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ARCH- und GARCH-Modelle

Thomas Simon

Analyse und Modellierung komplexer Systeme

04.11.2009

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 1 / 27

Ausgangssituation

Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten

Es handelt sich um zufallige Daten, die nicht redundant sind

Datensatze sehr umfangreich

Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor

ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 2 / 27

Ausgangssituation

Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten

Es handelt sich um zufallige Daten, die nicht redundant sind

Datensatze sehr umfangreich

Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor

ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 2 / 27

Ausgangssituation

Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten

Es handelt sich um zufallige Daten, die nicht redundant sind

Datensatze sehr umfangreich

Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor

ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 2 / 27

Ausgangssituation

Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten

Es handelt sich um zufallige Daten, die nicht redundant sind

Datensatze sehr umfangreich

Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor

ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 2 / 27

Ausgangssituation

Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten

Es handelt sich um zufallige Daten, die nicht redundant sind

Datensatze sehr umfangreich

Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor

ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 2 / 27

Probleme der richtigen Großen und Skalen

Was wird modelliert?

Z (t) ≡Y (t + ∆t)− Y (t)

ZD(t) ≡[Y (t + ∆t)− Y (t)]D(t)

R(t) ≡Y (t + ∆t)− Y (t)

Y (t)=

Z (t)

Y (t)

S(t) ≡log(Y (t + ∆t))− log(Y (t))

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Probleme der richtigen Großen und Skalen

Zeitskala

Zeitskala:

Physikalische Zeit

Handelszeit

Durchfuhrung von Transaktionen

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 4 / 27

Probleme der richtigen Großen und Skalen

Zeitskala

Zeitskala:

Physikalische Zeit

Handelszeit

Durchfuhrung von Transaktionen

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 4 / 27

Probleme der richtigen Großen und Skalen

Zeitskala

Zeitskala:

Physikalische Zeit

Handelszeit

Durchfuhrung von Transaktionen

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 4 / 27

Zeitskalen am Beispiel des S&P 500 index

Im rechten Plot wurde Z mit α = 1.4 wie folgt skaliert:

Z ≡ Z

(∆t)1α

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 5 / 27

Empirische Dichte fur ∆t = 1 min des S&P 500 index

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 6 / 27

Charakteristika von Finanzmarktdaten

Eigenschaften der Daten

Leptokurtische Verteilung

Volatilitatsclustering

Stochastische Trends vs. Stationaritat

Leverage-Effekt

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 7 / 27

Charakteristika von Finanzmarktdaten

Eigenschaften der Daten

Leptokurtische Verteilung

Volatilitatsclustering

Stochastische Trends vs. Stationaritat

Leverage-Effekt

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 7 / 27

Charakteristika von Finanzmarktdaten

Eigenschaften der Daten

Leptokurtische Verteilung

Volatilitatsclustering

Stochastische Trends vs. Stationaritat

Leverage-Effekt

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 7 / 27

Charakteristika von Finanzmarktdaten

Eigenschaften der Daten

Leptokurtische Verteilung

Volatilitatsclustering

Stochastische Trends vs. Stationaritat

Leverage-Effekt

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 7 / 27

ARCH(p)-Prozess

Definition

ARCH-Prozess ist ein diskreter stochastischer Prozess (xt)t∈N

xt normalverteilt mit µ = 0 und Varianz σ2t

σ2t = α0 + α1x

2t−1 + . . .+ αpx

2t−p.

α0, α1, . . . , αp ∈ R+.

Im Falle von p Parametern spricht man von einem ARCH(p)-Prozess.

Der Preisprozess ist gegeben durch die kumulierten Zuwachse:

S(t) =t∑

i=1

xi .

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 8 / 27

ARCH(1)-Prozess

Eigenschaften

σt = α0 + α1x2t−1

Nicht-bedingte Varianz von (xt)t∈N:

σ =α0

1− α1(1)

falls 1− α1 6= 0 und 0 ≤ α1 < 1.

