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Fraktale DimensionMessen von Komplexität
Sebastian Holtermann
Fraktale Dimension – p. 1
Dimension
Der Begriff Dimension geht zurück auf die EuklidischeGeometrie und soll soviel wie „Anzahl derAusdehnungen“ bedeuten.
Fraktale Dimension – p. 2
Euklidische Geometrien
Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.
Kreisen Dreiecken Wuerfeln
−→ Drastische Abstraktionen−→ Ganzzahlige Dimension
Fraktale Dimension – p. 3
Euklidische Geometrien
Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.
Kreisen
Dreiecken Wuerfeln
−→ Drastische Abstraktionen−→ Ganzzahlige Dimension
Fraktale Dimension – p. 3
Euklidische Geometrien
Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.
Kreisen Dreiecken
Wuerfeln
−→ Drastische Abstraktionen−→ Ganzzahlige Dimension
Fraktale Dimension – p. 3
Euklidische Geometrien
Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.
Kreisen Dreiecken Wuerfeln
−→ Drastische Abstraktionen−→ Ganzzahlige Dimension
Fraktale Dimension – p. 3
Euklidische Geometrien
Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.
Kreisen Dreiecken Wuerfeln
−→ Drastische Abstraktionen
−→ Ganzzahlige Dimension
Fraktale Dimension – p. 3
Euklidische Geometrien
Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.
Kreisen Dreiecken Wuerfeln
−→ Drastische Abstraktionen−→ Ganzzahlige Dimension
Fraktale Dimension – p. 3
Euklidische Geometrien
Geraden und Geradenabschnitte (Strecken)
Erstrecken sich in nur einer Richtung (Dimension).
D = 1
Fraktale Dimension – p. 4
Euklidische Geometrien
Geraden und Geradenabschnitte (Strecken)
Erstrecken sich in nur einer Richtung (Dimension).
D = 1
Fraktale Dimension – p. 4
Euklidische Geometrien
Ebenen und Ebenenstücke (Flächen)
Ebene Dreieck Kreis
Erstrecken sich in zwei Dimensionen.
D = 2
Fraktale Dimension – p. 5
Euklidische Geometrien
Ebenen und Ebenenstücke (Flächen)
Ebene Dreieck Kreis
Erstrecken sich in zwei Dimensionen.
D = 2
Fraktale Dimension – p. 5
Euklidische Geometrien
Raum und Raumteile (Volumen)
Würfel Kugel
Erstrecken sich in drei Dimensionen.
D = 3
Fraktale Dimension – p. 6
Euklidische Geometrien
Raum und Raumteile (Volumen)
Würfel Kugel
Erstrecken sich in drei Dimensionen.
D = 3
Fraktale Dimension – p. 6
Dimension eines Vektorraumes
Sind~a1,~a2, . . . ,~an (1)
linear unabhängige Elemente eines Vektorraumes V undfür jedes weitere Element ~a ∈ V existieren nichtverschwindende Koeffizienten λi, so dass
n∑
i=0
λi~ai + λ~a︸︷︷︸
6=~0
= 0 (2)
Dann bilden die Vektoren ~a1,~a2, . . . ,~an eine Basis von Vund die Dimension D von V ist D = n.
Fraktale Dimension – p. 7
Faltung in höherer Dimensionen
1-D in 2-D: {x|x ∈ [0, 1]} → R2
−→
f1 : G→ R2
2-D in 3-D: {(x, y)|x, y ∈ [0, 1]} → R3
−→
f2 : E → R3
Fraktale Dimension – p. 8
Faltung in höherer Dimensionen
1-D in 2-D: {x|x ∈ [0, 1]} → R2
−→
f1 : G→ R2
2-D in 3-D: {(x, y)|x, y ∈ [0, 1]} → R3
−→
f2 : E → R3
Fraktale Dimension – p. 8
Wie lang ist die Küste von England?
Zirkelmethode
Zirkelweite: ε = 100 kmLänge: 3800 km
Zirkelweite: ε = 50 kmLänge: 5770 km
Fraktale Dimension – p. 9
Wie lang ist die Küste von England?
Zirkelmethode
Zirkelweite: ε = 100 kmLänge: 3800 km
Zirkelweite: ε = 50 kmLänge: 5770 km
Fraktale Dimension – p. 9
Wie lang ist die Küste von England?
Zirkelmethode
Zirkelweite: ε = 100 kmLänge: 3800 km
Zirkelweite: ε = 50 kmLänge: 5770 km
Fraktale Dimension – p. 9
Wie lang ist die Küste von England?
Zirkelmethode
Zirkelweite: ε = 100 kmLänge: 3800 km
Zirkelweite: ε = 50 kmLänge: 5770 km
Fraktale Dimension – p. 9
Wie lang ist die Küste von England?
Feststellungen
Die Länge L der Küstenlinie hängt von der Größedes Maßstabes ε ab: L = L(ε).
Mit kleiner werdendem Maßstab ε divergiert dieLänge L(ε) der Küste.
