Gymnasium Norf Jgst.12

Facharbeit

im Grundkurs Mathematik

Fraktale Geometrie

Verfasser/in: Walter Wißdorf

Kursleiter/in: Horst Fischer

Abgabetermin: 28.02.2001

Gliederung

1. Einleitung

1.1 Begründung der Themenwahl

1.2.Zielsetzung der Arbeit

1.3.Überblick über den Aufbau der Arbeit

2 Was ist ein Fraktal ?

2.1.Allgemeine Eigenschaften von Fraktalen

2.1.1. Entstehung durch Iteration

2.1.2. Selbstähnlichkeit

2.1.3. Komplexität

2.1.4. Gebrochene Dimension

2.1.5.Empfindlichkeit auf die Startbedingungen

2.2.Erläuterung der Eigenschaften am Beispiel der Kochschen Kurve

2.3.Die fraktale Dimension und ihre Berechnung

3. Erzeugung von Fraktalen

3.1 Mathematische Voraussetzungen für die Erzeugung von

Juila- und Mandelbrotmengen (Parameterräume)

3.1.1. Der Mangel der Menge Doppelstrich R

3.1.2. die Imaginäre Zahl

3.1.3. Operationsregeln komplexer Zahlen

3.1.4. Doppelstrich C, die Komplexe Ebene

3.1.5. Iterationen in der Komplexen Ebene

3.2.Julia- und Mandelbrotmengen

3.2.1. Die Julia Mengen

3.2.2. Die Mandelbrotmengen (Parameterräume)

4 Exkurs: Was hat Fraktale ermöglicht ?

4.1.Die Menschen hinter den Bildern

4.1.1. Gaston Julia

4.1.2. Benoit Mandelbrot

4.2.Computer, essentielles Werkzeug.

4.2.1. Ohne Computer keine Fraktale

4.2.2. Entwicklung der Computertechnologie

5. Anwendung von Fraktalen

5.1. Fraktale in der Graphik

5.1.1. Fraktale als Hilfsmittel zur Darstellung natürlicher Fraktale

5.1.2. Fraktale in der Bildkompression

5.2 Physikalische Anwendungen

6. Einordnung der Fraktalen Geometrie in der klassischen Mathematik

7. Schluß

8. Anhang

8.1. Literatur und Quellenverzeichnis

8.2. Bildverzeichnis

8.3 Sonstige Hilfsmittel

8.4 Erklärung

-3-

1. Einleitung

1.1 Begründung der Themen Wahl

Fraktale sind faszinierende Objekte, die einen schon fast

mystischen Charakter haben. Sie sehen kompliziert und

unbegreiflich aus, entstehen aber mit Hilfe einfacher

mathematischer Verfahren. Diese einfache Erzeugung, die hoch

komplexe Ergebnisse hervorbringt ist das, was die fraktale

Geometrie von der klassischen Mathematik abhebt. Objekte wie

die Mandelbrotmenge kennen viele Menschen, doch nur wenige

wissen wie sie entsteht. Dieser Umstand reizt mich und ist

der Grund für meine Themenwahl

1.2 Zielsetzung der Arbeit

Die vorliegende Facharbeit soll eine Einführung in die Welt

der Fraktale und der fraktalen Geometrie ermöglichen. Auf

Grund des gegebenen Umfangs der Arbeit ist es nicht möglich,

auf alle mathematischen Einzelheiten gezielt einzugehen.

Einige Zusammenhänge würden den Umfang deutlich sprengen, wie

zum Beispiel die genaue Herleitung des Hausdorffschen

Dimensionsbegriffs. In solchen Fällen muß eine vereinfachte

Schilderung zur Verständnissicherung genügen. Die Arbeit soll

und kann nur eine oberflächliche Einführung in die fraktale

Geometrie darstellen, die allerdings das Interesse an der

Thematik wecken soll.

1.3 Überblick über den Aufbau der Arbeit

Die Arbeit ist thematisch in vier Kapitel gegliedert: die

Definition eines Fraktals, die Erzeugung von Fraktalen, ein

Exkurs über die Voraussetzungen, die die fraktale Geometrie

möglich gemacht hat, und die Anwendung der fraktalen

Geometrie.

-4-

2. Was ist ein Fraktal?

2.1 Allgemeine Eigenschaften von Fraktalen

Das Wort „Fraktal“ wurde von Benoit Mandelbrot geprägt und

stammt von „fractus“, was aus dem Lateinischen kommt und

„gebrochen“ bedeutet. Fraktale sind Kurven, Körper oder

Mengen, die mit ihren besonderen Eigenschaften Zusammenhänge

beschreiben, die mit Hilfe der klassischen Geometrie nicht,

oder nur mit großen Schwierigkeiten beschrieben werden

können. Fraktale findet man vor allem in der Natur. Benoit

Mandelbrot eröffnet sein berühmtes Buch: „Die fraktale

Geometrie der Natur“, mit der Feststellung, dass Wolken oder

Berge nicht aus euklidischen Körpern bestehen. Diese Struktu-

ren sind gebrochen, eben Fraktale. Im folgenden werden die

typischen Eigenschaften von Fraktalen näher erläutert:

2.1.1 Iterative Erzeugung

Fraktale entstehen durch Iteration. Iterieren bedeutet

wiederholen, was sich auf eine normalerweise recht einfache

Rechenvorschrift bezieht, die wiederholt durchgeführt wird.