Nicht-bedingte Kurtosis von (xt)t∈N:

κ = 3 +6α2

1

1− 3α21

(2)

falls 0 ≤ α1 <1√3

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 9 / 27

ARCH(1)-Prozess

Eigenschaften

σt = α0 + α1x2t−1

Nicht-bedingte Varianz von (xt)t∈N:

σ =α0

1− α1(1)

falls 1− α1 6= 0 und 0 ≤ α1 < 1.

Nicht-bedingte Kurtosis von (xt)t∈N:

κ = 3 +6α2

1

1− 3α21

(2)

falls 0 ≤ α1 <1√3

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 9 / 27

ARCH(1)-Prozess

Eigenschaften

σt = α0 + α1x2t−1

Nicht-bedingte Varianz von (xt)t∈N:

σ =α0

1− α1(1)

falls 1− α1 6= 0 und 0 ≤ α1 < 1.

Nicht-bedingte Kurtosis von (xt)t∈N:

κ = 3 +6α2

1

1− 3α21

(2)

falls 0 ≤ α1 <1√3

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 9 / 27

ARCH(1)-Prozess

Simulation in R

arch <- function(a,n,s=1){c=mat.or.vec(n,1)c[1]=(rnorm(1,0,s))2

for(i in 1:(n-1)){s=sqrt(a[1]+a[2]*(c[i]2))c[i+1]=rnorm(1,0,s)}return(c)}k=arch(a,100000)S=cumsum(k)

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 10 / 27

Simulation von St

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 11 / 27

Simulation der Zunahmen xt

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 12 / 27

Simulation der zugehorigen Dichte(α0 = 1, α1 = 0)

Moment Theoretisch EmpirischVarianz 1 1Kurtosis 3 2.99

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 13 / 27

Simulation der zugehorigen Dichte(α0 = 0.5, α1 = 0.5)

Moment Theoretisch EmpirischVarianz 1 1Kurtosis 9 8.16

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 14 / 27

Simulation der zugehorigen Dichte(α0 = 0.45, α1 = 0.55)

Moment Theoretisch EmpirischVarianz 1 0.98Kurtosis 23 21.81

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 15 / 27

Probleme des ARCH-Modells

Gute Modellierung einer Zeitreihe benotigt zahlreiche Paramter

Schatzprobleme

Bedingt wird nur unter den einzelnen Zuwachsen

Volatilitatsclustering wird unzureichend wiedergegeben

Idee

Verallgemeinerung des ARCH-Modells

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 16 / 27

Probleme des ARCH-Modells

Gute Modellierung einer Zeitreihe benotigt zahlreiche Paramter

Schatzprobleme

Bedingt wird nur unter den einzelnen Zuwachsen

Volatilitatsclustering wird unzureichend wiedergegeben

Idee

Verallgemeinerung des ARCH-Modells

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 16 / 27

GARCH(q,p)-Prozess

Definition

GARCH-Prozess ist ein diskreter stochastischer Prozess (xt)t∈N

xt normalverteilt mit µ = 0 und Varianz σ2t

σ2t = α0 + α1x

2t−1 + . . .+ αpx

2t−p + β1σ

2t−1 + . . .+ βqσ

2t−q

α0, . . . , αp, β1, . . . , βq ∈ R+.

Im Falle von p, bzw. q Parametern spricht man von einemGARCH(p,q)-Prozess.

Der Preisprozess ist gegeben durch die kumulierten Zuwachse:

S(t) =t∑

i=1

xi .

