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ARCH- und GARCH-Modelle
Thomas Simon
Analyse und Modellierung komplexer Systeme
04.11.2009
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 1 / 27
Ausgangssituation
Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten
Es handelt sich um zufallige Daten, die nicht redundant sind
Datensatze sehr umfangreich
Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor
ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 2 / 27
Ausgangssituation
Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten
Es handelt sich um zufallige Daten, die nicht redundant sind
Datensatze sehr umfangreich
Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor
ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 2 / 27
Ausgangssituation
Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten
Es handelt sich um zufallige Daten, die nicht redundant sind
Datensatze sehr umfangreich
Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor
ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 2 / 27
Ausgangssituation
Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten
Es handelt sich um zufallige Daten, die nicht redundant sind
Datensatze sehr umfangreich
Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor
ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 2 / 27
Ausgangssituation
Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten
Es handelt sich um zufallige Daten, die nicht redundant sind
Datensatze sehr umfangreich
Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor
ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 2 / 27
Probleme der richtigen Großen und Skalen
Was wird modelliert?
Z (t) ≡Y (t + ∆t)− Y (t)
ZD(t) ≡[Y (t + ∆t)− Y (t)]D(t)
R(t) ≡Y (t + ∆t)− Y (t)
Y (t)=
Z (t)
Y (t)
S(t) ≡log(Y (t + ∆t))− log(Y (t))
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 3 / 27
Probleme der richtigen Großen und Skalen
Zeitskala
Zeitskala:
Physikalische Zeit
Handelszeit
Durchfuhrung von Transaktionen
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 4 / 27
Probleme der richtigen Großen und Skalen
Zeitskala
Zeitskala:
Physikalische Zeit
Handelszeit
Durchfuhrung von Transaktionen
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 4 / 27
Probleme der richtigen Großen und Skalen
Zeitskala
Zeitskala:
Physikalische Zeit
Handelszeit
Durchfuhrung von Transaktionen
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 4 / 27
Zeitskalen am Beispiel des S&P 500 index
Im rechten Plot wurde Z mit α = 1.4 wie folgt skaliert:
Z ≡ Z
(∆t)1α
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 5 / 27
Empirische Dichte fur ∆t = 1 min des S&P 500 index
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 6 / 27
Charakteristika von Finanzmarktdaten
Eigenschaften der Daten
Leptokurtische Verteilung
Volatilitatsclustering
Stochastische Trends vs. Stationaritat
Leverage-Effekt
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 7 / 27
Charakteristika von Finanzmarktdaten
Eigenschaften der Daten
Leptokurtische Verteilung
Volatilitatsclustering
Stochastische Trends vs. Stationaritat
Leverage-Effekt
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 7 / 27
Charakteristika von Finanzmarktdaten
Eigenschaften der Daten
Leptokurtische Verteilung
Volatilitatsclustering
Stochastische Trends vs. Stationaritat
Leverage-Effekt
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 7 / 27
Charakteristika von Finanzmarktdaten
Eigenschaften der Daten
Leptokurtische Verteilung
Volatilitatsclustering
Stochastische Trends vs. Stationaritat
Leverage-Effekt
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 7 / 27
ARCH(p)-Prozess
Definition
ARCH-Prozess ist ein diskreter stochastischer Prozess (xt)t∈N
xt normalverteilt mit µ = 0 und Varianz σ2t
σ2t = α0 + α1x
2t−1 + . . .+ αpx
2t−p.
α0, α1, . . . , αp ∈ R+.
Im Falle von p Parametern spricht man von einem ARCH(p)-Prozess.
Der Preisprozess ist gegeben durch die kumulierten Zuwachse:
S(t) =t∑
i=1
xi .
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 8 / 27
ARCH(1)-Prozess
Eigenschaften
σt = α0 + α1x2t−1
Nicht-bedingte Varianz von (xt)t∈N:
σ =α0
1− α1(1)
falls 1− α1 6= 0 und 0 ≤ α1 < 1.
