmessung
184K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Wheatsonsche Wheatsonsche BrBrüückeckeBei sehr genauen Messungen von Widerständen:
Rx: zu bestimmender WiderstandRN: bekannter NormwiderstandK: Kontakt auf einem homogenen Messwiderstand
Verschiebung von K ändert R1, R2
mit R1 + R2 = const.Verhältnis der Widerstände ist durchdie rechts- und linksseitigenDrahtlängen gegeben.Vorgehensweise: A: empfindliches Strommessgerät (Eichung nicht erforderlich!)
Verschiebe K solange, biskein Strom mehr überA fließt.
Das heißt: R
R
R
RX
N
= 2
1
R RR
RX N= ⋅ 2
1
Draht mit homogenemspezifischen Widerstand:
R Rl
lX N= ⋅ 2
1
D.h. gleicher Spannungsabfallzwischen RX und RN wiezwischen R2 und R1.
V: Wheatst. Brücke
185K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
WheatstonscheWheatstonsche Br BrüückeckeBei sehr genauen Messungen von Widerständen:
Rx: zu bestimmender WiderstandRN: bekannter NormwiderstandK: Kontakt auf einem homogenen Messwiderstand
Verschiebung von K ändert R1, R2
mit R1 + R2 = const.Verhältnis der Widerstände ist durchdie rechts- und linksseitigenDrahtlängen gegeben.Vorgehensweise: A: empfindliches Strommessgerät (Eichung nicht erforderlich!)
Verschiebe K solange, biskein Strom mehr überA fließt.
Das heißt: R
R
R
RX
N
= 2
1
R RR
RX N= ⋅ 2
1
Draht mit homogenemspezifischen Widerstand:
R Rl
lX N= ⋅ 2
1
D.h. gleicher Spannungsabfallzwischen RX und RN wiezwischen R2 und R1.
V: Wheatst. Brücke
186K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
PotentiometerPotentiometer
Obiger Draht kann auch als Potentiometer benutzt werden:
U0
UX
XR1 R2
U UR
R RX = ⋅+0
2
1 2
V: Potentiometer
187K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Entladung eines KondensatorsEntladung eines KondensatorsQuasistationärer Stromkreis:
Kondensator sei zu Beginn aufgeladen mitder Ladung: Q0=CU0
Unmittelbar nachdem der Schalter geschlossenwird, fließt ein Strom:
IU
R00= =
⋅Q
C R0
Ladung auf dem Kondensator nimmt nun ab.
Messbarer Strom I entspricht der Ladung, die über den Widerstand R vonder einen Platte zur anderen Platte des Kondensators fließt.
I tdQ
dt( ) = −
Maschenregel: Summe aller Spannungen ist zu jedem Zeitpunkt NullQ t
CI t R
( )( )− ⋅ = 0 → + ⋅ =
Q t
C
dQ
dtR
( )0 ⇔ = −
⋅ dQ
dt R CQ t
1( )
Differentialgleichung 1. Ordnung
188K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Entladung eines Kondensators (2)Entladung eines Kondensators (2)
dQ
dt R CQ t= −
⋅1
( ) Lösung: Q t Qt
RC( ) exp= −
0 τ = RC ; Zeitkonstante
U t Ut
RC( ) exp= −
0
Q t C U t( ) ( )= ⋅ →
I t Q t( ) ˙( )= − → I t It
RC( ) exp= −
0
V: Kondensatorentladung
189K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001
Elektrische LeistungElektrische Leistung
Erinnere: Verschiebung von Ladungen im elektrischen Feld erfordert Arbeit: W = U·Q ñ U=W/Q
Zwischen zwei Punkten eines metallischen Leiters liegt eineSpannung von 1 Volt, wenn beim Transport der Ladung1 Coulomb eine Energie von 1 Joule umgesetzt wurde.
Für die Leistung P erhält man daher:
PW
t= = ⋅U Q
t= ⋅U I
= ⋅R I 2U R I= ⋅
= U
R
2 IU
R=
Kap. 4.3
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