Beispielsweise: . Bei dieser Gleichung wird einex x cn n= +−1

Zahl X mit einer positiven Konstante C addiert und dann das

Ergebnis wieder in die Gleichung eingesetzt. Bei jedem

Iterationsschritt steigt X um C. Um die Vorgabe der unendli-

chen Komplexität zu erfüllen, müßten bei der Generierung

eines Fraktals unendlich viele Iterationen durchgeführt

werden, was praktisch unmöglich ist. Folglich ist jedes

Fraktal nur eine näherungsweise Darstellung des theoretischen

Fraktals, die durch mehr Iterationen genauer gemacht werden

kann.

-5-

2.1.2 Selbstähnlichkeit

Fraktale sind selbstähnlich. Selbstähnlichkeit bedeutet,

dass, egal in welcher Vergrößerung man ein Fraktal betrach-

tet, es immer gleich oder wenigstens ähnlich aussieht. Dieses

wichtige Phänomen entsteht durch die iterative Generierung

von Fraktalen. Ein und dieselbe Vorschrift wird im Idealfall

unendlich oft, ansonsten mehrmals, durchgeführt. Dieses

einfache Prinzip erzeugt oft gleiche oder ähnliche Ergeb-

nisse, auch dann, wenn der Betrachtungsausschnitt kleiner

wird.

2.1.3 Komplexität

Fraktale sind unendlich komplex. Ein Kreis wird bei Betrach-

tung eines unendlich kleinen Ausschnittes zu einer Geraden.

Ein Fraktal hingegen mündet nie in eine euklidische Figur

wie beispielsweise eine Gerade. Egal wie klein der Betrach-

tungsausschnitt auch wird, ein Fraktal behält seine Kom-

plexität bei. Auch hier liegt die Begründung im iterativen

Charakter verborgen: Ein ideales Fraktal ist unendlich oft

iteriert. Jede einzelne Iteration erzeugt ein komplexeres

Bild. Folglich wird man immer, auch wenn der Ausschnitt

unendlich klein ist, noch ein iteratives also ein komplexes

Bild erhalten. Ein weiteres Phänomen von Fraktalen ist die

unendliche Länge dieser Figuren. Fraktale werden durch

Iteration immer komplexer, das ist allerdings auch zwangs-

läufig mit einer Längenzunahme verbunden. Fast alle Fraktale

werden mit jedem Iterationsschritt um einen bestimmten Betrag

länger. Iterieren wir ein Fraktal unendlich oft wird es auch

unendlich lang.

2.1.4 Fraktale sind stark abhängig von den

Startbedingungen

-6-

Durch Iteration gewinnt nach wenigen Schritten auch schon

eine minimale Änderung der Startbedingungen schnell an

Bedeutung. Durch diesen Effekt sind Fraktale enorm abhängig

von den Startbedingungen. Diese starke Abhängigkeit, die mit

dem sogenannten „Schmetterlingseffekt“ verwandt ist, hat eine

tragende Rolle bei der Verknüpfung von Chaostheorie und

fraktaler Geometrie.

2.1.5 Gebrochene Dimension

Der topologische Dimensionsbegriff ist in der Mathematik und

auch im alltäglichen Leben weit verbreitet. Die topologischen

Dimensionen sind geradzahlig. Eine Gerade besitzt die

topologische Dimension 1, weil sie sich nur in einer Richtung

ausbreitet. Eine theoretische ideale Gerade hat keine

Breite. Eine Ebene ist zweidimensional, da sie sich in zwei

Richtungen ausbreitet. Punkte werden auf ihr durch zwei

Koordinaten lokalisiert, bei einer Geraden hingegen reicht

eine einzige. Ein dreidimensionaler Körper, beispielsweise

ein Würfel, besitzt eine weitere Ausbreitungsrichtung. Punkte

haben infolgedessen drei Koordinaten. Fraktale zeichnen sich

nun dadurch aus, das sie keine gerade, topologische sondern

eine gebrochene, fraktale Dimension besitzen. Die Idee und

die mathematischen Grundlagen einer gebrochenen Dimension

stammen von Felix Hausdorff. Die fraktale Dimension ist ein

Maß dafür wie „zerklüftet“ oder „gebrochen“ eine Figur oder

ein Körper ist. Fraktale Dimensionen liegen zwischen Gerade

und Würfel, also zwischen 1 und 3. Besitzt eine Figur eine

Dimension die nahe bei 1 liegt, ist sie fast eine Gerade. Je

zerklüfteter sie wird desto höher wird ihre Dimension, bis

sie bei 2 schließlich unendlich verwinkelt ist und zu einer

Ebene wird. Besitzt eine Figur eine Dimension die zwischen 2

und 3 liegt geht sie in einen Raum über. Beispielsweise

besitzen Wolken eine durchschnittliche Dimension von 2,35,

also befinden sie sich zwischen einer Ebene und einem Raum.

-7-

2.2 Erläuterung der Eigenschaften an der Kochschen Kurve

Die Kochsche Kurve geht auf den Mathematiker Helge von Koch

zurück, der sie 1904 entwickelte.

