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Die Verbindung von Arithmetik und Geometrie

Chance für einen kindorientierten Mathematikunterricht

Klaus-Peter EichlerPH Schwäbisch Gmünd

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� Schulanfänger ...

� Kinder in Klasse 4, nach 3 Jahren Mathematikunterricht ...

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Die Welt, die Mathematik und das KindDie Welt, die Mathematik und das Kind

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Kernthese

Mathematische Bildung muss aus der

Kindperspektive aufgebaut sein

und dabei

die Fachsystematik im Auge behalten.

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Warum über die Funktion des

Faches nachdenken?

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Die Funktion des Mathematikunterrichts in der Grundschule - materiale Seite

Die Funktion des Mathematikunterrichts in der Grundschule - materiale Seite

Der Mathematikunterricht in der Grundschule

• befähigt die Kinder zur Beantwortung elementarster mathematischer Fragen aus ihrer Umwelt und der Mathematik

• schafft zugleich eine tragfähige Basis für erfolgreiches Lernen den nachfolgenden Klassenstufen (dort nicht nur bezogen auf das Fach Mathematik).

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Die Funktion des Mathematikunterrichts in der Grundschule - formale Seite

Die Funktion des Mathematikunterrichts in der Grundschule - formale SeiteMathematische Aktivitäten besitzen wesentliche Potenzen für die harmonische Entwicklung des Kindes. Das betrifft insbesondere

• das Wecken von Neugier, Interesse und Freude an mathematischen Aktivitäten und Fragestellungen speziell und am Lernen generell,

• die Förderung von Fantasie und Kreativität,• die Denk-, Gedächtnis- und Sprachentwicklung,

• die Befähigung zu und die allmähliche Gewöhnung an ausdauernde, konzentrierte Lernarbeit,

• die Erziehung zu Genauigkeit, Sorgfalt und Eigenverantwortung und nicht zuletzt

• die Entwicklung sozialer Verhaltensweisen.

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Freude, Neugier und Interesse wecken, vermuten, Fragen stellen,

probieren, ...Zeichnen nach Regeln1. Immer „in Fahrtrichtung“

rechts abbiegen1. Zahlenfolge wiederholen2. Zeichnen, bis der Startpunkt

erreicht ist, oder klar ist ...

1

2

3

4

5

3

2

1

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Aufgabe gelöst ...

� realisierbare Ziele?

� Mögliche Weiterführungen?

� Möglichkeiten für differenzierendes

Arbeiten?

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Kernthese

Lernen von Mathematik ist

- Prozess aktiver eigener Sinnkonstruktion

- sozialer Prozess aus der Sache heraus

- Prozess, der einer gezielten, geleiteten

Auseinandersetzung bedarf (im Gegensatz zur

Aneignung der Muttersprache!)

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aktive eigene Sinnkonstruktion

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Verstehen ermöglichen - „einsehen“Verstehen ermöglichen - „einsehen“

25 • 36

100 • 9 = 900

Ist es der Lehrer, der hier den „Trick“ zeigt, ihn ERLAUBT oderkann das Kind auch sehen warum das so ist?

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halb so hoch ist doppelt so breithalb so hoch ist doppelt so breit

3 • 86 • 4

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Fundamentale IdeenFundamentale Ideen

Geo

met

r ie Ar ithmetik

Größen

• Die Idee der räumlichen Strukturierung

• Die Idee der Teil – Ganzes – Beziehung

• Die Idee der Zahl

• Die Idee der Form

• Die Idee des Messens

• Die Idee der Gesetzmäßigkeiten und Muster

• Die Idee der funktionalen Abhängigkeit

• Die Idee der Symmetrie

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Beispiel: Muster am ZehnerkreisBeispiel: Muster am Zehnerkreis

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Abermals: Aufgabe gelöst

� realisierbare Ziele?

� Mögliche Weiterführungen?

� Möglichkeiten zu differenzierendem

Arbeiten?

(Muster an der Uhr, Muster an der

Hundertertafel, am Kalender ...)