Nicht-bedingte Kurtosis von (xt)t∈N:
κ = 3 +6α2
1
1− 3α21
(2)
falls 0 ≤ α1 <1√3
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 9 / 27
ARCH(1)-Prozess
Eigenschaften
σt = α0 + α1x2t−1
Nicht-bedingte Varianz von (xt)t∈N:
σ =α0
1− α1(1)
falls 1− α1 6= 0 und 0 ≤ α1 < 1.
Nicht-bedingte Kurtosis von (xt)t∈N:
κ = 3 +6α2
1
1− 3α21
(2)
falls 0 ≤ α1 <1√3
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 9 / 27
ARCH(1)-Prozess
Eigenschaften
σt = α0 + α1x2t−1
Nicht-bedingte Varianz von (xt)t∈N:
σ =α0
1− α1(1)
falls 1− α1 6= 0 und 0 ≤ α1 < 1.
Nicht-bedingte Kurtosis von (xt)t∈N:
κ = 3 +6α2
1
1− 3α21
(2)
falls 0 ≤ α1 <1√3
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ARCH(1)-Prozess
Simulation in R
arch <- function(a,n,s=1){c=mat.or.vec(n,1)c[1]=(rnorm(1,0,s))2
for(i in 1:(n-1)){s=sqrt(a[1]+a[2]*(c[i]2))c[i+1]=rnorm(1,0,s)}return(c)}k=arch(a,100000)S=cumsum(k)
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 10 / 27
Simulation von St
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 11 / 27
Simulation der Zunahmen xt
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 12 / 27
Simulation der zugehorigen Dichte(α0 = 1, α1 = 0)
Moment Theoretisch EmpirischVarianz 1 1Kurtosis 3 2.99
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 13 / 27
Simulation der zugehorigen Dichte(α0 = 0.5, α1 = 0.5)
Moment Theoretisch EmpirischVarianz 1 1Kurtosis 9 8.16
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 14 / 27
Simulation der zugehorigen Dichte(α0 = 0.45, α1 = 0.55)
Moment Theoretisch EmpirischVarianz 1 0.98Kurtosis 23 21.81
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 15 / 27
Probleme des ARCH-Modells
Gute Modellierung einer Zeitreihe benotigt zahlreiche Paramter
Schatzprobleme
Bedingt wird nur unter den einzelnen Zuwachsen
Volatilitatsclustering wird unzureichend wiedergegeben
Idee
Verallgemeinerung des ARCH-Modells
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 16 / 27
Probleme des ARCH-Modells
Gute Modellierung einer Zeitreihe benotigt zahlreiche Paramter
Schatzprobleme
Bedingt wird nur unter den einzelnen Zuwachsen
Volatilitatsclustering wird unzureichend wiedergegeben
Idee
Verallgemeinerung des ARCH-Modells
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 16 / 27
GARCH(q,p)-Prozess
Definition
GARCH-Prozess ist ein diskreter stochastischer Prozess (xt)t∈N
xt normalverteilt mit µ = 0 und Varianz σ2t
σ2t = α0 + α1x
2t−1 + . . .+ αpx
2t−p + β1σ
2t−1 + . . .+ βqσ
2t−q
α0, . . . , αp, β1, . . . , βq ∈ R+.
Im Falle von p, bzw. q Parametern spricht man von einemGARCH(p,q)-Prozess.
Der Preisprozess ist gegeben durch die kumulierten Zuwachse:
S(t) =t∑
i=1
xi .