Sie entsteht in drei Schritten: Der erste Schritt ist eine

Strecke, die die willkürliche Länge l besitzt. Diese Strecke,

trägt den Namen Initiator. Dann wird ein gleichseitiges

Dreieck mit der Seitenlänge in der Mitte angefügt, dasl3

das ursprüngliche Teilstück der Strecke ersetzt. Dieser

Schritt heißt Erzeuger oder Konstruktor. Bei jedem Itera-

tionsschritt werden die Strecken der vorangegangenen Figur

durch den jeweils verkleinerten Konstruktor ersetzt. Das

Ergebnis ist die Kochsche Kurve. Bei jeder Iteration wird sie

um ein Drittel länger als sie bei der vorhergegangenen

Iterationsstufe war. Durch eine Änderung am Initiator, indem

man ihn durch ein gleichseitiges Dreieck ersetzt, entsteht

die Kochsche Schneeflocke. Sie ist geschlossen und schließt

eine definierte Fläche ein. Trotzdem ist sie unendlich lang,

da sie bei jeder Iteration länger wird und im Idealfall

unendlich oft iteriert wurde. Weiterhin ist sie selbstähnlich

-8-

InitiatorNach 2Iterationen

Nach 5Iterationen

und komplex. Betrachtet man nur einen Ausschnitt, egal wie

klein, so ist er komplex und nicht von anderen Vergrösse-

rungsstufen zu unterscheiden. Durch die Komplexität ist auch

zu erklären, warum die Koch-Kurve an keiner Stelle eine

Ableitung besitzt. Man kann an keiner Stelle eine Tangente

anlegen, da sie an jeder Stelle gebrochen ist.

(Bild 2,3,4:

Die Kochsche Schneeflocke in

verschiedenen Iterationsstufen )

2.3. Die fraktale Dimension und ihre Berechnung

Es gibt viele Methoden zur Berechnung der fraktalen Dimensi-

on, doch sind sie oft hoch kompliziert und nur auf ein

bestimmtes Fraktal anwendbar. Eine der einfachsten Varianten

basiert auf der sogenannten Hausdorff Dimension. Die genaue

Einführung in diese Theorie allerdings würde den Rahmen

dieser Arbeit sprengen. Man betrachtet zunächst bekannte

Objekte der topologischen Dimension 1, 2 und 3, zum Beispiel

Strecke, Ebene oder Kubus. Nun teilt man diese Objekte

regelmäßig in N gleichgroße Teile. Um einen der N gleichen

Teile einer Strecke zu erhalten, muß man sie selbst mit rN

=1

skalieren. Analog dazu muß man um eins von N Teilquadraten zu

erhalten das Ausgangsquadrat mit und Quadrate mit rN

=1

rN

=1

2

skalieren. Daraus ergibt sich ein Potenzgesetz: Nr D=1

Bei diesem Ausdruck ist D die Dimension des Objekts.

-9-

Formt man den Ausdruck um, so kann man D durch

berechnen.DN

r

=log

log1

Auch für die Kochsche Kurve gilt dieses Potenzgesetz. Jedes

Segment der Kurve besteht aus 4 Teilsegmenten, die durch eine

Skalierung mit dem Faktor aus einem vorhergegangenen13

Segment entsteht. Die Dimension der Kochschen Kurve berechnet

sich daher folgendermaßen: . Diese DimensionD = =loglog

,43

1 26

deutet auf die relative Nähe zu einer Geraden hin. Die

Kochsche Kurve ist im Vergleich zu anderen Fraktalen wenig

verzweigt.

3. Erzeugung von Fraktalen

Im folgenden möchte ich auf die Erzeugung der beiden bekann-

testen Fraktale, die Julia- und Mandelbrotmengen, eingehen.

3.1 Mathematische Voraussetzungen für die Erzeugung von

Juila- und Mandelbrotmengen (Parameterräume)

3.1.1 Der Mangel der Menge Doppelstrich R

Eine quadratische Gleichung vom Typ (mit a,bax bx c2 0+ + =

Element aus Doppelstrich R und a ungleich 0), ist in

Doppelstrich R, also der Menge der reellen Zahlen, normaler-

weise lösbar. Es gibt jedoch auch quadratische Gleichungen,

die nicht lösbar sind, wie z.B. , weil Quadrate reellerx2 1= −

Zahlen nie negativ sind. Allerdings besitzt 4x = 5 in der

Menge der ganzen Zahlen auch keine Lösung. Durch die Er-

weiterung von den ganzen auf die rationalen Zahlen wird die

Gleichung lösbar. Die Frage liegt nahe, ob Doppelstrich R

nicht auch derart erweitert werden kann, dass sämtliche

quadratische Gleichungen lösbar werden.