Zur UnterrichtsgestaltungZur Unterrichtsgestaltung

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Muster an der HundertertafelMuster an der Hundertertafel

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Muster und Strukturen am KalenderMuster und Strukturen am Kalender

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LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8Lerntätigkeit

Lösen der Aufgabe 6 • 8

ProzessLösungsweg

5 • 8 + 8D (3 • 8)

8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8

�Verfestigung � Generalisierung � Verallgemeinerung �

ResultatLösung

6 • 8 = 48

• Fähigkeiten• Verfahrensk.• Gewohnheiten• Einstellungen

• Kenntnisseder GAG

„Inneres Bild“ vom Mathematikunterricht

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Ein moderner Mathematikunterricht verbindet Arithmetik und GeometrieEin moderner Mathematikunterricht verbindet Arithmetik und Geometrie

• Arithmetische Sachverhalte mit geometrische Aktivitäten verdeutlichen (z.B. dass die Summe zweier gerader Zahlen gerade ist)

• Geometrische Sachverhalte als Ausgangspunkt für arithmetischen Fragestellungen nutzen (z.B. die gezeichneten „Multiplikationsblumen“)

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Anschauung im UnterrichtAnschauung im Unterricht

� Unterricht wird nicht dadurch anschaulich, dass genau die in den Sachverhalten benutzten Dinge vorhanden sind,

sondern vielmehr dadurch

� dass die Kinder grundlegende Erfahrungen besitzen, prinzipielle Mittel und Methoden des Veranschaulichens kennen und diese und ihre produktive Phantasie nutzen.

(vgl. Elefant)

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Anschauung im UnterrichtAnschauung im Unterricht

... ebene Objekte,

also Plättchen ... ?

Nehmen wir ...

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Anschauung im UnterrichtAnschauung im Unterricht

... runde Objekte?

Nehmen wir ...

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Anschauung im UnterrichtAnschauung im Unterricht

...WÜRFEL !die Bausteine der Raumgeometrie

Nehmen wir ...

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Anschauung im UnterrichtAnschauung im Unterricht

Für ein lernendes Kind sind Holzwürfel

� in der einen Situation Bausteine,

� in einer anderen Situation Goldstücke

zum Bezahlen und

� eine Stunde später Pflaumen, Äpfel usw. verkörpern.

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Anschauung im UnterrichtAnschauung im Unterricht

Räumliche Objekte und Prozesse veranschaulichen

• Zahlen,

• Zahlbeziehungen und

• Operationen

Die Arbeit mit ihnen trägt zur kontinuierlichen Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens der Kinder bei.

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als Repräsentanten von Zahlenals Repräsentanten vonRechenoperationen (statisch)

als Repräsentanten von Rechenoperationen (dynamisch)

1. Vorstellen von Objekten

2. Vorstellen von Prozessen

4 8 9 4 + 6 6 + 3

Bauen mit Würfeln und Vorstellen

7 + 2

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Formen und Anzahlen erfassenFormen und Anzahlen erfassen

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Anzahlen erfassen und mehr ...Anzahlen erfassen und mehr ...

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Anzahlen erfassen und mehr ...Anzahlen erfassen und mehr ...

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Anzahlen darstellen ...Anzahlen darstellen ...

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Anzahlen vergleichen - gedanklich umordnenAnzahlen vergleichen - gedanklich umordnen

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Anzahlen vergleichen - gedanklich umordnenAnzahlen vergleichen - gedanklich umordnen

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Beispiel: Anzahlen quasisimultan erfassen -dabei gedanklich zergliedern

Beispiel: Anzahlen quasisimultan erfassen -dabei gedanklich zergliedern

4 + 2 oder 3 + 3 6 + 2 oder 4 + 4

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Beispiel: Anzahlen erfassen -Strukturierungen und Strategien

Beispiel: Anzahlen erfassen -Strukturierungen und Strategien

Wie viele sind es? Wie hast du es gesehen? Erkläre

6 + 4 5 + 5

12 - 22 · 5 4 + 4 + 2

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Term und VeranschaulichungTerm und Veranschaulichung

Vorgabe: 2 D - Darstellung

Paul kam vorhin und sagte, dass hier die Aufgabe 4 + 3 passt. Kannst du einmal so färben, wie er dass meint?