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 17 / 27
GARCH(1,1)-Prozess
Eigenschaften
σt = α0 + α1x2t−1 + β1σ
2t−1
Nicht-bedingte Varianz von (xt)t∈N:
σ =α0
1− α1 − β1(3)
Nicht-bedingte Kurtosis von (xt)t∈N:
κ = 3 +6α2
1
1− 3α21 − 2α1β1 − β2
1
(4)
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 18 / 27
GARCH(1,1)-Prozess
Eigenschaften
σt = α0 + α1x2t−1 + β1σ
2t−1
Nicht-bedingte Varianz von (xt)t∈N:
σ =α0
1− α1 − β1(3)
Nicht-bedingte Kurtosis von (xt)t∈N:
κ = 3 +6α2
1
1− 3α21 − 2α1β1 − β2
1
(4)
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 18 / 27
GARCH(1,1)-Prozess
Eigenschaften
σt = α0 + α1x2t−1 + β1σ
2t−1
Nicht-bedingte Varianz von (xt)t∈N:
σ =α0
1− α1 − β1(3)
Nicht-bedingte Kurtosis von (xt)t∈N:
κ = 3 +6α2
1
1− 3α21 − 2α1β1 − β2
1
(4)
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 18 / 27
GARCH(1,1)-Prozess
Eigenschaften
σt = α0 + α1x2t−1 + β1σ
2t−1
Nicht-bedingte Varianz von (xt)t∈N:
σ =α0
1− α1 − β1(3)
Nicht-bedingte Kurtosis von (xt)t∈N:
κ = 3 +6α2
1
1− 3α21 − 2α1β1 − β2
1
(4)
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 18 / 27
Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten fur∆t = 1 min
Wahl der Kontrollparameter
S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis.
β1 = 0.9
Berechnung der Kontrollparameter
Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 19 / 27
Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten fur∆t = 1 min
Wahl der Kontrollparameter
S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis.
β1 = 0.9
Berechnung der Kontrollparameter
Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 19 / 27
Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten fur∆t = 1 min
Wahl der Kontrollparameter
S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis.
β1 = 0.9
Berechnung der Kontrollparameter
Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 19 / 27
Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten fur∆t = 1 min
Wahl der Kontrollparameter
S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis.
β1 = 0.9
Berechnung der Kontrollparameter
Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte
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Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten fur∆t = 1 min
Wahl der Kontrollparameter
S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis.
β1 = 0.9
Berechnung der Kontrollparameter
Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 19 / 27
Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten fur∆t = 1 min
Linkes Bild: Simulierter GARCH(1,1)-Prozess mit α0 = 2.3× 10−5,α1 = 0.09105 und β1 = 0.9.
Rechtes Bild: Vergleich mit einer Normalverteilung und einem TLF.
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 20 / 27
Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten fur∆t = 1 min
Linkes Bild: Simulierter GARCH(1,1)-Prozess mit α0 = 2.3× 10−5,α1 = 0.09105 und β1 = 0.9.
Rechtes Bild: Vergleich mit einer Normalverteilung und einem TLF.
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 20 / 27
Auswirkungen der Wahl des Zeitintervalls
Kreise: S&P hochfrequente Daten.
Quadrate: Simulation eines GARCH(1,1)Prozesses.
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 21 / 27
Autokovarianz des Prozesses
Begriff der Autokovarianz
cov(zt , zt+n) = E{(zt − E{zt}) (zt+n − E{zt+n})}
Autokovarianz von (x2t )t∈N
cov(x2t , x
2t+n) =(α1 + β1)cov(x2
t , x2t+n−1)
=(α1 + β1)ncov(x2t , x
2t )
=exp
(− n
|ln(α1 + β1)|−1
)var(x2
t )
=Aexp(−n
τ
)Korrelation der Varianz
Empirische Daten : polynomielle Korrelation
GARCH - Modell : exponentielle KorrelationThomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 22 / 27
Autokovarianz des Prozesses
Begriff der Autokovarianz
cov(zt , zt+n) = E{(zt − E{zt}) (zt+n − E{zt+n})}
Autokovarianz von (x2t )t∈N
cov(x2t , x
2t+n) =(α1 + β1)cov(x2
t , x2t+n−1)
=(α1 + β1)ncov(x2t , x
2t )
=exp
(− n
|ln(α1 + β1)|−1
)var(x2
t )
=Aexp(−n
τ
)Korrelation der Varianz
Empirische Daten : polynomielle Korrelation
GARCH - Modell : exponentielle KorrelationThomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 22 / 27
Autokovarianz des Prozesses
Begriff der Autokovarianz
cov(zt , zt+n) = E{(zt − E{zt}) (zt+n − E{zt+n})}
Autokovarianz von (x2t )t∈N
cov(x2t , x
2t+n) =(α1 + β1)cov(x2
t , x2t+n−1)
=(α1 + β1)ncov(x2t , x
2t )
=exp
(− n
|ln(α1 + β1)|−1
)var(x2
t )
=Aexp(−n
τ
)Korrelation der Varianz
Empirische Daten : polynomielle Korrelation
GARCH - Modell : exponentielle KorrelationThomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 22 / 27
Aggregation des Prozesses
Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz
Falls (xt)t∈N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz
S∗n = 1√σ2n
n∑t=1
xt ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0 , σ2 = 1).