-10-

3.1.2 Die imaginäre Einheit und Imaginärzahlen

Leonard Euler (1707-1783) war einer der Ersten, der sich mit

dem Problem der nicht definierten quadratischen Gleichungen

befasste. Er führte eine neue „Zahl“ ein: i. Diese Zahl

sollte die Lösung für die Gleichung sein, folglichx2 1= −

gilt: . I wird als „imaginäre Einheit“ bezeichnet.i2 1= −

Durch Verknüpfung mittels Multiplikation entstehen aus

reellen Zahlen b und der imaginären Einheit i Imaginärzahlen

bi. Die Operationsregeln sind sie gleichen, als ob i eine

durch eine Variable vertretene reelle Zahl wäre. Zum Bei-

spiel: 2i + 3i = 5i. Die imaginäre Zahl hat es möglich

gemacht, dass die Gleichung lösbar wird. x a2 = −

3.1.3 Komplexe Zahlen

Löst man mit Hilfe der imaginären Zahl gemischte quadratische

Gleichungen, kommt es zu Summen aus reellen und imaginären

Zahlen.

Beispielsweise:

x xxx

x ix i x i

2

2

2

12 25 06 36 526 16

6 46 4 6 4

− + =

− = −

− = −− = ±= + ∨ = −

( )( )

Die beiden Lösungen setzen sich jeweils aus einem reellen und

einem imaginären Teil zusammen. Zahlen der Form a+bi mit a,b

Element aus Doppelstrich R werden als komplexe Zahlen

(Doppelstrich C ) bezeichnet. Dabei nennt man a Realteil und

b Imaginärteil. Sie werden entweder in der Form (a,b) oder in

der Form a+bi geschrieben. Komplexe Zahlen, die sich nur im

Vorzeichen unterscheiden, nennt man konjugiert zueinander.

-11-

( ) *( ) *( ) *( )

*:

3 4 1 5 3 1 5 4 1 5

3 15 4 20 3 11 2023 11

1

2

2

+ − = − + − =

− + − = − + =

= −

i i i i ii i i ii

Hinweis i

( ) *( ) *( ) *( )

( , ) *( , ) ( , )

a bi c di a c di bi c diac adi cbi bd ac bd adi cbiodera b c d ac bd ad cb

+ + = + + + =+ + − = − + +

= − +

( , ) *( , ) ( , ) ( , )a b a b aa bb ab ab a b ab= − + = −2 2 2

Die Konjugierte von z=a+bi wird als bezeichnet. (z a bi= − zwird als „z quer“ gelesen.) Manchmal findet man auch z* (z

Stern) anstatt .z

3.1.4 Operationsregeln komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen folgen den der reellen Zahlen ähnlichen aber

nicht gleichen Rechenregeln. Bei der Addition und Subtraktion

werden der reelle Anteil und der imaginäre Anteil getrennt

addiert oder subtrahiert. Als allgemeiner Ausdruck formu-

liert: (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d). Beispiel: (2,5) + (1,-7) =

(3,-2). Die Subtraktion erfolgt analog. Wenn wir die kom-

plexen Zahlen (3,4) und (1,-5) multiplizieren wollen,

bedienen wir uns des Distributivgesetzes:

Als allgemeiner Ausdruck formuliert lautet die Multiplika-

tionsregel:

Die Quadrierung funktioniert analog zur Multiplikation:

3.1.5 Die Gausssche Zahlenebene

Reelle Zahlen kann man auf einer Geraden, dem Zahlenstrahl,

anordnen, somit sind reelle Zahlen eindimensional. Zwischen

-12-

Bild 5

zwei reellen Zahlen liegen jeweils unendlich viele weitere

Zahlen. Komplexe Zahlen hingegen können nicht auf einer

Geraden angeordnet werden. Sie bestehen aus zwei Komponenten,

sie sind zweidimensional, folglich kann man komplexe Zahlen

auf einer Ebene anordnen. Auf dieser sogenannten Gaussschen

Zahlenebene erhält der Imaginärteil die X-Achse und der

Realanteil wird auf der Y-Achse aufgetragen. Eine komplexe

Zahl kann nun als Punkt in diesem Koordinatensystem dar-

gestellt werden.

Rechts ist die komplexe

Zahl 1+3i (1;3) in der

Gaussschen Zahlenebene

dargestellt.

3.1.6 Iterationen in der Zahlenebene

Um die bekannten Fraktale, die Mandelbrot und Juliamengen, zu

verstehen, muß man betrachten was passiert, wenn man komplexe

Zahlen quadratisch iteriert. Zunächst möchte ich die Iterati-

on reeller Zahlen betrachten: In die Iterationsvorschrift,

„Ein Element der Folge (an+1) wird gebildet, indem man das

vorangegangene Element (an) quadriert“, also kurz:a an n+ =12

wird 2 eingesetzt. Als Ergebnis kommt schon nach wenigen

Iterationen ein sehr hoher Wert heraus, die Folge läuft

schnell gegen +unendlich. Setzen wir in die gleiche Vor-

schrift 0,5 ein, so strebt sie gegen 0. Bei 1 bleibt das

Ergebnis konstant. Zahlen, die diese Bedingung erfüllen,

nennt man Fixzahlen. Weiterhin existieren Vorfixzahlen, also

Werte welche schon nach einigen Iterationen einen Fixpunkt

liefern, etwa -1. Schon nach einer Quadrierung erhält man 1,

-13-

also einen Fixpunkt. Wenn man nun die eindimensionale Menge

der reellen Zahlen verläßt und sich die Zahlenebene ansieht,

so fallen einige Analogien auf.