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Vorstellen von Objekten

Horizontal- und Vertikaltrennung

Term und VeranschaulichungTerm und Veranschaulichung

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Vorstellen von Objekten

„Gute Gestalten“

Trennung parallel zur Ebene der Netzhaut des Auges (sagittal)

Term und VeranschaulichungTerm und Veranschaulichung

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Vorstellen von Prozessen

Term und VeranschaulichungTerm und Veranschaulichung

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Operationsverständnis entwickeln -Terme veranschaulichen

Operationsverständnis entwickeln -Terme veranschaulichen

9 + 14 + 4 8 + 2 4 + 3

6 + 46 + 2

8 + 5

6 + 4 5 + 3

6 + 36 + 3 7 + 2

Färbe passend zur Aufgabe

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Operationsverständnis entwickeln -Terme veranschaulichen

Operationsverständnis entwickeln -Terme veranschaulichen

• vom Sachverhalt zum Term(zu Sachverhalten Terme bilden)

• vom Term zum Sachverhalt (Terme interpretieren, Geschichten erzählen, Bilder zuordnen ...)

• erst dann Gleichungen

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Die Zahl als Maßzahl - LängeDie Zahl als Maßzahl - Länge

Gleichgültig, wie groß die Einheit gewähltwird, 4 ist immer die Mitte zwischen 0 und 8

Die Zahl ist Relationalzahl

40 8

0 4 8

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Die Zahl als RelationalzahlDie Zahl als Relationalzahl

Schulmathematik und „Straßenmathematik“

• 4 Joghurt zu je 47 Cent

• An der Kasse bei 5 Artikeln mit Preisen von 3,78€, 4,22€, 4,18€, 3,98€, 4,09€

• Wo liegt 475? Wie stellen wir uns 475 vor?

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Der Zahlenstrahl - (k)ein ProblemDer Zahlenstrahl - (k)ein Problem

• Vorbehalte gegen den Zahlenstrahl

• So nutzen wir den Zahlenstrahl

• Zahlenstrahl und leerer Zahlenstrahl („Rechenstrich“)

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Rechenwege darstellenRechenwege darstellen

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RECHENSTRATEGIENRECHENSTRATEGIEN

RECHENSTRATEGIEN

erarbeiten

festigen - beim Lösen

• erleben, welcher Weg für welcheAufgabe

• Erleben, welche Wege man „mag“

bewusst auswählen

• wählen kann nur, wer ...

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Rechenwege darstellenRechenwege darstellen

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Die Zahl als Maßzahl - FlächeDie Zahl als Maßzahl - Fläche

Lege mit Würfeln Rechtecke aus.

Bei welchen Zahlen gibt es viele Möglichkeiten?

Bei welchen Zahlen kannst du Quadrate legen?

Bei welchen Zahlen werden es nur „Schlangen“?

aus: MATHEMATIKUS - Klasse 1 (und später - Spiralen!!!)

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Idee der Gesetzmäßigkeiten und MusterIdee der Gesetzmäßigkeiten und Muster

� Zahlen und geometrische Objekte besitzen Beziehungen, die sich in Gesetzmäßigkeiten und Mustern widerspiegeln.

� Derartige Strukturen sind von Klasse 1 an der eigentliche Lerngegenstand der Mathematik.

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Es gibt gerade und ungerade Zahlen. Welche Zahlen sind gerade?

Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster

aus: MATHEMATIKUS - Klasse 1 (und später - Spiralen!!!)

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Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster

Die Summe zweier ungerader Zahlen iststets gerade.

aus: MATHEMATIKUS - Klasse 1 (und später - Spiralen!!!)

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Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer durch 3 teilbar.

Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster

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Die Summe von fünf aufeinanderfolgenden Zahlen ist ...

Die Summe von vier aufeinanderfolgenden Zahlen ist ...

Ausgehend von Handlungen können die Kinder selbst herausfinden, was hier und bei anderen Zahlen gilt.

Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster

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Warum kann man bei Produkten mit mehreren Faktoren die Faktoren in beliebiger Reihenfolge multiplizieren?

Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster

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Wie viele Rechtecke sind jeweils zu sehen?Wie viele sind es bei 100 Quadraten?Wer erkennt das Muster?

3

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Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster

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Wie viele Quadrate sind in jeder Figurzu sehen?

Wie viele sind es im Hunderterquadrat?

Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster

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Wie viele Schnittpunkte entstehen höchstens bei2 Geraden3 Geraden4 Geraden5 Geraden100 Geraden

Wer sieht die Regelmäßigkeit?

Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster

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Gesetzmäßigkeiten und MusterGesetzmäßigkeiten und Muster

Die Arbeit mit Mustern ist neben anderem von Bedeutung für die Entwicklung allgemeiner geistiger Fähigkeiten: Analysieren, Vergleichen, Abstrahieren, Konkretisieren

Konsequenz:Vom Kleinkindalter an mit Mustern arbeiten,Muster mit systematisch steigendem Schwierigkeitsgrad erfassen, fortsetzen, erfinden ...

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OrnamenteOrnamente

Zum Begriff Bandornament

ornare - schmücken

MOTIV und MUSTER

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Bandornamente

• Begriff

• Motiv und Muster

• wählen wir Motive ...

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OrnamenteOrnamente

• Wie viele verschiedene mag es wohl geben?

• Probieren Sie es mit Kindern aus!• Kinder können Ornamente herstellen: Mit

Stempeln (z.B. Kartoffeldruck), mit Schablonen, auf Kästchenpapier zeichnen

• eine Schablone kann gewendet werden, damit ist - im Gegensatz zum Stempeln - die Achsenspiegelung des Motivs möglich!!!

• Schablonen können die Kinder selbst aus Pappe ausschneiden

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Ornamente

nur Verschiebung, keinerlei Spiegelung

Ornamente

nur Verschiebung, keinerlei Spiegelung

b b b b b b b b b b b

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Ornamente

nur Punktspiegelung

Ornamente

nur Punktspiegelung

b b b b b q q q q q

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Ornamente

LängsspiegelungQuerspiegelung

(beidbeiniges Hüpfen)

Ornamente

LängsspiegelungQuerspiegelung

(beidbeiniges Hüpfen)

b b b bp p p p

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Ornamente

Querspiegelungkeine Längsspiegelung

Ornamente

Querspiegelungkeine Längsspiegelung

db db db db db db db

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Ornamente

Punktspiegelung,Längsspiegelung,Querspiegelung

Ornamente

Punktspiegelung,Längsspiegelung,Querspiegelung

b d b d b d b d p q p q p q p q

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Ornamente

Punktspiegelung Querspiegelung,

keine Längsspiegelung

Ornamente

Punktspiegelung Querspiegelung,

keine Längsspiegelung

db db db db qp qp qp

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Ornamente

Schubspiegelungkeine Längsspielung

keine Querspiegelung

Ornamente

Schubspiegelungkeine Längsspielung

keine Querspiegelung

b b b bp p p

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Nacheinanderausführung von Bewegungen

Nacheinanderausführung von Bewegungen

SQPP

VSS

PV(i)PQQ

QVPV (i)SL

PSQSVV

PSQLV

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BeobachtungsmöglichkeitenBeobachtungsmöglichkeiten

• Inwieweit kann das Kind Anzahlen erfassen und wie

macht es das?

• Ist das Kind insbesondere in der Lage, Figuren vor

dem Hintergrund zu erkennen?

• Nutzt das Kind Zahlen als Ordnungszahlen zum

Beschreiben eines Bandornamentes?

• Welche Farben kennt das Kind?