Einfache Aggregation
ABER:
S(m)t =
m−1∑i=0
xt−i (5)
Ist wieder GARCH-Prozess in t.
Kontrollparameteranderung!
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27
Aggregation des Prozesses
Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz
Falls (xt)t∈N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz
S∗n = 1√σ2n
n∑t=1
xt ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0 , σ2 = 1).
Einfache Aggregation
ABER:
S(m)t =
m−1∑i=0
xt−i (5)
Ist wieder GARCH-Prozess in t.
Kontrollparameteranderung!
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27
Aggregation des Prozesses
Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz
Falls (xt)t∈N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz
S∗n = 1√σ2n
n∑t=1
xt ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0 , σ2 = 1).
Einfache Aggregation
ABER:
S(m)t =
m−1∑i=0
xt−i (5)
Ist wieder GARCH-Prozess in t.
Kontrollparameteranderung!
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27
Aggregation des Prozesses
Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz
Falls (xt)t∈N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz
S∗n = 1√σ2n
n∑t=1
xt ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0 , σ2 = 1).
Einfache Aggregation
ABER:
S(m)t =
m−1∑i=0
xt−i (5)
Ist wieder GARCH-Prozess in t.
Kontrollparameteranderung!
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27
Aggregation des Prozesses
Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz
Falls (xt)t∈N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz
S∗n = 1√σ2n
n∑t=1
xt ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0 , σ2 = 1).
Einfache Aggregation
ABER:
S(m)t =
m−1∑i=0
xt−i (5)
Ist wieder GARCH-Prozess in t.
Kontrollparameteranderung!
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27
Aggregation des Prozesses
Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz
Falls (xt)t∈N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz
S∗n = 1√σ2n
n∑t=1
xt ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0 , σ2 = 1).
Einfache Aggregation
ABER:
S(m)t =
m−1∑i=0
xt−i (5)
Ist wieder GARCH-Prozess in t.
Kontrollparameteranderung!
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27
Aggregation des Prozesses
Veranderung der Parameter durch einfache temporale Aggregation
α(m)0 =α0
1− Bm
1− B
α(m)1 =Bm − β(m)
wobei β(m) ∈ (0, 1) die Losung der folgenden quadratischen Gleichung ist.
β(m)
1 + [β(m)]2=
β1Bm−1
1 + α21[1− B2m−2]/[1− B2] + β2
1B2m−2
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 24 / 27
Parameteranderung bei Aggregation
Die Startpunkte sind (β1 = 0.8), (α1 = 0.05, .1, .19, .199 und .1999).
Das Zeitfenster der Aggregation wird verdoppelt, bzw. halbiert.
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 25 / 27
Zusammenfassung
GARCH-Prozess beschreibt sehr gut hochfrequente Finanzzeitreihen
Zeitskalierung kann nicht abgebildet werden
Anwendung: Vorhersage von Schwankungen− >Risikoeinschatzung
Wichtige Annahme: Asymptotische Stationaritat
Modellerweiterungen
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 26 / 27
Noch Fragen....?
Thomas Simon (Analyse und Modellierung komplexer Systeme)ARCH- und GARCH-Modelle 04.11.2009 27 / 27