Die Zahl 2+3i wird fortlaufend quadriert:

Element 1 2 3 4

Wert (2;3) (-5;12) (-119;-120) (-239;28560)Die Folge wächst rapide an, sie strebt gegen unendlich.

Als zweites Beispiel wird die komplexe Zahl 0,2+0,3i iteriert

Element 1 2 3

Wert (0,2;0,3) (-0,05;0,12) (-0,0119;-0,012)Diese Folge strebt gegen Null.

Als letztes Beispiel wird 0,707+0,707i betrachtet

Element 1 2 3 4 n

Wert (0,707;0,707) (0;1) (-1;0) (1;0) (1;0)Diese Zahl ist eine Vorfixzahl , die scheinbar zufällig

ausgewählt wurde. Man kann jedoch eine Begründung finden,

warum gerade diese Zahl eine Vorfixzahl ist. Komplexe Zahlen

kann man in der Zahlenebene auch als Vektor auffassen. Die

Länge dieses Vektors lässt sich mit Hilfe des Satzes des

Pythagoras ermitteln. Die Länge beträgt: , L ist dieL dx dy2 2 2= +

Länge des Vektors, dx und dy die Komponenten in x bzw. y

Richtung. Diese Komponenten stellen in der Zahlenebene aber

die reellen und imaginären Anteile dar. Also ergibt sich:

und damit L=1. Alle Zahlen derenL2 2 20 707 0 707 0 5 0 5 1= + ≈ + =, , , ,Betrag, welcher der Vektorenlänge entspricht, größer 1 ist,

streben bei Iteration gegen unendlich. Zahlen mit einem

Betrag kleiner 1 ergeben eine Folge gegen 0 und Zahlen mit

einem Betrag von genau 1 sind Fix oder Vorfixpunkte. Wenn man

dieses Ergebnis graphisch aufbereitet ergibt sich folgendes

Bild:

-14-

Bild 6 Grafische Zusammenfassung

Die Darstellung nennt sich Fluchtzeitalgorhytmus. Sämtliche

Punkte des Bildes wurden in die Iterationsvorschrift einge-

setzt. Die Farbmarkierungen werden in dieser Darstellung nach

dem Verhalten der Punkte gewählt. Die Punkte deren Iteration

gegen 0 strebt und sämtliche Fix- und Vorfixpunkte werden

schwarz markiert. Alle anderen hier in verschiedenen Blautö-

nen markierten Punkte streben mit verschiedenen Geschwindig-

keiten gegen unendlich, wobei die Farbe für die Geschwindig-

keit steht mit der sie sich gegen unendlich bewegen. Der

Ursprung der Zahlenebene liegt im Mittelpunkt des Kreises.

Der Kreis hat einen Radius von 1.

3.2 Julia und Mandelbrotmengen (Parameterräume)

3.2.1 Die Juliamengen

Im Allgemeinen folgen Juliamengen der Iterationsvorschrift

. C ist eine komplexe Konstante, die bei jedera a cn n+ = +12

Iteration addiert wird. Im vorangegangenen Kapitel war diese

Konstante 0 und das Ergebnis war die einfachste aller

denkbaren Juliamengen. Verändert man c so erhält man ver-

schiedenste Gebilde. Diese sehr viel komplexeren Mengen haben

alle typischen fraktalen Eigenschaften. Sie sind selb-

stähnlich, haben eine fraktale Dimension, sind unendlich

komplex und stark abhängig von den Startbedingungen. Zur

-15-

1Nach ihrem Entdecker: Benoit Mandelbrot

Bild 7:Juliamenge C=-0,7+0,15i

Bild 8:Juliamenge C=-0,85+0,25i

Mandelbrot - Menge aaaaa

1

2

3

4

n

=

= + ⟨ + ⟩ = +

= − + + ⟨ + ⟩ = − += − − + ⟨ + ⟩ = − −= ∞

00 2 3 2 32 3 2 2 3 2 3 3 15

216 90 2 3 214 87

2

2 2

i ii i i

i i i* *

Julia - Menge mit c = -0,32 - 0,043iaaaaa

1

2

3

4

n

= += − + − ⟨ − ⟩ = − += − −= − += ∞

2 35 12 0 32 0 043 5 32 11 957114 987 127 2662974 709 29267 823

ii i i

ii

, , , ,, ,

, ,

Veranschaulichung zwei Beispiele:

3.3.2 Mandelbrotmengen (Parameterräume)

Die Mandelbrotmenge1 wird nach der gleichen

Iterationsvorschrift erzeugt wie ihre Juliamenge: .a a cn n+ = +12

Der Unterschied besteht in den Startwerten a1 und der

Additionskonstante c. Bei der Juliamenge wird als Startwert

ein Punkt in der Zahlenebene eingesetzt und c ist eine

Konstante, die vor der Berechnung der Juliamenge bestimmt

wird. Bei der Mandelbrotmenge ist der Startwert immer 0+0i.