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 17 / 27

GARCH(1,1)-Prozess

Eigenschaften

σt = α0 + α1x2t−1 + β1σ

2t−1

Nicht-bedingte Varianz von (xt)t∈N:

σ =α0

1− α1 − β1(3)

Nicht-bedingte Kurtosis von (xt)t∈N:

κ = 3 +6α2

1

1− 3α21 − 2α1β1 − β2

1

(4)

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 18 / 27

GARCH(1,1)-Prozess

Eigenschaften

σt = α0 + α1x2t−1 + β1σ

2t−1

Nicht-bedingte Varianz von (xt)t∈N:

σ =α0

1− α1 − β1(3)

Nicht-bedingte Kurtosis von (xt)t∈N:

κ = 3 +6α2

1

1− 3α21 − 2α1β1 − β2

1

(4)

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 18 / 27

GARCH(1,1)-Prozess

Eigenschaften

σt = α0 + α1x2t−1 + β1σ

2t−1

Nicht-bedingte Varianz von (xt)t∈N:

σ =α0

1− α1 − β1(3)

Nicht-bedingte Kurtosis von (xt)t∈N:

κ = 3 +6α2

1

1− 3α21 − 2α1β1 − β2

1

(4)

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 18 / 27

GARCH(1,1)-Prozess

Eigenschaften

σt = α0 + α1x2t−1 + β1σ

2t−1

Nicht-bedingte Varianz von (xt)t∈N:

σ =α0

1− α1 − β1(3)

Nicht-bedingte Kurtosis von (xt)t∈N:

κ = 3 +6α2

1

1− 3α21 − 2α1β1 − β2

1

(4)

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 18 / 27

Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten fur∆t = 1 min

Wahl der Kontrollparameter

S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis.

β1 = 0.9

Berechnung der Kontrollparameter

Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 19 / 27

Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten fur∆t = 1 min

Wahl der Kontrollparameter

S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis.

β1 = 0.9

Berechnung der Kontrollparameter

Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 19 / 27

Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten fur∆t = 1 min

Wahl der Kontrollparameter

S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis.

β1 = 0.9

Berechnung der Kontrollparameter

Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 19 / 27

Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten fur∆t = 1 min

Wahl der Kontrollparameter

S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis.

β1 = 0.9

Berechnung der Kontrollparameter

Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 19 / 27

Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten fur∆t = 1 min

Wahl der Kontrollparameter

S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis.

β1 = 0.9

Berechnung der Kontrollparameter

Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 19 / 27

Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten fur∆t = 1 min

Linkes Bild: Simulierter GARCH(1,1)-Prozess mit α0 = 2.3× 10−5,α1 = 0.09105 und β1 = 0.9.

Rechtes Bild: Vergleich mit einer Normalverteilung und einem TLF.

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 20 / 27

Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten fur∆t = 1 min

Linkes Bild: Simulierter GARCH(1,1)-Prozess mit α0 = 2.3× 10−5,α1 = 0.09105 und β1 = 0.9.

Rechtes Bild: Vergleich mit einer Normalverteilung und einem TLF.

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 20 / 27

Auswirkungen der Wahl des Zeitintervalls

Kreise: S&P hochfrequente Daten.

Quadrate: Simulation eines GARCH(1,1)Prozesses.

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 21 / 27

Autokovarianz des Prozesses

Begriff der Autokovarianz

cov(zt , zt+n) = E{(zt − E{zt}) (zt+n − E{zt+n})}

Autokovarianz von (x2t )t∈N

cov(x2t , x

2t+n) =(α1 + β1)cov(x2

t , x2t+n−1)

=(α1 + β1)ncov(x2t , x

2t )

=exp

(− n

|ln(α1 + β1)|−1

)var(x2

t )

=Aexp(−n

τ

)Korrelation der Varianz

Empirische Daten : polynomielle Korrelation

GARCH - Modell : exponentielle KorrelationThomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 22 / 27

Autokovarianz des Prozesses

Begriff der Autokovarianz

cov(zt , zt+n) = E{(zt − E{zt}) (zt+n − E{zt+n})}

Autokovarianz von (x2t )t∈N

cov(x2t , x

2t+n) =(α1 + β1)cov(x2

t , x2t+n−1)

=(α1 + β1)ncov(x2t , x

2t )

=exp

(− n

|ln(α1 + β1)|−1

)var(x2

t )