• Welche der Begriffe Dreieck, Viereck, Quadrat und

Kreis kennt es?

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BeobachtungsmöglichkeitenBeobachtungsmöglichkeiten

• Erkennt das Kind verschiedenste Repäsentanten geometrischer Begriffe (also beispielsweise auch ungleichseitige Dreiecke oder Vierecke, die keine Rechtecke sind als solche?

• Erkennt das Kind die Repräsentanten unabhängig von ihrer Lage, insbesondere also auch wenn keine Seite des Dreiecks oder Vierecks parallel zur Blattkante liegt?

• Über welche sprachlichen Fähigkeiten zum Beschreiben des Ornaments verfügt das Kind?

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BeobachtungsmöglichkeitenBeobachtungsmöglichkeiten

• Nutzt das Kind insbesondere Lagebeziehungen

(rechts, links, rechts von, links von, über, unter,

oben, unten, zwischen, …) zum Beschreiben des

Ornamentes?

• welche motorischen Fähigkeiten und Fertigkeiten

zeigte das Kind beim Fortsetzen des Ornaments?

• erfasst das Kind die dem Muster zugrunde liegende

Gesetzmäßigkeit?

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Bandornamente fortsetzen - LegenBandornamente fortsetzen - Legen

Hier und auf den folgenden Seiten sehen Sie, wie Vorschulkinder Ornamente fortsetzten. Analysieren Sie die Arbeit des Kindes und überlegen Sie, wie das Kind fortsetzte, was das Motiv für den Fehler war.

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Bandornamente fortsetzen - LegenBandornamente fortsetzen - Legen

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Bandornamente fortsetzen - LegenBandornamente fortsetzen - Legen

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Bandornamente fortsetzen - LegenBandornamente fortsetzen - Legen

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Bandornamente fortsetzen - LegenBandornamente fortsetzen - Legen

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Bandornamente fortsetzen - zeichnenBandornamente fortsetzen - zeichnen

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Bandornamente fortsetzen - zeichnenBandornamente fortsetzen - zeichnen

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Bandornamente fortsetzen - zeichnenBandornamente fortsetzen - zeichnen

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Bandornamente fortsetzen - zeichnenBandornamente fortsetzen - zeichnen

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Bandornamente fortsetzen - zeichnenBandornamente fortsetzen - zeichnen

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Muster auf unseren Wegen- Verbindung Mathematik - Umwelt - handlungsorientiert- fächerübergreifend

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H. Paulsen: Mit Zirkel, Lineal, Tusche und

Fantasie

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Zur UnterrichtsgestaltungZur Unterrichtsgestaltung

Hauptweg zur Realisierung der Ziele des Unterrichts -

Sicherung von geistiger Aktivität der Kinder, die auf den Aneignungsgegenstand gerichtet ist

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Zur UnterrichtsgestaltungZur Unterrichtsgestaltung

Geeignetes Arbeiten mit Aufgaben� Auswahl der Aufgaben� Anordnung der Aufgaben� Stellen der Aufgaben im Unterricht� Ingangsetzen und Inganghalten des Prozesses der

Aufgabenbearbeitung� Organisation der Rückbesinnung

� auf das Ergebnis� auf den Lösungsweg

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Zur UnterrichtsgestaltungZur Unterrichtsgestaltung

Ein breites Aufgabenspektrum einsetzen,Die Aufgaben überlegt anordnen

Die Aufgabe allein bewirkt wenig ...Sie ermöglicht für eine Unterrichtsgestaltung, die • jeden Schüler erreicht und • jedem Schüler Entwicklungsmöglichkeiten bietet.

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Tätigkeiten

• handwerklich-praktisch

• gedanklich-theoretisch

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Handeln und Lernen:

äußere Handlung und geistige Tätigkeit

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Quader - mehr als eine bunte Kiste ...

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www.mathematikus.de

Freeware des Projektes EGOS

entwickelt an der Uni Rostock

derzeit fortgeführt

An der PH Schwäbisch Gmünd