C ist keine Konstante, sondern die Koordinate des aktuellen

Punktes, an dem sich die Berechnung befindet. Eine Beispiel-

rechnung, um den Unterschied zwischen Julia und Mandel-

brotmenge zu visualisieren: (die Additionskonstante ist

jeweils in spitze Klammern gesetzt)

-16-

Bild 9: Mandelbrotmenge

Führen wir den Fluchtzeital-

g o r h y t m u s f ü r d i e

Rechenvorschrift der Mandel-

brotmenge aus, so erhalten wir

folgendes Bild:

Diese allgemein auch „Apfelmännchen“ genannte Figur ist die

Mandelbrotmenge der Juliamenge mit der Vorschrift: .a a cn n+ = +12

Man kann auch andere Polynome als Vorschrift für die Erzeu-

gung solcher Mengen benutzen. Mit dem Begriff „Mandel-

brotmenge“ ist strenggenommen nur das Iterationsverfahren

gemeint, also dass der Startwert immer 0 und der jeweilige

Punkt die Additionskonstante ist. Meistens findet man den

Begriff Mandelbrotmenge aber für die häufigste ihrer Art,

nämlich dem Apfelmännchen. Im folgenden wird der Begriff

auch so verwendet werden. Es gibt enge Zusammenhänge zwischen

Julia- und Mandelbrotmengen. Die Mandelbrotmenge ist der

Parameterraum der Juliamengen. In der Vorschrift für Mandel-

brotmengen fließt der aktuelle Punkt als Additionsparameter

in die Berechnung mit ein, folglich stellt die Mandel-

brotmenge (M) dar was passiert, wenn C über die Zahlenebene

wandert. Für jeden Punkt der Mandelbrotmenge lässt sich eine

zugehörige Juliamenge (J) berechnen, die immer anders

aussehen wird. Weiterhin kann man anhand der Position des

Punktes in M auf das Aussehen von J schließen. Liegt der

betrachtete Punkt innerhalb der Mandelbrotmenge, so ist die

Juliamenge immer zusammenhängend. Liegt er in einem der

„Haare“ von M, so wird auch J eine Dendritenform, also eine

-17-

baumähnliche Form, besitzen. Liegt c in einer der Miniaturko-

pien von M in den „Haaren“ von M, so wird J eine Dendriten-

form haben, allerdings mit Kopien derjenigen Juliamengen aus

dem korrespondierenden Hauptteil von M behaftet. In dieser

Art und Weise ließen sich noch viele Beziehungen zwischen der

Mandelbrotmenge und Juliamengen aufzeigen.

4 Exkurs: Was hat Fraktale ermöglicht?

Die fraktale Geometrie ist ein im Vergleich sehr junger Zweig

der Mathematik. Dafür lassen sich eine Reihe von Gründen

aufzeigen.

4.1 Die Menschen hinter den Fraktalen

4.1.1 Gaston Julia

Gaston Maurice Julia wurde am 3. Februar 1893 in Algerien

geboren. Als Soldat im I. Weltkrieg verlor er seine Nase bei

einem Vorstoß der französischen Front. Er unterzog sich

mehrmals schmerzhaften Operationen, dennoch mußte er sein

ganzes Leben einen Lederstreifen über dem Gesicht tragen.

Während seiner langen Lazarettaufenthalte trieb er seine

mathematischen Arbeiten voran. Im Alter von 25 Jahren

veröffentlichte er seine bekannteste Arbeit, die „Abhandlung

über die Iteration von Funktionen“, welche heute eine

Grundlage des Wissens über Fraktale darstellt. Julia wurde

mit dem Preis der französischen Wissenschaftsakademie

ausgezeichnet und in Berlin wurden 1925 wissenschaftliche

Seminare zu seinem Werk abgehalten. Dennoch gerieten Julia

und seine Arbeiten in Vergessenheit, bis sie von Benoit

Mandelbrot in den siebziger Jahren wiederentdeckt wurden.

4.1.2 Benoit Mandelbrot

Benoit B. Mandelbrot wurde 1924 in Warschau geboren und

-18-

emigrierte nach Frankreich, wo ihn sein Onkel Szolem Mandel-

brot, der Mathematikprofessor am College de France war,

unterrichtete. 1947 erwarb Benoit ein Diplom an der Ecole

Polytechnique in Paris, 1948 wechselte er zum California

Institute of Technology, wo er an Luftturbulenzen hinter Jets

arbeitete. In der Folgezeit war er bei einigen Instituten

angestellt, darunter die Yale Fakultät und die Natural

Academy of Science. Er erhielt viele Ehrendoktorate und

Auszeichnungen. Er arbeitete in den siebziger Jahren bei IBM

und danach im T.J. Watson Research Center, wo er Leiter der

Computergraphikabteilung war. Dort kam ihm zufällig die Idee

der natürlichen Fraktale als er eine Hügelkette betrachtete.

Er untersuchte iterative Prozesse und Julias Ergebnisse auf

Computern und entdeckte wiederum zufällig die nach ihm

benannte fraktale Menge, die Mandelbrotmenge. 1977 schrieb er

sein erstes Buch: „Die fraktale Geometrie der Natur“. Benoit

Mandelbrot und Gaston Julia verdanken wir heute den größten

Teil unseres Wissens über Fraktale.

4.2 Der Computer, essentielles Werkzeug

Ohne den Computer gäbe es keine fraktale Geometrie in der

heutigen Form. Im folgenden möchte ich aufzeigen warum dies

so ist.