An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeitgewährleistet.
→ Paradox←
Fraktale Dimension – p. 10
Wie lang ist die Küste von England?
Feststellungen
Die Länge L der Küstenlinie hängt von der Größedes Maßstabes ε ab: L = L(ε).
Mit kleiner werdendem Maßstab ε divergiert dieLänge L(ε) der Küste.
An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeitgewährleistet.
→ Paradox←
Fraktale Dimension – p. 10
Wie lang ist die Küste von England?
Feststellungen
Die Länge L der Küstenlinie hängt von der Größedes Maßstabes ε ab: L = L(ε).
Mit kleiner werdendem Maßstab ε divergiert dieLänge L(ε) der Küste.
An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeitgewährleistet.
→ Paradox←
Fraktale Dimension – p. 10
Wie lang ist die Küste von England?
Feststellungen
Die Länge L der Küstenlinie hängt von der Größedes Maßstabes ε ab: L = L(ε).
Mit kleiner werdendem Maßstab ε divergiert dieLänge L(ε) der Küste.
An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeitgewährleistet.
→ Paradox←
Fraktale Dimension – p. 10
Wie lang ist die Küste von England?
Feststellungen
Die Länge L der Küstenlinie hängt von der Größedes Maßstabes ε ab: L = L(ε).
Mit kleiner werdendem Maßstab ε divergiert dieLänge L(ε) der Küste.
An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeitgewährleistet.
→ Paradox←
Fraktale Dimension – p. 10
Mandelbrot’s Lösung: Fraktale
Die Küste ist ein Mittelding zwischen Linie undFläche, ein „Monstrum“ mit nicht ganzahligerDimensionalität.
Ein Fraktal ist eine Menge, derenHausdorff-Besicowitch-Dimension echt dietopologische Dimension übersteigt.
Fraktale Dimension – p. 11
Mandelbrot’s Lösung: Fraktale
Die Küste ist ein Mittelding zwischen Linie undFläche, ein „Monstrum“ mit nicht ganzahligerDimensionalität.
Ein Fraktal ist eine Menge, derenHausdorff-Besicowitch-Dimension echt dietopologische Dimension übersteigt.
Fraktale Dimension – p. 11
Volumenbestimmung
Flächenbestimmung eines Quadrates.
ε = 12
N(ε) = 4
ε = 14
N(ε) = 16
ε = 18
N(ε) = 32
V (ε) = N(ε) · ε2 (3)
Fraktale Dimension – p. 12
Volumenbestimmung
Flächenbestimmung eines Quadrates.
ε = 12
N(ε) = 4
ε = 14
N(ε) = 16
ε = 18
N(ε) = 32
V (ε) = N(ε) · ε2 (4)
Fraktale Dimension – p. 12
Volumenbestimmung
Strecke
V (ε) = n ·
(C
n
)1
= C
Quadrat
V (ε) = n2 ·
(C
n
)2
= C2
Wurfel
V (ε) = n3 ·
(C
n
)3
= C3
Fraktale Dimension – p. 13
Kapazitätsdimension DC
Allgemein
V (ε) = N(ε) · εDC ← Kapazitätsdimension
DC = limε→0
(ln(V (ε))
ln(ε) −ln(N(ε))
ln(ε)
)
Ergebnisse nur interessant, wenn V (ε) konvergiert.
DC = −ln(N(ε))
ln(ε)
Fraktale Dimension – p. 14
Kapazitätsdimension DC
Allgemein
V (ε) = N(ε) · εDC ← Kapazitätsdimension
DC = limε→0
(ln(V (ε))
ln(ε) −ln(N(ε))
ln(ε)
)
Ergebnisse nur interessant, wenn V (ε) konvergiert.
DC = −ln(N(ε))
ln(ε)
Fraktale Dimension – p. 14
Kapazitätsdimension DC
Allgemein
V (ε) = N(ε) · εDC ← Kapazitätsdimension
DC = limε→0
(ln(V (ε))
ln(ε) −ln(N(ε))
ln(ε)
)
Ergebnisse nur interessant, wenn V (ε) konvergiert.
DC = −ln(N(ε))
ln(ε)
Fraktale Dimension – p. 14
Kapazitätsdimension DC
Allgemein
V (ε) = N(ε) · εDC ← Kapazitätsdimension
DC = limε→0
(ln(V (ε))
ln(ε) −ln(N(ε))
ln(ε)
)
Ergebnisse nur interessant, wenn V (ε) konvergiert.
DC = −ln(N(ε))
ln(ε)
Fraktale Dimension – p. 14
Beispiel: Koch’s Kurve
Fraktale Dimension – p. 15
Literatur
John Argyris, Gunter Faust, Maria Haase DieErforschung des Chaos
Benoît B. Mandelbrot Die fraktale Geometrie derNatur
H. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Bausteine desChaos - Fraktale
Jänich Lineare Algebra
Fraktale Dimension – p. 16
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