=Aexp(−n

τ

)Korrelation der Varianz

Empirische Daten : polynomielle Korrelation

GARCH - Modell : exponentielle KorrelationThomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 22 / 27

Autokovarianz des Prozesses

Begriff der Autokovarianz

cov(zt , zt+n) = E{(zt − E{zt}) (zt+n − E{zt+n})}

Autokovarianz von (x2t )t∈N

cov(x2t , x

2t+n) =(α1 + β1)cov(x2

t , x2t+n−1)

=(α1 + β1)ncov(x2t , x

2t )

=exp

(− n

|ln(α1 + β1)|−1

)var(x2

t )

=Aexp(−n

τ

)Korrelation der Varianz

Empirische Daten : polynomielle Korrelation

GARCH - Modell : exponentielle KorrelationThomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 22 / 27

Aggregation des Prozesses

Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz

Falls (xt)t∈N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz

S∗n = 1√σ2n

n∑t=1

xt ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0 , σ2 = 1).

Einfache Aggregation

ABER:

S(m)t =

m−1∑i=0

xt−i (5)

Ist wieder GARCH-Prozess in t.

Kontrollparameteranderung!

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27

Aggregation des Prozesses

Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz

Falls (xt)t∈N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz

S∗n = 1√σ2n

n∑t=1

xt ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0 , σ2 = 1).

Einfache Aggregation

ABER:

S(m)t =

m−1∑i=0

xt−i (5)

Ist wieder GARCH-Prozess in t.

Kontrollparameteranderung!

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27

Aggregation des Prozesses

Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz

Falls (xt)t∈N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz

S∗n = 1√σ2n

n∑t=1

xt ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0 , σ2 = 1).

Einfache Aggregation

ABER:

S(m)t =

m−1∑i=0

xt−i (5)

Ist wieder GARCH-Prozess in t.

Kontrollparameteranderung!

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27

Aggregation des Prozesses

Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz

Falls (xt)t∈N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz

S∗n = 1√σ2n

n∑t=1

xt ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0 , σ2 = 1).

Einfache Aggregation

ABER:

S(m)t =

m−1∑i=0

xt−i (5)

Ist wieder GARCH-Prozess in t.

Kontrollparameteranderung!

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27

Aggregation des Prozesses

Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz

Falls (xt)t∈N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz

S∗n = 1√σ2n

n∑t=1

xt ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0 , σ2 = 1).

Einfache Aggregation

ABER:

S(m)t =

m−1∑i=0

xt−i (5)

Ist wieder GARCH-Prozess in t.

Kontrollparameteranderung!

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27

Aggregation des Prozesses

Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz

Falls (xt)t∈N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz

S∗n = 1√σ2n

n∑t=1

xt ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0 , σ2 = 1).

Einfache Aggregation

ABER:

S(m)t =

m−1∑i=0

xt−i (5)

Ist wieder GARCH-Prozess in t.

Kontrollparameteranderung!

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27

Aggregation des Prozesses

Veranderung der Parameter durch einfache temporale Aggregation

α(m)0 =α0

1− Bm

1− B

α(m)1 =Bm − β(m)

wobei β(m) ∈ (0, 1) die Losung der folgenden quadratischen Gleichung ist.

β(m)

1 + [β(m)]2=

β1Bm−1

1 + α21[1− B2m−2]/[1− B2] + β2

1B2m−2

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 24 / 27

Parameteranderung bei Aggregation

Die Startpunkte sind (β1 = 0.8), (α1 = 0.05, .1, .19, .199 und .1999).

Das Zeitfenster der Aggregation wird verdoppelt, bzw. halbiert.

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 25 / 27

Zusammenfassung

GARCH-Prozess beschreibt sehr gut hochfrequente Finanzzeitreihen

Zeitskalierung kann nicht abgebildet werden

Anwendung: Vorhersage von Schwankungen− >Risikoeinschatzung

Wichtige Annahme: Asymptotische Stationaritat

Modellerweiterungen

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 26 / 27

Noch Fragen....?

Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 27 / 27