4.2.1 Ohne Computer keine Fraktale

Der Computer ist das Werkzeug, das Fraktale Geometrie

ermöglicht hat. Gaston Julia entwickelte zwar schon zu Anfang

des 20. Jahrhunderts Theorien über iterative Funktionen,

jedoch hat er nie eine Juliamenge gesehen. Um eine ver-

wertbare Juliamenge zu erzeugen, sind eine Vielzahl von

Berechnungen notwendig. Ein Beispiel: Man möchte eine

willkürliche Juliamenge berechnen. Um eine hinreichende

Genauigkeit zu gewährleisten, führt man 100 Iterationen

-19-

durch. Das heißt also 100 mal die gleiche Rechnung ( )a a cn n+ = +12

und das mit Zahlen, die bei jedem Schritt extremer werden.

Aber dann wurde nur ein Punkt der Juliamenge errechnet. Das

Ziel ist allerdings eine vollständige Juliamenge. Bei der

noch relativ geringen Auflösung von 300*200 Bildpunkten kommt

man so auf 6 Millionen Rechenschritte. Diese Flut an nötigen

Rechnungen kann kein Mensch im Kopf lösen, auch dann nicht,

wenn ein Mensch in bestimmten Fällen, z.B. bei einem Fix-

punkt, die Berechnung vorzeitig abbrechen kann. Die einzige

Möglichkeit, solch eine Aufgabe zu lösen, ist der Computer.

Hier ist dies mit einem im Vergleich geringen Aufwand

verbunden, denn programmtechnisch ist die Berechnung einer

Juliamenge kein schwieriges Problem denn die Rechenvorschrift

ist ja immer die gleiche. Die Entwicklung programmgesteuerter

Rechenmaschinen, nämlich der Computer, war nötig, denn ohne

sie wäre die heutige fraktale Geometrie nicht möglich.

4.2.2 Entwicklung der Computertechnologie

Die Computertechnologie macht enorme Fortschritte. Jedes

halbe Jahr wird eine neue Prozessorgeneration für Personal

Computer entwickelt. Durchschnittlich alle zwei Jahre

verdoppelt sich die Rechenleistung von PC‘s. Für die Ma-

thematik und speziell für die fraktale Geometrie bedeutet

das, dass immer komplizierte und aufwendigere Aufgaben gelöst

werden können. Immer genauere Fraktale in immer größeren

Auflösungen können berechnet werden. Auch kann man komplexere

Iterationsvorschriften verwenden, die einen enormen Rechen-

aufwand erfordern, was die Berechnung früher nicht im

vernünftigen zeitlichen Rahmen ermöglichte.

5 Anwendung von Fraktalen

Fraktale sind rein theoretische Figuren, doch das ist ein

-20-

idealer Kreis auch. Diesen benötigt man jedoch für eine ganze

Reihe von Anwendungen. Die fraktale Geometrie setzt dort an

wo die klassische Geometrie versagt und zwar im Bereich des

irregulären und gebrochenen. Im folgenden möchte ich auf die

Anwendungen der fraktalen Geometrie eingehen.

5.1 Fraktale in der Graphik

5.1.1 Fraktale als Hilfsmittel zur Darstellung

natürlicher Fraktale

Ein Großteil natürlicher Strukturen sind Fraktale, zum

Beispiel: Bäume, Wolken oder Berge. Möchte man solche

Strukturen graphisch darstellen, bieten sich künstliche

Fraktale, also die fraktale Geometrie, an. Es ist fast

unmöglich die Form einer Wolke mit herkömmlichem Mitteln zu

beschreiben. Bedient man sich jedoch der fraktalen Geometrie

und kennt man die ungefähre fraktale Dimension, so ist es ein

leichtes Strukturen zu erzeugen, die den natürlichen sehr

ähnlich sind. Die Wolken auf der Fernsehwetterkarte bei-

spielsweise werden fraktal modelliert.

5.1.2 Fraktale in der Bildkompression

Die Kompression, also die Datenreduktion, von Bilddaten ist

ein weiteres Anwendungsfeld in dem Fraktale zum Einsatz

kommen. Betrachtet man ein Bild als regelmäßige Anordnung von

Pixeln (Bildpunkte), so muß man sie alle auch speichern um

das Bild wiedergeben zu können. Um Speicher zu sparen, muß

man sich lokale Bildzusammenhänge zu Nutze machen. Oftmals

sind benachbarte Pixel in Farbe und Sättigung ähnlich, was

genutzt werden kann, um das Bild zu komprimieren. Man teilt

das Bild in rechteckige Abschnitte (regions) auf, überprüft

ob Ähnlichkeiten bestehen und nutzt diese gegebenenfalls zur

Kompression. Ein großer schwarzer Bereich, der aus vielen

Pixeln besteht, kann man beispielsweise auch als eine

-21-

zusammenhängende Fläche beschreiben. Es gibt aber auch eine

völlig andere Möglichkeit die auf fraktaler Geometrie beruht.

Oft bestehen zwischen verschiedenen Teilen des Bildes

Ähnlichkeitszusammenhänge. Ein Wandteil kommt an verschiede-

nen Stellen mehrmals vor, ein Felsstück gleicht einem anderen

an anderer Stelle. Die fraktale Bildkompression setzt diese

Beziehungen nun in eine mathematische Beschreibung des Bildes

durch Transformationen um. Dazu teilt man das Bild zweimal in

Segmente auf, in sogenannte „Range Regions“ die dem Bild-

inhalt angepasst werden und sich auch überlappen dürfen, und

in regelmäßige, recheckige „Domain Regions“ in der gewünsch-

ten Auflösung. Nun sucht man für jede „Domain Region“ eine

„Range Region“ die größer ist und durch affine Transformation

in die „Domain Region“ abgebildet werden kann (kontraktive

Transformation). Der Inhalt muß gleich oder sehr ähnlich

sein. Hat man dies für alle „Domain Regions“ durchgeführt,

ist das Bild fraktal beschrieben. Die wenigen Parameter, die

dann noch zur Rekonstruktion des Bildes nötig sind, ergeben

die Informationsersparnis im vergleich zum unkomprimierten

Bild.

5.2 Physikalische Anwendungen

Die fraktale Geometrie kann auch für physikalische Anwendun-

gen genutzt werden. Viele Systeme wachsen in einer fraktalen

Art und Weise: Kupfer in einer Kupfersulfat Elektrolyse,

Bäume oder Gewitterblitze, sie sind alle stark verzweigt und

selbstähnlich. Sie sind Fraktale und lassen sich durch die

fraktale Geometrie ideal beschreiben. Turbulente, hydrodyna-

mische Systeme sind ein weiteres typisches Einsatzfeld der

fraktalen Geometrie.

6 Einordnung der Fraktalen Geometrie in die

klassische Mathematik

Die fraktale Geometrie ist ein noch sehr junger Zweig der

-22-

Mathematik. Sie kann nicht auf Jahrhunderte voller Entwick-

lung und neuen Theorien zurückblicken, daher gibt es in ihr

noch viel zu entdecken. Sie setzt Computer als wichtigstes

Werkzeug ein, folglich wirkt sich jede Weiterentwicklung in

der Computertechnologie auch auf die fraktale Geometrie aus.

Sie deckt Zusammenhänge ab und ermöglicht Problemlösungen,

die mit klassischen Mitteln kaum realisierbar waren. Früher

nicht beschreibbare natürliche Strukturen wurden mathematisch

fassbar. Fraktale Geometrie ersetzt die klassische Mathematik

nicht, aber sie ergänzt sie an den Stellen wo die klassischen

Ansätze versagen.

7. Schluß

Die fraktale Geometrie eröffnet neue Wege um Problemstel-

lungen zu lösen. Sie ist zu einem wichtigen Instrument

geworden um Zusammenhänge die sonst nicht, oder nur mit

allergrößten Schwierigkeiten beschrieben werden könnten

greifbar zu machen. Es wäre sinnvoll diesen faszinierenden

Zweig der Mathematik auch in der Sekundarstufe II einzuführen

und zu erläutern. Die Möglichkeiten der fraktalen Geometrie

sind enorm und wurden erst ansatzweise ausgeschöpft. Die

fraktale Geometrie ist eine ideale Möglichkeit, um Informa-

tik, Mathematik und die klassischen Naturwissenschaften zu

verknüpfen.

8. Anhang

8.1 Literatur und Quellenverzeichnis

Halling H. / Möller R. (1995):Mathematik fürs Auge - Eine

Einführung in die Welt der Fraktale, Heidelberg, Berlin,

Spektrum, Akad. Verl.

Herford P. / Klotz A.(1997): Ornamente und Fraktale, Wies-

baden, Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsges.

Kenneth J. Falconer (1990): Fraktale Geometrie - Mathemati-

sche Grundlagen und Anwendungen, Oxford, Spektrum, Akad.

Verl.

Fernkurs Fraktale Geometrie

-23-

http://www.informatik.fernuni-hagen.de/import/pi2/Fraktale/

Komplexe Zahlen - Iteration

Http://www.tohuwabohu.org/docs/iteration.html

Komplexe Zahlen - Was ist das ?

Http://www.tohuwabohu.org/docs/komplzahl.html

Was sind komplexe Zahlen?

Http://www.hh.schule.de/hhs/info11-33/bio-babs/entsteh.htm

8.2 Bildverzeichnis

Bild 1: http://www.informatik.fernuni-hagen.de/import/pi2/

fraktale/koch.jpg

Bild 2,3,4: http://belgarath.esg-guetersloh.mediapoint.de/

uforum/physik-lk-12-1997-1998/fraktale/kochkur_1,2,3.jpg

Bild 5: Corel Qattro Pro

Bild 6,7,8: Fractal Extreme v.1.20

Bild 9: Fractal Explorer v 1.21

8.3 Verzeichnis sonstiger Hilfsmittel

Fraktalprogramme:

Fractal eXtreme v.1.20, Cygnus Software 1997,

Fractal Explorer v.1.21, A. Sirotinsky, O. Fedorenko,

1997-2000, Kiev,

Sonstiges:

Bertelsmann Lexikodisc, Disc 2, Technik und Natur,

Bertelsmann Lexikon Verlag GmbH, Gütersloh 1999

8.4 Erklärung

Ich erkläre, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe

angefertigt und nur die im Literatur- und Quellenverzeich-

nis angeführten Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.

______________________ _____________________

Ort, Datum Unterschrift